Barbir Iosif, clasa a X-a C Referat Matematica Indrumator, prof. Oanea Calin
|
|
- Pompiliu Pușcașu
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Barbir Iosif, clasa a X-a C Referat Matematica Indrumator, prof. Oanea Calin
2 Logaritmi.DefiniŃia logaritmului unui număr pozitiv Fie a>0 un număr real pozitiv,a.considerăm ecuańia exponenńială a x =N,N>0 () EcuaŃia () are o soluńie care este unic determinată.această soluńie se notează X=log a N () şi se numeşte logaritmul numărului pozitiv baza a. Din () şi () obńinem egalitatea a log a N =N () care ne arată că logaritmul unui număr real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicată baza a (a>0,a )pentru a obńine numărul dat Dacă in () facem x=,obńinem a =a şi deci log a a= (4) Exemple ) Să se calculeze log. Cum 5 =,atunci din definińia logaritmului avem log =5. ) Să se determine log. 6 Din egalitatea -4 = 6,obŃinem log 6 =-4. )Să să determine log / 7. Să considerăm ecuańia exponenńială x =7.Cum - = -=7,obŃinem x=- şi deci log / 7=-. 4)Să se determine log Cum 4 4 =56,atunci din definińia logaritmului obńinem log 4 56=4. ObservaŃii.În practică se folosesc logaritmii în bază zece care se mai numesc şi logaritmi zecimali.aceştia se notează cu lg în loc de log 0 ;de aceea nu mai este nevoie să se specifice baza.astfel,vom scrie lg06 în loc de log 0 06 şi lg5 în loc de log 0 5 etc..în matematica superioară apar foarte des logaritmi care au ca bază numărul irańional,notat cu e,e=,78888.folosirea acestor logaritmi permite simplificarea multor formule matematice.logaritmii în baza e apar în rezolvarea unor probleme de fizică şi intră în mod natural în descrierea matematică a unor procese chimice,biologice.de aceea aceşti logaritmi se numesc naturali.logaritmul natural al numărului a se notează lna..funcńia logaritmică
3 Fie a>0,a un număr real.la punctul am definit nońiunea de logaritm în baza a; fiecărui număr pozitiv N i s-a asociat un număr real bine determinat.acest lucru ne permite să definim o funcńie f:(0,+ ) R,f(x)=log a x numită funcńie logaritmică. ProprietăŃile funcńiei logaritmice:.f()=0. Cum a 0 = rezultă că log a =0 şi deci f()=0..funcńia logaritmică este monotonă.dacă a>,atunci funcńia logaritmică este strict crescătoare,iar dacă 0<a<,funcŃia logaritmică este strict descrescătoare. Să considerăm cazul a> şi fie x,x (0,+ ) astfel încât x <x.cum x =a log a x şi X =a log a x,rezultă că a log a x <a log a x. Dar funcńia exponenńială fiind crescătoare obńinem că log a x <log a x,adică f(x )<f(x ). În cazul 0<a<,din inegalitatea a log a x <a log a x şi din faptul că funcńia exponenńială cu baza un număr real 0<a< este strict descrescătoare,rezultă că log a x >log a x,adică f(x )>f(x )..FuncŃia logaritmică este bijectivă Dacă x,x (0,+ ) astfel încât f(x )=f(x ),atunci din log a x =log a x.dar din egalitatea () de la punctul obńinem x =a log a x şi x =a log a x,adică x =x.deci f este o funcńie injectivă. Fie y R un număr real oarecare.notăm cu x=a y.se vede că x ( 0, + ) şi log a x=log a a y =y Deci f(x)=y,ceea ce ne arată că f este şi surjectivă.aşadar,f este bijectivă. 