Matematici Seciale - Ingineria Sistemelor 5-6 Seminar Probleme rezolvate. Studiaţi convergenţa integralelor imrorii: a) I d, b) J d, c) K + ;5 entru a d şi b c k. Soluţie: a) Integrala I este divergent¼a, deoarece! +! : 5 a + b + c + d + k d, b) Integrala J este convergent¼a, deoarece ( )! < < c) Pentru a d şi b c k integrala K se scrie: K 5 + d 5 d + d + d + : d d: Primele atru integrale sunt imrorii datorit¼a funcţiei nem¼arginite, iar ultima datorit¼a intervalului nem¼arginit. Prima integral¼a este convergent¼a, deoarece! < <! < ( ) ( ) ( ) ( )! < ( ) :! < ( ) A doua integral¼a este convergent¼a, deoarece ( )! ( ) >! > ( ) < :! > ( )! > ( )
A treia integral¼a este convergent¼a, deoarece <! < ( ) ( )! < ( ) ( + + ) ( )! < ( ) ( + + )! < ( + + ) : A atra integral¼a este convergent¼a, deoarece <! > ( ) ( )! > ( ) ( + + ) ( )! > ( ) ( + + )! > ( + + ) : Convergenţ¼a ultimei integrale rezult¼a din:! >! În concluzie, integrala K este convergent¼a.. Ar¼ataţi c¼a integrala E : e d este convergent¼a oricare ar >. Soluţie: Facem substituţia t de unde rezult¼a dt d, adic¼a d dt şi avem de unde rezult¼a!, t ;!, t! ; E E e d e t dt; e t dt + e t dta : Prima este o integral¼a nit¼a, deci convergent¼a, iar entru a doua vom folosi criteriul comaraţiei: t > ) t > t ) t < t ) e t < e t ; e t dt e t j e ;
ceea ce imlic¼a şi convergenţa celei de a doua.. Calculaţi valoarea integralei E Soluţie: Din roblema anterioar¼a observ¼am c¼a şi vom nota integrala E P e d e t dt e t dt ) E P: Mai dearte consider¼an integrala dubl¼a: I e d oricare ar >. R e y ddy şi o calcul¼am rin dou¼a metode. În rima metod¼a vom acoeri lanul cu un disc centrat in origine a c¼arui raz¼a tinde la in nit şi avem: R : + y R R! ; I R! +y R e y ddy: Pentru calculul acestei integrale, folosim coordonatele olare: cos y sin ; [; R] [; ] ; J şi avem: I R! R! ( ) : e dd e R R R! R! e d d e R Cu a doua metod¼a vom acoeri lanul cu un ¼atrat, adic¼a R : [ R; R] [ R; R] R! ; I R! [ R;R][ R;R] e y ddy
şi avem: I R! R! [ R;R][ R;R] R R e da e da e e y ddy P : R! R R! e da R R e d R! R R R e y dya e da Din cele dou¼a metode, rezult¼a c¼a P, adic¼a P E 8 > : ceea ce imlic¼a. Studiaţi convergenţa şi valoarea integralei: I Soluţie: Integrala este imrorie, deoarece ln (sin ) :! > Integrala este convergent¼a, deoarece ln (sin ) cos! sin ln (sin )!! cos! + sin! cos sin ln (sin ) d. : Pentru calculul integralei, facem substituţia y şi avem y ) d dy; de unde rezult¼a I ln (cos y) ( dy) ln (cos y) dy; deoarece sin y sin cos y sin y cos cos y:
Din cele de mai sus avem: avem I ln (sin ) d + sin ln ln + d ln (cos ) d ln (sin ) d: Pentru a rezolva integrala J ln d + ln (sin cos ) d ln (sin ) d ln (sin ) d, facem substituţia y şi y ; d dy J I + ln sin ydy ln sin ydy: Pentru calculul integralei K rezult¼a ceea ce imlic¼a K ln sin ydy + ln sin ydy ln sin ydy, facem substituţia y + şi dy d ln cos d ) K I; J I + I ) J I; I ln + I, I ln, I ln : 5
b d 5. Utilizand integrala I, a; b > calculaţi J + a b ( + a) d folosind osibilitatea deriv¼arii sub semnul integral, iar cu ajutorul rezultatelor obţinute, deduceţi K b d ( + a) : Soluţie: Integrala I o vom calcula direct şi avem I b de unde rezult¼a d b d da + a d + a a ln ( + a)jb a A d da ln ( + ab) a ln ( + ab) ; a ln ( + ab) + b a + ab : Pe de alt¼a arte avem: d b d A da + a b a d + a b ( + a) d; ceea ce imlic¼a adic¼a Atunci din cele de mai sus rezult¼a K a a I J a J a ln ( + ab) b a + ab : a b b a I a K a + ( + a) d + a d a b ( + a) d J I aj a ln ( + ab) a a ln ( + ab) b a + ab a ln ( + ab) ln ( + ab) + b a + ab b + ab : 6
6. Folosind integrala cu arametru calculaţi Soluţie: Consider¼am funcţia f : R R n fg! R d ( + a, a 6. ) f (t; a) t d + a ; care admite derivat¼a arţial¼a în raort cu a şi avem: f a t a d ( + a ) : Dar f (t; a) a arctan t a a arctan t a ; deci f a a arctan t a a a arctan t a de unde rezult¼a t d ( + a ) În concluzie: a arctan t a + a t a a + t ; a a arctan t a + t a a arctan t a + t a a + t : d ( + a ) a arctan a + t a t a a + t a a + + C: 7
Probleme rouse. Studiaţi convergenţa integralelor imrorii: + a) d, b) 5 + 6 9 + d, c) + 5 6 + d, d) g) + 7 5 + + 9 5 ; d d d, e). Ar¼ataţi c¼a integrala e 7 d este convergent¼a şi calculaţi valoarea sa. 5 d, f). Studiaţi convergenţa integralei 7 5 d, ln (cos ) d şi deduceţi valoare sa.. Folosind osibilitatea deriv¼arii sub semnul integral, calculaţi integrala d lacând de la rezultatul integralei ( + ) 5. Calculaţi valoarea integralei d folosind rezultatele rob- ( + ) lemei. 6. Fie funcţia F (y) arate c¼a F () 6 d + : ln + y d, y > şi F (). S¼a se y şi justi caţi de ce sunt diferite. ln + y y d 8