Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să se demonstreze că f() f() c) Dacă m este un număr întreg impar, să se demonstreze că ecuaţia f( x) 0 nu are rădăcini întregi Problema Se consideră triunghiul ABC, punctele M, N și P astfel încât: BM MC, AN NC, AP PB și Q mijlocul segmentului PM a) Demonstrați că BN BC BA și BQ BC BA 4 8 b) Demonstrați că punctele B, Q, N sunt coliniare BQ c) Calculați valoarea raportului QN Problema a) Pentru q se consideră numerele oricare ar fi q a q q şi Să se demonstreze că ab, b q q b) Determinaţi primul termen şi raţia unei progresii geometrice crescătoare, pozitivi, ştiind că b b b 7 şi punctul anterior) b având termeni b b b (utilizând, eventual, identitatea obţinută la n n Problema 4 Patru persoane A, B, C, D au primit împreună pentru efectuarea unei lucrări suma de 07 lei Ştiind că A a primit cel mai mult, fiecare a primit mai mult de 00 de lei şi A împreună cu D au primit cu 57 de lei mai puțin decât B împreună cu C, să se determine ce sumă a primit A? (sumele primite sunt numere naturale) Notă: Timp de lucru 4 ore; Toate subiectele sunt obligatorii; Fiecare subiect este notat cu punctaje de la 0 la 7
Clasa a X a Se consideră numerele reale x şi y astfel încât x și y 4 a) Demonstrați că xy ; Problema Problema b) Demonstraţi că c) Demonstraţi că x, ; y, şi deduceţi că x y a) Verificaţi egalitatea x x x b) Rezolvaţi în R ecuaţia 4 8 ; a a a a a a, a ; 4log 8log 7 log 4, 0, c) Să se rezolve ecuaţia x x x x 4 8, unde m \ Se consideră numărul complex z i m i a) Demonstraţi că z m m ; b) Să se determine m astfel încât modulul numărului z să fie minim; c) Dacă z, demonstraţi că z 8 Problema 4 Doi fraţi au în proprietate comună un teren în forma trapezului ABCD Ei hotărasc să împartă terenul în două părţi cu aceeaşi suprafaţă şi să le separe printr-un gard MN a) Justificaţi dacă punctele M şi N pot fi alese ca mijloace ale bazelor trapezului b) Justificaţi dacă punctele M şi N pot fi dispuse în altă poziţie pe cele doua baze? Notă: Timp de lucru 4 ore; Toate subiectele sunt obligatorii; Fiecare subiect este notat cu punctaje de la 0 la 7
Clasa a XI a Să se calculeze: a) ; b) Problema O echipă de cercetători constată că starea calorică a unei anumite substanțe se modifică în timp după T t t at b ct 5, unde abcr,, sunt constante ce trebuie determinate și în care legea: Tt este temperatura, măsurată în grade, înregistrată la momentul t 0 ce reprezintă numărul de secunde scurs de la începutul experimentului Problema a) Determinați abcr,, știind că T 7 și Tt lim 8 t b) Cu abc,, astfel determinați, stabiliți dacă este posibil ca la un moment al experimentului temperatura substanței să fie 0 Fie matricea, a) Demonstrați că b) Determinați astfel încât matricea să fie inversa matricei c) Demonstrați că Problema 4 Se dă matricea Demonstrați că det A xi 0, x R ; a) b) ; c) Ecuația X AAX A nu are soluții în Notă: Timp de lucru 4 ore; Toate subiectele sunt obligatorii; Fiecare subiect este notat cu punctaje de la 0 la 7
Clasa a XII-a a) Să se determine funcția care admite primitive astfel încât și b) Să se calculeze integrala I x Problema Se dă funcția cos xsin x dx, x 0 x e cos x x e f : R R, f x Se cere: x e e f x f x, xr a) Demonstrați că b) Determinați primitiva F a funcției f pentru care F 0 0 c) Calculați Problema I f x sin x dx 0 Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție prin a) Demonstrați că legea de compoziție este asociativă și determinați elementul neutru b) Calculați c) Determinați numerele reale x care sunt egale cu simetricele lor față de legea Problema 4 Pe mulțimea numerelor reale definim legea de compoziție " " x y xy, x, y R prin a) Demonstrați că legea " " nu este asociativă H,0, Demonstrați că H este parte stabilă a lui R în raport cu legea " " și că operația indusă de b) Fie "" pe H este asociativă Notă: Timp de lucru 4 ore; Toate subiectele sunt obligatorii; Fiecare subiect este notat cu punctaje de la 0 la 7