4.Inversa funcńiei logaritmice este funcńia exponenńială FuncŃia logaritmică f:( 0, + ) R,f(x)=log a x,fiind bijectivă,este inversabilă.inversa ei este funcńia exponenńială g R ( 0, + ),g(x)=a x. Într-adevăr,dacă x ( 0, + ) avem (gοf)(x)=g(f(x))=g(log a x)=a log a x =x şi dacă y R,atunci atunci (fοg)( y) = f ( g( y)) = f ( a y )=log a a y =y. )ProprietăŃile logaritmilor Folosind proprietăńile puterilor cu exponenńi reali obńinem următoarele proprietăńi pentru logaritmi: a.dacă A şi B sunt două numere pozitive,atunci log a (AB)=log a A+log a B (logaritmul produsului a două numere este egal cu suma logaritmilor celor două numere). Într-adevăr,dacă log a A=x şi log a B=y,atunci a x =A şi a y =B.Cum a x+y =a x a y,obńinem A x+y =A*B şi deci log a (AB)=x+y=log a A+log a B. ObservaŃie. Proprietatea se poate da pentru n numere pozitive A,A,...,A n adică Log a (A A A n )=log a A +log a A +log a A + +log a A n. b.dacă A şi B sunt două numere pozitive,atunci A log a = log aa-log a B B
4 (logaritmul câtului a două numere este egal cu diferenńa dintre logaritmul numărătorului şi cel al numitorului). Într-adevăr,Ńinând cont de proprietatea a.,avem log a A=log a A * B B log A = a B +loga B, A de unde rezultă că log a =log a A-log a B. B ObservaŃie. Dacă punem A= şi Ńinem cont că log a =0,obŃinem egalitatea: log a B =-loga B c.dacă A este un număr pozitiv şi m un număr real arbitrar,atunci log a A m =mlog a A (logaritmul puterii unui număr este egal cu produsul dintre exponentul puterii şi logaritmul numărului). Într-adevăr,dacă log a A=x,atunci a x =A.Dar atunci A m =(a x ) m =a mx şi deci log a A m =mx= =mlog a A. d.dacă A este un număr pozitiv şi n un număr natural(n ),atunci log n a A =log a A/n (logaritmul puterii unui număr este egal cu produsul dintre exponentul puterii şi logaritmul numărului). Într-adevar, proprieatea d este un caz particular al proprietăńii c,punând m= n. Exemple )Să se calculeze log 75. Log 75=Log (*5)=Log +Log 5=+Log 5 =+Log 5. )Să se determine log 000-log Avem log 00-log 5=log =log 8=log =. 5 )Să se calculeze lg0,8-lg80. 0,8 Avem lg0,8-lg80=lg =lg =lg0 - = )Să se calculeze log 6 8 +log6. Avem log 6 8 +log6 =-log6 8-log 6 =-(log 6 8+log 6 )=-log 6 (8*)=-log 6 6 =-. 5)Să se calculeze log 5 8.Avem log 5 8 = 5 log 8= 5 log 4 = 5 4 log. 6)Să se calculeze log 4 8.Avem log 4 8 = 4 log 8= 4 log = 4 log = 4. 4.Schimbarea bazei logaritmului aceluiaşi număr Dacă a şi b sunt două numere pozitive diferite de,iar A un număr pozitiv oarecare,are loc egalitatea:
5 Log a A=Log b A*Log a b Într-adevăr,dacă Log a A=x şi Log b A=y,atunci avem a x =A şi b y =A,de unde obńinem a x =b y.dar atunci Log a a x =Log a b y sau xlog a a=ylog a b. Cum Log a a=,avem x=ylog a b,adică Log a A=Log b A*Log a b. ObservaŃie. Dacă în egalitatea de mai sus A=a,obŃinem Log a a=log b a*log a b.cum Log a a=,rezultă că: Log a b= log b a Exemple )Să se scrie log x în funcńie de log 4 x. Avem log x=log 4 x*log 4=log 4 x. )Să se arate că log 6+log 6 >. Avem log 6+log 6 =log 6+. log 6 Deci trebuie să arătăm că log 6+ > sau (log 6) -log 6+>0,sau încă (log 6-) >0 log 6 inegalitate evidentă deoarece log 6. 5)OperaŃia de logaritmare a unei expresii Să considerăm expresia: 7 * 4 E= * 98 * Vom logaritma expresia într-o anumită bază convenabilă a.folosind proprietăńile logaritmilor,obńinem: 4 log a E =log a ( 7 9) -log 5 a 7 * 98* =log a 7 +log 4 a +log log (7 * 98 * ) a 9 - a = 5 =log a 7+ 4 loga + loga 9-5 loga 7-5 loga 98-5 loga. Deci am obńinut egalitatea: Log a E=log a 7+ 4 loga + loga 9-5 loga 7-5 loga 98-5 loga. În general,dacă E este o expresie algebrică în care apar produse de puteri şi radicali, putem să-i asociem,exact ca în exemplu de mai sus,o expresie,notată log E,in care apar sume (diferenńe) de logaritmi înmulńite eventual cu anumite numere rańionale.operańia prin care expresiei E i se asociază expresia log E se numeşte operańie de logaritmare. Exemple ) Fie E=a 7 ab 6.Prin operańia de logaritmare,obńinem:
6 loc c E=log c (a 7 ab 6 6 )=log c a 7 6 +log c ab =log c a+ logc a+ logc b. 7 7 a )Fie E= 4 5.Prin operańia de logaritmare,obńinem: b log c E =log c 4 a 5 = logc 4 5 b a = (logc a -log c b 5 )= b 4 5 logc a- logc b. 4 4 Adesea în calcule este nevoie să se facă şi operańia inversă,adică unei expresii în care intervin logaritmi să-i asociem o expresie fără logaritmi. De exemplu,să considerăm expresia log c E=log c a- logc b-log c. Folosind proprietăńiile logaritmilor,avem: b * Log c E=log c a -log c b -log c =log c a E=. 7 b a a =log c 7 b,de unde obńinem că EcuaŃii şi inecuańii logaritmice )EcuaŃiile logaritmice sunt ecuańii în care expresiile ce conńin necunoscute apar ca bază sau ca argument al unor logaritmi. De exemplu:log x+ (x+)=;lg(x +x-)=;log x (5x +)=lg(x+)-. Folosind injectivitatea funcńiei exponenńiale,avem că rezolvarea unei ecuańii de tipul log g(x) f(x)=b este echivalentă cu rezolvarea ecuańiei f(x)=g(x) b.vom avea însă grijă ca soluńiile obńinute să satisfacă f(x)>0,g(x)>0,g(x), pentru care expresia log g(x) f(x) are sens. La fel ca la ecuańiile exponenńiale,în practică atunci când avem de rezolvat o ecuańie logaritmică,vom proceda astfel:folosind diverse substituńii precum şi proprietăńile logaritmice,vom căuta s-o reducem la rezolvarea unor ecuańii simple,de regulă de gradul întâi sau de gradul al doilea. Exemplu Să se rezolve ecuańia:log x (x -x+9)=. ObŃinem x -x+9=x şi deci x=9,x=.deoarece pentru x=>0,expresia x -x+9 este pozitivă,rezultă că x= este soluńie a ecuańiei. Rezolvarea altor ecuańii se bazează pe injectivitatea funcńiei logaritmice,şi anume din log a f(x)=log a g(x),deducem f(x)=g(x),împunând condińiile:f(x)>0,g(x)>0 Exemple ) Să se rezolve ecuańia:lg(x -5)=lg(x-).Deducem că x -5x=x-,deci x -x-=0
