FIZ

Transcriere

1

2 Acel-i i mtemtici petru cre eglitte evidetă c " = " W Thompso (lord Kelvi) + e d= π este Micii MATEMATICIENI Revist elevilor di Hîrlău Fodtă î ul 7 Aul VII, r 7, pril prilie ie

3 REDACŢIA REVISTEI REDACTOR ŞEF: IOAN SǍCǍLEANU MEMBRII REDACŢIEI: AUREL NEICU GHEORGHE OANCEA BOGDAN DORNEANU IULIANA BLANARIU RAMONA DARIE ADRESA REDACŢIEI: COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLǍU STR MIHAI EMINESCU, NR 5 TEL/FAX: /79 WEB: ADRESELE DE L: miciimtemticiei@yhoocom cicisme68@yhoocom eicu@gmilcom TEHNOREDACTARE: IOAN SǍCǍLEANU ILUSTRAŢIA COPERTEI: RAMONA DARIE SPONSORII REVISTEI: ASOCIAŢIA PǍRINŢILOR ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLǍU PRIMǍRIA ORAŞULUI HÎRLǍU S C COTNARI SA S C BEST COLOR SRL CMI DR STELA TATIANA NEICU SC REZIDENT HOUSE SRL, HÎRLĂU RESTAURANT ŢǍPUŞǍ ISSN L 8 5X

4 PLEDOARIE PENTRU STUDIUL MATEMATICII Motto: Operele mtemtice robesc şi îcâtă tocmi c operele psiuii şi imgiţiei (Io Brbu, mtemtici şi poet româ ) Ediţi de ul cest revistei Micii mtemticiei îregistrez VII- priţie cosecutivă şi vie c o compliire psiuii elevilor şi profesorilor petru u di cele mi vechi şi fscite disciplie descoperite de omei Ir cocursul MICII Mtemticiei, l ediţi VIII-, este îscris î Cledrul Activităţilor Eductive Nţiole, l A Domeiul ştiiţific poziţi Dcă mergem l semificţi leiclă termeului, cuvâtul mtemtică vie di limb grec, mthe, cre îsemă îvăţre, studiu, ştiiţă Chir de l rudimetele mifestării cestei, e itețiot o dezvoltre gâdirii logice, clre, precise, poi stimult cpcitte de cercetre, de liză şi siteză, petru c zi, îtr-o cotemporeitte di ce î ce mi tehologiztă, î multiplele ei rmificţii, să cultive teţi, simţul critic costructiv, imgiţi cretore, formre uui limbj obiectiv şi cocis Micii mtemticiei, cre vor cuceri mâie lume cu putere miții lor, îşi treeză gâdire l şcol ştiiţelor ecte, cu etuzismul dolesceti cre-i fce să iubescă, î eglă măsură, şi jocul cifrelor di cietul cu pătrţele su de pe ecrul clcultorului, şi mirculos lume geometriei, şi vor cotribui, pri prezeţ lor î pgiile revistei ostre l u comple de idei şi soluţii mereu mi complee şi mi bie scrise De ce vă îdem să studiţi mtemtic? Petru că e este u mod de gâdire cu vlore uiverslă şi petru că prilejuieşte bucurii spiritule l cre orice fiiţă umă r trebui să ibă cces Nu îtâmplător, Solomo Mrcus, uul di cei mi străluciţi mtemticiei româi, idict ipostzele di cre vă ivit şi eu să priviţi mtemtic: - domeiu de cuoştere; feome de cultură; ştiiţă; rtă; limbj; feome socil; joc; mod - prte vieţii spiritule; mod de viţă şi list r pute cotiu, după ispirţi şi logic vostră Ir dcă vreţi să descoperiţi devărul cestor firmţii, deschideţi revist ostră şi fiţi uul di MICII MATEMATICIENI cre e pot demostr că Frumusețe cestui obiect se reflectă şi pri soluţiile igeiose, cretive pe cre le şteptăm de l voi î cest cocurs, l cre dorim tuturor cocureţilor «MULT SUCCES»! PROF AUREL NEICU, DIRECTOR AL COLEGIULUI NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU

5 PANTEON RETROSPECTIVE AFECTIVE Motto: «Mtemtic este c urcuşul l mute Efortul este răsplătit de privelişti măreţe C şi pe mute, scesiuile î mtemtică sut frumose dcă u eşti obsedt dor de locul ude vrei să jugi şi dcă eşti î stre să svurezi tot cee ce îtâleşti pe prcurs» (Solomo Mrcus Şocul mtemticii ) Î memori fectivă dej trdiţiolului ostru Pteo îşi găseşte u meritt şi oort loc profesorul Costti Luc, ăscut î mrtie 9, î comu Dureşti jud Botoşi Cuoscut profesor petru seriozitte şi begţi pe cre le- dovedit î tot crier s, domi s bsolvit Fcultte de mtemtică-fizică di cdrul Uiversităţii AlICuz Işi, î ul 96 C mulţi ditre profesorii debutţi di vreme respectivă, domul profesor străbătut cle postoltului, îcepâdu-şi crier c profesor de mtemtică l Şcol Focuri Işi î period Doriţ persolă de firmre, mbiţi de profes l utetic s vlore şi de se fce remrct petru performţe educţiole, dr şi c metor l tierei geerţii de dscăli, l- determit pe domul profesor Costti Luc să profeseze c metodist l Secţi de îvăţămât Hârlău Trseul său profesiol iclus şi câţiv i de predre c profesor titulr de mtemtică l Liceul rel umist Hârlău, di 968 pâă î 975, timp î cre fost precit petru deosebitul tct pedgogic, răbdre şi tecitte cu cre educt geerţii îtregi de elevi cre se mâdresc şi zi de fi fost discipolii săi C mulţi lţi profesori cre şi-u găsit împliire eplorâd lte orizoturi profesiole, di curiozitte mereu provoctore de cuoşte lte culturi şi civiliztii, dr şi di esect voiţă de descifr tiele mtemticii şi petru îvăţăceii de pe lte meridie, domul profesor Costti Luc les să prede mtemtic şi elevilor de l Liceul Ziri Be Atti - di orşul Oujd Mroc, î period cuprisă ître Reveit î ţră, se v coscr predării discipliei pe cre cosidert-o regi ştiitelor l Liceul Teoretic Ştef cel Mre, Hârlău Icotestbilul său devotmet fţă de şcolă l- fcut să mi urce o treptă vlorică crierei sle şi ître ii , fost director l Liceului di Hârlău, precum şi director djuct itre Multe di performţele elevilor di periodele meţiote se dtoreză cestui profesor de utetică vocţie pedgogică, ce şi- legt umele de u timp î cre metodele sle didctice u dt rode evidete, tât î cee ce priveşte geerţiile de elevi cre-şi mitesc cu dmirţie şi codescedeţă de utoritte şi prestigiul domului profesor, cât şi cei cre îi pot mulţumi zi, c foşti colegi de bucuri de se fi flt î prejm uui om cu vlore de metor şi model profesiol Î pl persol, domul profesor Costti Luc şi- împliit î cel mi oorbil mod şi clitte de părite, cele două fiice le sle fiid medic şi, respectiv, cdru didctic uiversitr l Uiversitte Gheorghe Aschi di Işi Petru tote ceste motive, cosiderăm o dtorie de oore di fce di persolitte pe cre o evocăm cum u di figurile memorbile di gleri de străluciţi profesori i şcolii ostre căror le vom dtor îtotdeu recuoştiţ, respectul şi perpetu ostră dmirţie PROF AUREL NEICU, DIRECTOR AL COLEGIULUI NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU

6 ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE PRINCIPIUL INCLUDERII ŞI AL EXCLUDERII MONICA DANA BURLICĂ ) Combitoric este ce rmură mtemticii cre se ocupă cu studiul mulţimilor U rezultt util î rezolvre uor probleme de teori mulţimilor, de divizibilitte su de geometrie îl reprezită pricipiul icluderii şi l ecluderii Aducem î teţi cititorului cest rezultt şi prezetăm, î cotiure, câtev plicţii le sle PRINCIPIUL INCLUDERII SI EXCLUDERII Se du mulţimi fiite X, X,, X stfel îcât crdilul fiecărei mulţimi Atuci, i= X i se oteză X i, petru orice i X = X X X + X X X + X X X i i i j i j k i= i j i j k APLICAŢIA : Câte umere turle mi mici su egle cu sut divizibile cu, su 5? X = / N;, X = / N;, X = 5 / N ;5 SOLUŢIE: Defiim { } { } { } Numărul căutt este X X X Aplicâd pricipiul icluderii şi l ecluderii, obţiem: X X X = X + X + X X X X X X X + X X X = = = APLICAŢIA : Dcă X, Y sut mulţimi fiite stfel îcât X = m şi Y =, ude m, N, m m m m m tuci umărul fucţiilor surjective f : X Y este m C + C C + + C SOLUŢIE: Fie mulţimile X = {,,, m} şi Y = { y, y,, y}, ude m m fucţiilor { f : X Y} re elemete Astfel, dcă otăm S { f : X Y / f surjectiv} m fucţiilor surjective de l X l Y este s, ude S = s Notăm A f : X Y / y f ( X) petru fiecre i {,, } ecluderii, obţiem : i=, de ude deducem că S Se ştie că mulţime =, umărul i { i } =, = Ai Coform pricipiului icluderii şi l i= s= S = A = A A A + A A A + A A A Observăm că i i i i i j i j k i= i j i j k A reprezită mulţime fucţiilor defiite pe X cu vlori î { } {,, }, deci A ( ) { i j} i m Y y, petru fiecre =, ir Ai Aj reprezită mulţime fucţiilor defiite pe X cu vlori î Y \ y, y, petru fiecre i, j {,, }, i j Î geerl, A A A ( k) i i ik deci A A = ( ) i p j m m =, ude i, petru orice p {,, k}, disticte două câte două, ir A A A s= C C + C + C Î cocluzie, umărul fucţiilor surjective f : X Y este \ i m m m = Deci, m m m m C + C + C + + C

7 OBSERVAŢIA : U cz prticulr l eglităţii de mi sus e coduce idetitte C C C C! = OBSERVAŢIA : Alog se demostreză următore problemă : Dcă se oteză pri s, m, r umărul fucţiilor f : X Y, ude X =, Y = m, cu propriette că eistă Z Y, Z = r şi stfel îcât f ( X) Z, tuci s = m C ( m ) + C ( m ) + ( ) ( m r) m r r r,, APLICAŢIA : Fie A u lfbet formt di litere idetice :, ;, ;;,, perechile diferite costâd di litere diferite Se formeză tote cuvitele cre folosesc tote cele litere di lfbetul A, stfel să u pră două litere idetice vecie Să se rte că umărul cestor cuvite este egl cu : ( )! C ( )! + C ( )! + ( )! SOLUŢIE: Numărul tuturor cuvitelor cre folosesc tote cele litere di lfbetul A este egl cu ( )! ( )! =, Deorece literele idetice pot fi permutte ître ele î (! ) = moduri disticte,! rezultâd u celşi cuvât formt cu cele litere di A Să otăm cu formte cu cele litere di A petru cre cele două litere i sut veci Rezultă că umărul căutt este egl cu ( )! A A A Petru evlu A A A plicăm pricipiul icluderii-ecluderii : A i mulţime cuvitelor k i k = i i j + i= i j i< < i i i i + + k i= i A A A A A A A A A A Să clculăm î czul geerl umărul de elemete di A A A şi să rătăm că ceste u i i i k depide de legere idicilor i < < ik Dcă u cuvât prţie cestei mulţimi îsemă că el prţie fiecărei di mulţimile A, A,, A, deci literele, ;, ;;, sut vecie i i i k i i i i ik ik Cuvitele petru cre cele k perechi de litere sut vecie se obţi î modul următor : se formeză tote cuvitele vâd k litere cre formeză u lfbet obţiut di A pri suprimre câtei uei litere ditre,,, Apoi î fiecre cuvât stfel formt se dubleză literele,,,, i i i k dăugâd după liter o ltă literă eglă cu, petru fiecre j=,, Deci obţiem : i j ( ) (! ) ( ) A A A k î i j i i i k k k! k! = = Deorece idicii i,, i k cu i < < ik pot fi leşi k C moduri, rezultă că umărul cuvitelor cre u coţi două litere idetice vecie este ( ) ( ) ( )!!!! C + C + REFERENCES : I TOMESCU, INTRODUCERE ÎN COMBINATORICĂ, EDITURA TEHNICĂ, 97 I TOMESCU, PROBLEME DE COMBINATORICĂ ŞI TEORIA GRAFURILOR, ED DID ŞI PED, BUCUREŞTI, 98 ) LECTOR UNIVERSITAR DOCTOR, DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ, UNIVERSITATEA TEHNICĂ GHEORGHE ASACHI, IAŞI

8 REZOLVAREA UNOR SISTEME DE ECUAŢII NESTANDARD CU ELEMENTE DE TEORIA PUNCTULUI FIX MIHAI CRĂCIUN ) U di direcţiile de dezvoltre, î teori ecuţiilor (idiferet de tur lor) este stbilire uor teoreme de eisteţă soluţiilor, respectiv de eisteţă şi uicitte O ecuţie pe relă se pote scrie î u di formele: f = S= Z (TEORIA ZEROURILOR) ; f = f ( ) S = Ff (TEORIA PUNCTELOR FIXE) ; f ( ) = y S= Fy (TEORIA DE SURJECTIVITATE ŞI INJECTIVITATE) ; f ( ) g( ) S C( f, g) = = (TEORIA PUNCTELOR DE COINCIDENŢĂ) Î cest rticol, vom prezet câtev rezultte teoretice di teori puctelor fie şi câtev plicţii le cestei î rezolvre uor sisteme de ecuţii f :, b, b cotiuă, dmite cel puţi u puct fi TEOREMA LUI BROWER : O fucţie [ ] [ ] DEMONSTRATIE : Cosiderăm g :[, b] [, b], g( ) = f ( ) Di f ( ) b [, b] g = f şi g( b) = f ( b) b Cum g cotiuă pe [, b ] şi g g( b) rezultă că, di teorem vlorilor itermedire, că eistă [, b] stfel îcât g( ) =, deci f ( ) = TEOREMA LUI KNOSTER : O fucţie f :[, b] [, b], < b, strict crescătore dmite cel puţi u puct fi DEMONSTRATIE : Fie A= [, b] f ( ) Di f ( ) b f A, deci { } A O evidă Cum A [, b] A mărgiită eistă sup A= R Deorece A şi b este u mjort petru A, deci b, rezultă [, b] Arătăm că f ( ) = Îtr-devăr, fie A şi cum f crescătore, rezultă f ( ) f ( ), dr A f ( ) f ( ) A Pri urmre, f ( ) este u mjort petru A, deci f ( ) () Deorece f este crescătore, vem f ( ) f ( f ( ) ), rezultă că f ( ) A Cum = sup A, vem f ( ) () Di () şi () rezultă că f ( ) =, dică Ff PROPRIETATEA : Dcă f :( ; b) ( ; b) este o fucţie cotiuă stfel îcât f ( f ( ) ) =, ( ; b) tuci eistă ( ; b) cu propriette f ( ) =, dică este puct fi petru f PROPRIETATEA : Dcă petru ecuţiile uui sistem eistă o fucţie f stfel îcât f ( ) =, 5 f ( ) =,, f ( ) =, tuci f f f ( k) = k, k =,, deci k este puct fi petru f ori PROBLEMA : Să se rezolve sistemul: = y+ 5 y+ 5 şi y= SOLUŢIE: Fie f :[ 5, ) R, f ( ) = Sistemul este f ( y) y f ( ) f f ( ) F f = şi = = Puctele fie le lui f sut pucte fie şi petru f f Puctele fie le lui f se găsesc rezolvâd ecuţi = ( > )

9 + 5= su > su 5, ) + 5= su 5( ), vem: ( ) ( 5) = + > dr = + su + 6= = O ltă soluţie prţie itervlului (, ) cee ce u corespude codiţiei 5, ) Petru y S =, { } = = şi deci = y( y) PROBLEMA : Să se rezolve sistemul: y = ( ) SOLUŢIE: Fie f : R R, f ( ) = ( ), sistemul este: f ( y), y f ( ) f ( ) = sut soluţii petru = = f f PROBLEMA : Să se rezolve sistemul : = =, soluţiile ecuţiei S,,,, +,, +, = + + = + + = + y y z y y zy z z z SOLUŢIE: Prim ecuţie se scrie ;, ;, y= = f, ± Fucţi f este crescătore pe ; Alog, z= f ( y), = f ( z) Rezultă că = f ( f ( f ( ) )) f = Obţiem = y= z= Puctele fie le plicţiei f sut soluţiile ecuţiei S= ( ;;) { } PROBLEMA : Să se rezolve sistemul : =, = şi Obţiem soluţiile sistemului: S = ; ;,( ;;) = SOLUŢIE : Fie fucţi f : R R, f ( ) = Mulţime puctelor fie este F f = ; PROBLEMA 5 : Să se rezolve sistemul: + = y, y+ = z şi z+ = y z SOLUŢIE : Fie f : R R, f ( ) = + Sistemul devie: y= f ( ), z= f ( y), = f ( z) De ici, obţiem: = f f f ( ) Dcă Ff, tuci Ff f f Cum F = f = = ;, ( ) rezultă că sistemul re soluţiile ( ; ; ) şi ; ; f { } { } BIBLIOGRAFIE: IA RUS, PRINCIPII ŞI APLICAŢII ALE TEORIEI PUNCTULUI FIX, EDITURA DACIA, 978 IA RUS, TEORIA DIRECTĂ A PUNCTULUI FIX, SEMINARUL DIDACTICA MATEMATICII, VOL, 995, CLUJ ) PROFESOR, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI, IAŞI 6

10 MATEMATICA APLICATĂ ÎN STUDIUL UNOR PROBLEME DE FIZICĂ ANCA MARIA BOBÎRNĂ ) Vom prezet pe scurt câtev oţiui teoretice legte de lucrul mecic î mecică şi termodimică, după cre vom bord trei probleme legte de cestă mărime fizică î căror rezolvre se plică oţiue de itegrlă l clculre lucrului mecic Lucrul mecic L efectut de o forţă costtă F ce îşi deplseză puctul de plicţie pe distţ d este defiit pri produsul sclr ditre vectorul forţă şi vectorul deplsre: L = F = Fcosα Î czul î cre forţ u este costtă, distţ pe cre se deplseză puctul ei de plicţie se împrte îtr-o ifiitte de mici distţe d, pe cre forţ pote fi cosidertă costtă, lucrul mecic elemetr este: δ L= F d= Fdcosα Lucrul mecic totl se obţie pri sumre ( itegrre ) lucrului mecic elemetr, cre reprezită ri suprfeţei delimittă de grficul forţei î fucţie de deplsre: L= F d Î termodimică lucrul mecic efectut îtr-o trsformre izobră (presiue este costtă) este dt de relţi: L= p( V V ), ude V şi V sut volumele gzului î stre iiţilă, respectiv filă, ir dcă presiue u este costtă, lucrul mecic elemetr este: δ L= pdv, ude dv este vriţi elemetră volumului gzului, ir lucrul mecic totl, cre reprezită ri suprfeței mărgiită de grficul presiuii î fucție de volum și de ordotele volumelor etreme, este: PROBLEMA : U corp de msă ltitudie suprfţ Pămâtului corpului V = V L pdv m= 75kg este ridict uiform de l suprfţ Pămâtului pâă l h= 6km Cuoscâd rz Pămâtului R= 67km şi ccelerţi grvitţiolă l g = 9 s,8m /, clculţi vlore lucrului mecic efectut l deplsre SOLUŢIA : Forţ cu cre trebuie cţiot corpul este eglă cu greutte corpului, cre vriză cu R ltitudie, vâd epresiile: F = G o = mgo, F = G= mg = mgo, ude go și g sut R+ h ccelerți grvitțiolă l ivelul Pămâtului, respectiv l ltitudie h Forţ fiid vribilă (depide de pătrtul distţei), se i medi geometrică ditre vlorile iiţilă şi filă, ir lucrul R Rh 8 mecic efectut este: L= Fmh = F F h= mg omg o h= mg o, J R+ h R+ h SOLUŢIA : Di lege trcţiei uiversle forţ cre trebuie îvisă l deplsre corpului este: mm F = K, ude r este distț de l cetrul Pămâtului pîă l corp și țiâd cot de epresi s r mm R l suprfț Pămâtului F = K = mg o, se obție F = mgo, ir lucrul mecic efectut v fi: R r R+ h R+ h R+ h R R+ h dr h mg Rh L = L = Fdr = R h o mgo dr = mgor = mgor + δ R = mgor = R R R r R r r R( R+ h) R+ h 7

11 PROBLEMA O msă m= 9g de er este comprimtă izoterm l tempertur T = K de l o presiue iițilă ormlă pâă l u volum fil de e=, 78 ori mi mic decât cel iițil Să se fle lucrul mecic efectut de gz pv SOLUŢIE: Di lege trsformării izoterme vem: p V = pv = pv = cost p= Țiâd V cot de ecuți de stre gzului idel pv = νrt și de epresi lucrului mecic, se obție : dv V V L = V V V pdv = pv = pv lv V = pv ( lv lv) = pv l =νrt l, relție cre se V V V V V îvță î cls X- fără să fie demostrtă, vâd î vedere că u pote fi dedusă decât pri m itegrre Îlocuid umărul de moli ν =, ude µ este ms molră gzului și efectuâd µ clculul umeric se obție: m m 9 kg J L= RT l = RT = 8 K = 5J µ e µ kg 9 kmol K kmol PROBLEMA O msă m de gz idel, cu ms molrăµ, suferă u proces după lege l T l T Aflți lucrul mecic efectut de gz T ~ p, de SOLUŢIA : Di T ~ p T = p, ude este o costtă Di ecuți de stre gzului idel se V obție pv = ν RT = ν Rp V = ν Rp p= Îlocuid presiue î epresi lucrului ν R mecic se obție: V V V V V V V V νr( T T) mr( T T) L= pdv = dv VdV V V = V νr νr = = = = V νr νr µ V SOLUŢIA : Di relți p= se observă că presiue p este direct νr proporțiolă cu volumul V, deci reprezetre presiuii î fucție de volum este o dreptă cre trece pri origie Lucrul mecic este ri suprfeței hșurte ( î formă de trpez ): L= ( p+ p)( V V) = ( p+ p)( νrp νrp) = νr νr mr ( T T) = p p = T T = µ P P P V V V BIBLIOGRAFIE : I D ZELETIN, A POPESCU, PROBLEME DE MECANICĂ ŞI ACUSTICĂ, ED TEHNICA, BUCURESTI, 97 A HRISTIEV, PROBLEME DE FIZICĂ, EDITURA APH-SRL, BUCURESTI, 99 ) PROFESOR DE FIZICĂ, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU, IAŞI 8

