Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge punctual pe [a, b] către f pentru n, scris f n f dacă avem f n (x 0 ) f(x 0 ), pentru orice x [a, b]. UC Spunem că șirul (f n ) converge uniform pe [a, b] către f, scris f n f, dacă: ε > 0, N ε N a.î. n N ε, f n (x) f(x) < ε, x [a, b]. În calcule, va fi de folos următorul rezultat: Teoremă.: Un șir (f n ) de funcții mărginite f n : [a, b] R este uniform convergent către o funcție f dacă și numai dacă lim f n f = 0. De asemenea, avem și: Teoremă.2: Orice șir de funcții f n : [a, b] R uniform convergent pe [a, b] este punctual convergent pe [a, b]. Reciproca acestui rezultat este falsă: fie [a, b] = [0, ] și f n (x) = x n, n. Pentru orice x [a, b], avem: lim f n(x) = { 0, x [0, ), x = Rezultă că f n PC f, unde funcția f este definită de limita de mai sus. Dar: f n f = sup f n (x) f(x) x [0,) = max( sup ( f n (x) f(x), f n () f() )) x [0,) = max( sup (x n, 0)) x [0,) =, de unde obținem lim f n f = 0. Rezultă că (f n ) este punctual convergent, nu uniform convergent pe [0, ). Pentru caracterizarea convergenței, avem la dispoziție mai multe rezultate, printre care și criteriul fundamental, al lui Cauchy. Vom enunța, însă, rezultatele care vor fi utile în special în rezolvarea exercițiilor: Teoremă.3 (Integrare termen cu termen): Fie (f n ) un șir uniform convergent de funcții continue, f n : [a, b] R. Atunci limita f = lim f n este o funcție continuă pe [a, b] și avem: b lim a f n (x)dx = b a f(x)dx. Cu alte cuvinte, în cazul convergenței uniforme, limita comută cu integrala.
Pentru derivabilitate, avem: Teoremă.4 (Derivare termen cu termen): Fie (f n ) un șir de funcții din C ([a, b]) și f, g funcții mărginite, PC cu f, g : [a, b] R. Dacă f n f și f n UC g pe [a, b], atunci f este derivabilă pe [a, b] și f = g. Pentru cazul șirurilor monotone de funcții continue, rezultatul următor arată o legătură simplă între convergența punctuală și cea uniformă: Teoremă.5 (U. Dini): Fie (f n ) un șir monoton de funcții continue, f n : [a, b] R, astfel încît f n UC Atunci f n f. Următorul rezultat va fi de folos în special în capitolul privitor la serii de puteri: PC f. Teoremă.6 (Stone Weierstrass): Pentru orice funcție continuă f : [a, b] R, există un șir (f n ) de UC polinoame, cu f n : [a, b] R, astfel încît f n f. 2 Serii de funcții Trecem acum la studiul seriilor de funcții, făcînd legături similare cu trecerea de la șiruri de numere la serii de numere. Începem cu o noțiune fundamentală: Definiţie 2.: Mulțimea valorilor lui x pentru care seria de funcții n f n (x) este convergentă se numește mulțimea de convergență a seriei, iar funcția f : [a, b] R, cu f(x) = lim S n(x), unde S n (x) este șirul sumelor parțiale pentru seria de funcții, se numește suma seriei. Seria f n se numește simplu (punctual) convergentă către funcția f dacă șirul sumelor parțiale (S n (x)) n este punctual convergent către f. Similar, seria se numește uniform convergentă către funcția f dacă șirul sumelor parțiale este uniform convergent către f. Seria se numește absolut convergentă dacă seria f n (x) este simplu convergentă. Regăsim acum, atît noțiunile privitoare la șirurile de funcții, cît și criteriile de convergență pentru serii de numere. Teoremă 2.: Fie f n o serie uniform convergentă de funcții continue, cu f n : [a, b] R și fie s suma acestei serii. Atunci s este o funcție continuă pe [a, b] și: b a s(x)dx = n Avem rezultatul corespunzător și pentru derivate: b a f n (x)dx. Teoremă 2.2: Fie f n o serie punctual convergentă de funcții din C ([a, b]), cu suma s pe [a, b] și astfel încît seria