Barbir Iosif, clasa a X-a C Referat Matematica Indrumator, prof. Oanea Calin

Barbir Iosif, clasa a X-a C Referat Matematica Indrumator, prof. Oanea Calin

Logaritmi.DefiniŃia logaritmului unui număr pozitiv Fie a>0 un număr real pozitiv,a.considerăm ecuańia exponenńială a x =N,N>0 () EcuaŃia () are o soluńie care este unic determinată.această soluńie se notează X=log a N () şi se numeşte logaritmul numărului pozitiv baza a. Din () şi () obńinem egalitatea a log a N =N () care ne arată că logaritmul unui număr real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicată baza a (a>0,a )pentru a obńine numărul dat Dacă in () facem x=,obńinem a =a şi deci log a a= (4) Exemple ) Să se calculeze log. Cum 5 =,atunci din definińia logaritmului avem log =5. ) Să se determine log. 6 Din egalitatea -4 = 6,obŃinem log 6 =-4. )Să să determine log / 7. Să considerăm ecuańia exponenńială x =7.Cum - = -=7,obŃinem x=- şi deci log / 7=-. 4)Să se determine log 4 56. Cum 4 4 =56,atunci din definińia logaritmului obńinem log 4 56=4. ObservaŃii.În practică se folosesc logaritmii în bază zece care se mai numesc şi logaritmi zecimali.aceştia se notează cu lg în loc de log 0 ;de aceea nu mai este nevoie să se specifice baza.astfel,vom scrie lg06 în loc de log 0 06 şi lg5 în loc de log 0 5 etc..în matematica superioară apar foarte des logaritmi care au ca bază numărul irańional,notat cu e,e=,78888.folosirea acestor logaritmi permite simplificarea multor formule matematice.logaritmii în baza e apar în rezolvarea unor probleme de fizică şi intră în mod natural în descrierea matematică a unor procese chimice,biologice.de aceea aceşti logaritmi se numesc naturali.logaritmul natural al numărului a se notează lna..funcńia logaritmică

Fie a>0,a un număr real.la punctul am definit nońiunea de logaritm în baza a; fiecărui număr pozitiv N i s-a asociat un număr real bine determinat.acest lucru ne permite să definim o funcńie f:(0,+ ) R,f(x)=log a x numită funcńie logaritmică. ProprietăŃile funcńiei logaritmice:.f()=0. Cum a 0 = rezultă că log a =0 şi deci f()=0..funcńia logaritmică este monotonă.dacă a>,atunci funcńia logaritmică este strict crescătoare,iar dacă 0<a<,funcŃia logaritmică este strict descrescătoare. Să considerăm cazul a> şi fie x,x (0,+ ) astfel încât x <x.cum x =a log a x şi X =a log a x,rezultă că a log a x <a log a x. Dar funcńia exponenńială fiind crescătoare obńinem că log a x <log a x,adică f(x )<f(x ). În cazul 0<a<,din inegalitatea a log a x <a log a x şi din faptul că funcńia exponenńială cu baza un număr real 0<a< este strict descrescătoare,rezultă că log a x >log a x,adică f(x )>f(x )..FuncŃia logaritmică este bijectivă Dacă x,x (0,+ ) astfel încât f(x )=f(x ),atunci din log a x =log a x.dar din egalitatea () de la punctul obńinem x =a log a x şi x =a log a x,adică x =x.deci f este o funcńie injectivă. Fie y R un număr real oarecare.notăm cu x=a y.se vede că x ( 0, + ) şi log a x=log a a y =y Deci f(x)=y,ceea ce ne arată că f este şi surjectivă.aşadar,f este bijectivă. 4.Inversa funcńiei logaritmice este funcńia exponenńială FuncŃia logaritmică f:( 0, + ) R,f(x)=log a x,fiind bijectivă,este inversabilă.inversa ei este funcńia exponenńială g R ( 0, + ),g(x)=a x. Într-adevăr,dacă x ( 0, + ) avem (gοf)(x)=g(f(x))=g(log a x)=a log a x =x şi dacă y R,atunci atunci (fοg)( y) = f ( g( y)) = f ( a y )=log a a y =y. )ProprietăŃile logaritmilor Folosind proprietăńile puterilor cu exponenńi reali obńinem următoarele proprietăńi pentru logaritmi: a.dacă A şi B sunt două numere pozitive,atunci log a (AB)=log a A+log a B (logaritmul produsului a două numere este egal cu suma logaritmilor celor două numere). Într-adevăr,dacă log a A=x şi log a B=y,atunci a x =A şi a y =B.Cum a x+y =a x a y,obńinem A x+y =A*B şi deci log a (AB)=x+y=log a A+log a B. ObservaŃie. Proprietatea se poate da pentru n numere pozitive A,A,...,A n adică Log a (A A A n )=log a A +log a A +log a A + +log a A n. b.dacă A şi B sunt două numere pozitive,atunci A log a = log aa-log a B B

