Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29

Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale unui şir. Definiţie Se numeşte şir de numere reale o funcţie f : N R. Fie şirul de numere reale f : N R. Pentru fiecare n N, vom nota prin x n valoarea funcţiei f în punctul n, adică x n = f (n), pentru orice n N. Numerele x 0, x 1, x 2,... se numesc termenii şirului f, iar numărul x n se numeşte termenul general al şirului f. Vom nota şirul f prin sau, pe scurt, (x n ) n 0. x 0, x 1, x 2,... Analiză Matematică Lucian Maticiuc 2 / 29

Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale unui şir. Observaţie Dacă primii k termeni, x 0, x 1,..., x k 1, nu sunt definiţi, adică funcţia f este definită pe mulţimea N k = {n N; n k} = {k, k + 1, k + 2,...}, atunci vom nota şirul prin (x n ) n k. Exemplu (1) Şirul numerelor naturale: 0, 1, 2, 3,...; termenul general al acestui şir este x n = n. (2) Şirul numerelor naturale pare: 0, 2, 4, 6,...; termenul său general este x n = 2n. { 1, n par (3) Şirul (x n ) n 0 cu termenul general x n = 0, n impar. Termenii acestui şir sunt: 1, 0, 1, 0,... Analiză Matematică Lucian Maticiuc 3 / 29

Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale unui şir. Exemplu (4) Fie a, r R. Şirul (x n ) n 0 definit prin relaţia de recurenţă x n+1 = x n + r, n 0, x 0 = a, se numeşte progresie aritmetică. Din orice termen al şirului se obţine termenul care-l succede prin adăugarea raţiei r. Prin inducţie matematică se obţine formula termenului general al şirului: x n = a + nr, n 0. Suma primilor n + 1 termeni ai şirului este: S n = x 0 + x 1 +... + x n = a + (a + r) +... (a + nr) = (n + 1) a + r (1 + 2 +... + n) n (n + 1) = (n + 1) a + r = (n + 1) (a + n ) 2 2 r = n + 1 (x 0 + x n ). 2 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 4 / 29

Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale unui şir. Exemplu (5) Fie b, q R. Şirul (x n ) n 0 definit prin relaţia de recurenţă x n+1 = x n q, n 0, x 0 = b, se numeşte progresie geometrică. Prin inducţie matematică se obţine formula termenului general al şirului: x n = bq n, n 0. Calculăm suma primilor n + 1 termeni ai şirului. Avem S n = x 0 + x 1 +... + x n = b + bq +... + bq n = b (1 + q +... + q n ). Dacă q 1, atunci S n = b ( q n+1 1 ). Dacă q = 1, atunci q 1 S n = (n + 1) b. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 5 / 29

Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale unui şir. Şiruri mărginite Definiţie Spunem că un şir de numere reale (x n ) n 0 este: (i) mărginit inferior dacă există α R astfel încât α x n, pentru orice n N; (ii) mărginit superior dacă există β R astfel încât x n β, pentru orice n N; (iii) mărginit dacă există α, β R astfel încât α x n β, pentru orice n N. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 6 / 29

Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale unui şir. Observaţie Un şir (x n ) n 0 este mărginit dacă şi numai dacă există M > 0 astfel încât x n M, pentru orice n N. Definiţie Spunem că un şir de numere reale este nemărginit dacă nu este mărginit. Observaţie Un şir este nemărginit fie dacă nu este mărginit inferior, fie dacă nu este mărginit superior, fie dacă nu este mărginit nici inferior, nici superior. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 7 / 29

Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale unui şir. Exemplu (1) Şirul x n = ( 1) n, n N, este mărginit, pentru că x n 1, pentru orice n N. (2) Şirul x n = sin n, n N, este mărginit, pentru că x n = sin n 1, pentru orice n N. (3) Şirul x n = n, n N, este nemărginit, nefiind mărginit superior; însă este mărginit inferior, pentru că 0 x n, pentru orice n N. (4) Şirul x n = n, n N, este nemărginit, nefiind mărginit inferior; însă este mărginit superior, pentru că x n 0, pentru orice n N. (5) Şirul x n = ( 1) n n, n N, este nemărginit, nefiind nici mărginit inferior, nici mărginit superior. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 8 / 29

Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale unui şir. Şiruri monotone Definition Spunem că un şir (x n ) n 0 este: (i) crescător (strict crescător) dacă x n x n+1 (respectiv x n < x n+1 ), pentru orice n N; (ii) descrescător (strict descrescător) dacă x n x n+1 (respectiv x n > x n+1 ), pentru orice n N. Un şir (x n ) n 0 (strict) crescător sau (strict) descrescător se numeşte şir (strict) monoton. Observaţie Orice şir strict monoton este monoton, nu şi reciproc. De exemplu, orice şir constant este monoton (atât crescător cât şi descrescător), dar nu este strict monoton. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 9 / 29

Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale unui şir. Observaţie Pentru a stabili monotonia unui şir, fie studiem semnul diferenţei x n+1 x n, fie comparăm raportul x n+1 cu 1, dacă (x n ) n 0 este un şir cu termeni strict pozitivi. Mai precis, (a) dacă x n+1 x n 0 (x n+1 x n > 0), pentru orice n N, atunci şirul (x n ) n 0 este crescător (respectiv strict crescător); (b) dacă x n+1 x n 0 (x n+1 x n < 0), pentru orice n N, atunci şirul (x n ) n 0 este descrescător (respectiv strict descrescător). În cazul unui şir (x n ) n 0 cu termeni strict pozitivi, (a) dacă x n+1 1 ( x n+1 > 1), pentru orice n N, atunci şirul (x n ) x n x n 0 n este crescător (respectiv strict crescător); (b) dacă x n+1 1 ( x n+1 < 1), pentru orice n N, atunci şirul (x n ) x n x n 0 n este descrescător (respectiv strict descrescător). x n Analiză Matematică Lucian Maticiuc 10 / 29

Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale unui şir. Exemplu (1) Şirul x n = 2n + 1, n 0, este strict crescător. (2) Şirul x n = 1, n 1, este strict descrescător. n (3) Şirul x n = ( 1)n, n 1, nu este monoton. n Observaţie (i) Există şiruri mărginite, care nu sunt monotone. De exemplu, şirul x n = ( 1) n, n 0. (ii) Există şiruri care sunt monotone, dar nu sunt mărginite. De exemplu, şirul x n = 2n + 1, n 0. Totuşi, (a) dacă şirul (x n ) n 0 este crescător, atunci x 0 x n, pentru orice n N, deci (x n ) n 0 este mărginit inferior de x 0 ; (b) dacă şirul (x n ) n 0 este descrescător, atunci x 0 x n, pentru orice n N, deci (x n ) n 0 este mărginit superior de x 0. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 11 / 29

Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale unui şir. Subşiruri ale unui şir Definition Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale şi (n k ) k 0 un şir strict crescător de numere naturale. Şirul (x nk ) k 0 se numeşte subşir al şirului (x n ) n 0. Exemplu Luând n k = 2k, k 0, se obţine subşirul (x 2k ) k 0 al termenilor de rang par şi pentru n k = 2k + 1, k 0, se obţine subşirul (x 2k+1 ) k 0 al termenilor de rang impar. Pentru şirul x n = ( 1) n n, n 0, subşirul termenilor de rang par este x 2k = 2k, k 0, iar subşirul termenilor de rang impar este x 2k+1 = (2k + 1), k 0. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 12 / 29

Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale unui şir. Exemplu Fie şirul x n = sin nπ 2, n 0. Subşirurile (x 4k ) k 0, (x 4k+1 ) k 0, (x 4k+2 ) k 0, (x 4k+3 ) k 0 sunt date de: x 4k+1 = sin x 4k = sin 4kπ 2 (4k + 1) π 2 = sin 2kπ = 0, k 0, ( = sin 2kπ + π ) = sin π = 1, k 0, 2 2 (4k + 2) π x 4k+2 = sin = sin (2k + 1) π = 0, k 0, 2 ( (4k + 3) π x 4k+3 = sin = sin 2kπ + 3π ) = sin 3π = 1, k 0. 2 2 2 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 13 / 29

Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale unui şir. Observaţie Prin inducţie matematică se arată că n k k, k N. Într-adevăr, ştiind că n 0 < n 1 <... < n k <..., avem n 1 > n 0 şi n 0 0, deci n 1 1. Presupunem că n p p şi să arătăm că n p+1 p + 1. Cum n p+1 > n p p, rezultă că n p+1 p + 1. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 14 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Definition Se numeşte vecinătate a punctului x R orice mulţime V R care conţine un interval deschis centrat în x. În acest caz există r > 0 astfel încât (x r, x + r) V. Exemplu Mulţimile ( 2, 3), [ 1, 2), ( ) 2, +, R sunt vecinătăţi ale originii, deoarece conţin intervalul deschis ( 1, 1) centrat în origine. Mulţimea Z nu este vecinătate a originii pentru că nu conţine nici un interval de forma ( r, r), cu r > 0. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 15 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Observaţie Intervalul deschis (a, b), cu a < b, este vecinătate a oricărui punct al său; intervalul închis [a, b] este vecinătate a oricărui punct c (a, b), dar nu este vecinătate a punctelor a, b. Considerăm mulţimea R = R {, + } cu relaţia de ordine (care prelungeşte relaţia de ordine din R): < +, < x, x < +, pentru orice x R. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 16 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Definition Se numeşte vecinătate a lui + orice mulţime V R care conţine un interval de forma (a, + ], cu a R. Definition Se numeşte vecinătate a lui orice mulţime V R care conţine un interval de forma [, b), cu b R. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 17 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Definition Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale şi x R. Spunem că (x n ) n 0 are limita x dacă orice vecinătate a lui x conţine toţi termenii şirului, exceptând, eventual, un număr finit de termeni. Cu alte cuvinte, x este limita şirului (x n ) n 0 dacă: (I) pentru orice vecinătate V a lui x există un rang n V N astfel încât x n V pentru orice n n V. În acest caz vom nota lim x n = x sau x n x. n Analiză Matematică Lucian Maticiuc 18 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Definition (i) Spunem că şirul (x n ) n 0 este convergent dacă are limită finită. Dacă x R şi lim n x n = x, atunci spunem că şirul (x n ) n 0 este convergent la x. (ii) Şirurile care nu au limită şi cele care au limita + sau se numesc divergente. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 19 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Exemplu (1) Orice şir constant este convergent. Într-adevăr, fie şirul constant x n = a, n 0, a R fixat. Orice vecinătate V a lui a conţine punctul a, deci, x n V pentru orice n N, adică şirul (x n ) n 0 converge la a. (2) Şirul x n = n 2, n 0, este divergent (are limita + ). Într-adevăr, fie V o vecinătate oarecare a lui +. Deci există ε > 0 astfel încât (ε, + ] V. Observăm că, dacă n 2 > ε, atunci n 2 V. Prin urmare, luând n V = [ ε] + 1, rezultă că, pentru orice n n V, avem n > ε, sau n 2 > ε, deci n 2 V. În concluzie, toţi termenii şirului x n = n 2 aparţin mulţimii V de la un rang încolo, deci lim n x n = +. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 20 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Teoremă Şirul de numere reale (x n ) n 0 este convergent la x R dacă şi numai dacă: (II) pentru orice ε > 0 există un număr natural n ε, care depinde de ε, astfel încât x n x < ε pentru orice n n ε. Observaţie Teorema 21 poate fi scrisă sub forma: şirul (x n ) n 0 este convergent la x R dacă şi numai dacă şirul de numere reale pozitive ( x n x ) n 0 are limita zero. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 21 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Teoremă Fie (x n ) n 0 R. (i) Şirul (x n ) n 0 are limita + dacă şi numai dacă: (III) pentru orice ε > 0 există un număr natural n ε astfel încât x n > ε, pentru orice n n ε. (ii) Şirul (x n ) n 0 are limita dacă şi numai dacă: (IV) pentru orice ε > 0 există un număr natural n ε astfel încât x n < ε, pentru orice n n ε. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 22 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Exemplu Arătăm că şirul x n = 1, n 1, este convergent la 0, folosind condiţia n (II) din Teorema 21. Fie ε > 0. Observăm că x n 0 = 1 n 0 = 1 n < ε conduce la n > 1 ε. Prin urmare, luând n ε = pentru orice n n ε. [ ] 1 + 1, obţinem că 1 ε n < ε, Analiză Matematică Lucian Maticiuc 23 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Exemplu Arătăm că şirul x n = n, n 0, este convergent la 1, folosind n + 1 condiţia (II) din Teorema 21. Fie ε > 0. Observăm că x n 1 = n n + 1 1 = 1 n + 1 < ε revine la n > 1 ε 1. Prin urmare, luând n ε = x n 1 < ε, pentru orice n n ε. [ ] 1 > 1 1, obţinem că ε ε Analiză Matematică Lucian Maticiuc 24 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Exemplu Arătăm că lim (2n 1) = +, folosind condiţia (III) din Teorema 22. n Fie ε > 0. Observăm că x n = 2n 1 > ε dacă n > ε + 1. Prin urmare, [ ] 2 ε + 1 luând n ε = + 1, obţinem că x n > ε pentru orice n n ε. 2 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 25 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Proprietăţi ale şirurilor convergente Teoremă (unicitatea limitei). Dacă un şir de numere reale are limită, atunci aceasta este unică. Teoremă Prin adăugarea sau prin eliminarea unui număr finit de termeni: (i) un şir convergent rămâne convergent la aceeaşi limită; (ii) un şir divergent rămâne divergent. Teoremă Prin schimbarea ordinii termenilor (i) unui şir convergent, se obţine un şir convergent cu aceeaşi limită; (ii) unui şir divergent, se obţine tot un şir divergent. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 26 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Proprietăţi ale subşirurilor Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. Dacă (x n ) n 0 are limita x R, atunci orice subşir (x nk ) k 0 al său are, de asemenea, limita x. Prin urmare, orice subşir al unui şir convergent este şi el convergent. Corolar Dacă un şir are un subşir divergent, atunci acel şir este divergent. Exemplu Şirul x n = ( 1) n n, n 0, este divergent întrucât subşirul x 2k = 2k are limita +. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 27 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Corolar Dacă un şir are două subşiruri convergente la limite diferite, atunci şirul nu are limită. Exemplu Şirul x n = ( 1) n, n 0, nu are limită întrucât subşirul x 2k = 1 are limita 1, iar subşirul x 2k+1 = 1 are limita 1. Exemplu Şirul x n = sin nπ 2, n 0, nu are limită întrucât subşirul x 4k = 0, pentru orice k 0, deci are limita 0, iar subşirul x 4k+1 = 1, pentru orice k 0, deci are limita 1. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 28 / 29

