Tori Grfurilor rpitulr inuri 0 Curs. Fi grful norintt G : f g () Iniţi rprzntăril grfului G u () listă nouri şi listă muhii, şi () list inţă. () Să s ini punţil şi nouril tăir l lui G. () C orin şi mărin r grful G? C vlori u δ(g) şi (G)? () Iniţi un lnţ lmntr lungim mimă în G. () Dţi mplu un ilu simplu şi un ilu lmntr în G. (f) Est grful G K, -lir?. Fi grful G : () Iniţi rprzntăril grfului G u () listă nouri şi listă muhii, () list inţă, şi () mtri inţă pntru numrr nouri [,,,, ]. () Iniţi iruitl lmntr l lui G. () Iniţi un rum simplu lungim mimă în G.
. Iniţi r in grfuril mi jos st izomorf u C : G G G. Cr st numărul mim muhii în un grf simplu u n nouri?. Doviţi ă grfuril G şi H in figur mi jos sunt izomorf, iniân un izomorfism f : {,,,, } {,,,, }. G : H :. Cât muhii r grful iprtit omplt K m,n?. Să s monstrz ă grfuril următor sunt iprtit, rrnjân nouril în ouă mulţimi isjunt X şi Y stfl înât tot muhiil să fi l un no in X l un no in Y : y 8 G G 8. Să s ini un motiv pntru r grful ilustrt mi jos nu st iprtit:
Curs 8. Prsupunm ă G st un grf simplu norintt, ărui rprzntr u list inţă st () Să s snz grful G. [, u] v [, ] [s, u, v] r [] s [, ] u [,, z] [, r, v, s, ] [, u] z [u] () Să s trmin rorl G π ăutr în lăţim pornin l noul tt z. () Să s ini o l lungim minimă l z l. () C vlor r ntriitt noului z?. Să s tmin omponntl on l grfurilor orintt f 0 8 0 g h i G G. Fi G grful orintt ili u () Iniţi o rprzntr stui grf u list inţă. () Folosiţi ăutr în ânim pntru lul o sortr topologiă stui g.. Folosiţi ăutr în ânim pntru găsi rumuri simpl lungim mimă l noul s în grful ili orintt z u s n z r
Curs. Fi grful ponrt G ilustrt mi jos: Să s trmin, u lgoritmul lui Wrshll, tot ăil l mi uşor intr ori prh nouri in G.. Dsnţi grful orintt r r mulţim nouri V = {,,,,, f} şi mtri inţă 0 0 0 0 0 0 0 A G = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 pntru numrr nouri [,,,,, f] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Apoi, iniţi listl inţă pntru fir no in grful G.. Pntru fir in grfuril orintt mi jos, să s pli lgoritmul lui Dijkstr pntru lul rumuril minim l noul sursă s l tot lllt nouri: 0 s 8 u y v s 0 y
. S onsiră rţu trnsport G u surs s, stinţi t, şi fluul iniţil f ilustrt mi jos: / /0 s / t / y / G + f () Dsnţi rţu rziulă G f şi iniţi un rum rştr în G f. () Să s trmin un flu mim în G pornin l fluul f. Curs (uplj,... ). Fi fmili mulţimi X = {S, S, S, S, S, S } un S = {,,,, }, S = {,, }, S = {,, }, S = {,, }, S = {, }, S = {, }. Să s ini un motiv pntru r X nu r un sistm rprzntnţi istinţi.. Să s trmin un ror minim oprir şi vlor lui, pntru grful on ilustrt mi jos: g f h 0 k l z p 8 v. S onsiră upljul M formt in muhiil mrt în grful G mi jos: h g f
() Să s ini mulţim nouri M-sturt. () Est M miml? Motivţi răspunsul t. () Est M mim? Motivţi răspunsul t. () Să s ini o M-l rştr în G. () Să s ini un uplj mim l grfului G.. Cr in svnţl următor numr st o svnţă Prüfr şi r nu: (),,8,, (),,,, () () (),,,,,, Iniţi motivul pntru r unl intr st svnţ numr nu sunt svnţ Prüfr. Pntru svnţl r sunt Prüfr, să s snz rorii orspunzători.. Câţi rori istinţi u mulţim nouri V = {,,,,, }?. Să s lulz svnţl Prüfr l rorilor ilustrţi mi jos: 8 G G G
Curs. Cr in grfuril următor sunt ulrin? G G G G G. Cr in grfuril următor sunt hmiltonin? Pntru fir grf hmiltonin ttt, iniţi un motiv pntru r grful st hmiltonin. G G G A D E G G F B C. Fi grful G ilustrt mi jos: f. Să s lulz polinomul romti G (z).. Cr st numărul romti l lui G?. În ât fluri pot fi olort G u ulori?. Iniţi âtv proprităţi rmril l polinomului romti G (z) l unui grf u n nouri şi m muhii.
8. Epliţi z z + 8 z 0 z + z nu pot fi polinomul romti l nii unui grf simplu.. Să s trmin o formulă gnrlă pntru polinomul romti Cn (z) un C n st grful ili u n nouri. Sugsti: Osrvţi ă C = K, i C (z) = K (z) = z(z )(z ). Dă n >, pliăm mto lui Birkhoff l grful C n şi oţinm Cn (z) = Tn (z) Cn (z) = z(z ) n Cn (z) Dă notăm n := Cn (z), rzultă ă r lo rlţi rurnţă = z(z )(z ), n = z(z ) n n = (z ) n + (z ) n n ă n >, i n (z ) n = ( ) ( n (z ) n ) ă n >. }{{}}{{} n n Căutţi să vă folosiţi imginţi pntru rzolv stă rlţi rurnţă. 8