Microsoft Word - revista

Transcriere

1 Revsta Vrtuală Ifo MateTehc Revsta vrtuală de cultură tehcă, matematcă ş formatcă petru elev, studeţ, maştr ş profesor d îvăţămâtul preuverstar ş uverstar Aul III Nr /203 ISSN

2 Iegaltat geometrce tr-u - smplex Prof. Ncusor Zlota, Focsa I cele ce urmeaza vo pue evdet cateva egaltat geometrce tr-u smplex, petru aceasta vom utlza urmatoarele otat refertoare la elemetele uu smplex, aume Se ste ca tr-u -smplex avem urmatoarele relat 2 V V V S = S, =, =, h =, r=, r = h r r r S S S 2S,ude r,h -,,2,, altmle s razele sferelor exscrse smplexulu, r-raza sfere scrse, S-ara totala,s ara ue fete, V-volumul. I cotuare vom demostra urmatorul rezultat. Lema Fe x R + * Să demostreze egaltatea. x + ( + ) x x Demostrate..Vom demostra ma ta : * Fe m a,m g,m h medle artmetca, geometrca ş armoca a umerelor reale poztve x R + Vom arăta că : ma. mh mg () Îlocud cu formule cuoscute ş ţâd seaa de faptul că ma mg mh (*), deducem x ( ). x ş după efectuarea calculelor obţem x x ). x x x... x x 2 3 x xx2 x3... x ( x )

3 , ceea ce reprezta egaltatea medlor geeralzate sau egaltatea lu MacLaur, dec egaltatea () este demostrată 2.Iegaltatea d euţ deve Î cotuare aplcâd egaltatea dtre meda artmetca ş geometrca ş ţâd seama de (), respectv (*), obţem ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + x + + x = ma + mh + + mamh = + + ma ma mh + + mamg + + mg = + mg q.e.d x Aplcat A. Sa se arate ca tr-u smplex are loc egaltatle, folosd otatle de ma sus h 2 r A2. A3. r 2 r h ( ) r / 2 A4. r r ( ) 2 A5. A6. h + r ( + ) h r + ( + ) r r A7. ( + ) + h r h A8. ( + )( 2) + r r r

4 A9. m m m h r A0 2 m m ( ), m N m r r A. r 2 h 2 A2. I= r r + r ( ) r A3. r r I= r + r A4. I= A5. h r ( ) h + r + 2 S h 3 V A6 h r 2 ( 2)

5 A7 h r p m ( 2),, 2+ p m m p m r p m Bblografe.D.S Mtroovc.J.E.Pecarc, -Recet Geometrc equalty,kluwer, Bosto,Lodo, 989

6 PROBLEME DE TEORIA NUMERELOR LA CONCURSURI ŞI OLIMPIADE Corelu Măescu-Avram Ncuşor Zlota Lucrarea prezetata la Coferta Auala a SSMR d Romaa, Ploest, 9-2 octombre 202 Abstract. Ths paper cotas some umber theory problems from mathematcal olympads. Almost all solutos are orgal. The books from refereces preset both theory ad practce problems. Keywords : umber theory, dvsblty, prme umbers, perfect squares, arthmetc fuctos, dophate equatos MSC : A07, A4, A25, D4 Problemele de teora umerelor de la cocursur ş olmpade sut prtre cele ma dfcle. Cu toate acestea, programa şcolară de la o u coţe sufcete formaţ despre acest domeu, caddaţ fd costrâş de aceea să se pregătească ma degrabă ca şte autoddacţ. Exstă referţe bblografce excelete, dar sut foarte puţe (cele otate cu astersc) accesble ş î lmba româă ş acestea sut greu de găst. Lucrărle [7], [9], [2], [3, [4], [7], [8] coţ probleme cu dverse grade de dfcultate, teora (relatv) elemetară este prezetată î [], [2], [4], [5], [6], [8], [], restul lucrărlor fd mult ma avasate. Ste-ul [20] este o sursă epuzablă de probleme, care sut date îsă fără soluţ. Am ales de ac problemele petru acest materal, pe care l-am structurat î cc captole, fecare captol coţâd câte cc probleme de cocurs, î orde croologcă. Materalul are, evdet, doar u rol lustratv, subectul extrem de vast u permte o tratare succtă. Dortor pot cosulta bblografa sau îş pot redacta proprle materale, folosd ste-ul [20].. Dvzbltate. Să se arate că petru orce umăr atural > avem (Belga, 200) Soluţe : Se dezvoltă cu bomul lu Newto : D, rezultă că toţ terme sume se dvd cu dec ş suma lor se dvde cu 2. Să se demostreze că petru orce umăr atural mpar >, avem Soluţe : Arătăm că umărul este dvzbl cu 2 + ş cu 4. Dvzbltatea cu 2 + : egaltatea (Idoeza, test 2009).

7 arată că umărul 2 + dvde membrul stâg, dec dvde ître ele. deoarece 2 + ş 2 sut prme Dvzbltatea cu 4 : expoetul lu 2 î descompuerea î factor prm a lu! este Trebue dec să demostăm că adcă Dacă, s N, atuc expoetul lu 2 î descompuerea lu! are valoarea maxmă, deoarece toate fracţle d parateze sut umere aturale. Petru mpar, acest expoet este cel mult 2, ceea ce trebua demostrat. 3. Să se determe toate umerele aturale eule astfel îcât poate f scrs ca produsul uu umăr par de umere îtreg cosecutve. (Afrca de Sud, 200) Soluţe : Numărul de factor a lu factor se dvde cu 5, cotradcţe. este cel mult patru, deoarece î caz cotrar uul dtre Dacă exstă do factor, atuc cu m Z. Petru (mod 5), membrul drept este cogruet modulo 5 respectv cu 0, 2,, 2, 0, ar membrul stâg este totdeaua cogruet cu 4 modulo 5, dec egaltatea este mposblă. Dacă exstă patru factor, atuc cu m Z, aşadar este par, = 2k, k N * ş

8 Această ecuaţe are soluţle Petru k >, dscrmatul este dvzbl cu 5, dar u este dvzbl cu 25, dec u poate f u pătrat perfect. Rezultă k =, dec = 2 ş m =, cu soluţa ucă 4. Cfrele zecmale a, b, c satsfac : ude exstă 00 de a ş 00 de c. Să se demostreze că b = a + c. (Ltuaa, 200) Soluţe : Avem (mod 37). Numărul dat are + = 4005 cfre zecmale ş se scre astfel : Calculăm restul împărţr acestu umăr la 37. Î fecare parateză suma a tre terme cosecutv este ulă (mod 37), aşadar umărul este cogruet modulo 37 cu dec se dvde cu 37. Avem îsă dec 5. Şrul este deft pr a) Să se demostreze că se dvde cu!, petru orce umăr atural par. b) Să se determe toate umerele aturale mpare petru care se dvde cu! (Albaa, 20) Soluţe : Demostrăm pr ducţe matematcă egaltatea Avem Presupuem că egaltatea este adevărată petru = 3, 4,..., k ş o demostrăm petru = k. Îtr-adevăr, d rezultă

