3.5. Circuite de ordin mai mare decat doi Scrierea ecuatiilor metodei tabloului Un circuit dinamic de ordin n >2 are n >2 elemente dinamice (co

Transcriere

1 .5. rcte de ord ma mare decat do.5.. Screrea ecatlor metode tablol U crct damc de ord > are > elemete damce (codesatoare s/sa bobe). rctele care cot doa bobe lare sa elare cplate tre ele st eempl de astfel de crcte (fctoarea acestor bobe este stdata paragrafl..4.). I cazl care crctl cote bobe cplate tre ele se defesc rmatoarele matrce: - vectorl flrlor φ [ φ, φ,..., φ ] t - vectorl cretlor [,,..., ] - vectorl teslor [,,..., ] t - matrcea dctatelor t Aceste matrce st legate tre ele pr ecatle φ s φ. Ecat asemaatoare se pot scre s petr crctele care cot codesatoare: q s q c semfcatle coscte petr s, q fd vectorl sarclor s - matrcea capactatlor codesatoarelor. Observate rctl c doa bobe (lare sa elare) cplate este de ordl do. Deoarece cad bobele st cplate screrea ecatlor de stare forma ormala prespe calcle ma laboroase decat cazl bobelor ecplate, acest crct se stdaza cadrl acest paragraf. De eempl dport rezstv lar c reprezetarea cotrolata cret Re are coectate la port doa bobe lare cplate c ecata de fctoare φ ; acest caz forma ormala a ecate de stare este R e dec determarea elemetelor matrce de stare A - R prespe versarea e matrce s mltrea a doa matrce. I metoda teoremelor l Krcoff (tablol) petr crct c odr s l latr se cosdera rmator vector de cret, tes s potetale ale odrlor v, s v c v v l l s matrcea A de cdeta latr-odr. Teoremele l Krcoff da rmatoarele ecat: A s A v. Ecatle de legatra dtre s petr fecare elemet de crct separat se pot scre T 9

2 ( M M ) ( N N ) s de: - este operatorl de dervare d/dt t - s e s este vectorl parametrlor srselor depedete l - matrcele M, M, N, N st matrce l l care se costresc fcte de elemetele crctl. Fe crct lar c elemete varate tmp care fecare latra cote sgr elemet dpolar de crct sa corespde e port a mltport: - petr rezstor: M (,), M (,), N (,), N (,) R, U () s s ecata este R - petr codesator: M (,), M (,), N (,), N (,), U s () s - petr o boba: M (,), M (,), N (,), N (,), U s () s etc. Toate cele tre tpr de ecat (teorema, teorema Krcoff s ecatle de fctoare) se pot scre matrceal: A A t v M M N N s ceea ce reprezta ecatle metode tablol. Metoda tablol petr crcte elare prespe screrea rmatoarelor ecat A teorema I a l Krcoff t A v teorema a II a a l Krcoff (,,,, q, q, φ, φ, t) ecatle de legatra t re s I cazl codesator elar cotrolat tese ecata de legatra este c c de dqˆ( c ) atc cad q q( c ). Petr codesator cotrolat sarca ecatle de d c legatra st c q c s c c ( q c ). I cazl e bobe elare cotrolata cret ecata de 9

3 dφ ( legatra este de ), ar petr o boba corolata fl ecatle de d legatra st φ s ( φ ). Dec petr crct al car graf are latr s N odr metoda tablol codce la sstem de N- ecat scalare c N- ecoscte ( cret, tes s N- potetale ale odrlor). Ecatle metode tablol st ecat algebrce lare (care prov d teoremele l Krcoff s ecatle costttve ale elemetelor lare de crct), ecat dferetale (care cot trods de codesatoare s trods de bobe) lare s ecat algebrce elare (ecatle costttve ale elemetelor elare de crct). Fcta depde eplct de tmp atc cad amte srse depedete st varable tmp sa amt parametr a crctl st varat tmp..5.. Screrea ecatlor metode odale Screrea ecatlor metode odale (metoda potetalelor odrlor) petr crct elar costa : -screrea teoreme I a l Krcoff - odr c ecepta odl de referta petr care V avad drept ecoscte potetalele odrlor s cret d latrle c elemete ale caror caracterstc st cotrolate tese -screrea ecatlor de legatra dtre tese s cret petr fecare latra care cote elemete care st cotrolate tese; fecare elemet de acest tp trodce cel pt o varabla splmetara ( cret) s o ecate splmetara: -srsa deala de tese trodce ecoscta splmetara (cretl pr srsa) s ecata splmetara V j V et () k -rezstorl cotrolat cret trodce varabla splmetara R pr ecata R < R( R) - boba lara trodce pls varabla varabla s ecata Eempl -boba elara cotrolata fl trodce doa varable splmetare s φ pr ecatle ( φ) s φ -codesatorl cotrolat sarca trodce varablele splmetare s q pr ecatle c qsqc qc < ( c ) 94