Şiruri cu limită. Şiruri convergente. Observaţie Un şir divergent poate avea subşiruri convergente, cum este cazul şirurilor din exemplele precedente, sau poate să nu aibă nici un subşir convergent, cum este cazul şirului x n = n, n 0, al numerelor naturale. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 29 / 29

Şiruri de numere reale (continuare) Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 45

Convergenţă şi mărginire Şiruri convergente. Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale convergent la x R. Atunci, pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât x n x < ε pentru orice n n ε. În particular, pentru ε = 1 există n 1 astfel încât x n x < 1 pentru orice n n 1. Rezultă că x n x n x + x < 1 + x, pentru orice n n 1. Fie M = max { x 0, x 1,..., x n1 1, 1 + x }. Atunci avem x n M, pentru orice n N, adică şirul (x n ) n 0 este mărginit. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 2 / 45

Şiruri convergente. Corolar Orice şir nemărginit este divergent. Exemplu Şirul x n = n, n 0, este divergent întrucât nu este mărginit inferior. Observaţie Reciproca teoremei nu este adevărată. Există şiruri mărginite, care nu sunt convergente. De exemplu, şirul x n = ( 1) n, n 0, este mărginit, dar nu este convergent. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 3 / 45

Şiruri convergente. Criterii de existenţă a limitei unui şir Teoremă. (Criteriul majorării) Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale şi x R. Dacă există un şir (α n ) n de numere reale pozitive convergent la zero astfel încât atunci x n x. Demonstraţie x n x α n, pentru orice n N, (1) Fie ε > 0 arbitrar fixat. Deoarece α n 0, există n ε N astfel încât pentru orice n n ε să avem α n < ε. Dar atunci, din (1) avem că x n x < ε pentru orice n n ε, adică x n x. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 4 / 45

Şiruri convergente. Exemplu Fie şirul x n = cos n, n 1. Avem n cos n cos n 0 = 1, pentru orice n 1. n n n Cum lim cos n n lim n n 1 = 0, conform Criteriului majorării, rezultă că n = 0. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 5 / 45

Şiruri convergente. Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. (i) Dacă există un şir (a n ) n 0 cu lim a n = + şi x n a n, pentru orice n n N, atunci lim x n = +. n (ii) Dacă există un şir (b n ) n 0 cu lim b n = şi b n x n, pentru orice n n N, atunci lim x n =. n Exemplu Fie şirul x n = n + ( 1) n, n 0. Are loc inegalitatea: x n n 1, pentru orice n 0. Cum lim n (n 1) = +, rezultă că şi lim n x n = +. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 6 / 45

Operaţii cu şiruri cu limită Teoremă (operaţii cu şiruri convergente) Fie (x n ) n 0, (y n ) n 0 două şiruri convergente, x n x, y n y. Atunci: (i) (x n + y n ) n 0 este convergent şi x n + y n x + y; (ii) pentru orice λ R, (λx n ) n 0 este convergent şi λx n λx; (iii) (x n y n ) n 0 este convergent şi x n y n xy; ( ) 1 (iv) dacă x n 0 pentru orice n N şi x 0, atunci este 1 convergent şi 1 x n x ; (v) ( x n ) n 0 este convergent şi x n x. x n n 0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 7 / 45

Operaţii cu şiruri cu limită Corolar Fie (x n ) n 0, (y n ) n 0 două şiruri convergente, x n x, y n y. Atunci: (i) (x n y n ) n 0 este convergent şi x n y n x y; ( ) xn (ii) dacă y n 0 pentru orice n N şi y 0, atunci este convergent şi x n y n x y. y n n 0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 8 / 45

Operaţii cu şiruri cu limită Propoziţie Fie (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 două şiruri de numere reale, (x n ) n 0 convergent la zero şi (y n ) n 0 mărginit. Atunci Demonstraţie lim x ny n = 0. n Fie M > 0 astfel încât y n M, pentru orice n N. Atunci avem x n y n = x n y n M x n, care tinde la zero întrucât x n tinde la zero. Din Criteriul majorării rezultă că x n y n 0. Exemplu sin n lim = 0. n n Analiză Matematică Lucian Maticiuc 9 / 45

Operaţii cu şiruri cu limită Teoremă (operaţii cu şiruri cu limita + sau ) Fie (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 două şiruri de numere reale. (i) Dacă x n + şi y n y, unde y R\ { }, atunci x n + y n +. (ii) Dacă x n şi y n y, unde y R\ {+ }, atunci x n + y n. (iii) Dacă x n + şi y n y, unde y R, y > 0, atunci x n y n +. (iv) Dacă x n + şi y n y, unde y R, y < 0, atunci x n y n. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 10 / 45

Operaţii cu şiruri cu limită Observaţie Dacă x n + şi y n, în general nu se poate spune nimic despre şirul (x n + y n ) n 0. De asemenea, dacă x n + şi y n 0, în general nu se poate spune nimic despre şirul (x n y n ) n 0. Le vom considera cazuri exceptate. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 11 / 45

Operaţii cu şiruri cu limită Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. 1 (i) Dacă x n + sau x n, atunci 0. x n (ii) Dacă x n 0 şi x n > 0 (respectiv x n < 0 ) de la un rang încolo, 1 atunci + (respectiv 1 ). x n x n Exemplu lim n 1 = 0, pentru orice k 1. nk Analiză Matematică Lucian Maticiuc 12 / 45

Operaţii cu şiruri cu limită Observaţie Dacă lim n x n = lim n y n = 0 sau lim n x n = lim n y n =, nu putem să ne pronunţăm asupra naturii şirului x n. Cazurile 0 y n 0 şi se numesc cazuri exceptate. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 13 / 45

Operaţii cu şiruri cu limită Teoremă (trecerea la limită în inegalităţi) Fie (x n ) n 0, (y n ) n 0 două şiruri de numere reale, cu proprietăţile: (i) x n y n, pentru orice n N, (ii) x n x R şi y n y R. Atunci x y. Observaţie Dacă între termenii celor două şiruri (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 are loc inegalitatea strictă x n < y n, pentru orice n N, atunci, prin trecere la limită, putem obţine egalitate. De exemplu, şirurile x n = 1 şi y n = 1 + 1 n, n 1, satisfac inegalitatea strictă x n < y n, pentru orice n N, dar lim n x n = lim n y n = 1. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 14 / 45

Teoreme fundamentale Teoremă (de convergenţă a şirurilor monotone) (i) Orice şir crescător şi mărginit superior este convergent. (ii) Orice şir descrescător şi mărginit inferior este convergent. Pe scurt, orice şir monoton şi mărginit este convergent. Observaţie (i) Un şir crescător şi mărginit converge la marginea lui superioară. (ii) Un şir descrescător şi mărginit converge la marginea lui inferioară. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 15 / 45