9 ceea ce îchee demostraţa pr ducţe. a) Dacă este par, atuc N, dec se dvde cu! b) Dacă > este mpar, atuc N. Se deduce că dacă este mpar ş se dvde cu!, atuc =. 2. Numere prme 6. Să se demostreze că dacă umărul este prm, atuc se dvde cu 2. (Itala, 2002) Soluţe : Dacă este mpar, atuc (mod 3). Dacă k N, atuc (mod 5). D mca teoremă a lu Fermat, rezultă (mod 7). Dacă k N, atuc (mod 7). Dacă k N, atuc (mod 7). Pr urmare, dacă umărul este prm, atuc = 2k, k N. 7. Să se arate că dacă umerele sut prme, atuc umărul 6p + este compus. (Ceha-Slovaca, 2009) Soluţe : Dacă p = 2, atuc 3p + 2 = 8 u este prm; dacă p = 3, atuc 7p + 6 = 27 u este prm; dacă p = 5, atuc p + 0 = 65 u este prm. Dacă (mod 30), atuc (mod 30). Dacă (mod 30), atuc (mod 30). Dacă (mod 30), atuc (mod 30). Dacă (mod 30), atuc (mod 30). Dacă (mod 30), atuc (mod 30). Dacă (mod 30), atuc (mod 30). Dacă (mod 30), atuc (mod 30).

10 Se deduce (mod 30), de ude (mod 30), aşadar acest umăr u este prm, fd dvzbl cu Fe p u umăr prm ş a, b, c umere îtreg astfel îcât Să se demostreze că (Calea Baltcă, 2009) Soluţe : Demostrăm ma îtâ două leme. Lema. Dacă (mod 6) este u umăr prm, atuc (mod p). Demostraţe : Fe p = 6k + 5, k N *. Cosderăm produsul prmelor 3k + 2 umere aturale care se dvd cu 3 ş repartzăm factor acestu produs î tre grupe care au respectv k, k + ş k + factor. Factor prme grupe dau produsul Factor grupe a doua, scrş î orde versă e dau Factor grupe a trea dau produsul =, (mod p). Produsul tuturor umerelor cosderate este Pe de altă parte, acest produs este cogruet modulo p cu (mod p). Dar u se dvde cu p, deoarece factor produsulu sut umere aturale eule ma mc decât p, aşadar (mod p), de ude (mod p). Lema 2. Dacă (mod 6) este u umăr prm, atuc ecuaţa u are soluţ î Z p.

11 Demostraţe : Presupuem că exstă x Z p astfel ca D teorema lu Fermat rezultă Pe de altă parte, d lema se obţe =, cotradcţe. Revem la problemă ş cosderăm polomul utar f Z p [X] care are rădăcle î Z p. Trebue să arătăm că f = X 3. Notăm, k N * ş f = X 3 + ux 2 +vx + w. Avem Screm că polomul f are rădăcle aduăm cele tre egaltăţ ş obţem îmulţm fecare egaltate respectv cu D se deduce, dec sau (Z p este u corp). Dacă atuc dec Polomul f este aşadar de forma f = X 3 + w ş trebue să arătăm că Dacă atuc. Dacă, atuc, dec f = X 3. Îmulţm cu versul lu ş deducem că polomul g = X 3 (X )(X 2 + X + ) are tre rădăc î Z p, dec polomul h = ( X + ) 2 + are două rădăc î Z p, ceea ce cotrazce îsă lema 2. Rezultă w = dec Notă. Lema 2 exprmă faptul că este orest pătratc modulo p, dacă p este u umăr prm cogruet cu 5 modulo 6. Acest rezultat este o cosecţă a leg recproctăţ pătratce (Gauss), care depăşeşte îsă cadrul elemetar. O altă varată de demostraţe, pe care o prezetăm î cotuare, foloseşte metoda coborâr fte (Fermat). Fe p cel ma mc umăr prm cogruet cu 5 modulo 6 petru care cogrueţa (mod p) are soluţe. Î acest caz exstă o soluţe e, cu 0 < e < p ş putem alege e par, altfel îlocum e cu p e, care este de asemeea soluţe a cogrueţe.

12 Cazul. (mod 3). D (mod p), rezultă cu f < p mpar. Se deduce (mod 3), ar d (mod 3), rezultă (mod 3). Numărul f este mpar ş este de forma 3 + 2, dec el are u dvzor prm mpar q de forma 3 + 2, î caz cotrar, dacă toţ dvzor prm a lu f ar f de forma 3 +, atuc ş f ar f de aceeaş formă. D (mod f), se deduce (mod q), ceea ce cotrazce îsă mmaltatea lu p petru care 3 este rest pătratc. Cazul 2. (mod 3). Fe k 0(mod 3). D (mod p), se deduce (mod p), sau cu h < p umăr mpar. Avem astfel (mod 3), ar d (mod 3), se obţe (mod 3). Numărul h este mpar ş este de forma 3 +2, dec are u dvzor prm r de forma D (mod r), rezultă ceea ce cotrazce d ou mmaltatea lu p. (mod r), Am demostrat astfel că dacă (mod 6), atuc este orest pătratc modulo p. 9. Se cosderă şrul deft pr ş umărul prm (mod 4) astfel îcât Să se arate că p = 3. (Turca, 20) Soluţe : Se arată smplu că sub forma echvaletă, orcare ar f N *. Screm egaltatea de defţe a şrulu dăm dcelu valorle, 2,...,, îmulţm cele egaltăţ, smplfcăm cu ş deducem de ude Dacă p 3 este u umăr prm, (mod 4) ş p dvde, atuc exstă x Z astfel ca (mod p). D teorema lu Fermat, rezultă (mod p).

13 Pe de altă parte, N, dec de ude (mod p), cotradcţe. 0. Să se găsească toate umerele prme p astfel îcât ş sut umere prme. Soluţe : Dacă este prm, atuc dec (Albaa, 202) Î acest caz umerele p + 2 = 5 ş sut prme. 3. Pătrate perfecte. Fe, p umere îtreg astfel îcât > ş p este prm. Să se arate că dacă ş atuc 4p este u pătrat perfect. (Argeta, test 2005) Soluţe : D rezultă D rezultă N. D rezultă (mod ) ş (mod ). Se obţe (mod ). Fe N. Avem dec Dacă atuc Rezultă v = 0, m =,, dec este u pătrat perfect. 2. Dfereţa cuburlor a două umere aturale cosecutve este egală cu pătratul uu umăr atural. Să se demostreze că este suma a două pătrate perfecte. (Olmpada ordcă, 2008)