7 adică x =4,x =-.Deoarece pentru x =- obńinem x-=--=-6<0,rezultă că x =- nu este soluńie a ecuańiei.deci numai 4 este soluńie. )Să se resolve ecuańia:lg(x-)= lgx 5 -lg x.în această ecuańie punem de la început condińiile x- >0,x>0,pentru a avea sens expresiile lg(x-),lg x 5, x, lg x. EcuŃia se mai scrie lg(x-)= 5 lgx- lgx şi deci lg(x-)=lgx.prin urmare,lg(x-)=lgx,de unde obńinem x-=x,-=0,contradicńie;rezultă deci că ecuańia dată nu are soluńii. ) Să se rezolve ecuańia:lg(x+7)+lg(x+)=.punem condińiile de existenńă a logaritmilor:x+7>0,x+>0,deci x>-.obńinem lg(x+7)(x+)= şi deci (x+7)(x+)=0 =00.Rezultă ecuańia de gradul al doilea x +x-9=0,de unde rezultă x =,x =-.Deoarece - <-,obńinem că este singura soluńie a ecuańiei date. ObservaŃie EcuaŃia precedentă nu este echivalentă cu ecuańia lg(x+7)(x+)=,care are două soluńii x =,x =-,deoarece pentru amândouă aceste valori ale lui x,lg(x+7)(x+) are sens. 4) Să se rezolve ecuańia:log x-log x-4=0.avem condińia x>0 şi făcând substituńia log x=y,obńinem y -y-4=0.deci y =4,y =-.Din log x=4.obńinem x= 4,x=8,iar din log x=-,obńinem x= -,x=. În continuare vom rezolva câteva ecuańii care nu se pot încadra într-un anumit tip.astfel,pot apărea ecuańii cu logaritmi scrişi în diferite baze,ecuańii în care apar expresii conńinând necunoscute şi la exponenńi şi la logaritmi etc. lg x lg x 5)Să se rezolve ecuańia:log x+log x=.deducem,aplicând formula de schimbare a bazei, + = lg lg lg lg lg 6 lg lg lg lg sau lgx= =. Deci x=0. lg + lg lg 6 6)Să se rezolve ecuańia:log x+log x =.Deoarece log x =,rezultă log x+ =.Notând log x log x log x=y,obńinem y+ =,adică y -y+=0;deci y=,adică log x=.prin urmare,x=. y 7)Să se rezolve ecuańia:x lgx+ =000.Punem condińia de existenńă a expresiilor:x>0.logaritmând,obńinem o ecuańie echivalentă lg(x lgx+ )=lg000 care devine (lgx+)lgx=.notând lgx=y,avem y +y-=0 şi deci y =-,y =.Din lgx=-, obńinem x=0 -,x=0,00,iar din lgx=,rezultă x=0. )Sisteme de ecuańii logaritmice
8 În astfel de sisteme se aplică metodele arătate anterior la ecuańiile de tipul respectiv. Exemplu Să se rezolve sistemul x +y =45 lgx +lgy= ObŃinem,pe rând sistemele x +y =45 x +y =45 lgxy = xy=000 x,y>0 x,y>0 Acest sistem simetric îl putem rezolva pe căile cunoscute din clasa a IX-a:punem s=x+y,p=xy şi vom avea s -p=45 s =65 s= ± 5 P=00 p=00 p=00 Sistemul s=5 P=00 dă soluńiile (5,0),(0,5) care satisfac şi condińiile de existenńă ale sistemului inińial,x>,y>0.sistemul s=-5 P=00 dă soluńiile (-0,-5),(-5,-0),care nu convin. )InecuaŃii logaritmice Rezolvarea inecuańiilor logaritmice se bazează pe proprietăńile de monotonie ale funcńiei logaritmice.am văzut că funcńia logaritmică este crescătoare dacă baza este supraunitară şi descrescătoare dacă baza este subunitară. Exemple )Să se rezolve inecuańia:log (x-)>-.avem că -=log 7 şi inecuańia devine log (x- )>log 7.Deoarece baza a logaritmului este subunitară (funcńia g:(0, ) R, ( x ) = log x este g descrescătoare),inecuańia devine x-<7,adică x<4.