C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate astfel încât axa z să fie orientată pe direcția inițială de mișcare a particulei. Vectorul viteză inițial și vectorul viteză final determină un plan, denumit plan de împrăștiere. Particula împrăștiată părăsește scena la un unghi în raport cu axa z. Figura 1 prezintă desfășurarea procesului de împrăștiere văzut din planul de împrăștiere. (a) FIGURA 1. Barieră sferică de potențial infinită. Notațiile de pe grafic sunt cele standard în studiul problemelor de împrăștiere. 10.1 Descrierea fenomenului de împrăștiere in termenii mecanicii clasice Exemplul de imprăștiere prezentat mai sus (potential infinit), este echivalent cu ciocnirea elastică a unei bile de o sfera cu dimensiuni mult mai mari, rigida si fixa. În teoria clasică, împrăștierea este descrisă în termenii parametrului de impact b, care reprezintă distanța minimă la care s-ar apropia particula de centrul țintei în absența potențialului. Problema centrală în probleme de împrăștiere este următoarea: să se calculeze unghiul de împrăștiere dacă se cunoaște parametrul de împrăștiere b. 1
Din figura 1 se observă că de împrăștiere și parametrul de impact: b= asin, de unde reazultă o legătură importantă între unghiul ( b) arcsin b = = (1) a Reprezentare grafica a relatiei (1) Uneori relația (1) se scrie în forma inversă, și anume: sau ( ) b arcsin = () a b = (3) ( ) a cos 10. Factor geometric Să presupunem că centrul de împrăștiere interacționează cu un flux de particule (N particule pe secundă) distribuite uniform pe o suprafață de rază w mult mai mare decât a. Calculăm numărul de particule împrăștiate pe suprafața A a unui detector, localizat la distanța R de centrul de împrăștiere (Figura ). Presupunem că împrăștierea este izotropă, adică detectorul numără același număr de particule împrăștiate oriunde ar fi plasat pe sfera de rază R, centrată pe detector. Este evident că fracția de particule împrăștiate pe suprafața detectorului este egală cu raportul dintre aria detectorului și aria sferei:
A 4 R A Unghiul solid sub care este văzut detectorul din centrul de împrăștiere = se numește R factor geometric. FIGURA. Schiță care evidențiază poziția detectorului FIGURA 3. (a) Impărțirea sferei centrată pe centrul de împrăștiere în domenii; (b) Secțiune transversală a sferei după planul x-z. Calculăm factorul geometric. Considerăm sfera de rază R centrată pe centrul de imprastiere. Impărțim suprafața sferei în domenii așa cum este arătat în figura 3a și considerăm o bandă circulară de pe suprafață. Banda este definită de locul geometric al punctelor de pe 3
suprafața sferei definite de intervalul unghiular, +. Calculăm aria acestei benzi pe baza secțiunii din figura 3b. Planul x-z taie cercul roșu din figura 3a în două puncte, puncte de asemenea marcate cu roșu în figura 3b. In secțiunea din figura 3b din banda circulară sunt vizibile doar două segmente distincte. Se observă că raza cercului roșu este benzii gri) este ( R sin ) bandă se poate calcula cu relația: Rsin și circumferința acestuia (care formează latura. Lățimea benzii este R. Ca urmare, unghiul solid subîntins de Rsin R = = sin (4) R 10.3 Sectiunea efectiva de imprastiere Din motive de simetrie, în continuare va fi convenabil să considerăm detectorul format dintr-o bandă ca cea din figura 3a. Presupunem fasciculul incident uiform, ceea ce înseamnă că numărul de particule care traversează o secțiune transversală este proporțional cu aria secțiunii. J = Fluxul de particule detectat de detector va fi proporțional cu fluxul de particule incident N w. In continuare consideram un inel din fluxul de particule incident cu raza b și de lărgime b, astfel încât b + b a (figura 4). FIGURA 4. 4
Conform raționamentului anterior, fluxul de particule care traversează inelul va fi proporțional cu aria inelului: J b b Dacă urmărim traiectoriile particulelor considerăm că acestea sunt împrăștiate în unghiul care poate fi calculat pe baza relației (3) și pot fi detectate cu un detector în formă de bandă., d Prin definiție, secțiunea diferențială de împrăștiere este egală cu numărul de particule d împrăștiate în unitatea de timp și în unitatea de unghi solid, raportat la fluxul incident. In cazul particular studiat de noi: Rezultă: ( ) ( ) d 1 nr de particule / sec, cu b b b + = d J d nr de particule / sec cu b b, b + b J b b = = d J sin J sin d b b = d sin (5) Secțiunea diferențială de împrăștiere are valoare mai mare pe direcția în care sunt deviate mai multe particulele și mai mică pe direcția în care sunt împrăștiate mai puține particule. Intrucât în relația (5) sin se află la numitor, când sin 0 secțiunea diferențială de împrăștiere tinde la infinit. In acest caz toate particulele din inel sunt împrăștiate înainte sau înapoi într-un unghi infinitezimal ( b 0). de unghi: In cazul particular al problemei considerate, împrăștierea este izotropă, adică independentă a cos d a a = sin = d sin 4 Se observă că în împrăștierea clasică secțiunea diferențială de împrăștiere este independentă de energie, ceea ce înseamnă că energia particulelor incidente nu are efect asupra traiectoriei lor. (6) 5