MINISTERUL NVźÅMÂNTULUI Program TEMPUS JEP 380 SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT Daiel SCRÅDEANU MODELE GEOSTATISTICE N HIDROLOGIE VOL. I Serie coordoatå de: Jea Pierre CARBONNEL Uiversitatea Pierre et Marie Curie - Paris 6 Radu DROBOT - Uiversitatea Tehicå de Costruc ii Bucure ti EDITURA DIDACTICÅ ªI PEDAGOGICÅ, R.A. - BUCUREªTI, 996
ISBN 973-30 - 4844-5 Toate drepturile asupra acestei edi ii sut rezervate Editurii Didactice i Pedagogice, R.A., Bucure ti Redactor: Graficia: Iuliaa ARHANGHELSCHI Dumitru ªMALENIC
PREFAºÅ Dedicatå practicieilor, lucrarea "Modele geostatistice î Hidrogeologie" îcearcå o prezetare completå i accesibilå a modelelor geostatistice, cu exemplificåri di domeiul Hidrogeologiei. Utilizate petru modelarea structurilor spa iale complexe, proprii feomeelor aturale, modelele geostatistice oferå studiului diamicii acviferelor pri modele umerice istrumete de mare eficie å petru: ii ializarea parametricå a modelelor umerice, calarea modelelor umerice i evaluarea icertitudiii rezultatelor modelårii. Aterior acestei lucråri, î 975, A.Sila i publicå "Geostatisticå aplicatå î cercetarea zåcåmitelor i evaluarea rezervelor", î 979, M.Murgu aborda "Optimizarea geostatisticå a re elelor de explorare i valorificare a zåcåmitelor mierale", iar î 986 D.Zorilescu publicå "Itroducere î geostatistica iforma ioalå". Lucrarea "Modele geostatistice î Hidrogeologie" este coceputå î douå volume: volumul I co ie prezetarea estimårii spa iale, puctuale i zoale, uivariate i multivariate, iar volumul al II-lea, î curs de redactare, va fi dedicat, î pricipal, simulårii codi ioale i pricipalelor ei aplica ii: proiectarea re elelor de moitorig, simularea litofaciesului acviferelor, ii ializarea parametricå i estimarea gradului de icertitudie al modelelor de simulare umericå a sistemelor acvifere. Volumul I este structurat î apte capitole. I capitolul, dupå u scurt istoric al evolu iei metodelor geostatistice, sut precizate obiectivele prelucrårilor geostatistice, precum i succesiuea etapelor de prelucrare. Capitolul este cosacrat diferitelor modalitå i utilizate petru descrierea spa ialå a structurilor parametrice di acvifere. Capitolul 3 familiarizeazå cititorul cu pricipalele o iui topo-probabiliste utilizate î modelarea structurilor spa iale (variabilå regioalizatå, fuc ie aleatoare, sa ioaritate, ergodicitate). Capitolul 4 este dedicat aalizei structurale a feomeelor regioalizate, etapå determiatå a estimårilor geostatistice. Aaliza i cuatificarea aizotropiei structurilor este tratatå î detaliu î cadrul acestui capitol. Capitolele 5 i 6 sut dedicate estimårii spa iale uivariate i multivariate atât la ivel puctual, cât i zoal (krigig i cokrigig puctual i zoal). capitolul 7 sut prezetate câteva di modalitå ile de cuatificare a gradului de icertitudie al estimårilor spa iale. Prezetarea u abuzeazå de formalisme matematice complicate care så o facå greu accesibilå celor fårå o pregåtire matematicå superioarå. Sut prezetate doar rela iile matematice aduse la forma opera ioalå, rela ii strict ecesare î elegerii semifica iei deciziilor luate î toate etapele estimårii geostatistice, estimare care dispue î prezet de umeroase programe automate de prelucrare. Petru clarificarea semifica iei istrumetelor specifice i evide ierii avatajelor i flexibilitå ii modelelor geostatistice cartea co ie u umår mare de aplica ii. Speråm ca acestå carte så-i permitå cititorului utilizarea î mod creativ a modelelor geostatistice prezetate petru rezolvarea problemele ridicate de studiul structurilor acvifere reale, mult mai complexe decât cele prezetate î cadrul aplica iilor. Daiel Scrådeau, iuie 996 4
DIN PARTEA COORDONATORILOR: Necesitatea orgaizårii uor cursuri de actualizare a cuo ti elor tii ifice î domeiul resurselor de apå i mediului a fost eu atå î cursul aului 990 de cadrele didactice i igierii româi, cu ocazia primelor vizite efectuate dupå 989 de cåtre colegii fracezi la Bucure ti. Acest proiect a putut fi traspus î via å datoritå sprijiului fiaciar al Programului TEMPUS - PHARE, ii iat de Comuitatea Europeaå petru a ajuta årile Europei de Est så- i restructureze îvå åmâtul superior. Programul orgaizat dupå pricipiile ciclului 3 fracez (D.E.A. - diplome d'études approfodies) a îceput så fuc ioeze efectiv di aul uiversitar 99/993 i a avut parteeri di Fra a (Uiversitatea "Pierre et Marie Curie", care a fost de altfel i coordoatorul acestui program), Belgia (Uiversitatea di Liege), Italia (Uiversità degli Studi di Geova) i, evidet, di Româia (Uiversitatea Tehicå de Costruc ii Bucure ti i Uiversitatea Bucure ti); de la îceput uitå ile de profil di domeiu (Regia autoomå "Apele Româe", Istitutul Na ioal de Meteorologie i Hidrologie, Istitutul de Cercetåri petru Igieria Mediului) au sus iut î mod activ derularea programului care a fost deumit: SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT (S.E.E. - Stii ele Apei i Mediului). U umår importat de profesori i cercetåtori de îalt ivel tii ific di Fra a, Belgia, Italia i Româia au sus iut prelegeri î limba fracezå sau româå, petru circa 50 de tieri cercetåtori i igieri, î cei 3 ai de fuc ioare ai programului. Coordoatorii programului au cosiderat totu i cå s-ar putea face i mai mult petru formarea speciali tilor di domeiul tii elor apei i mediului i au decis så råspâdeascå î cea mai mare måsurå posibilå cuo ti ele predate. Rezultatul acestei ite ii îl costituie editarea uei serii de 0 bro uri di domeiul Hidrologiei, Hidrogeologiei sau al pregåtirii tii ifice fudametale. spera a cå acestå serie va fi utilå stude ilor di ciclul i 3, precum i speciali tilor, coordoatorii acestei serii î i exprimå ite ia de a cotiua activitatea îceputå, î vederea acoperirii cu materiale scrise, î cât mai mare måsurå, a domeiului tii elor apei i mediului. Coordoatori: Jea - Pierre CARBONNEL i Radu DROBOT
