Programa olimpiadei de matematică

Programa olimpiadei de matematică petru clasele V VIII Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse î mod implicit coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. Petru fiecare clasă,î programa prevăzută petru etapa județeaă/etapa ațioală sut icluse î mod implicit,coțiuturile programelor petru etapa locală/etapele aterioare. Cuoştiţele suplimetare faţă de programa școlară, pot fi folosite î rezolvarea problemelor de olimpiadă. Clasa a V a Etapa locală Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică. Metoda comparaţiei. Metoda grafică. Metoda falsei ipotezei. Metoda mersului ivers. Probleme de mișcare. Probleme de umărare. Pricipiul cutiei (Pricipiul lui Dirichlet). Metoda reducerii la absurd. Numere aturale Operații cu umere aturale.factorul comu. Teorema împărţirii cu rest.sume Gauss. Reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Ultima cifră. Pătrate perfecte. Cuburi perfecte. Sisteme de umeraţie. Divizibilitatea î N. Numere prime.numere compuse.descompuerea umerelor aturale î produs de factori primi. Etapa judeţeaă Mulţimi. Submulţimi. Cardialul uei mulţimi. Operaţii cu mulţimi: reuiuea, itersecţia, difereţa,produsul cartezia. Etapa ațioală Numere raţioale pozitive Fracții ordiare.amplificare.simplificarea.operații cu fracții ordiare. Ecuaţii liiare î Q. Fracţii zecimale. Operaţii. Iecuaţii liiare î N si Q. Media aritmetică. Probleme. Elemete de geometrie şi uităţi de măsură. Etapa locală Clasa a VI a 1. Numere aturale Proprietăţile divizibilităţii î N. Criteriile de divizibilitate cu: 2; 5; 10; 2 ; 5 ; 3; 9; 7; 11; 13. Numere prime şi umere compuse. Teorema fudametală a aritmeticii. C.m.m.d.c. si c.m.m.m.c. ; a;ba;ba b. Numere prime ître ele; a bc și a;b1a c. Dacă a;bd x, yn astfel îcât x; y1şi a xd; b yd. Dacă a;bmx, yn astfel îcât x; y1 si m ax; m by. 1

2.Numere rațioale pozitive Operații cu umere rațioale pozitive.media aritmetică poderată a uor umere rațioale pozitive.ecuații î mulțimea umerelor rațioale pozitive.probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor/iecuațiilor. 1. Puct. Dreaptă. Semidreaptă. Segmet (coţiutul programei şcolare). 2. Ughi (coţiutul programei școlare şi, î plus, teorema directă si teorema reciprocă a ughiurilor opuse la vârf). 3. Cogrueţa triughiurilor (coţiutul programei şcolare şi cazul L.U.U.). Etapa judeţeaă 3. Rapoarte si Proporţii Rapoarte. Proporţii. Procete. Mărimi direct proporţioale. Mărimi ivers proporţioale. Şir de rapoarte egale. Proporţioalitate directă. Proporţioalitate iversă.probabilităţi. 1.Perpedicularitate (coţiutul programei școlare). Etapa ațioală 1.Rapoarte și proporții Elemete de orgaizare a datelor, reprezetarea datelor pri grafice; probabilități. 1.Paralelism Coţiutul programei școlare şi, î plus, teorema directă şi teorema reciprocă a liiei mijlocii a uui triughi. 2.Proprietăți ale triughiurilor Coţiutul programei școlare şi următoarele teoreme: - Îtr-u triughi dreptughic, lugimea catetei care se opue ughiului de 30 este jumătate di lugimea ipoteuzei. Teorema reciprocă. - Îtr-u triughi dreptughic, lugimea mediaei corespuzătoare ipoteuzei este jumătate di lugimea ipoteuzei. Teorema reciprocă. - Iegalități geometrice:iegalitatea triughiului.îtr-u triughi, la latura mai mare se opue ughiul mai mare și reciproc.teorema perpedicularelor și a oblicelor. Etapa locală Clasa a VII a 1. Mulţimea umerelor îtregi; Mulţimea umerelor raţioale; Mulţimea umerelor reale; 2. Modulul uui umăr real. Proprietăţile modulului. 3. Partea îtreagă şi partea fracţioară a uui umăr real; Reguli de calcul cu radicali (coţiutul programei școlare). 2