4 V 4, V cost, V, ( V V )/ ( V V )/, 6 ( V V ) ( V V ), V 6 Ecata ( V V ) ( V V ) este ecesara deoarece a dtre borele srse deale de tese este coectata la odl de potetal l. Metoda odala are ma pte ecat decat metoda tablol ceea ce este avataj specal petr calcll maal. Rezolvarea ecatlor dferetale de catre operator ma este sa efceta ma petr crctele de ordl I, de esta o sgra ecate. Icepad c ordl II fe se determa (acolo de esta) o solte aaltca tlzad maplator smbolc (de eempl MAPE V) sa, car petr crctele lare, se foloseste o metoda merca (vez paragrafele.5.6 s.5.7)..5.. Screrea ecatlor de stare.5... rcte lare Se rmareste screrea ecatlor de stare forma ormala f (, t). Adcerea ecatlor la aceasta forma are doa avataje: -se pot stda ma sor propretatle caltatve ale crctl -se pot aplca amte metode merce petr aalza crctl, formlate petr rezolvarea sstem de ecat dferetale scrs aceasta forma. D pct de vedere al screr ecatlor de stare se dstg doa cazr: I. rctl satsface rmatoarele restrct: - esta c o bcla formata ma d srse de tese depedete sa comadate s/sa codesatoare - esta c o secte formata ma d srse de cret depedete sa comadate s/sa bobe. II. Restrctle d cazl I st satsfacte. I acest caz varablele de stare st depedete tre ele. De eempl, petr o bcla formata d codesatoare lare s srse deale de tese, 95

5 teorema a II-a a l Krcoff da e t ck ( ) ; petr o secte formata ma d bobe k lare s srse de cret, teorema I a l Krcoff da t k (). I cazl I marmle de Sk stare ( s ) st lar depedete tre ele. I cazl II ele marm de stare (marmle eces) pot f eplctate ca o fcte afa de celelalte marm de stare (marm depedete). Screrea ecatlor de stare se trateaza separat petr cazrle I s II. rcte fara marm de stare eces I acest caz, esta c o bcla formata ma d codesatoare s srse de tese s c o secte formata ma d bobe s srse de cret. Rezlta ca se poate costr arbore, mt arborele ormal, care cote toate srsele de tese s toate codesatoarele, ar toate srsele de cret s toate bobele apart coarborel corespzator. rctl poate f reprezetat ca mltport care cote rezstoare dpolare s mltpolare s srse depedete la portle cara st coectate elemetele damce. oform teoreme sbsttte se loceste fecare codesator c o srsa de tese s fecare boba c o srsa de cret. Se fac rmatoarele otat e p p eα, y s µ p s ( vectorl p s α s µ srselor depedete) 96

6 Daca acest mltport are o solte ca petr orce valor ale parametrlor srselor coectate la port, atc coform teoreme sperpozte y µ elemete costate. k k s de k s k st matrce c Notad dag (,..., p, p,..., ) rezlta y s y dec ( k k ) µ s. Aceasta relate se poate scre sb forma A Bµ s de A se meste matrcea de stare a crctl. Eempl. Sa se scre ecatle de stare forma ormala petr crctl Arborele ormal este format d latrle care se afla elemetele: E,, R, R5. oarborele ormal este format d latrle care se afla, 4, s. Mltportl rezstv la borele cara st coectate srsa de tese care sbstte pe s srsele de crret care sbstte pe s 4 este: Notam 4, y 4 Petr a determa elemetele matrce k, srsele depedete d terorl mtportl rezstv se pasvzeaza. Petr a determa prma coloaa a matrce k se pasvzeaza s srsele de cret s 4. Rezlta: 97

