2

C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics of Nanostructured Solar Cells Editors: V. Badescu, M. Paulescu Nova Science, New York, 00. Ion I Cotaescu, P Gravila, M Paulescu (007) Applying the Dirac equation to derive the transfer matrix for piecewise constant potentials. Physics Letters A 366: 363-366. Ion. I. Cotaescu. Curs de Mecanica Cuantică, Tipografia UVT 990 P. Pereyra, E. Castillo (00) Theory of finite periodic systems: General expression and various simple and illustrative examples. Phys. Rev. B 55, 050. 5. Miscarea libera pe portiuni Odată cu dezvoltarea tehnicilor computaţionale, a fost necesara actualizarea metodelor generale de rezolvare a ecuaţiei Schrödinger. Una dintre metodele cele mai importante porneşte de la discretizarea potenţialului ca funcţie constantă pe porţiuni, reducând astfel mişcarea particulei în câmp variabil la o mişcare liberă pe porţiuni. Problema este studiată în primele lecţii de mecanică cuantică. Figura

Mişcarea unidimensională a particulei în câmp de forţe este determinată de forma energiei potenţiale V(x). Aceasta poate fi o funcţie oarecare, diferenţiabilă, deci continuă, cu excepţia unui număr finit de puncte. O metodă elegantă de rezolvare a ecuatiei Schrodinger porneste de la aproximarea energiei potenţiale cu o funcţie constantă pe porţiuni. Pentru aceasta se alege o partiţie convenabilă a axei reale şi, pe fiecare interval se aproximează funcţia V(x) cu o constanta convenabil aleasă. Având o mişcare liberă pe porţiuni putem scrie soluţiile ecuaţiei Schrödinger pe fiecare interval in care potenţialul este constant. Dar aceasta nu este suficient. Soluţia globală a problemei se obţine prin racordarea funcţiei de unda în punctele de discontinuitate a potentialului. Funcţia de undă trebuie să fie o funcţie continuă şi cu derivata continuă, sau pe scurt de clasă C. 5. Matrici de transfer In principiu, rezolvăm problema transmisiei D printr-o secvenţă arbitrară de bariere de potential printr-o metodă matricială, simplu de implementat computerizat (figura ). Practic problema noastră constă în calculul coeficietului de transmisie Este cunoscut că pentru o particulă liberă descrisă de o undă plană curentului de probabilitate este: T J OUT J IN. C e ikx densitatea k J Im Im ik C C () m m m Cunoasterea amplitudinii C înseamnă cunoaşterea curentului transportat de particulă. Figura

Notam cu IN si OUT stările la intrarea si, respectiv, ieşirea din secvenţa de bariere de potenţial: A e B e, A e B e (3) ik0x0 ik0x0 ikn xn ikn xn IN 0 0 OUT N N şi calculăm coeficienţii AN+, BN+ in funcţie de A0, B0. Considerăm discontinuitatea potenţialului în punctul x. Prin definiţie numim vector de stare matricea: ik x A e ψ ( x) (4) ik x B e Vectorii de stare reprezintă o formă matricială de scriere a funcţiei de undă. Pentru a determina funcţia de undă OUT relativ la functia de undă IN, problema constă în determinarea unei matrici care să coreleze vectori starile IN şi OUT. Calculul poate fi efectuat iterativ, conectând succesiv funcţiile de undă din pozitiile şi +. Astfel, ne interesează o matrice, numită matrice de transfer, M(x), care conectează vectorii de stare în punctul de discontinuitate a potentialului x (descrie transferul între regiuni cu valori diferite ale potenţialului: ψ ( x ) M( x ) ψ ( x ) (5) Evident, matrici de acet tip pot fi definite în fiecare punct în care potenţialul suferă o discontinuitate. Este important de subliniat că aceste matrici sunt dependente de poziţia barierei de potenţial pe axa x. O a doua matrice necesară, denumită matrice de transport, este cea care conectează vectorii de stare in punctele x şi x+ ce definesc o barieră de potenţial: ψ ( x ) M( x, x ) ψ ( x ) (6) Matrici de transport similare pot fi definite pentru orice pereche de puncte între care potenţialul rămâne constant. Astfel o matrice de transfer M(x) schimbă vectorul de stare în altul cu o altă valoare păstrând coordonata nemodificată. Spre deosebire de aceasta matricea de transport M(x,x+) transferă vectorul de stare de la un punct la altul conservând impulsul, adică vectorul de undă. Aceasta se datorează faptului că electronul test este transportat printr-o regiune de potenţial constant. Calculul pentru o succesiune de mai multe bariere de potenţial se poate implementa respectând două reguli simple: 3

