Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n

Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului R n................ 5 1.3 Șiruri de puncte în R n....................... 10 1.4 Mulțimi compacte în R n...................... 13 1.5 Probleme.............................. 17 1.6 Limite ale funcțiilor vectoriale de variabilă vectorială.............................. 22 1.7 Continuitatea funcțiilor vectoriale de variabilă vectorială.... 25 1.8 Probleme.............................. 27 2 Calcul diferențial în R n 31 2.1 Spațiul normat al aplicațiilor liniare............... 31 2.2 Probleme.............................. 36 2.3 Derivata unei funcții vectoriale de variabilă reală................................. 37 2.4 Diferențiabilitatea unei funcții vectoriale de variabilă vectorială......................... 39 2.5 Derivata după o direcție a unei funcții vectoriale de variabilă vectorială.............................. 43 2.6 Derivate parțiale ale unei funcții vectoriale de variabilă vectorială 45 2.7 Probleme.............................. 50 2.8 Operații cu funcții diferențiabile................. 59 2.9 Probleme.............................. 62 2.10 Diferențiabilitatea funcției inverse................. 67 2.11 Teoreme de medie pentru funcții de variabilă vectorială.... 70 2.12 Probleme.............................. 73 i

ii 2.13 Funcții de clasă C 1......................... 77 2.14 Teorema difeomorfismului local.................. 79 2.15 Funcții implicite.......................... 82 2.16 Probleme.............................. 86 2.17 Extreme condiționate....................... 91 2.18 Derivate parțiale de ordinul doi.................. 94 2.19 Diferențiala a doua......................... 101 2.20 Probleme.............................. 103 2.21 Condiții necesare și suficiente de extrem............. 107 2.22 Probleme.............................. 111 2.23 Derivate parțiale și diferențiale de ordin superior............................... 115 2.24 Probleme.............................. 118 3 Integrale multiple 121 3.1 Integrala Riemann pe un interval compact în R n........ 121 3.2 Criterii de integrabilitate Riemann pe un interval compact în R n 125 3.3 Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann pe un interval compact în R n........................... 128 3.4 Calculul integralelor Riemann pe intervale compacte prin reducere la integrale iterate..................... 129 3.5 Integrala Riemann pe mulțimi mărginite în R n......... 132 3.6 Calculul integralelor Riemann pe mulțimi mărginite prin reducere la integrale iterate....................... 135 3.7 Schimbarea variabilelor în integralele multiple.......... 140 3.8 Probleme Calculul integralelor duble.............. 141 3.9 Probleme Calculul integralelor triple.............. 147 3.10 Probleme Calculul integralelor multiple............ 151 3.11 Probleme diverse.......................... 154 4 Funcții cu variație mărginită 161 4.1 Definiții și notații.......................... 161 4.2 Proprietăți ale variației totale................... 163 4.3 Integrabilitatea Riemann-Stieltjes în raport cu o funcție cu variație mărginită........................... 171 4.4 Probleme.............................. 175 5 Integrale curbilinii 179 5.1 Drumuri și curbe.......................... 179 5.2 Integrala de primul tip de-a lungul unui drum.......... 183

iii 5.3 Forme diferențiale de gradul întâi................. 186 5.4 Integrala unei forme diferențiale de gradul întâi pe un drum (integrala de al doilea tip de-a lungul unui drum)........ 188 5.5 Formula lui Green......................... 192 5.6 Integrarea formelor diferențiale exacte.............. 194 5.7 Probleme Integrale curbilinii de primul tip........... 200 5.8 Probleme Integrale curbilinii de al doilea tip.......... 206 6 Integrale de suprafață 211 6.1 Pânze și suprafețe......................... 211 6.2 Integrala de primul tip pe o pânză de suprafață......... 216 6.3 Forme diferențiale de gradul doi.................. 222 6.4 Integrala unei forme diferențiale de gradul doi pe o pânză de suprafață (integrala de al doilea tip pe o pânză de suprafață). 223 6.5 Formula lui Stokes......................... 225 6.6 Formula lui Gauss-Ostrogradski.................. 227 6.7 Probleme Integrale de suprafață de primul tip......... 233 6.8 Probleme Integrale de suprafață de al doilea tip........ 236 Bibliografie??? Index???

iv

Notații N, Q, R mulțimile numerice clasice: a numerelor naturale (fără 0), a numerelor raționale și respectiv a numerelor reale; R mulțimea extinsă a numerelor reale; R n spațiul euclidian n-dimensional; 0 n originea lui R n ; e 1, e 2,..., e n elementele bazei canonice din R n ; x, y produsul scalar al vectorilor x, y R n ; x norma vectorului x R n ; d(x, y) distanța euclidiană dintre x, y R n ; B(a, r) bila deschisă de centru a și rază r; B(a, r) bila închisă de centru a și rază r; V(x) familia tuturor vecinătăților punctului x R n ; int A mulțimea tuturor punctelor interioare ale lui A; ext A mulțimea tuturor punctelor exterioare lui A; cl A mulțimea tuturor punctelor aderente lui A; bd A mulțimea tuturor punctelor frontieră pentru A; A mulțimea tuturor punctelor de acumulare pentru A; [φ] matricea aplicației liniare φ; φ norma aplicației liniare φ; v

vi Notații f (x) derivata funcției de variabilă reală f în punctul x; f (x; v) derivata funcției f în punctul x după direcția v; df(x) diferențiala funcției f în punctul x; J(f)(x) matricea Jacobi a funcției f în punctul x; f(x) gradientul funcției f în punctul x; f x j (x) = f x j (x) derivata parțială în raport cu variabila x j a funcției f în punctul x; f x i x j (x) = 2 f x j x i (x) derivata parțială de ordinul doi în raport cu variabilele (x i, x j ) a funcției f în punctul x; d 2 f(x) diferențiala a doua a funcției f în punctul x; H(f)(x) matricea hessiană a funcției f în punctul x; f (k) x i1 x ik (x) = k f x ik x i1 (x) derivata parțială de ordinul k în raport cu variabilele (x i1,..., x ik ) a funcției f în punctul x; d k f(x) diferențiala de ordinul k a funcției f în punctul x. Part (T ) familia tuturor partițiilor lui T ; π norma partiției π; P (π) familia tuturor sistemelor de puncte intermediare asociate partiției π; σ(f, π, ξ) suma Riemann asociată funcției f, partiției π și sistemului de puncte intermediare ξ; R(T ) mulțimea tuturor funcțiilor f : T R, care sunt integrabile Riemann pe T ; T f, T f(x)dx, b 1 a 1 b n a n f(x 1,..., x n ) dx 1 dx n integrala Riemann a funcției f pe intervalul compact T ; s(f, π) suma Darboux inferioară asociată funcției f și partiției π;

Notații vii S(f, π) suma Darboux superioară asociată funcției f și partiției π; fdx integrala Darboux inferioară a funcției f pe T ; T fdx integrala Darboux superioară a funcției f pe T ; T A f, A f(x)dx, A f(x 1,..., x n ) dx 1 dx n integrala Riemann a funcției f pe mulțimea mărginită A; V (f, ) variația funcției f relativă la diviziunea ; b (f) variația totală a funcției f; a BV ([a, b], R n ) mulțimea tuturor funcțiilor definite pe [a, b] cu valori în R n, care sunt cu variație mărginită; BV [a, b] mulțimea tuturor funcțiilor definite pe [a, b] cu valori în R, care sunt cu variație mărginită; I(γ) imaginea drumului γ; l(γ) lungimea drumului γ; I(Γ) imaginea curbei Γ; l(γ) lungimea curbei Γ; γ fds, γ f(x)ds, γ f(x 1,..., x n )ds integrala în raport cu lungimea a funcției f de-a lungul drumului γ; γ f, γ f 1dx 1 + + f n dx n integrala formei diferențiale f pe drumul γ; D frontiera orientată pozitiv a mulțimii D; D f integrala formei diferențiale f pe frontiera orientată pozitiv a lui D; I(σ) imaginea pânzei σ; σ bordul pânzei σ;

viii Notații I(Σ) imaginea suprafeței Σ; σ fds, σ f(x, y, z)ds integrala în raport cu aria a funcției f pe pânza de suprafață σ; σ f, σ f 1 dy dz + f 2 dz dx + f 3 dx dy integrala formei diferențiale f pe pânza de suprafață σ; λ f integrala formei diferențiale f pe lanțul λ.

