. PROBLEME DE PROGRAMARE LINIARĂ DE DIMENSIUNI MARI Una dintre auzele are reează difiultăţi în rezolarea problemelor de optimizare reale ete dimeniunea aetora. În programarea matematiă, mărimea unei probleme ete o hetiune relatiă, depinzând de mulţi parametri um ar fi numărul de ariabile şi numărul de retriţii au ompleitatea epreiilor funţiei obieti şi a retriţiilor. Din feriire, marea majoritate a problemelor de optimizare mari au o trutură partiulară are e tradue prin: eitenţa unui număr mi de parametri numerii nenuli; gruparea elementelor nenule în blouri diagonale; număr foarte mare de ariabile şi relati puţine retriţii au iner, multe retriţii şi puţine ariabile. Formularea unei probleme de optimizare şi implementarea aeteia ub forma unei apliaţii oftware ete o arină impoibilă pentru problemele de dimeniune mare daă nu au o trutură peială. Atfel, în azul unui program liniar u 4 ariabile şi retriţii, matriea oefiienţilor retriţiilor ar aea 7 elemente. Daă majoritatea aetora unt nenule, introduerea lor de la tatatură ete impoibil de realizat hiar pentru un număr mare de operatori...claifiarea metodelor de rezolare a programelor liniare mari În prinipiu metodele de rezolare a programelor mari e împart în două ategorii: a. metode direte, are partiularizează o proedură generală adaptând-o la peifiul unei anumite lae de probleme de optimizare reprezentat printr-o formă partiulară. Atfel, în azul algoritmului imple prinipala problemă de alul o ontituie obţinerea inerei bazei urente. În azul unei truturi partiulare ete poibil a dimeniunea aetei matrii ă e reduă emnifiati. Daă e onideră un program liniar u ariabile mărginite uperior: 4
ma F n j a ij j j n j b u j i j j i,..., m j,..., n (.) Abordarea laiă preupunea tranformarea ondiţiilor de limitare uperioară în egalităţi: ma F n j j j a ij j n j n j b i j j i,..., m u j j,..., n j,...,n (.) are are a rezultat un program u mn retriţii şi n ariabile, ale ărui baze erau matrii de ordinul mn. Forma partiulară a retriţiilor de limitare uperioară a putut fi eploatată efiient într-o partiularizare a algoritmului imple în are inera bazei urente are dimeniunea egală u numărul m al retriţiilor iniţiale. b. metode indirete, bazate pe deompunerea problemei mari în ubprobleme mai mii, interonetate. Subproblemele pot fi rezolate independent şi imultan (daă ete poibil). Ete neear ă eite un meanim de oordonare, ub forma unei probleme partiulare. Atfel, rezolarea problemei originale mari e fae la două nieluri: la primul niel - inferior - e rezolă ubproblemele în are a fot deompuă problema iniţială; oluţiile obţinute unt tranmie ătre nielul următor ; la al doilea niel - uperior - are analizează aete rezultate şi tranmite nielului inferior noi parametri prin are e modifiă ubproblemele. La primul niel e fae reoptimizarea problemelor iar noile rezultate unt trimie nielului uperior are le analizează ş.a.m.d. Aet proe iterati ete onergent în enul ă într-un număr finit de paşi (tranferuri de parametri şi rezultate între ele două nieluri), nielul oordonator tabileşte oluţia optimă. 4
.. Deompunerea în programarea liniară Se onideră un program liniar în formă tandard: ma F ( P) A b (.) În ontinuare e a înera rezolarea problemei prin deompunerea a în mai multe ubprobleme mai mii, a ăror rezolare ete interorelată. Pentru aeata e împarte itemul Ab al retriţiilor (are are mai multe neunoute deât euaţii) în două iteme mai mii: itemul format din primele m (m <m ) retriţii: Mp ; itemul format din ele m m - m retriţii rămae: Nq. Ete unout faptul ă mulţimea oluţiilor admiibile ale itemului liniar Mp: D { R n M p, } ete un domeniu poliedral (o intereţie finită de emipaţii din R n ) are are un număr finit de ârfuri,,...,. Aete ârfuri reprezintă oluţiile admiibile de bază ale itemului MX p. În ontinuare e a preupune ă D ete mărginit (ipoteză are ete îndeplinită în majoritatea azurilor pratie). În aete ondiţii orie punt al domeniului poliedral D poate fi ri a o ombinaţie oneă a ârfurilor domeniului: ( ) D,,..., ; a.î....... Înlouind în itemul N q şi în funţia obieti F e obţine: N q F F ( N ) q ( ) (.4) Cu notaţiile: Q N, γ,..., (.5) 4