Exemplu Teoreme fundamentale Şirul x n = 2n + 1, n 1, este mărginit (deoarece 0 x n 3, pentru n orice n 1) şi monoton crescător (deoarece x n+1 x n 0. n 1), deci este şir convergent. Se verifică imediat că x n 2. Exemplu Şirul x n = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 +... + 1, n 1, este strict crescător (întrucât n2 x n+1 x n = 1 > 0, n 1) 2 (n + 1) şi mărginit superior (deoarece 1 k 2 < 1 k (k 1) = 1 k 1 1, k 2, k deci ( 1 x n 1 + 1 1 ) ( 1 + 2 2 1 ) ( 1 +... + 3 n 1 1 ) = 2 1 n n 2). Analiză Matematică Lucian Maticiuc 16 / 45

Teoreme fundamentale Exemplu Fie (x n ) n 0 : x n+1 = x 2 n 1 + x n, x 0 = 1. Prin inducţie matematică se demonstrează că x n > 0, pentru orice n N, deci (x n ) n 0 este mărginit inferior. Avem x n+1 x n = x n 1 + x n < 1, deci x n+1 < x n, adică (x n ) n 0 este descrescător. Deci, şirul (x n ) n 0 este convergent şi există lim x n = x R. Atunci, trecând la limită în relaţia n de recurenţă, avem x = x 2, de unde obţinem că x = 0. 1 + x Analiză Matematică Lucian Maticiuc 17 / 45

Teoreme fundamentale Observaţie Există şiruri convergente care nu sunt monotone. De exemplu, şirul x n = ( 1)n, n 1, converge la 0, dar nu e monoton (luând alternativ n atât valori pozitive, cât şi negative). Analiză Matematică Lucian Maticiuc 18 / 45

Teoreme fundamentale Teoremă (i) Dacă (x n ) n 0 este un şir crescător, nemărginit, atunci lim n x n = +. (ii) Dacă (x n ) n 0 este un şir descrescător, nemărginit, atunci lim n x n =. Corolar Orice şir monoton de numere reale are limită (finită sau nu). Dacă şirul este mărginit, limita sa este finită, dacă şirul este nemărginit, limita sa este infinită. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 19 / 45

Teoreme fundamentale Orice şir convergent este mărginit, iar reciproca nu este adevărată. Totuşi are loc următoarea afirmaţie mai slabă decât reciproca: Teoremă (Lema lui Cesàro) Orice şir mărginit de numere reale conţine un subşir convergent. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 20 / 45

Teoreme fundamentale Pentru şirurile nemărginite are loc următorul rezultat: Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. (i) Dacă (x n ) n 0 este nemărginit superior, atunci el conţine un subşir cu limita +. (ii) Dacă (x n ) n 0 este nemărginit inferior, atunci el conţine un subşir cu limita. Corolar Din orice şir de numere reale se poate extrage un subşir cu limită. Dacă şirul este mărginit se poate extrage un subşir convergent. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 21 / 45

Alte criterii de existenţă a limitei unui şir "Teorema cleştelui" Fie (x n ) n 0, (y n ) n 0, (z n ) n 0 trei şiruri de numere reale, cu proprietăţile: (i) x n y n z n, pentru orice n N, (ii) lim x n = lim z n = a R. n n Atunci există lim y n = a. n Corolar Dacă 0 x n a n, pentru orice n N, şi a n 0, atunci x n 0. Exemplu Şirul x n = 1 2 n are limita 0, pentru că 0 1 2 n 1, pentru orice n 1 şi n 1 n 0. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 22 / 45

Alte criterii de existenţă a limitei unui şir Exemplu Fie şirul cu termenul general x n = 1 n 2 + 1 + 1 n 2 + 2 +... + 1 n 2 + n, n 1. Atunci avem n n 2 + n x n n n 2 + 1, n 1, iar deci lim n x n = 1. lim n n n 2 + n = lim n n n 2 + 1 = 1, Analiză Matematică Lucian Maticiuc 23 / 45

Alte criterii de existenţă a limitei unui şir Teoremă (Criteriul lui Stolz-Cesàro) Fie două şiruri (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 astfel încât (y n ) n 0 este strict monoton şi nemărginit. Dacă există limita x n+1 x n lim = l R, n y n+1 y n x n atunci există şi limita lim şi este egală cu l, adică n y n x n lim = l. n y n Analiză Matematică Lucian Maticiuc 24 / 45

Alte criterii de existenţă a limitei unui şir Exerciţiu Să se arate că ln n lim n n = 0. Soluţie. Fie x n = ln n şi y n = n, n 1. Observăm că (y n ) n 1 este strict monoton şi nemărginit. Calculăm limita x n+1 x n ln (n + 1) ln n lim = lim = lim ln n + 1 = 0. n y n+1 y n n n + 1 n n n Prin urmare, conform Criteriului lui Stolz-Cesàro, există limita x n lim = 0. n y n Analiză Matematică Lucian Maticiuc 25 / 45

Alte criterii de existenţă a limitei unui şir Exerciţiu Fie şirul (a n ) n 1 cu limita a. Arătaţi că şirul mediilor aritmetice b n = a 1 + a 2 +... + a n n are limita a. Soluţie. Fie x n = a 1 + a 2 +... + a n şi y n = n, n 1. Aplicând Criteriul lui Stolz-Cesàro şirului b n = x n y n, obţinem lim b x n+1 x n n = lim n n y n+1 y n a 1 + a 2 +... + a n + a n+1 (a 1 + a 2 +... + a n ) = lim n n + 1 n = lim a n+1 = a. n Analiză Matematică Lucian Maticiuc 26 / 45

Alte criterii de existenţă a limitei unui şir Teoremă (Criteriul lui Cauchy-D Alembert) Fie şirul (x n ) n 0 cu x n > 0, pentru orice n N. Presupunem că există limita x n+1 lim = l. n x n Atunci există şi limita lim n n x n şi este egală cu l. Demonstraţie Fie a n = n x n = (x n ) 1 n, n 1. Atunci, Aplicăm Criteriul lui Stolz-Cesàro: ln a n = 1 n ln x n = ln x n n. lim ln a ln x n+1 ln x n n = lim n n n + 1 n = lim n ln x n+1 x n = ln l. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 27 / 45

Alte criterii de existenţă a limitei unui şir Exerciţiu Fie şirul cu termeni strict pozitivi (a n ) n 1 cu limita a. Arătaţi că lim n n a1 a 2...a n = a. Soluţie. Aplicăm Criteriul lui Cauchy-D Alembert pentru şirul Avem x n = a 1 a 2...a n, n 1. x n+1 lim n x n prin urmare şi lim n n a 1 a 2...a n = a. = lim n a n+1 = a, Analiză Matematică Lucian Maticiuc 28 / 45

Alte criterii de existenţă a limitei unui şir Exerciţiu Să se arate că lim n Soluţie. Fie x n = n, n 1. Deoarece x n+1 lim n x n n n = 1. n + 1 = lim = 1, n n conform Criteriului lui Cauchy-D Alembert, rezultă că lim n n n = 1. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 29 / 45