Capitolul 1 Topologie în R n 1.1 Spațiul euclidian R n 1.1.1 Definiție (spațiul liniar R n ). Fiind dat n N, considerăm mulțimea precum și operațiile R n := { (x 1,..., x n ) j {1,..., n} : x j R }, + : R n R n R n (x, y) R n R n x + y R n : R R n R n (α, x) R R n α x R n, numite adunare și respectiv înmulțire cu scalari, definite în felul următor: dacă x := (x 1,..., x n ) R n, y := (y 1,..., y n ) R n și α R, atunci punem (1) x + y := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) și respectiv (2) α x := (αx 1,..., αx n ). Se verifică imediat că aceste operații se bucură de următoarele proprietăți: 1 x, y, z R n : x + (y + z) = (x + y) + z; 2 x, y R n : x + y = y + x; 3 Există un element 0 n R n (numit originea lui R n ) așa încât x+0 n = x oricare ar fi x R n ; 1

2 1 Topologie în R n 4 Pentru orice x R n există un element x R n (numit simetricul sau opusul lui x) așa încât x + ( x) = 0 n ; 5 x R n : 1 x = x; 6 α, β R x R n : α (β x) = (αβ) x; 7 α, β R x R n : (α + β) x = α x + β x; 8 α R x, y R n : α (x + y) = α x + α y. Originea lui R n este unică și 0 n = (0,..., 0). De asemenea, simetricul oricărui element x R n este unic. Dacă x = (x 1,..., x n ), atunci x = ( x 1,..., x n ). O mulțime nevidă X, înzestrată cu două operaţii + : X X X (x, y) X X x + y X : R X X (α, x) R X α x X, se numește spațiu liniar peste corpul R al numerelor reale (sau spațiu liniar real) dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: (SL1) x, y, z X : x + (y + z) = (x + y) + z; (SL2) x, y X : x + y = y + x; (SL3) Există un element 0 X X (numit originea lui X) astfel încât x + 0 X = x oricare ar fi x X; (SL4) Pentru orice x X există un element x X (numit simetricul sau opusul lui x) așa încât x + ( x) = 0 X ; (SL5) x X : 1 x = x; (SL6) α, β R x X : α (β x) = (αβ) x; (SL7) α, β R x X : (α + β) x = α x + β x; (SL8) α R x, y X : α (x + y) = α x + α y. Din proprietățile 1 8 rezultă că mulțimea R n, înzestrată cu adunarea și înmulţirea cu scalari definite prin (1) și (2), este un spațiu liniar real. In continuare, elementele lui R n vor fi numite vectori sau puncte, iar elementele lui R vor fi numite scalari. Produsul α x, dintre scalarul α R și vectorul x R n, se va nota simplu cu αx (adică punctul va fi omis).

1.1 Spațiul euclidian R n 3 1.1.2 Definiție (baza canonică a lui R n ). Considerăm vectorii e 1 := (1, 0, 0,..., 0) R n, e 2 := (0, 1, 0,..., 0) R n,. e n := (0, 0, 0,..., 1) R n. Mulțimea {e 1, e 2,..., e n } este o bază algebrică a spațiului liniar real R n, numită baza canonică sau baza standard a lui R n. Orice vector x = (x 1,..., x n ) din R n se reprezintă cu ajutorul vectorilor din baza canonică sub forma x = x 1 e 1 + + x n e n. 1.1.3 Definiție (produsul scalar în R n ). Fie x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) doi vectori din R n. Produsul scalar dintre x și y este numărul real definit prin (3) x, y := x 1 y 1 + + x n y n. Se constată imediat că produsul scalar are următoarele proprietăți: 1 x, y, z R n : x + y, z = x, z + y, z ; 2 α R x, y R n : αx, y = α x, y ; 3 x, y R n : x, y = y, x ; 4 x R n \ {0 n } : x, x > 0. Din (3) rezultă că x, 0 n = 0 n, x = 0 și că x, x 0 oricare ar fi x R n. Fiind dat un spațiu liniar real X, o funcție, : X X R se numește produs scalar pe X, dacă îndeplinește următoarele condiții: (PS1) x, y, z X : x + y, z = x, z + y, z ; (PS2) α R x, y X : αx, y = α x, y ; (PS3) x, y X : x, y = y, x ; (PS4) x X \ {0 X } : x, x > 0. Perechea ordonată (X,, ) se numește spațiu cu produs scalar sau spațiu prehilbertian real. Din proprietățile 1 4 rezultă că (R n,, ), unde, este produsul scalar definit prin egalitatea (3), este un spațiu prehilbertian real, numit spațiul euclidian R n.

4 1 Topologie în R n 1.1.4 Teoremă (inegalitatea lui Cauchy Buniakovski Schwarz). Pentru orice vectori x, y R n are loc inegalitatea Demonstrație. Se va face la seminar. x, y x, x y, y. 1.1.5 Definiție (norma euclidiană în R n ). Funcția : R n [0, ), definită prin (4) x := x, x = x 2 1 + + x2 n oricare ar fi x = (x 1,..., x n ) R n, se numește norma euclidiană în R n. Este uşor de verificat că norma euclidiană are următoarele proprietăți: 1 x = 0 x = 0 n ; 2 α R x R n : αx = α x ; 3 x, y R n : x + y x + y. Inegalitatea de la 3 se numește inegalitatea triunghiului și ea este o consecință a inegalităţii lui Cauchy Buniakovski Schwarz. Fiind dat un spațiu liniar real X, o funcție : X [0, ) se numește normă pe X, dacă îndeplinește următoarele condiții: (N1) x = 0 x = 0 X ; (N2) α R x X : αx = α x ; (N3) x, y X : x + y x + y. Perechea ordonată (X, ) se numește spațiu normat real. Din proprietățile 1 3 rezultă că (R n, ), unde este norma euclidiană definită prin (4), este un spațiu normat real. 1.1.6 Definiție (distanța euclidiană în R n ). Funcția d : R n R n [0, ), definită pentru orice puncte x = (x 1,..., x n ) R n și y = (y 1,..., y n ) R n prin (5) d(x, y) := x y = (x 1 y 1 ) 2 + + (x n y n ) 2, se numește distanța sau metrica euclidiană în R n. Proprietățile normei euclidiene garantează că

1.2 Structura topologică a spațiului R n 5 1 d(x, y) = 0 x = y; 2 x, y R n : d(x, y) = d(y, x); 3 x, y, z R n : d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Fiind dată o mulțime nevidă X, o funcție d : X X [0, ) se numește metrică sau distanță pe X, dacă îndeplinește următoarele condiții: (M1) d(x, y) = 0 x = y; (M2) x, y X : d(x, y) = d(y, x); (M3) x, y, z X : d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Perechea ordonată (X, d) se numește spațiu metric. Din proprietățile 1 3 rezultă că (R n, d), unde d este distanța euclidiană definită prin (5), este un spațiu metric. 1.2 Structura topologică a spațiului R n 1.2.1 Definiție (bile). Fiind date a R n și r > 0, notăm B(a, r) := {x R n d(x, a) < r} = {x R n x a < r}, B(a, r) := {x R n d(x, a) r} = {x R n x a r}. Aceste mulțimi se numesc bila deschisă și respectiv bila închisă cu centrul în a și de rază r. Evident, avem a B(a, r) B(a, r). 1.2.2 Definiție (vecinătăți). Fie x un punct arbitrar din R n. O mulțime V R n se numește vecinătate a lui x dacă există r > 0 astfel ca B(x, r) V. Familia tuturor vecinătăților lui x va fi notată cu V(x). 1.2.3 Definiție. Fie A o submulțime a lui R n și fie x R n. Se spune că x este punct interior al lui A dacă A V(x), adică dacă există r > 0 astfel ca B(x, r) A; punct exterior lui A dacă R n \ A V(x), adică dacă există r > 0 astfel ca B(x, r) R n \ A; punct aderent lui A dacă V A oricare ar fi V V(x);