e obţine următorul program liniar ehialent u programul (P): maf γ ( PM ) Q q,..., (.6) are are a ariabile alarii,..., oluţie optimă a programului (PM) atuni optimă a programului original (P).,. Daă (,,..., ) ete o ete o oluţie Programul (PM) e numeşte program oordonator (program mater) şi are următoarele proprietăţi: are mai puţine retriţii deât (P): doar m faţă de mm m ; are în general un număr foarte mare de ariabile, âte una pentru fieare ârf al domeniului D; rezolarea programului (PM) neeită - el puţin la prima edere - unoaşterea ârfurilor,,..., fără de are nu e pot ealua olanele Q şi alarii γ, γ,..., γ. Determinarea aprioriă a tuturor ârfurilor,,..., ete o arină difiilă. Din feriire, aşa um e a edea în ontinuare, rezolarea programului (PM) nu neeită unoaşterea aprioriă a tuturor ârfurilor,,...,. Pe parurul apliării algoritmului imple aetui program, ârfurile domeniului D, abolut neeare în optimizare, or fi obţinute prin rezolarea unor programe liniare de forma: ma F ( P( U ) M p u N) (.7) în are u ete un etor ale ărui omponente e tabile şi e modifiă în funţie de tadiul rezolării programului (PM). 44
Rezolarea programului original (P) -a redu la: rezolarea programului oordonator (PM); rezolarea mai multor probleme de forma P(u) toate de dimeniuni mai mii deât ele ale programului (P). Nielul Programul oordonator (PM) tranmite oluţia optimă are ete un ârf al domeniului D tranmite etorul de parametri u daă nu -a găit oluţia optimă a programului (PM) Nielul Programul ubordonat P(u) Figura. Prinipiul metodei deompunerii Cele epue mai u ontituie eenţa prinipiului de deompunere Dantzig Wolfe are poate fi foloit atuni ând programul (P) are un număr foarte mare de retriţii. Aantajele deompunerii unt mai importante daă M are o trutură diagonală: M M M.. M r (.8) în are M,M,...,M r unt matrii de diferite dimeniuni. Pentru implifiarea epunerii e a preupune ă M are doar două blouri M şi M, dei programul (P) poate fi partiţionat atfel: M A M M b p p p (.9) N N N q 45
Programul (P) are dei forma: ma ) ( b A F P ( ) ( ), ma q N N p M p M F (.) Se oberă ă problema P(u) e deompune în două ubprobleme independente (are pot fi rezolate imultan): ( ) ( ) ma ) ( p M N u F u P (.) ( ) ( ) ma ) ( p M N u F u P (.) Shema de rezolare a programului (P) din figura. deine: Programul oordonator (PM) Niel u oluţii optime u Subproblema P (u) Subproblema P (u) Niel Figura. Metoda deompunerii pentru retriţii u trutură diagonală 46
.. Interpretarea prinipiului de deompunere Se onideră o eonomie u mai mulţi agenţi, fieare dintre aeştia defăşurând un număr de atiităţi de pe urma ărora obţin un anumit enit. Pentru defăşurarea aetor atiităţilor ei utilizează anumite reure diponibile în antităţi limitate. Obietiul fieărui agent ete maimizarea enitului propriu. Daă fieare agent ar deţine ontrolul aupra tuturor reurelor neeare lui atuni maimizarea enitului la ara întregii eonomii -ar redue la maimizarea enitului fieărui agent în parte. În realitate fieare agent deţine ontrolul aupra anumitor reure numite reure peifie: apaităţi proprii de produţie, forţa de mună angajată, reure finaniare proprii, unele materii prime utilizate în eluiitate. Pe lângă reurele peifie, fieare agent utilizează şi alte reure are nu unt la dipoziţia a