8

9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia z f ( x, y) =, prin proiecţia pe planul xy, nu este necesar să determinăm vectorul unitate n normal la suprafaţă. În locul acestuia este suficient vectorul normal: f f n =± grad z f ( x, y) =± i j + k x y Formula de calcul a fluxului devine: (, ) f f Φ= ( an, ) dσ = ( an, ) + + dxdy x y D xy (, ) z= f x y f f = ( a, n) dxdy =± P ( x, y, f ( x, y) ) Q( x, y, f ( x, y) ) + R( x, y, f ( x, y) ) dxdy x y D D xy z= f x y xy Exemplu: Calculaţi fluxul vectorului a = xzi mărginit de planul z = ( ) z. prin faţa externă a paraboloidului z = x y Figura 9.5 n = grad z + x + y = xi + yj + k

Datorită simetriei domeniului ( an, ) = x ( x y ) z= f x, y Φ= D xy x x y dxdy D xy, transformăm integrala în coordonate polare. x = ρ cosϕ y = ρ sinϕ ρ : ϕ : π π π cos ( ) cos ( ) Φ= dϕ ρ ϕ ρ ρdρ = ϕdϕ ρ ρ dρ π π π 4 6 + cosϕ ρ ρ sinϕ π = dϕ = ϕ + π = = 4 6 4 6 6 Proiecţia pe trei plane de coordonate Fie o suprafaţă proiectabilă în mod unic pe cele trei plane de coordonate. Notăm cu D xy, D xz şi D yz proiecţiile lui pe planele xy, xz şi yz respectiv. F x, y, z = care defineşte suprafaţa este rezolvabilă în mod unic, în fiecare Ecuaţia argument, adică există =, y = f ( x z), z = f ( x y) x f y z,,, Fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa a cărui vector unitate normal este poate fi scris astfel: n = cos α i + cos β j + cos γ k Φ= an dσ = Pxyz α + Qxyz β + Rxyz γ dσ (, ) (,, ) cos (,, ) cos (,, ) cos

Avem în vedere că: dσ cosα =± dydz dσ cos β =± dxdz dσ cosγ =± dxdy cu semnul fiecărei formule ales în corespondenţă cu semnul lui cosα, cos β, cosγ, pe suprafaţa, fluxul devine: (, ),,, (, ),,, (, ) Φ=± P f y z y z dydz ± Q x f x z z dxdz ± R x y f x y dxdy Dyz Dxz Dxy Exemplu: Calculaţi fluxul câmpului vectorial a = yi + zj + xk prin triunghiul din planul x + y+ z = l, l >, tăiat de planele x =, y =, z = (unghiul γ este ascuţit). n grad z + x + y l i + j + k = = grad z x y l ( + + ) Figura 9.6

cosα = cos β = cosγ = > Toate integralele din formula fluxului se iau cu plus. Φ= ydydz + zdxdz + xdxdy Dyz Dxz Dxy Dyz l l y l l y y l ydydz = dy ydz = y ( l y) dy = l = l = 6 Dxz l l x l Dxy ( l x) x x l zdxdz = dx zdz = dx = l x l + = 6 l l x l l x x l xdxdy = dx xdy = x ( l x) dx = l = l = 6 l l l l l Φ = + + = 6 6 6 9.6 Fluxul unui câmp vectorial printr-o suprafaţă închisă Teoremă: Dacă într-un domeniu G, componentele câmpului vectorial a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) () P sunt continue şi au derivatele parţiale x, Q y, R continue, atunci fluxul câmpului z vectorial a prin orice suprafaţă închisă, netedă pe porţiuni, din domeniul G, este egal P Q R cu integrala triplă a funcţiei + + pe domeniul V mărginit de suprafaţa : P Q R Φ= ( an, ) dσ = + + dv () V

Aceasta este formula Gauss-Ostrogradsky. Aici n exterioare la suprafaţa şi este vectorul unitate al normalei notează fluxul printr-o suprafaţă închisă. Exemple: a xi z k. Determinaţi fluxul vectorului = ( ) prin suprafaţa închisă: { + = = = } : x y 4, z, z prin definiţie şi cu formula Gauss-Ostrogradsky. - Cu definiţia: Φ =Φ +Φ +Φ an d z d d R Φ =, σ = σ = σ = π = 4π σ Φ = an, d = z dσ = n ( ) grad x + y 4 xi + yj xi + yj = = = grad x + y 4 4x + 4y Figura 9.7

(, ) σ Φ = an d = xdσ Având în vedere simetria suprafeţei, vom folosim coordonate cilindrice: x = cosϕ y = sinϕ z = z dσ = dϕdz π π Φ = dϕ 4 cos ϕdz = 4 + cos ϕ dϕ = 8π - Cu Gauss-Ostrogradsky: Φ= 4π + + 8π = 4π P Q R Φ= + + dv = ( + ) dv = dv = 4π V V V. Determinaţi fluxul vectorului r = xi + yj + zk prin sfera de rază R şi centru originea sistemului de coordonate prin definiţie şi cu formula Gauss-Ostrogradsky. Figura 9.8 - Cu definiţia: n este vectorul unitate normal la sferă