Clasa a IX a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să se demonstreze că f() f() c) Dacă m este un număr întreg impar, să se demonstreze că ecuaţia f( x) 0 nu are rădăcini întregi a) Obține f ( ) 08 m, f () 08 m, f () 0 m punct Finalizare: (08 m) 0 m 08 m m punct b) Din condiția f() f(4) obține m= -5 punct Verifica f() f() 0 punct c) Presupunem ca ecuația ar avea o rădăcina întreagă r Atunci r r m 07 0 Dacă r = număr par, atunci par+par+impar=0 imposibil punct Dacă r = număr impar, atunci impar+impar+impar=0 imposibil punct Finalizare: Presupunerea făcută este falsă, deci ecuația nu are rădăcini întregi punct Problema Se consideră triunghiul ABC, punctele M, N și P astfel încât: BM MC, AN NC, AP PB și Q mijlocul segmentului PM a) Demonstrați că BN BC BA și BQ BC BA 4 8 b) Demonstrați că punctele B, Q, N sunt coliniare BQ c) Calculați valoarea raportului QN a) BN BC CN BC CA BC CB BA BC BA puncte
BQ BM BP BC BA puncte 4 8 b) BQ BN rezultă B, Q, N puncte coliniare puncte 8 c) BQ BQ punct BN 8 QN 5 Problema a) Pentru q se consideră numerele oricare ar fi q a q q şi Să se demonstreze că ab, b q q b) Determinaţi primul termen şi raţia unei progresii geometrice crescătoare, pozitivi, ştiind că b b b 7 şi punctul anterior) a) Obține a b q q b având termeni b b b (utilizând, eventual, identitatea obţinută la 4 puncte Finalizare : Deoarece q 4 0, q 0 deducem ca ab punct b) Obține relațiile b q q 7 si b q 4 q Folosind 4 q q q q q q, obține b q q Rezolvă ecuația q 5q 0 punct punct, obținând soluțiile q și q punct b punct Numai q convine și în acest caz n n Problema 4 Patru persoane A, B, C, D au primit împreună pentru efectuarea unei lucrări suma de 07 lei Ştiind că A a primit cel mai mult, fiecare a primit mai mult de 00 de lei şi A împreună cu D au primit cu 57 de lei mai puțin decât B împreună cu C, să se determine ce sumă a primit A? (sumele primite sunt numere naturale) Dacă a, b, c, d sunt sumele primite de către A, B, C respectiv D, atunci a+b+c+d=07, a>b, a>c, a>d și a+d=b+c-57 puncte Obține a+d=740 și b+c=77 puncte Deoarece a >b, a>c, a>d deduce a 68,5 punct Daca a=69, atunci d=0 punct Daca a=640, atunci d=00, nu convine punct
Clasa a X a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se consideră numerele reale x şi y astfel încât x și y 4 a) Demonstrați că xy ; b) Demonstraţi că x, ; c) Demonstraţi că y, şi deduceţi că x y a) Obține xlog, y log4 punct Obține y punct log Finalizare : xy punct b) x log log 8, adevărat puncte c) y log4 log 4 7 adevărat punct Finalizare x y, deci x y punct Problema a) Verificaţi egalitatea b) Rezolvaţi în R ecuaţia x 4 x 8 x ; a a a a a a, a ; x x x x c) Să se rezolve ecuaţia 4 8 4log 8log 7log 4, 0, a) Verificarea egalității punct b) Notând x y Obține y y y punct Din y y y y y y 0 0 rezultă y= punct Finalizare: x=0 punct
log x log x log x c) Aducând logaritmii în baza obține punct log x Dacă y rezulta y y y punct Finalizare: y=, deci x=4 punct Problema, unde m \ Se consideră numărul complex z i m i a) Demonstraţi că z m m ; b) Să se determine m astfel încât modulul numărului z să fie minim; c) Dacă z, demonstraţi că a) Obține z m i m z 8 punct Obține z m m punct b) Obține z m m m, m 4 Finalizare : z este minim pentru c) Obține 8 0 8 punct m punct z m m m m m i punct z m m 0 punct Convine numai m 0 și în acest caz z punct 8 Problema 4 Doi fraţi au în proprietate comună un teren în forma trapezului ABCD Ei hotărasc să împartă terenul în două părţi cu aceeaşi suprafaţă şi să le separe printr-un gard MN a) Justificaţi dacă punctele M şi N pot fi alese ca mijloace ale bazelor trapezului b) Justificaţi dacă punctele M şi N pot fi dispuse în altă poziţie pe cele doua baze? B bh a) Daca h- este înălțimea trapezului scrie A punct AM DN h Obține AAMND punct AB DC h Scrie AAMND punct 4 BM CN h AB CD h Obține ABMNC punct 4 Finalizare: Punctele M, N pot fi alese ca mijloace ale bazelor punct b) Este necesară condiția AAMND ABMNC punct Obținem AM DN BM CN AM BM CN DN, deci nu exista alta dispunere a punctelor M si N punct
