CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3 Teorema 91 Dou¼a bisectoare exterioare şi una interioar¼a, trecând ecare prin câte un vârf al triunghiului sunt concurente. Demonstraţie. Fie I a este punctul de concurenţ¼a dintre bisectoarele exterioare Figura 3.11: Cercuri exînscrise ale unghiurilor B şi C (Figura 3.11), atunci punctul I a este egal dep¼artat de laturile BC şi AB, respectiv de laturile BC şi AC; deci el este egal dep¼artat şi de laturile AB şi AC, adic¼a I a aparţine bisectoarei interioare a unghiului A. Observaţia 9 Punctul I a ind situat la aceeaşi distanţ¼a notat¼a cu r a - faţ¼a de laturile triunghiului ABC este centrul unui cerc tangent exterior laturii BC şi prelungirilor laturilor AB şi AC: 3 Galileo Galilei (1564-164) matematician, zician şi astronom italian, profesor la Universitatea din Padova, contribuţii remarcabile în zic¼a şi astronomie
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 0 Un cerc care este tangent la o latur¼a a unui triunghi şi la prelungirile celorlalte dou¼a laturi ale triunghiului se numeşte cerc ex^{nscris al triunghiului. Evident, un triunghi are trei cercuri exînscrise Observaţia 93 Cercurile exînscrise şi cercul înscris corespunz¼atoare unui triunghi se mai numesc cercuri tritangente. Not¼am cu A-exînscris, cercul exînscris tangent laturii BC a triunghiului ABC; analog se noteaz¼a cu B-exînscris şi C-exînscris celelalte dou¼a cercuri exînscrise; I a ; I b ; I c sunt centrele cercurilor exînscrise corespunz¼atoare şi not¼am cu r a ; r b ;respectiv r c razele corespunz¼atoare cercurilor exînscrise (Figura 3.11): Triunghiul I a I b I c se numeşte triunghiul antisuplementar corespunz¼ator triunghiului ABC: Teorema 94 Vârfurile triunghiului ABC aparţin laturilor triunghiului antisuplementar. Demonstraţie. Soluţie evident¼a. Teorema 95 Distanţele la laturile triunghiului ABC ale punctului I a sunt egale cu r a. Teorema 96 Distanţele de la punctul I a la vârfurile triunghiului ABC sunt egale cu: AI a = r a sin A ; BI a = r a cos B ; CI a = r a cos C : Demonstraţie. Fie D a ; D b ; D c proiecţiile lui I a pe laturile BC; CA, respectiv AB: Din triunghiul dreptunghic D c I a A rezult¼a r a = AI a sin A, iar din triunghiurile dreptunghice: BI a D c şi CI a D b avem r a = BI a sin(= B=) = BI a cos B şi r a = CI a cos C : Teorema 97 Distanţele de la centrele cercurilor exînscrise respectiv la vârfurile triunghiului ABC sunt egale cu: AI a = p cos A ; BI b = p cos B ; CI c = p cos C : Demonstraţie. Din triunghiul dreptunghic AI a D b rezult¼a cos A = AD b unde rezult¼a concluzia. Teorema 98 Triunghiul ABC este triunghiul ortic al triunghiului I a I b I c. AI a = p AI a, de Demonstraţie. Evident m(^i c AI a ) = m(^i c AB) + m(^bai a ) = 90 ; deci bisectoarea AI a este în¼alţime în triunghiul I a I b I c. Analog, BI b?i a I c şi CI c?i a I b ; deci ABC este triunghiul ortic al triunghiului I a I b I c.