7 4 Petr a determa a doa coloaa a matrce k se pasvzeaza srsa de tese s srsa de cret 4. Rezlta: 4 Petr a determa a trea coloaa a matrce k se pasvzeaza srsa de tese s srsa de cret. Rezlta: 4 Elemetele matrce k rezlta pasvzad toate srsele de la port. Petr prma coloaa d k se pasvzeaza srsa s ar petr a doa se pasvzeaza srsa E. 4 4 Dec 98

8 Dar ( ) 6, dag s y dec B A Observat ) Screrea ecatlor de stare de catre operator ma mplca de regla calcle laboroase car petr crct de ordl II. D acest motv, aceste operat st efectate c programe de calcl. rcte c marm de stare eces I acest caz esta cel pt o bcla formata ma d codesatoare s srse de tese sa o secte formata ma d bobe s srse de cret. Rezlta ca vom avea cel pt codesator care poate f plasat arbore sa o boba care poate f plasata coarbore. Arborele ormal cote dec toate srsele de tese s mar cat se poate de mare de codesatoare ale caror tes st marm de stare depedete. elelalte codesatoare vor f cotte coarborele ormal s tesle acestora st marm de stare eces. oarborele ormal cote toate srsele de cret s mar cat ma mare de bobe a caror cret st marm de stare depedete. elelalte bobe st cotte arbore s cret acestora st marm de stare eces. osderam crctl ca mltport rezstv c elemetele damce coectate la port. oform teoreme sbsttte se locesc codesatoarele s bobele d arbore c srse de tese s codesatoarele s bobele s codesatoarele d coarbore c srse de cret. Rezlta crctl

9 care petr smpltate s-a reprezetat ma cate o sgra srsa petr fecare categore de elemet (codesatoare d arbore, bobe d arbore, bobe d coarbore, codesatoare d coarbore). Al dolea dce al marmlor reprezta arborele (a) sa coarborele (c). Se oteaza a c a c, *, y, y*. c a c a rctl rezstv fd lar, coform teoreme sperpozte rezlta: y k k µ s k * de k, k s k st matrce c parametr costat. y Ecatle de fctoare ale elemetelor damce se pot scre: y de dag [toate capactatle d arbore, toate dctvtatle d coarbore] y* * * de * dag [toate capactatle d coarbore, toate dctvtatle d arbore] Marmle de stare eces se pot eprma, c ajtorl teoremelor l Krcoff, fcte de marmle de stare depedete s parametr or srse depedete: Rezlta * 4 y * * k k µ Dar y [ k k µ k ( k * µ )] Ultma relate se poate scre sb forma: s s s s * k A Bµ B * µ de A este matrcea de stare a crctl. s µ * k k4 s. Eempl Fe crctl d fgra petr care esta bcla formata d,4 s E. Se cosdera 4 marme de stare eces. Mltportl rezstv care se sbstte c o srsa de tese, 4 se sbstte c o srsa de cret s se sbstte c o srsa de cret este:

10 Notam y * 4 [ ] y* [ ] Petr a calcla matrcea k se pasvzeaza srsele depedete s srsa 4. Apo pasvzam pe rad srsele s. Rezlta 4 k Petr a determa pe k se pasvzeaza srsele depedete, srsa s srsa. Rezlta:

11 k k se determa pasvzad srsele, s 4 s apo pe rad srsa 5 s srsa E. Rezlta: Ecatle de fctoare ale s st: k 6 ar ecata de fctoare a 4 este D teorema a II-a a l Krcoff rezlta 4 s t s tlzad rezlta 4 8 cost. Rezlta s t 6 ( 8 cost) sa c otata γ,

12 6 6 s t 8 γ γ 6 6 B 6 cost A Observat ) spre deosebre de cazl I, ecata de stare forma ormala apar s dervatele ) ) raport c tmpl µ s ale parametrlor srselor depedete; s-a presps, petr smpltate, ca srsele comadate lar tra bclele de codesatoare s sectle de bobe; daca avem tots o astfel de srsa, marmea de comada a acestea se poate eprma ca o combate lara a teslor ramrlor sa a cretlor coardelor s fal se ajge la aceeas forma a ecate de stare; Petr screrea ecatlor de stare forma ormala se poate tlza o matrce brda H a mltportl rezstv pasvzat, de y y * * [ H ] kµ s s jk raspsl la poarta j ectata la poarta k srsele depedete d N s ectatle la toate portle k st pasvzate Determarea elemetelor matrce H mplca elmarea or varable d ecatle mltportl rezstv s eplctarea marmlor y s y *. Aceste operat cld rezolvarea or ssteme de ecat lare ale caror solt pot f afectate de eror rcte elare rcte fara marm de stare eces Se tlzeaza teorema sbsttte smlar c cazl crctelor lare. Daca mltportl rezstv are o solte s ma a petr orce valor ale parametrlor srselor coectate la port atc esta fctle:

13 p f (,..., p f p (,..., f p, s p, (,..., p p f (,..., p, s p p,...,,...,, s p s p s,..., ) s ),..., s ) s ) Vom cosdera doa cazr: -toate codesatoarele st cotrolate tese avad ecatle de fctoare dq< c k orce pct al caracterstc, k k k k d k -toate bobele st cotrolate cret avad ecatle de fctoare dϕˆ k k k k c k orce pct al caracterstc. d k I acest caz se oteaza: dag,..., p, p,..., s dec y s y s ecatle de stare st date de f (, µ s). -toate codesatoarele st cotrolate sarca -toate bobele st cotrolate fl otata: [ q,...,, ϕ,..., ϕ ] q p p caracterstcle elemetelor damce st date de g( ) s dec y respectv f( g( ), µ s ). Ecatle de stare st acest caz (, µ s ). rcte c marm de stare eces Arborele ormal se cosdera la fel ca cazl crctelor lare c marm de stare eces. Aplcad teorema sbsttte smlar c cazl crctelor lare c marm de stare eces rezlta crctl 4

14 Daca acest crct are o solte s ma a petr orce valor ale parametrlor srselor depedete de la port atc se poate scre y g, y*, µ ). ( s I cotare vom trata cazl care toate codesatoarele st cotrolate tese s toate boble st cotrolate cret. Se poate scre y s y* * * de dag [ capactatle damce ale codesatoarelor d arbore, dctvtatle damce ale bobelor d * coarbore] s dag [ capactatle damce ale codesatoarelor d coarbore, dctvtatle damce ale bobelor d arbore].. ajtorl teoremelor l Krcoff se eprma marmle de stare eces fcte de cele depedete s parametr or srse depedete * k k µ s * 4 y * * k k µ s Rezlta: [ (, *, )] (, ) 4 y g y µ s f µ s. azl care toate codesatoarele st cotrolate sarca s toate bobele st cotrolate fl se trateaza la fel ca petr crctele fara marm de stare eces. Observat ) Screrea ecatlor de stare mplca elmarea or varable d ecatle mltportl rezstv s eplctarea marmlor y s y *. Aceste operat cld rezolvarea or ssteme de ecat algebrce elare ale caror solt pot f afectate de eror.5.4. Esteta s ctatea soltlor Itrodcere Esteta s ctatea solte crct damc este legata de esteta ecate de stare forma ormala. Daca ecata f(, t) esta atc lteratra matematca se arata ca: daca f este psctzaa (petr orce s s orce t f (, t) f (, t) k de k> s s este orma ecldaa) s daca fcta f(,t) este form margta, atc ecata de stare are o solte ca petr orce stare tala forme ormale a ecate de stare este legata de : ( t ). D paragrafl.5. rezlta ca esteta esteta s ctatea soltee mltportl rezstv petr orce valor ale parametrlor srselor (care locesc elemetele damce) coectate la port, * esteta matrcelor s dec esteta or capactate s dctvtat damce ele petr orce valor ale parametrlor de cotrol a acestor elemete. aracterl psctza al fcte f poate f deds d caracterl psctza al ecatlor costttve ale elemetelor de crct. D acest motv teora crctelor tereseaza codt de 5