Clasa a XI a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Să se calculeze: a) ; b) a) lim x x lim x x x x 9 x0 x0 p b) p = p Problema O echipă de cercetători constată că starea calorică a unei anumite substanțe se modifică în timp după legea: T t t at b ct 5, unde abcr,, sunt constante ce trebuie determinate și în care Tt este temperatura, măsurată în grade, înregistrată la momentul t 0 ce reprezintă numărul de secunde scurs de la începutul experimentului a) Determinați abcr,, știind că limt t 8 T 7 și t b) Cu abc,, astfel determinați, stabiliți dacă este posibil ca la un moment al experimentului temperatura substanței să fie 0 T 7 a b c p a) limt t 8 lim t at b ct p t t Este necesar ca c 0 p Obținem: c, a 6 p Din T 7 b p
b) T t 0 t 6t t 5 t, dar 5 0, deci nu este posibil ca temperatura substanței să fie 6 6 0 în nici un moment al experimentului p Problema Fie matricea, a) Demonstrați că b) Determinați astfel încât matricea să fie inversa matricei c) Demonstrați că a) Calcul direct, verifică relația p b) Din Deci p este inversa matricei X p c) Fie, avem / p Finalizare 08 09 08 S A I A I S A A A I; 5 5 5, rezultă Problema 4 Se dă matricea Demonstrați că det A xi 0, x R ; a) b) ; c) Ecuația X AAX A nu are soluții în p a) Prin calcul = p b) 5 x 0, x R p 4 c) Fie astfel încât X A A X A p Relația devine b c a b d 0 d a c c b p
b c 0 a b d Se obține sistemul d a c cb Din prima și ultima ecuație se obține, imposibil Deci ecuația nu are soluții p
Clasa a XII-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE a) Să se determine funcția care admite primitive astfel încât și cos xsin x b) Să se calculeze integrala I x dx, x 0 x e cos x Soluțíe: a) Derivând egalitatea dată, membru cu membru, avem: p Obținem p Integrând ultima egalitate, avem, Rezultă p deci, p b) = p p p Problema Se dă funcția x :, e f RR f x x e e Se cere: f x f x, xr a) Demonstrați că b) Determinați primitiva F a funcției f pentru care F 0 0 c) Calculați I f x sin x dx 0 f x f x, xr p e F x f x dx ln e e c p a) f x Verifică egalitatea: x x b)
F 0 0 c ln e p c) În I f xsin xdx schimbăm variabila sin 0 0 x t I f t t dt p I sin xdx I p 0 Problema Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție prin a) Demonstrați că legea de compoziție este asociativă și determinați elementul neutru b) Calculați c) Determinați numerele reale x care sunt egale cu simetricele lor față de legea a) Justifică asociativitatea p Elementul neutru p b) p În compunere există Deci compunerea celor 07 elemente este - (- este elementul absorbant sau distrugător ) p c) p Problema 4 Pe mulțimea numerelor reale definim legea de compoziție " " p x y xy, x, y R prin a) Demonstrați că legea " " nu este asociativă H,0, Demonstrați că H este parte stabilă a lui R în raport cu legea " " și că operația indusă b) Fie de " " pe H este asociativă a) Este suficient un contraexemplu p 7 9 54 9 6 6 Rezultă că, deci operația " " nu este asociativă p b) Tabla legii de compoziție " " relative la mulțimea H este: * - 0-0 - 0 0 0 0-0 p x y H, x, y H, deci H este parte stabilă a lui R în raport cu operația " " p Deducem că Fie "" legea de compoziție indusă de legea " " pe H Pentru orice x H avem x x p Avem:
a b c a bc a bc abc abc, a, b, c H a b c ab c ab c abc abc Așadar legea de compoziție ""este asociativă p