Alte criterii de existenţă a limitei unui şir Exerciţiu Să se arate că lim n Soluţie. Fie x n = a, n 1. Deoarece n a = 1, pentru orice a > 0. x n+1 lim n x n a = lim n a = 1, conform Criteriului lui Cauchy-D Alembert, rezultă că lim n n a = 1. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 30 / 45

Şiruri fundamentale (Cauchy) Definiţie Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. Spunem că (x n ) n 0 este şir fundamental sau şir Cauchy dacă: pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât, pentru orice m, n n ε, să avem x m x n < ε. Presupunând, fără a restrânge generalitatea, că m n, putem scrie m = n + p, cu p N. Atunci, Definiţia 31 se poate scrie sub forma echivalentă: Definiţie Spunem că (x n ) n 0 este şir fundamental sau şir Cauchy dacă: pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât, pentru orice n n ε şi orice p N, să avem x n+p x n < ε. Intuitiv, într-un şir Cauchy, toţi termenii şirului sunt apropiaţi unul de celălalt de la un rang încolo. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 31 / 45

Şiruri fundamentale (Cauchy) Teoremă Orice şir Cauchy este mărginit. Demonstraţie Conform definiţiei, pentru ε = 1, există n 1 N astfel încât, pentru orice n, m n 1, avem x n x m < 1. În particular, x n x n1 < 1. Rezultă că x n x n x n1 + x n1 < 1 + x n1, pentru orice n n 1. Fie M = max{ x 0, x 1,..., x n1 1, 1 + x n1 }. Atunci, pentru orice n N, x n M, deci şirul (x n ) n 0 este mărginit. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 32 / 45

Şiruri fundamentale (Cauchy) Teoremă Un şir de numere reale este convergent dacă şi numai dacă este şir Cauchy. Exerciţiu Să se arate că şirul este şir Cauchy, deci convergent. Soluţie. Fie x n = 1 + 1 2 2 +... + 1 n 2, n 1, x n+p = 1 + 1 2 2 +... + 1 n 2 + 1 (n + 1) 2 +... + 1 (n + p) 2, unde p N. Avem Analiză Matematică Lucian Maticiuc 33 / 45

Şiruri fundamentale (Cauchy) x n+p x n = 1 (n + 1) 2 +... + 1 (n + p) 2 1 n (n + 1) +... + 1 (n + p 1) (n + p) = 1 n 1 n + 1 + 1 n + 1 1 n + 2 +... + 1 n + p 1 1 n + p = 1 n 1 n + p 1 n. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 34 / 45

Şiruri fundamentale (Cauchy) 1 Dar cum lim n n = 0, rezultă că pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât 1 n < ε, pentru orice n n ε. Revenind la inegalitatea de mai sus, pentru orice n n ε şi p N, avem x n+p x n 1 n < ε, adică (x n ) n 1 este şir Cauchy, deci este convergent. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 35 / 45

Şiruri fundamentale (Cauchy) Exerciţiu Să se arate că şirul x n = 1 + 1 2 +... + 1 n, n 1. nu este şir Cauchy, deci nu este convergent. Soluţie. Avem x n+p x n = > 1 n + 1 + 1 n + 2 +... + 1 n + p p n + p > 1 2, dacă p > n. Prin urmare, oricare ar fi rangul n există p N astfel încât x n+p x n > 1 2, adică şirul (x n) n 0 nu este şir Cauchy, deci este un şir divergent. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 36 / 45

Puncte limită ale unui şir Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. Definiţie Numim mulţimea punctelor limită ale şirului (x n ) n 0 mulţimea formată din toate limitele în R ale subşirurilor lui (x n ) n 0. Vom nota cu A această mulţime, deci { A = x R; există (x nk ) k 0 subşir al lui (x n ) n 0 cu lim x nk k } = x. Observaţie Mulţimea A este nevidă. Într-adevăr, dacă (x n ) n 0 este mărginit, conform Lemei lui Cesàro, el conţine un subşir convergent; fie l limita sa. Atunci, l A. Dacă (x n ) n 0 este nemărginit superior, atunci + A, iar dacă (x n ) n 0 este nemărginit inferior, atunci A. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 37 / 45

Puncte limită ale unui şir Exemplu Fie şirul x n = ( 1) n, n 0. Mulţimea punctelor sale limită este A = { 1, 1}. Observaţie Există şiruri care au o infinitate de puncte limită. Este cazul şirului 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4,..., 0, 1, 2, 3,..., n,... Orice număr natural este punct limită al acestui şir, deoarece, oricare ar fi p N, există un subşir constant ai cărui termeni sunt egali cu p. De asemenea, + este punct limită al şirului, pentru că şirul numerelor naturale este un subşir al acestui şir. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 38 / 45

Puncte limită ale unui şir Observaţie Dacă şirul (x n ) n 0 are limita l, finită sau nu, atunci l A, un subşir convergent la l fiind chiar şirul (x n ) n 0. Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale şi A mulţimea punctelor sale limită. Atunci şirul (x n ) n 0 are limită dacă şi numai dacă A este formată dintr-un singur element. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 39 / 45

Puncte limită ale unui şir Observaţie Se demonstrează că pentru orice şir (x n ) n 0 există un cel mai mic punct limită (finit sau infinit) şi un cel mai mare punct limită (finit sau infinit). Definiţie Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. (i) Numim limită superioară a şirului (x n ) n 0, notată lim sup x n sau n lim x n, cel mai mare punct limită al şirului (x n ) n n 0. (ii) Numim limită inferioară a şirului (x n ) n 0, notată lim inf x n sau lim n cel mai mic punct limită al şirului (x n ) n 0. x n n Analiză Matematică Lucian Maticiuc 40 / 45

Puncte limită ale unui şir Notând cu A mulţimea punctelor limită ale şirului (x n ) n 0, avem: lim sup x n = max A, n lim inf n n = min A. Observaţie Este clar că lim inf x n lim sup x n. n n Analiză Matematică Lucian Maticiuc 41 / 45

Puncte limită ale unui şir Exerciţiu Să se determine limitele superioară şi inferioară ale şirului x n = cos nπ 2, n 0. Soluţie. Observăm că x 4k = cos 4kπ 2 = cos 2kπ = 1, k N, deci lim k x 4k = 1, ( ) 4kπ + π x 4k+1 = cos 2 = cos π 2 ( = cos 2kπ + π ) 2 = 0, k N, deci lim k x 4k+1 = 0, Analiză Matematică Lucian Maticiuc 42 / 45

Puncte limită ale unui şir x 4k+2 = ( ) 4kπ + 2π cos = cos (2kπ + π) 2 = cos π = 1, k N, deci lim x 4k+2 = 1, k ( ) 4kπ + 3π x 4k+3 = cos 2 ( = cos 2kπ + 3π 2 ) = cos 3π 2 = 0, k N, deci lim k x 4k+3 = 0. Prin urmare, A = { 1, 0, 1}. Rezultă că lim inf x n = 1, iar n lim sup x n = 1. n Analiză Matematică Lucian Maticiuc 43 / 45

Puncte limită ale unui şir Exerciţiu Să se determine limitele superioară şi inferioară ale şirului Soluţie. Observăm că x n = ( 1) n+1 n ( 1)n, n 0. x 2k = 2k, k N, deci lim x 2k =, k x 2k+1 = 1, k N, deci 2k + 1 lim 2k+1 0. k Prin urmare, A = {, 0}. Rezultă că lim inf x n =, iar n lim sup x n = 0. n Analiză Matematică Lucian Maticiuc 44 / 45