CUPRINS. GENERALITźI..... Itroducere..... De la Statisticå la Geostatisticå....3. Cele trei vârste ale Geostatisticii....4. Logistica modelårii topo-probabiliste.... DESCRIERE SPAºIALÅ..... Descriere graficå...... Harta puctualå...... Harta simbolicå.....3. Harta coturalå.....4. Diagrama de variabilitate.....5. Diagrama de cotiuitate..... Descriere parametricå...... Fuc ii de cotiuitate uivariate...... Fuc ii de cotiuitate bivariate... 3. DE LA VARIABILE REGIONALIZATE LA FUNCºII ALEATOARE... 3.. Variabila regioalizatå... 3.. Modelul fuctiei aleatoare... 3.3. Ifere a statisticå... 3.4. Statioaritate... 3.4.. Sta ioaritate strictå... 3.4.. Sta ioaritate de ordiul doi... 3.4.3. Sta ioaritate itrisecå... 3.4.4. Cvasista ioaritate... 3.5. Ergodicitate... 4. ANALIZÅ STRUCTURALÅ (ANALIZÅ VARIOGRAFICÅ)... 4.. Proprietå ile variogramei... 4.. Calculul variogramei experimetale... 4.3. Aaliza cotiuitå ii spa iale... 4.3.. Aalizå omidirec ioalå... 4.3.. Aalizå uidirec ioalå... 4.3.3. Parametri de dista å... 4.3.4. Axele de aizotropie... 4.3.5. Tolera a de direc ie... 4.3.6. Variograme relative... 4.4. Iterpretarea variogramei experimetale... 4.4.. Variograma î veciåtatea origiii... 4.4.. Variograma la ifiit... 4.5. Modelarea variogramei experimetale.... 4.5.. Modele teoretice elemetare... 4.5.. Modele uidirec ioale (izotrope)... 7 7 7 0 3 4 5 8 9 9 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 3 3 3 34 34 36 38 39 4 4 43 43 46 47 48 5 5
4.5.3. Modele multidirec ioale(aizotrope)... 5. ESTIMARE SPAºIALÅ UNIVARIATÅ... 5.. Estimare globalå... 5... Declusterig poligoal... 5... Declusterig celular... 5.. Estimare puctualå pri krigig... 5... Modelul fuc iei aleatoare î krigig... 5... Krigig ordiar... 5..3. Krigig uiversal... 5..4. Krigig cu date icerte... 5..5. Compoetele sistemelor de krigig... 5..6. Efectul parametrilor modelului... 5..7. Selectarea valorilor utilizate... 5.3. Estimarea zoalå pri krigig... 5.3.. Ecuatiile sistemului de krigig zoal... 5.3.. Precizia krigig-ului zoal... 5.3.3. Particularitå i opera ioale... 6. ESTIMARE SPAºIALÅ MULTIVARIATÅ (COKRIGING)... 6.. Cokrigig puctual... 6.. Cokrigig zoal... 7. INCERTITUDINEA ESTIMÅRILOR... 7.. Factorii care determiå icertitudiea... 7... Suportul estimårii... 7... Corectarea efectului de suport... 7.. Distribu ia valorilor estimate... 7... Estimarea distribu iei globale... 7... Estimarea distribu iei locale... 7..3. Variograma idicatoare... 7.3. Cuatificarea icertitudiii... 7.3.. Idici de icertitudie... 7.3.. Itervale de îcredere... BIBLIOGRAFIE... 5 6 6 6 64 66 66 69 75 80 8 84 90 94 94 96 98 0 0 09 0 0 3 7 9 0 3 3 4 7 6
. GENERALITźI.. INTRODUCERE Modelele topo-probabiliste oferå calea cea mai performatå petru descrierea cotiuitå ii i structurii feomeelor aturale, caracterizate pritr-o extraordiarå variabilitate spa ialå i temporarå, determiatå de complexitatea geologicå a mediului i istabilitatea proceselor climatice. studiul variabilelor hidrologice i hidrogeologice, defiite pritr-o variabilitate itrisecå, utilizarea coceptelor stohastice este de o extremå eficie å. locuirea î elegerii detaliilor fuc ioale ale sistemului cu realizarea uei perspective stohastice, face posibilå o evaluare globalå a acestora i a icertitudiii ierete oricårei predic ii, datoratå cuoa terii icomplete a sistemului. Pâå î jurul ailor 980, majoritatea acestor modele acceptau fårå cea mai micå opozi ie umbrela geeroaså a GEOSTATISTICII, apårutå formal î aul 96 (Mathero, 96), la ªcoala de Mie di Fotaibleau. Apari ia termeului de geostatisticå u coicide cu apari ia îtregului arseal de metode îcadrat sub aceastå deumire (Historically geostatistics are as old as miig itself, Mathero G.,963). Problemele ese ial geostatistice vizeazå studiul variabilelor repartizate î spa iu i au fost abordate cu foarte mult timp î urmå, u umai î mierit, dar i î meteorologie, hidrologie, hidrogeologie, topografie, cartografie. Iova ia produså î 96 u rezidå î aparatul matematic utilizat, ci î apropierea problemelor tehice de arsealul metodelor matematice. Aceastå apropiere u a fost bruscå, ea realizâdu-se pe o perioadå de zece ai î diferite domeii (forestier, B.Mater; meteorologic, L.S.Gadi). Geostatistica elaboratå la ªcoala de mie di Fotaiebleau este legatå ese ial de problemele miiere. Acest lucru se reflectå i î uele o iui teoretice, care poartå deumiri specifice (ex.: efect de pepitå). Au existat perioade câd succesiuea temelor de cercetare de la Fotaiebleau reproducea succesiuea etapelor uui proiect miier. prezet, se maifestå diversificarea câmpului de aplicare i de geeralizare a vocabularului tehic, pri curå irea lui de termeii miieri. Aceastå atitudie trebuie î eleaså ca u efort de a exprima corect ese a metodologiei actuale, mai mult probabilistå decât statisticå... DE LA STATISTICÅ LA GEOSTATISTICÅ U umår redus de cocepte statistice de bazå, ca: media, dispersia, covaria a, matricea de variatå-covaria å, precum i regresia liearå i regresia multiplå sut elemetele care, traspuse îtr-u cotext topo-probabilist, se trasformå î istrumete geostatistice. 7
Trasferul mediei î domeiul topo-probabilist este u or de ituit, atribuidu-i acesteia rolul de cetrul de greutate al uei bare cu greutatea proprie eglijabilå, de care sut suspedate apte greutå i (fig..). Fig... Barå cu greutå i suspedate. Dacå pozi iile de suspedare sut V (5; 5,5; 6; 6,5; 7; 7,5; 8), iar greutå ile suspedate g (3; 4; 6; 3; 4; 4; ), pozi ia cetrului de greutate se calculeazå utilizâd o medie poderatå de forma: î care: ( ) MV = 7 g i= w i i 7 7 vi gi = vi wi, (.) i= i= gi =. 7 (.) g i= i Poderile w i pot fi descompuse î poderi elemetare w u ale uitå ii de greutate v u. Poderile ormate w u corespuzåtoare poderilor elemetare sut egale cu /, iar cetrul de greutate se calculeazå astfel: 6 6 MV ( ) = vw u u = vu = u= 6 u= 64,. (.3) Traspuâd problema îtr-u cotext probabilist, se î elege u or cå M(V) este media valorilor v i, care sut poderate cu probabilitå ile w i, adicå frecve ele de apari ie ale valorilor v u (fig..). 8
acela i cotext, dispersia devie: Fig... Histogramå absolutå. 6 6 s = ( v M( V) ) w ( v M( V) u u = u ) = 083,. (.4) u= u= Comparâd figurile. i., este evidet cå bara cu cele apte greutå i suspedate, di figura., este histograma iversatå di figura., care poate fi reprezetatå i sub formå cumulativå (fig..3). Fig..3. Histogramå cumulatå. Idealizarea matematicå a histogramei cumulative, câd variabila aleatoare V ia valori î R, este legea de distributie F(v), defiitå pri: 9
