SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul sensibil al problemei. Şi, dealtfel, şi cel care-ţi cauzează nedumerirea: aici ai pierdut soluţia cu componente negative! Revenind, tocmai observarăm că x este par. Din acest motiv x x = x x, deci ecuaţia noastră implică x = x x, de unde, logaritmând (aici e salutar modulul; mulţumită lui, formula de calcul este acum funcţională), obţinem x = x log x, de unde, cum x, log x =, a d i c ă x =, deci x =. Cum la acest caz am pierdut la un moment dat echivalenţa, să constatăm că [ ( )] =( 4) = 6 = ( ) 4 =( ) ( ), deci a doua ecuaţie a sistemului este într-adevăr echivalentă cu x =, iar din prima ecuaţie obţinem y = 4. - Nu-mi vine să cred că un sistem atât de simplu a putut conţine o astfel de,,capcană! - În matematică ne putem aştepta oricând la astfel de surprize! Nu pleca, mai ai ceva de făcut! - Dacă tot am rezolvat problema, să dau răspunsul, zâmbi Andrei şi aşternu pe foaie concluzia:,,aşadar, soluţia sistemului constă în perechile LECT. UNIV. DR. GABRIEL MINCU x = y =4 ş i x = y = 4. FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ, UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI E-mail: gamin@fmi.unibuc.ro Subiecte de examen Simularea Examenului de Bacalaureat la Matematică M mate-info (8) de NICOLAE ANGELESCU Prezentăm simularea probei de matematică a Examenului de Bacalaureat. Pe lângă rezolvarea problemelor, discutăm câteva variante de soluţii şi includem comentarii metodologice. Examenul de bacalaureat naţional 8 Proba E. c) Matematică M mate-info Clasa a XII-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Simulare
N. ANGELESCU,SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT LA MATEMATICĂ SUBIECTUL I. Calculaţi partea întreagă a numărului real a = 3 5 + 5.. Se consideră funcţia f : R R, f(x) =x + m, unde m este număr real. Determinaţi numărul real m, ştiind că (f f)(x) =f(x + ), pentru orice număr real x. ( 4x+ ( 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia 3) 3x+5. 3) 4. Determinaţi numărul de submulţimi cu cel puţin trei elemente ale mulţimii A = {,,,..., 9}. 5. Se consideră triunghiul MNP cu MN =6, MP =8şim( M) = 9. Calculaţi lungimea vectorului u = MN + MP. 6. Determinaţi numărul real x, ştiind că tg x + ctg x +=şi x ( π,π). SUBIECTUL al II-lea Ñ é x x. Se consideră matricea A(x) =, unde x este număr x x real. a) Determinaţi numerele reale x pentru care det(a(x)) =. b) Demonstraţi că A(x)+A( x) =A Ä ä, pentru orice număr real x. c) Determinaţi numerele reale x pentru care A(x) A( x) = A Ä ä.. Pe mulţimea Z = {,,,..., 9} se defineşte legea de compoziţie x y = xy + 3x + 3y + 9. a) Demonstraţi că x y = Ä x + 3 ää y + 3 ä +, pentru orice numere x, y Z. b) Determinaţi a Z, ştiind că a x =, pentru orice x Z. c) Daţi exemplu de a, b Z \{ 7}, pentru care a b =. SUBIECTUL al III-lea. Se consideră funcţia f : (, + ) R, f(x) =x x. f(x) a) Arătaţi că lim x x = 7. b) Determinaţi imaginea funcţiei f. c) Demonstraţi că e x e x + 3 8, pentru orice număr real x.. Se consideră funcţia f : R R, f(x) = arctg x. a) Arătaţi că b) Calculaţi f(tg x) dx =. f(x) x + dx.