a) Dacă an şi aq, atuci a N; b) Dacă a,bn şi a+ bq, atuci anşi bn; c) Dacă a şi b u sut pătrate ale uor umere rațioale, atuci a+ bq; d) Dacă a,bq şi, Q astfel îcât a b Q, atuci aq şi bq; e) Dacă a,b Q astfel îcât br\q, atuci a br\q şi a br\q; f) Dacă a Q si br\q, atuci a br\q şi abr\q;g) a c a c a b, ude a,b,cr şi c 2 a 2 b(formula radicalilor dubli). 2 2 1.Patruletere (coţiutul programei școlare). 2. Asemăarea triughiurilor Teorema lui Thales. Teorema reciprocă a teoremei lui Thales. Teorema paralelelor echidistate. Teorema paralelelor eechidistate. Liia mijlocie î triughi; proprietăţi. Cetrul de greutate al uui triughi; proprietăţi. Liia mijlocie î trapez; proprietăţi. Teorema fudametală a asemăării. Criterii de asemăare a triughiurilor. Teorema bisectoarei (iterioare, exterioare) şi teorema reciprocă. 3. Probleme de coliiaritate. Probleme de cocureţă. Teorema lui Meelaos; teorema reciprocă. Teorema lui Ceva; teorema reciprocă. Etapa județeaă 1. Calcul algebric; Calcule cu umere reale reprezetate pri litere (coțiutul programei școlare). Formalism algebric: 1 2 2 1 a b ( a b)( a a b... ab b ), a,br şi N; 1 2 2 1 a b ( a b)( a a b... ab b ), a,br şi N, impar; ( a b) M b, ude a,bz şi N a 2 2 2 2 2 2 ( a b )( c d ) ( ac bd) ( ad bc) (idetitatea lui Lagrage). 1. Patruletere(coţiutul programei școlare). 2. Asemăarea triughiurilor Teorema lui Thales. Teorema reciprocă a teoremei lui Thales. Teorema paralelelor echidistate. Teorema paralelelor eechidistate. Liia mijlocie î triughi; proprietăţi. Cetrul de greutate al uui triughi; proprietăţi. Liia mijlocie î trapez; proprietăţi. Teorema fudametală a asemăării. Criterii de asemăare a triughiurilor. Teorema bisectoarei (iterioare, exterioare) şi teorema reciprocă. 3. Probleme de coliiaritate. Probleme de cocureţă. Teorema lui Meelaos; teorema reciprocă. Teorema lui Ceva; teorema reciprocă. Etapa aţioală 1. Iegalităţi. Sume. Probleme de maxim si de miim. a. a 2 b 2 2ab, a,br; b. a 2 b 2 c 2 a b abac bc, a,b,cr ;c. 2 a,br b a ; 3

d. 1 1 1... a a a 1 2 a a... a a a... a a1 a2... a 2 2 2 1 2 1 2 N (iegalitatea mediilor); 2 2 2 2 2 2 2 f. ( a a... a ) ( b b... b ) ( a b a b... a b ), a i, b i R şi 1 2 1 2 1 1 2 2 N (iegalitatea Cauchy Buiakovski Schwarz). 2. Ecuaţii. Probleme. 3.Elemete de orgaizare a datelor Coțiutul programei școlare., a, i 1, 1. Relaţii metrice î triughi. Î triughiul dreptughic: teorema îălţimii; teorema catetei; teorema lui Pitagora; teoreme reciproce. Rapoarte costate î triughiul dreptughic: si, cos, tg, ctg.teorema lui Pitagora geeralizată. Teorema cosiusului. Teorema siusurilor. Teorema mediaei: 2 2 2 2 2( b c ) a ma. 4 Arii: A p( p a)( p b)( p c) ; a bsi C A ; A p r 2 ; abc A 4R ; A patrulater covex = d 1 d 2 si(d 1,d 2. 2 ) 2. Cercul Defiiţie. Elemete î cerc. Ughi la cetru. Măsura arcelor. Coarde si arce; proprietăţi. Teorema ughiului îscris î cerc. Cerc îscris, cerc circumscris uui triughi. Patrulater iscriptibil. Patrulater circumscriptibil. Codiţii de iscriptibilitate, codiţii de circumscriptibilitate.dreapta lui Simso.Cercul lui Euler. 3.Probleme elemetare de loc geometric. tapă locală/etapa judeţeaă Clasa a VIII a 1.Numere reale Coțiutul programei școlare. Partea îtreagă şi partea fracţioară a uui umăr real. Ecuaţii. Modulul uui umăr real. Ecuaţii. Itervale. Itersecţia şi reuiuea itervalelor. Operații cu itervale.iecuații. Formulele de calcul prescurtat.rapoarte de umere reale reprezetate pri litere. Operaţii. 1. Pucte, drepte, plae. Paralelism. La coţiutul programei şcolare se adaugă: teoreme de paralelism; teorema lui Meelaos î spaţiu; teorema reciprocă teoremei lui Meelaos; teorema lui Thales î spaţiu; axe de simetrie ale paralelipipedului dreptughic; axa de simetrie a piramidei patrulatere regulate; simetria faţă de u pla; secţiui axiale î corpurile care admit axe de simetrie. 6. Proiecţii ortogoale pe u pla La coţiutul programei școlare se adaugă: perpediculara comuă a două drepte; reciprocele teoremelor celor trei perpediculare; pla mediator; pla bisector. i 4