15 esteta s ctate eprmate fcte de ecatle costttve ale elemetelor de crct s de modl de tercoectare a acestor elemete rcte lare I acest caz elemetele damce st lare dec esta s *. Daca mltportl rezstv d captoll.5.. are o solte s ma a petr orce valor ale parametrlor srselor depedete coectate la port, atc esta ecata de stare forma ormala A Bµ B * µ sa f (, t). s s Se poate arata ca acest caz f (, t) este psctzaa: f (, t) f ( t) A( ) deoarece esta totdeaa o costata k astfel cat A( ) k. Daca f (, t) este form margta atc crctl are o solte ca petr orce stare tala t ). ( rcte elare Se cosdera ma cazl crctelor fara marm de stare eces. Atc cad avem marm de stare eces problema se trateaza smlar. Daca caracterstcle elemetelor damce st strct crescatoare s dervable atc acestea a parametr damc ( d sa d ) el orce pct de fctoare, dec esta Daca rezstoarele st strct crescatoare s mltportl rezstv are bcle formate ma d srse de tese s sect formate ma d srse de cret, atc acest mltport rezstv are o solte ca. Rezlta ca esta ecatle de stare forma ormala f (, t). Petr ca crctl damc sa aba o solte ca petr orce stare tala t ) este sffcet ca f sa fe psctzaa. Am jstfcat dec: Teorema I U crct fara marm de stare eces avad: elemete damce c caracterstc strct crescatoare s dervable (. elemete resstve c caracterstc strct crescatoare astfel cat f (, t) de f este psctzaa are o solte s ma a petr orce stare tala t ). aracterl psctza este sa destl de restrctv. De eempl daca ( f (, t) s( t) atc f ( s esta k astfel cat, t) f (, t) 6

16 k petr orce s. Rezlta ca rezstoarele c elartat polomale pot codce la fct f care st psctzee. Se poate demostra ca crct c elemete damce s rezstve c caracterstc strct crescatoare are o solte ca des f poate sa fe psctzaa. Teorema II Fe crt c elemete damce c caracterstc strct crescatoare s dervable. Daca toate rezstoarele st strct crescatoare s mltportl rezstv are o solte s ma a, atc crctl damc are o solte s ma a petr orce stare tala t ). Stm d paragrafl.4.. ca rezstoarele c caracterstc emootoe favorzeaza aparta or solt mltple ale crctl rezstv. Prezeta acestor rezstoare poate codce la esteta ecate de stare forma ormala. Fe crctl de ordl ta d fgra a de rezstorl elar are caracterstca g() d fgra b. Deoarece rezlta ca petr > scade ar petr < creste dec ( a b parcrsrle damce posble st cele dcate fgra b. Acest crct are solte deoarece plecad d orce stare tala se ajge tr- pct de mpas (vez paragrafl.4.6.) Q sa Q d care solta ma poate evola. Acest crct are ecate de stare forma ormala deoarece fcta g ( de g ( )) esta, dec ecata sb forma g ( ) se poate scre. Itr-adevar daca se loceste boba c o srsa de cret mltportl rezstv are solte ca petr orce deoarece rezstorl elar este cotrolat crret c (, ). Se cosdera crct R care partea rezstva formeaza mltport la portle cara st coectate elemetele damce. otatle d paragrafl.5.. cazl se poate formla rmatoarea teorema. 7

17 Teorema III Daca tr- crct R st deplte codtle: ) esta bcle (sect) formate d codesatoare (bobe) s/sa srse depedete de tese (cret) ) orce rezstor cotrolat tese care este cotrolat s cret este coectat paralel c codesator ) orce rezstor cotrolat cret care este cotrolat s tese este coectat sere c o boba v) orce rezstor care satsface codtle ) s ) este strct crescator s are pata d caracterstc cadrata astfel < µ < < µ < d v) orce codesator are o caracterstca cotrolata sarca v) orce boba are o caracterstca cotrolata fl atc esta ecatle de stare ale crctl f( g( ), µ ) ar crctl are cel pt o solte. Observat ) I eempll precedet daca se trodce codesator paralel c rezstorl elar, atc mltportl rezstv are o solte s ma a petr orce s. ) Asemaator se trateaza cazl crct format dtr- codesator parallel c resstor elar care este cotrolat tese. I acest caz se adaga boba sere c rezstorl s mltportl rezstv are o solte s ma a petr orce s. 8