Fv ( ) = PV ( v), < v< +. (.5) Idealizarea coceptului de medie este spera a matematicå: iar dispersia : EV { } = v pv ( ) dv= MV ( ) = µ, (.6) v R {( ) } { } { σ = E V µ = E V + µ µ V = E V } µ. (.7) Aaliza cetrului de greutate al barei cu apte greutå i suspedate permite regåsirea, î mod firesc, a doi di parametrii statistici elemetari î cotextul topo-probabilist al geostatisticii..3. CELE TREI V RSTE ALE GEOSTATISTICII Aalizatå, atât di puct de vedere al evolu iei teoretice, cât i al domeiului de aplicare, geostatistica a parcurs trei periode disticte pâå î prezet. Prima vârstå a Geostatisticii este de ispira ie strict miierå. Lucrårile miiere di Africa de Sud, care au determiat primele cercetåri î acest domeiu, apar i cercetåtorilor H.S.Sichel, D.G.Krige, H.J. de Wijs. S-a realizat completarea metodologiei statistice clasice, care u mai putea råspude exige ei cercetårilor zåcåmitelor foarte disemiate (aur, uraiu, ichel, cupru, etc.). La ivel teoretic, formalismele matematice se plaseazå î cadrul uei legi de distribu ie datå, modelul logormal avâd o epocå de aur î aii 950-970 (Sichel H.S.,966). La ivel practic, mijloacele de calcul sut rudimetare, motiv petru care lucrårile de specialitate abudå î formule de aproximare, curbe, abace utilizate petru a evita reluarea uor calcule laborioase. A doua vârstå a Geostatistcii corespude perioadei 965-970, câd modelele statistice sut abadoate. Se elaboreazå modele care u fac så iterviå legea de reparti ie (Geostatistica liearå). acelasi timp, se îcearcå extiderea ipotezelor de lucru pri dezvoltarea Geostatisticii esta ioare, apoi a Geostatisticii eliiare. aceastå perioadå se dezvoltå : simularea codi ioalå si ecodi ioalå, asamblele aleatoare. Toate aceste procedee oi sut imediat aplicate, datoritå remarcabilei amelioråri a mijloacelor de calcul. Aceastå perioadå, de mari progrese teoretice i metodologice ale Geostatisticii, se cocretizeazå abia î 978, pritr-o sigurå lucrare de sitezå, Estimer et Choisir, elaboratå de G.Mathero. paralel cu aceasta, apar o mul ime de cår i de geostatisticå cu prou at caracter iformatic, care pu la dispozi ia practicieilor istrumetele aplicårii metodelor clasice sau mai pu i clasice ale Geostatisticii. 0
Geostatistica vârstei a treia este î pliå desfå urare i, î cotextul iformatic cofortabil al sfâr itului de mileiu, se dezvoltå î direc ii di ce î ce mai diverse, atât la ivelul domeiului de aplicare, cât i al domeiului teoretic, ude se remarcå recosiderarea legii de reparti ie, u ca u regres teoretic, ci ca o completare ecesarå, î special, simulårii stohastice..4. LOGISTICA MODELÅRII TOPO-PROBABILISTE Geostatistica datoreazå multe di metodologiile sale experimetali tilor. Succesul utilizårii variogramelor relative (itroduse de Michel David) i a ferestrei mobile î krigig-ul ordiar, ambele fiid istrumete eortodoxe (icosistete cu ipoteza de sta ioaritate), sut umai douå di argumete care pledeazå petru î elegerea coceptelor topo-probabiliste di perspectiva obiectivelor aalizei datelor reale i u al uor cosiderete teoretice abstracte. Obiectivele modelårii topo-probabiliste coturate di perspectiva largii lor utilizåri î estimårile spa iale sut: -cuatificarea caracteristicilor spa iale ale variabilelor; -estimarea valorii medii a uei variabile pe suprafe e mari; -estimarea valorii uei caracteristici îtr-u puct; -estimarea valorii medii a uei variabile pe suprafe e mici; -cuatificarea gradului de precizie al estimårilor. Realizarea acestor obiective presupue parcurgerea a cici etape de prelucrare, a cåror prezetare este realizatå î succesiuea ecesarå parcurgerii lor: Descrierea spa ialå urmåre te formarea uei imagii sitetice asupra structurii spa iale pri metode grafice si parametrice. Realizarea acestei imagii complexe asigurå premizele alegerii corecte a modelului structurii, propriu variabilei studiate. Aaliza variograficå este etapa crucialå a modelårii topo-probabiliste. Alegerea modelului de variogramå, pe baza valorilor experimetale ale variogramei, implicå, pe lâgå respectarea codi iilor teoretice impuse de utilizarea modelului fuc iei aleatoare, existe a uui bu sim geostatistic (aceasta exprimå extraordiara capacitate a modelelor topo-probabiliste de a se adapta caracteristicilor specifice fiecårei structuri, pri perfec ioåri ale istrumetelor de calcul). Aceastå etapå este cea care permite practiciaului orice ii iativå opera ioalå, ce vizeazå clarificarea corela iei ditre varia a erorii de estimare i dista a ditre pucte. Evaluarea spa ialå uivariatå råspude deja obiectivelor practice ale modelårii topo-probabiliste: calculul valorii variabilei studiate îtr-u puct, î care u dispuem de måsuråtori, sau a uei valori medii pe o suprafa å de o formå oarecare. Evaluårile sut realizate î codi iile miimizårii varia ei erorii de estimare i a elimiårii erorilor sistematice. Evaluarea spa ialå multivariatå realizeazå acelea i obiective ca i etapa aterioarå, operâd îså simulta asupra valorilor mai multor variabile. Obiectivul specific al acestei etape este reducerea suplimetarå a varia ei erorilor de estimare, pri cuatificarea corela iilor spa iale multivariate. Evaluarea icertitudiii estimårilor spa iale are ca obiectiv exprimarea, sub diferite forme, a erorilor de estimare. Diferite metode de miimizare a erorilor de estimare sut utilizate petru optimizarea re elelor de moitorig.
. DESCRIERE SPAºIALÅ Proprietå i, precum localizarea valorilor extreme (miime sau maxime), tedi a de evolu ie regioalå, gradul de cotiuitate, sut de mare iteres petru studiul proceselor meteorologice, hidrologice i hidrogeologice. Bazatå pe u umår miim de istrumete i prelucråri de aturå graficå i parametricå, descrierea spa ialå are ca obiectiv sitetizarea caracteristicilor topologice ale datelor trecute deja pri filtrul aalizei statistice clasice (tip de reparti ie, valori extreme, dispersie, corela ii multivariate, aalizå factorialå, etc.)... DESCRIERE GRAFICÅ Ca i histograma, petru tipul de reparti ie, sau dreapta de regresie, petru corela ia ditre douå variabile, cele mai eficiete istrumete descriptive utilizate sut cele grafice. Pricipalele caracteristici grafice ale datelor primare pot fi sitetizate î: hår i puctuale, hår i simbolice, hår i coturale, diagrame de cotiuitate, diagrame de variabilitate.... Harta puctualå Harta puctualå se realizeazå pri simpla dispuere îtr-u sistem de coordoate a puctelor de observa ie, lâgå care se îscriu valorile variabilei studiate (fig..). Fig... Hartå puctualå.