(logaritmul câtului a două numere este egal cu diferenńa dintre logaritmul numărătorului şi cel al numitorului). Într-adevăr,Ńinând cont de proprietatea a.,avem log a A=log a A * B B log A = a B +loga B, A de unde rezultă că log a =log a A-log a B. B ObservaŃie. Dacă punem A= şi Ńinem cont că log a =0,obŃinem egalitatea: log a B =-loga B c.dacă A este un număr pozitiv şi m un număr real arbitrar,atunci log a A m =mlog a A (logaritmul puterii unui număr este egal cu produsul dintre exponentul puterii şi logaritmul numărului). Într-adevăr,dacă log a A=x,atunci a x =A.Dar atunci A m =(a x ) m =a mx şi deci log a A m =mx= =mlog a A. d.dacă A este un număr pozitiv şi n un număr natural(n ),atunci log n a A =log a A/n (logaritmul puterii unui număr este egal cu produsul dintre exponentul puterii şi logaritmul numărului). Într-adevar, proprieatea d este un caz particular al proprietăńii c,punând m= n. Exemple )Să se calculeze log 75. Log 75=Log (*5)=Log +Log 5=+Log 5 =+Log 5. )Să se determine log 000-log 5 000 Avem log 00-log 5=log =log 8=log =. 5 )Să se calculeze lg0,8-lg80. 0,8 Avem lg0,8-lg80=lg =lg =lg0 - =-. 80 000 4)Să se calculeze log 6 8 +log6. Avem log 6 8 +log6 =-log6 8-log 6 =-(log 6 8+log 6 )=-log 6 (8*)=-log 6 6 =-. 5)Să se calculeze log 5 8.Avem log 5 8 = 5 log 8= 5 log 4 = 5 4 log. 6)Să se calculeze log 4 8.Avem log 4 8 = 4 log 8= 4 log = 4 log = 4. 4.Schimbarea bazei logaritmului aceluiaşi număr Dacă a şi b sunt două numere pozitive diferite de,iar A un număr pozitiv oarecare,are loc egalitatea:

Log a A=Log b A*Log a b Într-adevăr,dacă Log a A=x şi Log b A=y,atunci avem a x =A şi b y =A,de unde obńinem a x =b y.dar atunci Log a a x =Log a b y sau xlog a a=ylog a b. Cum Log a a=,avem x=ylog a b,adică Log a A=Log b A*Log a b. ObservaŃie. Dacă în egalitatea de mai sus A=a,obŃinem Log a a=log b a*log a b.cum Log a a=,rezultă că: Log a b= log b a Exemple )Să se scrie log x în funcńie de log 4 x. Avem log x=log 4 x*log 4=log 4 x. )Să se arate că log 6+log 6 >. Avem log 6+log 6 =log 6+. log 6 Deci trebuie să arătăm că log 6+ > sau (log 6) -log 6+>0,sau încă (log 6-) >0 log 6 inegalitate evidentă deoarece log 6. 5)OperaŃia de logaritmare a unei expresii Să considerăm expresia: 7 * 4 E= 5 9 7 * 98 * Vom logaritma expresia într-o anumită bază convenabilă a.folosind proprietăńile logaritmilor,obńinem: 4 log a E =log a ( 7 9) -log 5 a 7 * 98* =log a 7 +log 4 a +log log (7 * 98 * ) a 9 - a = 5 =log a 7+ 4 loga + loga 9-5 loga 7-5 loga 98-5 loga. Deci am obńinut egalitatea: Log a E=log a 7+ 4 loga + loga 9-5 loga 7-5 loga 98-5 loga. În general,dacă E este o expresie algebrică în care apar produse de puteri şi radicali, putem să-i asociem,exact ca în exemplu de mai sus,o expresie,notată log E,in care apar sume (diferenńe) de logaritmi înmulńite eventual cu anumite numere rańionale.operańia prin care expresiei E i se asociază expresia log E se numeşte operańie de logaritmare. Exemple ) Fie E=a 7 ab 6.Prin operańia de logaritmare,obńinem:

loc c E=log c (a 7 ab 6 6 )=log c a 7 6 +log c ab =log c a+ logc a+ logc b. 7 7 a )Fie E= 4 5.Prin operańia de logaritmare,obńinem: b log c E =log c 4 a 5 = logc 4 5 b a = (logc a -log c b 5 )= b 4 5 logc a- logc b. 4 4 Adesea în calcule este nevoie să se facă şi operańia inversă,adică unei expresii în care intervin logaritmi să-i asociem o expresie fără logaritmi. De exemplu,să considerăm expresia log c E=log c a- logc b-log c. Folosind proprietăńiile logaritmilor,avem: b * Log c E=log c a -log c b -log c =log c a E=. 7 b a a =log c 7 b,de unde obńinem că EcuaŃii şi inecuańii logaritmice )EcuaŃiile logaritmice sunt ecuańii în care expresiile ce conńin necunoscute apar ca bază sau ca argument al unor logaritmi. De exemplu:log x+ (x+)=;lg(x +x-)=;log x (5x +)=lg(x+)-. Folosind injectivitatea funcńiei exponenńiale,avem că rezolvarea unei ecuańii de tipul log g(x) f(x)=b este echivalentă cu rezolvarea ecuańiei f(x)=g(x) b.vom avea însă grijă ca soluńiile obńinute să satisfacă f(x)>0,g(x)>0,g(x), pentru care expresia log g(x) f(x) are sens. La fel ca la ecuańiile exponenńiale,în practică atunci când avem de rezolvat o ecuańie logaritmică,vom proceda astfel:folosind diverse substituńii precum şi proprietăńile logaritmice,vom căuta s-o reducem la rezolvarea unor ecuańii simple,de regulă de gradul întâi sau de gradul al doilea. Exemplu Să se rezolve ecuańia:log x (x -x+9)=. ObŃinem x -x+9=x şi deci x=9,x=.deoarece pentru x=>0,expresia x -x+9 este pozitivă,rezultă că x= este soluńie a ecuańiei. Rezolvarea altor ecuańii se bazează pe injectivitatea funcńiei logaritmice,şi anume din log a f(x)=log a g(x),deducem f(x)=g(x),împunând condińiile:f(x)>0,g(x)>0 Exemple ) Să se rezolve ecuańia:lg(x -5)=lg(x-).Deducem că x -5x=x-,deci x -x-=0