în acelaşi timp,din condińia de existenńă a logaritmului inińial,avem x->0,deci x>.deci obńinem pentru x valorile posibile x,4 ). 4) Sisteme de inecuańii logaritmice În astfel de sisteme se aplică proprietăńile şi metodele arătate anterior la inecuańiile Logaritmice.Rezolvarea acestora se reduce în definitiv la rezolvarea sistemelor de inecuańii întâlnite în clasa a IX-a. Exemplu Să se rezolve sistemul
9 x x > x+ log (x -x+9)<. Observăm,mai întâi,că x -x+9>0 oricare ar fi x real( = 7 < 0) x- > deci logaritmul este definit pentru orice x real. Deoarece =log 7 şi,ńinând seama de monotonia funcńiilor exponenńială şi logaritmică,rezultă sistemul echivalent X -x->x+ X -x+9<7 x- > x -x-4>0 x -x-8<0 x- > MulŃimea soluńiilor inecuańiei x -x-4>0 este M =(, ) (4, + ), mulńimea soluńiilor inecuańiei x -x-8<0 este M =(-,6),iar mulńimea soluńiilor inecuańiei x- > este M =(, ) (5, + ). Atunci mulńimea soluńiilor sistemului este M=M M M = (, ) (5,6). AplicaŃii I.Admiterea în învăńământul superior.să se calculeze expresia: E=log 5-log 0 + log 4 Informatică,Baia Mare, E=log * E=log 5* * = 0 0 E=0..Să se rezolve sistemul 40 log = log =0 40 xy=40 x lgy =4 Colegiu de Informatică,Cluj, xy=40 y= x x lgy =4 lgx lgy =lg4
10 lgy*lgx=lg4 40 lg *lgx=lg4 x (lg40-lgx)lgx=lg4 lgx*lg40-lg x=lg4 lg x-lgxlg40+lg4=0 Notăm lgx=y y -ylg40+lg4=0 = lg 40-4lg4=(lg4+lg0) -4lg4=lg 4+lg4+-4lg4=lg 4-lg4+=(lg4-) lg 40 ± (lg 4 ) y, = lg 40 + lg 4 lg 4 y = = = lg 4 lg x = lg 4 x = 4; y = 0 lg 40 lg 4 + y = = lg x = x = 40; y = 4.Ştiind că log 40 00=a,să se exprime log 6 5 în funcńie de a. Chimie,Metalurgie,98 lg00 Log 4 00=a =a a = lg 40 + log 0 = lg = + lg a a 0 lg lg 5 lg 5 lg 5 lg 5 lg log6 5 = = = = = log6 5 = 4 lg6 lg 4 lg lg lg lg a = a a * a = a 4 a 4.Ştiind că a=lg şi b=lg să se calculeze x= log 7 (lg50) Matematică-Fizică,Sibiu,998 log 7 (lg50) X= log 00 7 (lg50) log7 (log50) x = = 7 = lg50 = lg 50 + lg 0 = lg + lg = lg00 lg + b = log0 = a + b 00 lg + b = log 5.Să se arate că expresia: E= log ca ale variabilelor x,z,y. x + log x + log y + log y + log z z este independentă de valorile strict mai mari Inginerie,ConstanŃa,996
11 log ( x E = log ( x y y z ) z ) log t log t log Notăm x y z = t E = = = log t * = log E log log log t t log = t log II.Concursurile şcolare.gorj00-faza locală Să se arate că dacă x,,y,z (0,) are loc inegalitatea: Log x yz+log y xz+log z xy 6; Log x yz+log y xz+log z xy=(log x y+log y x)+(log x z+log z x)+(log y z+log z y) 6 Dacă x,y ( 0,) log x y > 0 Log x yz+log y xz+log z xy 6 are loc doar când x=y=z..bacău00-faza locală Să se calculeze: log 4 log 9 =E log log 96 Notăm a=log Log 4=log *=log +log =a+ Log 96 = = = log 96 log *8 log + log = 8 a + Log 9=log *6=log +log 6=a+4 Log = = log a (a+)(a+)-a(a+4)= = ( A).Cluj00-faza locală Să se rezolve ecuańia: * log x = cosπx, log x + unde [ ] α este partea întreagă a numărului α R..