12 ISTORIA PARADOXELOR GÂNDIRII APLICAŢII LOGICO-MATEMATICE RAMONA BUJOR ) Acest rticol vizeză surpridere mometelor de criză le Gâdirii, î îcercările sle goseologice şi de comprehesiue lumii Scopul este cel de coduce spre ştere iterogţiei, fără de cre Gâdire s-r epuiz îtr-o certitudie pltă, deveid dogmă Prdoele u sut slăbiciui le Gâdirii, ci îtrebări cre dislocă opiii geerl cceptte, teorii ştiiţifice, î fvore uei icertitudii bogte î coţiut şi cre meţie vie mişcre Gâdirii PARADOXELE LOGICE ÎN GÂNDIREA ANTICĂ (I) Primii gâditori i Greciei Atice u îcerct să îţelegă şi să eplice relitte lumii pri itermediul elemetelor şi relţiilor mtemtice Fpt cu o dublă coseciţă: o dtă, ordore relităţii şi, î l doile râd, certitudie cuoşterii Pitgoreicii u relizt primul model l lumii more geometrico Numărul, c pricipiu ordotor l Kosmos-ului, re drept eseţă uittedi puct de vedere geometric, uităţii îi corespude puctul, defiit c uitte ce re o poziţie, dică uitte cosidertă î spţiu De ici rezultă că, orice corp geometric este o plurlitte, o sumă pucte, l fel cum umărul este o sumă de uităţi Astfel, lume şi obiectele sle sut lcătuite ditr-o plurlitte de uităţi, vâd tributele corpurilor geometrice Zeo di Ele (89 îe - îe), discipol l filosofului Prmeide, dept l îvăţăturii mestrului său, coform cărei Fiiţ este U, ir plurlitte u eistă, sesizeză cotrdicţiile cre pot lu ştere pri plicre l eperieţ fizică teoriilor pitgoreicilor Prdoele su poriile situţii fără ieşire le Gâdirii, formulte de Zeo e sut prezette de către Aristotel î Fizic, (Crte Z), fiid î umăr de şse: două împotriv plurlităţii şi ptru împotriv mişcării Metod utiliztă de către Zeo este ce reducerii l bsurd *** Ne vom opri succit supr rgumetelor împotriv mişcării: DIHOTOMIA Mişcre imposibilă, fiidcă u obiect cre se deplseză ître oricre două pucte A şi B trebuie îtotdeu să copere jumătte di distţă îite de juge l cpăt (trebuie să prcurgă distţ AC) Dr îite de A D C B străbte jumătte di distţă, el trebuie să fi coperit jumătte di jumătte (distţ AD), şi ş l ifiit (d ifiitum) Astfel, petru trvers orice distţă, trebuie să se copere u umăr ifiit de pucte, fpt ce e imposibil de relizt îtr-u timp fiit Aristotel icercă rezolvre poriei cosiderâd-o u prlogism (erore de rţiore fără iteţie) Zeo, presupuâd că cele ifiite u pot fi străbătute îtr-u timp fiit, el r utiliz două sesuri le coceptului de ifiit: ifiitul de compoziţie (l etremităţi), cre implică tât spţiul cât şi timpul c ifiite, şi ifiitul de diviziue Petru Aristotel, u spţiu este ifiit pri diviziue dor î poteţă şi u î ct, dică dor pri liză coceptulă, fiid coperit îtr-u timp fiit AHILE ŞI BROASCA ŢESTOASǍ Spriteul Ahile u v pride iciodtă di urmă o broscă ţestosă dcă îi dă u cât de mic vs Petru fce cest lucru, el trebuie mi îtâi să jugă l puctul di cre e porit (puctul b), dr pâă tuci, brosc ţestosă se v fi mutt mi deprte 9

13 (puctul c) Pâă câd el v coperi şi cestă distţă (b-c), brosc ţestosă se v fi mutt di ou (puctul d), şmd C şi î dihotomie, Ahile v trebui să trecă pritr-u umăr b c d ifiit de pucte petru pride brosc ţestosă di urmă cu difereţ că ici diviziue u mi este î jumătăţi egle, ci î părţi di ce î ce mi mici l ifiit, corespuzătore vitezelor reltive le lergătorilor Prdoul se costruieşte ţiâd cot de specificţiile: ) spţiul este ifiit, (ltfel Ahile juge brosc ţestosă pe o liie fiită); b) vitez mi mre u jută bsolut deloc Şi ici itervie timpul: timpul de cre re evoie Ahile este totdeu şi l dispoziţi broştei ţestose cre re îtotdeu u vs Timpul devie divizibil l ifiit De eemplu: B străbte îtr-o oră mile, A î ceeşi oră străbte milă Dcă ei sut l mile depărtre uul de ltul, B jus îtr-o oră colo ude er A l îceputul orei (b) Spţiul prcurs ître timp de A (b-c), milă, B îl v prcurge î jumătte de oră şi ş mi deprte l ifiit: A este i c, câd B este i b Rezolvre r cost î cosiderre timpului c u cotiuu şi u c o discotiuitte ître uităţi imobile: î mişcre, eistă u itervl de timp (-d) şi u secţiot î -b; b-c; c-d SĂGEATA CARE ZBOARĂ ESTE ÎN REPAUS, petru că e se flă permet îtr-u spţiu egl ei îsşi, egl cu propri s mărime; şi î orice momet, î orice cum l zborului său, e este emişctă Prdoul este rezulttul doptării tezei că: dcă spţiul este frgmett, divizt îtr-o ifiitte de pucte, ir timpul este şi el o jutpuere de momete, deci o discotiuitte de momete, tuci zborul săgeţii u este decât o succesiue de opriri Acelşi Aristotel îi răspude lui Zeo, că ş cum lii (spţiul) u este lcătuită di pucte lăturte, ici timpul u este o lăturre de momete, ci este o cotiuitte cre dureză *** Scopul lui Zeo u er să ege mişcre, petru că este c şi cum i îcerc să egi că eistă elefţi, c să-l prfrzăm pe Hegel Î cest ses, Diogee di Siope, ciicul, îl combăte stfel pe Zeo: fără ici o vorbă el se ridic şi se plimb îcoce şi îcolo, rătâd că mişcre este relă Argumetele sle u vut u dublu efect: pe de o prte, ele u demostrt u cotiuum, (spţiu şi timp) u pote fi compus, cee ce implică uităţi discotiui, dică divizibilitte l ifiit Spţiul u este o îsumre de pucte, timpul u este o jutpuere succesivă de momete Pe de ltă prte, deschis drumul lizei mişcării, le cărei rticulţii sut et diferite de compoetele spţiului: u corp î mişcre u ocupă u loc î spţiu, ci este ecoteit î curs de trecere ditr-o prte î lt spţiului Şi u î ultimul râd, deschis drumul gâdirii critice: poriile lui Zeo tiomiile rţiuii l Immuel Kt prdoele metlogicii lui Bertrd Russel şi Whitehed (prdoul mulţimilor) NOTE: P Tery, POUR L HISTOIRE DE LA SCIENCE HELLENE, Editios Alco, Pris, 887, pg 8 pud A Joj, Logos şi Ethos, pg 8 BIBLIOGRAFIE: Athse Joj, LOGOS SI ETHOS, Editur Politic, Bucureşti, 967 Hegel, PRELEGERI DE ISTORIE A FILOSOFIEI, Editur Acdemiei Româe, Bucureşti, 96 ) PROFESOR DOCTOR ÎN FILOSOFIE, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU

14 VIAŢA MATEMATICĂ ZONALĂ Acestă rubrică coţie î cest umăr iformţii despre: o cocursul MICII MATEMATICIENI, ediţi VII- di 8 prilie ; o olimpid de mtemtică, ETAPA LOCALĂ di 6 februrie ; o subiecte dte l TESTAREA ELEVILOR de cls IV î vedere îscrierii î cls V ; o ctivităţi le cercului de mtemticǎ CLUBUL MATEMATIENILOR î ul şcolr -; o cocursul de creţie CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ- CONCURSUL MICII MATEMATICIENI EDIŢIA A VII-A, 8 APRILIE Î ziu de 8 prilie, s- desfǎşurt l Hârlǎu VII- ediţie cocursului MICII MATEMATICIENI, orgizt de COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU î prteerit cu INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN, IAŞI şi Asociţi RECREAŢII MATEMATICE, IAŞI Ne fce deosebit plăcere să meţioăm prezeţ domului PROF DR TEMISTOCLE BÂRSAN, UNIVERSITATEA GHEORGHE ASACHI, IAŞI, îdrumător ctiv petru multe geerţii de studeţi Orgiztorii cu sprijiul sposorilor u oferit premii î bi şi diplome tuturor câştigǎtorilor cocursului Este o dtorie de oore sǎ mulţumesc pe cestǎ cle sposorilor celei de VII- ediţii cocursului MICII MATEMATICIENI : ASOCIAŢIA PĂRINŢILOR ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU; PRIMĂRIA ORAŞULUI HÂRLĂU; SC COTNARI SA ; COPY CENTER HÂRLĂU; CMI DR STELA TATIANA NEICU; RESTAURANT ŢĂPUŞĂ; şi cotăm î cotiure de sprijiul lor Pri prticipre 7 elevi di cel puţi de uităţi şcolre di judeţ, se pote spue că m îcheit cu u rel succes VII- ediţie cocursului Aşteptăm cu iteres profesorii şi îvăţătorii cre doresc să se implice î bu orgizre ediţiei VIII-, di 7 prilie şi să e cotcteze Vă mulţumim ticipt petru prticipre NR CRT Prezetǎm î cotiure list premiţilor şi subiectele propuse spre rezolvre REZULTATELE CONCURSULUI MICII MATEMATICIENI, EDIŢIA A VII-A, NUME ŞI PRENUME HÂRLĂU, 8 APRILIE PROFESORUL CLASEI PREMIUL CL ŞCOALA DE PROVENIENŢĂ PUNCTAJ III ENEA VICTOR ROBERT ŞC I CREANGĂ, TG FRUMOS MITITELU CRISTINA 59 I III PURCEL IOANA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU DÎRVARIU MARIANA 9 II III ASOFIEI ANDREI ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU DÎRVARIU MARIANA 8,5 III III CREŢU COSMINA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU RUGINĂ TEREZA 7 M 5 III MAXIM ŞTEFAN ŞC MAXUT, HÂRLĂU NISTOR NICOELTA,5 M 6 III LUNGU RĂZVAN ŞC MAXUT, PAŞCANI NISTOR NICOLETA M 7 III NĂSTASĂ DARIUS ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU AGAFIŢEI GABRIELA M 8 III CRACANĂ ANDRA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU RUGINĂ TEREZA,5 M 9 III METELEŢ CORINA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU DÎRVARIU MARIANA M III HRITCU ALEXANDRA ŞC MAXUT, HÂRLĂU NISTOR NICOLETA 8,5 M III IFTIM TUDOR ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU DÎRVARIU MARIANA 8 M III HRISCU IOANA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU RUGINĂ TEREZA 7,5 M

15 III ROIU LAVINIA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU AGAFIŢEI GABRIELA 7 M III CIOBANU ŞTEFAN ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU RUGINĂ TEREZA 6 M 5 IV ABABEI MĂDĂLINA ŞC NR 7, BOTOŞANI ORĂŞANU DANIELA 6 I 6 IV IFTIME BOGDAN LIC EC N IORGA, PAŞCANI ŞORODOC S/ARSENI L 58,5 II 7 IV TRIŞCĂ VICTOR CEZAR ŞC NR 7 O BĂNCILĂ, BOTOŞANI DONASĂ ELENA 58,5 II 8 IV BREŞUG ALEXANDRU ANDREI LIC ŞTEFAN LUCHIAN MUSTAŢĂ LENUŢA 57,5 III 9 IV VÎNTUR ANTONIA LT M COSTIN, PAŞCANI GHEORGHINCĂ ZENOVIA 57 M IV GHEORGHIAN VIVIANA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU TEODORESCU VASILICA 55 M IV LEAGĂN DAN ADRIAN ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU ONOFREI GABRIELA 55 M IV CÎRLAN DARIA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU TEODORESCU VASILICA 5 M IV NECHITA BIANCA ŞC NR 7, BOTOŞANI ORĂŞANU DANIELA 9 M IV SCUTARIU IOANA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU TEODORESCU VASILICA 7,5 M 5 IV CIUBUC TEODOR ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU NICULESCU CARMEN M 6 IV MELINTE DENISA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU TEODORESCU VASILICA 7 M 7 IV CASIAN DELIA LIC M COSTIN, PAŞCANI GHEORGHINCĂ ZENOVIA 6 M 8 IV LEAGĂN IASMINA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU ONOFREI GABRIELA 5 M 9 IV DÎRVARIU DARIA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU NICULESCU CARMEN M IV GHEMIŞ DARIUS ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU ONOFREI GABRIELA,5 M IV NISTOR ALIN LIC EC N IORGA, PAŞCANI ŞORODOC S/ARSENI L,5 M IV COTIUGĂ IONELA ŞCOALA STICLĂRIA LUTIC ELENA,5 M IV CURECHERIU TEODOR ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU ONOFREI GABRIELA M IV BERNAT DIANA ŞC NR 7 O BĂNCILĂ, BOTOŞANI ORĂŞANU DANIELA M 5 IV ZAMFIR DENIS GABRIEL ŞCOALA ZAGAVIA BÎRSAN CARMEN 9,5 M 6 IV ANUŞCA ILINCA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU TEODORESCU VASILICA 9 M 7 IV BÎRZU CĂTĂLINA LT M COSTIN, PAŞCANI GHEORGHINCĂ ZENOVIA 9 M 8 IV VORNICU IULIAN ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU MORARIU MIMI 9 M 9 IV BOIANU BIANCA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU TEODORESCU VASILICA 7 M IV IVANOV DIANA ŞC I CREANGĂ, TG FRUMOS TIMOFTE MARIA 7 M IV SUMANARIU CAROLINA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU MILER LAURA 6,5 M IV AMOŞIESEI DENISA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU ONOFREI GABRIELA 6 M IV LUPU RAREŞ LIC EC N IORGA PAŞCANI ŞORODOC S/ARSENI L 5,5 M IV TENCHIU CASIANA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU TEODORESCU VASILICA 5,5 M 5 IV DOLHASCAN ŞTEFAN ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU ONOFREI GABRIELA 5 M 6 V IOSUB OVIDIU MARIAN ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU RĂUŢU IOAN 5 I 7 V IVAN ALIN C N M SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 7 II 8 V ONOFREI TUDOR CRISTIAN ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU RĂUŢU IOAN 6 III 9 V TENCHIU TEODOSIA ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU RĂUŢU IOAN M 5 V MOCANU ALEXANDRU ŞCOALA NR 7, BOTOŞANI CLIPA DANIELA M 5 V MUSTEAŢĂ ROBERT ANDREI C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU NEICU AUREL 8 M 5 V CĂRĂUŞU BIANCA C N C NEGRUZZI, IAŞI ZANOVSCHI ADRIANA 6,5 M 5 V LUPU CEZAR C N M SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 5 M 5 V VASILIU VLADIMIR ŞC I CANTACUZINO, PAŞCANI CONTU VALENTIN 5 M 55 V OLARU ANDREEA L T I NECULCE, TG FRUMOS DOCA LAURENŢA M 56 V PETCU STELIAN C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU NEICU AUREL 7 M 57 V BOSTAN MIRUNA ŞTEFANIA ŞC I CANTACUZINO, PAŞCANI CONTU VALENTIN 6 M 58 V VICOL ŞTEFAN C N ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU NEICU AUREL 6 M 59 V PRICOP ANA L T I NECULCE, TG FRUMOS DOCA LAURENȚA M 6 V GRĂDINARU LAURA GEORGIANA ŞC G IBRĂILEANU, TG FRUMOS GOŞMAN NICU 7 M 6 V MERTIC LUCIA C N M SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 7 M 6 V DELEANU RADU C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU NEICU AUREL 6 M 6 V VIZITIU TUDOR ŞCOALA NR 7, BOTOŞANI CLIPA DANIELA 6 M 6 V GLODOREANU EMILIAN ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU RĂUŢU IOAN M 65 VI CORNEI LAURA C TEH UNIREA, PAŞCANI ANTON ADRIANA 6 I 66 VI BUZATU ANDREEA C N M SADOVEANU, PAŞCANI MARCOVSCHI IONICA 9 II 67 VI CĂLIN CONSTANTIN C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 5,5 III 68 VI COJOCARU COSMIN ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU CIOBANU PETRONELA 5,5 M 69 VI VORNICU DENISA L T I NECULCE, TG FRUMOS TURNEA MIHAELA M 7 VI COTIUGĂ ILIE IULIAN C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 8,5 M

16 7 VI LOGHIN ANDREI FLORIN C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 8,5 M 7 VI CRĂCIUN LORENA C N M SADOVEANU, PAŞCANI MARCOVSCHI IONICA 7,5 M 7 VI VĂLEANU MARA IASMINA L T I NECULCE, TG FRUMOS TURNEA MIHAELA M 7 VI PUHĂ ALEXANDRU C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN M 75 VI PAVĂL MARIA MAGDALENA C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN,5 M 76 VI GRIGORIU DIANA C TEH UNIREA, PAŞCANI ANTON ADRIANA 8 M 77 VI SURUNIUC CONSTANTIN C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 8 M 78 VI BUTUNOI BOGDAN ŞC P RAREŞ, HÂRLĂU CIOBANU PETRONELA 6,5 M 79 VI BLAGA ALEXANDRA GR ŞC VM CRAIU, BELCEŞTI PÎŢÎLIGĂ GHEORGHE 6 M 8 VI IONIŢĂ LUIZA L T I NECULCE, TG FRUMOS TURNEA MIHAELA,5 M 8 VII GRIGORIU MARIA C N M SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 6,5 I 8 VII POPESCU FLAVIUS C N M SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 5 II 8 VII CUCUIET SILVIU ŞC NR 7, BOTOŞANI CLIPA DANIELA III 8 VII ICHIM TEODORA C N M SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA,5 M 85 VII PINTILIE SABIN C N M SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 6 M 86 VII MATEI ALIN C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU OANCEA GHEORGHE M 87 VII CIUBUC REMUS C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU OANCEA GHEORGHE M 88 VII NECULAU SILVIU C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU OANCEA GHEORGHE 5,5 M 89 VII PLETAN MARIA C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU OANCEA GHEORGHE 5,5 M 9 VII POSTOLACHE MARIA C N M SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA,5 M 9 VIII MURARIU MARIA C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 5,5 I 9 VIII BOBÎRNĂ PETRU COSTIN C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 6 II 9 VIII TROFIN ALEXANDRU GABRIEL C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 6 III 9 VIII MUNTEANU ALIN MIHĂIŢĂ C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 5 M 95 VIII NICU IULIAN ANDREI C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN,5 M 96 VIII PORUŞNIUC IULIANA BIANCA C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN M 97 VIII LĂCĂTUŞ ALEXANDRA C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN,5 M 98 VIII RUGINĂ RAREŞ TEODOR C N ŞT CEL MARE, HÎRLĂU SĂCĂLEANU IOAN,5 M SUBIECTELE CONCURSULUI MICII MATEMATICIENI EDIŢIA A VII-A, 8 APRILIE SOLUŢII BAREME DE CORECTARE CLASA A III-A: ENUNŢURI SUBIECTUL I ( PUNCTE): (p) Să se fle umărul cre dut cu cel mi mic umăr pr de două cifre diferite, e v d c : 5 5 :: 5 rezultt epresi: (5p) Determiţi cifrele şi y di: ( y ) + 8 : 6 5 6= (5p) Se du eglităţile: = 5:, b= 5+ Pueţi prteze stfel îcât să obţieţi = b SUBIECTUL II ( PUNCTE): (5p) Ştiid că ditre 6 umere cosecutive l treile este 75, tuci l şsele este Aflţi (5p) Mri citit jumătte ditr-o poveste şi jumătte di ltă poveste, î totl pgii Câte pgii re crte dcă celellte poveşti rămse ecitite u împreuă 78 de pgii? SUBIECTUL III ( PUNCTE): (5p) Îtr-o cutie sut tot tâte bomboe câte sut î pugi idetice Dcă î două semee cutii şi î pugi sut 5 de bomboe, câte bomboe sut î cutii şi pugi (5p) Bogd trge cu rcul către u măuchi de cici bloe El vede bloe lbe şi roşii Nimereşte de două ori şi u mi vede bloe lbe Mi imereşte o dtă şi u mi vede ici bloe roşii Câte bloe de fiecre fel eru? SUBIECTE ELABORATE/MODIFICATE/SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROF GHEORGHE OANCEA, MIRELA MUNTEANU ŞI VASILICA TEODORESCU