14 Soluţe : Fe Se deduce Numerele ş sut prme ître ele (deoarece sut mpare), dec uul dtre ele este pătratul uu umăr mpar, ar celălalt este pătratul uu umăr mpar îmulţt cu 3. D prma egaltate rezultă că este mpar, dec care u poate f pătrat perfect, deoarece pătratele modulo 4 sut 0 ş. Avem aşadar dec 3. Fe a, b, c umere îtreg care satsfac Să se demostreze că este u pătrat perfect. (Ucraa, 2009) Soluţe : Cel puţ uul dtre umerele ce cotrazce poteza. este eul, altfel a = b = c = 0 ceea Presupuem ş deducem Z, astfel că este pătratul uu umăr atural. 4. Fe u umăr atural eul astfel îcât 2 + ş 3 + sut pătrate perfecte. Să se arate că este u umăr compus. (Ida, 20) Soluţe : Fe 2 + = a 2, 3 + = b 2, aşadar = 4(2 + ) (3 + ) = 4a 2 b 2 = = (2a b)(2a + b). Egaltatea 2a b = este mposblă, î caz cotrar de ude Se obţe ecuaţa cu soluţa umăr atural dar atuc ceea ce cotrazce poteza. Rezultă că umărul este compus. 5. U umăr atural este ales strct ître două pătrate perfecte cosecutve. Cel ma mc dtre cele două pătrate se obţe scăzâd k d, ar cel ma mare aduâd l la. Să se demostreze că este u pătrat perfect. (Ida, 20)

15 Soluţe : Fe a N ş Atuc ş, de ude aşadar umărul este u pătrat perfect. 4. Fucţ artmetce 6. Fe umere prme dstcte ma mar decât 3. Să se arate că are cel puţ dvzor. (OIM, lsta scurtă 2002) Soluţe : Dacă a, b sut umere aturale mpare prme ître ele, atuc Îtr-adevăr, fe Avem ş Pe de altă parte, d rezultă aşadar d = 3. Dacă b u se dvde cu 3, atuc u se dvde cu 9, astlef că umerele ş sut prme ître ele. Numărul este dvzbl cu ş dec este dvzbl cu Se demostrează afrmaţa d euţ pr ducţe după. Petru =, umărul se dvde cu 3 ş este ma mare decât dec el are cel puţ 4 dvzor. Presupuem că are cel puţ dvzor ş cosderăm umărul cu Numerele ş sut prme ître ele, dec umărul are cel puţ dvzor. Numărul A se dvde cu B ş este ma mare decăt Dacă atuc d ş sut dvzor a lu A, dec A are cel puţ dvzor, ceea ce îchee demostraţa pr ducţe. Notă. Se poate arăta că are cel puţ dvzor. 7. Să se demostreze că dacă suma tuturor dvzorlor poztv a lu Z + este o putere a lu 2, atuc ş umărul dvzorlor lu este o putere a lu 2. (Olmpada Europe Cetrale, 2008) Soluţe : Suma dvzorlor uu umăr atural este u produs de factor de forma

16 ude este cea ma mare putere a umărulu prm p care dvde pe. Toţ aceşt factor trebue să fe puter ale lu 2. Această sumă este u umăr par uma dacă p ş a sut umere mpare. Suma de ma sus se dvde î acest caz cu + p, dec + p este putere a lu 2, adcă p este umăr prm Mersee. Se arată î cotuare că a =. Îtr-adevăr, petru a > mpar, avem, Ca ma sus, este mpar, dar atuc a doua parateză se dvde cu +. Dacă p este u umăr prm Mersee, atuc + putere a lu 2. are u factor mpar ma mare decăt, dec u poate f Am demostrat astfel că dacă suma dvzorlor lu este o putere a lu 2, atuc este produs de umere prme Mersee dstcte. Dacă este produs de umere prme dstcte (u eapărat Mersee), atuc umărul dvzorlor lu este egal cu ceea ce trebua demostrat. 8. Fe umărul dvzorlor poztv a umărulu atural eul. Se defeşte şrul astfel : Să se stablească dacă umărul este raţoal. (Ida, 2009) Soluţe : Se arată că umărul x este raţoal. Presupuem că x este raţoal. Î acest caz şrul este perodc, dec exstă umerele aturale eule k, l astfel ca petru orce Se alege m astfel ca ş ml să fe pătrat perfect. Fe descompuerle î produse de factor prm ale lu m ş, astfel că este par petru orce j, Se alege u umăr prm p dfert de ş se cosderă umerele ml ş pml. Numărul se dvde cu l, dec Numerele ş au aşadar aceeaş partate. Dar deoarece ş p este prm. Numărul este mpar, deoarece este pătrat perfect. Numărul este par astfel că cotradcţe.

17 9. O fucţe f : Z + Z +, ude Z + este mulţmea umerelor îtreg strct poztve, este edescrescătoare ş satsface petru toate umerele aturale m, prme ître ele. Să se demostreze că (Olmpada ordcă, 200) Soluţe : Fucţa f este edescrescătoare, dec factor, se obţe de ude, pr descompuere î Smlar, d se deduce Toate valorle sut strct poztve, aşadar pr îmulţre se obţe de ude, pr smplfcare cu rezultă Notă. Dacă o fucţe are propretăţle d euţ, atuc ea este o fucţe putere, adcă exstă k Z + astfel ca orcare ar f Z +. Acest fapt a fost demostrat de Paul Erdös. Folosd acest rezultat, problema deve baală. 20. Petru orce umăr atural eul, fe umărul dvzorlor lu care au ultma cfră sau 9 î baza 0 ş umărul dvzorlor lu care au ultma cfră 3 sau 7 î baza 0. Să se demostreze că petru orce umăr atural eul. (Elveţa, 20) Prma soluţe : Se cosderă fucţa Fucţa h este multplcatvă, ceea ce rezultă drect d defţe. Se calculează S = h( d). Dvzor par sau care sut multpl de 5 u modfcă valoarea sume, dvzor de forma 0k + sau 0k + 9 adaugă, dvzor de forma 0k + 3 sau 0k + 7 scad. Se arată că această sumă este poztvă, orcare ar f N *. Fe descompuerea caocă a lu. Fucţa h este multplcatvă, dec suma valorlor e extsă asupra tuturor dvzorlor lu este u produs de factor de forma d ude p este u dvzor prm oarecare al lu.