12 Cos πx = {,0, } Z * log x log x = I. log x + log x + S = (0,) k + / k Z = { } log x log x 0 II. log x = + log x + [,0) [ 0,) log log * [, + ) \ { } { k + / k Z} = { k +, k N } = S log x log x log x + log x + k + / k Z = x < 0 x (0,) x 0;log III. = [,] log x = x = S ={ } { } { } * { k +, k N } { } S S S S = =. x
Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiniŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã numere reale. Se numeşte logaritm al numãrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numãrul a, numit
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multMicrosoft Word - Evaluare_initiala_Matematica_Cls07_Model_Test.doc
Precizări metodologice cu privire la testul de evaluare inińială la disciplina MATEMATICĂ, din anul şcolar 011-01 În anul şcolar 011-01, modelul propus pentru testare inińială la disciplina Matematică
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multMicrosoft Word - Fisa-Informatica-CH-2014.doc
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. InstituŃia de învăńământ superior Universitatea din Bucureşti 1.2. Facultatea Facultatea de Chimie 1.3. Departamentul Departamentul de Chimie Fizică 1.4. Domeniul
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multprograma_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI Etapa locală, 24 februarie 2017 PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIU
SUBIECTE - clasa a IX-a 1. Determinați mulțimile: a) ; b) ; c). 2. Arătați că: a), ; b) dacă, atunci. 3. Considerăm dreptunghiul ABCD și punctele E, F și M, astfel încât, și. Dacă N este mijlocul lui (EF),
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multMicrosoft Word - V_4_Inmultirea_nr_nat.doc
3 Înmulţirea numerelor naturale De acum, pentru înmulţire vom folosi semnul în loc de Ex În loc de 32 9 vom scrie 32 9 Dacă a şi b sunt două numere naturale, prin produsul lor vom înţelege a b Ex a) Produsul
Mai multMicrosoft Word - Probleme-PS.doc
PROBLEME PROPUSE PENTRU EXAMENUL LA PRELUCRAREA SEMNALELOR a) Să se demonstreze că pentru o secvenńă pară x[ n] x[ n] este adevărată egalitatea X( z) X( z) b) să se arate că polii (zerourile) acestei transformate
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multLucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009
Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA
Mai multAdresarea memoriei Modurile de adresare constituie un instrument principal pentru reprezentarea în memorie a imaginii datelor, aşa cum este ace
174 12 Adresarea memoriei Modurile de adresare constituie un instrument principal pentru reprezentarea în memorie a imaginii datelor, aşa cum este aceasta văzută de programatorul în limbaj de nivel înalt.
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multNotiuni de algebra booleana
Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multPowerPoint Presentation
CURS 2 Planificarea Tranzacţiilor Gestionarea Concurenţei Planificarea tranzacţiilor O planificare reprezintă ordonarea secvenţială a instrucţiunilor (Read / Write / Abort / Commit) a n tranzacţii astfel
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multMicrosoft Word - PI-L7r.doc
Procesarea Imaginilor - Laborator 7: OperaŃii morfologice pe imagini binare 1 7. OperaŃii morfologice pe imagini binare 7.1. Introducere OperaŃiile morfologice pe imagini afectează forma sau structura
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multPowerPoint Presentation
ELEMENTE DE MORFOLOGIE MATEMATICA Morfologia matematica Cadru de abordare diferit: Pana acum : Imaginea este o functie de doua variabile. Pixelii imaginii (valori si coordonate de pozitie) sunt structurati
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multFD Chimie anul I EM
FIŞA DISCIPLINEI ANEXA nr. 3 la metodologie 1. Date despre program 1.1 InstituŃia de învăńământ superior Universitatea "Dunărea de Jos" din GalaŃi 1.2 Facultatea / Departamentul Facultatea de ŞtiinŃe şi
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multMatematica Clasa 5 Culegere De Exercitii Si Probleme
uprins Teste de evaluare inițială... 7 4 I. Numere naturale. Numere naturale... 9. Scrierea şi citirea numerelor naturale... 9.2 xa numerelor naturale. ompararea şi ordonarea numerelor naturale... 4.3
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multLimbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul
Mai multRecMat dvi
Soluţiile problemelor propuse în nr. /6 Clasele primare P355. Găsiţi trei numere consecutive în şirul numerelor de la la 3 care să aibă suma 3. (Clasa pregătitoare) Mariana Manoli, elevă, Iaşi Soluţie.