eluiă, denumite reure omune; aete reure unt prourate de pe piaţă, la onurenţă u eilalţi agenţi, datorită faptului ă unt diponibile în antităţi limitate. În aet ontet, problema prinipială are e pune ete de a tabili um or fi repartizate reurele omune între agenţi atfel înât, la ara întregii eonomii, enitul ă fie maim. Într-o eonomie entralizată, repartizarea reurelor omune ete făută de tat are indiă fieărui agent e şi ât ă produă. Se pune problema repartizării reurelor omune într-o eonomie deentralizată în are autoritatea entrală nu mai deţine ontrolul aupra aţiunilor agenţilor. Pentru ilutrarea prinipiului metodei e a analiza azul ideal al unei eonomii liniare, araterizate prin următoarele ipoteze: pentru fieare atiitate, onumurile de reure şi enitul unt diret proporţionale u nielul la are ete defăşurată atiitatea; nielul de defăşurare al unei atiităţi poate fi reprezentat de orie număr real nenegati; eniturile agenţilor nu e ondiţionează reipro şi unt egale u uma eniturilor atiităţilor defăşurate de fieare. Venitul la ara întregii eonomii ete uma eniturilor agenţilor. 47
Pentru implitate, în ontinuare e a onidera ă în eonomia tudiată eită numai doi agenţi. Se foloe notaţiile:, - etorii programelor de produţie ale elor doi agenţi; p, p - etorii antităţilor diponibile din reurele peifie; M, M - matriile onumurilor unitare de reure peifie; N, N - matriile onumurilor unitare din reurele omune; Q - etorul antităţilor diponibile de reure omune;, - etorii eniturilor unitare orepunzătoare atiităţilor defăşurate de ei doi agenţi. Eident, nielele de operare ale atiităţilor agenţilor unt ondiţionate de antităţile diponibile de reure peifie: şi în plu: M p M p (.) (.4) Vetorii, are atifa relaţiile (.) - (.4) e or numi programe poibile de atiitate. Un uplu de programe poibile (, ) deine realizabil numai daă neearul de reure omune e înadrează în diponibilul dat adiă: N N q (.5) Venitul total pe item are epreia: F ( ) ( ) (.6) Reunind (.) (.6) obţinem programul liniar: ( ) ( ) ma F M p ( P) M p N N q, (.7) 48
Aeta modelează problema repartizării atât a reurelor peifie fieărui agent âr şi a reurelor omune în ederea maimizării enitului pe întreaga eonomie. Oberăm ă matriea programului are trutura blo diagonală u retriţii de uplare, identiă u trutura pe are -a prezentat prinipiul de deompunere Dantzig - Wolfe. Din punt de edere formal, problema repartizării reurelor omune într-o eonomie deentralizată îneamnă rezolarea programului (P) prin are e urmăreşte maimizarea enitului pe anamblul eonomiei în ondiţiile în are nii agenţii nii autoritatea entrală nu au informaţii omplete aupra aetuia. Atfel: - agentul ontrolează (unoaşte) p, M, N, ; - agentul ontrolează (unoaşte) p, M, N, ; - autoritatea entrală ontrolează (unoaşte) q. Maimizarea enitului fieărui agent, ţinând eama numai de reurele ale peifie, reine formal la rezolarea programelor: ma F ( P ) M p ma F ( P ) M p ( ) ( ) (.8) dar nu rezolă problema repartizării reurelor omune deoaree, daă şi unt oluţiile optime ale programelor (.8), ete poibil a: N N > q (.9) În ontinuare e arată - în prinipiu - um poate fi rezolat programul (P) din (.7) în ituaţia în are nii autoritatea entrală şi nii agenţii nu deţin informaţii omplete aupra programului. 49