derivatelor f n să fie uniform convergentă. Atunci funcția s este derivabilă pe [a, b] și în plus: s (x) = n f n(x). Teoremă 2.3 (Weierstrass): Fie f n o serie de funcții, cu f n : [a, b] R și fie a n o serie convergentă de numere reale pozitive. Dacă f n (x) a n, pentru orice x [a, b] și n N, cu N fixat, atunci seria de funcții f n este uniform convergentă pe [a, b]. Teoremă 2.4 (Criteriul lui Abel): Dacă seria de funcții f n se poate scrie α n v n, astfel încît seria de funcții v n să fie uniform convergentă, iar (α n ) să fie un șir monoton de funcții egal mărginite (i.e. mărginite de aceeași constantă), atunci seria inițială este uniform convergentă. 2
O alternativă: Teoremă 2.5 (Criteriul lui Dirichlet): Dacă seria de funcții f n se poate scrie sub forma α n v n, astfel încît șirul sumelor parțiale al seriei v n să fie un șir de funcții egal mărginite, iar șirul (α n ) să fie un șir monoton de funcții, ce converge uniform către 0, atunci ea este uniform convergentă. 3 Formula lui Taylor Putem asocia oricărei funcții cu anumite proprietăți bune un polinom care o aproximează. Este vorba despre polinomul Taylor, definit astfel. Fie I R un interval deschis și fie f : I R o funcție de clasă C m (I). Pentru orice a I, definim polinomul Taylor de gradul n m asociat funcției f în punctul a: T n,f,a = n k=0 Restul (eroarea aproximării) se definește prin: f (k) (a) (x a) k. k! R n,f,a (x) = f(x) T n,f,a (x). Următorul rezultat ne arată că polinomul de mai sus poate fi transformat într-o formulă mai exactă: Teoremă 3. (Formula lui Taylor cu resturi Lagrange): Fie f : I R o funcție de clasă C n+ (I) și a I. Atunci, pentru orice x I, există ξ (a, x) (sau (x, a), după caz), astfel încît: f(x) = T n,f,a (x) + (x a)n+ f n+ (ξ). (n + )! Privitor la restul rezultat din această formulă, avem următoarele: forma Peano: ω : I R, cu lim x a ω(x) = ω(a) = 0: R n,f,a (x) = (x a)n ω(x). n! forma integrală: lim x a R n,f,a (x) (x a) n = 0. R n,f,a (x) = n! x a f (n+) (t)(x t) n dt. 4 Exerciții șiruri și serii de funcții. Să se studieze convergența simplă și uniformă a șirurilor de funcții: (a) f n : [, ] R, f n (x) = x +nx 2 ; (b) f n : [0, ] R, f n (x) = x n ( x n ); (c) f n : (, ) R, f n (x) = xn x ; (d) f n : [0, ] R, f n (x) = (e) f n : [0, ) R, f n (x) = (f) f n : [0, ) R, f n (x) = 2nx +n 2 x 2 ; x+n x+n+ ; x +nx 2 ; 3
(g) f n : R R, f n (x) = arctan(nx); (h) f n : [ 0, π 2 ] R, fn (x) = n sin n x cos x. 2. Să se arate că șirul f n : [0, ) R, f n (x) = x uniform pe orice interval [a, b], cu 0 < a < b. x+n nu converge uniform pe [0, ), dar converge 3. Să se arate că șirul de funcții (f n ), unde: f n : (, ) R, f n (x) = (n 2 + ) sin 2 π n + nx nx este uniform convergent (la 0). 4. Să se arate că șirul de funcții (f n ), cu: f n : R R, f n (x) = arctan xn n converge uniform pe R, dar: ( ) lim f n(x) lim x= f n(). Rezultatele diferă deoarece șirul derivatelor nu converge uniform pe R. 5. Să se arate că șirul de funcții (f n ), cu: f n : [0, ] R, f n (x) = nxe nx2 converge, dar: lim 0 f n (x)dx 0 lim f n(x)dx. Rezultatul se explică prin faptul că șirul nu este uniform convergent. De exemplu, pentru x n = n [0, ], avem f n(x n ), dar în general, f n (x) 0. 6. Studiați convergența simplă și uniformă a șirului de funcții: [ f n : 0, π ] R, f n (x) = n sin n x cos x. 2 5 Serii de puteri. Serii Taylor 6. Să se dezvolte în seria Maclaurin următoarele funcții, precizînd și domeniul de convergență: (a) f(x) = e x ; (b) f(x) = sin x. Soluție: (a) Calculăm derivatele funcției și obținem că (e x ) (n) = e x, pentru orice n. Atunci, din formula lui Maclaurin, găsim: e x = n! xn. n 0 4