6 1 Topologie în R n punct frontieră pentru A dacă V A și V (R n \ A) oricare ar fi V V(x); punct de acumulare pentru A dacă (V A) \ {x} = oricare ar fi V V(x); punct izolat al lui A dacă există V V(x) astfel ca V A = {x}. Mulțimea tuturor punctelor interioare ale lui A se numește interiorul lui A și va fi notată cu int A. Mulțimea tuturor punctelor exterioare lui A se numește exteriorul lui A și va fi notată cu ext A. Mulțimea tuturor punctelor aderente lui A se numește închiderea sau aderența lui A și va fi notată cu cl A. Mulțimea tuturor punctelor frontieră pentru A se numește frontiera lui A și va fi notată cu bd A. Mulțimea tuturor punctelor de acumulare pentru A se numește derivata mulțimii A și va fi notată cu A. 1.2.4 Teoremă. Pentru orice mulțime A R n au loc următoarele relații: 1 int A A cl A; 2 ext A = int ( R n \ A ) ; 3 cl A = R n \ int ( R n \ A ) ; 4 bd A = (cl A) cl ( R n \ A ) ; 5 (int A) (bd A) = cl A; 6 (int A) (bd A) (ext A) = R n ; 7 (int A) (bd A) = ; 8 (int A) (ext A) = ; 9 (ext A) (bd A) = ; 10 cl A = A A. Demonstrație. Demonstrăm doar relația 10. Arătăm mai întâi că (1) cl A A A.

1.2 Structura topologică a spațiului R n 7 Fie în acest scop x cl A arbitrar. Dacă x A, atunci x A A. Dacă x A, să dovedim că x A. Fie V o vecinătate oarecare a lui x. Cum x cl A, avem V A. Intrucât x A, deducem că (V A) \ {x} =. Drept urmare avem x A, deci x A A. Așadar, incluziunea (1) are loc. ținând seama de relația 1, precum și de incluziunea evidentă A cl A, deducem că (2) A A cl A. Din (1) și (2) rezultă că relația 10 are loc. 1.2.5 Definiție (mulțimi deschise și mulțimi închise). O mulțime A R n se numește: deschisă dacă A V(x) oricare ar fi x A, adică dacă pentru orice x A există un r > 0 așa încât B(x, r) A; închisă dacă mulțimea R n \ A este deschisă. 1.2.6 Exemplu. Dacă a R n și r > 0, atunci bila deschisă B(a, r) este o mulțime deschisă, iar bila închisă B(a, r) este o mulțime închisă. In adevăr, pentru orice x B(a, r) avem x a < r. Notând r := r x a > 0, se arată ușor că B(x, r ) B(a, r), deci B(a, r) este mulțime deschisă. De asemenea, pentru orice punct x R n \ B(a, r) avem x a > r. Notând r := x a r > 0, se arată ușor că B(x, r ) R n \ B(a, r). Prin urmare, mulțimea R n \ B(a, r) este deschisă, deci B(a, r) este o mulțime închisă. 1.2.7 Propoziție. Dacă A este o submulțime a lui R n, atunci int A este o mulțime deschisă, iar cl A este o mulțime închisă. Demonstrație. Fie x int A. Atunci există un r > 0 astfel încât B(x, r) A. Dovedim că B(x, r) int A. Fie în acest scop y B(x, r). Atunci avem y x < r. Notând r := r y x > 0, are loc incluziunea B(y, r ) B(x, r) A, deci y int A. Prin urmare, există pentru fiecare x int A un r > 0 astfel ca B(x, r) int A. Aceasta înseamnă că int A este mulțime deschisă. Conform relației 3 din teorema 1.2.4 și a celor stabilite mai sus, mulțimea R n \ cl A = int ( R n \ A ) este deschisă, deci mulţimea cl A este închisă. 1.2.8 Teoremă (caracterizarea mulțimilor deschise). Fiind dată o mulțime A R n, următoarele afirmații sunt echivalente:

8 1 Topologie în R n 1 A este deschisă. 2 Are loc egalitatea int A = A. 3 Are loc egalitatea A bd A =. Demonstrație. 1 2 Conform teoremei 1.2.4, avem int A A. Pe de altă parte, deoarece A este deschisă, pentru fiecare x A există un r > 0 astfel încât B(x, r) A. Deci fiecare punct x A este interior lui A. In consecință, avem int A = A. 2 3 Dacă int A = A, atunci în baza relației 7 din teorema 1.2.4 avem A bd A = (int A) (bd A) =. 3 1 Presupunem că A bd A =, dar A nu este deschisă. Există atunci un punct x 0 A cu proprietatea că B(x 0, r) A oricare ar fi r > 0. Rezultă de aici că B(x 0, r) ( R n \ A ) oricare ar fi r > 0. Pe de altă parte, mai avem și x 0 B(x 0, r) A oricare ar fi r > 0. In consecință, trebuie să avem x 0 bd A, deci x 0 A bd A, ceea ce contrazice presupunerea făcută. Contradicția obținută arată că A este deschisă. 1.2.9 Teoremă (caracterizarea mulțimilor închise). Fiind dată o mulțime A R n, următoarele afirmații sunt echivalente: 1 A este închisă. 2 Are loc egalitatea cl A = A. 3 Are loc incluziunea bd A A. 4 Are loc incluziunea A A. Demonstrație. 1 2 Dacă A este închisă, atunci R n \ A este deschisă, deci int ( R n \ A ) = R n \ A, conform teoremei 1.2.8. Folosind acum afirmația 3 din teorema 1.2.4 deducem că cl A = R n \ int ( R n \ A ) = R n \ ( R n \ A ) = A. 2 1 Dacă A = cl A, atunci mulțimea A este închisă, conform propoziției 1.2.7. 2 3 Din 2 și afirmația 5 a teoremei 1.2.4 rezultă că A = cl A = (int A) (bd A),

1.2 Structura topologică a spațiului R n 9 deci bd A A. 3 2 Din 3 și afirmațiile 1 și 5 ale teoremei 1.2.4 rezultă că deci cl A = A. cl A = (int A) (bd A) A cl A, 2 4 Din 2 și afirmația 10 a teoremei 1.2.4 rezultă că A = cl A = A A, deci A A. 4 2 Din 4 și afirmațiile 1 și 10 ale teoremei 1.2.4 rezultă că deci cl A = A. cl A = A A A cl A, 1.2.10 Teoremă. Familia T, a tuturor submulțimilor deschise ale lui R n, se bucură de următoarele proprietăți: 1 T și R n T. 2 Oricare ar fi familia (G i ) i I, de mulțimi din T, avem i I G i T. 3 Pentru orice mulțimi G 1, G 2 T, avem G 1 G 2 T. Demonstrație. Imediată. 1.2.11 Observații. a) Fiind dată o mulțime arbitrară X, se numește topologie pe X orice familie T P(X), de submulțimi ale lui X, care îndeplinește următoarele condiții: (T1) T și X T ; (T2) Oricare ar fi familia (G i ) i I, de mulțimi din T, avem i I G i T ; (T3) Pentru orice mulțimi G 1, G 2 T, avem G 1 G 2 T. Perechea ordonată (X, T ) se numește spațiu topologic. Din teorema 1.2.10 rezultă că familia T, a tuturor submulțimilor deschise ale lui R n, este o topologie pe R n, numită topologia euclidiană. b) Familia T, a tuturor submulțimilor închise ale lui R n, se bucură de următoarele proprietăți: 1 T și R n T ;