Se preupune ă: între autoritatea entrală şi agenţi eită o ooperare în enul unui himb de informaţii priind intenţiile de aţiune: fieare agent tranmite autorităţii entrale programul ău de produţie pe are îl onideră optim; autoritatea entrală îşi aumă rolul de arbitru în enul ă ea tabileşte un item de preţuri pe reurele omune iar agenţii iau aete preţuri a impue şi îşi diminuează eniturile u aloarea reurelor omune pe are le oliită, fiindu-le neeare pentru defăşurarea atiităţii proprii. Fie u etorul are are a elemente aete preţuri. Ţinând ont de oniderentele anterioare rezultă ă: - agentul, pentru uţinerea unui program poibil (M p, ), a trebui ă uporte oturile uplimentare u N atfel ă enitul ău real a fi: ( ) u N ( ) ( u N ) F (.) - analog, enitul real al agentului, rezultat din programul poibil X (A X b, X ), a fi: ( ) u N ( ) ( u N ) F (.) Maimizarea aetor enituri nete îneamnă rezolarea programelor modifiate: ma F P ( U ) M p ma F P ( U ) M p ( ) u N ) ( ) u N ) (.) (.) Agenţii omuniă autorităţii entrale propunerile optimale din puntul lor de edere şi. 5
În prinipiu, autoritatea entrala analizează oportunitatea luării în oniderare a aetor propuneri pentru maimizarea enitului pe eonomie şi poate deide modifiarea itemului de preţuri, mărind preţurile reurelor omune oliitate. Noile preţuri unt omuniate agenţilor; aeştia or ăuta noi oluţii are ă le maimizeze eniturile nete în noile ondiţii. Eident, prin reşterea preţurilor la anumite reure omune (în peial la ele pentru are e depăşeşte diponibilul), ererile din aete reure or fi redue. Formal, ele pue îneamnă reluarea programelor P (u), P (u) u u modifiat. Important ete ă într-un număr finit de aemenea himburi de informaţii între agenţi şi autoritatea entrală, or rezulta oluţiile şi are maimizează enitul total pe eonomie. În general, şi nu oinid u una au alta dintre propunerile agenţilor (propuneri făute în adrul dialogului u amintit) i unt ombinaţii onee ale aetora. ot odată a rezulta şi un item u * de preţuri pe reurele omune în raport u are şi maimizează eniturile nete indiiduale ale agenţilor. Spunem ă tripletul (,,u * ) reprezintă un ehilibru pentru eonomia (liniară) oniderată. Dialogul dintre autoritatea entrală şi agenţi poate fi reprezentat atfel: Niel Autoritatea entrală Propuneri Propuneri programe programe u atiitate atiitate Niel Preţuri pe Agent reurele omune Agent Fig.?. Găirea oluţiei optime într-o eonomie deentralizată 5
.4. Algoritmul de deompunere Dantzig - Wolfe Se admite pentru moment ă unt unoute toate ontantele programului (PM) din (.6). Vom aplia aetui program eriunea reizuită a algoritmului imple. Daă e preupune unoută o bază admiibilă e poate împărţi etorul al ariabilelor în raport u aeată bază ub forma: B R (.4) unde B ete etorul ariabilelor din bază iar R al elor eundare. Soluţia aoiată aetei baze a aea forma: B B B u q (.5) R R Baza fiind preupuă admiibilă, rezultă ă omponente nenegatie. B are numai B Fie π ( γ ) B etorul multipliatorilor imple aoiaţi bazei oniderate (γ B ete etorul format din oefiienţii γ ai ariabilelor din B ) Valoarea funţiei obieti F în oluţia de bază a fi: F π (.6) q Elementele numerie B -, B, F şi π pot fi reunite într-un tabel numit tabel imple redu de forma următoare: 5
B B B - (.8) F F π Vetorul multipliatorilor imple π poate fi partiţionat a: π π u π fiind notată prima omponentă iar u uprinzându-le pe u elelalte. etarea optimalităţii oluţiei admiibile urente neeită alularea oturilor redue: def γ π Q π u π ( Q γ u γ N) [ π, u π u ] Q γ N,..., (.9) După um e ştie, daă γ,..., atuni ete o oluţie optimă a programului (PM). Pentru a edea daă e întâmplă aet luru ete ufiient ă e ealueze: minγ,..,,.., π ma( min[ π (,.., u N) u N) ] (.) Se oberă ă ma( u N) ete aloarea maimă a funţiei,.., liniare F ( u N) pe ârfurile mulţimii poliedrale mărginite D. Ealuarea aetui maim nu neeită unoaşterea aprioriă a ârfurilor,...,, fiind ufiient ă e rezole programul liniar: 5