18 Dacă (mod 0), atuc Dacă (mod 0), atuc este egal cu 0 sau. Î toate cazurle este poztv, dec ş S = N p este poztvă. p D rezultă A doua soluţe : Demostrăm afrmaţa pr ducţe matematcă după N. Dacă =, a N, atuc petru (mod 0) avem, deoarece ultma cfră a dvzorlor lu este,,,,... sau, 9,, 9,... ; petru (mod 0) avem, dacă a este mpar ş respectv, 7, 9, 3,, 7, 9, 3,...., deoarece ultma cfră a dvzorlor lu este, 3, 7, 9,, 3, 7, 9,..., Î toate cazurle se verfcă egaltatea. Fe = st, s, t N *, arătăm că ea este adevărată ş petru = st. Fe. Presupuem egaltatea d euţ adevărată petru s ş t ş umărul dvzorlor poztv a umărulu atural care au ultma cfră zecmală egală cu k. Defm fucţa h : N * Z, ş arătăm că toate valorle aceste fucţ sut poztve. Îmulţrea resturlor modulo 0 este dată î următorul tabel : * De ac se deduc smplu egaltăţle

19 Pr calcul drect se obţe Dacă atuc ceea ce îchee demostraţa pr ducţe. 5. Ecuaţ dofatce 2. Să se determe toate umerele îtreg astfel îcât (Austra, 2004) Soluţe : Avem Su substtuţle se deduce Dacă p = 0, atuc a = 0 sau b = 0 ş se obţ soluţle Z. Dacă smplfcăm cu p, restrâgem terme asemeea ş obţem de ude sau Reved la vechle varable, prma ecuaţe se scre cu soluţle A doua ecuaţe se scre cu soluţle ş alte două soluţ obţute ateror. 22. Să se rezolve î mulţmea umerelor îtreg ecuaţa

20 (Argeta, test 2006) Soluţe : Cu substtuţle ecuaţa deve Se arată că sgurele soluţ ale aceste ecuaţ sut cu toate permutărle lor., împreuă Dacă atuc c = 0, deoarece sstemul de ecuaţ u are soluţ reale. Se obţe astfel soluţa, a Z. Dacă atuc ş este îtreg, dec Dacă a ş b au acelaş sem, atuc schmbâd semele putem cosdera că ele sut poztve, dec de ude aşadar Se obţe astfel soluţa ş pr schmbarea semelor, soluţa Dacă a ş b au seme dferte, reluăm raţoametul cu două dtre umerele a, b, c, care au acelaş sem, cu acelaş rezultat. Soluţle ecuaţe d euţ sut a Z, ş toate permutărle lor. 23. Să se rezolve ecuaţa Z. (Ltuaa, test 2006) Soluţe : Se face substtuţa Ecuaţa deve de ude este îtreg, dec ş umărul dec este dvzor al umărulu Sstemul de ecuaţ coduce pr elmare la ecuaţa care are soluţ reale dacă ş uma dacă este u pătrat perfect. Aalzâd toate cazurle se deduce că sgura pereche care satsface aceste codţ este de ude se obţ soluţle ecuaţe ţale

21 24. Să se găsească o soluţe î umere aturale a ecuaţe (Olmpada ordcă, 2007) Soluţe : Ecuaţa se scre Numărul 223 este prm, dec el dvde x sau Dacă x = 225, atuc dec este o soluţe a ecuaţe date. 25. Să se determe toate umerele aturale m, astfel îcât (Albaa, test 2009) Soluţe : Nu exstă soluţ petru m = 0,, 2, 3, dec putem presupue m. Numărul este mpar, dec este de forma cu Petru u exstă soluţe, dec avem ş D se deduce Expoetul lu 2 î descompuerea î factor prm a membrulu drept este t +, dec t + = m, de ude cu soluţa ucă m = 4, k =, aşadar Bblografe *. Vogradov, I. M., Elemets of Number Theory, Dover Publcatos Ic., 954 *2. Gelfod, A. O., The Soluto of Equatos Itegers, P. Noordhoff Ltd., Groge, Baker, Ala, A Cocse Itroducto to the Theory of Numbers, Cambrdge Uversty Press, Cambrdge, Adrews, George E., Number Theory, W. B. Sauders Compay, Phladelpha, Serpńsk, W., Elemetary Theory of Numbers, PWN-Polsh Scetfc Publshers, Warszawa, Nve, Iva, Zuckerma, Herbert S., Motgomery, Hugh L., A Itroducto to the Theory of Numbers, Ffth Edto, Joh Wley & Sos Ic., New York, Adler, Adrew, Coury, Joh E., The Theory of Numbers, A Text ad Source Book of Problems, Joes ad Bartlett Publshers, Sudbury, Massachussetts, 995

22 8. Stark, Harold M., A Itroducto to Number Theory, Teth Prtg, The MIT Press, Cambrdge, Massachussetts, Egel, Arthur, Problem-Solvg Strateges, Sprger, Stopple, Jeffrey, A Prmer of Aalytc Number Theory, Cambrdge Uversty Press, Rose, Keeth H., Elemetary Number Theory ad Its Applcatos, Ffth Edto, Pearso Addso Wesley, Bosto, Adreescu, Ttu, Adrca, Dor, Feg, Zumg, 04 Number Theory Problems, From the Trag of the USA IMO Team, Brkhäuser, Bosto, Gelca, Răzva, Adreescu, Ttu, Putam ad Beyod, Sprger, Zetz, Paul, The Art ad Craft of Problem Solvg, Secod Edto, Joh Wley & Sos, Ic., Daveport, H., The Hgher Arthmetc, A troducto to the Theory of Numbers, Eghth Edto, Cambrdge Uversty Press, Hardy, G. H., Wrght, E. M., Heath-Brow, D. R., Slverma, J. H., A Itroductoto the Theory of Numbers, Sxth Edto, Oxford Uversty Press, Rassas, Mchael T., Problem-Solvg ad Selected Topcs Number Theory, I the Sprt of Mathematcal Olympads, Sprger, Djukć, Duša, Jakovć, Vladmr, Matć, Iva, Petrovć, Nkola, The IMO Compedum, A Collecto of Problems Suggested for the Iteratoal Mathematcal Olympads : , Secod Edto, Sprger, Schlecher, Derk, Lackma, Malte (eds.), A Ivtato to Mathematcs, From Compettos to Research, Sprger,

23 Valeţe formatve ale metodelor teractve de predare Prof. Popescu Crsta Lceul Tehologc Daca Pteşt Pr predarea tradţoală î sesul î care profesorul ţe o prelegere, face o demostraţe, u se produce îvăţare decât î foarte mcă măsură, rolul elevlor fd acela de a urmăr, acest lucru fd sufcet petru îvăţare. Elev îşş trebue să orgazeze ceea ce au auzt ş vazut îtr-u tot ordoat ş pl de semfcaţ. Dacă elevlor u l se oferă ocaza dscuţe, a vestgaţe, a acţu ş evetual a predăr, îvăţarea u are loc. Îvăţarea presupue îţelegerea, ar aceasta îseamă ma mult decât cuoaşterea faptelor. Elev costruesc cuoşterea pe baza a ceea ce deja cuosc sau cred.. Această costrucţe persoala este favorzata de teracţuea cu alţ care la radul lor îvaţă. Adevărata îvăţate este aceea care permte trasferul achzţlor î cotexte o. Este u doar smplu actvă, dvdual-actvă c teractvă. Metodele teractve sut capable să-l facă pe elev să urmarească cu teres ş curoztate lecţa, să- câştge adezuea logcă ş afectvă faţa de cele ou îvăţate, care-l determă să-ş puă î joc magata, îgelegerea, puterea de atcpare, memora. De asemeea, îl ajută să caute, să cerceteze, să găsească sgur sau î grup cuoştţele pe care urmează să ş le îmulţească, să afle soluţ la probleme, să prelucreze cuoştţe, să ajugă la recosttur ş resstematzăr de cuoştţe. Sut metode care îl îvaţă pe elev să îveţe, să lucreze depedet ş î grup. Aceste metode plac atât elevlor cât ş dascăllor. Efcetzarea folosr lor este codţoată de măestra ddactcă a profesorulu, de sprtul său lber, ovator ; ar tmpul ecesar famlalzăr elevlor cu aceste metode este pe depl compesat de efceţa lor î plaul dezvoltăr pshce. Aceste metode creează deprder : - facltează îvăţarea î rtm propru; - sut atractve; - pot f abordate d puct de vedere a dfertelor stlur de îvăţare.