10 1 Topologie în R n 2 Oricare ar fi familia (F i ) i I, de mulțimi din T, avem i I F i T ; 3 Pentru orice mulțimi F 1, F 2 T, avem F 1 F 2 T. c) Intersecția unei familii oarecare de mulțimi din T nu aparține, în general, lui T. De exemplu, mulţimea G k := ( 1 k, 1 ) k este deschisă în R pentru fiecare k N, dar G k = {0} este închisă în R. k=1 De asemenea, reuniunea unei familii oarecare de mulțimi din T nu aparține, în general, lui T. De exemplu, mulțimea F k := [ 1 + 1 2k, 1 1 ] 2k este închisă în R pentru fiecare k N, dar F k = ( 1, 1) este deschisă în R. 1.3 Șiruri de puncte în R n k=1 1.3.1 Definiție (șiruri convergente în R n ). Orice funcție f : N R n se numește șir de puncte din R n. Dacă f(k) = x k R n pentru k N, atunci șirul va fi notat (x k ) k N sau, simplu, (x k ). Fiecare termen x k al șirului fiind un punct din R n, este de forma x k = (x k1, x k2,..., x kn ). Fie (x k ) un șir de puncte din R n și fie x R n. Se spune că (x k ) converge către x (sau că x este o limită a șirului (x k )) dacă ε > 0 k 0 N a.î. k k 0 : x k x 0 < ε. Se constată imediat că un șir de puncte din R n are cel mult o limită. In cazul în care aceasta există, șirul se numește convergent. Faptul că șirul (x k ) converge către x va fi notat prin (x k ) x sau lim x k = x. k 1.3.2 Teoremă. Fie (x k ) un șir de puncte din R n și fie x R n. Atunci Demonstrație. Evidentă. (x k ) x lim k x k x = 0. 1.3.3 Teoremă. Fie (x k ) și (y k ) șiruri convergente de puncte din R n, fie x := lim k x k, y := lim k y k, fie (α k ) un șir convergent de numere reale și fie α := lim k α k. Atunci Demonstrație. Imediată. lim (x k + y k ) = x + y și lim (α kx k ) = αx. k k

1.3 Șiruri de puncte în R n 11 1.3.4 Teoremă. Fie (x k ) un șir de puncte din R n, x k = (x k1,..., x kn ) (k N) și fie x = ( x 1,..., x n ) R n. Atunci lim x k = x j {1,..., n} : lim x kj = x j. k k Demonstrație. Necesitatea. Presupunem că lim k x k = x. Conform teoremei 1.3.2 avem atunci lim k x k x = 0. Deoarece x k x = (x k1 x 1 ) 2 + (x k2 x 2 ) 2 + + (x kn x n ) 2 x kj x j pentru fiecare j {1,..., n}, rezultă că lim k x kj x j = 0, adică lim k x kj = x j pentru orice j {1,..., n}. Suficiența. Admitem acum că lim k x kj = x j, adică lim x kj x j = 0 k pentru orice j {1,..., n}. Deoarece n x k x = (x kj x j ) 2 j=1 n x kj x j, deducem că lim k x k x = 0, deci lim k x k = x, conform teoremei 1.3.2. 1.3.5 Definiție (șiruri fundamentale în R n ). Un șir (x k ), de puncte din R n se numește fundamental (sau şir Cauchy) dacă j=1 ε > 0 k 0 N a.î. k, l k 0 : x k x l < ε. 1.3.6 Teoremă. Fie (x k ) un șir din R n, x k = (x k1,..., x kn ) (k N). Atunci următoarele afirmații sunt echivalente: 1 Șirul (x k ) este fundamental. 2 Pentru fiecare j {1,..., n}, șirul de numere reale (x kj ) este fundamental. Demonstrație. 1 2 Presupunem că (x k ) este fundamental. Fie j {1,..., n} fixat. Pentru a dovedi că șirul (x kj ) este fundamental, fie ε > 0. Există atunci un k 0 N așa încât pentru orice k, l k 0 să avem x k x l < ε. Deoarece x k x l = (x k1 x l1 ) 2 + + (x kn x ln ) 2 x kj x lj,

12 1 Topologie în R n deducem că x kj x lj < ε pentru orice k, l k 0. Drept urmare, șirul de numere reale (x kj ) este fundamental. 2 1 Fie ε > 0 oarecare. Pentru fiecare j {1,..., n} există un k j N astfel ca x kj x lj < ε n pentru orice k, l k j. Notând k 0 := max{k 1,..., k n }, avem n x k x l = (x kj x lj ) 2 j=1 n x kj x lj < ε, oricare ar fi k, l k 0. In consecință, șirul (x k ) este fundamental. 1.3.7 Teoremă (A. L. Cauchy). Un șir de puncte din R n este convergent dacă și numai dacă el este fundamental. Demonstrație. Fie (x k ) un șir din R n, x k = (x k1,..., x kn ) (k N). Avem (x k ) convergent j {1,..., n} șirul (x kj ) este convergent j=1 j {1,..., n} șirul (x kj ) este fundamental (x k ) fundamental, cele trei echivalențe fiind justificate de teorema 1.3.4, teorema lui Cauchy pentru șiruri de numere reale și respectiv teorema 1.3.6. 1.3.8 Teoremă (caracterizarea secvențială a punctelor aderente). Fie A o submulțime a lui R n. Un punct x R n este aderent lui A dacă și numai dacă există un șir (x k ), de puncte din A, care converge către x. Demonstrație. Necesitatea. Dacă x cl A, atunci pentru orice k N avem B ( x, 1 ) k A. Pentru fiecare k N alegem xk B ( x, 1 ) k A. Atunci (xk ) este un șir de puncte din A cu proprietatea x k x < 1 k oricare ar fi k N. In baza teoremei 1.3.2 rezultă că (x k ) x. Suficiența. Admitem că există un șir (x k ), de puncte din A, care converge către x. Fie V o vecinătate arbitrară a lui x. Există atunci r > 0 în așa fel încât B(x, r) V. Cum (x k ) x, există un k 0 N astfel ca x k x < r oricare ar fi k k 0. Atunci pentru orice k k 0 avem x k B(x, r) V și x k A, deci V A. Intrucât V a fost arbitrară, deducem că x cl A.

1.4 Mulțimi compacte în R n 13 1.3.9 Consecință (caracterizarea secvențială a punctelor de acumulare). Fie A o submulțime a lui R n. Un punct x R n este punct de acumulare al lui A dacă și numai dacă există un șir (x k ), de puncte din A \ {x}, care converge către x. Demonstrație. Rezultă din teorema 1.3.8, ținând seama că x A dacă și numai dacă x cl ( A \ {x} ). 1.3.10 Consecință (caracterizarea secvențială a mulțimilor închise). O mulțime A R n este închisă dacă și numai dacă pentru orice șir convergent de puncte din A, limita sa aparţine lui A. Demonstrație. Se aplică teorema 1.3.8 și teorema 1.2.9. 1.4 Mulțimi compacte în R n 1.4.1 Definiție (mulțimi compacte). Fie A R n. Se numește acoperire a mulțimii A orice familie (A i ) i I, de submulțimi ale lui R n, pentru care A i I A i. Acoperirea (A i ) i I se numește deschisă dacă toate mulțimile A i (i I) sunt deschise. O mulțime A R n se numește compactă dacă din orice acoperire deschisă a sa se poate extrage o subacoperire finită, adică dacă pentru orice acoperire deschisă (A i ) i I a lui A există o submulțime finită J a lui I cu proprietatea că A i J A i. Evident, orice mulțime finită A R n este compactă. 1.4.2 Exemplu. O mulțime A R n se numește hipercub închis dacă este de forma A = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ], unde a 1, b 1, a 2, b 2,..., a n, b n R, a 1 < b 1, a 2 < b 2,..., a n < b n și b 1 a 1 = b 2 a 2 = = b n a n. Vom dovedi în cele ce urmează că orice hipercub închis din R n este o mulțime compactă. Facem demonstrația doar în cazul particular n = 2 (demonstrația pentru n arbitrar este, în esență, aceeași, fiind însă puțin mai dificil de redactat). Fie așadar A = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] și fie l = b 1 a 1 = b 2 a 2. Presupunem prin absurd că mulțimea A nu este compactă, adică există o acoperire deschisă (G i ) i I a lui A, din care nu se poate extrage nici o subacoperire finită. Cu ajutorul centrului său, împărțim pătratul A în 2 2 pătrate: [ a 1, a 1+b 1 2 ] [ a 2, a 2+b 2 2 ], [ ] [ a1 +b 1 2, b 1 a 2, a 2+b 2 2 ], [ a 1, a 1+b 1 2 ] [ a2 +b 2 2, b 2 ], [ ] [ ] a1 +b 1 2, b 1 a2 +b 2 2, b 2.