Puncte limită ale unui şir Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. Atunci (x n ) n 0 are limită dacă şi numai dacă lim inf x n = lim sup x n. În această situaţie, n Demonstraţie n lim x n = lim inf x n = lim sup x n. n n n Şirul (x n ) n 0 are limită dacă şi numai dacă mulţimea A a punctelor sale limită conţine un singur element, ceea ce înseamnă că min A = max A. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 45 / 45

Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 35

Serii convergente. Serii divergente Definiţii Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. Definiţie Cuplul format din şirurile (x n ) n 0 şi (S n ) n 0, unde S n = x 0 + x 1 +... + x n, n N, se numeşte serie de termen general x n. Vom nota această serie prin unul din simbolurile n=0 x n sau n 0 Elementele şirului (x n ) n 0 se numesc termenii seriei, iar şirul (S n ) n 0 se numeşte şirul sumelor parţiale ataşat seriei cu termenul general x n. x n. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 2 / 35

Serii convergente. Serii divergente Definiţii Observaţie Dacă primii k termeni x 0, x 1,..., x k 1 lipsesc (nu sunt definiţi), vom nota seria de termen general x n prin n=1 n=k x n sau n k şi, în acest caz, S n = x k +... + x n, pentru orice n k. Dăm ca exemple seriile: 1 n, 1 ln n, 1 ln (ln n). n=2 n=3 x n Analiză Matematică Lucian Maticiuc 3 / 35

Serii convergente. Serii divergente Definiţii Definiţie (i) Spunem că seria x n este convergentă dacă şirul sumelor parţiale n=0 (S n ) n 0 este convergent, adică există S R astfel încât lim S n = S. În n această situaţie, S se numeşte suma seriei x n şi notăm x n = S. n=0 (ii) Spunem că seria x n este divergentă dacă şirul sumelor parţiale n=0 (S n ) n 0 este divergent. n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 4 / 35

Serii convergente. Serii divergente Definiţii Observaţie Dacă lim S n = +, atunci seria x n este divergentă şi notăm n n=0 x n = + ; dacă lim S n =, atunci seria x n este divergentă şi n=0 n n=0 notăm x n =. n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 5 / 35

Serii convergente. Serii divergente Exemple Exemplu Seria q n, unde q R, se numeşte seria geometrică cu raţia q. n=0 Termenul general este x n = q n, iar şirul sumelor parţiale are termenul general S n = 1 + q + q 2 +... + q n 1 q n+1 = 1 q, pentru q 1 n + 1, pentru q = 1. Dacă q = 1, atunci lim S n = +, deci seria este divergentă. n Dacă q 1, şirul (S n ) n 0 este convergent dacă şi numai dacă q < 1. În plus, lim S n = 1, pentru q < 1. n 1 q Analiză Matematică Lucian Maticiuc 6 / 35

Serii convergente. Serii divergente Exemple Exemplu În concluzie, seria geometrică q n este convergentă dacă şi numai n=0 dacă q < 1. În acest caz, suma ei este n=0 1 şi notăm 1 q q n = 1, pentru q < 1. 1 q Analiză Matematică Lucian Maticiuc 7 / 35

Serii convergente. Serii divergente Exemple Exemplu Seria ( 1) n are termenul general x n = ( 1) n, iar şirul sumelor n=0 parţiale este dat prin S n = 1 + ( 1) +... + ( 1) n 1 + ( 1) n { = 1, pentru n par 0, pentru n impar, deci şirul (S n ) n 0 nu are limită. În concluzie, seria ( 1) n este divergentă. n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 8 / 35

Serii convergente. Serii divergente Exemple Exemplu Seria n=1 1 se numeşte seria armonică. Termenul general al acestei n serii este x n = 1, iar şirul sumelor parţiale are termenul general n S n = 1 + 1 2 +... + 1 n. Şirul (S n ) n 1 nu este şir Cauchy, deci este şir divergent. În concluzie, seria armonică 1 este divergentă. n n=1 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 9 / 35

Serii convergente. Serii divergente Exemple Exemplu Seria ln n + 1 este o serie telescopică, întrucât termenul general se n=1 n poate scrie sub următoarea formă x n = ln n + 1 n = ln (n + 1) ln n, n N. Prin urmare, S n = ln (n + 1) ln 1 = ln (n + 1). Cum lim ln (n + 1) = +, rezultă că şirul (S n) n n 1 este divergent. În concluzie, seria ln n + 1 este divergentă. n n=1 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 10 / 35

Serii convergente. Serii divergente Proprietăţi generale Prin natura unei serii înţelegem proprietatea seriei de a fi convergentă sau divergentă. Spunem că două serii au aceeaşi natură dacă sunt ambele convergente sau ambele divergente. Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale şi k N. Atunci seriile x n şi x n au aceeaşi natură. n=k n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 11 / 35

Serii convergente. Serii divergente Proprietăţi generale Demonstraţie Fie Observăm că S n = x 0 + x 1 +... + x n, n N, T n = x k + x k+1 +... + x n, n k. T n = S n (x 0 +... + x k 1 ) = S n S k 1, n k. Dacă x n este convergentă şi are suma S, atunci n=0 lim T n = S S k 1 R; deci, x n este convergentă. n n=k Dacă x n este convergentă şi are suma T, atunci n=k lim S n = T + S k 1 R, deci n x n este convergentă. n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 12 / 35

Serii convergente. Serii divergente Proprietăţi generale Condiţie necesară de convergenţă Teoremă Dacă seria n=0 Demonstraţie x n este convergentă, atunci lim n x n = 0. Fie S n = x 0 + x 1 +... + x n, pentru orice n N. Deoarece seria este convergentă, există S R astfel încât lim n S n = S. Observăm că astfel că obţinem x n = S n S n 1, pentru orice n 1, lim x n = lim S n lim S n 1 = S S = 0. n n n Analiză Matematică Lucian Maticiuc 13 / 35

Serii convergente. Serii divergente Proprietăţi generale Observaţie Condiţia lim n x n = 0 este necesară, dar nu suficientă pentru convergenţa seriei, cum se poate observa din exemplul următor. Exemplu Seria armonică 1 n=1 n are termenul general x n = 1 n este o serie divergentă. convergent la 0, dar Analiză Matematică Lucian Maticiuc 14 / 35

Serii convergente. Serii divergente Proprietăţi generale Corollary Dacă şirul (x n ) n 0 nu are limită, sau are limită diferită de 0, atunci seria x n este divergentă. n=0 Exemplu Seria ( 1) n este divergentă, întrucât şirul x n = ( 1) n, n N, nu n=0 are limită. Exemplu Seria n=1 1 n n este divergentă, întrucât lim n 1 n n = 1 0. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 15 / 35

Serii convergente. Serii divergente Proprietăţi generale Exemplu Seria n=0 2 n + 3 n 2 n+1 este divergentă, întrucât + 3n+1 lim x n = lim n n 3n [( ) 2 n + 1] 3 3 n+1 [ (2 3) n+1 + 1 deci şirul (x n ) n 0 nu tinde la zero. ] = 1 3 lim n ( ) 2 n + 1 3 ( ) 2 n+1 = 1 3, + 1 3 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 16 / 35