24 - stmulează cooperarea, u competţa deoarece îvăţarea pr cooperare este o stratege de strure structurată ş sstematzată î cadrul cărea grupele mc lucrează împreuă petru a atge u ţel comu. Se îvaţă ma temec decât cazul lucrulu dvdual. Ea solctă toleraţă faţă de modurle dferte de gâdre ş smţre. Valorzâd evoa elevlor de a lucra mpreuă tr-u clmat preteos de susţere recprocă Î îvaţarea pr cooperare succesul grupulu depde de efortul depus î realzarea sarclor de catre tot membr. Elev sut drjat către u scop comu, stmulaţ de o aprecere colectva, rezultatele fd suma eforturlor tuturor, fecare membru al grupulu ş asuma resposabltatea sarclor de rezolvat. Aceasta vatare pr cooperare solcta efort telectual ş practc atat d partea elevlor cat ş d partea profesorulu care coordoeaza buul mers al actvtat. Profesorul trebue să- facă pe elev să dorească să se mplce î actvtate, î rezolvarea problemelor date. Valeţele formatv- educatve care recomadă aceste metode teractve ca practc de succes atât petru îvăţare cât ş petru evaluare sut următoarele : - stmuleaza mplcarea actvă î sarca a elevlor, aceşta fd ma coşteţ de resposabltatea ce-ş asuma. - exersează capactăţle de aalza ş de luuare a deczlor oportue la mometul potrvt, stmulad tatva tuturor elevlor mplcat sarca. - asgură o ma buă practcă a cuoştţelor, exersarea prceperlor ş capactatlor î varate cotexte ş stuaţ. - asgură o ma buă clarfcare coceptuala ş o tegrare uşoara a cuoşttelor asmlate î sstemul aţoal, deved astfel operatoale - uele dtre ele, cum ar f portofolu, ofera o perspectva de asamblu asupra actvtat elevulu pe o peroada ma luga de tmp depasd eajusurle altor metode tradtoale de evaluare cu caracter de sodaj s matere s tre elev Pe băcle şcol, elev îş îsuşesc u fod de cuoştţe de bază d toate domele ştţe ş cultur, u sstem utar ş cuprzător de formaţ despre atură, socetate ş gâdre. Se şte că o parte, ueor îsemată, d cuoştţele predate se perde după u tmp, aumte formaţ rămââd eutlzate, peste ele suprapuâdu-se apo altele, apărâd adesea terfereţe sau terved utarea. Cota de perdere este maxmă î codţle îvăţăr mecace. Practc, u se poate repeta î permaeţă totul ş c u se prescre o asemeea exgeţă şcol, petru că ar îsema o rspă utlă de eerge. Cultura geerală a ue persoae - spue o maxmă cuoscută - se compue d ceea ce se reţe după ce utarea ş-a făcut jocul. Este mportat să cuoaştem ce aume se păstrează după ce a tervet utarea. Cercetărle arată îsă că, odată cu creşterea volumulu materalulu de reţut, procetul păstrăr lu î memore scade. Desgur, î codţle memorăr logce, cuoştţele îvăţate se pot recosttu ulteror ma uşor. A fxa î memore îseamă a putea deduce rapd la reluare. Pord de ac, profesorul la lecţe, trebue să dsceră ître ceea ce costtue coţutul eseţal al dscple ş ceea ce poate f acceptat să fe utat sau lăsat la o parte. Î maualele

25 şcolare, defţle ş clasfcărle ţ u loc mult ma îsemat decât î muca omulu de ştţă. Î optca omulu de ştţă, capătă prortate metodele de lucru, de aalză ş terpretare a faptelor, artculaţle demersulu cogtv, strategle de gâdre, pe scurt, ceea ce ţe de paradgma cercetăr, de compoeta metacogtvă a arhtectur telectuale. Procesul de îsuşre a cuoştţelor duce la crstalzarea cotuă a uor strumete mtale: oţu, operaţ, scheme de gâdre ş deprder de lucru, care costtue mecasme de achzţe petru ole date ş formaţ. Pr acumulăr progresve, aceste strumete mtale dau formă cocretă telgeţe îsăş. Orce act de îsuşre a cuoştţelor presupu ca premsă - pe lâgă prezeţa uor oţu-acoră - u vel corespuzător al gâdr ş duce, la râdu-, la crearea uor o premse - codţ tere petru îsuşrea altor cuoştţe. O efceţă partculară preztă forma eurstcă de strure, care u se mărgeşte să trasmtă, pur ş smplu, cuoştţe, să le ofere de a gata, ca u repertoru de cocluz. Expereţa şcolară atestă deea că a dezvolta gâdrea depedetă a elevlor îseamă a pue î faţa lor sarc cogtve, probleme care pot f rezolvate pr metode obşute, luate de-a gata, furzâdu-le î acelaş tmp materalul mm ecesar ş îdrumâdu- cu aumte procedee de gâdre logcă. Îmbogăţrea ş sstematzarea cuoştţelor, paralel cu dezvoltarea operaţlor logce, mprmă o mobltate tot ma accetuată gâdr elevlor.