18 .5.5. Rezolvarea merca Se rmareste rezolvarea sstem de ecat de stare scrse forma ormala f(, t). ar s petr crctele lare ale caror ecat a solte aaltca, se prefera tlzarea metodelor merce. Aceasta preferta este motvata astfel: ) car petr crct de ordl do calclele aaltce st destl de complcate petr a f efectate efcet de operator ma. ) determarea atomata a soltlor aaltce ecesta efort de cacl cosderabl, calclatoarele fd proectate petr a opera c cfre s c smbolr; acest scop se pot folos programe specalzate (maplatoarele smbolce ca MAPE V) care efecteaza calcle aaltce Orce metoda merca poreste de la codta tala t ( ) s determa pe rad t ( ), t ( ),..., de este pasl de tmp. relatle: Notam t ( ). ele ma smple metode de tegrare merca st defte de k k f( ) - metoda Eler eplcta(i) k k k f k ( k k ) - metoda Eler mplcta(ii) f k f k k [ ( ) ( k )] - metoda trapezl (III) osderad ca k cele tre metode dfera pr modl de calcl al dervate: k t ( ) t ( ) ( t ) k k k ( I) t ( ) t ( ) ( t ) k k k ( II ) t ( ) t ( ) (( tk ) t ( )) ( III ) k k k 9

19 Se observa sor ca metoda I, care t ( ) k se determa fcte de t ( ), este o metoda k eplcta, tmp,ce metodele II s III st metode mplcte. Soltle obtte pr tegrare merca fd apromatve se calcleaza erorle trodse la fecare pas (eroarea locala s eroarea globala a metode). De eempl, petr ecata λ λ t a care solte aaltca este t () ( ) e se calcleaza: - eroarea locala la t t eact t apro t λ ε ( ) ( ) ( e ) (de eact ( t ) a fost calclat plecad de la t ( ) calclat apromatv) - eroarea totala la t t este t e t ε ( λ ) (de eact ( t ) a fost calclat plecad de la ( ) dat tal). I fgra se prezta soltle eacta s apromatva petr ecata λ. O metoda merca de tegrare petr care eroarea totala descreste o data c cresterea tmpl este o metoda stabla. O metoda care are aceasta propretate este merc stabla, car daca eroarea locala este mca s descreste tmp. I eempll de ma ss petr metoda Eler eplcta care ( λ ) ( λ) ( λ) ( λ ) este clar ca daca λ > atc petr s dec petr pas mar de tmp metoda este stabla. Petr ca metoda sa fe stabla trebe ca λ < s dec < λ. Petr metoda Eler mplcta c ( λ ) λ λ s metoda trapezl c

20 se vede ca petr avem s dec metodele st stable, dferet de marmea a pasl de tmp. a o metoda stabla marmea pasl de tmp este lmtata ma de eroarea locala mpsa care depde de problema stdata. a metoda Eler eplcta ε e k. ε e k petr metoda Eler mplcta, ε e k petr metoda trapezl. Pasl fd lmtat s de λ ma se poate tampla ca lcrad c valor foarte mc ale l marl mare de pas ecesar petr determarea solte sa dca la tmp de calcl ejstfcat de mare. I cazl e metode eplcte, dpa alegerea pasl de tmp, se poreste de la codta tala t ( ) s se calcleaza t ( ), t ( ),... acoperd tot tervall de tmp care prezta teres. I cazl e metode mplcte la fecare pas se fac ma mlte terat. a prma terate se foloseste o metoda eplcta s se obte predctorl ( ) f ( ). Valoarea k k k obtta petr predctor se trodce membrl drept al ecate metode mplcte obtad-se o oa valoare a l () ( membrl stag) care la terata rmatoare se trodce d o k membrl drept s se obte ( ) s.a.m.d. paa ce ( N ) ( N) k k k < ε mps. Valorle (), (),... se mesc corector. k k Petr crcte c valor propr care dfera tre ele c cateva orde de marme ( stff ) metodele merce prezetate ma ate da rezltate corecte. I acest caz se folosesc metode specale de tp Gear. Relatle care defesc metodele Gear de ordl -6 st: 4 k k k [ f ( k, k t )] - metoda Gear de ordl k k k k [ f ( k, k t )] - metoda Gear de ordl k k k k k [ f ( k, k )] t - metoda Gear de ordl k k k k k k 4 [ f ( k, k ) ] t metoda Gear de ordl k k k k k k 4 k 5 [ f ( k, k t )] metoda Gear de ordl 6.