Harta puctualå se realizeazå î prima etapå a studiului caracteristicilor spa iale, ea fiid utilizatå petru: - idetificarea erorilor î amplasarea puctelor de observa ie; - calculul desitå ii puctelor de observa ie; - localizarea valorilor extreme, determiate fie de erori de måsurå, fie de aomalii locale, care solicitå u iteres special; - sesizarea uor tedi e regioale. Harta puctualå di figura. reprezitå grosimile uui acvifer explorat pritr-o re ea påtraticå de 7 x 8 = 98 foraje. Valoarea maximå a grosimii acviferului (3,9m) este localizatå î sud-vestul perimetrului, iar cea miimå (0,95m) î ord-estul acestuia. Se poate observa, di examiarea hår ii puctuale, o mare variabilitate a grosimii acviferului, fårå a se putea sesiza o tedi å regioalå de varia ie.... Harta simbolicå Harta simbolicå este o hartå puctualå, î care fiecare valoare måsuratå, sau grupå de valori, este îlocuitå pritr-u simbol. Dacå valorile sut amplasate îtr-o re ea regulatå, fiecare valoare este îlocuitå cu u simbol, iar dacå valorile sut amplasate eregulat, se aplicå o re ea påtraticå, calculâdu-se o medie petru fiecare ochi de re ea. Fuc ie de amplitudiea valorilor måsurate se alege umårul de simboluri care realizeazå u aumit grad de simplificare a hår ii. Simbolurile trebuiesc astfel alese îcât så permitå o ierarhizare clarå a valorilor måsurate. Petru realizarea corectå a hår ilor simbolice trebuie iut seama i de faptul cå scara simbolurilor este distorsioatå de majoritatea priterelor care u scriu acela i umår de caractere pe uitatea de lugime verticalå i orizotalå. Fig... Hartå simbolicå. 3
O alterativå a hår ii cu simboluri este cea cu touri de gri sau culori, dacå se dispue de pritere color. Astfel de hår i sut mult mai sugestive decât cele simbolice. O hartå simbolicå, corespuzåtoare hår ii puctuale di figura., este cea di figura.. Aceastå hartå co ie 4 simboluri, corespuzåtor celor 4 clase de valori î care a fost împår itå amplitudiea de selec ie. Hår ile simbolice cu umai douå simboluri sut cuoscute sub umele de hår i idicatoare. acest caz sut defiite umai douå clase de valori, fiecare fiid reprezetatå pritr-u alt simbol. Defiirea celor douå clase poate fi realizatå pri stabilirea uei valori de prag ( exemplu: valorea maximå admisibilå). Exemplul di figura.3 este o astfel de hartå, care are avatajul claritå ii î raport cu o hartå cu mai multe simboluri. Fig..3. Hartå idicatoare...3. Harta coturalå Harta coturalå este o exceletå cale petru familiarizarea cu tedi ele geerale de distribu ie spa ialå, revelate de datele dispoibile. Existå umeroase programe automate, care propu diferite metode de iterpolare, mai mult sau mai pu i adaptabile datelor primare. Valorile iterpolate au, î geeral, o variabilitate mai reduså decåt datele origiale i etezesc suprafe ele coturale, putâd coduce la estimåri catitative eroate. Alegerea algoritmilor adecva i datelor dispoibile, presupue parcurgerea uor etape de aalizå detaliatå, ce vor fi prezetate î cotiuare î capitolul cosacrat aalizei variografice. Harta di figura.4 este costruitå cu metoda iversului dista ei petru datele prezetate î harta puctualå di figura.. 4
Fig..4. Hartå coturalå...4. Diagrama de variabilitate Structura spa ialå a variabilitå ii costituie obiectul uei aalize detaliate î toate etapele modelårii topo-probabiliste, fiid legatå î pricipal de evaluarea itervalului de îcredere al valorilor estimate. Aomaliile locale ale variabilitå ii au impact direct asupra preciziei estimårilor. Estimårile spa iale, realizate pri orice metodå, vor fi mult mai corecte î zoele cu variabilitate reduså, deci cu u mai mare grad de uiformitate. Aomaliile de variabilitate pot avea serioase implica ii practice. Cofigura ia re elelor de moitorig itegrat petru parametrii ambietali este puteric iflue atå de astfel de aomalii. Calculul uor parametri statistici elemetari îtr-o fereastrå statisticå mobilå este tehica utilizatå î ivestigarea aomaliilor de variabilitate, care permite costruirea diagramei de variabilitate. Petru eficie a calculului sut utilizate ferestre statistice rectagulare, a cåror dimesiue este determiatå de desitatea puctelor de observa ie i de extiderea suprafe ei studiate. Asigurarea reprezetativitå ii parametrilor statistici, care ecesitå o fereastrå statisticå mare (cu suficiete valori) i idetificarea detaliilor locale de distribu ie spa ialå asiguratå de o fereastrå statisticå micå î i gåsesc solu ia de compromis pri suprapuerea par ialå a uor ferestre mobile mari. figura.5 sut prezetate rezultatele ob iute di baleierea suprafe ei explorate cu 96 foraje (fig..) cu o fereastrå statisticå mobilå de 4 x 4 m, care se deplaseazå cu umai m paralel cu axele de coordoate, deci se suprapue cu jumåtate di fereastra aterioarå. Petru fiecare astfel de pozi ie a ferestrei mobile, care co ie 6 pucte de observa ie, se calculeazå media i abaterea stadard. 5
Aaliza valorilor ob iute vizeazå douå obiective: -compararea amplitudiii celor doi parametri statistici; -aaliza corela iei ditre valoarea mediei i abaterii stadard. Fig..5. Harta puctualå a prelucrårilor realizate cu fereastra statisticå mobilå. Amplitudiea celor doi parametri, petru valorile prezetate î figura.5 se difere iazå semificativ, acest lucru fiid valabil î geeral petru majoritatea variabilelor: - media variazå de la v mi = 3,39 m, la v max =,55 m; - abaterea stadard variazå de la v mi = 0,80 m, la v max = 6,0 m. figurile.5,a i.5,b sut prezetate hår ile puctuale ale mediei i abaterii stadard, iar î figurile.5,c i.5,d hår ile coturale ale acelora i parametri. geeral, corela iile medie-abatere stadard pot fi îcadrate î patru categorii importate di puct de vedere al estimårilor geostatistice (fig..6): - variabilitate costatå î jurul mediei costate (fig..6,a); - tedi å crescåtoare a mediei i o variabilitate costatå (fig..6,b); - cre terea variabilitå ii petru o medie costatå (fig..6,c); - cre terea varabilitå ii propor ioal cu cre terea mediei (fig..6,d). 6
Fig..6. Diagrama de variabilitate Di cele patru categorii de corela ii, cele mai favorabile petru estimårile geostatistice sut primele douå (fig..6,a i fig..6,b), care asigurå aceea i precizie de estimare petru orice mårime a valorii estimate. Cea mai defavorabilå situa ie este cea î care petru aceea i mårime a valorii estimate, precizia de estimare este diferitå. Este preferabil, petru cazul î care variabilitatea este eomoge distribuitå, så existe o propor ioalitate ître valoarea mediei i a abaterii stadard. Fig..7. Efectul de propor ioalitate. 7
