D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim relaţia: x, y A, x y y x Q. Relaţia este o relaţie de echivalenţă pe A. Atunci, pentru fiecare x A, fie x = {y A x y} = {y A y x Q} = (x + Q) A, clasa de echivalenţă a lui x în raport cu relaţia. Cum Q este numărabilă, x este numărabilă şi deci se poate reprezenta ca un şir: x = { r x 0, r x,..., r x n,... }. Acest şir nu depinde de reprezentatul x al clasei, adică x y x = ŷ r x n = rŷn, n N. Pentru orice n N, considerăm mulţimea A n = {r x n x A}. Întrucât două clase de echivalenţă sunt sau disjuncte sau coincid, rezultă că fiecare mulţime A n conţine câte un singur element din fiecare clasă. Deoarece A = {x} x = {r x n} = { } {{ } A n Arătăm în continuare că măcar o mulţime A n este nemăsurabilă Lebesgue. Presupunem prin absurd că toate r x n } = A n A, rezultă A = n. A mulţimile A n sunt măsurabile Lebesgue, adică A n M, n N. Dacă µ(a n ) = 0, n N, atunci avem: ( ) = µ ([0, ]) = µ(a) = µ A n µ (A n ) = 0, ceea ce este fals. Deci, p N astfel încât µ (A p ) > 0. Cum măsura Lebesgue este invariantă la translaţii şi A p M, rezultă ( ) n + A p M, n N şi µ n + A p = µ (A p ), n N. { } Arătăm prin reducere la absurd că mulţimile n + A p sunt mutual disjuncte. Presupunem că ( ) ( ) m, n N astfel încât m n şi n + A p m + A p. Atunci există a, b A p astfel încât n + a = m + b. Prin urmare a b = m n Q şi deci, a b. Cum a, b A p şi A p conţine câte un singur element din fiecare clasă, rezultă că a = b. Rezultă astfel că m = n, ceea ce vine în contradicţie cu presupunerea făcută. Deci, Fie acum mulţimea B = Pe de altă parte avem: n=0 ( ) n + A p ). Rezultă imediat că B M şi ( n + A p µ(b) = n= ( ) m + A p =, pentru m n. ( ) µ n + A p = µ (A p ) =. (6) }{{} >0 n= A p [0, ] n + A p [0, 2], n N B [0, 2] µ(b) µ ([0, 2]) = 2. (62) Astfel, din (6) şi (62) rezultă o contradicţie şi deci, n N pentru care mulţimea A n nu e măsurabilă Lebesgue. Observaţia 6.27 Demonstraţia de mai sus a fost făcută de către matematicianul Giuseppe Vitali în anul 905 şi este primul exemplu în acest sens. Ulterior au fost făcute şi alte construcţii care să justifice existenţa mulţimilor nemăsurabile Lebesgue. Toate acestea pot fi citite în lucrarea [4]. 35
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 7 MĂSURI LEBESGUE-STIELTJES 7 Măsuri Lebesgue-Stieltjes Fie X = R, mulţimea numerelor reale. Definiţia 7. O funcţie f : R R se numeşte funcţie de distribuţie dacă f este crescătoare şi continuă la dreapta. Se arată la fel ca Lema 6. următoarea: Exerciţiul 7.2 Dacă f este o funcţie de distribuţie şi [a, b] n (a i, b i ), atunci f(b) f(a) Fie S semiinelul {(a, b] a, b R, a < b} { } şi f o funcţie de distribuţie. λ f : S [0, ] prin: { f(b) f(a), A = (a, b] λ f (A) =. 0, A = i= n (f(b i ) f(a i )). i= Definim funcţia de mulţime Observăm că pentru f = R, avem λ f = λ. Utilizând Exerciţiul 7.2, se arată la fel ca Teorema 6.2 că: Exerciţiul 7.3 Dacă f este o funcţie de distribuţie, atunci λ f este numărabil aditivă pe S. Observaţia 7.4 Fie f este o funcţie de distribuţie. Întrucât R = ( n, n], S şi λ f ( ) = 0, din Exerciţiul 2.2 şi Observaţia 3.5 obţinem:. λ f este finit aditivă pe S. 2. Funcţia λ f este o măsură exterioară pe R. Definiţia 7.5 Dacă f este o funcţie de distribuţie, λ f se numeşte măsura exterioară Lebesgue-Stieltjes asociată lui f, iar M λ f se numeşte familia mulţimilor măsurabile Lebesgue-Stieltjes asociată lui f şi o notăm cu M f. Observaţia 7.6 Din Teorema 3.3 rezultă că M f este o σ-algebră, iar restricţia λ f M f este o măsură pe M f. Pentru f = R, avem M f = M. Se arată la fel ca Teorema 6.6 următoarea: Teorema 7.7 (Teorema de existenţă şi unicitate a măsurii Lebesgue-Stieltjes) Dacă f este o funcţie de distribuţie, atunci A(S) M f şi există o unică măsură µ f : M