ma F ( P( u) M p u N) (.) Fie * o oluţie optimă a programului P(u) şi F aloarea funţiei obieti F în * ( * fiind unul din ârfurile domeniului D). În aete ondiţii e poate rie: atfel ă: F ) ( u N) ma( u N (.),.., * min γ π F (.),.., Daă π F (de faptπ F ) atuni oluţia ete optimă, eea e permite găirea oluţiei optime a problemei iniţiale ub i forma * i uma fiind făută pentru toate omponentele i nenule şi ârfurile lui D orepunzătoare aetor omponente. Daă π F e alulează Q * N *, γ şi e < introdue în baza urentă oloana. Q După ealuarea oloanei B e determină oloana are Q părăeşte baza atuală şi e piotează tabelul imple redu urent, intrându-e într-o nouă iteraţie. Din derierea făută rezultă ă ameliorarea oluţiei admiibile de bază - preupuă dată - nu a neeitat unoaşterea de la îneput a tuturor ârfurilor domeniului D; ârful neear în proeul de optimizare -a obţinut rezolând un program liniar de forma P(u) u un etor u adeat. 54
Eemplu Se onideră o eonomie liniară deentralizată în adrul ăreia doi agenţi defăşoară âte o atiitate. Fie şi intenităţile elor două atiităţi (de eemplu produţiile realizate). Reurele peifie ontrolate de fieare din ei doi agenţi limitează intenităţile atiităţilor după um urmează: 4, Suţinerea atiităţilor neeită două reure omune ăror diponibil ete limitat şi ontrolat de o autoritate entrală. Pentru o intenitate egală u unitatea, etorii onumurilor din ele două reure omune unt: pentru prima atiitate şi pentru a doua. Vetorul 9 antităţilor diponibile din reurele omune ete. 7 Veniturile unitare obţinute în urma elor două atiităţi, eprimate în unităţi monetare, unt de 7 pentru prima atiitate şi de 6 pentru ea de a doua. Fieare agent aută ă obţină un enit ât mai mare, dar ei nu deţin ontrolul aupra reurelor omune. Pe de altă parte, eonomia fiind deentralizată, autoritatea entrală nu poate impune agenţilor nielurile la are aeştia trebuie ă defăşoare atiităţile proprii. Obietiul urmărit ete maimizarea enitului total pe eonomie. Formal, problema ontă în rezolarea programului liniar: ma f 7 6 ( P ) 9 5 45 7, în ituaţia în are nii agenţii, nii autoritatea entrală nu deţin "informaţii omplete" aupra programului (P). 55
Soluţia aetei probleme (obţinută apliând algoritmul imple) ete :,86 7 9,857 7 După um -a ăzut, rezolarea ete poibilă prin ooperarea dintre agenţi şi autoritatea entrală, pe baza algoritmului de deompunere Dantzig - Wolfe. Sitemul retriţiilor poate fi împărţit în două blouri: p M 7 45, 5 9 unde 7 45 5 9 q N q N Prinipiul de deompunere propune rezolarea programului: Q f,..., 7 45 ma γ în are: N Q,..., 6] 7 [ γ unde,..., unt ârfurile mulţimii poliedrale: { } { } ; ), (, ), ( p M D 56
Ete eidentă mărginirea mulţimii D. Forma matematiă a aetei probleme ehialente, obţinută ţinând ont de ârfurile dei: ; ; ; 4 [ ] ; ; ; 6 7 4 4 γ γ γ γ repeti: ; 8 57 ; 6 7 5 9 4 4 N Q N Q N Q N Q are forma:,...,4 7 8 6 45 57 7 ma 4 4 4 4 f u două ârfuri ale poliedrului oluţiilor admiibile a oluţii optime:,467,595,57 4,649,95,476 4 O dată obţinută oluţia optimă a programului propu, oluţia optimă a programului original (P) a rezulta din relaţia: {,...,, } 57
X repeti: ;,86,857,567,595,57 4 şi: ;,86,857,649,95,476 4 rezultând tomai oluţia problemei de programare liniară iniţială. Se apliă algoritmul imple reizuit formei tandard:, ;,..., ` 7 45 ma ) ( y y y y Q F PM γ Variabilele eart y, y arată e antităţi din reurele omune R, R rămân nefoloite. Programul (PM) are trei retriţii şi e ede uşor ă matriea a onţine oloanele unitare şi orepunzătoare ariabilelor y, y. Pentru o bază unitară de tart ar trebui şi oloana are nu ete tot aşa de "izibilă". S-ar putea introdue o ariabilă artifiială în retriţia de oneitate. 58