Diagramele de variabilitate, sitetizeazå grafic acest efect de propor ioalitate (adicå corela ia ditre medie i abatere stadard). Petru valorile di figurile., î figura.7 este reprezetat grafic efectul de propor ioalitate, a cårui itesitate poate fi cuatificatå pri coeficietul de corela ie liearå r = 0,85. Corela ia liearå de tip direct idicå faptul cå erorile de estimare vor fi cu atât mai mari, cu cât valoarea estimatå este mai mare i ivers...5. Diagrama de cotiuitate La ivel calitativ, cotiuitatea uei variabile este reflectatå de similaritatea valorilor måsurate î pucte vecie. Examiâd o hartå coturalå, de cele mai multe ori se costatå cå valorile mici tid så se grupeze lâgå alte valori mici, iar valorile mari lâgå alte valori mari. Cea mai expresivå modalitate graficå de exprimare a gradului de cotiuitate este diagrama tuturor perechilor de valori, plasate la o aumitå dista å pe o aumitå direc ie. Petru douå pucte p i i p j, aflate la extremitå ile uui vector h ij semifica iile geometrice sut precizate î figura.8. Fig..8. Semifica ia geometricå a vectorului h petru perechea de pucte P i P j. Pe diagramele de cotiuitate prezetate î figura.9, variabila reprezetatå pe axa Ox (plasatå î origiea vectorului h) este otatå cu V(p), iar cea plasatå pe axa Oy (plasatå î vârful vectorului h) cu V(p+h). Fig..9. Diagrame de cotiuitate petru diferi i moduli ai vectorului h. 8
Forma orului de pucte di diagramele de cotiuitate exprimå gradul de cotiuitate al variabilei studiate. Dacå valorile plasate pe o aumitå direc ie i la o aumitå dista å sut similare, puctele di diagramå se vor plasa pe dreapta care trece pri origie i face cu axele Ox si Oy u ughi de 45 o (fig..9,a). Este evidet cå, îtr-o diagramå de cotiuitate uivariatå, petru h = 0, toate puctele vor fi plasate pe dreapta y = x. Cu cât orul de pucte este mai difuz, cu atât similaritea valorilor este mai micå i deci cotiuitea mai slabå (fig..9,b). Diagramele de cotiuitate sut afectate î mod semificativ de valorile extreme ale variabilei studiate, de modulul i direc ia vectorului h. Petru idetificarea modelului de structurå spa ialå a variogramei, diagramele de variabilitate sut sigurele istrumete care permit idetificarea valorilor odale ale structurilor spa iale. Numai diagramele de variabilitate permit elimiarea valorilor extreme, care u se îcadreazå î modelul structural. geeral, a a cum idicå i diagramele di figura.9, o datå cu cre terea modulului vectorului h, se reduce core ia valorilor corespuzåtoare direc iei studiate... DESCRIERE PARAMETRICÅ Modalitå ile grafice petru descrierea cotiuitå ii u permit automatizarea calculelor ecesare estimårilor. Extragerea iforma iilor catitative existete î diagramele de cotiuitate se face, î mod uzual, pri itermediul a trei fuc ii de dista å: fuc ia de covaria å (c(h)), fuc ia de corela ie (corelograma- ρ(h)); fuc ia de variogramå (γ(h)). Toate cele trei fuc ii de cotiuitate sut puteric iflue ate de valorile aberate. Dacå forma ueia di cele trei fuc ii u este clar defiitå, este de mare utilitate examiarea diagramelor de cotiuitate petru idetificarea puctelor aberate i elimiarea lor. De i diagrama de cotiuitate co ie mai multe iforma ii, se preferå frecvet trecerea direct la calculul fuc iilor de dista å, pe baza formulelor scrise î raport cu coordoatele puctelor de observa ie.... Fuc ii de cotiuitate uivariate Calculate î raport cu o sigurå variabilå, fuc iile de cotiuitate permit cuatificarea cotiuitå ii acesteia î raport cu direc ia i dista a. Fuc ia de covaria å c(h) reprezitå varia ia similitudiii valorilor di douå pucte, î raport cu dista a ditre ele. Ea se poate calcula cu formula: Nh ( ) ch ( ) = vv m m Nh ( ) ( ij, ) i j h + h hij = h, (.) 9
î care: N(h) este umårul perechilor de pucte separate pri vectorul h; ( ij, ) - perechea de pucte (p p ) separate pri vectorul h ; h = h i j ij ij v i - valoarea variabilei di origiea vectorului h ij ; v j - valoarea variabilei î vârful vectorului h ij ; m -h - media valorilor situate î origiile celor N(h) vectori h: N( h) m h = v Nh ( ) ; (.) i i h ij = h m +h - media valorilor situate î vârfurile celor N(h) vectori h: N( h) m+ h = v Nh ( ). (.3) j j h ij = h Fuc ia de corela ie (ρ(h)) este o fuc ie de covaria å stadardizatå i se calculeazå cu rela ia: ch ( ) ρ( h) =, (.4) σ hσ+ h î care: σ -h este abaterea stadard a tuturor valorilor aflate î origiea celor N(h) vectori h: Nh ( ) σ = h vi Nh ( ) i hij = h m h ; (.5) σ +h este abaterea stadard a tuturor valorilor aflate î vârful celor N(h) vectori h: Nh ( ) σ + = h v Nh ( ) j j hij = h m + h. (.6) Fuc ia de variogramå (γ(h)) reprezitå varia ia varia ei erorii de estimare, î raport cu dista a ditre puctul î care se cuoa te valoarea variabilei i cel î care aceasta se estimeazå. Altfel spus, valoarea variogramei petru u aumit vector h exprimå eroarea care se comite atuci câd se atribuie variabilei î puctul p+h valoarea sa di puctul p. Ea se calculeazå cu rela ia: Nh ( ) γ ( h) = vi v Nh ij, ( ) ( j) ( ) hij = h. (.7) 0
Toate cele trei fuc ii uivariate de dista å u sut afectate de sesul vectorului h, fiid fuc ii pare; dacå se schimbå idicele i cu j î toate formulele (.-.7), valorile c(h), ρ(h) i γ(h) u se schimbå: ch ( ) = c( h) ; ρ( h) = ρ( h) ; γ ( h) = γ ( h). (.8)... Fuc ii de cotiuitate bivariate Ideea de cotiuitate poate fi extiså i la douå variabile. Corela ia spa ialå ditre douå variabile u i v depide de cotiuitatea fiecåreia. Ea poate fi exprimatå grafic pritr-o diagramå de cotiuitate, î care pe cele douå axe se reprezitå v(p) i u(p+h). Este evidet cå, petru h = 0, îtr-o diagramå de cotiuitate bivariatå (u,v), u toate puctele se aflå pe dreapta x = y. Acelea i fuc ii, utilizate petru o sigurå variabilå, se utilizeazå cu modificårile corespuzåtoare petru descrierea cotiuitå ii bivariate. Petru evide ierea aspectului bivariat le vom umi: fuc ia de itercovaria å, fuc ia de itercorela ie i fuc ia de itervariogramå i vom itroduce doi idici, corespuzåtori umelui celor douå variabile (c uv (h), ρ uv (h), γ uv (h)). Fuc ia de itercovaria å se calculeazå cu rela ia: c N( h) ( h) = uv m m h Nh ( ) ( ij, ) uv i j u h ij = h v + h, (.9) î care: u i sut valorile variabilei u; v i - valorile variabilei v; N(h) - umårul perechilor de pucte separate pri vectorul h; m u h - media valorilor variabilei u situate î origiea celor N(h) vectori: m u h N( h) = u Nh ( ) ; (.0) i i h ij = h m v + h - media valorilor variabilei v situate î vârful celor N(h) vectori: m v + h N( h) = v Nh ( ). (.) j j h ij = h Fuc ia de itercorela ie este datå de ecua ia: c ( h) uv ρ ( ) uv h = σ σ u v h + h, (.)