Pentru a determina domeniul de convergență, folosim criteriul raportului: x n+ lim (n + )! n! x = lim x n = 0 <, n + deci seria este convergentă pe R. Restul de ordin n se obține: R n (x) = xn+ (n + )! eξ, ξ (0, x) sau ξ (x, 0). (b) Calculăm derivata de ordin n a funcției sinus și observăm: ( (sin x) (n) = sin x + n π ), n N. 2 Deducem că derivatele de ordin par sînt nule, iar cele de ordin impar sînt ( ) n. Rezultă: sin x = n 0 ( ) n (2n + )! x2n+. Pentru determinarea domeniului de convergență, putem folosi din nou criteriul raportului și obținem: lim x 2n+3 (2n + 3)! deci seria este convergentă pe R. (2n + )! = lim x 2n+ x 2 (2n + 2)(2n + 3) = 0 <, 7. Să se dezvolte în serie de puteri ale lui x funcția: Soluție: Derivata de ordin n este: f : R {0} R, f(x) = x. Rezultă: f (n) (x) = ( )n n! x n+ f (n) () = ( ) n n!, n N. x = ( ) n (x ) n, x (0, 2). n 0 8. Să se afle raza de convergență și mulțimea de convergență pentru seriile de puteri: (a) n 0 x n ; (b) n n x n ; n! n Soluție: (a) Fie R raza de convergență. Din definiție, avem: a n R = lim a n+ =. Deducem că seria este absolut convergentă pe (, ) și divergentă în rest. 5
Evident, seria este uniform convergentă pe orice interval închis x r <, iar pentru x = ±, obținem o serie divergentă. (b) Din nou, calculăm raza de convergență: a n ( n ) n R = lim a n+ = lim = n + e. ( ) Rezultă că seria este absolut convergentă pe e, e și divergentă în rest. Seria este uniform convergentă pe x r < e, iar pentru x = ± e, se obține o serie divergentă, rezultat care se poate demonstra cu criteriul raportului. 9. Studiați convergența seriilor de funcții: (a) n 0 (b) n ln n x, x > 0; ( + ) n 2 e nx ; n (c) n n!x n. Soluție: Exercițiile se rezolvă cu o schimbare de variabilă, care transformă seriile de funcții în serii de puteri: (a) t = ln x; (b) t = e x ; (c) t = x. 0. Să se calculeze sumele seriilor de funcții: (a) n 0 x 2n ; (b) n 0 ( ) n x2n+ 2n + ; (c) n 0(n + )x n. Soluție: (a) Putem folosi direct formula pentru seria geometrică: x 2n = (x 2 ) n =, x (, ). x2 n 0 n 0 (b) Raza de convergență se poate calcula și obținem R =. Fie S(x) suma seriei date. Seria derivatelor are aceeași rază de convergență cu seria inițială, iar suma ei este egală cu derivata sumei (seriile de puteri se pot deriva mereu termen cu termen): S (x) = ( ) n (x 2 ) n =, x (, ). + x2 n 0 6
Rezultă S(x) = arctan x + C și, deoarece S(0) = 0, avem C = 0. (c) Procedăm similar, acum cu integrare termen cu termen. Raza de convergență este egală cu. Avem: x S(x)dx = x n+ = x, x (, ). 0 x n 0 Rezultă S(x) = ( x) 2. 6 Exerciții serii de puteri. Să se studieze convergența punctuală și uniformă a șirurilor de funcții: (a) f n : R R, f n (x) = (b) f n : [0, ] R, f n (x) = nx2 ; +nx 2 xn ; +x 2n (c) f n : R + R, f n (x) = e nx sin nx; 2. Să se afle mulțimea de convergență a seriei de funcții: ( ) n n x. n 3. Să se studieze convergența seriilor: (a) n x 2 + n 2 ; (b) n sin nx 3 n 4 + x 4 ; (c) n x 2 + 2 n, x R. 4. Să se determine mulțimea de convergență și suma seriilor: (a) n ( ) n+ xn n ; (b) n 0(n + )(n + 2)(n + 3)x n ; (c) n n 3 x n ; 5. Găsiți mulțimea de convergență pentru seriile de puteri: (a) n n!x n ; 7
(b) n x n 2 n + 3 n ; (c) n n n!x n ; (d) n 5 9 (4n 3) 3 7 (4n ) xn ; 6. Să se dezvolte în serie Maclaurin următoarele funcții, precizînd domeniul de convergență: (a) f(x) = cos x; (b) f(x) = ( + x) a, a R; (c) f(x) = +x ; (d) f(x) = + x; (e) f(x) = ln( + x); (f) f(x) = arctan x. 7. Să se dezvolte în serie de puteri ale lui x + 4 funcția: f : R { 2, } R, f(x) = x 2 + 3x + 2. 8