Probleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2

Transcriere

1 Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = = k l x = l +. Folosid coseciţa 5.. avem: k = x l x = l( xdx ) xl( x) dx + = + = + x ( ( )) 4 4 l x l + x = l = l x = e e x b) Cosiderăm f, g:[,] R, f ( x) = x, g( x) = e. Alegem =,,,...,, i ; xi = xi + x i αi = f, β ( ) i = g xi xi, i =, ii ( ) i x i + xi x i xi x = e = e = i= i= αi βi ( xi xi ). i= Folosid Teorema 5..3, obţiem: ( ) x = xe x dx= xe x e x = * = ) Să se arate că N, ecuaţia + x + x + x + are o soluţie uică x = x. Să se calculeze x Soluţie * Petru orice N, defiim f :[, ) R, f( x) =. Ecuaţia di k = k x + euţ se scrie f( x) =. Petru fixat avem

2 f ( )... x > = = şi f( x) = < deci x (, ) astfel îcât f() = (proprietatea lui Darboux). Soluţia x este uică deoarece f este strict descrescătoare. Vom arăta că x =. 6 Obţierea itei este sugerată de forma ecuaţiei = care coduce k = k x + la ecuaţia î l următoare: dt = cu soluţie uică l =. l+ t 6 * Fie µ >. Petru orice N otăm: a = şi k = k + µ + 6 b = (se ia şi µ < ). Atuci a = s< şi b = t > k = k 6 µ s = dt = µ µ şi + µ + t 6 5 t = dt = µ µ 6 6. µ + t 6 ( µ ) N astfel îcât ( µ ) să avem a < < b, adică f + µ < f( x) < f µ 6 6, deci µ < x < + µ. 6 6 Cum µ este arbitrar (de mic), obţiem x =. 6 3) Fie f :[, ) R o fucţie periodică, de perioadă, itegrabilă pe [,]. Petru u şir ( x ), x =, strict crescător şi emărgiit cu ( x+ x) =, otăm r ( ) = max { k x }. r( ) a) Să se arate că: ( ) x x f( x ) f( x) dx k k k = k = b) Utilizâd evetual rezultatul de la puctul a), demostraţi că: f(l k) = f ( xdx ) l k k =

3 Soluţie a) Avem a = ( x x ) f ( x ) = k s Cu Cesaro-Stolz avem: a = s. k+ k k p p= p < x p p= ( + ) ( ) ( + ) ( ), cu yk xk ( ) s = x x f x = y y f y k k k k k k < xk < xk ( ) =, reprezită suma Riema asociată fucţiei f şi diviziuii ( yk) r( ) < k r( ) a itervalului [,], a cărei ormă tide la. Pri urmare, s = f( x) dx b) Petru x = l, rezultă că Avem s[ l ] [ l e k + l f ( l k) I l k = k Apoi e k + l (l ) ( ) k = k. z = f k I = f x dx [ l e k + = I, deci l f (l k) I [ l ] k k = [ l e k+ k+ l k l k l f ( l k) = l f ( l k) + l f ( l k ) k= k= k + l l = k şi arătăm că f ( k) [ l k= e + k + l k [ l k= e + Cu M = sup f( x), avem: k+ k+ l f(l k) M l = M l [ l ] [ l ] k [ l k e k e k = + = + e + Deci l ( + ) k+ k+ l f ( l k) M l M = l k= k k l k= k k l

4 Să se calculeze itele: ANALIZĂ MATEMATICĂ clasa a XI-a.Limite de şiruri. =. + + = = ( + ) ( ) = = = = = ( + ) = ( ) = = = = 5 = = = = + = = = ( ) = = + = = = =

5 . = + + = + = + + = = + + = = () + + = = () = = + () + + = + () = =. ( ) = 3 =, 3 >. =, >, =, < + + 3, = = =

6 = 3 3 = 3 = 3 3 (,) atuci 3 =, 3. (8 ) ( + 8) = = 4. = = 8 = = (( + 4) ) utilizăm şirul remarcabil l =, =,57 = l + l = = ( + l ) = Lema Stolz-Cesaro 5. Dacă şirurile ( ), ( ) au proprietăţile: ) ( )are termei euli şi este crescător şi emărgiit, ) =, = = = + = = + = Criteriul raportului ș ( ). î. =. : )ă < =, )ă > = 3

7 6. 5! = utilizăm Criteriul raportului 3! 5 ( + )! 5! 5 = + = < 5! = Criteriul radicalului.cauchy-d Alembert Fie şirul ( ) de umere strict pozitive. ă =, = ! utilizăm Criteriul radicalului ( + ) + ( + ) + = + + = + + = Criteriu de covergeţă 8. ( )ă, si = utilizâd Criteriul de covergeţă cos = si [,] ș =.. =, R, = =, R, + + =

8 =, R, 3 3 = =, R, = = l( + ) =, R,, + > l( + ) = = l, R,, >, = l ( + ) =, R,, R = 7 l