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 1 Teorema 99 Centrul cercului înscris în triunghiul ABC este ortocentrul triunghiului I a I b I c. Demonstraţie. Vezi teorema 98. Teorema 930 În¼alţimile unui triunghi sunt bisectoarele triunghiului ortic al triunghiului dat. Demonstraţie. Vezi teorema 98. Teorema 931 Fie D a ; D b ; D c ;E a ; E b ; E c ; F a ; F b ; F c punctele de contact dintre cercurile A exînscris, B exînscris, respectiv C exînscris cu dreptele BC; CA şi AB. Atunci, AD c = AD b = p; BD a = BD c = p c şi CD a = CD b = p b, unde p este semiperimetrul triunghiului ABC: Demonstraţie. Avem: AD c = AB+BD c = c+bd c ; AD b = AC+CD b = b+cd b (i) (Figura 3.1). Sumând relaţiile precedente şi ţinând cont c¼a AD b = AD c ; BD a = Figura 3.1: Distanţe BD c ; CD a = CD b rezult¼a AD c = b + c + a = p; adic¼a AD c = p: Analog se arat¼a c¼a BE a = BE c = p şi CF a = CF b = p: Din relaţiile (i) rezult¼a BD c = p c şi CD b = p b: Observaţia 93 Analog CE a = CE b = p a şi AE c = AE b = p c:
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI Teorema 933 Distanţele dintre punctele de contact a ate în prelungirea aceeaşi laturi determinate de câte dou¼a cercuri exînscrise sunt egale cu a + b; b + c; respectiv c + a: Demonstraţie. Avem E a F a = E a C +CB +BF a = p a+a+p a =p a = b+c: Analog, D b F b = a + c şi E c D c = a + b: Teorema 934 Distanţa între punctele interioare C a şi D a este egal¼a cu diferenţa celorlalte laturi. Demonstraţie. Avem: D a C a = CD a CC a = (p b) (p c) = c b: Analog se arat¼a c¼a E b C b = ja cj şi F c C c = ja bj : Teorema 935 Distanţa de la punctul de contact C a al cercului înscris la punctele exterioare E a şi F a sunt respectiv egale cu b şi c: Demonstraţie. Avem, C a E a = C a C + CE a = (p c) (p a) = b şi analog C a F a = c: Teorema 936 (Teorema lui Nagel) Perpendicularele pe laturile unui triunghi duse din centrele cercurilor exînscrise sunt concurente. Demonstraţie. Soluţia 1. Deoarece perpendicularele duse din vârfurile unui triunghi ABC pe laturile triunghiului ortic corespunz¼ator sunt concurente în centrul cercului circumscris triunghiului ABC, rezult¼a c¼a perpendicularele duse din centrele cercurilor exînscrise I a ; I b ; I c pe laturile BC; CA; respectiv AB sunt concurente în centrul cercului circumscris triunghiului I a I b I c. Soluţia. Triunghiul ABC este triunghiul ortic al triunghiului I a I b I c (Figura 3.1). Fie D a ; E b ; F c proiecţiile punctelor I a ; I b, respectiv I c pe laturile BC; AC, respectiv AB. Atunci, BD a = p c; CD a = p b; AF c = p b; BF c = p a;ae b = p c;ce b = p a, de unde rezult¼a c¼a BD a + CE b + AF c = (p c) + (p a) + (p b) = AE b + BF c + CD a şi din teorema lui Carnot rezult¼a c¼a dreptele I a D a ; I b E b şi I c F c sunt concurente. Teorema 937 Dac¼a O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC; R şi r a razele cercului circumscris, respectiv A-exînscris în triunghiul ABC, atunci: OI a = R + Rr a : Demonstraţie. Fie A 00 cel de-al doilea punct în care dreapta AI a intersecteaz¼a cercul circumscris triunghiului ABC. Utilizând puterea punctului I a faţ¼a de cercul circumscris triunghiului ABC obţinem: OI a R = AI a A 00 I a (i) În triunghiul AI a A c ; sin A = ra AI a sau AI a = ra (ii) iar în triunghiul ABA 00 din sin A teorema sinusurilor rezult¼a BA00 = R, adic¼a BA 00 = R sin A sin A = A00 I a (iii). Din relaţiile (i) - (iii) rezult¼a OIa R = Rr a ; de unde OIa = R + Rr a :