17 SOLUŢII BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE I Cel mi mic umăr pr de două cifre disticte este,5p Clculul epresiei dte este următorul: E= 5 ( :5 5 ) : : 5= 5 ( ) : :5= 5 ( ) : :5= 5 9 : : 5 E= 5 ::5 E= 5 :5= 9p=9p Aflre umărului căutt = =,5p ( y+ 8 ) : 6 5= 6 ( y+ 8 ) : 6= y+ 8= 7 y= 8,5p=p ;8, 8;, ;6, 6;,5p Scriere: = = = 8= 6,5p Răspus: perechile Găsire soluţiei: ( 5: ) = ( 5+ ) p şi verificre p II Numerele sut: 7, 7, 75, 76, 77, 78 dcă sut í ordie crescătore su 77, 76, 75, 7, 7, 7 Petru găsire uui umăr se cordă p, ir petru găsire celuillt p Stbilire relţiei ferete su deseul su puere ítrebărilor di plul logic de rezolvre 5p Aflre umărului de pgii l primeler două poveşti: = 88 5p Numărul de pgii l cărţii este = 66 5p III Plul logic de rezolvre problemei este următorul: Câte pugi sut í două cutii? R: = 6 pugi p Cre este umărul totl de pugi? R: 6+ = pugi p Cre umărul bomboelor ditr-o pugă? R: 5:=5 bomboe p Cre este umărul bomboelor di cutii? R: = 8 bomboe p Cre este umărul bomboelor di cutii? R: 5= 5 bomboe p Cre este umărul totl de bomboe? R: 8+ 5= 5 bomboe p Răspusul: trei bloe lbe şi două roşii p, ir justificre p : Numărul de bloe lbe şi umărul de bloe roşii trebuie să fie cel puţi egl cu, căci ltfel Mihi u r mi vede bloe, ci blo (sigulr) Dcă r fi bloe lbe, tuci vem u blo roşu, deci u bloe, u covie Pri urmre, sut bloe lbe Dcă Bogd v imeri de două ori pe cele lbe, tuci v rămâe u blo lb şi u bloe Deorece sut două bloe roşii, el imereşte uul şi rămâe u blo, deci u vede bloe roşii SUBIECTUL I ( PUNCTE): CLASA A IV-A: ENUNŢURI { } (p) Arătţi că : 5 : + :5 + : + 5:5 : + = (p) Află tote umerele turle cre împărţite l 5 du câtul egl cu triplul restului SUBIECTUL II ( PUNCTE): (6p) Îtr-u vs sut de ori mi multe be decât mere L msă sut 6 persoe Fiecre măâcă o bă şi u măr, rămââd î vs de 5 ori mi multe be decât mere Câte fructe de fiecre fel eru l îceput î vs? (p) Ce zi u pote fi stăzi, dcă lltăieri u fost lui şi poimâie u pote fi sâmbătă? SUBIECTUL III ( PUNCTE): (p) Mr re îtr-u coş u umăr de uci Dă Aei jumătte di uci şi îcă două, Iriei jumăttedi cele rămse şi îcă două uci şi costtă că î coş mi sut 8 uci Câte uci u fost iiţil î coş? (8p) Se formeză şirul de umere: ;;;;; Câte cifre de re umărul de pe locul 8? SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROF IOAN SĂCĂLEANU, MARIETA MUŞEI ŞI MARIA TEREZA RUGINĂ

18 SOLUŢII BAREME DE CORECTARE I Clculul prtezelor rotude: ( ) = ( 6 ) = 5, prtezelor pătrte: [ 5:5+ ] = + = 5, [ ] 5:5 = = p Clculul + = p Clculul coldei: { 5:5+ :} = + = p Filizre: : + = + = p Codiţi restului di împărţire l 5 : r< 5 r { ;;;;} restului vlorile câtului: { } umerele căutte { 6; 8;;6;} p Câtul egl cu triplul ;9;6;; p Di = 5 c+ r (teorem împărţirii cu rest), rezultă p b= m II Reprezetre grfică corespuzătore su scriere relţiilor: 6p b 6 = 5 ( m 6) Cosiderăm segmetul-prte p= m 6 Atuci m= p+ 6 şi b= 5 p+ 6 Obţiem 5 p+ 6= p+, de ude 5 p= p+ 8, dică p= 8 p Numărul iiţil de mere este m= 8+ 6= p, ir umărul iiţil de be este b= = 96 p Di ipotez lltăieri u fost LUNI, deducem că ieri u fost MARŢI, ir stăzi u fost MIERCURI Di ipotez poimâie u fost SÂMBĂTĂ rezultă că mâie u fost VINERI, ir stăzi u fost JOI Găsire celor două zile: miercuri şi joi p=p III Jumătte di l doile rest este 8+ = ucip Prim jumătte este eglă cu = uci p Jumătte di umărul totl de uci este + = p Numărul totl de uci este egl cu = p Se observă că umărul de pe locul = re cifre de, umărul de pe locul = re cifre de, umărul de pe locul 6= re cifre de,, umărul de pe locul 8= re 5 cifre de PUNCTAJ ACORDAT: SESIZAREA REGULII DE FORMARE A ŞIRULUI P, IAR PENTRU CALCULUL NUMĂRULUI DE CIFRE DE DIN NUMĂRUL AL 8-LEA P CLASA A V-A: ENUNŢURI SUBIECTUL I ( PUNCTE): A 5 (5p) Cre di umerele: = ( ) şi B 5 9 ( y ) ude verifică y ( y 8) 5 = este mi mre, + = +, ir y este umărul turl cre fce frcţi y 7 echiuitră? y+ (5p) Putem lege 5 umere di A {,, } SUBIECTUL II ( PUNCTE): = = + N stfel îcât sum lor să fie? + b c bc=, (p) Ştiid că sut verificte simult eglităţile: b c (p) Fie umărul turl + = Comprţi umerele, b, c = Aflţi restul împărţirii umărului l 5 deori 999 c= şi SUBIECTUL III ( PUNCTE): U împărt ve u cufăr cu 9 m, m N brăţări pe cre vrut să le împrtă î mod egl celor fiice, dou zi dimieţă Fiic ce mică, trezâdu-se prim, lut o treime di brăţările di cufăr Ce mijlocie, crezâd că este prim, lut şi e o treime di ce rămăsese, ir ce mre, mi somorosă, lut o treime di rest Cum s-u împărţit cele 8 brăţări rămse? SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROF OANA FELICIA ALEXE, MIRCEA POPA TODIRENCHI ŞI MACOVEI CRISTINA

19 SOLUŢII BAREME DE CORECTARE I Di frcţie echiuitră: y 7= y+ y= 9 p Di ( + ) 9 Clculul sumei B + 9= 9+ 8 = p = = = 57 9= 65 p, ir ( + 8) sumei: A= = = = 68 p Deci, A> B p Observţi că elemetele mulţimii A sut umere imprep Deorece sum 5 umere impre este u umăr impr, rezultă că u pote fi sum 5 elemete di A, căci r fi impr p + b c + b = ( b)( c) c N c ;; p II + = p Cum { } Dcă = + b =, fls p Dcă c= = c= b= = = p Dcă fls p Pri urmre, c< = b p de ori 999 c= + b= p, ir = p Sum cifrelor lui este Rezultă că 9 divide p deori form 5k p Cum b=, de ude = =, = 6 = 9 8 p este divizibil cu 9 şi 5, deci cu 5 şi este de = + p, rezultă că ( k ) = p Di uicitte teoremei împărţirii cu rest, rezultă că restul ímpărţirii lui l 5 este 9 p III Ft mică re 9 m : = m brăţări p Rămâ 9m m= 6m brăţări p Ft mijlocie i 6 m := m brăţări p Rămâ 6m m= m brăţări p Ft mre i brăţări p Rămâ m m 8m m = p Dr 8 m = 8 m= p Î cufăr sut 9m= 7 brăţări Petru ídeplii doriţ ttălui, cele 8 brăţări rămse se vor ímpărţi stfel: ft ce mică v primi 9 m=, ft ce mijlocie 9 m= brăţări, ir ce mre v primi m 9 = 5 brăţări p CLASA A VI-A: ENUNŢURI SUBIECTUL I ( PUNCTE): b bc c (p) Arătţi că, dcă frcţiile ; ; sut echivlete, tuci 7 divide bc Justificţi! c b (p) Numărul b este pătrt perfect Să se rte că, dcă + b este umăr prim, tuci + b este umăr prim SUBIECTUL II ( PUNCTE): (p) Îtr-o dumiică, buic fce clătite petru epoţi: % ditre clătite cu gem, ir restul cu ciocoltă Î dumiic următore, buic fce cu % mi multe clătite cu gem şi cu 5% mi puţie clătite cu ciocoltă Î cre ditre dumiici făcut buic mi multe clătite? (8p) Arătţi că umărul A= este divizibil cu, ( ) N 6

20 SUBIECTUL III ( PUNCTE): Se costruiesc î celşi ses, opt ughiuri, stfel îcât: m( A OA) = ; m( AOA ) = ; m( AOA ) = ;; m( A7OA 8) = 8 şi A A8 ) (5p) Aflţi măsur lor ştiid că sut eprimte pri umere turle b) (5p) Dcă OM este semidrept opusă lui OA, rătţi că OM este bisectore A5 OA6 c) (5p) Arătţi că AO OA5 d) (5p) Arătţi că puctele A, O, A 6, respectiv A, O, A7 sut coliire SOLUŢII BAREME DE CORECTARE I Di b= + b, bc= b+ c, c c SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROF AUREL NEICU, PETRONELA CIOBANU ŞI DANA PAVEL = +, rezultă că b bc c ( b c) + + = + + p b bc c b+ bc+ c Avem = = = = p Rezultă că b= c b= cc = b= c p Pri c b + b+ c urmre, bc= c = 7 c, de ude 7 divide bc p Di b 99 b 6;5;6;9;6;8 p Di + b şi di b pătrt perfect, rezultă că { } umăr prim şi + b { 7;9;;}, deducem că b { 6;5;9} p b { 7; 9;97} + Obţiem că + b este umăr prim p II Notăm cu N umărul totl de clătite di prim dumiică p Î prim dumiică, buic făcut clătite cu gem p şi 6 clătite cu ciocoltă p Î dou dumiică, buic făcut + = clătite cu gem p şi = clătite cu ciocoltă p, 57 í totl, vem + = p Cum < răspusul: dou dumiică p Clculul cu puteri : A= = p A= = p Deducem că A este divizibil cu p III ) Relizre figurii corecte p Di A A8, rezultă 8 ughiuri î jurul uui puct, de ude m( AOA ) + m( AOA ) + + m( A7OA 8) = m( AOA 8) = 6 ( + 8) 8: = 6 = p Filizre p p = 6 m A OA = m A OA + m AOA + + m A OA = = 6 5: = 5 p b) ( 5) ( ) ( ) ( 5) m( A ) OM = 8 m AOA 5 + m A5OM = 8 m A5OM = 8 5 = m( MOA ) = m( A OA ) m( A OM) = A OM MOA OM p p [ bisectore p c) 5 6 m A OA = m A OA + m A OA = + 5 = 9 A O OA 5p d) ( ) ( = + + ) = + + = ( ) ( ) m A OA m A OA m AOA m A OA m A OA = m A OA + m A OA + m A OA = = A, O, A coliire p A, O, A coliire p 7

21 CLASA A VII-A: ENUNŢURI SUBIECTUL I ( PUNCTE): (8p) Determiţi umărul turl y petru cre =, y y î sistemul zeciml (p) Arătţi că umărul SUBIECTUL II ( PUNCTE): = (6p) Arătţi că: este turl (p) Determiţi umărul turl eul stfel îcât = SUBIECTUL III ( PUNCTE): Fie u pătrt ABCD cu cetrul O Cosiderăm E simetricul lui A fţă de D şi F ( CD) CF = DO Drept EF itersecteză digol [ BD ] î M şi ltur [ ] SOLUŢII BAREME DE CORECTARE I stfel îcât AB î N Să se rte AN=DM SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROF IOAN SĂCĂLEANU ŞI BOGDAN DORNEANU y = p = y p y Q p y Đ pătrtp y= 5p y y = + 7+ II + + = + = p = ( + )( + ) p = = = N p 6p Avem: = = 7p = ot III Figur şi AE= AD= l p; + + = + p= = p = p DB l l CF = DO= = p DF = DC FC= p Avem AN = DF = l( ) (teorem liiei mijlocie) 5p Avem BN AB AN l( ) l DF+ BN = p Di de ude DM l( ) = = p TfA DM FD DM DF DF AB DMF BMN = p = p, BM BN BD DF+ BN = p Pri urmre, vem AN = DM p 8

22 CLASA A VIII-A: ENUNŢURI SUBIECTUL I ( PUNCTE): 5 5+ Fie umerele = şi b= ) (5p) Verificţi dcă + + = b b b b) (5p) Să se rte că + b, N (p) Moş Crăciu împrte, î mod egl, 5 bomboe celor + elevi i uei clse N Clculţi câte bomboe primit fiecre elev * SUBIECTUL II ( PUNCTE): (7p) Demostrţi eglitte ( ) ( y ) ( y) ( y ) (6p) Să se demostreze că = , R (7p) Determiţi, y [,] cre verifică eglitte: + y+ + y + + y= SUBIECTUL III ( PUNCTE): (p) Îtr-o pirmidă triughiulră regultă umerele cre eprimă ri lterlă şi volumul sut egle Demostrţi că h = l (p) Se cosideră tetredrul ABCD î cre AD BC SOLUŢII BAREME DE CORECTARE I ) ( b) + b + + = b + + bp b= p b + b= 5 p b ( b) b 9l, ude h, l reprezită îălţime, respectiv ltur bzei 8 şi [ AB] [ AC] Arătţi că ADB ADC SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROF MIHAELA ŢURNEA, RAMONA DARIE ŞI IULIANA BLANARIU b + + b + = + + b b = ( b ) = = + b p + = + = p b) ( ) + p ( ) ( A) p b= N p b= N p + + b= N p + Đ + 5 p + ;5; 5 + = 5 b= (umărul de bomboe primte de fiecre elev) p { } II Membrul stâg devie= + + y + y+ + 8 y= + y y+ y+ p, ir membrul drept: Dcă p = + y + y + y+ 9= + y y+ y+ +filizre p A =, tuci: ( + ) + p Di, y [ ;] + y p Di b), eglitte ( y ) 9 ( y) + = + p + y p, de ude + y= p y = p Deci, = y= p l p Ab h l h l p l h l h III Avem: A l = p şi V = = p Di = p = p 8 l l Di p = h + b p h l 6 8 9l = p h 9l = p h = p l 8 Fie AS BC şi cum AB AC BS SC T = = p Di BC AD, BC AS BC ( ASD) 9

23 DS BC p DS mediă şi íălţime í BDC BDC isoscel DB= DC p LLL Deorece AB= AC, BD= DC, AD= AD ABD ACD p ADB ADC p OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASELE IX-XII, HÎRLĂU, 6 FEBRUARIE SUBIECTE SOLUŢII ŞI BAREME DE CORECTARE ORIENTATIVE CLASA A IX-A PROBLEMA Fie umerele = + ( ) şi determie mulţime A Q, ude A {, b, b} = b= Să se m p+ PROBLEMA Pri scriere m íţelegem umărul, vâd p şi p R Fie p p, b R + Ştiid că rădăci pătrtă di produsul umerelor rele şi b b este umărul, b să se rte că b ; 8 b PROBLEMA Fie prlelogrmul ABCD şi puctele M, N stfel ícât AM = AD şi BN = BM b c cu, b, c R Arătţi că puctele A, N, C sut coliire dcă şi umi dcă + b= c PROBLEMA ) (p) Notăm cu O şi H, cetrul cercului circumscris, respective ortocetrul triughiului ABC Demostrţi relţi vectorilă: OA+ OB+ OC= OH b) (p) Fie ABCD u ptrulter iscriptibil Demostrţi că AC= HCH A, ude cu H A şi cu HC s- ott ortocetrele BCD, respectiv ABD SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE PROF IOAN SĂCĂLEANU SOLUŢII BAREME DE CORECTARE PROBLEMA Pe scurt: vem = = = Q (p), ir 5 b= (p) 5 Deorece utim cifrǎ lui este 8 deci lui b este 7 rezultǎ cǎ b u este pǎtrt perfect şi deci b Q (p) Cum ultim cifr lui este 9 rezultǎ cǎ ultim cifrǎ lui -b este, deci b Q Pri urmre A Q ={ 7 }(p) b + + b b+ PROBLEMA Avem = b b b + b+ b + + b + b= + b = (p) b b b Di euţ rezultă codiţiile (p) Îsumâd obţiem b (p) Dcă b b 8 = b b= =, b { ;} cotrzice + b = Pri urmre b> (p) 8 b = 8 Aplicăm ieglitte mediilor: + b b b b b (p) 8 b b b c b b PROBLEMA Avem AN = AB+ BN = AB+ BM = AB+ BA+ AM = AB+ AD= c c c c c b

24 c b Deci AN = AB+ AD () (p)" " P p + b= c şi rătăm A, N, C pucte coliire Di () c b rezultă că AN = ( AB+ AD) = AC (regul prlelogrmului) Deci AN, AC vectori coliiri c c A, N, C pucte coliire (p) " " Pp A, N, C pucte coliire şi rătăm +b=c Di A, N, C coliire ( ) R : AN = AC Îlocuim c b AN cu () obţiem AB+ AD= ( AB+ AD) c c c b c AB= AD Cum AB ; AD sut vectori ecoliiri rezultă: b = c c c = Elimiâd obţiem c= + b (p) c PROBLEMA ) Notăm cu M, mijlocul lui BC şi M lui OP OP= OM = OB+ OC (,5p) Se rtă că HBSC prlelogrm (S puctul dimetrl lui A) (p) Se deduce M mijlocul lui HS OP= OM = AH (,5p) Rezultă că AHPO prlelogrm OH = OP+ OA= OB+ OC+ OA ( p) b) Observă că O este cetrul cercurilor circumscrise BCD şi ABD (p) Scrie relţiile: OD+ OB+ OC= OH A si OA+ OB+ OD= OHC (p) OH A OH C = OC OA H C H A = AC (p) CLASA A X-A: SUBIECTE PROBLEMA ) (p) Să se rezolve ecuţi: = + b) (p) Demostrţi, pri iducţie mtemtică, devărul propoziţiei : Dcă f : f N N N o fucţie strict crescătore, tuci, PROBLEMA Gǎsiţi cel puţi 6 soluţii complee le ecuţiei : + z + z + + z + = z z z PROBLEMA Clculţi b, dcǎ: + = b b log ( b ) log b( b ) log ( b) logb log e e e ;, b>, b m m si tg m π PROBLEMA Determiţi m N petru cre re loc eglitte: = tg,, m m cos ctg SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE PROF IOAN SĂCĂLEANU SOLUŢII BAREME DE CORECTARE PROBLEMA Soluţi I: Avem : = Izolăm rdiclii şi poi, ridicăm di ou l pătrt : ( 9 ) ( 9 ) ( 9) + + = = = =, cre este soluţie îtrucât verifică codiţiile de eisteţă ecesr impuse (p) Soluţi II : ) Notăm cu = 9+ ; b= 9+ Deducem Ecuţi di euţ devie : b) Notăm cu F() propoziţi : + b + b= Rezultă : + b = 9+ + b + b+ b =, b+ b = b = = b 9+ = 9+ = soluţi căuttă (p) " p, N " Etp I- : Cum N = + 9 rezultă că p ( ) N

25 p( ) Deci F( ) este devărtă (p) Etp II- : Presupuem p( k) k Cum p este strict crescătore, rezultă că p( k+ ) > p( k) k Dr, di p( k+ ) > k deducem că p( k+ ) k+, Deci implicţi F( k) F k devărtă p k+ N şi F k+ este devărtă (p) Coform metodei iducţiei mtemtice, rezultă că propoziţi F() este devărtă, oricre r fi N PROBLEMA Se observă că z= u este soluţie ecuţiei Ţiâd sem de fptul că termeii primei prteze sut î progresie geometrică de rţie z putem trsform ecuţi stfel : 7 ( z ) z + = z + = ( z ) (p) Dcă m ve z z 7 7 z =, tuci + =, devărtă Pri urmre, orice soluţie diferită de z 7 ecuţiei z = este soluţie şi ecuţiei dte Cum ecuţi biomă re 6 soluţii diferite de şi kπ kπ ume rădăciile de ordi 7 le uităţii : ε k = cos + i si, k =,6 QED (p) 7 7 b l e l e l e b PROBLEMA Avem : + = + = b b b b l b l b l b l + l b l + l b l + l b b + = Clculǎm î prteze: l + b l b l + l b b l + l b l + l b l + l b l b l b b l + bl b bl l b + = (p) Reducem şi scotem fctor l + b l b l + l b b l + l b l + l b b b = l + l b l + bl b bl + lb comu: l ( b) l b ( b) i l b ( b) l ( b) b ( b ) = tuci l b l b = = su ( b) b( b b b b) l l + l l l = l l l = (p) Cum l b, b = = b Pri urmre b logb log = (p) m si m m m m PROBLEMA cos m π si cos si m = tg,, m cos = tg m m m cos cos si si m m m m cos si π m π Avem tg, ; Cum tg, ; rezultă că m m = si cos m m m m π cos cos si + si =, ; cărui descompuere î fctori este m m m m π π ( cos si ) ( cos + si ) =, ; (*) (p) Petru = găsim ecuţi m epoeţilă m m + = Cum f : R (, ), f ( m) = + este o fucţie strict descrescătore fiid sum două fucţii epoeţile de bze subuitre, deci ijectivă Cum f m = f = rezultă că sigur soluţie ecuţiei este m= (p) Petru m=, vem cos si, ; + = π Rezultă că re loc (*), pri urmre şi eglitte di euţ (p) m