î care: σ u h este abaterea stadard a tuturor valorilor variabilei u, aflate î origiea celor N(h) vectori h: N( h) = u ( ) i m Nh i σ u h h ij = h u h ; (.3) σ v+ h - abaterea stadard a tuturor valorilor aflate î vârful celor N(h) vectori h: N h = Nh ( ) j ( ) σ v v j + h + h h ij = h m. (.4) v Fuc ia de itervariogramå (γ uv (h)) se calculeazå cu rela ia: N( h) ( h) = u u vi v Nh ( ij) γ uv i j, ( ) ( ) h ij = h ( j). (.5) Fuc iile de cotiuitate bivariate u sut î totalitate fuc ii pare ca cele uivariate. Fuc iile de itercovaria å i de itercorela ie depid de sesul vectorului h pe o aumitå direc ie (c uv (h) c uv (-h); ρ uv (h) ρ uv (-h)), î timp ce fuc ia de itervariogramå u depide de sesul vectorului h (γ uv (h)=γ uv (-h)).
3. DE LA VARIABILE REGIONALIZATE LA FUNCºII ALEATOARE Descrierea, chiar de maierå exhaustivå a structurilor (spa iale sau temporare), ob iutå pe baza uei desitå i mari a puctelor de observa ie u poate rezolva problemele estimårii spa iale, deoarece valorile umerice u sut REALITATEA, ci doar o primå imagie, aalitic foarte bogatå, dar structural foarte såracå a acesteia (Mathero,G.,978). Descrierea spa ialå u asigurå î elegerea feomeului de o maierå care så permitå explicarea geezei datelor dispoibile sau progoza evolu iei acestora ître puctele de observa ie. Petru realizarea acestor obiective este ecesarå depå irea stadiului uei itermiabile i sterile prelucråri a datelor brute i costruirea uor modele care så adauge iforma ie suplimetarå. Recurgerea la modelele topo-probabiliste presupue douå ivele de abstractizare progresivå: variabila regioalizatå i fuc ia aleatoare. 3.. VARIABILA REGIONALIZATÅ Variabila regioalizatå este o fuc ie de puct (f(p)) cu ajutorul cåreia se realizeazå descrierea feomeelor regioalizate. Pri statutul de fuc ie matematicå, variabila regioalizatå câ tigå vis-à-vis de feomeul pe care îl descrie o aumitå autoomie, ea putâd så- i tråiascå propria sa via å. Petru obiectivele uui studiu practic este iutil de subliiat cå aceastå libertate a variabilei regioalizate trebuie strict supravegheatå, î iteresul iterpretårii corecte a rezultatelor prelucrårilor. La acest prim ivel de abstractizare, realizat pri variabila regioalizatå, este poate mometul semalårii problematicii reveirii de la model la realitatea fizicå a modelului. Corectitudiea prelucrårilor matematice îtreprise u garateazå sesul fizic al rezultatelor. La fiecare etapå este ecesar så se facå distic ia ître proprietå ile modelului matematic i cele ale realitå ii fizice pe care acesta o reprezitå. Di puct de vedere matematic, o variabilå regioalizatå este o fuc ie f(p), p fiid u puct de coordoate (x,y,z) îtr-u spa iu tridimesioal fiit. Aceastå precizare este deosebit de importatå, ea subliiid faptul cå modelele topo-probabiliste (geostatistice) u au caracter de uiversalitate, ele fiid asociate uui aumit domeiu spa ial de valabilitate. Di puct de vedere geostatistic, existå posibilitatea uei aproximåri directe a variabilei regioalizate, istrumetele utilizate fiid elemetare i subordoate o iuii de itegralå spa ialå. practicå, variabila regioalizatå fiid dispoibilå pritr-u e atioaj fiit, aceste itegrale se reduc la sume fiite. Lucrul direct asupra variabilelor regioalizate prezitå avatajul abse ei ipotezelor de aturå probabilistå de tipul sta ioaritå ii i ergodicitå ii. Geostatistica trazitivå este acea parte a Geostatisticii care opereazå direct asupra variabilei regioalizate. 3
3.. MODELUL FUNCºIEI ALEATOARE Variabilitatea spa ialå a feomeelor regioalizate, foarte complexå, iterzice de multe ori, di puct de vedere practic, studiul matematic direct al variabilei regioalizate. O reprezetare corectå a variabilitå ii feomeelor regioalizate trebuie så ia î cosiderare douå aspecte aparet cotradictorii ale variabilei regioalizate: -aspectul geeral structurat, care face apel la reprezetåri fuc ioale; -aspectul local aleator care face apel la o iuea de variabilå aleatoare. Istrumetul care permite luarea î cosiderare, atât a aspectului structurat, cât i a celui aleator, este fuc ia aleatoare. Ea realizeazå al doilea ivel de abstractizare i, îtr-u aumit mod, e mai îdepårteazå de realitatea fizicå. La acest ivel de abstractizare variabila regioalizatå (f(p)) este cosideratå o realizare a uei fuc ii aleatoare. Reprezetarea probabilistå a variabilei regioalizate u este uicå i ea se justificå umai î måsura î care permite o caracterizare simplå a structurii i u formalism omoge i opera ioal de solu ioare a evaluårilor spa iale. Fuc ia aleatoare este u asamblu de variabile aleatoare, cu pozi ii disticte îtru spa iu oarecare, i a cåror depede å este specificatå pritr-u mecaism probabilist. O variabilå aleatoare este o variabilå care ia u aumit umår de valori, coform uei aumite legi de reparti ie. Cota ivelului hidrostatic ditr-u acvifer freatic v(p )=5 m, måsuratå îtr-u pu, poate fi cosideratå ca o realizare particularå a uei aumite variabile aleatoare V(p ), implatatå î puctul p. Asamblul cotelor ivelului hidrostatic, petru toate pu urile implatate îtr-u acvifer freatic, pot fi cosiderate ca o realizare particularå a asamblului de variabile aleatoare: {V(p), puctele p apar iâd acviferului}. Aceastå defii ie a fuc iei aleatoare îglobeazå ambele aspecte ale variabilei regioalizate: -aspectul local: î puctul p, V(p ) este o variabilå aleatore; -aspectul regioal: V(p) este o fuc ie aleatoare, î sesul cå petru toate cuplurile de pucte p i p +h, variabilele aleatoare corespuzåtoare sut corelate, aceste corela ii, exprimâd structura spa ialå a variabilei regioalizate. 3.3. INFERENºÅ STATISTICÅ Iterpretarea probabilistå a uei variabile regioalizate ca o realizare particularå a uei fuc ii aleatoare u are ses opera ioal dacå u putem idetifica legea de probabilitate ce caracterizeazå îtreg asamblul de realizåri ale fuc iei aleatoare. Dificultatea este datoratå faptului cå u este posibilå deducerea riguroaså a legii uei fuc ii aleatoare plecâd de la o realizare uicå v(p), limitatå i ea la u umår fiit de implatåri ale puctelor p i. Deoarece de cele mai multe ori se dispue de o realizare uicå, limitatå la u umår fiit de pucte, petru a face opera ioal modelul fuc iei aleatoare este ecesarå acceptarea uei aumite omogeitå i statistice spa iale asiguratå de sta ioaritatea i ergodicitatea feomeului regioalizat studiat. practicå, pe u domeiu limitat, feomeele regioalizate pot fi frecvet cosiderate omogee, variabila regioalizatå v(p) repetâdu-se î spa iu dupå acelea i 4