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 3 Observaţia 938 OI a = R + Rr a este relaţia lui Euler. Teorema 939 Patrulaterele BICI a ; AICI b şi AIBI c sunt inscriptibile. Demonstraţie. Deoarece m(^i a BI) = m(^i a CI) = 90 rezult¼a m(^i a BI) + m(^i a CI) = 180 ; adic¼a patrulaterul BICI a este inscriptibil. Analog, se arat¼a patrulaterele AICI b şi AIBI c sunt inscriptibile. Teorema 940 Centrul cercului circumscris patrulaterului BICI a este mijlocul segmentului II a : Demonstraţie. Evident, deoarece m(^ibi a ) = 90 rezult¼a c¼a II a este diametru în cercul circumscris patrulaterului BICI a : Teorema 941 (Teorema lui Beltrami) Mijlocul segmentului II a aparţine cercului circumscris triunghiului ABC. Demonstraţie. Fie A 00 cel de-al doilea punct de intersecţie dintre II a şi cercul circumscris triunghiului ABC (Figura 3.13). Cum Figura 3.13: Teorema lui Beltrami m(^a 00 IB) = m(^iab) + m(^iba) = 1 m(^a) + 1 m(^b) şi m(^iba 00 ) = m(^ibc) + m(^cba 00 ) = 1 m(^b) + 1 m(^a) rezult¼a c¼a triunghiul IA 00 B este isoscel, deci A 00 I = A 00 B: Analog, IA 00 = A 00 C, adic¼a A 00 este centrul cercului circumscris patrulaterului BICI a :
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 4 Teorema 94 Unghiul ^BI a C are m¼asura egal¼a cu 90 1 m(^bac): Demonstraţie. Deoarece m(^bic) = 90 + 1 m(^a) şi patrulaterul BICI a este inscriptibil rezult¼a m(^bi a C) = 180 m(^bic) = 90 1 m(^a) Observaţia 943 Analog, m(^ci b A) = 90 1 m(^acb): 1 m(^abc) şi m(^ai cb) = 90 Teorema 944 Axa radical¼a a cercurilor înscris în triunghiul ABC şi A exînscris corespunz¼ator triunghiului ABC este bisectoarea exterioar¼a a vârfului M a a triunghiului median al triunghiului ABC: Demonstraţie. Deoarece F a D a este tangenta comun¼a (diferit¼a de laturile triunghiului) cercurilor înscris şi A exînscris, rezult¼a c¼a axa radical¼a trece prin mijlocul segmentului F a D a, adic¼a prin M a mijlocul laturii BC. Cum axa radical¼a este perpendicular¼a pe linia centrelor II a rezult¼a c¼a este perpendicular¼a şi pe bisectoarea interioar¼a a mijlocului ^M c M a M b, adic¼a axa radical¼a este bisectoarea exterioar¼a a vârfului M a a triunghiului median M c M a M b. Observaţia 945 Centrele radicale ale cercurilor înscris, A exînscris, B exînscris şi C exînscris sunt centrele cercurilor înscrise şi exînscrise în triunghiul median al triunghiului ABC: Teorema 946 Axa radical¼a dintre cercurile B exînscris şi C exînscris ale triunghiului ABC este bisectoarea interioar¼a a vârfului M a a triunghiului medial al triunghiului ABC: Demonstraţie. Deoarece E a F a este tangenta exterioar¼a comun¼a cercurilor B exînscris şi C exînscris, rezult¼a c¼a axa radical¼a a acestor dou¼a cercuri trece prin mijlocul segmentului E a F a, adic¼a în punctul M a şi este perpendicular¼a pe linia centrelor I b I c ; deci axa radical¼a este paralel¼a cu bisectoarea unghiului A, adic¼a este bisectoarea unghiului ^M c M a M b : Observaţia 947 Analog, axele radicale dintre perechile de cercuri (C exînscris, A - exînscris) şi (A exînscris, B - exînscris) sunt bisectoarele interioare ale vârfurilor M b, respectiv M c ale triunghiului median. Teorema 948 Cercurile circumscrise triunghiurilor II a I b ; II b I c şi II c I a sunt congruente. Demonstraţie. Deoarece I este ortocentrul triunghiului I a I b I c (vezi [1, III.10]) rezult¼a concluzia (vezi Ortocentrul unui triunghi ).