Serii convergente. Serii divergente Operaţii cu serii Teoremă Dacă seriile x n şi n=0 y n sunt convergente, atunci seria sumă n=0 (x n + y n ) este convergentă şi n=0 (x n + y n ) = x n + y n. (1) n=0 n=0 n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 17 / 35

Serii convergente. Serii divergente Operaţii cu serii Demonstraţie Fie (S n ) n 0 şi (T n ) n 0 şirurile sumelor parţiale ale seriilor x n şi respectiv y n, ale căror sume le notăm cu S şi respectiv T. Fie n=0 (σ n ) n 0 şirul sumelor parţiale ataşat seriei n=0 (x n + y n ), adică n=0 σ n = (x 0 + y 0 ) + (x 1 + y 1 ) +... + (x n + y n ) = S n + T n. Cum lim S n = S şi lim T n = T rezultă că şirul (σ n ) n n n 0 converge la S + T. În concluzie, seria (x n + y n ) este convergentă şi (1) are loc. n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 18 / 35

Serii convergente. Serii divergente Operaţii cu serii Teoremă Fie seria x n şi α R\ {0}. Atunci seriile x n şi n=0 aceeaşi natură. În caz de convergenţă, n=0 n=0 n=0 αx n au n=0 αx n = α x n. (2) Analiză Matematică Lucian Maticiuc 19 / 35

Serii convergente. Serii divergente Operaţii cu serii Corollary Dacă seriile x n şi n=0 y n sunt convergente, atunci seria diferenţă n=0 (x n y n ) este convergentă şi n=0 (x n y n ) = x n y n. n=0 n=0 n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 20 / 35

Serii convergente. Serii divergente Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul lui Cauchy). Seria x n este convergentă dacă şi numai dacă pentru orice ε > 0 n=0 există n ε N astfel încât, oricare ar fi n N, n n ε, şi oricare ar fi p N, x n+1 + x n+2 +... + x n+p < ε. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 21 / 35

Serii convergente. Serii divergente Criteriul lui Cauchy Demonstraţie Fie (S n ) n 0 şirul sumelor parţiale ataşat seriei x n. Seria x n este convergentă dacă şi numai dacă şirul (S n ) n 0 este convergent, ceea ce este echivalent cu faptul că şirul (S n ) n 0 este şir Cauchy, adică pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât, oricare ar fi n N, n n ε, şi oricare ar fi p N, să avem S n+p S n < ε. Dar, n=0 n=0 S n+p S n = (x 0 + x 1 +... + x n+p ) (x 0 + x 1 +... + x n ) = x n+1 + x n+2 +... + x n+p, deci condiţia din teoremă exprimă tocmai faptul că şirul (S n ) n 0 este şir Cauchy. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 22 / 35

Serii convergente. Serii divergente Criteriul lui Cauchy Exerciţiu Să se demonstreze că seria 1, cu α 2, este convergentă. n=1 nα Soluţie. Fie x n = 1 n α, n N. Deoarece α 2, rezultă că, x n+1 + x n+2 +... + x n+p = = < 1 (n + 1) α + 1 (n + 2) α +... + 1 (n + 1) 2 + 1 (n + 2) 2 +... + 1 (n + p) 2 1 n (n + 1) + 1 ) + ( 1 n 1 n + 1 1 (n + p) α (n + 1) (n + 2) +... + 1 (n + p 1) (n + p) ( 1 n + 1 1 ) ( 1 +... + n + 2 n + p 1 1 n + p ) Analiză Matematică Lucian Maticiuc 23 / 35

Serii convergente. Serii divergente Criteriul lui Cauchy x n+1 + x n+2 +... + x n+p = = 1 n 1 n + p < 1 n, pentru orice p N. 1 Fie ε > 0. Deoarece lim n n = 0, rezultă că există n ε N astfel încât, pentru orice n N, n n ε, să avem 1 < ε. Prin urmare, pentru orice n n N, n n ε şi orice p N, avem x n+1 + x n+2 +... + x n+p < ε, adică, conform Criteriului lui Cauchy, seria dată este convergentă. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 24 / 35

Serii cu termeni pozitivi Definiţie şi proprietăţi generale Definiţie O serie x n este cu termeni pozitivi dacă x n 0 pentru orice n N. n=0 Observaţie Seriile cu termeni pozitivi au şirul sumelor parţiale (S n ) n 0 crescător. Într-adevăr, pentru orice n N, S n+1 = S n + x n+1, deci S n+1 S n = x n+1 0. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 25 / 35

Serii cu termeni pozitivi Definiţie şi proprietăţi generale Criteriu de convergenţă Teoremă Fie x n o serie cu termeni pozitivi. Atunci seria x n este n=0 convergentă dacă şi numai dacă şirul sumelor sale parţiale (S n ) n 0 este mărginit superior. Observaţie n=0 Dacă seria cu termeni pozitivi x n este divergentă, atunci n=0 lim S n = +, deci x n = +. n n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 26 / 35

Serii cu termeni pozitivi Criterii de comparaţie Teoremă (Criteriul de comparaţie cu inegalităţi). Fie x n şi y n două serii cu termeni pozitivi. Presupunem că n=0 n=0 x n y n, pentru orice n N. (i) Dacă seria y n este convergentă, atunci seria x n este n=0 convergentă. (ii) Dacă seria divergentă. n=0 n=0 x n este divergentă, atunci seria y n este n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 27 / 35

Serii cu termeni pozitivi Criterii de comparaţie Demonstraţie Fie S n = x 0 + x 1 +... + x n şi T n = y 0 + y 1 +... + y n, n N. Deoarece x n y n, pentru orice n N, rezultă că adică x 0 + x 1 +... + x n y 0 + y 1 +... + y n, pentru orice n N, S n T n, pentru orice n N. (3) (i) Dacă seria y n este convergentă, rezultă că şirul (T n ) n 0 este n=0 mărginit superior, adică există M > 0 astfel încât T n M, pentru orice n N. Atunci, din (3) rezultă că şi S n M, pentru orice n N, adică şirul (S n ) n 0 este mărginit superior. Obţinem că seria x n este convergentă. n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 28 / 35

Serii cu termeni pozitivi Criterii de comparaţie Observaţie Dacă în teorema precedentă inegalitatea x n y n are loc pentru orice n n 0, cu n 0 N fixat, concluzia se păstrează, deoarece seriile şi x n au aceeaşi natură. n=n 0 x n n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 29 / 35

Serii cu termeni pozitivi Criterii de comparaţie Exerciţiu Să se arate că seria 1 este convergentă. n=1 n + 5n Soluţie. Convergenţa seriei date rezultă din Criteriul de comparaţie cu inegalităţi, deoarece are loc inegalitatea iar seria n=1 1 n + 5 n 1 3 n, pentru orice n N, 1 5 n este convergentă (este seria geometrică de raţie q = 1 5 ). Analiză Matematică Lucian Maticiuc 30 / 35