Etapa aţioală ALGEBRA 1. Fucţii-coţiutul programei școlare. 2. Ecuatii,iecuații și sisteme de ecuații-coțiutul programei școlare. 1. Calcul de arii si volume (prisma, piramida, truchiul de piramidă)-coţiutul programei școlare. 2.Corpuri rotude-coțiutul programei școlare. 3.Probleme elemetare de loc geometric. Notă:1. La toate etapele olimpiadei de matematică (locală, judeţeaă, aţioală), autorul problemelor di cocurs va utiliza coţiutul prezetei programe petru olimpiadă. 2. Temele propuse vor cupride atât coţiuturile obligatorii petru toţi elevii, cât şi coţiuturile suplimetare. 3. Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme fudametale(fără demostraţie): teorema lui Steier, teorema lui Ptolemeu, teorema lui Fermat şi pricipiul iducţiei matematice etc. coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de corectare. 5

PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ petru clasele IX-XII Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse î mod implicit coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. Cuoştiţele suplimetare faţă de programa şcolară, ce apar î acest text, pot fi folosite î rezolvarea problemelor de olimpiadă fără demostraţii. CLASA a IX-a Etapa locală 1. Elemete de logică şi teoria mulţimilor. 2. Fucţii defiite pe mulţimea umerelor aturale. 3. Fucţii. Lecturi grafice. Următoarele oţiui şi rezultate fac parte di programa suplimetară petru etapa locală : 2 2 2 Ecuaţii î umere îtregi : ax by c; x y z ; Teorema împărţirii cu rest î mulţimea umerelor îtregi. Algoritmul lui Euclid; Cogrueţe modulo. Teoremele : Fermat, Wilso; Mulţimi. Pricipiul icluderii şi excluderii; Iegalitatea mediilor. Iegalitatea lui Cauchy-Buiakovski. Iegalitatea lui Holder. Iegalitatea lui Beroulli. Iegalitatea lui Cebîsev; Fucţii ijective, surjective, bijective; Recureţe liiare de ordiul I si II. şi TRIGONOMETRIE 1. Vectori î pla. 2. Coliiaritate, cocureţă, paralelism - calcul vectorial î geometria plaă. Etapa judeţeaă 1. Elemete de logică şi teoria mulţimilor. 2. Fucţii defiite pe mulţimea umerelor aturale. 3. Fucţii. Lecturi grafice. 4. Fucţia de gradul îtâi. 5. Fucţia de gradul al doilea. Următoarele oţiui şi rezultate fac parte di programa suplimetară petru etapa judeţeaă: 2 2 2 Ecuaţii î umere îtregi : ax by c; x y z ; Teorema împărţirii cu rest î mulţimea umerelor îtregi. Algoritmul lui Euclid; Cogrueţe modulo. Teoremele : Fermat, Wilso; Mulţimi. Pricipiul icluderii şi excluderii; Iegalitatea mediilor. Iegalitatea lui Cauchy-Buiakovski. Iegalitatea lui Holder. Iegalitatea lui Beroulli. Iegalitatea lui Cebîsev; Fucţii ijective, surjective, bijective; Recureţe liiare de ordiul I si II. 6

şi TRIGONOMETRIE 1. Vectori î pla. 2. Coliiaritate, cocureţă, paralelism - calcul vectorial î geometria plaă. 3. Elemete de trigoometrie. Următoarele oţiui şi rezultate fac parte di programa suplimetară petru etapa judeţeaă: Teoreme de geometrie clasică. Teorema lui Stewart. Teorema lui Steier. Dreaptalui Euler. Drepte de tip Simso. Pucte şi liii importate. Teoreme de cocureţă si coliiaritate. Relaţii metrice. Etapa aţioală Următoarele oţiui şi rezultate fac parte di programa suplimetară petru etapa aţioală: Mulţimi umărabile şi eumărabile (N,Z,Q sut umărabile si R este eumărabilă). Desitatea î R a mulţimilor Q si R /Q. (orice iterval deschis de umere reale coţie atâtumere iraţioale cât şi umere raţioale). Teorema de desitate a lui Kroecker (dacă a este iraţioal, mulţimea valorilor şirului {a} este desă î [0,1]).Idicatorul lui Euler: ( ) umărul umerelor prime cu, mai mici decât ; Teorema lui Euler. si TRIGONOMETRIE Notă. Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme fără demostraţie di cadrul programei de olimpiadă coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de evaluare. Etapa locală CLASA a X-a 1. Mulţimi de umere. 2. Fucţii şi ecuaţii -exclusiv ecuații trigoometrice. Etapa judeţeaă 1. Mulţimi de umere. 2. Fucţii şi ecuaţii. 3. Metode de umărare. Următoarele oţiui şi rezultate fac parte di programa suplimetară petru etapa judeţeaă: Covexitate î sesul lui Jese, iegalitati deduse di covexitate. 7

