BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

Transcriere

1 BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

2 CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac ecuaţia dreptei, deci avem { a +b 4+4 = a ( 4)+b +4 = Din prima ecuaţie deducem b=, iar din a doua a=. (b) Să observăm mai întâi că ecuaţia dreptei AB este y = x, deci are panta m=. Ecuaţia dreptei ce trece prin C şi este paralelă cu AB (adică are tot panta m=) este y 4= (x ), sau y=x+4. (c) Coordonatele mijlocului segmentului ( [CD] sunt mediile aritmetice ale coordonatelor lui C şi D, adică, 4+ ) +( 4) = (, ). (d) Centrul cercului căutat este mijlocul segmentului [BC], asdică (, ), iar lungimea diametrului este lungimea segmentului [BC], adică (( ) + ( 4) = 8=. Atunci raza cercului este (x ) + (y ) = ( ) = =, iar ecuaţia căutată este (e) Avem AB = ( ) + ( ) = AC = ( ) + (4 ) = Prima soluţie. Folosind teorema cosinus, cos BAC = AB + AC BC = + 8 AB AC = = 5 A doua soluţie. Avem AB=(, ) şi AC=(, ). Atunci AB AC cos BAC= AB AC = + =. 5

3 (f) Conform punctelor (a) şi (b), dreptele AB şi CD sunt paralele. Patrulaterul ABCD este deci un trapez. Distanţa h dintre bazele AB şi CD este distanţa 4 de la C(, 4) la dreapta AB : y x=, adică h= + ( ) =. Mai calculăm lungimea segmentului CD = ( 4) + ( 4 ) = 4. Atunci aria este ( AB + CD ) h = ( +4 ) =. Subiectul II.. (a) Cum pentru orice valoare a lui n numitorul este pozitiv, inecuaţia din enunţ este echivalentă cu n n+5. Ecuaţia asociată are rădăcinile n = 5 şi n =, deci soluţia inecuaţiei este n [, 5 ]. In acest interval sunt 5 numere întregi. (b) det A= 5= (c) Matricea B are rangul, dacă şi numai dacă det B= (rangul este cel puţin căci matricea are elemente nenule). Cum det B= m=6 m, rezultă m= 6. (d) Folosind monotonia crescătoare a funcţiei logaritm în baza, avem log p< p< p<9. Cum condiţia de existenţă a logaritmului este p>, soluţia inecuaţiei este p (, 9). Cel mai mare număr natural din acest interval este 8. (e) Avem o sumă telescopică: = ( = ) ( ) = 8. ( 6 7 ) + ( 7 ) = 8. Subiectul II.. (a) Pentru orice x R, f (x)= x. ( ) x 4 (b) f (x) dx= 4 x + x = 4 + = 4

4 (c) Punctele critice sunt soluţiile ecuaţiei f (x)= (x )= x=±. In ambele valori derivata îşi schimbă semnul, deci f are puncte de extrem local. (d) Se observă că x = este o rădăcină a ecuaţiei polinomiale f (x) = x x+=. Atunci polinomul f se divide prin x. Descompunem în factori x x+=x x x+=x(x )(x+) (x )=(x )(x + x ). Ecuaţia de gradul doi x + x = are rădăcinile x = şi x =, deci ecuaţia f (x)=are rădăcini, anume x = x =, x =. Comentariu: Răspunsul este doar dacă privim ecuaţia ca una polinomială. Dacă ne referim la câte numere reale satisfac ecuaţia, atunci răspunsul este. Enunţ prea vag şi interpretabil. (e) lim f (n) f (n) =lim 8n 6n+ n n+ =lim 8 6 n + n n + n = = 8 (a) i= +i, = 4. Subiectul III. (b) Cum ( i) ( i)= i i = (+i)(+i) ( i)(+i) = +i+i i m= şi n=. = i (c) Avem x u=x, x R x u = x, x R x=ux, x R u= = i, rezultă că (d) Presupunem că există un asemenea u C. Atunci în particular, x u=, x R şi conform punctului precedent u=. Obţinem atunci x =x, x C x=x, x C. Contradicţie, căci de exemplu de la punctul (a) avem y y. (e) Fie z=a+ib, cu a, b R. Atunci z z=(a+ib)(a ib)=a i b = a + b R (f) Ecuaţia z = se scrie (z )(z + z+)= şi are rădăcinile z =, z = + i, z = i. Luăm de exempluω=z (puteţi lua la fel de bine şi pe z ) şi avem A={,ω,ω} (g) Fie x, y A, adică x = y =. Atunci (x y) = x y A. ( ) x = x y y = =, deci 5. Subiectul IV. (a) Pentru orice x (, ), avem f (x)= x + x = x (x + ). Să observăm că funcţia g poate fi extinsă (prin abuz de notaţie) la g :R R, g(x)=+x arctg x. Avem nevoie de această observaţie pentru a evita să

5 calculăm derivata laterală în x=. Atunci, pentru orice x R, g (x)= arctg x+ x x + (b) Avem x > x x +, x +x > x, x. Evident. (c) De la (a) se vede că derivata funcţiei f este strict negativă pe tot domeniul de definiţie, deci f este strict descrescătoare pe (, ) şi în particular şi pe [, ). Avem g (x)= x + + x (x + ) = (x + ) >, x R, deci g este convexă perşi în particular şi pe [, ). (d) Conform punctului precedent, g (x)>, x R, deci g este strict crescătoare per. Atunci pentru orice x>avem g (x)> g ()=şi de aici rezultă că g este strict crescătoare pe (, ) şi în particular şi pe [, ). e f (x) e (e) Avem g(x) dx= x dx=ln x e =. (f) Folosind integrarea prin părţi (+x arctg x) dx = + (x /) arctg x dx = +(x /)arctg x (x /) x + dx = + π 8 ( ) dx x + = + π 8 + arctg x = +π 4 (g) Observăm mai întâi că g ( 7 7)= 8 + arctg 7. Folosind punctul (b), pentru orice x avem g (x)=arctg x+ x x + < arctg x+ x = f (x). Cum f este strict descrescătoare pe [, ), rezultă g ( 7)< f ( 7)< f ()= π+4. 4 Pe de altă parte ştim din demonstraţia punctului (d), că g este strict crescătoare pe [, ). Atunci g ( 7)> g ()= π+ 4. 4