26 SCHIMB INFORMAŢIONAL Prof. Dţuleasa Mrcea Flora - Lceul tehologc DACIA Pteşt O relaţe de comucare autetcă este o teracţue care fucţoează î coformtate cu prcple acţu ş retroacţu. Rolul de vehcul î crearea ş dezvoltarea acestu crcut reve formaţe" care este dublu codfcată: cogtv ş afectv. Cea d prma categore asgură schmbul formaţoal prvd crculaţa delor, a structurlor cogtve ş a procedurlor, pe câd cea de-a doua favorzează schmbul terpersoal prvd crculaţa stărlor afectv-emoţoale ş a attudlor. Pr coştetzarea acestor dfereţe profesorul dobâdeşte u aumt cotrol asupra respectvelor comportamete pe care le mapulează strategc drjâd telectv factor emoţoal sau modulâd emoţoal pe ce telectual. Istrumetele cu ajutorul cărora se realzează aceste procese sut: dscursul formatv ş vorbrea persuasvă. Dscursul formatv este maera î care profesorul îş orgazează terveţa lu ca specalst îtr-u aumt domeu al cuoaşter. Accetul se pue pe procesul formăr ş dezvoltăr structurlor telectulu, capable să stmuleze dverse tpur de procese: aaltce, emprce, evaluatve. (Davtz, R. Joel; Bell Samuel, Pshologa procesulu educaţoal. Edtura Ddactcă ş Pedagogcă, Bucureşt, 978). Asemeea procese u operează cu formaţle pure, c agajează mjloacele vorbr persuasve petru a mpue adevărul, clartatea, utltatea lor. Praxologa comucaţoală recomadă profesorulu să accesblzeze îţelesurle, să recurgă la traducer" ale coţuturlor şcolare pe care să le traspuă î codul comportametal al elevlor de dferte vârste, evtâd smplfcarea excesvă care, ueor, afectează îsuş adevărul ştţfc. Vorbrea persuasvă dspue de teţoaltăţ formatve, dar se cocetrează pe creşterea receptvtăţ terlocutorulu faţă de mesaj. Ea este adesea deftă drept arta de a te adresa cuva cu covgere. Capactatea de a covge (sau forţa persuasvă) tră î categora comportametelor deftor petru apttudea pedagogcă. Impactul persuasv decsv este produs de persoaltatea educatorulu atuc câd el poate releva elevlor: competeţa ş abltăţle sale profesoale, caracterul,charsma. Dscursul persuasv se caracterzează pr: clartate, vvactate, adecvare,

27 adresatvtate, forţă, expresvtate, rtm, testate, purtate, reglabltate. Pr astfel de mjloace, profesorul reuşeşte să stablească cu elev o relaţe care u rscă să cadă î cua dtre extreme (excesul de autortate sau de famlartate), orcare fd dăuătoare. Dmpotrvă, dstaţarea permte profesorulu să-ş meţă o stare de dspobltate faţă de fecare elev, î tmp ce aproperea îl asgură petru a îţelege empatc doleaţele ş trărle elevlor (Glles Ferry, î Ezechl L., Comucarea educaţoală î cotext şcolar, EDP, Bucureşt, 2002). Trecerea de la cotactul terpersoal la schmbul formaţoal ş terpersoal ţe de damca procesulu comucaţoal care geerează, complemetarzează ş multplcă cele două postaze. Scopul fudametal al comucăr educaţoale îl costtue flueţa comportametală, adcă proectarea delberată a modaltăţlor pr termedul cărora elev îş modfcă comportametul ţal ca efect al receptăr ş prelucrăr uu aumt materal formaţoal. Asemeea tpur de rezultate se pot obţe uma prtr-o mplcare a parteerlor î jurul teţe atger scopurlor ş a dorţe de schmbare uam acceptate. Profesorul este cel care, î caltate de coducător ş coordoator al procesulu ddactc, poate declaşa, stmula ş îtreţe acest motor al teracţu. Câd profesorul u mafestă u sprt agajat ş attudea elevlor deve dferetă" (Zemowtz Wlodarsck) Dfcultăţle sut geerate de faptul că efectul umt geerc mplcare este complex ş apare ca produs al acţu ma multor varable complexe: stuaţa de momet, damca relaţoală, maturtatea persoaelor agajate î procesul teracţu. La velul orcărea dtre aceste codţ pot f detfcate date comportametale cu rol hotărâtor î cadrul procesulu de mplcare: attudea comucatvă, efortul persuasv, capactatea empatcă, abltatea de a motva terlocutorul. Astfel de mafestăr sut deosebt de semfcatve ma ales îtr-o relaţe drectă, de tp faţă î faţă" ude resursele explcte de care dspu terlocutor petru a comuca sut multplcate de cele eexplcte, adacete, subîţelese. Efectul acţu de a motva este foarte favorabl proceselor de comucare: ea deschde caalele care permt crculaţa lberă a mesajelor de la u terlocutor la celălalt. După Albert Moye a motva îseamă să fac să crcule dele acolo ude domeşte sărăca ş lpsa de spraţe, îseamă a debloca îtr-o fţă ca ş îtr-o sttuţe ceea ce este blocat, arătâd ş făcâd u expermet care să releve că ceva ou este posbl". (Albert Moye, Motver... Ies esegats, î: Cahers pedagogques, r. 300/992, pg. 24) Raoul Pataella atrage ateţa asupra motvaţlor celu ce motvează, cosderâd că u doar elev resmt această trebuţă, c ş profesorul. Motvat-motvat - spue autorul fracez -

28 este u joc î ogldă sau u cerc vcos care tde să devă vrtuos" (î Rolad Vau, La motvato - codto essetelle de reusste, î: Scece Humae r. 2/996). Locul ude se desfăşoară acţuea se mafestă ca u adevărat câmp pshosocal capabl să geereze eergle cu efect motvator. Importaţa relaţe profesor elev î educaţe Prof. Lucreţa Poştoacă - Şcoala gmazala Traa Pteşt Scopul prcpal al şcol este acela de a forma la elev o cultură comucaţoală care să faclteze trasferul de la comucarea î spaţul şcolar, la comucarea î socetate. Avâd î vedere că relaţle terpersoale se bazează pe comucare, ar aceasta, la râdul e, le flueţează poztv sau egatv, profesorul trebue să găsească multple modur de a faclta ş drja comportametul comucatv al elevlor. Comucarea este uul dtre elemetele care defesc îtregul proces de orgazare ş desfăşurare a procesulu structv-educatv. Formarea ş dezvoltarea competeţelor de comucare vor f utle atât î stuaţ de comucare socală cocretă, cât ş î demersurle ddactce. Modul î care aceste competeţe sut îsuşte ş dezvoltate depd clusv de medul ş codţle psho-socale ale şcol ş clase, de relaţle care se stablesc ître elev ş dascăl î cadrul actvtăţlor ddactce. Comucarea educaţoală sau pedagogcă este cea care favorzează realzarea feomeulu educaţoal; comucarea ddactcă apare ca formă partculară a acestea, cu rol mportat î procesul de predare-asmlare a cuoştţelor. Î actul ddactc, comucarea deve o realtate socală complexă î care se regăsesc do parteer cu rolur ş cu statusur be defte: cadrul ddactc ş elevul. Îvăţarea este prcpala actvtate î care comucarea capătă u rol eseţal; elevul este pus î stuaţa de a relaţoa cu profesorul ş cu coleg de clasă, de a se afla î pozţa celu care ascultă sau a celu care face o comucare. Ître profesor ş elev, pe de o parte, ş ître elev ş coleg să, pe de altă parte, se va dezvolta o relaţe utlă î procesul de predare-îvăţare.