- Cu Gauss-Ostrogradsky: xi + yj + zk r n = = R R,, r rn = r = R = R= ct R R Φ= rn, dσ = R dσ = R4πR = 4πR R R P Q R 4π R Φ= + + dv = ( + + ) dv = dv = = 4π R V V V. Determinaţi fluxul vectorului a = xi yj zk prin prin suprafaţa închisă: z = 9 x y : z = > ( z ) prin definiţie şi cu formula Gauss-Ostrogradsky. - Cu definiţia: Φ =Φ +Φ Figura 9.9

Φ = an, dσ = zdσ = n = grad z + x + y 9 = xi + yj + k (, ) σ (, ) z= f ( x y) Φ = an d = an dxdy, D xy z= 9 x y 9 z= x y an, = 6x y z = 7x y 9 Având în vedere simetria suprafeţei, vom folosim coordonate polare: x = ρ cosϕ y = ρ sinϕ ρ : ϕ : π (, ) ( 7 9 z= f x y ) Φ = an dxdy = x y dxdy, D xy π π ( 7 cos sin 9) ( 8 cos 9) = dϕ ρ ϕ ρ ϕ ρdρ = dϕ ρ ϕ ρ ρdρ D xy π 4 4 π ρ ρ ρ 8 8 = 8 cos ϕ 9 dϕ = 6 cos ϕ dϕ 4 4 4 π 4 8 8 = 8+ 8cos ϕ dϕ = π = π 4 4 - Cu Gauss-Ostrogradsky: P Q R Φ= + + dv = ( ) dv = dv V V V Având în vedere simetria suprafeţei, vom folosim coordonate cilindrice: x = ρ cosϕ y = ρ sinϕ z = z dv = ρd ρdϕdz ρ : ϕ : π z : 9 ρ

π 9 ρ 4 ρ ρ 8 8 8 Φ= dϕ ρdρ dz = π ρ( 9 ρ ) dρ = π 9 = π = π 4 4 Remarcă: Când suprafaţa este deschisă, adesea este convenabil să închidem suprafaţa şi să utilizăm formula Gauss-Ostrogradsky. Exemplu: Determinaţi fluxul vectorului : x z y + =, ( y ). a = y + z i y j + yzk prin suprafaţa Figura 9. uprafaţa reprezintă un con cu axa Oy. Închidem conul cu discul din planul y =. Notaţii: Φ fluxul necunoscut Φ fluxul prin P Q R Φ +Φ = + + dv = ( y + y ) dv = V V Φ +Φ = Φ = Φ Φ = an, dσ = a, j dσ = y dσ = dσ = π Φ = Φ = π

9.7 Divergenţa unui câmp vectorial Considerăm câmpul vectorial al vitezelor dintr-un fluid în mişcare. Fie o suprafaţă închisă în fluid. - Dacă fluxul prin este pozitiv, aceasta sugerează că pentru spaţiul mărginit de, ieşirea de fluid este mai mare decât intrarea. punem că există surse în care generează fluid. - Dacă fluxul prin este negativ, intrarea este mai mare decât ieşirea. punem că există absorbţie în pentru fluid. În consecinţă, cantitatea: dσ () Φ= ( an, ) caracterizează natura câmpului vectorial din interiorul suprafeţei, anume prezenţa punctelor sursă şi absorbţie de câmp în interiorul lui. Conceptul de flux al unui vector printr-o suprafaţă închisă conduce la noţiunea de divergenţă a câmpului. Divergenţa unui câmp vectorial este o funcţie scalară care asociază un număr fiecărui punct din câmp. Fie M un punct dat din câmp. Închidem punctul cu o suprafaţă arbitrară, de exemplu o sferă cu o rază suficient de mică. Notăm cu (V) domeniul mărginit de şi cu V volumul acestuia. Fluxul vectorului a prin este: Considerăm raportul: dσ (4) Φ= ( an, ) ( an, ) V dσ (5) Deoarece numărătorul ne indică generarea realizată de sursele din (V), atunci raportul (5) ne indică generarea medie din unitatea de volum sau cantitatea de surse pe unitatea de volum. Definiţie: Dacă raportul (5) are limită finită atunci când (V) se reduce la punctul M, atunci această limită defineşte divergenţa câmpului vectorial a în punctul M şi se div a M : notează div a M = lim ( V) M ( an, ) V dσ (6)

Dacă div a ( M ) > Dacă div a ( M ) <, atunci în punctul M avem o sursă de câmp., atunci în punctul M avem un punct de absorbţie de câmp. Observaţie: Conform definiţiei, divergenţa unui câmp vectorial a în punctul M este o densitate volumică a fluxului cîmpului vectorial a în acel punct. Metodă de calcul a divergenţei în coordonate carteziene Fie câmpul vectorial: a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) (7) cu componentele funcţii continue care au derivate parţiale vecinătate a punctului M. P x, Q y, R z continue pe o Aplicăm teorema Gauss-Ostrogradsky fluxului câmpului a prin orice suprafaţă închisă din vecinătatea lui M, care conţine punctul M: P Q R ( an, ) dσ = + + dv (8) V Integralei triple din dreapta îi aplicăm teorema de medie: ubstituim această relaţie în definiţia (6): P Q R ( an, ) dσ = + + V (9) M m div a M P Q R = lim ( V) + + M M m () Când (V) se reduce la punctul M şi parţiale, avem: M m M, şi cu ipoteza de continuitate a derivatelor div a M P Q R = + + P Q R div a = + + M () ()