Serii cu termeni pozitivi Criterii de comparaţie Exerciţiu Să se arate că seria 1, cu α < 1, este divergentă. n=1 nα Soluţie. Pentru α < 1 are loc inegalitatea 1 n α > 1 n, pentru orice n N. Cum seria 1 este divergentă, conform Criteriului de comparaţie cu n=1 n inegalităţi, rezultă că şi seria 1 este divergentă, pentru orice n=1 nα α < 1. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 31 / 35

Serii cu termeni pozitivi Criterii de comparaţie Teoremă (Criteriul de comparaţie cu limită). Fie seriile x n şi y n, cu x n 0 şi y n > 0, pentru orice n N. n=0 n=0 Presupunem că există x n lim = l [0, + ]. n y n (i) Dacă l (0, + ), atunci cele două serii au aceeaşi natură. (ii) Dacă l = 0 şi y n este convergentă, atunci x n este convergentă. n=0 (iii) Dacă l = + şi divergentă. y n este divergentă, atunci n=0 n=0 x n este n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 32 / 35

Serii cu termeni pozitivi Criterii de comparaţie Observaţie x n (a) Dacă l = lim = 0 şi n y n divergentă. n=0 x n este divergentă, atunci y n este x n (b) Dacă l = lim = + şi x n este convergentă, atunci n y n n=0 este convergentă. n=0 y n n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 33 / 35

Serii cu termeni pozitivi Criterii de comparaţie Exerciţiu Să se determine natura seriei n=1 1 n (2n + 1). (4) Soluţie. Vom compara această serie cu seria armonică 1, care este o n=1 n 1 serie divergentă. Fie x n = şi y n = 1 n (2n + 1) n, n N. Calculăm limita x n n lim = lim = 1 (0, + ), n y n n n (2n + 1) 2 deci, conform Criteriului de comparaţie cu limită, seria (4) are aceeaşi natură cu seria 1, deci este divergentă. n n=1 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 34 / 35

Serii cu termeni pozitivi Criterii de comparaţie Exerciţiu Să se determine natura seriei n=1 1 n (n + 1) (n + 2). (5) Soluţie. Vom compara această serie cu seria convergentă x n = n=1 1 n (n + 1) (n + 2) şi y n = 1 n 2, n N. Calculăm limita x n n 2 lim = lim n y n n n = 1 (0, + ), (n + 1) (n + 2) 1 n 2. Fie deci, conform Criteriului de comparaţie cu limită, seria (5) are aceeaşi natură cu seria 1, deci este convergentă. n2 n=1 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 35 / 35

Serii de numere reale (continuare) Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 33

Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni pozitivi. Presupunem că există n=0 lim n n xn = l [0, + ]. (i) Dacă l < 1, atunci seria x n este convergentă. n=0 (ii) Dacă l > 1, atunci seria x n este divergentă. n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 2 / 33

Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Demonstraţie (i) Să presupunem că lim n n x n = l < 1 şi fie q (l, 1). Atunci există n 0 N astfel încât, pentru orice n N, n n 0, să avem Deoarece n xn q. x n q n, pentru orice n n 0, iar seria q n, q (0, 1), este convergentă, conform Criteriului de n=0 comparaţie rezultă că x n este convergentă. n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 3 / 33

Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy (ii) Dacă lim n n x n = l > 1, atunci există n 0 N astfel încât, pentru orice n N, n n 0, să avem n xn 1. Cum x n 1, pentru orice n n 0, şirul (x n ) n 0 nu converge la zero. Rezultă că seria x n este divergentă. n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 4 / 33

Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Observaţie Dacă l = 1, atunci natura seriei x n nu poate fi stabilită cu ajutorul n=0 acestui criteriu. Într-adevăr, considerând seriile observăm că, pentru prima serie, iar pentru a doua serie, n=1 l = lim n n 1 x n = lim n n n 2 = 1, l = lim n n x n = lim n n n = 1, 1 n 2 şi n, n=0 deci în ambele cazuri l = 1; însă, prima serie este convergentă, iar a doua serie este divergentă. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 5 / 33

Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Exerciţiu Să se studieze natura seriei 1 ( 1 + 1 ). (1) n 2 n n=1 Soluţie. Termenul general al seriei este x n = 1 ( 1 + 1 ). Calculăm n 2 n lim n n xn = lim 1 ( n 1 + 1 n ) n = 1 e < 1. Conform Criteriului rădăcinii, seria (1) este convergentă. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 6 / 33

Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Exerciţiu Să se studieze natura seriei ( ) n a n2 + n + 1 n 2, a > 0. n=1 Soluţie. Termenul general al seriei este x n = Calculăm lim n ( ) n a n2 + n + 1. n 2 ( ) n xn = lim a n2 + n + 1 n n 2 = a. Conform Criteriului rădăcinii, dacă a < 1, atunci seria dată este convergentă, iar dacă a > 1, seria este divergentă. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 7 / 33

Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Dacă a = 1 nu putem aplica Criteriul rădăcinii, dar, în acest caz, observăm că ( n 2 ) n ( lim x + n + 1 n = lim n n n 2 = lim 1 + n + 1 n n 2 ) n 2 n+1 n(n+1) n 2 = e. Termenul general al seriei neavând limita 0, seria ( n 2 + n + 1 este divergentă. n=1 n 2 ) n Analiză Matematică Lucian Maticiuc 8 / 33

Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Criteriul raportului Teoremă (Criteriul raportului) Fie seria x n, cu x n > 0, pentru orice n N. Presupunem că există n=0 l = lim n x n+1 x n [0, + ]. (i) Dacă l < 1, atunci seria x n este convergentă. n=0 (ii) Dacă l > 1, atunci seria x n este divergentă. n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 9 / 33

Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Criteriul raportului Observaţie x n+1 Dacă l = lim = 1, atunci nu putem decide natura seriei cu n x n ajutorul Criteriului raportului. Într-adevăr, considerând seriile 1 n=1 n şi 1, observăm că în ambele n=1 n2 cazuri l = 1; însă, prima serie este divergentă, iar a doua serie este convergentă. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 10 / 33

Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Criteriul raportului Exerciţiu Să se studieze natura seriei n=0 2 n + 5 3 n. (2) Soluţie. Termenul general al seriei este x n = 2n + 5 3 n. Calculăm x n+1 lim n x n = lim n ( 2 n+1 + 5 ) 3 n (2 n + 5) 3 n+1 = 1 3 lim n 2 n+1 ( 1 + 5 2 n+1 ) 2 n ( 1 + 5 2 n ) = Conform Criteriului raportului, seria (2) este convergentă. 2 3 < 1. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 11 / 33

Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Criteriul raportului Exerciţiu Să se studieze natura seriei n=1 n n n!. (3) Soluţie. Termenul general al seriei este x n = nn n!. Calculăm x n+1 lim n x n (n + 1) n+1 = lim n! ( n + 1 n (n + 1)! n n = lim n n Conform Criteriului raportului, seria (3) este divergentă. ) n = e > 1. Analiză Matematică Lucian Maticiuc 12 / 33

Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Criteriul Raabe-Duhamel Teoremă (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie seria x n, cu x n > 0, pentru orice n N. Presupunem că există n=0 ( ) lim n xn 1 = l [0, + ]. n x n+1 (i) Dacă l > 1, atunci seria x n este convergentă. n=0 (ii) Dacă l < 1, atunci seria x n este divergentă. n=0 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 13 / 33