SUBIECTE DE EXAMEN c) Demonstraţi că π 4 (n + ) x n f(x) dx π n + 4 (n + ), pentru orice număr natural nenul n. Soluţii SUBIECTUL I. a = 3 5 + 5=5+ 5. Cum < 5 < 3, avem 7 < 5+ 5 < 8, deci [a] =7.. (f f)(x) =f(f(x)) = f(x)+m = x+m, în timp ce f(x+) = x++m. Relaţia devine x +m = x ++m, ( )x R. Deci, m =. 3. Cum 3 (, ), funcţia exponenţială x ( 3 ) x este strict descrescătoare, prin urmare, inegalitatea devine 4x + 3x +5, a d i c ă x 4 sau x [4, + ). 4. Numărul submulţimilor cu k elemente, ale unei mulţimi cu n elemente, este Cn, k prin urmare, avem de calculat C 3 +C4 +...+C = (C +C +C )= ( + + 45) = 56. 5. u = MN + MP = MR, unde R este astfel încât MP RN săfieparalelogram. Cum m( M) = 9, paralelogramul MP RN este dreptunghi, deci MR = NP =. 6. tg x + ctg x +=devine tg x + tg x +=sau tg x+ tg x+ tg x =, a d i c ă ( tg x =, de unde x = 3π 4 π ).,π Observaţie. Este cunoscut că, ( )t R, avem t + t, cu egalitate pentru t =sau t =. SUBIECTUL al II-lea. a) det(a(x)) = [x (x ) ]= ( x)(3x ) =. Obţinem x = sau x = 3. Observaţie. Matricea A(x) este inversabilă, pentru orice x R \ 3,. b) A(x)+A( x) =I 3, ( )x R. Să remarcăm că, pentru x =, x = x. Deci, A Ä ä Ä ä + A = I3, de unde A(x)+A( x) =A Ä ä, pentru orice x R. c) Obţinem Ñ 5x +5x 4x é +4x A(x) A( x) = 4 = 4x +4x 5x 4 I 3, +5x de unde 4x +4x =, a d i c ă x =. Soluţie alternativă. Din b) obţinem A( x) = I 3 A(x), deci A(x) A( x) =A(x) (I 3 A(x)) = A(x) A (x). Ecuaţia devine A(x) A (x) = 4 I 3,
N. ANGELESCU,SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT LA MATEMATICĂ 3 a d i c ă (A(x) I 3 ) = O 3 sau, observând că A(x) I 3 = (x ) Ñ é, deducem că (A(x) I 3 ) = O 3 d a c ă x =, a d i c ă x =.. a) Se verifică imediat. b) Evident, dacă x + 3 este un element inversabil în raport cu operaţia de înmulţire în inelul (Z, +, ), atunci =a x =(a + 3) (x + 3). Trebuie ca a + 3 =, a d i c ă a = 3 = 7. Observaţie. U(Z )={x Z (x, ) = } = {, 3, 7, 9,, 3, 7, 9}. Se observă că, pentru a = 7, a x =, ( )x Z. c) Cum (Z, +, ) este un inel comutativ, cu divizori ai lui zero, vom căuta a, b Z \{ 7} astfel încât (a + 3) (b + 3) =, de exemplu a + 3 = 4 ş i b + 3 = 5 sau a + 3 = ş i b + 3 =. SUBIECTUL al III-lea f(x). a) lim x x = lim (x ) ( x ) x x = lim x ( ) (x + ) x+ = 7. f(x) f() Soluţie alternativă. Observând că f() =, limita se poate scrie lim x x şi, cum evident funcţia f este derivabilă, cu f (x) =4x x, deducem lim x f(x) f() x = f () = 4 = 7. b) Avem de identificat mulţimea Im f = {y R ( )x (, + ),f(x) =y}. Cum funcţia f este continuă şi derivabilă, vom determina mulţimea Im f cu ajutorul derivatei de ordinul întâi, realizând tabelul de variaţie. Avem f (x) =4x x ; f (x) =pentru x = 4 ; f Ä ä 4 = 3 lim =+. x x 4 + f (x) + f(x) 3 8 + minim Vom obţine Im f = î 3 8, + ä. 8, lim x f(x) =, c) Evident, o exploatare corectă a informaţiilor din tabelul de variaţie ne ajută să constatăm că f(x)+ 3 8, a d i c ă x x + 3 8, pentru orice x (, + ). Cum e x (, + ), pentru orice x real, deducem e x e x + 3 8, pentru orice număr real x.. a) Funcţia arctg : R ( π, π ) este bijectivă, cu arctg = tg : ( π, π ) ( R. Avem, deci, arctg(tg x) =x, ( )x π, π ) ş i tg(arctg x) = x, ( )x R. În aceste condiţii, f(tg x) dx = arctg(tg x) dx = x dx = x =.
4 PROBLEME DE OLIMPIADĂ Soluţie alternativă. Utilizând schimbarea de variabilă, avem: arctg(tg x) dx = tg unde y = tg x. f(x) b) Avem x + dx = c) Obţinem (n + ) x n f(x) dx = x n+ f(x) arctg y +y dy = arctg y tg arctg x (arctg x) dx = arctg x x n+ f (x) dx = π 4 =, = π 3. x n+ x + dx. Remarcăm că, pentru x [, ], avem x + şi, utilizând monotonia integralei definite, avem (n + ) = x n dx x n x + dx x n+ dx = n + şi obţinem inegalitatea din enunţ. Observaţie. Propunem următoarele cerinţe, sugerate de inegalitatea demonstrată. Să se calculeze: i) lim n x n f(x) dx; ii) lim (n + ) n x n f(x) dx; Ñ é iii) lim n (n + ) x n f(x) dx. Comentarii Varianta propusă la simulare respectă structura cunoscută: trei subiecte a câte 3 de puncte fiecare. Subiectul I conţine întrebări din materiile claselor a IX-a şi a a X-a, cu un grad scăzut de dificultate, subiectul al II-lea cuprinde algebră, materiile claselor a XI-a şi a XII-a, iar subiectul al III-lea, analiză matematică, materiile claselor a XI-a şi a XII-a. Subiectele II şi III conţin câte două probleme enunţate în forma,,itemi structuraţi, asigurându-se o ridicare graduală a nivelului de dificultate. PROF. NICOLAE ANGELESCU COLEGIUL NAŢIONAL,,MIHAI VITEAZUL, PLOIEŞTI E-mail: nicolaeangelescu@gmail.com