14 1 Topologie în R n Cel puțin unul dintre aceste 2 2 pătrate nu poate fi acoperit cu un număr finit de mulțimi din familia (G i ) i I. Fie A 1 = [a 11, b 11 ] [a 21, b 21 ] un asemenea pătrat, unde a 1 a 11 < b 11 b 1, a 2 a 21 < b 21 b 2, b 11 a 11 = b 21 a 21 = l 2. Cu pătratul A 1 se procedează ca și cu A. Se descompune A 1 cu ajutorul centrului său în 2 2 pătrate. Cel puțin unul dintre aceste pătrate nu poate fi acoperit cu un număr finit de mulțimi din familia (G i ) i I. Fie A 2 = [a 12, b 12 ] [a 22, b 22 ] un asemenea pătrat, unde a 11 a 12 < b 12 b 11, a 21 a 21 < b 21 b 22, b 12 a 12 = b 22 a 22 = l 2 2. Continuând raționamentul, obținem inductiv un șir A k = [a 1k, b 1k ] [a 2k, b 2k ] de pătrate cu următoarele proprietăți: a) A k A oricare ar fi k N; b) niciunul dintre pătratele A k (k N) nu poate fi acoperit cu un număr finit de mulțimi din familia (G i ) i I ; c) șirurile (a 1k ) și (a 2k ) sunt crescătoare, șirurile (b 1k ) și (b 2k ) sunt descrescătoare și b 1k a 1k = b 2k a 2k = l 2 k oricare ar fi k N. Există așadar x 1, x 2 R cu proprietatea {x 1} = [a 1k, b 1k ] și {x 2} = k=1 [a 2k, b 2k ]. Notând x := (x 1, x 2 ), avem atunci x k=1 A k A. Cum (G i ) i I este o acoperire a lui A, există un i 0 I astfel ca x G i0. Deoarece G i0 este deschisă, există r > 0 așa încât B(x, r) G i0. Alegem un k N în aşa fel încât 2l/2 k < r. Pentru orice punct x = (x 1, x 2 ) A k avem k=1 x 1 x 1 b 1k a 1k = l 2 k şi x 2 x 2 b 2k a 2k = l 2 k. Urmează de aici că x x = (x 1 x 1 )2 + (x 2 x 2 )2 2l 2 k < r,

1.4 Mulțimi compacte în R n 15 deci A k B(x, r) G i0. Prin urmare, pătratul A k poate fi acoperit cu o mulțime din familia (G i ) i I, în contradicție cu construcția şirului de pătrate (A k ). Contradicția obținută arată că mulțimea A este compactă. 1.4.3 Definiție (mulțimi mărginite). O mulțime A R n se numește mărginită dacă există a R n și r > 0 astfel ca A B(a, r). Evident, toate bilele închise și toate bilele deschise din R n sunt mulțimi mărginite. De asemenea, orice submulţime a unei mulțimi mărginite din R n este mărginită. 1.4.4 Teoremă (caracterizarea mulțimilor compacte). Fiind dată o mulțime A R n, următoarele afirmații sunt echivalente: 1 A este compactă. 2 Orice submulțime infinită a lui A are cel puţin un punct de acumulare care aparține lui A. 3 A este secvențial compactă, adică orice șir de puncte din A are un subșir convergent către un punct din A. 4 A este mărginită și închisă. Demonstrație. 1 2 Admitem că A este compactă. Presupunem prin absurd că există o mulțime infinită A 0 A care nu are niciun punct de acumulare aparținând lui A. Aceasta înseamnă că pentru fiecare x A există un r x > 0 încât B(x, r x ) A 0 \ {x} =, deci B(x, r x ) A 0 {x} oricare ar fi x A. Familia ( B(x, r x ) ) este o acoperire deschisă a lui A. Intrucât A este compactă, există x 1,..., x m A în așa fel încât A B(x j, r xj ). Atunci x A m avem A 0 = A A 0 j=1 m ) (B(x j, r xj ) A 0 {x 1,..., x m }, j=1 ceea ce este absurd, căci A 0 este infinită. 2 3 Fie (x k ) un șir arbitrar de puncte din A și fie A 0 mulțimea termenilor șirului, A 0 := {x k k = 1, 2,...}. Dacă mulțimea A 0 este finită, atunci cel puțin unul dintre termenii şirului se repetă de o infinitate de ori. Prin urmare, în acest caz șirul (x k ) posedă un subșir convergent către un punct din A și anume un subșir constant. Presupunem în continuare că A 0 este infinită. Conform ipotezei 2, mulțimea A 0 posedă cel puţin un punct de acumulare x A. Atunci orice vecinătate a lui x conține o infinitate de termeni ai șirului (x k ). Construim un subșir (x kj ) al șirului (x k ) în felul următor:

16 1 Topologie în R n alegem k 1 N astfel ca x k1 B(x, 1); de îndată ce k j ( N a ) fost construit deja, alegem k j+1 > k j în așa fel 1 încât x kj+1 B x, j+1. Cum x kj x < 1/j oricare ar fi j N, rezultă în baza teoremei 1.3.2 că (x kj ) x. 3 4 Presupunând că A nu este mărginită, avem A B(0 n, k) oricare ar fi k N. Prin urmare, pentru fiecare k N există un punct x k A cu x k > k. Conform ipotezei 3, şirul (x k ) are un subșir (x kj ), convergent către un punct x A. Avem atunci lim j x kj x = 0, conform teoremei 1.3.2. Pe de altă parte, avem x kj x x kj x > k j x pentru orice j N. Cum lim j k j =, deducem că lim j x kj x =, ceea ce este absurd. Contradicția obţinută arată că A este mărginită. Pentru a dovedi că A este închisă, folosim consecința 1.3.10. Fie (x k ) un șir convergent arbitrar de puncte din A și fie x R n limita sa. Conform ipotezei 3, șirul (x k ) are un subșir convergent către un punct din A. Limita acestui subșir fiind x, rezultă că x A. Prin urmare, A este închisă. 4 1 Admitem că A este mărginită și închisă. Există atunci un r > 0 în așa fel încât A [ r, r] n. Pentru a dovedi că A este compactă, fie (G i ) i I o acoperire deschisă a lui A. Atunci (G i ) i I {R n \ A} va fi o acoperire deschisă a hipercubului închis [ r, r] n. Acesta fiind o mulțime compactă (a se vedea exemplul 1.4.2), există o mulțime finită J I astfel ca [ r, r] n ( R n \ A ) ( ) G i. Intrucât A [ r, r] n, rezultă că A i J G i, adică (G i ) i J este o subacoperire finită a acoperirii (G i ) i I. In consecință, mulțimea A este compactă. 1.4.5 Observații. a) Echivalența 1 3 din teorema 1.4.4 este cunoscută în literatura de specialitate sub numele de,, teorema de compactitate metrică a lui Hausdorff. Ea este valabilă nu doar în R n ci în orice spațiu metric. b) Echivalența 1 4 din teorema 1.4.4 este cunoscută în literatura matematică sub numele de,, teorema lui Borel Lebesgue. Ea este valabilă în R n precum şi în orice spațiu normat finit dimensional, dar nu și într-un spațiu metric arbitrar. i J