adică x =4,x =-.Deoarece pentru x =- obńinem x-=--=-6<0,rezultă că x =- nu este soluńie a ecuańiei.deci numai 4 este soluńie. )Să se resolve ecuańia:lg(x-)= lgx 5 -lg x.în această ecuańie punem de la început condińiile x- >0,x>0,pentru a avea sens expresiile lg(x-),lg x 5, x, lg x. EcuŃia se mai scrie lg(x-)= 5 lgx- lgx şi deci lg(x-)=lgx.prin urmare,lg(x-)=lgx,de unde obńinem x-=x,-=0,contradicńie;rezultă deci că ecuańia dată nu are soluńii. ) Să se rezolve ecuańia:lg(x+7)+lg(x+)=.punem condińiile de existenńă a logaritmilor:x+7>0,x+>0,deci x>-.obńinem lg(x+7)(x+)= şi deci (x+7)(x+)=0 =00.Rezultă ecuańia de gradul al doilea x +x-9=0,de unde rezultă x =,x =-.Deoarece - <-,obńinem că este singura soluńie a ecuańiei date. ObservaŃie EcuaŃia precedentă nu este echivalentă cu ecuańia lg(x+7)(x+)=,care are două soluńii x =,x =-,deoarece pentru amândouă aceste valori ale lui x,lg(x+7)(x+) are sens. 4) Să se rezolve ecuańia:log x-log x-4=0.avem condińia x>0 şi făcând substituńia log x=y,obńinem y -y-4=0.deci y =4,y =-.Din log x=4.obńinem x= 4,x=8,iar din log x=-,obńinem x= -,x=. În continuare vom rezolva câteva ecuańii care nu se pot încadra într-un anumit tip.astfel,pot apărea ecuańii cu logaritmi scrişi în diferite baze,ecuańii în care apar expresii conńinând necunoscute şi la exponenńi şi la logaritmi etc. lg x lg x 5)Să se rezolve ecuańia:log x+log x=.deducem,aplicând formula de schimbare a bazei, + = lg lg lg lg lg 6 lg lg lg lg sau lgx= =. Deci x=0. lg + lg lg 6 6)Să se rezolve ecuańia:log x+log x =.Deoarece log x =,rezultă log x+ =.Notând log x log x log x=y,obńinem y+ =,adică y -y+=0;deci y=,adică log x=.prin urmare,x=. y 7)Să se rezolve ecuańia:x lgx+ =000.Punem condińia de existenńă a expresiilor:x>0.logaritmând,obńinem o ecuańie echivalentă lg(x lgx+ )=lg000 care devine (lgx+)lgx=.notând lgx=y,avem y +y-=0 şi deci y =-,y =.Din lgx=-, obńinem x=0 -,x=0,00,iar din lgx=,rezultă x=0. )Sisteme de ecuańii logaritmice

În astfel de sisteme se aplică metodele arătate anterior la ecuańiile de tipul respectiv. Exemplu Să se rezolve sistemul x +y =45 lgx +lgy= ObŃinem,pe rând sistemele x +y =45 x +y =45 lgxy = xy=000 x,y>0 x,y>0 Acest sistem simetric îl putem rezolva pe căile cunoscute din clasa a IX-a:punem s=x+y,p=xy şi vom avea s -p=45 s =65 s= ± 5 P=00 p=00 p=00 Sistemul s=5 P=00 dă soluńiile (5,0),(0,5) care satisfac şi condińiile de existenńă ale sistemului inińial,x>,y>0.sistemul s=-5 P=00 dă soluńiile (-0,-5),(-5,-0),care nu convin. )InecuaŃii logaritmice Rezolvarea inecuańiilor logaritmice se bazează pe proprietăńile de monotonie ale funcńiei logaritmice.am văzut că funcńia logaritmică este crescătoare dacă baza este supraunitară şi descrescătoare dacă baza este subunitară. Exemple )Să se rezolve inecuańia:log (x-)>-.avem că -=log 7 şi inecuańia devine log (x- )>log 7.Deoarece baza a logaritmului este subunitară (funcńia g:(0, ) R, ( x ) = log x este g descrescătoare),inecuańia devine x-<7,adică x<4.în acelaşi timp,din condińia de existenńă a logaritmului inińial,avem x->0,deci x>.deci obńinem pentru x valorile posibile x,4 ). 4) Sisteme de inecuańii logaritmice În astfel de sisteme se aplică proprietăńile şi metodele arătate anterior la inecuańiile Logaritmice.Rezolvarea acestora se reduce în definitiv la rezolvarea sistemelor de inecuańii întâlnite în clasa a IX-a. Exemplu Să se rezolve sistemul