26 CLASA A XI-A: SUBIECTE y z k q PROBLEMA Să se determie, y,z,k,q N, stfel îcât: = z y q k PROBLEMA Se cosideră mtrice A= și mulțime C( A) = { X Μ ( C ) XA= AX} X C A tuci eistă, b, c R stfel îcât X = I + ba+ ca ) Să se rte că, dcă b) Să se rte că dcă X C( A) PROBLEMA Fie ) Să se rte că și X = O tuci X = O u șir stfel îcât N > și = +, N este strict crescător și emărgiit b) Să se clculeze lim N PROBLEMA Petru N, se oteză cu e cos = lim Să se clculeze lim SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE PROF RAMONA DARIE SOLUŢII BAREME DE CORECTARE y z ( ) + y+ z y( + z) z( ) + y + z= PROBLEMA = + z y + z (p) y=, z( ) = q (p) z y z( ) + y y( + z) ( ) + y+ z + y+ z = k Pri dure ultimelor două ecuţii ( + z) = k+ q şi deci k+ q=, k,q N Dcă k =, q= tuci z= şi = su z= şi = Dcă k =, q= o cotrdicţie (p) PROBLEMA Di XA= AX X = O deci X O + bc= ; b b c X = c b = I+ b A+ c A p Di X C( A) şi b c + c= şi c + b= p = b = c = bc = b= c=, = p Dcă X = O X C( A) X = O X = O X = O p, N Di PROBLEMA ) Artă: > şi = > N = + r fi mărgiit, r rezult ( ) + + b) Criteriul Stolz-Cesro e dă: 8 X = O X = O ( ) este strict crescător Dcă coverget, dică lim N = R (fiit) și, trecâd l limită = fls, deci emărgiit și crescător lim N = (p) + lim lim lim lim Stolz + δ + + = = = + = = lim + + = lim = (p) + + ( + + ) ( + + )

27 PROBLEMA si e cos e cos lim lim lim lim = = + = + = + (p) lim lim + + lim = lim = e = e = e = (p) + CLASA A XII-A: SUBIECTE PROBLEMA Petru umǎrul rel q, defiim mulţime Gq = X = /,,, termei cosecutivi i uei progresii geometrice de rtie q } Demostrţi cǎ dure şi îmulţire mtricelor structurezǎ G q c u corp comuttiv PROBLEMA Se cosiderǎ fucţi y= f f + defiitǎ pe G ( ; ) ( ) ( y) izomorfism de grupuri b PROBLEMA ) (p) Arătţi că f : ; ;, R şi lege de compoziţie = Sǎ se determie f, ştiid cǎ f :( G; ) ( + ; ) b π b d= k+ lim k k k+ d k b) (p) Determiţi PROBLEMA Sǎ se determie fucţi de douǎ ori derivbilǎ f : (, ) f F + = f f + F f f f + F f f + f / // // / / // k=, ude F este o primitivǎ fucţiei f R este R ştiid cǎ verificǎ: SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE PROF IOAN SĂCĂLEANU SOLUŢII BAREME DE CORECTARE q PROBLEMA Dcă X Gq, tuci eistă R stfel îcât X = S = (p), ude S q q S = + q S (p) Deci, Gq = { X / X= S, R } Avem X+ Xb= S+ bs= X+ b Gq verifică, X X b Gq, dică este lege Se verifică imedit că X = O este elemet eutru şi că X este opus lui X Gq R (p) Avem X X b = X b( q q ) G ( ) X, + X b Gq, dică este lege Elemetul eutru este X Gq, ir orice X X re ivers pe X G q Cum dure + q ( + q ) mtricelor pătrtice este socitivă şi comuttivă tuci e este socitivă şi comuttivă şi pe Μ R se trsferă şi Gq Μ( R ) Asocitivitte şi distributivitte îmulţirii fţă de dure î pe G Μ R Dtorită comuttivităţii îmulţirii umerelor rele rezultă imedit comuttivitte q îmulţirii pe q G Deci, ( G ;, q ) + este corp comuttiv (p) PROBLEMA Fie e elemetul eutru l grupului ( G, ) Folosid morfismul găsim * f ( ) = f ( e) = f ( ) f ( e), R + (p) = e= f( ) f( e) + f ( ) =, G (p) Lege «*» devie y ( )( y ), = +, y G şi se verifică uşor iomele grupului

28 obţiâdu-se elemetul eutru e=+ şi = + simetricul lui oricărui di G (p), b, = t + t b, de ude PROBLEMA ) Di [ ] eistă u uic t [ ] stfel îcât = ( b )( t) şi b= ( b ) t ( )( b ) = ( b ) t( t) Petru fiecre t [,] π eistă u uic y ; stfel îcât t 5 = si y Folosid ( )( b ) = ( b ) si y ( cos y) = ( b ) si y cos y şi / si y cos y + = găsim si y b cos y = + Atuci d= si y+ b cos y dy= si y cos y b si y cos y= b si y Petru y= t=, = b ir petru π π = = = = Codiţiile de plicre metodei schimbării de y t si b vribilă fiid îdepliite rezultă că I = ( )( b ) d = π I b si y cos y si ydy (p) Folosid formul trigoometrică cosiusului ughiului dublu, obţiem că ( b ) cos si si b y b y π π π π I = ydy y = =, de ude găsim b π si π si Pri urmre b b π b d= (p) k+ I = + k+ k π π lim k k k+ d = lim lim k k = k = k= 8 k= k= π ( ) π ( ) π π = lim = lim = lim = (p) f F PROBLEMA Avem : / // / // + / / / / // =, de ude f f + F f f + f f f + F f f + f / / / / / / / / / // / f f + f f f f F f F f + F f f f F f + = Cum umitorul este pozitiv, / // / / / / / / / // f f + F f f + f f f + F f f + f b) rezultǎ cǎ obţiem: / / / / f f F f f F = / // / // / / / / // f f + F f f + f f f + F f f + f / / f f F Scotem fctorul comu şi / // / // // / = Elimiâd umitorii obţiem f + f f f + F f f f + F f f // f F f / f + F f // f f // F f / = şi poi, grupâd covebil: echivlet: // / // f ( f F) f ( f F) f ( f F) = f // ( f F) ( f / f // ) / / ( f ) f = f su / // / / / // / f = F f = F f = f f = f Avem = (p) Rezultǎ cǎ ( f ) / / / = l = Atuci / f / / k eistǎ k R stfel îcât l f = + k f ( ) = e + Atuci eistǎ p R : Cum lim f ( ) = p şi cum f este crescǎtore rezultǎ cǎ Im f ( p; ) ( ; ) p tote fucţiile f : R (, ), + k f e p + k f e p = + (p) = Pri urmre = + cu p verificǎ codiţiile di euţ (p)

29 TESTAREA ABSOLVENŢILOR DE CLASA A IV-A ÎN VEDEREA ÎNSCRIERII ÎN CLASA A V-A VARIANTA NR, 9 MAI = + : + SUBIECTUL I ( PUNCTE): Fie ; 5: ( 8: 67) c= 8 : : :5 Clculţi: + 5 b c SUBIECTUL II ( PUNCTE): Aflţi vlore lui di eglităţile: ) ( : ) = ; b) 6 : + 96 : : = 6 b= + + ; SUBIECTUL III (8 PUNCTE): Sum trei umere turl este Dcă împărţim primul umăr l cel de-l doile, obţiem câtul şi restul 8, ir dcă împărţim l doile umăr l cel de-l treile, obţiem câtul şi restul Cre sut cele trei umere? SUBIECTUL IV ( PUNCTE): Î fmili lui Mihi Georgescu, uul ditre colegii epotei mele di cls II-, re frţi, ăscuţi fiecre l u itervl de ect i Hori, cel mi mre ditre frţi, re 7 i Cum se umeşte meziul fmiliei? Justificţi VARIANTA NR, 9 MAI SUBIECTUL I ( PUNCTE): Aflţi sum şi difereţ umerelor şi b, ude: = ( 6 :8 + :+ : 6 ) : 5 7 şi b= 8: ( ) + ( 7 :8 5 : 5) + 6 : 9 :( ) SUBIECTUL II ( PUNCTE): Să se determie o treime di umărul turl, ude se 8 : 7 = : : 8 clculeză di eglitte: SUBIECTUL III (7 PUNCTE): L u mgzi, A dt petru o păpuşă, o crte şi o mige, o bcotă de lei şi primit rest lei Păpuş costă cât cărţi, ir crte cât migi Cre este preţul fiecărui produs? SUBIECTUL IV ( PUNCTE): Determiţi umărul turl y di eglitte: ( y ) + 8 : + 6 y : = 5 VARIANTA NR, 9 MAI SUBIECTUL I ( PUNCTE): Să se fle difereţ ditre jumătte lui b şi dublul lui, ude: = ( + + ) : ( + + ) : şi b= ( 8 78 ) : 5 + ( ) : + 6 SUBIECTUL II ( PUNCTE): ) Clculţi vlore lui m di eglitte: 5 m ( : 5) ( 9 9) = ) Determiţi umerele turl, b, c, d ştiid că: + b= 5 ; b+ c= 6 ; c+ d = 7 şi + b+ c= 6 SUBIECTUL III (8 PUNCTE): Ttăl re 5 de i, ir fiul său este cu i mi mre decât fiic Î urmă cu i, vârst ttălui er eglă cu dublul vârstelor copiilor săi ) Ce vârstă u copiii î preset? b) Î urmă cu câţi i vârst fiicei er jumătte di vârst fiului? SUBIECTUL IV ( PUNCTE): ) 5 copii măâcă 5 îgheţte î 5 miute Câţi copii vor mâc îgheţte î 5 miute? ) Rezolvţi eerciţiul: 5 : + 8 Folosiţi prteze î eerciţiul de mi sus petru obţie, pe râd, rezulttele şi poi, SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: IOAN SĂCĂLEANU, AUREL NEICU, GHEORGHE OANCEA ŞI RAMONA DARIE

30 CLUBUL MICILOR MATEMATICIENI Vom prezet ctivitte cercului CLUBUL MICILOR MATEMATICIENI şi rezulttele obţiute de uii membri i cercului î ul şcolr -, ctivitte desfăşurtă pe următorele coordote de referiţă: PREGĂTIREA CONCURSURILOR ŞCOLARE PRIN REZOLVAREA PROBLEMELOR PROPUSE ÎN DIVERSE REVISTE Astfel, uii membri i cercului u părut l RUBRICA REZOLVITORILOR î revistele : GAZETA MATEMATICĂ, BUCUREŞTI CLASA A V-A(PROF ÎNDRUMĂTOR AUREL NEICU): Musteţă Robert Adrei (5) ; Deleu Rdu () ; Vicol Ştef (6) ; Petcu Steli () ; Morru Edurd () ; Florişteu Bic () ; Bezedică Robert (5) ; Pvăl Mihi (5) şi Mticiuc Cosmi (5) CLASA A VI-A(PROF ÎNDRUMĂTOR IOAN SĂCĂLEANU): Bârzu Atoi Aledr (8); Căli Costti (8) ; Ciobu Lur Mri (8); Loghi Adrei Flori (8); Muteu Cludi (8) şi Petrş Iold (8) REVISTA DE MATEMATICĂ ALPHA, CRAIOVA CLASA A VI-A(PROF ÎNDRUMĂTOR IOAN SĂCĂLEANU): Ciobu Lur Mri (p); Loghi Adrei Flori (p); Hbdule Georgi (9p); Muteu Cludi (8p) ; Petrş Iold (8p); Buzămurgă Rluc Georgi (8p); Pvăl Mri Mgdle (8p); Luchi Amli Adree (7p); Aştefăesei Diel (7p); Căli Costti (7p) ; Bârzu Atoi Aledr (7p); Huţu Deis (7p); Formgiu Aisi Mihel (7p); Hbdule Gbriel (7p); Puhă Aledru (7p); Aursulesei Lur Io (7p); Lugu Mri Di (8p); Cotăreu Mri (7p) şi Urs Otiel Edurd (7p) DEZVOLTAREA POTENŢIALULUI CREATIV PRIN CREAREA DE NOI PROBLEME Cocursul de creţie mtemtică CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ- oferă posibilitte elevilor de -şi dezvolt poteţilul cretiv şi de propue probleme origile Elev ANDREEA CĂTĂLINA LOGHIN, cls VIII- obţiut o M REZULTATE OBŢINUTE LA CONCURSURI (PREMII ŞI MENŢIUNI) Prticipre membrilor cercului şi rezulttele obţiute l următorele cocursuri : CONCURSUL ŞCOLAR NAŢIONAL DE COMPETENŢĂ ŞI PERFORMANŢĂ COMPER CLASA A V-A (metor Aurel Neicu ) şi CLASELE A VI-A ŞI A VIII-A (metor Io Săcăleu) CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ APLICATĂ SPERANŢE OLIMPICE Pşci, oiembrie CLASA A V-A (prof îdrumător Aurel Neicu ) Musteţă Robert (M) CONCURSUL INTERDISCIPLINAR MATEMATICĂ-FIZICĂ-ŞTIINŢE HENRI COANDĂ CLASA A VI-A (prof îdrumǎtori: Ac Mri Bobîrǎ şi Io Sǎcǎleu): Puhǎ Aledru (M) şi Cǎli Costti (M) CONCURSUL INTERNAŢIONAL DE MATEMATICĂ ÎN LIMBA FRANCEZĂ MATHÉMATIQUES SANS FRONTIÈRES orgizt de Acdemie de Strsburg, decembrie -mrtie CLASA A IX-A (A îdrumǎtori: Io Sǎcǎleu, Iri Drume): PREMIUL AL III-LEA Au mi prticipt CLASA A V-A (îdrumător Aurel Neicu ) şi CLASA A VI-A (îdrumător Io Săcăleu) OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA JUDEŢEANĂ Işi, mrtie CLASA A V-A (prof îdrumǎtor Aurel Neicu ): Musteṭǎ Robert (M), CLASA A VI-A (prof îdrumǎtor Io Sǎcǎleu): Cǎli Costti (M) CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI Işi, mrtie CLASA A IX-A (B îdrumǎtor Gheorghe Oce): Liu Adrei (P-jud) şi Curecheriu Ioel Aledr (P-jud) 7

31 CLASA A X-A (B îdrumǎtor Io Sǎcǎleu): Plet Deis Ele (P-jud + M-ţiolă); Gǎiǎ Petroel Bic(M-jud) ; Pitilii Ali Sîzâi(M-jud) şi Spirido Gbriel(M-jud) CLASA A XI-A (B îdrumǎtor Iuli Blriu): Pîzriu Vleriu (M-jud) şi (C îdrumǎtor Rmo Drie): Proc Mihel (P-jud) CONCURSUL JUDEŢEAN MICII MATEMATICIENI Hîrlău, 8 prilie CLASA A V-A (prof îdrumǎtor Aurel Neicu ): Musteṭǎ Robert (M), Petcu Steli (M), Vicol Ştef(M) şi Deleu Rdu (M) CLASA A VI-A (îdrumǎtor Io Sǎcǎleu): Cǎli Costti (P), Cotiugǎ Ilie Iuli (M), Loghi Adrei Flori (M), Puhǎ Aledru (M), Pvǎl Mri Mgdle (M) şi Suruiuc Costti(M) CLASA A VII-A (îdrumǎtor Gheorghe Oce): Mtei Ali (M), Ciubuc Remus (M), Neculu Silviu (M) şi Plet Adrei (M) CLASA A VIII-A (îdrumǎtor Io Sǎcǎleu): Murriu Mri (P), Bobîrǎ Costi Petru (M), Trofi Aledru (M), Muteu Ali (M), Nicu Iuli (M), Poruşiuc Iuli (M), Lǎcǎtuş Aledr (M) şi Rugiǎ Rreş Teodor (M) CONCURSUL JUDEŢEAN DE ŞTIINŢE APLICATE Işi, mi CLASA A VII-A(îdrumǎtori: Gheorghe şi Mirel Oce, Floreti Sârbu şi Tti Vtvu): Agheorghiesei Tudor(P), Pricop Adeli(P), Cozm Ro(P), Mtei Ali(M), Dolhǎscu Aledr(M), Puiu Vld(M) şi Ciubuc Remus(M) RESPONSABIL AL CATEDREI DE MATEMATICĂ, PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU *** CONCURSUL DE CREAŢIE MATEMATICĂ AL REVISTEI CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ - Au răspus ivitţiei următorii elevi: COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU SCUTARIU IOANA (cls V-): problemă; MIHĂILĂ MARIAN DAMIAN (cls V-): probleme; CÂRLAN DARIA (cls V-): probleme; BURDUJANU NARCISA (cls V-): 5 probleme ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU ONOFREI CRISTIAN TUDOR (cls VI-): probleme; TENCHIU TEODOSIA (cls VI-): problemă; PÎSLARIU ŞTEFAN (cls IV-): probleme; PURCEL IOANA (cls IV-): probleme; ROIU LAVINIA (cls IV-): problemă; MUNTEANU IULIA ANDREEA (cls III-): problemă; A fost premită elev IOANA SCUTARIU : MENŢIUNE( LEI) FELICITĂRI! Premiile se vor îmâ l festivitte de deschidere CONCURSULUI JUDEŢEAN MICII MATEMATICIENI, di 7 prilie 8

32 PROBLEME ŞI SOLUŢII Acestă rubrică coţie euţurile şi soluţiile PROBLEMELOR PROPUSE revistei MICII MATEMATICIENI, di prilie î umărul 6 l MATEMATICA PITICĂ { } P 89: Arătţi că: 5 : + :5 + : + 5 :5 : + = SOLUŢIE: Eglitte se trsformă: ÎNV RAMONA MIHAELA ADAM, ŞCOALA MIROSLAVA, IAŞI { } {[ 5 : 5+ ]:5+ : [ + ]} : = [ ] [ ] 5 : 6 + :5 + : + : = = ( A ) + :5+ : + = 5 :5+ : = P 9: Î fţ uui bloc se jocă copii Câte fete şi câţi băieţi sut l jocă dcă fiecre ftă re frţi, ir două fete sut surori ÎNV MARIETA MUŞEI, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: O soluţie r pute fi: două surori cu trei frţi şi cici băieţi fără surori O ltă soluţie r pute fi: două surori cu trei frţi, o ftă cu trei frţi şi u băit P 9: Cre sut umerele de trei cifre cosecutive cre dute cu răsturtul lor du PROF MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD SOLUŢIE: Avem: bc cb + = ( + c) + b= () + c + c Di fptul că şi b se imprt ect l, rezultă că + c se ímprte ect l, de ude + c= Îlocuid í (), obţiem: + b= b= b= Numerele şi c, cosecutive cu şi cu + c= sut şi găsim bc = şi bc= P 9: Află vlore lui di eglitte: = : + ÎNV SILVIA ŞORODOC, ŞCOALA NICOLAE IORGA, PAŞCANI SOLUŢIE: + = = 7 = 7 = 6 : = P 9: Mm cumpărt bomboe şi le ímprte copiilor săi Dcă ímprte câte trei bomboe fiecărui copil íi rămâ 8 bomboe, ir dcă ímprte câte 5 bomboe, tuci u copil rămâe fără bomboe şi ltul primeşte umi bomboe Câţi copii şi câte bomboe re mm? ÎNV MARIA CREŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm cu, umărul de bomboe şi cu, umărul de copii Se obţie: = + 8 şi ( ) = 5 +, de ude + = 5 = = 7 copii şi = 7+ 8= 9 bomboe P 9: Merele di 9 lăzi câtăresc 5 kg Cât câtăresc merele di lăzi de ceeşi mărime? PROF MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD SOLUŢIE: Merele ditr-o ldă câtăresc 5: 9= 5 kg Cele lăzi câtăresc 5= 5 kg 9

33 P 95: De- lugul grdului di fţ şcolii sut pomi Ce distţă este ítre primul şi ultimul pom, dcă ítre l doile şi l şptele pom sut metri? ÎNV MARIETA MUŞEI, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Ître l doile şi l şptele pom sut 5 distţe egle Deducem că distţ ítre doi pomi cosecutive este de : 5= m Atuci distţ cerută este de = m, deorece ítre primul şi l usprezecele pom sut distţe egle P 96: Împărţid două umere se obţiem câtul 8 şi restul Ştiid că deímpărţitul este cu 56 mi mre decât sum ditre ímpărţitor, cât şi rest, să se fle sum celor două umere PROF CONSTANŢA TUDORACHE, ŞCOALA ŞTEFAN BÂRSĂNESCU, IAŞI SOLUŢIE: Notăm umerele cerute cu şi b Di teorem ímpărţirii cu rest obţiem = 8b+ cu < b Avem: = b = b+ 556 Obţiem: b+ 556= 8b+ 7b= 55 b= şi = 778 Pri urmre, + b= P 97: O şi A u î coşuleţ fiecre u umăr de lue Numărul luelor Aei este cu 8 mi mre decât împătritul umărului luelor Oei, ir difereţ ditre îtreitul umărului luelor Oei şi sfertul umărului luelor surorii este 8 Câte lue ve fiecre fetiţă î coşuleţ? ÎNV MARIA ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI SOLUŢIE: Notăm umărul de lue l Oei cu b, ir pe cel l Aei cu Di dtele problemei se obţi relţiile: 8= b şi b : = 8 Cosiderâd segmetul-prte pe : = p, obţiem = p, de ude p= b+ 8 p= b+ Di b p= 8 b b = 8, de : ude b= b= 5lue p= 7 = 7= 68 lue P 98: Sum trei umere este 7 Dcă di fiecre se scde celşi umăr, tuci se obţie umerele, 8 şi Cre sut cele trei umere PROF MARIA BOTH, GRUP ŞCOLAR IULIU MANIU, ARAD SOLUŢIE: Notăm cu umărul cre se scde ( + ) + ( 8+ ) + ( + ) = 7 Obţiem că + 7= 7 de ude = Primul umăr este + = 5 Al II-le umăr este 8 + = 9 Al III-le umăr este + = P 99: U cocurs de teis se desfăşoră í sistem elimitoriu (cie pierde iese di cocurs) Câţi cocureţi sut, dcă petru desemre câştigătorului s-u juct meciuri? ÎNV MARIETA MUŞEI, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: L fiecre meci v- fi u cocuret elimit L cele meciuri jucte vor fi cocureţi elimiţi, dăugâdu-se şi câştigătorul obţiem u totl de cocureţi P : Mihi scrie două umere turle cu sum 5 El observă că, ueori, dcă şterge u di cifrele primului umăr îl obţie l doile umăr Cre pot fi cele două umere turle cre dute du 5? Găsiţi tote soluţiile ÎNV MARIA ILIE, PROF CORNELIU CONSTANTIN ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI SOLUŢIE: Notăm cu A şi B, cele două umere scrise de Mihi stfel ícât A> B Avem: A+ B= 5 A 5 A= bc cu = su = Nu putem ve =, căci ltfel m ve A u umăr de două cifre, ir B de o cifră, de ude 5= A+ B 99+ 9= 8, fls Deci A= bc Pri

