Prelucrarea Semnalelor

Transcriere

1 h periodicitate Ieºirea a momentu a unui sistem iniar x Agoritmu ui Goertze Prima ariantã de cacu a TFD ( ) Exprimare echiaentã a TFD [ ] = n = X x[, n= h y def [, x h p p] = u [ p] p Z y sumã de conouþie [ p] = x[ h [ p = x[ n ( Supp x =, ) n= ( p n) X [ ] = y [ ],, p / Funcþia de transfer a sistemuui Ecuaþia recusiã a ieºirii Ecuaþia recusiã a TFD H def p ( z ) =, p ( z) = h [ p] z = z p p y [ y[ n ] = x[, n Z Teorema întîrzierii z Z ( f )( z) = Z ( z > f )( z) y[] = x[] y [] = y[] x[] y[ ] = y[ ] x[ ] = y[ ] = X [ ] 55

2 Agoritmu ui Goertze Exprimare echiaentã ecuaþiei recursie anterioare A doua ariantã de cacu a TFD (îmbunãtãþitã) 3/ ( ) y [ = x[, n, π cos y y înmuþire forþatã cu [ = cu ( ) ( ) x[, n, π [ = y[ n ]cos y[ n ] x[ x[ n ], n, x Schema de de cacu π cos y Iniþiaizare y [ ] = y [ ] = 56

3 57 Schema anterioarã de cacu se poate transforma echiaent, foosind Teorema ui TELLEGE. x x Agoritmu ui Goertze π cos π cos y y Varianta eficientã de cacu a TFD O [ ] = Agoritmu ui Goertze [ ] = π [ = cos π [ ] = cos [ n ] [ ] [ ] 4/ [ n ] x[ X [ ] = y [ ] = [ ] [ ] umãr de operaþii [ [ 4( ) ] ] = ( 5) ~ de 4 ori mai mic

4 Agoritmu fundamenta bazat pe segmentarea în timp (FFT-t) Descris tot în cadru ucrărior rior de aborator ae pachetuui FFT. 5/ umãr de operaþii operaþii O [ ] = [ og ] [ og ] ~ og FFT t 58

5 Fast Fourier Transform def [ ] = X = n x[ n Exprimare echiaentã a TFD, pentru = În cacuu TFD se poate utiiza o pereche de TFD apicate segmenteor par ºi impar ae semnauui origina. Segment par x[] x[] x[ ] TFD "G" Segment impar x[] TFD x[3] "H" x[ ] G[] G[] G[ ] H[] H[] H[ ], X [ ] = X [ ] = Segment cu eºantioane de ordin par m= m= Schema de cacu Principu segmentãrii în timp x[m] x[m] G[] m x[m ] m= m = m m= Segment cu eºantioane de ordin impar x[m ] ( = ) ( = ) ( = ) ( = ) ( = ) ( = ) m (m ) m Segment X[] X [] X [ ] Segment X [ ] X [ ] X [ ] 6/ H[] Periodicitatea ui m 59

6 Dacã = 4, semnau poate fi fi partajat în în 4 segmente (fiecare segment din perechea anterioarã este împãrþitã într-o nouã pereche de segmente, mai scurte). Rezutã cã TFD 4 4 poate fi fi eauatã cu ajutoru a 4 TFD.. În genera, dacã = L,, semnau poate fi fi partajat în în L- L- segmente (fiecare segment aînd doar eºantioane). Rezutã cã TFD poate fi fi eauatã cu ajutoru a (L-) TFD.. Exempu ~ x Segment - x[] x[4] Segment 3-43 x[] x[6] Segment 5-65 x[] x[5] Segment 7-87 x[3] x[7] 3 = 8 = Schema de de cacu trepte de de cacu parae Principu segmentãrii în timp X X[] X [] X[] X[3] X [4] X[5] X[6] X[7] 7/ X [] = x[] x[] X [] = x[] x[] 6

7 6 Prima ariantã de cacu În genera, dacã = L,, aorie TFD se pot obþine cu ajutoru unei scheme de cacu aînd L trepte de cacu parae. 8/ ~ x L L L X Semnau iniþia,,, obþinut prin rearanjarea eºantioaneor ui x, x, este transformat succesi în în semnaee intermediare,,,,, L- L-,, semnau fina L fiind coincident cu TFD.. Fiecare semna are = L eºantioane. [ ] L T [ ] [] [ ], eºantioane. [ ] L Practic, semnau iniþia este rafinat succesi pînã cînd se obþine rezutatu fina. este ersiunea grosierã a TFD.. Aranjarea eºantioaneor ui X în în L :: L = X [ ],, u este necesarã rearanjarea eºantioaneor.

8 Cum se poate reaiza aranjarea eºantioaneor ui x în? Prima ariantã de cacu 9/ Prin inersarea binarã a indexuui iniþia. Obseraþi ºi maniera de indexare pe nieu intermediar. Reprezentare binarã a indexuui iniþia (pe L biþi) Reprezentare binarã a indexuui de segment (tot pe L biþi) 6

9 Prima ariantã de cacu / Reaþiie de cacu dintre eºantioanee ui ºi : m [ m] = [ m] [ m] m [ m] = [ m] [ m] Schema genericã de de cacu L m, L [ m] [ m] m Douã înmuþiri ºi douã adunãri compexe! m m] [ [ m] umãr de operaþii DFT : FFT-t t : O [ 4 ] [ ( ) ] ~ ] = 4 [ O [ ] = [ 4 og ] [ 4 og ] ~ 4 og 63

10 Reaþii de cacu echiaente: A doua ariantã (eficientã) ) de cacu m [ m] = [ m] [ m] m [ m] = [ m] [ m] Antisimetrie: m m = Schema genericã echiaentã de de cacu L m, L / [ m] [ m] butterfy Doar o înmuþire ºi douã adunãri compexe! m m] [ [ m] umãr de operaþii DFT : FFT-t t : O O [ 4 ] [ ( ) ] ~ ] = 4 [ [ og ] [ og ] ~ [ og ] = Exempu = 4 = O [ ] O ~ [ ] ~ 64