. Fiecare punct de discontinuitate a potenţialului va fi caracterizat de o matrice de transfer de tipul (5).. Fiecare domeniu în care potenţialul este constant va fi caracterizat de o matrice de transport de tip (6). De subliniat că vectorul de undă k poate fi real sau complex depinzând de valoarea potenţialului în secţiunea respectivă. 5.3 Calculul matricii de transfer In acest curs calculăm pe rând matricile de transfer şi transport, şi generalizăm calculul pentru structura divizata in N domenii in care potentialul este aproximat constant, din figura. Matricea de transfer in x. In formă matricială condiţiile de continuitate de clasă C se scriu: ik x ik x ik x ik x e e A e e A ik x ik x ik x ik x ik e ik e B ik e ik e B în care vectorul de undă este dat de relaţia: (7) m k E V (8) Scrierea convenţională a relaţiilor de continuitate poate fi regasita efectuand inmultirile in relatia (7). Relatia (7) poate fi rescrisă astfel: x x ik ik ψ ik ik ψ (9) Pentru a sduce relaţia (9) la forma definiţiei matricilor de transfer trebuie să calculăm inversa matricii din stanga şi să înmulţim relaţia (9) cu ea. ik ik ik ik ik (0) ik ik ik ik ik Inmultim relaţia (9) cu rezultatul (0): 4

ik ik ψ ψ ik ik ik ik ik ik x x k k 0 k k x ψ x 0 k k ψ () k k Din compararea definitiei matricii de transfer la interfata cu relatia () rezultă expresia matricii de transfer în punctul x: r r M x () r r unde k r. k Matrice de transport din x in x+. Notăm cu l lărgimea barierei de potenţial definită de coordonatele x+ şi x: l x x Calculăm o matrice de transport care să satisfacă relaţia ψ ( x ) M( x, x ) ψ ( x ) : ik x ik x Ae M M Ae ik x ik x Be M M Be ik x l ik x A e M M A e ik x l ik x B e M M B e Relatia de mai sus trebuie să fie valabilă pentru orice valoare, ceea ce impune M ik l. Rezultă imediat: M şi M 0 e 4 e ik M l. Ca urmarea matricea de transport din x în x+ se scrie: ik l e 0 M x, x ik l (3) 0 e Din () şi (3) rezultă matricea de trasfer totală din x în x+: M( x x ) M( x ) M ( x, x ) 5

Pentru a calcula transmitanţa pentru un număr arbitrar de bariere de potenţial, trebuie calculată matricea de transfer: ik0x0 N iknxn A0e A e N ( x ) ( x, x ) ( xn ) ik0x M M M 0 iknx (4) N B0e 0 BN e De retinut ca N+ este numărul total de discontinuităţi ale potenţialului în structură. Presupunand ca la iesirea din succesiunea de bariere de potential exista doar unda emergentă, coeficientul de transmisie poate fi calculat din ecuaţia: e ( ) e N A M x x A N ik0x0 ik x 0 0 N N T N N N k0 A0 k0 M k A k (9) Ecuaţia (5) dă coeficientul de transmisie printr-o succesiune de N bariere de potenţial, la fiecare interfaţă având o discontinuitate a potenţialului. La seminar si in cursul urmator, vom rezolva mai multe probleme care vor evidentia puterea metodei matricilor de transfer in aplicatiile mecanici cuantice in studiul nanostructurilor. 6