34 ştergere uei cifre obţiem că B pote fi B= bc su B= b su B= c Di bc+ B= 5, rezultă că + bc+ B= 5 bc+ B= 5 Dcă B= bc, tuci bc+ bc= 5 bc= 5 bc= 5, de ude A= 5 şi B= 5 Dcă B= b, tuci bc+ b = 5 b+ c= b+ + = 5 b=, ir c= = 7, de ude A= 7 şi B= Dcă B= c, tuci bc+ c = 5 c+ c= c= c= 5, ir b+ + = 5 b=, de ude A= 5 şi B= 5 P : Trei prietei u plect l o pizzeri Îtrebâdu-l pe ospătr cât costă o pizz, el le răspude că costă euro şi o jumătte de pizz Cât u plătit cei trei prietei petru trei pizz de celşi fel? PROF MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: O pizz costă euro şi o jumătte de pizz Deducem că o jumătte de pizz costă euro Cum u ítreg re două jumătăţi, obţiem că o pizz costă = euro Cele trei pizz cerute de cei trei prietei costă = euro P : U copil cumpărt u pi cu u sfert di bii pe cre îi ve, ir cu jumătte di sum rămsă cumpărt o crte Câţi lei vut copilul dcă i-u răms lei? ÎNV SILVIA ŞORODOC, ŞCOALA NICOLAE IORGA, PAŞCANI SOLUŢIE: Notăm sum de bi pe cre o ve copilul cu S Alegem segmetul-prte pe S :8= p de ude S= 8 p Piul costă S : = 8 p : = p lei Sum rămsă este = 8 p p= 6 p Cu o jumătte, dică cu p cumpără crte, ir celltă jumătte este lei Rezultă p= p= Pri urmre, sum vută de copil este S= 8 = 8 lei P : Clculţi - prte di produsul trei umere turle ştiid că jumătăţile lor sut umere cosecutive căror sumă este 57 PROF IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Numerele cosecutive căror sumă este 57 sut 8, 9 şi, umere ce reprezită jumătăţile umerelor căutte Deducem că umerele dte sut 6, 8 şi A - prte produsului lor este eglă cu ( 6 8 ) : = ( 68 ) : = 57 : = 68 P : L cocursul VOCEA ROMÂNIEI u prticipt de cocureţi L prim preselecţie u plect două treimi ditre cocureţi, ir l ce de- dou preselecţie trei sferturi Aflţi câţi cocureţi u jus î semifilă ANDREEA CĂTĂLINA LOGHIN, ELEVĂ, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: După prim preselecţie u răms o treime ditre prticipţi, dică : = 8 Î semifilă, u jus u sfert ditre cei juşi í dou preselecţie, dică8 : = cocureţi P 5: Doi frţi u ímpreuă u umăr de mşiuţe Uul ditre ei re cu 8 mşiuţe mi mult Dcă le-r ímpărţi í mod egl r ve câte 5 mşiuţe Câte mşiuţe re fiecre? ÎNV MARIA CREŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

35 SOLUŢIE: Cei doi frţi u ímpreuă u umăr de 5= mşiuţe Cum difereţ ditre umărul mşiuţelor ditre cei doi frţi este 8, rezultă că u frte v ve : 8: = 5 = mşiuţe, ir celăllt : + 8: = 5+ = 9 mşiuţe P 6: Mr re îtr-u coş u umăr de uci Dă Aei jumătte di uci şi îcă două, Iriei jumătte di cele rămse şi îcă două uci şi costtă că î coş mi sut 8 uci Câte uci u fost iiţil î coş? ÎNV MARIA ILIE, PROF CORNELIU CONSTANTIN ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI SOLUŢIE: Notăm umărul iiţil l ucilor cu N (l Mrei), umărul ucilor primite de A cu A, de Iri cu I, primul rest cu R, ir pe l doile cu R Di dtele problemei A= N : + ; R = N A; I = R : + ; R = R I şi R = 8 Alegâd segmetul-prte N : = p N = p N : = p A= p+ R = p p = p R : p = +, de ude I = p+ R = p p 8= p p= Deci, N = = uci P 7: Cezr şi- propus să rezolve problemele di tem de vcţă î zile A reuşit să rezolve cu probleme mi multe pe zi, stfel termiâdu-le î dor 5 zile Câte probleme vut de rezolvt î vcţă? PROF MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm umărul de problem propuse pe zi cu p Di dtele problemei ( p ) p= 5 + p= 5 p+ 5 5 p= 5 p= 9 Răspus: 9= 8 probleme P 8: Aflţi umărul turl cre împărţit l dă restul mi mre decât 8, ir câtul este dublul treimii restului PROF IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Avem: = c+ r cu r< Cum r 8 r 9 c= r : = = 6 Pri urmre, = 6+ 9= + 9= 79 este umărul căutt > = şi P 9: Două fmilii A şi B u câte copii Despre fmili A se ştie că difereţele vârstelor copiilor sut umere cosecutive, că eistă frţi gemei şi că sum vârstelor copiilor este 8 i Despre fmili B se ştie că u eistă frţi gemei şi că sum vârstelor copiilor este i Aflţi vârstele copiilor di cele două fmilii PROF AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Fmili A vâd frţi gemei, rezultă că difereţele vârstelor copiilor sut ; ;, de ude g+ g+ g+ + g+ = 8 g+ = 8 g = : = Copiii fmiliei A u vârstele: i, i, i şi i Fmili B re copii de vârste diferite şi cum =, deducem că vârstele copiilor sut, i, i şi i P : Câte umere turle de două cifre du l ímpărţire l 8 câtul egl cu o treime di rest? PROF CORNELIU CONSTANTIN ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI SOLUŢIE: b= 8 c+ r cu r< 8 şi c= r : r= c c< 8 Di c= r= 6 b= ; di c= r= b=, ir c= r= b=, u covie Sut două stfel de umere

36 MATEMATICA GIMNAZIALĂ Cls V- 57 : Determiţi umerele de form yzt petru cre yzt+ yzt = 5657 PROF IULIANA BLANARU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm cu = yzt Atuci + + ( + ) = = 5657, de ude = 5657 = 656 = Deci, yzt= 57 : Determiţi ultim cifră eulă produsului b, ude SOLUŢIE: Putem scrie: b= 6 8 = 5 7 şi b = 7 PROF MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD = 5 7 = ( 5 ) ( 7 ) 6 6 = ( 7 ) Rezultă că umărul b se termiă cu 6 zerouri Atuci ultim cifră diferită de lui b este ultim cifră lui Avem u ( 7 ) = u( 6 9 ) = ( 5+ 6 u ) = u( 6) = 6, u ( 7 ) = u( 7 ) = u( 7 ) = 9, ( ) = u( ) = 57 : Să se scrie umărul SOLUŢIE: Se observă că u, deorece 6 c sumă de trei cuburi perfecte PROF GHEORGHE SPIRIDON, LICEUL ECONOMIC NICOLAE IORGA, PAŞCANI 6= = + 5+ şi că = 67 Succesiv, vem: = 6 6= = QED 57 : Determiţi umerele de form bc, ştiid că SOLUŢIE: Avem: b b c bc+ cb= PROF GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI + b+ c+ c+ b+ = + b+ c = Obţiem : = ( ) ( b = c) Deorece 8 şi D, rezultă că { } b = şi 9, Pri urmre, umerele sut: şi 96 b M şi cum c= Di, c şi b 9, rezultă că 575 : Buic culege merele şi le pue î cutii E costtă că dcă pue câte mere î cutie, îi rămâ mere, ir dcă pue câte 8 mere î cutie îi rămâ cutii gole Câte cutii şi câte mere ve buic? ÎNV SILVIA ŞORODOC, ŞCOALA NICOLAE IORGA, PAŞCANI SOLUŢIE: Notăm cu, umărul de mere, ir cu, umărul de cutii Euţul e coduce l relţiile: = + şi = 8 ( ) Obţiem 8 76= + 8 = + 76, de ude 8 = 88 = cutii, ir = + = mere 576 : Să se determie umărul bc ştiid că bbc bb b = 779 PROF GABRIELA POPA, ŞCOALA NR DIMITRIE A STURDZA, IAŞI

37 SOLUŢIE: Scriere í bz eglităţii di euţ, e coduce l următorele trsformări: + b+ b+ c + b+ b + b = b+ c= 779 Dcă, tuci b c , bsurd Deci, { ;} căci Petru =, vem 98 b+ c= 89 b= 9, căci ltfel m ve b 8 98b+ c , bsurd Obţiem c= 8 Petru =, vem 98 b+ c= b=, căci ltfel m ve b 98b+ c 98 98, bsurd Obţiem c= Pri urmre, umerele căutte sut 98 şi 577 : Să se compre umerele: SOLUŢIE: Avem: = 6 şi b= 97 PROF MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI = 6 < 69 = = = = 97 = b Deci, < b 578 : Determiţi restul împărţirii umărului SOLUŢIE: Notăm cu 8 = , N l 5 PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS U ultim cifră umărului Atuci U( ) { ;; ;9; 6;5} U( ) { ;;5;6} Dcă U( ) = U( ) = 7 Dcă U( ) U U( ) = 5 U( ) = Dcă U( ) 6 U( ) 7 lui U( ) l 5, dică = = Dcă = = Restul împărțirii lui l 5 este egl cu restul 579 : Fie umărul turl de form bc, literele reprezetâd cifre cosecutive Aflţi umărul ştiid că sum cifrelor este PROF MARIA BOTH, GRUP ŞCOLAR IULIU MANIU, ARAD SOLUŢIA : Dcă ordie cifrelor cosecutive este, b, c su, c, b, tuci sum lor este = = 8 = Numerele căutte sut bc {, } Dcă ordie cifrelor cosecutive este b,, c su b,, c su c,b, su c,, b tuci obţiem 8 b su c N, fls Pri urmre, umerele căutte sut bc {, } SOLUŢIA (ELEVUL HABDULEA GABRIEL): Deorece sum trei umere cosecutive este multiplu de, rezultă că + b+ c Μ Atuci + ( + b+ c) = + Μ {,5,8} Petru { 5;8}, cifrele cosecutive cre coţi pe pot fi:,, 5 su, 5, 6 su 5, 6, 7 su 6, 7, 8 su 7, 8, 9, căror sumă este 7 su su su 9 su, diferite de Deci = b+ c= = 7 Cum b şi c sut cosecutive cu, rezultă că {, } { ;} b c = ( u covie) su {, } { ;} bc covie) su { b, c } = { ;} Pri urmre, umerele căutte sut {, } 58 : Eistă umerele, b c = ( u b N stfel ícât ( 5 b ) ( 6 b ) ( 5 b) ( 6 b ) + + = +? PROF PETRU ASAFTEI, ŞCOALA NORMALĂ VASILE LUPU, PAŞCANI

38 SOLUŢIE: Se observă că 6+ b+ = ( + b) + şi b = ( b) 6 sut umere impre Deducem, di eglitte dtă, că 5 b şi 5+ b u ceeşi pritte Atuci sum lor este umăr pr, dică este umăr pr, bsurd Răspus: u eistă stfel de umere 58 : Aflţi umărul b di eglitte: b b ( b) + = + SOLUŢIE: Eglitte di euţ este 8= 9b b= Pri urmre, umerele sut:; ; 6 şi 8 PROF IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU + b+ b+ = + b + b = + b 58 : Vlăduţ re î clsă de colegi Ditre toţi, 8 elevi îdrăgesc limb româă, 9 mtemtic, ir istori Se mi ştie că elevi îdrăgesc limb româă şi mtemtic, 5 elevi limb româă şi istori, elevi mtemtic şi istori, ir elevi îdrăgesc tote cele trei disciplie Câţi elevi u îdrăgesc ici uul ditre obiectele mi sus mitite? PROF ÎNV PRIMAR MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm umărul elevilor cre ídrăgesc umi româ cu R, umi mtemtic cu M, umi istori cu I Notăm umărul elevilor cre ídrăgesc româ şi mtemtic cu, româ şi istori cu b, mtemtic şi istori cu c Scriem relţiile rezultte di euţul problemei: c+ = c= elev; b+ = 5 b= elevi; + = = 7 elevi; R+ + b+ = 8 R = 8 R= 6 elevi; M + + c+ = 9 M = 9 M = 8 elevi; I+ b+ c+ = I+ + + = I = 7 elevi Numărul totl l elevilor cre ídrăgesc cel puţi o discipliă este M + R+ I+ + b+ c+ = Cls lui Vlăduţ re + = 5 elevi Pri urmre, u elev di cls lui Vlăduţ u ídrăgeşte iciu obiect ditre cele trei 58 : Tereul de fotbl l uei şcoli, de formă dreptughiulră, este îcojurt de o pistă de tletism Dcă lugime este de ori mi mre decât lăţime tereului, perimetrul fiid egl cu 9 de metri, flţi ri tereului de fotbl şi perimetrul tereului de sport ştiid că lăţime pistei de tletism este de metri PROF BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm lugime şi lăţime tereului de fotbl cu L F şi l F, ir tereului de sport cu L S, respectiv l S Di euţ, se deduc relţiile: LS = LF +, ls = lf + şi că LF = lf şi cum ( L l ) + = 9 L + l = 5 l = 5 l = 5m, ir L = m A = L l = 5 m F F F F F F F F F F Obţiem L = 6m, l = m, de ude perimetrul tereului de sport este L + l = 57= m S S S S 58 : L u cocurs se cordă petru premiul I, 5 pucte, petru premiul l II-le pucte, ir petru l III-le, pucte Aflţi umărul de premii primite de elevii uei şcoli ştiid că u obţiut 5 de pucte şi cel puţi câte două premii di fiecre Justificţi PROF MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD SOLUŢIE: Dcă r fi obţiut umi câte două premii di fiecre şcol r fi vut 5+ + = de pucte Celellte 5 pucte pute să le obţiă ditr-u premiu I şi tuci şcol r fi vut = 7 premii ȋ totl, fie ditr-u premiu II şi u premiu III şi tuci r fi vut = 8 premii 5

39 585 : Să se scrie umărul 8 c sumă de trei pătrte PROF IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU = + + = SOLUŢIE: Avem: 8 8 ( ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) 586 : Sum de lei este împărţită mi multor copii Aflţi cel mi mic umăr de copii l cre pote fi împărţită sum ştiid că fiecre copil primeşte o sumă de bi cre se eprimă pritr-o putere lui PROF ELENA ANDONE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI SOLUŢIE: Petru ve cel mi mic umăr de copii trebuie să distribuim copiilor cele mi mri puteri posibile le lui Avem: 5 55= +, = + 7, = + 987, 7= + şi 9 987= + 75, 8 75= + 9, = + Deci, sut cel puţi 9 copii 6 9= + 55, 587 : L Cocursul de Mtemtică H Codă prticipă copii cu vârstele ítre 8 şi 5 i, pritre cre şi doi gemei L ítrebre dcă mi u frţi şi ce vârstă u, gemeii u răspus: Mi vem u frte, vârst s se scrie cu două cifre idetice, ir sum vârstelor tuturor este u umăr de două cifre í cre cifr dou este de două ori mi mre decât prim Determiţi vârstele tuturor celor trei frţi PROF GABRIELA SĂNDULESCU, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAI EMINESCU, IAŞI Notăm vârst gemeilor cu, vârst frtelui cu bb Di euţ 9 () şi + bb= cd cu d = c () + b = c () Di () şi d cifră d 9 c 9 c () Se observă că b trebuie să fie cifră pră, eulă (5), căci şi c sut umere pre b ;;6;8 Presupuâd că b, r rezult că SOLUŢIA (ELEVA BRÂNZĂ CARLA): Di (5) { } b, dr 9 () 8, de ude, pri îsumre, + b 6 ( ) c 6 c 6 c d, fls, căci d este cifră Deci b= + = c + = 6c 9+ + = 6c c ( ) c= + = = SOLUŢIA (ELEVUL IFRIM RAREŞ): Scriem () stfel: c= ( c b) Avem c Μ şi cum c 8, rezultă că c { ;; } ( 5) Avem: c 8 c= c b= Di () c b+ b b= c= = = SOLUŢIA (ELEVA CĂLINESCU ANA IOANA): Di () 8+ b < c 8, coform lui () b= + = 6c Di () c 5 c= Rezultă că + = = Pri urmre, gemeii u vârst de i, ir frtele de i 588 : Dcă este u umăr turl cre u se termiă î cifr, otăm r( ) umărul scris cu celeşi cifre, î ordie iversă Aflţi umerele turle de trei cifre, cre u se termiă î cifr, petru cre r = + PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS SOLUŢIE: Căutăm umere = bc, scrise î bz, cu și c eule Rezultă că r = cb Di 6

40 r = +, obţiem că cb= bc+ () Deorece bc+ re trei cifre, de ude { ;} Referitor l ultim cifră eglitte () e dă U( bc ) U( c ) Deci = Di b ( b) = + = + este impră U c+ =, obțiem c= 7 Avem: 7b= b7+ Descompuem í bz : 7+ = = b b 7= b b= 9 Pri urmre, umărul căutt este = : Seismologii româi u costtt că í regiue Vrce, di Româi, cutremurele se produc după itervle de timp egle, dr u epărt după u umăr ítreg de zile Se pote ítâmpl c í cest secol primul cutremur di zo Vrce să se fi petrecut ítr-o zi de lui, l doile ítr-o zi de mrţi, ir l ptrule ítr-o zi de dumiică? Justificţi răspusul PROF BOGDAN BÂRZOI, COLEGIUL NAŢIONAL GARABET IBRĂILEANU, IAŞI SOLUŢIE (ELEVUL SCRIPCARIU GABRIEL): Fără cutremur restrâge geerlitte, putem cosider că L M Mi J V S D săptămâi or primul cutremur vut loc îtr-o zi de Lui, or, ir l doile cutremur vut loc îtr-o cutremur 59 L M Mi J V S D 59 zi de Mrţi, î - săptămâă l or (cât săptămâi or mi prope de ) Durt de timp ître primul şi l doile cutremur este de ( + + ) 7 ore şi 59 miute Al treile cutremur re loc î săptămâ ( + ), îtr-o zi de Joi, l or 58 Al ptrule cutremur re loc î săptămâ ( + ), îtr-o zi de Sâmbătă, l or pote ve loc îtr-o zi de dumiică cutremur L M Mi J V S D 58 or + săptămâi cutremur L M Mi J V S 57 or 57 Pri urmre, l ptrule cutremur u D Cls VI : Fie = Aflţi umărul rel ştiid că re loc eglitte: = 7 PROF GHEORGHE SPIRIDON, LICEUL ECONOMIC NICOLAE IORGA, PAŞCANI 5 SOLUŢIE: Observţi că = este u fctor l lui coduce l 5 =, de ude = 7 = = = y 6 58 : Să se determie umerele de form 9 5 cre re 6 divizori (, y N ) PROF MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI 7

41 SOLUŢIE: Avem descompuere î fctori primi: y y = 9 5 = 7 5 Numărul de divizori este ϕ = ( + ) ( y+ ) ( + ) ( y+ ) = ( ; y) {( ; ),( ; ),( ;9 ),( 9;) } Se obţi umerele: 9 5, 9 5, 9 9 şi : Demostrţi că re loc ieglitte: < < < < k k k k k SOLUŢIE: Di ( + ) ( ) + PROF GHEORGHE OANCEA, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU < < k k+ k k k + + < < + Îsumăm de l k=, : < < < <, QED 6 6 : Arătţi că re loc eglitte: = 6 8 PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS SOLUŢIE: Eglitte di euţ se trsformă echivlet: = = otm = S (A), pri următorul clcul l sumei S di eglitte: S = S S = = : Aflţi vlore epresiei umerice: SOLUŢIE: Cu E= + + = vem: PROF AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU E= : Aflţi ce mi mică frcţie cre îmulţită pe râd 8 9 SOLUŢIE: Notăm cu y şi 7 5 = = 6 dă rezultte umere turle PROF RAMONA DARIE, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU, frcţi căuttă cu ( ; ) y = Di 8 M 9 y 9 N şi y D8 Di 7 M 5 y 5 N şi y D7 Rezultă că M9 M5 = M5 şi y D8 D7 = D Cum 8