Toate cantităţile din formula () se calculează în acelaşi punct. Formula Gauss-Ostrogradsky poate fi rescrisă: ( an, ) dσ = divadv () V Reguli de calcul pentru divergenţă. Liniaritate div C a + C a + + C a = C div a + C div a + + C div a (4) n n n n unde C, C,..., C n sunt constante.. Divergenţa unui vector constant c este nulă. div c = (5). Divergenţa produsului unei funcţii scalare u ( M ) cu un vector ( M ) a : Într-adevăr, dacă div ua u div a grad u a = + (, ) a = Pi + Qj + Rk, atunci (6) div ( up) ( uq) ( ur) ua = div upi + uqj + urk = + + x y P Q R u u u = u + u + u + P + Q + R x y z x y z = udiva+ ( gradua, ) z Exemplu: Calculaţi divergenţa vectorului: a = ϕ = ϕ r () r r () r r

unde r = xi + yj + zk şi r r = este distanţa de la origine la un punct arbitrar M ( x y, z) ( r) ( r) ( r), ϕ ϕ ϕ div a = div r = div r + grad r r r r div r = + + =,. ( r) ( r) r ( r) ( r) ϕ ϕ ϕ ϕ grad = grad r = r r r r ϕ r rϕ r ϕ r rϕ r ϕ r ϕ r grad, r = r, r ϕ ( r) = = r r r r ϕ r ϕ r ϕ r div a = + ϕ ( r) = + ϕ r r r r Definiţie: Dacă în toate punctele unui domeniu a definit pe G, este nulă, adică: div a = atunci câmpul se numeşte solenoidal pe domeniul G. G R, divergenţa unui câmp vectorial Observaţie: În câmp solenoidal, fluxul câmpului vectorial prin orice suprafaţă închisă din câmp, este nul a, n dσ (8) = (7) Proprietăţile unui câmp solenoidal (fără surse) Fie o suprafaţă plană în câmpul vectorial a şi fie γ frontiera lui, adică γ =. Totalitatea liniilor de câmp care trec prin frontiera γ formează un tub vectorial. Considerăm o secţiune arbitrară a tubului. Normala n la este orientată în direcţia câmpului a. Teorema: Într-un câmp solenoidal a, fluxul vectorului a prin orice secţiune a unui tub vectorial este acelaşi.

Figura 9. Demonstraţie: Fie şi două secţiuni arbitrare, care nu se intersectează, ale aceluiaşi tub vectorial. Trebuie să arătăm că: ( a n ) dσ = ( a, n ), dσ Notăm cu suprafaţa laterală a tubului, cuprinsă între cele două secţiuni arbitrare. Cele trei suprafeţe, şi formează împreună o suprafaţă închisă = + +. Deoarece câmpul a este presupus solenoidal, avem: ( a, n ) dσ = Cu proprietatea de aditivitate a fluxului, putem scrie: ( a, n ) dσ + ( a, n ) dσ + ( a, n ) dσ = (9) Pe suprafaţa, care este formată din linii de câmp, avem suprafaţa, şi astfel ultima integrală este nulă. Deci, n a a. Atunci, (, n ) = pe ( a n ) dσ = ( a, n ), dσ

Fie L un contur închis, orientat, care este frontiera suprafeţei. Vom spune că L este bordul orientat al suprafeţei. Figura 9. Considerăm vectorul normal n la astfel încât să existe o legătură directă între n şi parcurgerea bordului L. Teorema : Într-un câmp solenoidal a, fluxul vectorului a prin orice suprafaţă care are acelaşi bord orientat este acelaşi, adică: ( a n ) dσ = ( a, n ), dσ Observaţie: Într-un câmp solenoidal liniile de câmp nu încep şi nu se termină în câmp. Acestea pot fi curbe închise sau deschise ce pot avea capetele pe frontiera domeniului pe care e definit câmpul. () Figura 9.

. Exemplu: Considerăm câmpul produs de o sarcină punctuală q plasată în originea sistemului de coordonate. Intensitatea câmpului este: q E = r r unde r = xi + yj + zk şi Pentru r avem q q div E = div r = div r r r r = r = x + y + z q q q div r div r grad, r = + r r r q q = + r, r r q q 4 = = r r r r Câmpul E este solenoidal în orice domeniu G care nu conţine punctul O (,,). Fluxul câmpului E prin sfera R de rază R şi centru punctul O (,,) este: q q q Φ= En, dσ = r, r dσ = dσ = 4πR r R R R R R Φ = 4π q Fluxul câmpului E prin orice suprafaţă închisă care conţine originea O (,,) este 4π q.