29 Cadrul ddactc trebue să caute ş să găsească cele ma potrvte tehc ş mjloace pr care să dezvolte la elev să competeţe comucatve. Petru aceasta este evoe ca orce profesor să posede cuoştţe pe care să le trasmtă elevlor, astfel îcât aceşta să îş formeze capactăţ comucatve specfce vârste şcolare. Î orce stuaţe ddactcă, cadrul ddactc va urmăr să folosească u stl comucaţoal potrvt stuaţe respectve, dar ş partculartăţlor de vârstă ş dvduale ale elevlor; tpul ş structura comucăr ddactce vor f astfel stablte îcât să se realzeze stuaţ de comucare dascăl-elev, elev-dascăl ş elev-elev, ar competeţele comucatve ale elevlor să fe dezvoltate ş puse î valoare. Elevul deve parte a actulu comucăr atuc câd formaţa pe care o prmeşte aduce ceva ou ş relevat petru el; îtr-o astfel de stuaţe, elevul va găs motvaţe petru a-ş cocetra ateţa î tmpul ore ş petru a-ş folos î mod depl capactăţle telectuale, afectve, volţoale ş attudale ecesare î procesul ddactc. Clasa de elev fucţoează ca u spaţu î care relaţle de comucare sut prcpala formă de teracţue ter-dvduală ş autocuoaştere, de dezvoltare a socabltăţ coplor de vârstă şcolară. Pr metodele foloste, pr scopurle ş perspectvele propuse, pr actvtăţle şcolare ş extraşcolare desfăşurate, dascălul flueţează coezuea colectvulu clase ş competeţele comucatve ale fecăru elev î parte. La îceputul actvtăţlor de grup sut utle aşa umtele exercţ de spargere a gheţ. Sub această deumre se găsesc ma multe tehc care au ca scop prcpal depăşrea barerelor de comucare î vederea elmăr emoţlor ş a asumăr de rol pe parcursul desfăşurăr actvtăţlor propuse; toţ membr echpe vor acţoa cu o ma mare lbertate de exprmare petru realzarea uor expereţe utare. Exercţle propuse pot f dverse: relatarea ue stuaţ hazl, o poveste sau u text ctt de cadrul ddactc, lectura ue creaţ care aparţe uu elev, relatarea uor evemete trăte recet de uul dtre partcpaţ la actul ddactc, u proverb, lectura ue mag sugestve, ghctor alese î fucţe de tema lecţe, u rebus pr rezolvarea cărua se face o recaptulare a cuoştţelor dobâdte pe parcursul ultmelor ore ş totodată legătura cu oţule d lecţa de z, u joc etc.

30 Practca ddactcă a dovedt utltatea aplcăr uor astfel de practc căc sut valorfcate îtr-o ma mare măsură creatvtatea ş spotaetatea tuturor celor mplcaţ î actul ddactc a căru efcetzare creşte. Exercţle de spargere a gheţ î fac pe partcpaţ la o aumtă actvtate să se smtă ma î largul lor ş să o îceapă îtr-o otă poztvă. Elev au evoe să relaţoeze u cu alţ, ar petru aceasta exstă ma multe modaltăţ pe lâgă prezetărle ofcale ş de orgazaţe/fucţe. U astfel de exercţu este folostor petru că stableşte atmosfera care se potrveşte cel ma be cu atelerul/evemetul desfăşurat; acesta u trebue să se îdepărteze prea mult de spaţul vtal al partcpaţlor mplcaţ î procesul de îvăţare. Tehcle de spargere a gheţ permt formarea de echpe care vor coopera pe parcursul desfăşurăr actvtăţlor ddactce. Echpele astfel formate vor urmăr u scop comu, vor mafesta coezue ş vor comuca ma efcet deoarece membr lor vor avea motvaţ ş terese comue sau cel puţ apropate. O echpă va deve performată atuc câd membr e vor avea strateg clare ş be formulate, relaţle d cadrul grupulu vor f deschse, actve ş empatce ar îcrederea recprocă se va mafesta î orce împrejurare; o buă comucare ître membr uu grup va aduce performaţe superoare petru că elev îţ vor pue î valoare creatvtatea ş flexbltatea; performaţele obţute î cadrul grupulu vor avea drept cosecţă u moral rdcat, satsfacţ profesoale ş vor atrage recuoaşterea ş aprecerea celorlalţ. Bblografe - Cerght, I. (988), Mjloace de îvăţămât ş strateg ddactce î Curs de pedagoge, Edtura Uverstăţ Bucureşt -Cerght, I., Neacşu, I., Negreţ-Dobrdor, I., Pâşoară, I.-O. (200), Preleger pedagogce, Iaş, Edtura Polrom

31 CONTRIBUŢII ALE SOFTULUI EDUCAŢIONAL ÎN PREDAREA MATEMATICII LA CLASELE I IV Îv. Purdel Carme Şcoala Gmazala Nr. Găgeşt Orce modaltate uformă de predare este evdet, esatsfăcătoare, de vreme ce fecare elev este atât de dfert. Howard Garder SOFTURILE EDUCAŢIONALE PENTRU ELEVII CU DIFICULTĂŢI ÎN ÎNVĂŢAREA MATEMATICII Softul educaţoal este u program proectat petru a f folost î procesul de predare îvăţare evaluare, fd u mjloc de strure teractv, care oferă posbltate de dvdualzare. Este realzat î fucţe de aumte cerţe pedagogce ( coţut specfc, caracterstc ale grupulu ţtă, obectve comportametale ş aumte cerţe tehce : asgurarea ue teracţu dvdualzate, a feedback-ulu secveţal ş a evaluăr formatve ). Caltatea uu soft educaţoal este dată de gradul de teracţue cu utlzatorul ( elevul ) - de aceasta depde măsura î care se produce îvăţarea ş de flexbltatea programulu care presupue dvdualzarea parcursulu î fucţe de reacţle elevulu. Bazâdu-se pe caracterul atractv ş atreat al joculu ddactc, îl putem folos cu succes la scoaterea d mpas a elevlor ce îregstrează rezultate ma slabe la îvăţătură. Softurle educaţoale acţoează favorabl asupra acestora, crescâdu-le performaţele, căpătâd îcredere î capactăţle lor, sguraţă ş prompttude î răspusur, deblocâd astfel poteţalul creator al acestora. Dacă softul educaţoal a fost ales cu dscerămât ş este accesbl grupe de elev pe care o vzăm, succesul este garatat. Nu se pledează petru reuţarea la metodele îvăţămâtulu tradţoal, ma ales î cazul prmlor a de educaţe î şcol, câd flueţa persoală a educatorulu rămâe determată, totuş utlzarea tehologlor modere, a softurlor educaţoale repreztă o ecestate a procesulu educatv la partculartăţle dvduale ale fecăru elev, care trebue cofrmate. Mă vo refer î cotuare la modul î care am folost softul educaţoal matematc î cadrul lecţlor de matematcă petru a- ajuta pe elev care au rezultate ma slabe la această dscplă. Î cadrul lecţe am alterat actvtatea frotală cu muca depedetă, metodele tradţoale cu metoda IAC ( strurea asstată de calculator ), avâd astfel posbltatea de a îdruma ş drja actvtatea elevlor care presupu acest ajutor.