Etapa aţioală Următoarele oţiui şi rezultate fac parte di programa suplimetară petru etapa aţioală: Polioame C.m.m.d.c. si c.m.m.m.c. si algoritmul lui Euclid petru polioame; Teorema fudametală a algebrei. Teorema lui Bezout; Rădăcii multiple; Polioame ireductibile; Relaţii ître rădăcii şi coeficieţi; Polioame simetrice, teorema fudametală a polioamelor simetrice, sumele lui Newto. Următoarele oţiui şi rezultate fac parte di programa suplimetară petru etapa aţioală: Elemete de geometrie î spaţiu: Geometria tetraedrului, Poliedre; Mulţimi covexe, îfăşurătoarea covexă.teorema lui Helly. Notă. Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme fără demostraţie di cadrul programei de olimpiadă coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de evaluare. Etapa locală SI CLASA a XI-a 1.Elemete de algebră liiară si geometrie aalitică (pâă la rezolvarea sistemelor liiare exclusiv). ANALIZĂ MATEMATICĂ 1. Mulţimea umerelor reale. 2. Şiruri de umere reale. 3. Limite de fucţii. 4. Fucţii cotiue. Etapa judeţeaă SI 1. Elemete de algebră liiară si geometrie aalitică (pâă la rezolvarea sistemelor liiare exclusiv) Următoarele oţiui și rezultate fac parte di programa suplimetară petru etapa judeţeaă: Descompuerea uei permutări î produs de cicli disjucţi, respectiv traspoziţii; Determiatul de ordi ; Ecuatia caracteristica a uei matrice;teorema Hamilto-Cayley; Ragul uei matrice di Mm, ( C ); Iegalitatea lui Sylvester asupra ragului produsului a două matrice. 8

ANALIZĂ MATEMATICĂ 1. Mulţimea umerelor reale. 2. Şiruri de umere reale. 3. Limite de fucţii. 4. Fucţii cotiue. Următoarele oţiui şi rezultate fac parte di programa suplimetară petru etapa judeţeaă: Mulţimi dese î R, lema itervalelor îchise (Cator) Numărabilitate, umărabilitatea lui Q, eumărabilitatea lui R; Pucte limită petru şiruri; Discotiuităţi de prima şi a doua speţă; Cotiuitate uiformă; Fucţii cu proprietatea valorii itermediare (proprietatea lui Darboux). Etapa aţioală SI Următoarele oţiui şi rezultate fac parte di programa suplimetară petru etapa aţioală: Poliom caracteristic, valori proprii; Sisteme liiare de m ecuaţii cu ecuoscute. ANALIZĂ MATEMATICĂ Următoarele oţiui şi rezultate fac parte di programa suplimetară petru etapa aţioală: Teorema lui Darboux; Formula lui Taylor cu restul lui Lagrage. Notă. Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme fără demostraţiedi cadrul programei de olimpiadă coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de corectare. Etapă locală/etapa judeţeaă CLASA a XII-a 1. Elemete de algebră (pâă la Corpuri - iclusiv) Următoarele oţiui si rezultate fac parte di programa suplimetară petru etapa judeţeaă: Grupuri fiite. Teorema lui Lagrage. Teorema lui Cauchy; Morfisme de structuri (semigrup, mooizi, etc); Grupuri fiit geerate; Grupul permutărilor, cicluri, descompuerea î produs de cicluri disjucte; Subgrupuri clasice (cetrul uui grup, cetralizatorul uei mulţimi, ucleul si imagiea uui morfism); Elemete ilpotete şi elemete idempotete; Orice corp fiit este comutativ. 9

ANALIZĂ MATEMATICĂ 1. Primitive 2. Itegrala defiită (pâă la teorema de existeță a itegralei uei fucții cotiue - iclusiv). Următoarele oţiui şi rezultate fac parte di programa suplimetară petru etapa judeţeaă: Sume Darboux, sume Riema, itegrabilitate; Mulţimi eglijabile Lebesgue. Criteriul lui Lebesgue. Etapa aţioală ANALIZĂ MATEMATICĂ Notă. Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme fără demostraţie di cadrul programei de olimpiadă coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de corectare. 10