Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor dreptunghiulare 3 Să se scrie algoritmul unui program care să calculeze C2 sin x, x < 5 y = 5x 3, 5 x 3 ln x, x > 3 Să se rezolve prin metoda generală următoarele ecuaţii de forma f(x) = 0, cu precizia specificată, ştiind că admit câte o soluţie pe intervalele indicate: 1 f(x) = x 2 5x + 4, er = 10-3, ξ ( 0,3) 2 f(x) = x 3-8x 2 + 19x -12, er = 10-5, ξ ( 1,2) 3 f(x) = sin x ln x, er = 10-6, ξ ( 0,π) C3 Să se rezolve prin metoda bisecţiei ecuaţiile de mai jos, de forma f(x) = 0, cu precizia specificată, ştiind că admit câte o soluţie pe intervalele indicate Să se compare numărul de iteraţii necesare cu cel de la rezolvarea aceloraşi ecuaţii prin metoda generală 1 f(x) = x 2 5x + 4, er = 10-3, ξ ( 0,3) 2 f(x) = x 3-8x 2 + 19x -12, er = 10-5, ξ ( 1,2) 3 f(x) = sin x ln x, er = 10-6, ξ ( 0,π)
C4 Să se rezolve prin metoda Newton - Raphson ecuaţiile de mai jos, de forma f(x) = 0, cu precizia specificată, ştiind că admit câte o soluţie pe intervalele indicate Să se compare numărul de iteraţii necesare cu cel de la rezolvarea aceloraşi ecuaţii prin metoda generală şi metoda bisecţiei 1 f(x) = x 2 5x + 4, er = 10-3, ξ ( 0,3) 2 f(x) = x 3-8x 2 + 19x -12, er = 10-5, ξ ( 1,2) 3 f(x) = sin x ln x, er = 10-6, ξ ( 0,π) C5 A Fie ecuaţia f(x) = x 2-2x - 3 = 0, având rădăcinile ξ 1 = -1 şi ξ 2 = 3 Să se studieze posibilitatea rezolvării acestei ecuaţii, prin metoda punctului fix, în următoarele trei cazuri: 1 g ( x) 2x + 3 2 g( x) 3 g( x) =, x 0 = 4; 3 =, x 0 = 0; x 2 2 x n 3 =, x 0 = 4 2 B Să se rezolve prin metoda Newton - Raphson ecuaţiile de mai jos, de forma f(x) = 0, cu precizia specificată, ştiind că admit câte o soluţie pe intervalele indicate Să se compare numărul de iteraţii necesare cu cel de la rezolvarea aceloraşi ecuaţii prin metoda generală şi metoda bisecţiei 4 f(x) = x 2 5x + 4, er = 10-3, ξ ( 0,3) 5 f(x) = x 3-8x 2 + 19x -12, er = 10-5, ξ ( 1,2) 6 f(x) = sin x ln x, er = 10-6, ξ ( 0,π) C6 Să se rezolve, prin metoda Gauss, sistemele de ecuaţii: 1 7x 3y + 2z = 5; x + 4y + 2z = 3; 2x + y 6z = 8
2 5x1 x 2 + x3 2x 4 = 3; x1 7x 2 + 3x3 + x 4 = 2; x1 + 2x 2 6x3 + 2x 4 = 1; x1 + x 2 + x3 4x 4 = 1 C7 Să se rezolve, prin metoda Jacobi, sistemele de ecuaţii de mai jos, după ce se va fi verificat, în prealabil, îndeplinirea criteriului de convergenţă; să se compare rezultatele cu cele obţinute, la rezolvarea aceloraşi sisteme, la C6 1 2 7x 3y + 2z = 5; x + 4y + 2z = 3; 2x + y 6z = 8 5x1 x 2 + x3 2x 4 = 3; x1 7x 2 + 3x3 + x 4 = 2; x1 + 2x 2 6x3 + 2x 4 = 1; x1 + x 2 + x3 4x 4 = 1 C8 Să se rezolve, prin metoda Gauss - Seidel, sistemele de ecuaţii de mai jos; să se compare rezultatele cu cele obţinute, la rezolvarea aceloraşi sisteme, la C6 şi C7 1 2 7x 3y + 2z = 5; x + 4y + 2z = 3; 2x + y 6z = 8 5x1 x 2 + x3 2x 4 = 3; x1 7x 2 + 3x3 + x 4 = 2; x1 + 2x 2 6x3 + 2x 4 = 1; x1 + x 2 + x3 4x 4 = 1
C9 1 Fie următoarea funcţie, dată tabelar: Să se calculeze, prin interpolare cu un polinoame Lagrange, de grad 3, 4 şi 5, valoarea funcţiei f în punctele x 0 = 1, 2, 3, 4, 5 2 Fie următoarea funcţie, dată tabelar: Să se calculeze, prin interpolare cu un polinoame Lagrange, de grad 2, 3, şi 4, valoarea funcţiei f în punctele x 0 = -1, 1, 3, 5 C10 x k -2 0 2 6 8 10 12 f(x k ) 025 1 4 64 256 1024 4096 f(x k ) 011 1 9 81 729 1 Fie următoarea funcţie, dată tabelar: f(x k ) 011 1 9 81 729 Să se calculeze, prin interpolare cu un polinoame Newton, de grad 2, 3, şi 4, valoarea funcţiei f în punctele x 0 = -1, 1, 3, 5 2 Fie următoarea funcţie, dată tabelar: x k 0 2 4 6 8 f(x k ) 0 141 2 245 283 Să se calculeze, prin interpolare cu un polinoame Newton, de grad 2, 3, şi 4, valoarea funcţiei f în punctele x 0 = 1, 3, 5 şi 7
C11 Să se determine funcţiile de gradul al doilea care aproximează cu abatere medie pătratică minimă următoarele funcţii date tabelar: 1 2 f(x k ) 011 1 9 81 729 x k 0 2 4 6 8 f(x k ) 0 141 2 245 283 C12 1 Fie următoarea funcţie, dată tabelar: Să se calculeze, cu ajutorul polinomului de interpolare Lagrange, derivatele funcţiei f în punctele -2, 0, 2, 4, 6 2 Fie următoarea funcţie, dată tabelar: Să se calculeze, cu ajutorul polinomului de interpolare Lagrange, derivatele funcţiei f în punctele 0, 2, 4, 6, 8 C13 f(x k ) 011 1 9 81 729 x k 0 2 4 6 8 f(x k ) 0 141 2 245 283 Să se calculeze, cu ajutorul formulei trapezelor şi apoi cu formula Cavalieri Simpson, următoarele integrale: 1 5 1 x dx ;
2 5 3 x dx ; 0 7 2 3 ( x 2x 5) 3 + dx Comparaţi rezultatele obţinute prin cele două metode 0