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multMicrosoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007
CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a
Mai multCurs 8: Tehnica divizării (I) Algoritmi si structuri de date - Curs 8 1
Curs : Tehnica divizării (I) 1 In cursul anterior am văzut cum se analizează eficiența algoritmilor recursivi Se scrie relația de recurență corespunzătoare timpului de execuție Se rezolvă relația de recurență
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multŞcoala ………
Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multMicrosoft Word - REGULAMENT EVALUARE SI PROMOVARE 2010.doc
Universitatea Spiru Haret Bucureşti Facultatea de Arhitectură REGULAMENT DE EVALUARE ŞI PROMOVARE a activităńii desfăşurate la disciplinele Proiectare de Arhitectură, Sinteze de Arhitectură, Reprezentări
Mai multMicrosoft Word - Laborator 6 - Expresii Regulate IV.doc
PERL Laborator 6 Adrian Iftene Martie 26, 2007 1 1 Greşeli Comune când lucrăm cu RegExp... 3 2 Câteva Subiecte mai Avansate... 3 2.1 Comentarii Inline... 4 2.2 Modificatori Inline... 4 2.3 Gruparea fără
Mai multCOMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2013 ETAPA NAŢIONALĂ, BRAŞOV Abstract. Comments on some of the problems presented at the Final Round of the Nationa
COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 203 ETAPA NAŢIONALĂ, BRAŞOV Abstract. Comments on some of the problems presented at the Final Round of the National Mathematics Olympiad 203, Braşov. Data: 5 aprilie
Mai multMicrosoft Word - IA2-Lisp-stud.doc
Capitolul II. LISP IntenŃia acestui capitol nu este aceea de a da o descriere exhaustivă a limbajului LISP ci de a introduce nońiunile esenńiale ale lui, care să facă posibilă scrierea de aplicańii simple
Mai mult1 2 1
1 2 1 3 PROBABILITĂŢI ŞI STATISTICĂ MA- TEMATICĂ 3.1 SPAŢIU PROBABILISTIC, DEFINIŢII, PROPRIE- TĂŢI Teoria probabilităţilor este analiza matematică a noţiunii de experienţă aleatoare (sau aleatorie, întâmplătoare,
Mai multcurs 9 v3 [Compatibility Mode]
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 007 03 Aa prioritară nr. Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice
Mai multColec ia MATE EDITURA PARALELA 45 Matematic. Clasa a VI-a 1
Colecia MATE 2000 + Matematic. Clasa a VI-a 1 Matematic. Clasa a VI-a 2 Acest auxiliar didactic este aprobat pentru utilizarea în unitile de învmânt preuniversitar prin O.M.E.N. nr. 3530/04.04.2018. Lucrarea
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multSlide 1
Logica fuzzy Precizie si realitate Paternitatea logicii fuzzy Istoric Multimi fuzzy Fuzzy vs. probabilitate Operatii cu multimi fuzzy Implementare Arduino a mf 1 / 27 Precizie si realitate Fuzzy: vag neclar
Mai multProbleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş
Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România
Mai multALGORITHMICS
CURS 2: Descrierea algoritmilor în pseudocod =Exemple= 1 Structura Descrierea unor algoritmi simpli Specificarea și utilizarea subalgoritmilor 2 Exemplu 1 Considerăm un tabel cu informații despre studenți
Mai multMicrosoft Word - Metodologie si precizari concurs interdisciplinar + POEZIE 2009.doc
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DirecŃia Generală Management ÎnvăŃământ Preuniversitar Str. Gen. Berthelot Nr.28-30, sector 1, Bucureşti Avizat Director General Liliana PREOTEASA
Mai multClasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce
Clasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce dau celor doi fraţi mai mari câte două banane, mănânc
Mai multC10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai multsubiecte clasa7
Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VII-a Subiectul I Să se demonstreze că există un punct M în interiorul unui triunghi ABC astfel încât triunghiurile ABM, BCM
Mai multProbleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2
Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa
Mai multSika® MotoTop®-910N
Fişa Tehnică a Produsului EdiŃia 30/09/09 Nr. de identificare: 02 03 02 04 001 0 000063 Sika MonoTop -910N Sika MonoTop -910 910N Punte de aderenńă şi protecńie anticorozivă pentru armături Descrierea
Mai multROMÂNIA UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA Str. Mihail Kogãlniceanu, nr. 1, 3400 Cluj-Napoca Tel. (00) *; ; ; 40
ROMÂNIA UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA Str. Mihail Kogãlniceanu, nr. 1, 3400 Cluj-Napoca Tel. (00) 40-264 - 40.53.00*; 40.53.01; 40.53.02 ; 40.53.22 Fax: 40-264 - 19.19.06;19.50.51 E-mail: staff@staff.ubbcluj.ro
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai mult