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 5 Teorema 949 Centrul radical al cercurilor exînscrise este centrul cercului înscris în triunghiul median. Demonstraţie. Vezi teorema precedent¼a. Teorema 950 Distanţele dintre centrele cercurilor exînscrise şi centrul cercului înscris într-un triunghi ABC sunt egale cu: II a = a cos A = 4R sin A ; II b = b cos B = 4R sin B ; II c = c cos C = 4R sin C : Demonstraţie. Din teorema 941 rezult¼a c¼a II a = IA 00 = BA 00 = R sin A = 4R sin A : Dar, 4R sin A = R sin A cos A = a, de unde rezult¼a concluzia. cos A Teorema 951 Distanţele dintre centrele cercurilor exînscrise într-un triunghi ABC sunt egale cu: I b I c = 4R cos A ; I ci a = 4R cos B ; I ai b = 4R cos C : Demonstraţie. Deoarece m¼asurile unghiurilor triunghiului antisuplementar I a I b I c sunt egale cu: 90 1 m(^a); 1 90 m(^b); 1 90 m(^c) şi raza cercului circumscris acestui triunghi este R (vezi [1, III.10]) din teorema sinusurilor rezult¼a sau I b I c sin(90 A=) = I c I a sin(90 B=) = I a I b sin(90 C=) = R I b I c = 4R cos A ; I ci a = 4R cos B ; I ai b = 4R cos C : Teorema 95 Punctele I; I a ; A 0 ; A formeaz¼a o diviziune armonic¼a, unde fa 0 g = II a \ BC: Demonstraţie. Deoarece A0 I A 0 I a rezult¼a A0 I A 0 I a = r r a şi AI AI a = p a p, iar A [ABC] = pr = (p a)r a, = AI AI a, deci punctele I; I a ; A 0 ; A formeaz¼a o diviziune armonic¼a. Teorema 953 Punctele de contact C a şi D a sunt conjugate armonic în raport cu picioarele bisectoarei interioare (A 0 ) şi a în¼alţimii din A (H a ). Demonstraţie. Deoarece punctele I; I a ; A 0 ; A formeaz¼a o diviziune armonic¼a, rezult¼a c¼a şi proiecţiile lor C a,d a, A 0, respectiv H a formeaz¼a o diviziune armonic¼a.
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 6 Teorema 954 Punctele I b ; I c ; A; P formeaz¼a o diviziune armonic¼a, unde fp g = I b I c \ BC: Demonstraţie. Deoarece AI b rezult¼a AI b AI c = P I b P I c. AI c = p c p b şi P I b P I c = r b r c, iar A [ABC] = (p c)r c = (p b)r b, Teorema 955 Punctele B; C; A 0 ; P formeaz¼a o diviziune armonic¼a, unde fp g = I b I c \ BC: A Demonstraţie. Avem: 0 B A 0 C diviziune armonic¼a = P B P C = AB AC, deci punctele B; C; A0 ; P formeaz¼a o Teorema 956 Aria unui triunghi ABC este egal¼a cu A [ABC] = pr = (p a)r a = (p b)r b = (p c)r c = p rr a r b r c ; unde p este semiperimetrul triunghiului, r este raza cercului înscris, iar r a ; r b ; r c sunt razele cercurilor exînscrise. Demonstraţie. Vezi [1, II.61]. Teorema 957 Lungimile razelor cercurilor tritangente corespunz¼atoare triunghiului ABC sunt egale cu: r a = 4R sin A cos B cos C ; r b = 4R cos A sin B cos C ; r c = 4R cos A cos B sin C : Demonstraţie. Avem r a = A [ABC] p a = R sin A sin B sin C 4R cos A sin B sin C de unde rezult¼a r a = R ( sin A cos A ) ( sin B cos B ) ( sin C cos C ) R cos A sin B sin C Analog se arat¼a şi celelalte dou¼a egalit¼aţi. = 4R sin A cos B cos C : Teorema 958 În orice triunghi ABC sunt adev¼arate egalit¼aţile: i) r a + r b + r c = r + 4R; ii) 1 r a + 1 r b + 1 r c = 1 r : Demonstraţie. i) Avem: R = r c = A [ABC] p c, unde p = a+b+c, deci abc 4A, r = A [ABC] [ABC] p, r a = A [ABC] p a, r b = A [ABC] p b si r a +r b +r c r = p3 ap bp cp + abc A [ABC] = p [p (a + b + c)] + abc A [ABC] = abc A [ABC] = 4R: Analog se arat¼a ii).