x x > x+ log (x -x+9)<. Observăm,mai întâi,că x -x+9>0 oricare ar fi x real( = 7 < 0) x- > deci logaritmul este definit pentru orice x real. Deoarece =log 7 şi,ńinând seama de monotonia funcńiilor exponenńială şi logaritmică,rezultă sistemul echivalent X -x->x+ X -x+9<7 x- > x -x-4>0 x -x-8<0 x- > MulŃimea soluńiilor inecuańiei x -x-4>0 este M =(, ) (4, + ), mulńimea soluńiilor inecuańiei x -x-8<0 este M =(-,6),iar mulńimea soluńiilor inecuańiei x- > este M =(, ) (5, + ). Atunci mulńimea soluńiilor sistemului este M=M M M = (, ) (5,6). AplicaŃii I.Admiterea în învăńământul superior.să se calculeze expresia: E=log 5-log 0 + log 4 Informatică,Baia Mare,997 5 4 4 E=log * E=log 5* * = 0 0 E=0..Să se rezolve sistemul 40 log = log =0 40 xy=40 x lgy =4 Colegiu de Informatică,Cluj,997 40 xy=40 y= x x lgy =4 lgx lgy =lg4

lgy*lgx=lg4 40 lg *lgx=lg4 x (lg40-lgx)lgx=lg4 lgx*lg40-lg x=lg4 lg x-lgxlg40+lg4=0 Notăm lgx=y y -ylg40+lg4=0 = lg 40-4lg4=(lg4+lg0) -4lg4=lg 4+lg4+-4lg4=lg 4-lg4+=(lg4-) lg 40 ± (lg 4 ) y, = lg 40 + lg 4 lg 4 y = = = lg 4 lg x = lg 4 x = 4; y = 0 lg 40 lg 4 + y = = lg x = x = 40; y = 4.Ştiind că log 40 00=a,să se exprime log 6 5 în funcńie de a. Chimie,Metalurgie,98 lg00 Log 4 00=a =a a = lg 40 + log 0 = lg = + lg a a 0 lg lg 5 lg 5 lg 5 lg 5 lg log6 5 = = = = = log6 5 = 4 lg6 lg 4 lg lg lg lg a = a a * a = a 4 a 4.Ştiind că a=lg şi b=lg să se calculeze x= log 7 (lg50) Matematică-Fizică,Sibiu,998 log 7 (lg50) X= log 00 7 (lg50) log7 (log50) x = = 7 = lg50 = lg 50 + lg 0 = lg + lg = lg00 lg + b = log0 = a + b 00 lg + b = log 5.Să se arate că expresia: E= log ca ale variabilelor x,z,y. x + log x + log y + log y + log z z este independentă de valorile strict mai mari Inginerie,ConstanŃa,996

log ( x E = log ( x y y z ) z ) log t log t log Notăm x y z = t E = = = log t * = log E log log log t t log = t log II.Concursurile şcolare.gorj00-faza locală Să se arate că dacă x,,y,z (0,) are loc inegalitatea: Log x yz+log y xz+log z xy 6; Log x yz+log y xz+log z xy=(log x y+log y x)+(log x z+log z x)+(log y z+log z y) 6 Dacă x,y ( 0,) log x y > 0 Log x yz+log y xz+log z xy 6 are loc doar când x=y=z..bacău00-faza locală Să se calculeze: log 4 log 9 =E log log 96 Notăm a=log Log 4=log *=log +log =a+ Log 96 = = = log 96 log *8 log + log = 8 a + Log 9=log *6=log +log 6=a+4 Log = = log a (a+)(a+)-a(a+4)= = ( A).Cluj00-faza locală Să se rezolve ecuańia: * log x = cosπx, log x + unde [ ] α este partea întreagă a numărului α R..

Cos πx = {,0, } Z * log x log x = I. log x + log x + S = (0,) k + / k Z = { } log x log x 0 II. log x = + log x + [,0) [ 0,) log log * [, + ) \ { } { k + / k Z} = { k +, k N } = S log x log x log x + log x + k + / k Z = x < 0 x (0,) x 0;log III. = [,] log x = x = S ={ } { } { } * { k +, k N } { } S S S S = =. x