Pentru problema oniderată e poate proeda mai implu daă e oberă ă etorul nul ete unul din ârfurile,..., ale domeniului D (nu întotdeauna ete aşa); e poate preupune ă. Atuni Q N şi γ, în onluzie, matriea programului (PM) onţine oloana unitară. Q Atfel, pentru (PM) e dipune de baza unitară orepunzătoare ariabilelor, y şi y. oate aete ariabile au oefiienţi nuli în B funţia obieti aşa ă : γ (,,). În oneinţă, etorul multipliatorilor imple aoiaţi bazei unitare indiate ete: π B ( γ ) B ] [,, din are rezultă π, u [,]. Vetorul alorilor ariabilelor bazie are omponentele: B B 45 45 y 7 7 y Valoarea funţiei obieti ete: f B B γ π 45 7 oate aete elemente formează tabelul imple redu de tart: 59
( ) y 45 y 7 F Coniderarea ârfului ugerează ă, la iniţierea dialogului între agenţi şi autoritatea entrală, e pleaă de la ituaţia în are ele două atiităţi nu e defăşoară:,. Valorile y 45, y 7 arată ă reurele R şi R nu unt deoamdată oliitate. S-a ăzut ă etorul u are emnifiaţia de item de preţuri pe reurele omune. Aete preţuri unt tabilite de ătre autoritatea entrală şi tranmie agenţilor, are or înera ă-şi maimizeze eniturile plătind otul reurelor omune oliitate. Propunerile de programe de atiitate unt tranmie de ei doi agenţi autorităţii entrale are îneară, pe baza lor şi a propunerilor anterioare, ă ontruiaă o ombinaţie are ă e înadreze în diponibilul limitat de reure omune şi ă onduă la un enit total ât mai mare. Iteraţia Autoritatea entrală anunţă itemul de preţuri u (,) altfel pu oferă reurele omune gratuit. Soluţia poate fi găită prin rezolarea problemei: ma F 7 6 P ( u (,)), are ontă în rezolarea de ătre agenţi ai programelor: P ( u ma F (,)) 7 P ( u ma F (,)) 6 u oluţia optimă eidentă: 6
,, 7 6 F pe are o trimit a propunere de program de atiitate autorităţii entrale; deoaree: π F < oluţia obţinut nu ete optimă; baza urentă trebuie himbată prin introduerea unei noi oloane din matriea programului (PM). Aeată oloană e generează atfel: Vetorul - notat în teorie u * - ete un alt ârf al domeniului D, ă ziem. Calulăm: 9 5 57, [7 6] Q N 8 γ Coloana are intră în bază a fi: 57. Q 8 Calulele uzuale ale unei iteraţii din algoritmul imple reizuit unt indiate mai jo: Q B - Q y 45 57 57 y 7 8 8 F - π F 4/9 -/57 5/9 /57 ( ) y /9-8/57 F 495/9 /9 π u 6
Iteraţia Autoritatea entrală anunţă noile preţuri: u (/9, ). După um e ede, reura R ete înă oferită gratuit, deoaree y /9 arată ă: 4 5 9 9 45/9 /9 nu utilizează integral aeată reură. Se determină etorul eniturilor unitare nete: u 9 N [7,6], 9 5 4, 9 5 9 Agenţii or aea de rezolat programele: 4 ma F 9 P u 9 ma F P u 9 5 9 a ărui oluţie optimă ete:,, 4 9 F 9 Soluţia obţinută arată ă la otul atual al reurelor omune agentul are un enit net poziti, dei îşi poate permite ă proure reurele R şi R în antităţile neeare pentru defăşurarea atiităţii ale la nielul maim poibil. Pentru agentul, reura R are un ot prea ridiat: oriât de mi ar fi nielul de defăşurare al atiităţii proprii, otul reurelor R şi R depăşeşte enitul ău atfel ă deizia a a fi ă întrerupă atiitatea. Deoaree : 6
π f 9 < ombinaţia obţinută din tabelul ( ) nu ete optimă. Noua propunere a agenţilor ete un alt ârf, ă ziem, al mulţimii D, are a produe oloana e îmbunătăţeşte baza urentă: γ 9 Q N [7,6] 5 7 6 În aete ondiţii intră în bază oloana: 7 Q 6 Piotăm tabelul urent ( ): B - Q Q 4/9 -/57 /9 5/9 /57 7 9/9 y /9-8/57 6 4/9 F 495/9 -/9 π F / /6-5/ ( ) 9/4 / -/4 /4-4/6 9/4 F 94/7 5/ 7/7 π u 6
Iteraţia Noul item de preţuri pe reurele omune anunţat de autoritatea entrală a fi: u (5/, 7/7) Veniturile unitare nete ale agenţilor dein: 5 7 9 5 u N [ 7,6], [7,6] [7,6] [,] 7 Atfel, funţia obieti a programului P(u (5/,7/7)) ete ontantă: F ( u N) şi în oneinţă aloarea ei maimă a fi F. Deoaree π F oluţia din tabelul ( ) ete oluţia optimă a programului (PM). Soluţia optimă a programului original (P) ete ombinaţia oneă a elor trei propuneri,, : 9,857 4 4,86 iar enitul maim total are aloarea (ma)f 94/7. 64