42 i ce mi mică vlore, y pe ce mi mre, rezultă că = 5 şi y=, de ude 5 y = 6 6 : Fie umărul turl = + Aflţi restul împărţirii umărului l 5 de ori SOLUŢIE: Avem scriere: de ori PROF GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI = + = 5+ 9 Sum cifrelor umărului de ori de ori = 5 este eglă cu ( ) + ( ) = 5+ 7= 6, cre re sum cifrelor eglă cu 9 Coform criteriului de divizibilitte cu 9, rezultă că este divizibil cu 9 şi cum cifr uităţilor este 5, el este divizibil şi cu 5 Pri urmre, este divizibil cu 5 căci ( 5;9) =, de ude eistă c N stfel ícât = 5 c = 5 c+ 9 şi cum 9< 5 rezultă, di codiţi de uicitte teoremei ímpărţirii cu rest, că restul împărţirii umărului l 5 este : Să se fle b, c N + b c bc=,, ştiid că sut verificte simult eglitţile: 999 c= şi + b c= PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS + + = + = Cum, b N c> c< SOLUŢIE: ( b) c( b) ( b)( c) Dcă c=, tuci b= = Dcă b= = + b = + b= Di c=, tuci + b= Di 999 c= rezultă că 999 c= rezultă că 999 = 999 = + NOTA REDACŢIEI: A trei eglitte di euţ u este ecesră, fiid suficiete celellte două eglităţi petru rezolvre problemei : Clculţi sum: ( ) PROF IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Avem: S ( ) ude = , de S = = + + = 6= termei 6 66 : Î ABC, îălţime BM şi bisectore CN se itersecteză î D, M ( AC), N ( AB) Dcă măsurile ACB, rte că DM = BM DMN, SOLUŢIE: Ipotez e dă relţi: m ( DMN) = k şi m DNM DNM sut direct proporţiole cu umerele 6,, şi, să se PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS m ( ACB) m( DMN ) m( DNM ) otăm = = = k, de ude m ACB 6 6 = k, = k Di ipotez că (CN bisectore ughilui ACB deducem că 9

43 ( ) ( ) 6k m( MCN) = = k Î NMC : m NMC = 8 m MNC m MCN = 8 7k şi cum m NMC = m NMD + m BMC = k+ 9, rezultă că k+ 9 = 8 7k k= Obţiem că ( ) ( ) 6 ( ) m BCM =, de ude BD= DC Î m DBC = şi DMC, dreptughic î M DC= DM BM DM = DM BM = DM QED ( ) ( m DCB = m BCM) = BDC este isoscel teorem de BD= DM, de ude 6 67 : Numerele bc şi bc+ u sum cifrelor cuburi perfecte Determiţi umărul bc PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm bc+ = yzt Di fptul că + b+ c este u cub perfect, eul şi mi mic su egl cu 7 rezultă că b c { ;8; 7} sum cifrelor umărului + + Dcă c 8, tuci c+ = t, z= b, = y şi = Rezultă că bc+ este y z t b c { ;9; 8} = + + +, u sut cuburi Deci, c= 9 şi cum 9< + b+ c 7 + b+ c= 7 = b= c= 9 Deci, bc= : Aflţi Z petru cre frcţiile 8 8+, 5 5 SOLUŢIE: Avem: şi sut simult umere ítregi PROF NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA 8( = ) Z, ( = ) Z şi ( ) Cum ( 5;8) =, tuci frcţiile dte sut simult umere ítregi dcă şi umi dcă ude obţiem că umerele căutte sut de form = 5k+, k Z + = + Z 5 5 Z, de : Di loclitte A şi B poresc simult uul către celăllt două cmioe cre se îtâlesc după 8 ore Primul prcurge î ore cât prcurge l doile î ore, ir distţ ditre loclităţi este de 8 km PROF MARIA BOTH, ŞCOALA ŞICLĂU, ARAD SOLUŢIE: Cosiderăm v - vitez cmioului cre plecă di A şi v - vitez cmioului cre plecă di B Atuci v v + sut kilometri prcurşi ȋtr-o oră ( + v ) 8 8 = v km v + v 5km/h = v Trebuie să flăm două umere câd se cuoşte sum lor de 5 km/h şi rportul lor = v v Di = v = v v = v 5 6 v v + v = v = (km/h) şi v 6 = = 5 (km/h)

44 CLASA A VII-A 7 8 : Determiţi cifr, ştiid că ( ) SOLUŢIE: Avem: ( ) cu propriette di euţ = 9 PROF IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU , bsurd Pri urmre, u eistă cifr 7 9 : Determiţi Z şi umerele de form bc ştiid că vem relţi 9 ( 5 ) SOLUŢIE: b = bc PROF RAMONA DARIE, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU Di euţ, se deduce că bc este u pătrt perfect, divizibil cu 9 Rezultă că { 9 ;9 ;;9 } bc Di cestă mulţime, umi 9 5 = 5 şi 9 7 = 656 verifică codiţi c cifr miilor să fie eglă cu cifr zecilor Dcă bc= 656 b= 5, de ude se obţie că = 5 =± 7 5 7;7 ; 5 5 { } bc= 5 b=, de ude se obţie că 5 = 5 5=± 5 =± Pri urmre, 5 bc= şi { ;} (fls), căci Z Dcă 7 5 : Demostrţi ieglitte: + + < PROF GHEORGHE IACOB, GRUP ŞCOLAR MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI SOLUŢIE: Cocluzi rezultă di, < < ;, 6 5 < < şi <,<, pri ísumre : Determiţi umerele, y Q ştiid că SOLUŢIE: b ( y ) b y + = +, ude = +, b= PROF IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU + + = + + = = 6+ 5 Di euţ se obţie că: 6 = 5 Dcă y 5, tuci Deci, y= 5 şi = 6 6 = Cum y : Aduceţi l form ce mi simplă epresi: ( 5 6) 6, y Q Q Q, bsurd y 5 ( 5 6 6) + + ( 5 6) PROF ANA MĂRIOARA SPIRIDON, ŞCOALA IORDACHI CANTACUZINO, PAŞCANI ( 5 6) SOLUŢIE: Aducem l celşi umitor: E=

45 Simplificăm şi obţiem: E= ( 5 6) ( 5 6) = ( + ) = = = + + R : Arătţi că re loc eglitte:, SOLUŢIE: Idetitte di euţ este ( + ) + ( + ) + + = + PROF GHEORGHE OANCEA, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU ( ) ( ) + + ( + ) = + +, R = +, R, evidetă 7 5 : Fie triughiul isoscel ABC şi H, itersecţi ditre medi AM cu íălţime CE Clculţi sum distţelor de l H l vârfurile triughiului dcă BC= cm, ir AB= AC= cm SOLUŢIE: Di M mijlocul lui [ ] PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU BC BC BM = = 6cm Di AM mediă î triughiul isoscel ABC AM meditore lui [ BC ] [ HB] [ HC] (propriette meditorei) Notăm HM triughiul ABM, dreptughic î M = l cm Cu teorem lui Pitgor î AM = AB BM = 6 AM = 8, de ude HA= 8 l Ughiurile MAC şi HBM sut cogruete îtrucât u celşi complemet ACB Rezultă că si MAC = si HBM MC HM = AC HB 6 = l HB 5l HB= Î BHM ( mhmb = 9 ) teorem HB = HM + BM Pitgor l = 6 l= = Sum cerută este 9 6 5l 9 = l l 7 HA+ HB+ HC = 8 l+ l= 8+ = B E A H l M C 7 55 : Fie dte umerele rele strict pozitive, y, z Să se demostreze că umerele b= + z, c= + y pot fi lugimile lturilor uui triughi scuţitughic = z + y, PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS SOLUŢIE: Fără restrâge geerlitte, putem cosider < y< z Avem b = y, b c = z y, de ude b c> Petru fi lturile uui triughi trebuie c < b+ c b bc c < + + z + y < + z + bc+ + y, evidet devărtă Ughiul cel mi mre triughiului este cel opus lturii, pe cre îl vom ot cu A Presupuâd pri bsurd că triughiul u r fi scuţitughic, r rezult că m A 9 8 A 9 Di teorem lui

46 Pitgor geerliztă ( cosiusului) petru ughiul obtuz vem: = b + c + bc cos( 8 A) b + c z + y + z + + y =, bsurd QED NOTA REDACŢIEI: O soluţie geometrică problemei se găseşte î umărul 5 / l revistei 7 56 : Triughiul dreptughic ABC re m( A ) = 9 şi m( C ) = 5 AB AC eglitte: + = AC AB SOLUŢIA (AUTORUL): Se costruieşte î Demostrţi că re loc PROF GHEORGHE IACOB, GRUP ŞCOLAR M BUSUIOC, PAŞCANI ABC, dreptughic î A îălţime AD cu D ( BC) Se cuoşte că, îtr-u triughi dreptughic cu u ughi de 5 îălţime este o pătrime di ipoteuză BC AB AC BC Rezultă că AD=, dr AD= (teorem dou îălţimii), deude BC AB AC = Relţi lui Pitgor: BC = AB + AC e coduce l AB AB AC AC + AB AC =, QED SOLUŢIA (ELEVELE: NEICU MARA, MITITELU MELISSA): Î 9 ABC ma=, vem: AB tg5 tg = tgc= tg5 = tg( 5 ) = = = Eglitte di euţ devie AC + tg5 tg + + ( ) + ( + ) + + = = + SOLUŢIA (REDACŢIA): Costruim (CS cu B ( AS) = 8= 8 (A) stfel îcât (CB bisectore ughiului ACS AB AC AB BS Di teorem bisectorei, obţiem = = Avem macs= 5 = şi, cum BS SC AC SC AC AC AC SAC este dreptughic î A, rezultă că cos = SC = şi că AS = SC=, de SC ude AC BS = AS AB= AB Se obţie că AB AC AB = AC AB AB AC = = Atuci + = + + = AC + AC AB 7 57 : Arătţi că umărul SOLUŢIE: Clculul AB AC AC + = A= este multiplu de PROF NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA + + = + Μ (*) = e coduce l idee de rezolvre de fce grupe de trei pătrte plus Putem fce : = 67 stfel de grupe: ( ) ( 5 6 ) ( ) A= Petru { ;5;;} î relţi (*) se obţie că fiecre prteză se divide cu Pri urmre, A Μ

47 b b 7 58 : Arătţi ieglitte: + + petru orice R, b R b + b + y SOLUŢIE: Ieglitte + y PROF AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU,, y R cu + y este devărtă, ítrucât umitorii, fiid pozitivi, e coduc l echivleţ y y ( y) +, evidet devărtă í R Petru b b =, y= b, petru =, y= b, ir b + b +, de ude pri ísumre cestor ieglităţi obţiem ieglitte cerută, cu eglitte petru = b= 7 59 : Se dă u triughi echilterl Folosid dor u echer, costruiţi u hego regult í cre vârfurile triughiului să fie vârfuri le hegoului PROF NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA SOLUŢIE: Cu u echer se pot trs umi drepte şi ughiuri drepte Costruim perpediculr di A pe BC şi perpediculr í B pe AB Aceste se itersecteză ítr-u puct D L fel, perpediculr di B pe AC itersecteză perpediculr í C pe BC í puctul E, ir itersecţi perpediculrei di C pe AB cu perpediculr í A pe AC o otăm cu F Se obţie hegoul AFBDCE Vom răt că AFBDCE este regult, dică re lturile şi ughiurile sle cogruete Îtrdevăr, triughiul ABC fiid echilterl rezultă că íălţime AD este meditore lturii BC DB DC (propriette meditorei) şi bisectore BAC m BAD = Obţiem, í ABD dreptughic í B, că demostreză că BD l tg = BD= DC=, ude l= AB= BC= AC Alog, se AB l EC= EA= şi că l FA= FB=, de ude DB BF FA AE EC CD Deorece ptrulterele ABDC, ABCE şi ACBF sut iscriptibile BDC = CEA= AFB=, ir DBA FAE ECD= = ughiurile hegoului sut cogruete QED 7 6 : Fie ABC u triughi echilterl, D BC stfel îcât DC BC şi E AC stfel îcât AE AC Dcă DE AB= { F}, rătţi că Α AEF =Α ABC SOLUŢIE: Costruim CM BF, S ( FD) Rezultă că CM BF este liie mijlocie î FBD CM = Di AF CM şi A mijlocul lui EC AF este liie mijlocie î ECM CM AF = CM =, ude = AF Obţiem BF = şi AB= BF AF = Avem BAC EAF (opuse l vârf) şi otăm ot EA= AC = l PROF ELENA ANDONE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI D l F A B l M C E

48 Atuci Α Α AEF ABC AE AF si EAF = = AB AC si BAC l l = Pri urmre, Α AEF =Α ABC NOTA REDACŢIEI: Ntur triughiului ABC (echilterl) u iflueţeză cocluzi problemei CLASA A VIII-A 8 : Pe rombul ABCD se ridică perpediculr EA (ABC) Notăm cu P, Q, M sut mijlocele segmetelor EB, ED, respectiv, EC Arătţi că ri triughiului PQM este idepedetă de lugime segmetului AE PROF ANA MĂRIOARA SPIRIDON, ŞCOALA IORDACHI CANTACUZINO, PAŞCANI SOLUŢIE: Coform teoremei liiei mijlocii, vem: PM BC AD şi QM CD AB, de ude rezultă că ( PQM) ( ACD) Di PM BC, QM CD triughiurile PMQ şi BCD sut A PMQ semee, ir rportul de semăre este Pri urmre, = =, de ude A A PMQ = ABCD = AABCD Aşdr, ri PMQ u depide de lugime segmetului AE 8 NOTA REDACŢIE: Atât tur ptrulterului ABCD (romb), cât şi poziţi dreptei EA fţă de plul ( ABC ) (perpediculră) u iflueţeză cocluzi problemei 8 5 : Dcă umărul rel verifică + =, clculţi 5 BCD + şi + PROF ELENA ANDONE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI SOLUŢIA (ELEVA MURARIU MARIA): Se observă că şi, pri împărţire cu, obţiem 5+ = + = = + = + + = = + = 5 SOLUŢIA (ELEVA PORUŞNIUC IULIANA): Rezolvăm ecuţi de grdul l doile: 7 + = = b c= 9> b± 5±, = = = şi =, de ude = Cum este soluţie, rezultă că 7 + = + = + = şi 57 + = + = + = 6 5

49 : Fie umerele = şi b= Să se rte că + b, oricre r fi N SOLUŢIE: Cum y b= 5 = b, obţiem că b ( b) PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS =, plicâd ieglittte mediilor + + y y petru = şi + b b + b + b 8 7 : Să se determie umărul de form b ştiid că re loc eglitte + b = 8 CRISTINA ENE, ELEVĂ, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA SOLUŢIE: Dcă < 6 şi b < 6, tuci + < <, bsurd Rezultă că cel puţi b uul ditre şi b este Fie cest b 6 b 6 b 6 Di = 8 b rezultă că 8 b b b 8 Deci, b { ;} Petru b= = = = 7, fls Petru b= = = = 6 = Pri urmre, b= : Să se determie fucţiile f şi g de grdul îtâi cre trec pri puctul A(8,5) şi formeză cu Oy u triughi isoscel de rie PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS SOLUŢIA (AUTOAREI): Fie AC drept cre reprezită grficul fucţiei f, ir AB l grficului fucţiei g cu B, C Oy Cosiderăm yc yb AM = 8 este îălţime î > Rezultă că B( y ), 6 ; B C ; y C şi BC= yc yb Cum ABC cu rie, rezultă că y = y + Fiid de grdul îtâi, fucţi 5 y f ( ) = m+ şi cum B( ; yb) G f = yb, ir A( 8;5) G f 8m+ = 5 m= B, 8 5 yb 5 yc obţiem f ( ) = + yb Alog, fucţi g( ) = + yc, G f 8 8 C ( ; y C ) 5 yb cre trece pri A şi C g( ) = + yb+ Dcă ABC este M ( ; 5) A( 8 ; 5) 8 O isoscel, tuci M este mijlocul lui BC y y = 5 y = Se obţi M B B 5 5 fucţiile: f ( ) = şi g( ) = NOTA REDACŢIEI: Neprecizâdu-se bz ABC isoscel, mi sut două situţii de lizt : Dcă bz ABC este AC ( AB BC 5=± 6 { ; } y B y B C = ), tuci ( 8 ) + ( 5) = Se obţi perechile de fucţii: B y B G g 5 = 6 y B f = +, B ( ; y B )

50 = + şi f ( ) =, g Dcă bz ABC este AB ( AC BC 5=± 6 { ; } y C f 8 y C g = + 9 = ), tuci ( 8 ) + ( 5) = { 6;9} y B y C 5 = 6 Se obţi lte perechi de fucţii: = + 6, g ( ) = + 6 şi f ( ) = g = + 9 y C 8 9 : Să se demostreze că ( 7 5) ( ) + SOLUŢIE: Notâd pe y( y+ 6) + y 7 5 devărtă, fiid u pătrt í R, petru orice R PROF ANA MĂRIOARA SPIRIDON, ŞCOALA IORDACHI CANTACUZINO, PAŞCANI ot = y, rezultă că ieglitte di euţ este echivletă cu + 6y+ 9 y+ 7 5+, R, cre este 8 5 : Găsiţi trei umere rele cu sum lor eglă cu şi cu sum pătrtelor lor eglă cu PROF GHEORGHE IACOB, GRUP ŞCOLAR MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI SOLUŢIE: Fie, y, z R cele trei umere căutte Avem: + y + z = şi + y+ z= Scriid difereţ cestor eglităţi c sumă de pătrte, obţiem succesiv: + y y+ z z+ = + + y + z = + y y + = y= z= + z z + + =, de ude 8 5 : Să se rte că ecuţi SOLUŢIE: Se verifică imedit idetitte: 6 k, k y + z + t = u re o ifiitte de soluţii cu, y, z, t, u N PROF MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI =, oricre r fi N Alegem k+ 5 k+ k+ 6 5 k k+ 6 = + N şi obţiem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k+ 5 k+ k+ 6 k+ 5 6 k+ Pri urmre, ( ; y; z; t; u) ( ; ; ; ; ) = { k } N sut soluţii 8 5 : Fie A, B, C, M pucte ecoplre dte Proiecţi puctului M pe plul triughiului ABC se oteză cu P Dcă M este egl depărtt de vârfurile triughiului ABC, P este u puct cre prţie dreptei AC, m BMC = 6 şi m BCA =, să se determie distţ de l puctul M l drept BC şi distţ de l puctul P l plul triughiului MBC î fucţie de = MA PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 7

51 SOLUŢIE: Se ştie că u puct egl depărtt de vârfurile uui triughi se flă pe perpediculr î cetrul cercului circumscris triughiului şi că u triughi este M dreptughic dcă şi umi dcă re cetrul cercului circumscris î mijlocul uei lturi (ipoteuz) Cum MA= MB= MC =, rezultă că MP ( ABC) şi că P este cetrul cercului circumscris ABC Di P AC deducem că P este mijlocul lui [ AC ] şi că ABC este A dreptughic î B Triughiul BCM este isoscel cu ughiul m( BMC ) = 6 MBC este echilterl BC = Costruim P T B MS BC, S BC PT MS, T MS Di MS îălţime î C S 9 9 şi triughiul echilterl MBC, rezultă că d( M ; BC) = MS = şi că S este mijlocul lui [ BC] AB că PS este liie mijlocie î ABC PS = şi PS AB PS BC, căci AB BC Di BC PS şi BC MS BC MPS PT MPS PT BC şi cum rezultă că ( T ) şi cum PT MS PT ( MBC) ( ;) AB = AB= MPS dreptughic î P Aplicâd teorem dou îălţimii î triughiul Atuci d M ;( MBC) d P MBC = PT Î AB ABC ( mb= 9 ) tg = BC PS = Di MP ( ABC) şi PS ( ABC) MP PS 6 T P MS = PM + PS MP = = = 8 MPS ), dreptughic î P, obţiem 6 = 6 = MP= MP PS PT = MS MATEMATICA LICEALĂ CLASA A IX-A 9 : Aflţi umerele rele,,, di următore ieglitte: ( ) ( ) ( ) LEONARD VÍRLAN, ELEV, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA 8

52 SOLUŢIE: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 9 : Fie, y, p R cu < y stfel îcât = = = = y p p py + < + Demostrţi că p ( ; y) PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIA : Presupuem pri bsurd că p ( ; y), tuci su ( p; y) su y ( ; p) p şi p - y u celşi sem ( p )( p y) p p py+ y, î cotrdicţie cu ieglitte di ipoteză Coform metodei reducerii l bsurd, rezultă că p ( ; y) SOLUŢIA : Avem: p + y p+ y< Privid pe, y c prmetri, rezultă p este soluţie iecuţiei t ( + y) t+ y< p ( t ; t ), ude t, sut soluţiile ecuţiei socite Cum discrimitul ecuţiei este ( y) y ( y) t = şi t = y Deci, vem că p ( ; y) = + =, rezultă că t, + y± y =, de ude 9 5 : Se cosideră puctele disticte A, B şi C vâd distţele ître ele de AB= c, BC=, AC= b şi triomul socit T( ) = b + ( b + c ) + c ) Arătţi că putele A, B, C sut coliire dcă şi umi dcă triomul T( ) este pătrt perfect petru orice R b) Arătţi că putele A, B, C sut ecoliire dcă şi umi dcă triomul T( ) este pozitiv, petru orice R PROF LAURENŢA DOCA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS SOLUŢIE: Fără restrâge geerlitte, putem cosider, b, c î cestă ordore: < b c Discrimitul: = b + c b c ( b c bc)( b c bc) = ( b c) ( b c) = ( b c )( b c+ )( b+ c )( b+ c+ ) = + > ) T( ) este pătrt, R = cel puţi u ditre cele trei prteze este ulă, de ude A, B, C sut pucte coliire, coform codiţei metrice de coliiritte b) Deorece b >, tuci T( ) >, < R v b c+ > c< + b Cum c este ce mi mre ltură, rezultă că este îdepliită ieglitte triughiului A, B, C ecoliire 9