legitå i. Repetabilitatea î spa iu echivaleazå de o aumitå maierå cu u umår mai mare de realizåri ale fuc iei aleatoare, acest lucru permi âd ifere a statisticå. Douå valori experimetale v(p i ) i v(p i+h ), implatate î douå pucte diferite, pot fi cosiderate ca douå realizåri diferite ale aceleia i fuc ii aleatoare V(p i ). Acest compromis, permite ifere a legii de distribu ie a fuc iei aleatoare V(p), plecâd de la histograma datelor (v(pi)) i a spera ei matematice E{V(p)}, de la media aritmeticå a valorilor selec iei de date dispoibile (m(p)). 3.4. STAºIONARITATE La ivelul modelelor topo-probabiliste sta ioaritatea uui feome regioalizat este defiitå ca ivaria a legii spa iale la trasla ie. Altfel spus, legea spa ialå, relevatå de u asamblu de pucte, u depide de pozi ia acestor pucte. Modelele topo-probabiliste, mai precis geostatistica liearå, se bazeazå pe primele douå momete ale legii de distribu ie petru defiirea diferitelor ipoteze de sta ioaritate. Petru geostatistica liearå, douå fuc ii aleatoare V (p) i V (p), care admit acelea i momete de ordiul uu i doi u se difere iazå ua de alta i sut cosiderate ca uul i acela i model. Mometele legilor spa iale ale fuc iilor aleatoare utilizate sut: E{V(p)}- spera a matematicå { ( )} mp ( ) EVp = (3.) Var{V(p)}-varia a {[ ] } { ( )} = ( ) ( ) Var V p E V p m p (3.) c(p,p )-covaria a {[ ][ ( ) ( )]} ( ) ( ) ( ) cp, p = E Vp mp Vp mp (3.3) γ(p,p )-variograma ( ) { ( ) ( )} γ p p Var V p V p, = (3.4) Covaria a i variograma sut fuc ii depedete de implata ii p i p, iar ifere a lor cu formulele (.)-(.7) ecesitå mai multe realizåri ale cuplului {V(p ),V(p )}. Cum acest lucru u este posibil, deoarece de cele mai multe ori dispuem de o sigurå serie de måsuråtori î fiecare puct de probare, umai dacå aceste fuc ii ar depide doar de vectorul h, care separå douå pucte p i p, ifere a lor ar fi posibilå. aceastå ipotezå toate cuplurile {V(p k ),V'(p k )}, plasate la dista a h pe direc ia vectorului h, pot fi cosiderate ca realizåri diferite ale cuplului (V(p ),V(p )). 5
Petru distribu ia spa ialå a co iutului uui poluat, a gradului de ebulozitate al atmosferei, a compozi iei graulometrice a uui depozit deltaic, corela ia ditre valorile måsurate î douå pucte, situate la o aumitå dista å, costituie o caracteristicå itrisecå a structurilor respective. Aceastå itui ie fizicå se traduce î cotextul modelelor topo-probabiliste pri ipoteze de sta ioaritate la diferite ivele de rigoare. 3.4.. Sta ioaritate strictå Sta ioaritatea strictå corespude uei omogeitå i statistice foarte avasate. Este greu de gåsit u feome care så se coformeze aceleia i legi structurale î toate puctele domeiului såu spa ial. Deoarece Geostatistica liearå u este iteresatå decât de primele douå momete (rela iile 3.-3.4), cosideretele opera ioale limiteazå iteresul doar la sta ioaritatea acestora. 3.4.. Sta ioaritate de ordiul doi Sta ioaritatea de ordiul a uei fuc ii aleatoare este asiguratå de : - existe a spera ei matematice i idepede a ei de puctul de implatare p: { ( )} - existe a covaria ei i ivaria a ei la trasla ie: EVp = m, p; (3.5) ( ) { ( ) ( )} ch = EV p V p+ h m, p. (3.6) Existe a i sta ioaritatea covaria ei implicå existe a sta ioaritå ii varia ei i variogramei. Se deduc imediat rela iile: i: { ( )} ( ) {[ ] } ( ) Var V p = E V p m = c 0, p (3.7) {[ ] } ( 0) ( ) γ ( h) = E V( p+ h) v( p) = c c h, p. (3.8) Rela ia (3.8) aratå cå î ipoteza de sta ioaritate de ordiul doi, covaria a i variograma sut echivalete petru caracterizarea autocorela iei ître douå variabile V(p+h) i V(p), aflate la extremitå ile vectorului h. 6
aceste codi ii se defie te i corelograma : ch ( ) γ ( h) ρ( h) = = c( 0) c( 0 ). (3.9) Existe a fuc iei de variogramå reprezitå o ipotezå mai pu i durå decât existe a fuc iei de covaria å. Existå umeroase feomee regioalizate care u au ici covaria å, ici varia å fiitå, dar au variogramå fiitå. coseci å, se poate lårgi cadrul sta ioaritå ii de ordiul doi, doar la existe a variogramei. 3.4.3. Sta ioaritate itrisecå Sta ioaritatea itrisecå impue cele mai lejere codi ii: - existe a spera ei matematice i idepede a ei de puctul de implatare: { ( )} EVp = m, p; (3.0) - idepede a autocovaria ei cre terilor la trasla ie i depede a ei de h: {[ ] } ( ) { ( ) ( )} ( ) ( ) Var V p+ h V p = E V p+ h V p = γ h. (3.) Trebuie remarcat cå ipoteza itrisecå u atreeazå sta ioaritatea de ordiul doi. 3.4.4. Cvasista ioaritate Modelarea topo-probabilistå a variabilelor regioalizate implicå luarea î cosiderare a uui factor total abset di formalismele probabiliste: scara structurii. Variabila regioalizatå poate fi cosideratå sau u ca o realizare a uui proces sta ioar î fuc ie de scara de lucru. Cu excep ia feomeelor autoomotetice acela i obiect poate fi cosiderat regulat sau eregulat, structurat sau estructurat, sta ioar sau esta ioar, fuc ie de scara la care este studiat. Fig. 3.. Veciåtå i de sta ioaritate. 7
practicå, covaria a i variograma sut utilizate petru dista e limitate: h<r, î care se påstreazå omogeitatea statisticå (fig. 3.). Douå variabile V(p k ) i V(p k+h ), aflate la distate h>r u pot fi cosiderate ca apar iâd aceluia i tip de structurå, ele efiid douå realizåri ale uui proces sta ioar, î particular, spera ele lor matematice fiid diferite: { ( k) } { ( k )} EVp EVp + h, h > r. (3.) Petru astfel de situa ii se utilizezå fuc iile structurale c(p,p +h ) sau γ(p,p +h ), care sut sta ioare local, pe dista e mai mici decât r. Aceastå limitare la dista e h <r a ipotezei de sta ioaritate de ordiul doi (sau sta ioaritate itrisecå, dacå se presupue umai existe a variogramei ) corespude ipotezei de cvasista ioaritate (sau sta ioaritate cvasiitrisecå). mod cocret o fuc ie aleatoare este cvasista ioarå de ordiul, dacå: - spera a matematicå E{V(p)} existå i este o fuc ie regulatå i cu varia ie letå î raport cu pozi ia puctului la scara re elei de probare dispoibilå; - covaria a existå i este o fuc ie de vectorul h ij, i de pozitia celor douå pucte p i i p j : ( ) ( ) ( ) {[ ][ ( ) ( )]} cp p p p E Vp mp Vp mp i j,, =, =, =. (3.3) La scara iforma iei dispoibile, adicå petru pozi ii p i i p j u foarte îdepårtate, covaria a poate fi cosideratå fuc ie de u sigur argumet i aume dista a ditre cele douå pucte h ij. Di puct de vedere practic se pot defii veciåtå i mobile, î iteriorul cårora spera a matematicå i covaria a pot fi cosiderate sta ioare. Ipoteza de