1.5 Probleme 17 1.5 Probleme 1. Fie a = (3, 2, 4) R 3 și b = (8, 6, 3) R 3. Să se determine a + b, a b, 3a + b, a, b, a, b, d(a, b). 2. Să se demonstreze inegalitatea lui Cauchy-Buneakovski-Schwarz: x, y R n : x, y x, x y, y. 3. Să se demonstreze identitatea paralelogramului: x, y R n : x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2. 4. Fie m N și fie x 1,..., x m R n astfel ca și x i = 1 oricare ar fi i {1,..., m} x i x j = 1 oricare ar fi i, j {1,..., m}, i j. Să se demonstreze că mulțimea {x 1,..., x m } este liniar independentă. 5. Fie {i, j, k} baza canonică a spațiului R 3. Concursul Traian Lalescu, UBB, etapa locală, 2013 a) Să se demonstreze că dacă a, b, c R 3 satisfac inegalitatea a 2 + b 2 + c 2 < 1, atunci {i + a, j + b, k + c} este bază în R 3. b) Să se demonstreze că dacă a, b, c R 3 satisfac inegalitatea atunci {a, b, c} este bază în R 3. cos(a, i) + cos(b, j) + cos(c, k) > 5 2, Concursul Traian Lalescu, UPB, etapa locală, 2010 6. Fie H o matrice de tipul n n cu elemente din mulțimea { 1, 1}, ale cărei linii sunt ortogonale două câte două. Presupunem că există în H o submatrice de tipul a b cu toate elementele 1. Să se demonstreze că ab n. Concursul William Lowell Putnam 2005

18 1 Topologie în R n 7. Fiind date numerele reale p, q > 1, cu proprietatea 1 p + 1 q demonstreze că: 1 Are loc inegalitatea lui Young = 1, să se a, b [0, [ : ab ap p + bq q. 2 Are loc inegalitatea lui Hölder a 1,..., a n, b 1,..., b n [0, [ : ( n n a k b k k=1 k=1 a p k ) 1 p ( n k=1 b q k ) 1 q. 8. Fiind dat numărul real p 1, să se demonstreze că are loc inegalitatea lui Minkowski [ n ] 1 p (a k + b k ) p k=1 ( n k=1 a p k ) 1 ( p n + k=1 b p k ) 1 p oricare ar fi a 1,..., a n, b 1,..., b n [0, ). 9. Fiind dat numărul real p 1, să se arate că funcția p : R n [0, ), definită prin x p := ( n k=1 x k p ) 1 p oricare ar fi x = (x 1,..., x n ) R n, este o normă, numită p-norma pe R n. 10. Fie X un spațiu liniar real și : X [0, ) o normă pe X. Se spune că norma provine dintr-un produs scalar dacă există un produs scalar, pe X, cu proprietatea x = x, x pentru orice x X. Să se demonstreze că p-norma p pe R n, unde p 1 și n 2, provine dintr-un produs scalar dacă și numai dacă p = 2. 11. Să se demonstreze că funcția : R n [0, ), definită prin x := max { x 1,..., x n } oricare ar fi x = (x 1,..., x n ) R n, este o normă, numită norma Cebîșev pe R n. Cebîșev nu provine dintr-un produs scalar. Să se arate că norma

1.5 Probleme 19 12. Să se demonstreze că pentru orice x R n are loc egalitatea lim x p = x. p 13. Fie A R n n și fie φ : R n R n aplicația liniară având matricea A în baza canonică a lui R n. Să se demonstreze că dacă φ(x) = x oricare ar fi x R n, atunci există un număr natural m astfel ca A m = I n. SEEMOUS 2007 14. Să se demonstreze că pentru orice a R n și orice r > 0 are loc egalitatea cl B(a, r) = B(a, r). 15. Să se demonstreze că pentru orice mulțime A R n sunt adevărate următoarele relații: 1 int A A cl A; 2 ext A = int (R n \ A); 3 cl A = R n \ int (R n \ A); 4 bd A = (cl A) cl (R n \ A); 5 (int A) (bd A) = cl A; 6 (int A) (bd A) (ext A) = R n ; 7 (int A) (bd A) = ; 8 (int A) (ext A) = ; 9 (ext A) (bd A) = ; 10 cl A = A A. 16. Să se demonstreze că pentru orice mulțimi A, B R n au loc următoarele incluziuni: int (A \ B) (int A) \ (int B) și (cl A) \ (cl B) cl (A \ B). Să se dea exemple de mulțimi A, B R n pentru care incluziunile de mai sus sunt stricte.

20 1 Topologie în R n 17. Fiind date mulțimile A, B R n, să se demonstreze că: a) Dacă A B = R n, atunci ( cl A ) ( int B ) = R n. b) Dacă A B =, atunci ( cl A ) ( int B ) =. 18. Să se demonstreze că pentru orice mulțimi A 1, A 2 R n are loc egalitatea cl(a 1 A 2 ) = (cl A 1 ) (cl A 2 ). Este adevărat că pentru orice familie (A i ) i I de submulțimi ale lui R n are loc egalitatea ( ) cl A i = cl A i? i I i I 19. Să se demonstreze că pentru orice mulțimi A 1, A 2 R n are loc egalitatea (A 1 A 2 ) = A 1 A 2. Este adevărat că pentru orice familie (A i ) i I de submulțimi ale lui R n are loc egalitatea ( A i? i I A i) = i I 20. Fie (x k ) și (y k ) șiruri convergente de puncte din R n și fie x := lim k x k, y := lim k y k. a) Să se demonstreze că lim k d(x k, y k ) = d(x, y). b) Să se deducă apoi că lim k x k = x. 21. Să se determine lim k 2 + 2 + + 2 + 3, }{{} k radicali k b(j) j(j + 1), j=1 unde b(j) este numărul cifrelor 1 din reprezentarea binară a lui j (de exemplu, b(6) = b(110 2 ) = 2, b(8) = b(1000 2 ) = 1).

1.5 Probleme 21 22. Fie f : R R o funcție aditivă, adică o funcție cu proprietatea x, y R : f(x + y) = f(x) + f(y) și fie gr(f) := { (x, f(x)) R 2 x R } graficul lui f. Să se demonstreze că: a) Dacă f este continuă în cel puțin un punct, atunci f este continuă pe R. b) Dacă f este continuă în cel puțin un punct (deci pe R), atunci f(x) = cx oricare ar fi x R, unde c = f(1). c) Dacă f este discontinuă pe R, atunci cl gr(f) = R 2, adică gr(f) este o submulțime densă a lui R 2. 23. Fie (x k ) un șir convergent de puncte din R n și x := lim k x k. Să se demonstreze că mulțimea A := {x} { x k k = 1, 2,... } este compactă. 24. Să se demonstreze că mulțimea { } 1 A := {0} n n N este compactă în R. { 1 n + 1 m } n, m N, n m 25. Să se demonstreze că dacă A este o submulțime compactă a lui R n, iar B este o submulțime compactă a lui R m, atunci mulțimea A B este compactă în R n R m = R n+m. 26. Fiind date mulțimile A, B R n, notăm A + B := { x R n a A și b B : x = a + b }. a) Să se demonstreze că dacă una dintre mulțimile A și B este închisă, iar cealaltă este compactă, atunci mulțimea A + B este închisă. b) Dați exemplu de mulțimi închise A și B pentru care mulțimea A + B nu este închisă. 27. Fie A și B submulțimi nevide ale lui R n și fie d(a, B) := inf { d(x, y) x A, y B }.