21 .5.6. Modelele compao Metodele merce descrse paragrafl ateror ecesta screrea ecatlor de stare forma ormala f (, t). Screrea ecatlor crctl aceasta forma ecesta elmarea or varable s eplctarea altora plecad de la ecatle crctl. Aceste operat mplca rezolvarea merca a or ssteme de ecat algebrce lare sa elare, operate al car rezltat poate f afectat de eror semfcatve s mplca amt efort de calcl. Acest procede de a tegra ecatle crctl se smplfca pr locrea elemetelor damce c modele resstve mte modele compao. Procedad astfel se determa raspsl rezolvad crct rezstv lar sa elar la fecare pas de tmp. Modelele compao petr codesator sa o boba lara derva d metoda merca de tegrare tlzata paragrafl.5.6. Metoda Eler mplcta foloseste relata de este varabla de stare. Dec petr codesator s boba se pot scre relatle d tabell de ma jos. Acestor relat le corespd scemele ecvalete care reprezta modelele compao ale codesatorl s bobe prezetate acelas tabel. odesator Boba Aceste modele cot: resstor lar c rezsteta depzad de parametrl elemetl dyamc d de pasl de tmp o srsa depedeta al car parametr depde de valoarea varable de stare la mometl ateror

22 Metoda trapezl foloseste relata [ ] odesator, Boba, Metoda Gear de ordal do foloseste relata 4. Utlzad aceasta relate petr codesator s boba mprea c ecatle de fctoare la mometele de tmp -, s rezlta: s 4 Modelele compao assocate c metoda Gear de ordal do st: odesator Bob a

23 Toate modelele compao prezetate cot cate o rezsteta costata petr pas de tmp ales, paralel c cate o srsa de cret comadata de tesea codesatorl sa cretl bobe la mometl de tmp ateror. Petr pas de tmp dat, plecad de la starea tala data a elemetelor damce, se calcleaza raspsl crctl la mometl t tlzad o metoda de tegrare merca de ordl I. I acest fel aalza crct damc lar poate f facta pr rezolvarea crct rezstv lar la fecare pas de tmp. Acest crct cote modelele compao ale elemetelor damce, rezstoare lare dpolare s mltpolare s srse depedete. Icepad c mometl t se poate tlza o metoda de ordl II (ca metoda trapezl sa metoda Gear de ordl II). Daca pasl de tmp se modfca, crctl rezstv se modfca ma srsele depedete, valorle rezstetelor ramaad aceleas. Daca pasl de tmp se modfca valorle rezstetelor trebe recalclate. Modelele compao petr elemetele damce elare se costresc asemaator c modelele elemetelor lare. I cotare vom determa parametr acestor modele petr codesatorl elar s boba elara cazl tlzar metode Eler mplcte. Modelele corespzatoare celorlalte metode de tegrare merca se determa mod asemaator. ˆ( q) dˆ dq odesator q q dˆ dq dˆ dq ( ) f ˆ( ϕ) dˆ dϕ ϕ Boba ϕ dˆ dϕ dˆ d ϕ ( ) f 4

24 q qˆ( ) q q q q q( ) qˆ f ( ) ( ) ϕ ϕˆ ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ qˆ ( ) ϕˆ f ( ) ( ) rctl rezstv care se rezolva la fecare pas de tmp este acest caz elar, car daca rezstoarele d crct st lare. Acest crct se rezolva prtr-o metoda teratva, de obce metoda Newto-Rapso. Observat ) Modelele compao ale elemetelor damce lare pot f costrte s c srse de tese (se poate trasforma srsa reala de cret srsa de tese). S-a preferat cele c srsa de cret care st adecvate metode potetalelor odrlor (vez paragrafl.5..). ) Modelele compao ale elemetelor elare a fost costrte astfel cat srsa sa reprezte eclsv fleta valorlor de la mometl ateror. O evetala trasformare a srse ar face-o sa deva d srsa depedeta o srsa comadata elar lcr care complca aalza crctl rezstv. ) Itegrarea ecatlor crctl se face de regla c pasl varabl (vez paragrafl.5.5.). Pe masra ce scade, rezsteta R d modell codesatorl scade ar rezsteta R d modell bobe creste. ( R R la metoda Eler mplcta). Fe crct dervate c µ H s pf, avad frecveta de rezoata de 8,6 Hz corespzatoare e peroade de 6,s. osderad o forma de da c T scmbar abrpte prespem ca tal se a 6, s ar aceasta valoare ar ptea scadea de de or la 6, s. I ltml caz 4 crctl are paralel doa rezstoare ale caror rezstete st dferte c sapte orde de marme. U astfel de crct poate f rezolvat corect calclad c precze smpla R R 7 dec 5