32 Astfel, după actvtatea comuă cu îtreaga clasă, obşută î orce lecţe, elev ce ma bu efectuează depedet o temă î tmp ce orgazez cu elev ma slab la îvăţătură exercţ sub formă de joc care se vor desfăşura cu ajutorul calculatorulu. Î cotuare vo prezeta 2 softur educaţoale care au u rol foarte mportat î predarea matematc la clasele I IV, fd utlzate î specal de către elev care îtâmpă uele dfcultăţ î îvăţarea matematc. Î acest caz, calculatorul, softurle educaţoale ş jocurle ole au merea de a capta ateţa elevlor ş de a- motva ş îdruma î rezolvarea sarclor îtr-u mod gradat. U exemplu de soft de tp tutoral pe care l-am folost petru elev care îtâmpă dfcultăţ î îvăţarea matematc la clasele prmare este jocul Matematca teractvă. Programul cuprde ma multe jocur ( lecţ ) ş pe tot parcursul lecţe, elev sut ghdaţ de o voce preteoasă. Rezolvărle sut facle, alegerle realzâdu-se cu u smplu clck. Alegerle corecte sau cele corecte sut îsoţte de mesaje de îcurajare sau de felctare ( Bravo! A reuşt! ; A greşt! Ma îcearcă! ) U exemplu cocludet este jocul teractv Aduăr ş scăder fără trecer peste ord, clasa I. Acest joc solctă elevul să rezolve corect operaţle de pe drum petru a ajuge la castel. Î acelaş tmp elevul rezolvă oral exercţle de aduare ş scădere, dar utlzează ş calculatorul petru a completa răspusurle corecte. U alt joc educatv care se rezolvă cu ajutorul calculatorulu este Hadeţ să facem o faptă buă!. Acest joc î vtă pe elev clase a II-a să o ajute pe Scufţa Roşe să ajugă la casa bucuţe, fără să se îtâlească cu lupul. Petru asta trebue să rezolve corect toate exercţle. Elev vor alege răspusul corect petru rezultatul exercţlor sau petru termeul ecuoscut cu u sgur clck, avâd la dspozţe 3 varate. Pr acest joc elev cu dfcultăţ î îvăţarea matematc recaptulează cuoştţele dobâdte clasa I.

33 Hadeț să facem o faptă buă! Să o ajutăm pe Scufța Roşe să ajugă la casa bucuțe, fără să se îtâlească cu lupul! Petru asta, trebue să rezolvăm corect toate exercțle. Softurle de tp tutoral sut ma potrvte petru şcolar mc, î tmp ce softurle vestgatve sut recomadate ma ales elevlor ma mar. Avatajul utlzăr softurlor tutorale la elev mc este acela că îtregul demers este perceput ca u joc, actvtatea de îvăţare este foarte atractvă. Să e magăm cu câtă plăcere rezolvă elev de clasa I, de exemplu coloae îtreg de aduăr ş scăder pe caet sau la tablă, î comparaţe cu exersarea aduăr ş scăder pr termedul uu joc la calculator, cu o grafcă atractvă ş cu u prete care î îsoţeşte la fecare pas. Expereţa ddactcă m-a determat să ajug la cocluza că softul educaţoal matematc orgazat ş desfăşurat metodc cu ajutorul calculatorulu costtue u mjloc efcet de recuperare a elevlor rămaş î urmă la îvăţătură. SOFTURILE EDUCAŢIONALE MATEMATICE PENTRU ELEVII DOTAŢI Fd obect de bază î clasele prmare, matematca e ajută să descoperm elev dotaţ ş sârgucoş care lucrează cu plăcere petru a îregstra cât ma multe succese la îvăţătură. No, îvăţător, trebue să fm foarte receptv petru a- descoper pe aceşt elev ş a- ajuta să-ş dezvolte apttudle matematce. Atât petru elev dotaţ, dar ş petru ce care ş-au exprmat lber dorţa, am desfăşurat de-a lugul alor actvtăţ matematce î cabetul de formatcă, utlzâd ca demers ddactc dferte softur educaţoale ş jocur ole. U soft educaţoal pe care l-am folost petru îvăţarea matematc de către elev dotaţ este Naufragaţ pe Isula Calculelor. Softul educaţoal Naufragaţ pe Isula Calculelor a fost elaborat de o echpă de psholog, metodşt ş programator cu expereţă de la Facultatea de Pshologe ş Ştţe ale Educaţe a Uverstăţ "Babeş-Bolya" d Cluj-Napoca ş de la Asocaţa de Ştţe Cogtve d Româa. Acest soft se bazează pe cercetărle actuale d pshologa dezvoltăr, pe cele ma o teor despre îvăţare, pe facltăţle desgulu multmeda de îaltă caltate ş pe cosultăr

34 repetate cu îvăţător de mare prestgu. Softul realzează ceea ce u îvăţător expert face la clasă, petru a-ş ajuta elev să îveţe matematca. Programul elaborat accelerează îvăţarea ş cosoldarea operaţlor de aduare ş de scădere la elev d clasele I ş a II-a. Exercţle propuse respectă prevederle actualulu currculum şcolar, au u coţut varat ş atractv. Softul poate f utl ş elevlor d clasele prmare ma mar, îdeoseb celor d clasele a III-a, datortă complextăţ uora dtre exercţ. Rezolvarea exercţlor propuse î acest soft, bazate pe programa şcolară, cotrbue la îmbuătăţrea performaţe şcolare a elevlor care îl utlzează. D studle îtreprse s-au desprs o sere de cocluz teresate cu prvre la efceţa utlzăr software- ulu educaţoal, dtre care amtesc : ) Avatajele utlzăr calculatorulu î comparaţe cu alte metode ; 2) Reducerea tmpulu de studu ; 3) Attudea faţă de computer se modfcă poztv ; 4) Utlzarea computerelor este ma efcetă î predarea matematc, decât î domeul altor dscple ; 5) Î strurea asstată de calculator exersarea este efcetă î formarea deprderlor elemetare, î tmp ce sstemele tutorale sut ma efcete î formarea deprderlor telectuale de vel superor ; 6) Istrurea asstată de calculator este ma efcetă ca strure complemetară, decât ca formă alteratvă ; 7) Elev care îvaţă îcet ş ce rămaş î urmă câştgă ma mult decât elev foarte bu ; 8) Strategle bazate pe utlzarea calculatorulu sut ma efcete la velurle feroare. Calculatoarele î atrag pe elev, u uma pr faptul că repreztă u domeu ou, d acest puct de vedere, muca îvăţătorulu este uşurată. Î acelaş tmp, resposabltatea este mult ma crescută, petru că a u reuş să atrag elevul spre dscpla pe care o preda este ma puţ grav decât a-l perde udeva pe drum. Rolul îvăţătorulu este, aşadar, acela de a- face pe elev să u îş pardă teresul petru dscpla pe care o predă ş, ma mult, să î motveze, să îş lărgească sfera de cuoaştere î acest domeu.