22 1 Topologie în R n a) Să se demonstreze că dacă A = {a} și B este închisă, atunci există un b B așa încât d(a, B) = d(a, b). b) Să se demonstreze că dacă A este compactă și B este închisă, atunci există a A și există b B așa încât d(a, B) = d(a, b). c) Arătați printr-un contraexemplu că afirmația de la b) nu rămâne adevărată în cazul când A și B sunt ambele închise dar niciuna compactă. 28. Fiind dată mulțimea A R n și numărul real r > 0, notăm B := { x R n a A : x a = r }. Berkeley 1978 a) Să se reprezinte grafic mulțimea B în cazul în care r = 1, iar A R 2 este cercul cu centrul în (0, 0) și de rază 2, respectiv segmentul care unește punctele (0, 0) și (1, 1). b) Să se demonstreze că dacă A este închisă, atunci și B este închisă. Berkeley 1989 29. (lema numărului Lebesgue) Fiind dată o mulțime mărginită A R n, numărul real, definit prin sup { d(x, y) x, y A }, se numește diametrul mulțimii A. Să se demonstreze că dacă A este compactă, iar (G i ) i I este o acoperire deschisă a lui A, atunci există un număr real δ > 0 cu următoarea proprietate: pentru orice submulțime B a lui A, având diametrul cel mult δ, există un i I astfel ca B G i. (Orice număr δ cu această proprietate se numește număr Lebesgue al acoperirii (G i ) i I.) Berkeley 1986, 1994, 1996 1.6 Limite ale funcțiilor vectoriale de variabilă vectorială 1.6.1 Definiție. O funcție f : A R m, unde A este o submulțime nevidă a lui R, se numește funcție vectorială de variabilă reală. O funcție f : A R, unde A este o submulțime nevidă a lui R n, se numește funcție reală de variabilă vectorială.

1.6 Limite ale funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială 23 O funcție f : A R m, unde A este o submulțime nevidă a lui R n, se numește funcție vectorială de variabilă vectorială. Fie A o submulțime nevidă a lui R n și f : A R m o funcție vectorială. Fie apoi f 1,..., f m : A R funcțiile reale definite în felul următor: dacă x A și f(x) = (y 1,..., y m ) R m, atunci f i (x) := y i oricare ar fi i {1,..., m}. Funcțiile f 1,..., f m se numesc componentele scalare ale lui f. Se vede ușor că f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)) pentru orice x A. In continuare vom folosi notația f = (f 1,..., f m ) : A R m atunci când dorim să punem în evidență componentele scalare ale lui f. 1.6.2 Definiție (limita unei funcții într-un punct). Fie A R n, a A, f : A R m o funcție și b R m. Se spune că b este o limită a lui f în punctul a (sau că f are limita b în punctul a) dacă ε > 0 δ > 0 a.î. x A \ {a} cu x a < δ : f(x) b < ε. Se vede imediat că f are cel mult o limită în a. Faptul că b este limita lui f în punctul a se va nota prin lim x a f(x) = b. 1.6.3 Teoremă (caracterizarea secvențială a limitei). Fie A o submulțime a lui R n, a A, f : A R m o funcție și b R m. Atunci lim f(x) = b dacă și x a numai dacă pentru orice șir (x k ) de puncte din A \ {a}, care converge către a, avem lim f(x k) = b. k Demonstrație. Necesitatea. Presupunem că lim x a f(x) = b. Fie (x k ) un șir oarecare de puncte din A \ {a}, astfel ca (x k ) a. Pentru a dovedi că (f(x k )) b, fie ε > 0 arbitrar ales. Există atunci un δ > 0 în așa fel încât pentru orice x A\{a}, cu x a < δ, să avem f(x) b < ε. Cum (x k ) a, există un k 0 N astfel încât pentru orice k k 0 să avem x k a < δ. Drept urmare, avem f(x k ) b < ε oricare ar fi k k 0. Deci (f(x k )) b. Suficiența. Presupunând că b nu este limita lui f în punctul a, rezultă că există un ε > 0 cu proprietatea că pentru orice δ > 0 există cel puțin un punct x A \ {a} astfel ca x a < δ și f(x) b ε. In particular, pentru δ = 1/k, rezultă că pentru fiecare k N există un punct x k A \ {a} în așa fel încât x k a < 1/k și f(x k ) b ε. Atunci (x k ) este un șir de puncte din A \ {a} și cum lim k x k a = 0, avem (x k ) a. Conform ipotezei noastre, trebuie să avem lim k f(x k ) = b, deci lim k f(x k ) b = 0. Dar această egalitate este în contradicție cu faptul că f(x k ) b ε pentru orice k N. Contradicția obținută arată că lim x a f(x) = b.

24 1 Topologie în R n 1.6.4 Teoremă. Fie A R n, a A, b, c R m, α R și fie f, g : A R m funcții cu proprietatea lim f(x) = b, lim g(x) = c. Atunci x a x a ( ) lim f(x) + g(x) = b + c și lim αf(x) = αb. x a x a Demonstrație. Rezultă din teoremele 1.3.3 și 1.6.3. 1.6.5 Teoremă. Fie A R n, a A, fie b R, c R m şi fie funcțiile f : A R, g : A R m cu proprietatea lim f(x) = b și lim g(x) = c. Atunci x a x a lim f(x)g(x) = bc. x a Demonstrație. Rezultă din teoremele 1.3.3 și 1.6.3. 1.6.6 Observație. In general, lim g(x) = b x a lim f(y) = c y b Contraexemplu: fie f, g : R R funcțiile definite prin lim (f g)(x) = c. x a g(x) := { 1 dacă x 0 2 dacă x = 0 și f(y) := { 2 dacă y 1 3 dacă y = 1. Atunci (f g)(x) = f(g(x)) = { 3 dacă x 0 2 dacă x = 0. Avem lim x 0 g(x) = 1, lim y 1 f(y) = 2, dar lim x 0 (f g)(x) = 3 2. 1.6.7 Teoremă. Fie A R n, B R m, a A, b B, c R p și fie g : A B și f : B R p funcții care îndeplinesc următoarele condiții: (i) lim x a g(x) = b și lim y b f(y) = c; (ii) există r > 0 astfel încât pentru orice x A \ {a} cu x a < r să avem g(x) b. Atunci lim x a (f g)(x) = c. Demonstrație. Fie (x k ) un șir arbitrar de puncte din A \ {a}, cu proprietatea că (x k ) a. Notăm y k := g(x k ) (k N). Atunci teorema 1.6.3 garantează că (y k ) b. Cum (x k ) converge către a, există un k 0 N astfel ca x k a < r oricare ar fi k k 0. Prin urmare, avem y k = g(x k ) b oricare ar fi k k 0.

1.7 Continuitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială 25 Așadar, (y k ) k k0 este un șir din B \ {b}, care converge către b. Aplicând din nou teorema 1.6.3, deducem că lim f(y k) = c, adică lim (f g)(x k) = c. k k Intrucât șirul (x k ) a fost arbitrar, din partea de suficiență a teoremei 1.6.3 rezultă că lim(f g)(x) = c. x a 1.6.8 Teoremă. Fie A R n, a A, f : A R m o funcție și b R m. Atunci lim f(x) = b dacă și numai dacă lim f(x) b = 0. x a x a Demonstrație. Imediată (se aplică definiția 1.6.2 funcțiilor f și g : A R, g(x) := f(x) b ). 1.6.9 Teoremă. Fie A R n, a A, f = (f 1,..., f m ) : A R m o funcție și fie b := (b 1,..., b m ) R m. Atunci lim f(x) = b i {1,..., m} : lim f i(x) = b i. x a x a Demonstrație. Se aplică teoremele 1.6.3 și 1.3.4. 1.7 Continuitatea funcțiilor vectoriale de variabilă vectorială 1.7.1 Definiție. Fie A R n și fie a A. O funcție f : A R m se numește continuă în punctul a dacă ε > 0 δ > 0 a.î. x A cu x a < δ : f(x) f(a) < ε. 1.7.2 Observație. O funcție f : A R m este continuă în toate punctele izolate ale lui A. In adevăr, fie a un punct izolat al lui A și fie ε > 0. Există o vecinătate V a lui a astfel ca V A = {a}. Alegem δ > 0 în așa fel încât B(a, δ) V. Atunci B(a, δ) A = {a}, deci singurul punct x A care satisface x a < δ este x = a. Evident, pentru x = a inegalitatea f(x) f(a) < ε are loc. In consecință, f este continuă în a. 1.7.3 Teoremă (caracterizarea secvențială a continuităţii). Fie A R n și fie a A. O funcție f : A R m este continuă în punctul a dacă și numai dacă pentru orice șir (x k ) de puncte din A, care converge către a, avem lim f(x k) = f(a). k Demonstrație. Este asemănătoare cu demonstrația teoremei 1.6.3.