53 9 6 : Compră cu y, ude = + + şi y= + + PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm cu =, b= şi cu c=, de ude < c< b Clculăm difereţ: b c c b c+ b + c b b c b c ( c b) ( c b ) + cb( c b) y= + + = = b c c b bc bc ( c b)( c b+ cb) ( c b) ( c) b( c) ( c b)( c)( b) y= = = < bc bc bc Pri urmre, < y 9 7 : Fie şirul de umere turle ( ) N Demostrţi că, petru orice N umărul pote fi scris c sumă două pătrte perfecte, ude A ( ) ( ) ( ) ( ) A = CRISTINA ENE, ELEVĂ, COLEGIUL NAŢIONAL, FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA SOLUŢIE: Vom demostr, pri metod iducţiei mtemtice, propoziţi mtemtică: ETAPA : Cum P( ) : Numărul A A se scrie c o sumă de două pătrte, oricre r fi N = +, rezultă că P este devărtă ETAPA : Ştim că P( k ) este devărtă A k se scrie c sumă de două pătrte eistă, y R stfel îcât A y k = + Atuci, vem succesiv: A ( )( k+ Ak k+ y k+ ) = + = + + Ak+ = k+ + + y k+ + y = k+ + k+ y+ y + y k+ yk+ y+, de ude A = ( + y) + ( y ) este o sumă de două pătrte P( k ) k+ k+ k+ Î cocluzie, coform metodei iducţiei mtemtice, vem P( ) este devărtă, + este devărtă N 9 8 : Arătţi că si cos + + cos si si cos si cos SOLUŢIE: Aducem l celşi umitor: ( ) Grupăm şi descompuem í fctori: ( ) si + cos si cos si cos si + cos = cos si, dcă si > PROF AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 5 5 si + cos si cos cos si si + cos cos si si si cos cos si cos si + cos cos si si cos si 9 9 : Eistă umere rele şi b stfel îcât 9 6b+ b 5+ + b+ = 8? ( A) PROF MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI 5

54 SOLUŢIE: Ieglittte Cuchy-Buikovski-Schwrz: petru i yi i yi i= i= i=, plictă =, =, =, y = b, y = b 5+, y = b+, e coduce l b+ b 5+ + b b + b b + 9 6b+ b 5+ + b+ 6 = 8 Costtăm că vem eglitte, deci b b 5+ b+ = = b= 7 = sistemului dă soluţi: b 5= 5 9 b = b= b b 5+ b+ = = = = Rezolvre : Dcă í proporţi = c sum etremilor este eglă cu sum mezilor tuci, petru orice b d N, re loc eglitte + d = c + b PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU c ot SOLUŢIE: Avem: = = = b; c= d şi cum + d = b+ c b+ d = d+ b, de ude b d obţiem ( d b) ( d b) ( d b)( ) = = Dcă d = b = c Deducem că = c şi d = b, de ude, pri îsumre, obţiem eglitte cerută Dcă = = b şi d = c şi, î mod log, deducem ieglitte di euţ 9 5 : Demostrţi că, petru orice N şi petru orice,,, R cu + =, re loc ieglitte: + PROF ALINA ŞI MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI SOLUŢIE: Ieglitte ditre medi pătrtică şi ce ritmetică: petru şirurile i = i, bi i + = e dă: + b + b i i i i i i+ i= i=, i=,, plictă + = : Fie ABC u triughi orecre Se cosideră puctele B, B ( AC) şi C, C ( AB) îcât AB = CB şi AC BC 5 = Şi se oteză cu { },, stfel M i = BBi CCi i= ( M şi M se umesc MB M B MB M B pucte izotomice î ABC ) Dcă = şi =, tuci BC BC BC M C M C M C M C TEMISTOCLE BÎRSAN, IAŞI SOLUŢIE: Utilizăm teorem lui Meelus petru ABB şi trsversl CC, poi petru ACC cu

55 MB CA CB MC B A BC BB şi obţiem: =, =, de ude, ímulţid relţiile precedete, M B CB C A M C B C BA vom obţie eglitte (): reltiv l puctul M, găsim (): M B M C CA C B B A BC C B B A CA Procedâd log, M C M B CB C A B C BA B C C A BA = = M B M C CA C B B A BC C B B A CA Coform M C M B CB C A B C BA B C C A BA = = ipotezei, membrii stâgi i relţiilor () şi () sut egli, deci vem eglitte celor di drept: C B B A C B B A B C C A B C C A = căci C B B A C A B C = C B B A = B C C A B C C A B A C B C A C B B A B C = (), C B= C A, B A= B C, B C= B A şi C A= CB Coform reciprocei teoremei lui Thles, rezultă că CB CB BC BC Cum eglitte () se pote scrie í form =, vem şi CB C A B A BC CLASA A X-A + cos cos cos = : Rezolvţi ecuţi trigoometrică: PROF AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Cu formulele: cos = cos cos şi cos = cos, ecuţi se trsformă succesiv: + cos cos = cos = cos cos( 6) = cos 6=± + kπ, k Z kπ kπ Mulţime soluţiilor rele le ecuţiei este S = k Z k Z 7 5 : Să se rte că umărul =!!!! este umăr irţiol CRISTINA ENE, ELEVĂ, COLEGIUL NAŢIONAL, FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA SOLUŢIE: Di fptul că este umăr prim şi deorece pre c fctor umi î! rezultă că epoetul lui í descompuere î fctori primi umărului b=!!!! este, deci b u este pătrt perfect, Rezultă că =!!!! = b Q tg cos si cos tg si si tg cos : Rezolvţi ecuţi: + + = si cos+ tg tg si+ cos tg cos+ si PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Impuere codiţiilor de eisteţă ecesre e coduce l si > şi cos > Petru + y + b b =, y= b, ieglitte mediilor: y e dă b,, b R + cu + b tg cos si eglitte dcă = b Petru = tg şi b= si cos, vem () Petru tg + si cos 5

56 cos tg si = cos şi b= tg si, vem () Petru = si şi b= tg cos, vem cos + si tg si cos tg + tg si cos () Pri dure ieglităţilor (), () şi () se obţie ieglitte: tg cos si cos tg si si tg cos + +, cu eglitte dcă si cos+ tg tg si+ cos tg cos+ si si si = cos si = cos = si = >, bsurd cos Pri urmre, ecuţi u re soluţii 5 si = tg cos : Fie T mulţime triughiurilor îscrise îtr-u cerc dt de rză R şi f:t R fucţi defiită pri f ( t) ( + + ) ( si A+ si B+ si C)( + cos A+ cos B+ cosc) bc b c si Bsi C bsi Asi C csi Asi B =, ude, b, c, A, B, C sut otţiile obişuite petru elemetele triughiului t ) Să se determie mulţime f ( T ) T petru cre f b) Aflţi mulţime T = α, ude f α T este dt TEMISTOCLE BÎRSAN, IAŞI SOLUŢIE: Cu = + b+ c, si A= si A+ si B+ si C şi cos A= cos A+ cos B+ cos C, umărătorul fucţiei f ( t ) se scrie, plicâd teorem siusurilor şi formulele: A B C A B C si A+ si B+ si C= cos cos cos şi cos A+ cos B+ cosc = + si si si : A B C A B C 6 R bc( sia+ si A sib sic) = 6 R bc sia+ 8si si si cos cos cos = = Rbc si A ( si A)( cos A ) + = Rbc( si A)( + cos A) C urmre, f ( t) = Rbc su, utilizâd relţi bc R S =, t T găsim f t = R S ) Ari S uui triughi íscris í cercul de rză R este strict pozitivă şi tige vlore mimă petru triughiurile echilterle, ume S = R, şi, di motive de cotiuitte, i orice vlore pozitivă mi mică decât cest Pri urmre, f ( T ) = ( ;9 R α b) Notâd cu S t ri triughiului t T, vem: t T f ( t) = α R St = α St =, R α dică mulţime T este cls triughiurilor echivlete, de rie îscrise î cercul dt R 5: Să se determie N ştiid că petru orice k N, k este devărtă eglitte: k k ( C ) ( A ) k k A k k ( C) ( A ) + = + C PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

57 k + k + k k k k k SOLUŢIE: ( C) + ( A ) = ( C) A + ( A ) C k k k k k C ( C A ) ( A ) ( C A ) = k k k k C A C ( A ) = eglitte este devărtă petru orice k C = A k k!! k! k { ;}!! =! = Cum ( k) k ( k), rezultă că { ;} CLASA A XI-A 5: Se dă mtrice A=, A M ( R ) Să se determie umerele, y R stfel ícât să fie verifictă eglitte A = A yi Aflţi A, N, SOLUŢIE: Pri urmre, PROF MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD 6 y y= = = = = 6 y= 6 y y= A A yi y şirurilor recurete: A A I = + Avem: + + A A A O + = Vom determi A, pri metod + y+ + y+ y z + z z = Se + + y + + y+ + y obţi relţiile de recureţă liiră de ordiul : crcteristică r + r = cu soluţiile r = şi = y+ + y+ y =, vâd ceeşi ecuţie z+ + z+ z = r = Deci c c = + 6 Petru determi costtele, impuem = c 6c = şi = c+ 6c = c = c = Rezultă că Di y c c = + c =, c = Rezultă că y = z = c+ 6c = c =, c = Găsim z = A = + 6 şi y = c 6c =, y = c+ 6c = 6 Di z c c = + 6 şi z = c 6c =, + = ( ) + ( ) 5

58 + y+ z= 6: Determiţi m Z petru cre soluţiile sistemului + my+ z= să ibă compoetele + my + mz = b îtregi ştiid că + b= PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Observăm că m, căci ltfel m ve = + y+ z= b + b= =, fls L L s = m = m = m = m m m m m Determitul sistemului este Rezultă că sistemul este comptibil determit (de tip Crmer) Deorece L= L = = pri scădere rezultă că y = y / s = Obţiem: + z= şi + mz= b ( m) z= + b z= m m Di, z Z, b Z Cum z Z şi este umăr prim, rezultă că { ; ; ; } Petru m= vem soluţi ( ; ; ), petru m= vem soluţi ( ;; ) petru +, ir petru y b m= vem soluţi ( ; ; ) m= vem soluţi ( ;;) 7: Să se determie m R stfel ícât fucţi :, ( ) pozitivă şi mooto descrescătore SOLUŢIE: Di m +, f R R f = + + m e să fie PROF AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU f >, R + + m>, R > şi < m< / m< 6 Avem f ( ) = ( + ) e e ( + + m) = e ( + m) Di f mooto descrescătore pe R rezultă că +, R / f m < şi + ( m) m + 5 m 6+ ( 6 ) m < 6, bsurd Pri urmre, u eistă m î codiţiile di euţ 8: Să se demostreze că: e l ( ) + > e + ( l ), petru orice > şi N, l e PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU + SOLUŢIE: Aducem l celşi umitor: e + l l > e l + e l l Descompuem: ( l ) l ( l ) e e e > ( e ) ( e ) ( ) e e e e l + l + + l + l > >, căci l >, ; e l (*) Vom răt că e l l l > > > e l, ( ; ) ( e ) l > > Cosiderăm 55

59 fucţi f :( ; ) R, f ( ) = e l Derivt fucţiei este / e f = e = f f, f > e >, de ude / f ( ) >, ( ; ) f este crecătore > > rezultă devărul ieglităţii ( ) QED CLASA A XII-A 6: Să se rte că poliomul f ( X) ( X m) ( X ) [ X] = + Z cu m este ireductibil peste ielul poliomelor cu coeficieţi ítregi cu o sigură edetermită PROF LAURENŢA DOCA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS SOLUŢIE: Presupuem pri bsurd că f este reductibil peste Z că eistă poliomele g, h Z X stfel îcât f = g h cu grd g, grd h şi coeficieţii domiţi i [ ] poliomelor g, h Z [ X] egli cu Poliomele g, h [ X] Z f ( ) = ( m) ( ) Z u pot ve grdul, căci r rezult că f r ve soluţi =, cotrdicţie Deorece grd g+ grd h= grd g= grd h= Rezultă că eistă, b, c, d Z stfel îcât = ( + + )( + + ) Di f ( m) ( m m b)( m cm d) f X X b X cx d m m b m cm d = = şi obţiem că + + = + + =± Difereţ lor e coduce l m( c) = d b Alog, se obţie că d b = c şi b= d, căci ltfel m ve m= =, cotrzice ipotez c ( c) = d b Rezultă că Obţiem eglitte: ( X m) ( X ) ( X X b) + = + + Dezvoltâd şi idetificâd coeficieţii, = m + b= + m+ m = m găsim: b= m b=± Z, cotrdicţie Coform b= m m b = m + b b = + metodei reducerii l bsurd, rezultă că f este ireductibil peste Z 7: Se cosideră şirul de itegrle ) Să se rte că şirul ( I ) b) Să se clculeze: N I I lim şi lim I I I, defiit pri I si d N =, N este descrescător c) Să se rte că I I u depide de π SOLUŢIE: ) Di ; [ ] si ; π PROF MARIA BOTH, GRUP ŞCOLAR IULIU MANIU, ARAD + si si mootoi π π + si si it egrlei 56

60 I I, N ( I ) + N este şir descrecător π, de ude b) Succesiv, plicâd metod itegrării pri părţi, se obţie: / cos si = ( ) π π I = cos si + cos si d urmre, I = I, N,, de ude Cum şirul I d I ( ) ( I I) I lim I = lim = Pri = I este descrescător I N I I, N, Di relţi de recureţă rezultă că I = I, N,, de ude I I I,, N Obţiem: I,, I I N Deorece lim = lim =, rezultă, I coform criteriului cleştelui, că I lim = I c) Îmulţid: I = I, I = I, I = I,, I = I, I = I, I = I, obţiem: I I I I I = I π π ude I I I I d d I I I π π π π π = = si = cos = cos + cos = 8: Demostrţi eglitte: l log d+ log d=, petru orice ( ; ) I I, de PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU / ( ) părţi l / SOLUŢIE: log l l l l d= d= d d l l = l log d= l l log l l l d d= d l 9: Fie fucţi f : / R R de două ori derivbilă pe R cu ( ) c se rte că eistă c ( ;) stfel ícât f ( ) d= f // / ( c ) + f ( c ) f ( c ) / f = şi f ( ) d= f Să PROF MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI SOLUŢIE: Di f de două ori derivbilă pe R f cotiuă per g( ) / primitivă lui f petru cre g ( ) = (teorem lui Brow) Avem: g / f = f t dt este o g = f, R şi = Cosiderăm fucţi F : R R defiită pri F( ) = e g( ) f ( ) Fucţi F este de două ori derivbilă pe R Aplicâd derivt produsului, obţiem derivtele = + = / / / F e g f e f f e g f / F şi // F :, ir derivt dou este eglă 57

61 Avem cu F / / ( ) = e g( ) f / ( ) + e g / ( ) f / / ( ) = e g( ) f ( ) f / ( ) f / / ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = şi F / e g f / e f / f / / ( ) = F şi cum F este cotiuă şi derivbilă pe [ ] F e g f F / / / / teoremei lui Rolle Pri urmre, eistă ( ;) = = = Atuci / / c stfel ícât c / // = f ( t ) dt= f / // ( c ) + f ( c ) f ( c ) g c f c f c f c ;, rezultă că sut ídepliite codiţiile / / F c = F ( c) =, de ude, QED *** ZÂMBETUL ŞTIINŢEI ÎN ACEASTĂ RUBRICĂ VOM TRECE ÎN REVISTĂ CÂTEVA ANECDOTE SEMNIFICATIVE ŞI AMINTIRI DIN VIAŢA CELOR MAI DE FRUNTE MATEMATICIENI D ALE LUI BERTRAND RUSSELL (FILOSOF ŞI MATEMATICIAN BRITANIC, 87-97) Mre i- fost mirre uui filozof, câd flt de l Bertrd Russell, că ditr-o firmţie flsă pote fi dedusă oricre lt El îtrebt: Dumevostră cosiderţi, îtr-devăr, că di firmţi + = 5, urmeză, că suteţi pp de l Rom? Russell dădu firmtiv di cp Şi dumevostră puteţi demostr cest lucru? cotiuă să-şi eprime îdoil filozoful Desigur! răspus cu fermitte Russell şi-i epue demostrţi î cuză: Presupuem, că + = 5; Scădem di mbele părţi eglităţii câte u doi: obţiem = ; Schimbăm cu locurile prte stâgă cu prte dreptă: = ; Scădem di mbele părţi câte o uitte: = ; 5 Pp de l Rom şi eu împreuă sutem doi Deorece =, tuci pp de l Rom şi eu sutem u şi ceeşi persoă Pri urmre, eu sut pp de l Rom CULEASĂ DE NEICU MARA 58

62 PROBLEME PROPUSE MATEMATICA PITICĂ P : Rezolvți eercițiul 6 : : Pueți prteze, stfel îcât să obțieți rezulttele: 6, 6 şi respectiv 6 PROF ÎNV PRIMAR MARIA CREŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU { } P : U elev demostreză: + bcd : bcd bcd : bcd + b + cd : cd = Ce şse re profesorul c pri ştergere totlă uei litere di eerciţiu, să obţiă o eglitte devărtă? PROF ÎNV PRIMAR RAMONA MIHAELA ADAM, ŞCOALA MIROSLAVA, IAŞI P : Împărţid umărul 8 l u umăr turl, obţiem u cât şi restul 8 Determiţi ultim cifră câtului? PROF ÎNV PRIMAR MARIA ŞI CORNELIU CONSTANTIN ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI { } ( b b 8 ) : : 5 = P : Artă că umărul b= : : 7+ 6 : : + : verifică eglitte: { } ÎNV MARIANA CHELARU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P 5: U gospodr re hră pregătită petru gâşte şi 6 de găii, pe o periodă de 6 de zile Ctitte de hră pe zi petru o gâscă este de ori mi mre decât ce ecesră petru o găiă Ştiid că gospodrul vide cele gâşte, flţi petru câte zile îi v juge hr petru găii PROF ÎNV PRIMAR MARIA SIMIONESCU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P 6: Î 8 coșulețe sut 6 de portocle, reprtizte î mod egl Di coșurile de l l 5 s-u lut câte portocle Câte portocle pot fi î trei coșulețe lăturte? PROF ÎNV PRIMAR MARIA CREŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P 7: N este u umăr turl de ori mi mre decât Cre sut cele două umere știid că cel mi mre este mi mre decât și mi mic decât Justificți PROF ÎNV PRIMAR MARIA CREŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P 8: Împărţiţi 6 de bile î 9 cutii, î fiecre cutie să fie cel puţi o bilă, fără eist două cutii cu celşi umăr de bile PROF ÎNV PRIMAR MARIA SIMIONESCU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P 9: Îtr-o cutie sut de ori mi multe bile roșii decât lbe Dcă se iu 6 bile roșii și bile lbe, î cutie rămâ de 6 ori mi multe bile roșii decât lbe Câte bile bile roșii și câte bile lbe u fost l îceput î cutie? PROF ÎNV PRIMAR GABRIELA-LILANA ONOFREI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P : Îtr-o cutie sut 5 perechi de măuși egre și 6 perechi de măuși roșii Cre este cel mi mic umăr de măuși ce trebuie scos di cutie, fără vede culore, petru fi siguri că m lut o pereche de măuși egre? ÎNV MARIANA CHELARU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU 59

63 P : Găsiţi umerele impre y stfel îcât să fie posibilă eglitte: + y= 6 ÎNV VASILE ROZNOVĂŢ, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P : Sum două umere este 6 Dcă îmulţim primul umăr cu 5, ir l doile rămâe eschimbt, tuci sum devie 9 Cre sut umerele? ÎNV ADRIANA MELINTE, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P : Aledr primit flori de ziu ei, câte u petru fiecre l vârstei sle Dcă le șeză câte î vză îi rămâ flori, ir dcă le șeză le șeză câte 5, îi rămâ două flori epuse î vze Câți i re Aledr? PROF ÎNV PRIMAR MARIANA DÎRVARIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P : O fmilie re trei băieți (ditre cre doi gemei) și o ftă Vârst ttălui este scrisă cu două cifre, ditre cre u eprimă vârst uui ditre gemei, ir dou cifră vârst celuillt băit, sum celor trei vârste fiid 58 de i Vârst mmei este scrisă tot cu două cifre, ditre cre u eprimă vârst celuillt gemă, ir celltă cifră eprimă vârst fetiței Aceste trei persoe u împreuă 5 de i Câți i re fiecre? PROF ÎNV PRIMAR EMILIA OPREA, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P 5: Difereţ două umere este eglă cu Triplul primului umăr mărit cu sfertul celui de-l doile dă sum 96 Cre sut umerele? PROF ÎNV PRIMAR MARIA ŞI CORNELIU CONSTANTIN ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI P 6: L îceputul ului şcolr î clsă l Mtei u mi veit băieţi şi o ftă Mtei costtă că oii colegi reprezită opt prte di umărul de copii eisteţi cum î clsă Câţi băieţi şi câte fete sut cum î cls lui Mtei, dcă umărul fetelor e mi mic cu decât cel l băieţilor? ÎNV MARIETA MUŞEI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P 7: Trei copii câtăresc fiecre ître 5 și 5 de kg Ei vor să fle greutte fiecărui dr surpriză, câtrul u măsoră greutăți sub de kg Eplicți cum u reușit să fle copii cât câtărește fiecre ÎNV CLAUDIU MORARU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P 8: Două bucăți de stofă măsoră 58 m După ce se vâd 57 m de stofă se costtă că î prim buctă mi răms jumătte, ir î celltă trei sferturice lugime vut fiecre buctă de stofă l îceput? PROF ÎNV PRIMAR MARIA CREŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P 9: L cocursul Micii mtemticiei, s-u îscris 7 elevi Îite de îcepere cocursului se retrg fete şi mi vi băieţi Câţi băieţi şi câte fete u fost iiţil, dcă cum umul fetelor este dublul umului de băieţi? PROF ÎNV PRIMAR MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU P : Dcă împărţim două umere turl, obţiemcâtul 5 şi restul Dcă mărim cu împărţitorul şi împărţim di ou umărul mi mre l el, obţiem câtul şi restul 6 Aflţi umerele PROF ÎNV PRIMAR MARIA ŞI CORNELIU CONSTANTIN ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI P : Se du umerele: ; 5; 9; ; 8; ; 7; ; 6; b; c Descoperiţi regul de formre umerelor şi poi, determiţi vlore umerică literelor PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 6