25 (6 cfre semfcatve). I amte cazr car calclele precze dbla (5 cfre semfcatve) pot sa codca la rezltate corecte rcte care fctoeaza la semale mc U elemet elar de crct fctoeaza la semale mc atc cad ecrsa pctl de fctoare este ecvaleta c deplasarea l pe tageta la caracterstca pctl statc de fctoare. U elemet elar c caracterstca lara pe port, fctoeaza la semale mc atc cad pctl de fctoare se deplaseaza pe o sgra porte lara. Daca toate elemetele crct elar deplesc aceasta codte se spe ca crctl fctoeaza la semale mc. Fe ecatle metode tablol petr crct elar: A T U A V (,,,, φφ,, qqt,, ) Prespem ca crctl cote srse c parametr costat tmp (de cret cot) s srse c parametr varabl tmp. I aceasta state solta acest sstem se poate scre ca sma a do terme: I q ~ (), t U q t ~ (), v V q v ~ (), t q Q q q ~ (), t φ Φ q ~ ϕ () t Prml terme ( I q, U q, V q, Q q, Φ q ) are o valoare costata s corespde pctl statc de fctoare (p.s.f.) care este solta ssteml de ecat al crctl care srsele c parametr varabl tmp st pasvzate, bobele st locte c rezstete le s codesatoarele st locte c rezstete fte. Al dolea terme ( ~, ~, v ~, q ~, ~ φ ) este varabl tmp s verfca ecatle A ~ s U ~ A T V ~ ; aceste marm reprezta de fapt devat mc jrl p.s.f. I q, U q, V q, Q q, Φ q. Dezvoltad sere Taylor jrl p.s.f. ecata costttva a fecar elemet elar s ~ retad ma termel de ordl I rezlta ca, ~, v~, q~, ϕ ~ verfca ste ecat lare care locesc ecata ( ). Ecata costttva f( ) a rezstor cotrolat tese deve: t () Iq f ( Uq ) f '( U) Uq ~... 6

26 Notad codctata damca p.s.f. c G dq f '( ) s deoarece Uq Iq f( Uq )rezlta o depedeta lara tre ~ () t s ~ (): t ~ () t Gdq t ~ (). Dec modell de semal mc al rezstorl elar cotrolat tese este resstor lar c codctata G dq. Petr rezstor cotrolat cret rezlta t ~ () Rdq ~ () t de R dq este rezsteta damca p.s.f. Prtr- ratoamet smlar rezlta ecatle lare petr: - srsele comadate elar f ( ) ~ G dq ~ f ( ) ~ β ~ dq f ( ) ~ α dq ~ f ( ) ~ R dq ~ - boba cotrolata cret ~ df φ f () ~ dq c dq q s ~ ~ Φ φ d - boba cotrolata fl df f ( ) ~ ~ φ Γ dq φ c Γ dq q dφ - codesatorl cotrolat tese df q f ( ) q~ dq ~ c dq d q s q~ dq ~ - codesatorl cotrolat sarca df f ( q) ~ S dq q~ c S dq dq Q Pr locrea fecar elemet elar de crct c modell corespzator de semal mc se obte crctl ecvalet la semale mc care este crct lar. Algortml de aalza al crct care fctoeaza la semale mc este: ) Se determa pctl statc de fctoare pr aalza crctl care toate srsele c parametr varabl tmp st pasvzate, bobele st locte c rezstete le s codesatoarele st locte c rezstete fte ) Se calcleaza parametr crctl ecvalet de semal mc ( R, G,, Γ,, S, α, β ) petr fecare elemet elar dq dq dq dq dq dq dq dq 7

27 ) Se face aalza crctl ecvalet de semal mc care cote ma srsele depedete varable tmp (srsele de cret cot fd pasvzate) 4) Se face verfcarea rezltatelor testad ce masra apromarea de semal mc este corecta petr fecare elemet elar de crct (daca ecrsa pctl de fctoare pe caracterstca elara poate f apromata c ecrsa pe tageta p.s.f.). Daca petr sgr elemet de crct aceasta apromare este valabla, rezltatl aalze pe modell de semale mc este corect. 8