26 1 Topologie în R n 1.7.4 Teoremă (continuitate vs. limită). Fie A R n și fie a A A. O funcție f : A R m este continuă în a dacă și numai dacă lim x a f(x) = f(a). Demonstrație. Necesitatea. Rezultă din teoremele 1.6.3 și 1.7.3. Suficiența. Fie ε > 0 arbitrar. Cum lim x a f(x) = f(a), există un δ > 0 astfel încât pentru orice x A\{a} cu x a < δ să avem f(x) f(a) < ε. Dar această inegalitate este evident adevărată și pentru x = a. In consecință, pentru orice x A cu x a < δ avem f(x) f(a) < ε. Aceasta înseamnă că f este continuă în a. 1.7.5 Teoremă. Fie A R n, a A, f, g : A R m funcții continue în a și fie α R. Atunci funcțiile αf și f + g sunt continue în a. Demonstrație. Se aplică teoremele 1.7.3 și 1.3.3. 1.7.6 Teoremă. Fie A R n, a A, și fie f : A R, g : A R m funcții continue în a. Atunci și funcţia fg este continuă în a. Demonstrație. Se aplică teoremele 1.7.3 și 1.3.3. 1.7.7 Teoremă. Fie A R n, a A, B R m, g : A B o funcţie continuă în a și f : B R p o funcție continuă în punctul g(a). Atunci funcția f g este continuă în a. Demonstrație. Fie (x k ) un șir oarecare de puncte din A, care converge către a. Cum g este continuă în a, în baza teoremei 1.7.3 avem (g(x k )) g(a) =: b. Deoarece f este continuă în b, tot în baza teoremei 1.7.3 deducem că lim f(g(x k)) = f(b) lim (f g)(x k)) = (f g)(a). k k Intrucât șirul (x k ) a fost arbitrar, partea de suficienţă a teoremei 1.7.3 asigură că f g este continuă în a. 1.7.8 Teoremă. Fie A R n, a A și f = (f 1,..., f m ) : A R m o funcție. Atunci f este continuă în punctul a dacă și numai dacă f i este continuă în a pentru fiecare i {1,..., m}. Demonstrație. Se aplică teoremele 1.7.3 și 1.3.4. 1.7.9 Teoremă. Dacă A R n este o mulțime compactă, iar f : A R m este o funcție continuă, atunci mulțimea f(a) este compactă.

1.8 Probleme 27 Demonstrație. Fie (y k ) un șir arbitrar de puncte din f(a). Pentru fiecare k N există un x k A astfel ca y k = f(x k ). Intrucât A este compactă, conform implicației 1 3 din teorema 1.4.4, șirul (x k ) posedă un subşir (x kj ) convergent către un punct x A. Continuitatea lui f în a și teorema 1.7.3 implică lim f(x kj ) = f(x), adică lim y kj = f(x). Așadar, şirul (y k ) posedă j j subșirul (y kj ), convergent către f(x) f(a). In baza implicaţiei 3 1 din teorema 1.4.4, deducem că mulțimea f(a) este compactă. 1.7.10 Teoremă (K. Weierstrass). Dacă A R n este o mulțime compactă nevidă, iar f : A R este o funcție continuă pe A, atunci f este mărginită și își atinge marginile. Demonstrație. Conform teoremei 1.7.9, f(a) este o submulţime compactă a lui R. In baza implicației 1 4 din teorema 1.4.4, rezultă că: f(a) este mărginită, deci f este mărginită; f(a) este închisă, deci f(a) își conţine atât marginea inferioară cât și marginea superioară. Cu alte cuvinte, f își atinge marginile. 1.8 Probleme 1. Dați exemplu de funcții f, g : R R, care îndeplinesc următoarele condiții: (i) lim g(x) = 1; x 0 (ii) lim f(y) = 2; y 1 (iii) lim x 0 (f g)(x) 2. 2. Să se calculeze următoarele limite: ( 1) lim x 2 + y 2) sin 1 (x,y) (0,0) xy ; 2) lim (x,y) (0,2) sin(xy) ; x x 2 y 2 3) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ; x 3 + y 3 4) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ; 5) lim (x,y) (0,0) x 3 + y 3 ; xy

28 1 Topologie în R n 1 cos ( x 3 + y 3) 6) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ; 7) lim (x,y) (0,0) 8) lim (x,y) (0,0) 9) lim (x,y) (0,0) 10) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 1 + x 2 + y 2 1 ; 1 + x 2 y 2 1 x 2 + y 2 ; 1 cos ( x 2 + y 2) x 2 y 2 (x 2 + y 2 ; ) e 1 x 2 +y 2 x 4 + y 4 ; 11) lim ( 1 + x 2 y 2) 1 x 2 +y 2 ; (x,y) (0,0) x sin y y sin x 12) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ; 1 cos x cos y 13) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ; xy sin x sin y 14) lim (x,y) (0,0) xy(x 2 + y 2 ) ; x 1 x n 15) lim (x 1,...,x n) 0 n x 2 1 + +, n N; x2 n 16) lim (x 1,...,x n ) 0 n x p 1 + + xp n x 1 x n, n, p N; 1 cos x 1 cos x n 17) lim (x 1,...,x n ) 0 n x 2 1 + + ; x2 n x 1 x n sin x 1 sin x n 18) lim (x 1,...,x n ) 0 n x 1 x n (x 2 1 + + x2 n). 3. Fie A o submulțime compactă a lui R n, fără puncte izolate, iar f : A R o funcție având limită finită în fiecare punct al lui A. Să se demonstreze că f este mărginită. 4. Fie A = [0, 1) [0, 1) și f : A R funcția definită prin f(x, y) = x 1 2 m n 2 m y n,

1.8 Probleme 29 unde sumarea se face pentru toate perechile de numere naturale (m, n) care satisfac inegalitățile indicate. Să se determine lim (1 (x,y) (1,1) xy2 )(1 x 2 y)f(x, y). Concursul William Lowell Putnam 1999 5. Să se demonstreze că pentru orice număr natural n 2 există o funcție f : R n R cu proprietatea că toate cele n! limite iterate lim x σ(1) 0 lim lim f(x 1, x 2,..., x n ) x σ(2) 0 x σ(n) 0 există și sunt distincte două câte două. σ S n Olimpiadă studențească, U.R.S.S. 6. Fie B o submulțime închisă a lui R n și f 1,..., f p, g 1,..., g q : B R funcții continue pe B. Să se demonstreze că mulțimea A = { x B f i (x) = 0, i = 1,..., p, g j (x) 0, j = 1,..., q } este închisă. 7. Fie f : R n R m o funcţie continuă pe R n şi fie B o submulţime deschisă a lui R m. Să se demonstreze că mulţimea este deschisă în R n. f 1 (B) := {x R n f(x) B} 8. Fie f : R n R m o funcţie continuă pe R n şi fie B o submulţime închisă a lui R m. Să se demonstreze că mulţimea este închisă în R n. f 1 (B) := {x R n f(x) B} 9. Să se demonstreze că norma euclidiană este o funcție continuă de la R n în [0, ). 10. Conform teoremei lui Weierstrass, dacă A R n este o mulțime compactă, atunci orice funcție continuă f : A R este mărginită (și chiar își atinge marginile). Demonstrați reciproca: dacă A este o submulțime a lui R n cu proprietatea că orice funcție continuă f : A R este mărginită, atunci A este compactă. Berkeley 1987