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 7 Observaţia 959 Ecuaţia r a + r b + r c = r + 4R se numeşte relaţia lui Steiner. Teorema 960 În orice triunghi ABC este adev¼arat¼a relaţia: OI + OI a + OI b + OI c = 1R : Demonstraţie. Din relaţiile lui Euler avem OI = R Rr, OI a = R + Rr a, şi analoagele. Avem: OI + OI a + OI b + OI c = 4R + R(r a + r b + r c r) = 4R + R 4R = 1R ; unde am utilizat relaţia r a + r b + r c = 4R + r. Teorema 961 În orice triunghi ABC sunt adev¼arate egalit¼aţile: 1) r a r b + r b r c + r c r a = p ; ) (r a + r b )(r b + r c )(r c + r a ) = Rp ; 3) r(r a r b )(r b r c )(r c r a ) = p(a b)(b c)(c a); 4) (r a r)(r b r)(r c r) = 4Rr ; 5) r a r = aa [ABC] p(p a) ; 6) (ra+r)(r b+r)(r c+r) r 7) r a r b = p(p c); 8) 1 + 1 + 1 r ra 9) 1 r 1 r a rb 1 rb + 1 r c 1 r c = (a+b)(b+c)(c+a) p = a +b +c ; A [ABC] = 1R rr ar b r c 10) a r a(r b +r c) + b r b (r a+r c) + c r c(r a+r b ) = ; 11) r a (r b + r c ) + r b (r c + r a ) + r c (r a + r b ) = p : Demonstraţie. Se utilizeaz¼a egalit¼aţile A [ABC] = pr = (p a)r a = (p b)r b = (p c)r c = p rr a r b r c. Teorema 96 În orice triunghi ABC sunt adev¼arate egalit¼aţile: p = r a ctg A = r b ctg B = r c ctg C : Demonstraţie. În triunghiul dreptunghic AI a D c, avem imediat p = r a ctg A : Analog se obţin celelalte egalit¼aţi. Teorema 963 În orice triunghi ABC sunt adev¼arate egalit¼aţile: p a = r b tg C = r c tg B = r a ctg A tg B tg C ; p b = r a tg C = r c tg A = r b ctg B tg C tg A ; p c = r a tg B = r b tg A = r c ctg C tg A tg C :
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 8 Demonstraţie. În triunghiul dreptunghic BI a D c ; de exemplu, avem: BI a = p c = r a ctg(90 B=) = r a tg B : Pentru urm¼atoarele relaţii: p + p b + p c = r a ctg A + tg B B + tg C = r a ctg A tg B tg C : Analog se arat¼a celelalte egalit¼aţi. Teorema 964 În orice triunghi ABC este adev¼arat¼a relaţia 1=r h a reprezint¼a lungimea în¼altimii duse din vârful A: 1=r a = =h a, unde Demonstraţie. Avem 1=r 1=r a = p=s (p a)=s = a=s = =h a, unde S reprezint¼a aria triunghiului ABC. Teorema 965 În orice triunghi ABC sunt adev¼arate relaţiile: 1) 1 r=r a a = 1 r=r b b = 1 r=r c c = 1 p ; ) (h a + h b )=r c + (h b + h c )=r a + (h c + h a )=r b = 6: Demonstraţie. Se utilizeaz¼a relaţia 1=r 1=r a = =h a şi analoagele. Teorema 966 În orice triunghi ABC sunt adev¼arate egalit¼aţile: rr b + rr c + r b r c = p a ; rr c + rr a + r c r a = p b ; rr a + rr b + r a r b = p c : Demonstraţie. rr b + rr c + r b r c = (p a)(p c) + (p a)(p b) + p(p a) = (p a)(p + a) = p a : Teorema 967 În orice triunghi ABC sunt adev¼arate egalit¼aţile: ar = (p a)(r a r) şi ar a = p(r a r): Demonstraţie. Avem r a r = aa [ABC] p(p a) = ar p a = ara p : Teorema 968 În orice triunghi ABC este adev¼arat¼a relaţia ar a + br b + cr c = p(r r): Demonstraţie. Se utilizeaz¼a teorema precedent¼a.