64 MATEMATICA GIMNAZIALĂ Cls V- 59 : Scrieţi umărul = ( b) 9 c sumă de trei pătrte, ude b este jumătte umărului, ir { } 5 = 6 7,966 : 7 : 6,,,,5 + +,5 IOANA SCUTARIU, ELEVĂ, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU 59 : Demostrţi că, dcă este devărtă eglitte + ( bbbb) = ( cccc), tuci re loc şi eglitte: + ( bbbbbbbb) = ( cccccccc) 59 : Arătţi că, petru orice umere turle, eule,, PROF MIHᾺLY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV b c, re loc: ( b ) PROF DOINA STOICA, ARAD 59 : Fie 5 6 A= Aflţi ultimele trei cifre le umărului A PROF NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 59 : Ştiid că difereţ ditre mulţimile A şi B este 8, l difereţei ditre mulţimile B şi A este 6 şi l itersecţiei ditre A şi B este Aflţi câte elemete re mulţime reuiuii ditre A şi B PROF MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD 595 : Câte umere turl, diferite de, cre împărţite l du c rest pătrtul câtului? PROF MIRCEA MARIO STOICA, ARAD 596 : Două prietee, Io di Işi, Româi, şi Joh di New York, SUA, íşi plifică pe messeger ziu îceputului de cocediu, împreuă Io propue c vcţ să ícepă pe dt de 67, dr Joh sre c rsă l propuere ei: - Nu pot pe 7 iuie petru că mi-i zis să-mi iu cocediu î lu iulie! Neîţelegere ître cele două prietee ve drept cuză modurile diferite de otre dtelor Î SUA dtele se scriu stfel: umărul luii, poi umărul zilei şi ul, pe câd î Europ se scrie mi îtâi umărul zilei, poi l luii şi poi ul Câte zile sut îtr-u, le căror dte u pot fi determite dcă u se ştie î cre mod u fost scrise (europe su meric)? Justificţi răspusul PROF BOGDAN BÂRZOI, COLEGIUL NAŢIONAL GARABET IBRĂILEANU, IAŞI 597 : Determiți umerele N stfel îcât re loc relți: 6 = PROF OANA ALEXE, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU 598 : Să se rte că umărul 799 se pote scrie c sumă trei cuburi PROF GHEORGHE OANCEA, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU m 599 : Să se determie umerele turle m, N stfel îcât + = 9 PROF IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU 6

65 5 : Determiţi umerele b cre verifică eglitte: b+ b= : Aflţi restul împărţirii umărului = 999 l 7 PROF GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI ori PROF MIHᾺLY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV 5 : Sum două umere este Dcă se şterge o cifră uui ditre ele, obţiem l doile umăr Găsiţi umerele Justificţi răspusul PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 5 : Pe o foie sut desete 6 dreptughiuri rjte î ordie crescătore perimetrelor lor Fiecre re lturile eprimte pri umere cosecutive impre, stfel îcât lugime primului este lățime celui de-l doile șmd Sum perimetrelor dreptughiurilor etreme este 96 Să se clculeze dimesiuile celor 6 dreptughiuri PROF ÎNV PRIMAR EMILIA OPREA, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU 5 : Arătţi că peultim cifră umărului u pote fi 8 PROF NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA Cls VI- 6 7 : Arătţi că umărul succesorul umărului turl m= : , N este PROF AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 6 7 : Demostrţi că frcţi m+ + 6 p+ 8 q+ m p+ q+ este ireductibilă, oricre r fi m,, p, q N PROF NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 6 7 : Să se rte că umărul 6 7 : Să se rte că umărul A= + + este multiplu de, oricre r fi N PROF IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU PROF GHEORGHE OANCEA, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU este u multiplu l umărului 6 7 : Arătţi că umerele rţiole u pot fi simult umere turle + 5 =, b= şi b=, N PROF DOINA ŞI MIRCEA MARIO STOICA, ARAD 6 75 : Determiți umerele bc N şi Q cre stisfc relți + b b+ c c+ = = 9 7 PROF OANA ALEXE, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU 6

66 6 76 : Să se determie, b, c N ştiid că + b + c b+ c = = şi + 5b+ c= 69 5 PROF NICU GOŞMAN, ŞCOALA GARABET IBRĂILEANU, TÂRGU FRUMOS 6 77 : Ştiid că umerele, b, c, d sut direct proporţiole cu 9,,, 5, să se rte că este devărtă eglitte: + b + c = d PROF NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 6 78 : L u cocurs de mtemtică, di totlul elevilor prezeţi, 7% u rezolvt primul subiect, ir 6% pe cel de l doile Ştiid că umi 5 elevi u rezolvt mbele subiecte şi că u u eistt elevi cre să u fi rezolvt ici uul di cele două subiecte, flţi câţi elevi u prticipt l cocurs PROF MIRCEA MARIO STOICA, ARAD 6 79 : Numerele, y, z, Z verifică relţiile: + y+ z= şi + y + z = ) Petru z=, să se determie umerele îtregi, y, Z b) Ştiid că umărul z este impr, să se stbilescă pritte umerelor, y şi Z PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 6 8 : Fie u triughi ABC î cre medi BM este perpediculră pe ltur BC Să se determie măsur ughiului B stfel îcât AB= BC PROF MIHᾺLY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV 6 8 : Fie ABC cu [ AB] [ AC], DE meditore lturii [ AB ], E ( AC) şi DE BC { F} Aflţi lugime lui [ CF ] dcă BC= 8cm, AB= cm şi perimetrul FAB este 8 cm = PROF NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 6 8 : Lturile ABC u lugimile direct proporţiole cu 6,,, ir le EFD sut direct proporţiole cu,, Ştiid că triughiurile u perimetre egle, să se rte că ele sut cogruete PROF GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI 6 8 : Fie triughiul ABC cu AB< AC Bisectore ( Ay ughiului eterior suplemetr BAC itersecteză prelugire lturii BC î puctul M Fie N simetricul lui M fţă de A Bisectore iterioră BAC ND AC = E Demostrţi că BE MN itersecteză ltur BC î D, ir [ ] [ ] { } PROF MARCELA GOŞMAN, ŞCOALA BUZNEA-ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS CLASA A VII-A 7 6 : Determiţi umerele rele petru cre + + şi + + sut simult umere îtregi PROF GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI 7 6 : Clculţi sum: S = PROF MARCELA GOŞMAN, ŞCOALA BUZNEA-ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 6

67 7 6 : Demostrți ieglitte: PROF BOGDAN DORMEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU 7 6 : Rezolvţi î mulţime umerelor îtregi ecuţi: y + = + PROF MIRCEA MARIO STOICA, ARAD 7 65 : Găsiţi umerele turle b şi cc stfel îcât să vem: b = cc+ b PROF NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 7 66 : Arătţi că u eistă şi y di ( ; ) cre să verifice ieglitte: y y+ y PROF AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 7 67 : Fie triughiul isoscel ABC de bză BC şi puctele M ( AB) şi N ( BC) c AM = AB şi BN = BC Demostrţi că MN BC dcă şi umi dcă b= + c b b stfel îcât PROF NICU GOŞMAN, ŞCOALA GARABET IBRĂILEANU, TÂRGU FRUMOS 7 68 : Fie ABC cu lturilor AB= 9cm, AC= 6cm, BC= 5cm î cre se costruiesc îălţime AD, medi BE şi bisectore CF, E ( AC), F ( AB), D ( BC) ) Demostrţi că AD, BE şi CF sut drepte cocurete b) Arătţi că AD este bisectore ughiului FDE PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 7 69 : Uui triughi dreptughic ABC cu m( A ) = 9 i se circumscrie u cerc cu rz R Ştiid că rportul ditre ri cercului şi ri triughiului este π, să se determie măsurile ughiurilor triughiului ABC PROF GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI 7 7 : Fie ABC, dreptughic î A şi puctele D= sim AC, M = sim BA şi E= simbd Arătţi că, dcă ptrulterul CDME este ortodigol tuci si ACB este umăr irţiol PROF IOAN RĂUŢU ŞI IOAN SĂCĂLEANU, HÂRLĂU CLASA A VIII-A 8 5 : Câtul împărţirii umărului turl = ( bc+ cb) + b ( bc+ cb) + c ( cb+ bc) l este 8 Demostrţi că b c b c bc PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU + + = : Să se rte că dcă, b Z, tuci + b se pote scrie c sumă de ptru pătrte PROF MIHALY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV 6

68 8 55 : Ştiid că = şi b= 7 7, determiţi rportul b + b PROF ANA MĂRIOARA SPIRIDON, ŞCOALA IORDACHI CANTACUZINO, PAŞCANI 8 56 : Aflţi umerele turle b stfel c b= + b PROF NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 8 57 : Demostrţi eglitte:,, + = b R + + b + b + b + b+ PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 8 58 : Determiţi, E = N y N cre dă miimul lui PROF GHEORGHE SPIRIDON, LICEUL ECONOMIC NICOLAE IORGA, PAŞCANI 8 59 : U cort sub formă de pirmidă petgolă regultă VABCDE cu tote muchiile cogruete este cofecțiot di mteril l prețul de lei/ m O furică plecă di puctul A și juge î puctul E, pe trseul A C E, deplsâdu-se dor pe suprfț lterlă î miute Știid că drumul re lugime miimă, ir furic se deplseză dor pe suprfț lterlă cu vitez costtă de,7cm/s, determiți prețul cortului (Se cosideră =,7 ) PROF BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÎRLĂU 8 6 : Arătţi că dcă dimesiuile uui prlelipiped dreptughic sut, b, digol prlelipipedului este + b + b + b, oricre r fi umerele, b Q + b + b, tuci PROF NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 8 6 : Fie ABCD u tetredru vâd muchiile ce poresc di vârful D perpediculre două câte două, lugime îălţimii di D eglă cu m şi triughiul ABC cu lugimile lturilor, b, c şi ri bc eglă cu S Să se demostreze că m S PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS ZÂMBETUL ŞTIINŢEI ÎN ACEASTĂ RUBRICĂ VOM TRECE ÎN REVISTĂ CÂTEVA ANECDOTE SEMNIFICATIVE ŞI AMINTIRI DIN VIAŢA CELOR MAI DE FRUNTE MATEMATICIENI D ALE LUI DAVID HILBERT (MATEMATICIAN GERMAN, 86-9) Î timpul uei ditre prelegerile sle, Dvid Hilbet spue: Fiecre om posedă u umit orizot Câd se îgusteză şi devie ifiit de mic, el se trsformă î puct şi tuci omul zice: "Acest este puctul meu de vedere" Dvid Hilbert vorbid despre u elev l său spue: "El deveit poet Petru mtemtică ve puţiă imgiţie" Vorbid despre feciorul său, Dvid Hilbert spue: "Aptitudiile mtemtice el le- moşteit de l mmă-s, ir restul de l mie" 65 CULEASǍ DE NEICU MARA

69 MATEMATICA LICEALĂ CLASA A IX-A 9 5 : Rezolvţi ecuţi [ 7] + 9=, R, ude [ ] umărului rel 9 5 : Să se rezolve, î mulţime umerelor rele, ecuţi: reprezită prte îtregă PROF DOINA ŞI MIRCEA MARIO STOICA, ARAD + = PROF AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 9 55 : Să se demostreze că y + < ştiid că < y< < y + y PROF LAURENŢA DOCA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 9 56 : Demostrţi devărul ieglităţii: si5 cos5 tg65 > PROF MIRCEA MARIO STOICA, ARAD 9 57 : Demostrţi că coordotele două pucte A( ; y ) şi ( ; ) trigoometric, verifică ieglitte: + y y 9 58 : Să determie, y, z R stfel îcât 9 59 : Progresi ritmetică ( ) loc = r, tuci r A A B y, prţiâd cercului A B A B PROF IULIANA BLANARIU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU y + z + y+ yz+ z+ = + y+ z PROF MIHALY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV de umere turle re rţi r N Demostrţi că, dcă re N r r = r şi că r 7 PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU B B 9 6 : Fie triughiul ABC şi puctele I, J di plul triughiului stfel îcât mijlocul mediei di A Descompueţi vectorul IJ AB; AC fţă de bz AI = AB şi J 9 6 : Fie / A, / B, PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS / C mijlocele lturilor BC, ( CA ), respectiv 66 AB le cetrul cercului lui Euler corespuzător ABC, să se demostreze eglitte vectorilă: / / / si A ω A + si B ωb + si C ωc = ABC Dcă ω este PROF MARIUS BREŞUG, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 9 6 : Î ptrulterul cove ABCD, G este cetrl de greutte l BCD şi H este ortocetrul ACD Demostrţi că ABGH este prlelogrm dcă şi umi dcă GA= GB= GC PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

70 CLASA A X-A 6: Se cosideră umerele rele b demostreze că dcă > >, A= ( b) şi B ( b) log = log b Să se + b = b, tuci A B AB PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS + = Reciproc este devărt? Justificţi = ; 7: Se cosideră fmili de fucţii f :( ;) ( ; ), f ( ) ) Arătţi că fucţiile f sut iversbile petru orice b) Aflţi ( ;) ştiid că eistă u itervl I stfel îcât f = f, I PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 8: Determiţi fucţiile f : N N cre îdepliesc simult codiţiile: f + y = f + f y + y + y,, y N ; ) b) f ( ) este cub perfect petru orice N 9: Arătţi că ecuţi ( b) b,, b ( ; ) PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS = re soluţie uică dcă şi umi dcă b = PROF AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU : Se lege l îtâmplre u umăr de trei cifre Să se determie probbilitte c umărul les să ibă sum cifrelor u cub perfect şi cel puţi u veci l său să ibă sum cifrelor u pătrt perfect PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU : Pe lturile AB şi AC le uui triughi orecre ABC, se costruiesc î eterior pătrtele ABDE şi ACFG Dcă M este mijlocul lturii BC, BG EC= { N}, ir O, O cetrele celor două pătrte, rătţi cu jutorul umerelor complee următorele: OO AN, OM OM, DF AN, AM EG şi că EG= AM PROF MARIUS BREŞUG, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS CLASA A XI-A si si 9: Rezolvţi, î mulţime umerelor rele, ecuţi epoeţilă: si e = e PROF GHEORGHE OANCEA, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU : Determiţi, b [ ; ) ştiid că imgie fucţiei f :[ ;] R, să fie itervlul [ ;5 ] b f = + b b PROF AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 67

71 : Clculţi determitul mtricei A ( ij),, : Fie, b ( ; ) cu = cu i j ij ( i+ j) π = si, i, j { ;;} PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS f f b b Arătţi că rportul de vriţie R( ; b) = socit lui b f : ; R, f = l este strict mi mic decât iversul mediei rmoice umerelor şi b PROF IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU : Clculţi limit şirului: lim + lg! + PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS CLASA A XII-A : Fie C Arătţi că dure şi îmulţire umerelor complee structureză mulţime { } M = z C z+ z + c u corp comuttiv PROF RAMONA DARIE, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU : Poliomul f dă restul 8 l împărţire cu + şi restul 8 l împărţire cu Aflţi restul împărţirii poliomului f l poliomul ( ) ( ) + PROF DOINA ŞI MIRCEA MARIO STOICA, ARAD si : Fie fucţiile f, g :( ; ) R, defiite pri f ( ) = + si şi g( ) = f ( ) + 5 e ) Să se determie tote fucţiile derivbile h :( ; ) / / si h ( ) f ( ) e h( ) cos, ( ; ) / si b) Să se clculeze: R cre stisfc eglitte: = + f e + g cos d PROF MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS : Să se rezolve sistemul: + y + z = + y + z =, î mulţime umerelor rele + y + z = PROF MIHᾺLY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV : Clculeze [ ] [ ] [ ] L= lim d l( + ), + + N, ir [ ] este prte îtregă lui PROF MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI 68

72 RUBRICA REZOLVITORILOR Au dt soluţii corecte l PROBLEMELE PROPUSE î umărul 6 l revistei, următorii elevi: COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU CLASA A V-A (prof Gheorghe Oce): Cârl Dri(); Amoşiesei Deis Ioel(); Legă Ismi Mri(); Scutriu Io Aledr() CLASA A VI-A (prof Aurel Neicu): Cimpoi Dumitru(); Dulh Mihi Drgoş() ; Deleu Rdu (); Florişteu Bic() ; Măriuţă Deis Io() ; Morru Edurd() ; Musteţă Robert Adrei() ; Petcu Steli() ; Vicol Ştef() CLASA A VII-A (prof Io Săcăleu): Pvăl Mri Mgdle(); Sturlică Floreti (); Aştefăesei Diel(); Căli Costti(); Cimpoi Smrd(); Cotăreu Mri(); Lugu Mri(); Mtei Rluc(); Mtei Teodor(); Muscă Gbriel(); Urs Otiel(); Voricu Deis() CLASA A IX-A (A prof Io Săcăleu): Chele Dumitriţ(); Loghi Adree(6); Georgescu Ali(); Lugu Mădăli(); Olriu Dumitru Aledru(); Săcăleu Emili Gbriel(6); Scurtu Gbriel(8); (B prof Aurel Neicu): Ţugui Adree Io(); Stoic Lureţiu Iouţ() CLASA A X-A (A prof Io Săcăleu): Ifrim Rreş(); Neicu Mr(); Căliescu A Io(); Tsă Mri(); Luc Gbriel(); Loghi Bic(); Olru Mrius(); (B prof Gheorghe Oce): Lehu Adrei(); Curecheriu Ioel Aledr(); (C prof Iuli Blru): Poruşiuc Nicolet(); Cotiugă Mădăli Adree(); (G prof Rmo Drie): Ţuţuiu Ovidiu Dumitru(); Ilic Aledru Gheorghe() CLASA A XI-A (A+D prof Rmo Drie): Buzilă Adree()+Voricesei Adree Gbriel(); (B prof Io Săcăleu): Plet Deis Ele(); Ceucă Răzv Ştef(); Brău Lris Ele(); Amoşiesei Mri Aledr(); Pitilii Ali Sâzi() CLASA A XII-A ((C prof Rmo Drie): Proc Mihel(); (E prof Iuli Blru): Poruşiuc Io Adree(); 69

73 CONCURSUL DE CREAŢIE MATEMATICĂ AL REVISTEI CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ - te ivită să îţi pui l îcercre ituiţi, perspiccitte, cretivitte î cocepere de probleme origile LA EDIŢIA DIN FEBRUARIE Acum i oczi să propui şi tu probleme, u umi să rezolvi problemele propuse de lţii Aşdr, este o ivitţie l efort, cre v fi îcuută de stisfcţii pe măsură, petru cei elevi cre u îţeles că mtemtic u îsemă umi probleme îcrutte de clcul, mi mult su mi puţi semăătore, ci îsemă cretivitte, imgiţie, efort de gâdire, tote grefte pe o solidă pregătire teoretică Cocursul se dreseză tuturor elevilor (clsele VI-XII) Elevii pot prticip DOAR CU PROBLEME ORIGINALE! Problemele cre u sut origile u vor fi publicte su u vor prticip l premiere Fiecre problemă propusă trebuie sǎ fie îsoţită de rezolvre completă Epediţi problemele folosid u di vritele: pri POŞTĂ, pe dres: COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU, STR MIHAI EMINESCU, NR 5 cu meţiue PENTRU CONCURSUL CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ DIRECT profesorului IOAN SĂCĂLEANU pri , pe dres : cicisme68@yhoocom Î lu februrie fiecărui, vor fi stbiliţi câştigătorii petru fiecre clsă V fi PREMIAT utorul celei mi origile probleme Alte iformţii găsiţi pe site-ul liceului ÎN ATENŢIA ELEVILOR! ELEVII cre vor trimite REDACŢIEI SOLUŢII CORECTE l PROBLEMELE PROPUSE î cest umăr l revistei, pâă pe, vor fi meţioţi î RUBRICA REZOLVITORILOR Se v ţie sem de următorele reguli: Pot trimite soluţii l MINIM PROBLEME propuse î cest umăr ; pe o foie v fi redcttă soluţi uei sigure probleme; Elevii di clsele III VI u dreptul să trimită soluţii l PROBLEME PROPUSE pâă l cls lor şi petru orice clsă mi mre Elevii di clsele VII-XII pot trimite soluţii l PROBLEME PROPUSE petru cls lor, petru orice clsă mi mre şi di DOUĂ clse mi mici, IMEDIAT ANTERIOARE Vor fi meţiote următorele dte persole: NUMELE ŞI PRENUMELE, TELEFON- , CLASA, ŞCOALA, LOCALITATEA ŞI PROFESORUL CLASEI Plicul cu PROBLEME REZOLVATE se v trimite pri poştă pe dres REDACŢIEI: COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU, STR MIHAI EMINESCU, NR 5 su v fi dus direct PROF IOAN SĂCĂLEANU 7

74 SUMARUL Pledorie petru studiul mtemticii, AUREL NEICU PANTEON: Retrospective fective, AUREL NEICU ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE Pricipiul icluderii şi l ecluderii, MONICA DANA BURLICĂ Rezolvre uor sisteme de ecuţii estdrd cu elemete de teori puctului fi, MIHAI CRĂCIUN 5 Mtemtic plictă î rezolvre uor probleme de fizică,anca-maria BOBÎRNǍ 7 Prdoele logice í gâdire tică (I), RAMONA BUJOR 9 VIAŢA MATEMATICǍ ZONALǍ Cocursul Micii mtemticiei, ediţi VII- di 8 prilie Rezulttele cocursului Probleme de cocurs Soluţii Breme de corectre Olimpid loclă, clsele IX-XII, februrie Testre petru cls V- Vritele propuse î mi 6 CLUBUL MICILOR MATEMATICIENILOR Rport de ctivitte 7 CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ- 8 PROBLEME ŞI SOLUŢII Soluţiile problemelor propuse î umărul 6 di Mtemtic pitică9 Mtemtic gimzilă Mtemtic licelă8 PROBLEME PROPUSE Mtemtic pitică59 Mtemtic gimzilă6 Mtemtic licelă66 RUBRICA REZOLVITORILOR 69

75