cvasista ioaritate este rezultatul compromisului ditre dimesiuea r a omogeitå ii statistice a feomeului i desitatea iformatiei dispoibile, deoarece petru atigerea sta ioaritåtii, reducerea dimesiuii r este limitatå doar de volumul de date miim ecesar realizårii ifere ei. Exemplificare. Petru modelarea topo-probabilistå a seriei de timp di figura 3.,a, ce exprimå hidrograful debitului Q al uui râu fårå alimetare subteraå, måsurat pe o perioadå de 700 de zile, aprecierea caracterului sta ioar sau esta ioar al fuc iei aleatoare geeratoare implicå experie a uei practici geostatistice. Dacå se lucreazå la scara a câtorva zile, se remarcå varia ii medii semificative: valori mari primåvara (petru t=50 zile i t=500 zile) i valori mici iara (petru t=300 zile). De asemeea, sut evidete varia iile mai mari di perioada de primåvarå, î raport cu cele di perioada de iarå. Pe baza acestor douå observa ii se pot formula douå cocluzii: - petru îtreaga perioadå de 700 zile u se poate adopta u model sta ioar; - petru perioada de lugime r=50 zile, de la t=50 zile, la t=400 zile se poate adopta u model sta ioar, valorile medii fiid practic costate i varia iile, de la o valoare la alta, similare. 8
Fig. 3.. Sta ioaritate i cvasista ioaritate. tr-o a doua etapå, aalizâdu-se valorile trasformate ale debitului log(q) (fig.3.,b) se remarcå fluctua iile costate ale debitului, î jurul uor medii cu varia ii sezoiere, corespuzåtor sta ioaritå ii de ordiul doi (costa a mometului de ordiul doi). Varia iile debitului de la o zi la alta (Q(t)-Q(t+)) prezitå o medie costatå i egalå cu zero, dar fluctua ii mari de la o perioadå la alta (fig.3.,c) care u permit adoptarea uui model de sta ioaritate. Trasformarea cre terilor zilice ale debitului, pri logaritmare (log(q(t)-q(t+)), creeazå o altå variabilå, cu variabilitate costatå î jurul uei medii costate (fig.3.,d), petru care, de asemeea, se poate adopta u model de sta ioaritate de ordiul doi. Cocluziile asupra sta ioaritå ii, ob iute pri operarea directå asupra valorilor brute, pot fi cofirmate sau ifirmate de prelucrårile ulterioare. 3.5. ERGODICITATE Adoptarea modelului topo-probabilist presupue acordarea setului de date dispoibil atributul de reprezetativ, ceea ce, di puct de vedere probabilist, echivaleazå cu proprietatea de ergodicitate. Pri defii ie u proces sta ioar este ergodic (satisface ipoteza de ergodicitate) dacå seria mediei spa iale: V = V( p) dp S S (3.4) 9
coverge la spera a matematicå E{V(p)} (care este ivariatå î spa iu, coform ipotezei de sta ioaritate), atuci câd domeiul S tide la ifiit. codi iile ergodicitå ii, este posibil ca, plecâd de la observarea varia iei î spa iu a uui feome regioalizat, pe baza uei realizåri uice, så se deducå legea de distribu ie a asamblului tuturor realizårilor posibile, dar ecuoscute. Altfel spus, ergodicitatea face så coicidå mediile calculate pe asamblul realizårilor fuc iei aleatoare cu mediile spa iale, ob iute di valorile måsurate î re eaua puctelor de observa ie. practica opera ioalå, deoarece se dispue de cele mai multe ori de o sigurå serie de måsuråtori î re eaua puctelor de observa ie, ergodicitatea u poate fi testatå, ea fiid acceptatå ca premizå teoreticå a utilizårii modelului fuc iei aleatoare. U proces regioalizat, care verificå ipotezele de sta ioaritate i ergodicitate, este u proces omoge, a cårui modelare poate beeficia de fuc ia aleatoare i de tot arsealul de facilitå i ale acestui istrumet probabilist. 30
4. ANALIZA STRUCTURALÅ (ANALIZA VARIOGRAFICÅ) Aaliza structuralå a uui feome regioalizat are ca obiectiv gåsirea uui model al structurii. Elaborarea modelului face apel la cuoa terea feomeului fizic studiat i la experie a î domeiul ajustårii modelelor topo-probabiliste. Di cosiderete opera ioale, modelul cel mai frecvet utilizat este variograma, motiv petru care aaliza structuralå este cuoscutå i sub deumirea de aalizå variograficå. Obiectivul aalizei variografice fiid î ese å descriptiv, u existå costrâgeri teoretice, i, î coseci å, orice tip de prelucrare este acceptatå dacå reu e te så clarifice corela ia ditre dista å i varia a erorii de estimare. Acest capitol, cu caracter aplicativ, dupå o trecere î revistå a proprietå ilor variogramei, descrie modul de calcul al diferitelor tipuri de variograme experimetale, utilizarea lor î studiul cotiuitå ii, iterpretarea acestora i modelele aalitice utilizate petru modelarea variogramei experimetale. 4.. PROPRIETźILE VARIOGRAMEI Variograma, defiitå ca varia å a cre terilor caracteristicii (rel. 3.8), î cazul probårilor discrete se calculeazå cu formula.7, care îi determiå urmåtoarele proprietå i: γ ( 0) = 0. (4.) γ( h) = γ( h) 0 Fig. 4.. Variograma i covariata. geeral, variograma cre te porid di origie, pe måsurå ce h cre te i, îtr-u mare umår de cazuri, valoarea ei se stabilizeazå î jurul uei valori maxime γ( ), petru valori ale lui h superioare uei aumite limite r, umitå razå de iflue å (fig.4.). Se demostreazå cå aceastå valoare maximå, umitå palier, u este altceva decât varia a fuc iei aleatoare: ( ) { ( )} ( ) γ = Var V p = c 0. (4.) Dacå acest palier existå, rezultå cå i covaria a complemetarå existå: 3
ch ( ) = c( 0) γ ( h). (4.3) O astfel de variogramå cu palier i razå de iflue å caracterizeazå u feome regioalizat ce poate fi geerat de o fuc ie aleatoare sta ioarå de ordiul doi. Zoa de iflue å a iforma iei ditr-u puct (v(p)) este datå de mårimea razei de iflue å r. afara acestei zoe, petru h>r, u mai existå corela ii ître valorile variabilei måsurate: v(p) i v(p +h ) (c(h)=0 petru h>r). tr-u spa iu bidimesioal sau tridimesioal, h reprezitå u vector i majoritatea structurilor spa iale fiid aizotrope, valorile maxime ale variogramei i razele de iflue å sut diferite, fuc ie de direc ia de calcul. Lipsa palierului petru variogramå, idicå esta ioaritatea feomeului regioalizat i ecesitatea elimiårii tedi elor structurate regioal, petru adecvarea semalului prelucrat, modelului fuc iei aleatoare. 4.. CALCULUL VARIOGRAMEI EXPERIMENTALE Aplicarea rela iei.7 petru calculul variogramei experimetale este cel mai simplu de î eles, î cazul uei probåri discrete pe o re ea patraticå (fig.4.) i se realizeazå î urmåtoarele etape: se alege direc ia vectorului h, petru care se calculeazå variograma; petru cele 4 de valori ale uei variabile v, måsurate î puctele di figura 4., se alege direc ia N- S. Fig. 4.. Calculul variogramei experimetale pe o re ea påtraticå. Tabelul 4.. 3