f [0, ] astfel încât µ f S = λ f. Definiţia 7.8 Funcţia µ f, dată de teorema de mai sus, se numeşte măsura Lebesgue-Stieltjes asociată funcţiei de distribuţie f. Pentru f = R, µ f = µ. Observaţia 7.9 De fapt, µ f este unica măsură care prelungeşte pe λ f la A, pentru orice σ-algebră A cu proprietatea S A M f. La fel ca pentru măsura Lebesgue avem: Teorema 7.0 Dacă f este o funcţie de distribuţie, atunci µ f este σ finită, completă şi B τ0 M f. Exerciţiul 7. În ce condiţii măsura µ f este τ 0 -regulată, respectiv invariantă la translaţii? Teorema 7.2 Fie A P(R) o σ-algebră aşa încât S A şi fie ν : A [0, ] o măsură. Există o funcţie de distribuţie f aşa încât ν(a) = µ f (A), A A M f dacă şi numai dacă ν(a) <, A S. Demonstraţie. : Presupunem că există f o funcţie de distribuţie astfel încât ν = µ f pe A M f. Atunci ν(a) = µ f (A) = λ f (A) <, A S. : Presupunem că ν(a) <, A S. Definim funcţia f : R R, prin { ν ((0, x]), x 0 f(x) = ν ((x, 0]), x < 0. 36
Din ipoteză avem ν ((0, x]) <, x 0 şi ν ((x, 0]) <, x < 0 şi deci f este bine definită. Arătăm în continuare că (a, b] S, ν ((a, b]) = f(b) f(a). (63) Fie intervalul (a, b] S. Dacă b 0, atunci (a, b] = (a, 0]\(b, 0], de unde deducem ν ((a, b]) = ν ((a, 0]) ν ((b, 0]) = f(a) + f(b). Dacă a < 0 < b, atunci (a, b] = (a, 0] (0, b], de unde deducem ν ((a, b]) = ν ((a, 0]) + ν ((0, b]) = f(a) + f(b). Dacă 0 a, atunci (a, b] = (0, b]\(0, a], de unde deducem ν ((a, b]) = ν ((0, b]) ν ((0, a]) = f(b) f(a). Deci (63) este adevarată. Atunci, pentru a, b R cu a < b, rezultă f(b) f(a) = ν((a, b]) 0 şi deci f este crescătoare. Demonstrăm acum că f este continuă la dreapta. Fie x R şi fie (x n ) R, un şir care tinde descrescător la x. Dacă x 0, şirul ((0, x n ]) este descendent şi lim(0, x n ] = (0, x]. Utilizând continuitatea lui ν pe şiruri descendente obţinem: f(x) = ν ((0, x]) = ν (lim(0, x n ]) = lim n ν ((0, x n]) = lim n f(x n). Dacă x < 0, cum x n x, putem presupune că x n < 0, n N, şi atunci şirul ((x n, 0]) este ascendent, iar lim(x n, 0] = (x, 0]. Utilizând continuitatea lui ν pe şiruri ascendente obţinem: f(x) = ν ((x, 0]) = ν (lim(x n, 0]) = lim n ν ((x n, 0]) = lim n f(x n). Deci f este continuă la dreapta în x şi cum x a fost luat arbitrar, f este continuă la dreapta. Prin urmare f este o funcţie de distribuţie. În plus avem ν ((a, b]) (63) = f(b) f(a) = λ f ((a, b]), (a, b] S, adică, ν S = λ f. Deducem că ν prelungeşte pe λ f la A, deci şi la A M f. Cum µ f este unica măsură care prelungeşte pe λ f la A M f, rezultă că ν = µ f pe A M f. Corolar 7.3 Dacă ν : B τ0 [0, ] este o măsură, atunci există o funcţie de distribuţie f aşa încât ν = µ f dacă şi numai dacă ν(a) <, A S. 8 Funcţii măsurabile Considerăm mulţimea R = R {, } şi definim funcţia V : R P(P(R)) prin { } { V R a, b R, a < b şi x (a, b) V }, dacă x R V(x) = V R b R, astfel încât [, b) V, dacă x = { }. V R a R, astfel încât (a, ] V, dacă x = V este un operator de vecinătate pe R, adică, pentru orice x R, V(x) are următoarele proprietăţi:. V V(x), x V ; 2. Dacă V V(x) şi V U R, atunci U V(x); 3. V, V 2 V(x), V V 2 V(x); 4. V V(x), U V(x) astfel încât y U, V V(y). Atunci, familia de mulţimi τ 0 = { D R D şi D V(x), x D } { } este o topologie pe R aşa încât τ 0 τ 0. Mai mult, τ 0 = {D R D τ 0 } şi τ 0 {G A G τ 0 şi A {, { }, { }, {, }}}. Definiţia 8. Fie (X, A) un spaţiu măsurabil. O funcţie f : X R se numeşte A-măsurabilă (pe X) dacă D τ 0, f (D) A. 37
Dacă (X, A) este un spaţiu măsurabil, vom nota cu M(X, A) mulţimea funcţiilor A-măsurabile pe X. Definiţia 8.2. Dacă X = R, funcţiile M-măsurabile se mai numesc funcţii măsurabile Lebesgue. 2. Dacă (X, τ) este un spaţiu topologic, funcţiile B τ -măsurabile se mai numesc funcţii τ-boreliene. 3. Dacă (X, A, µ) este un spaţiu probabilistic, funcţiile A-măsurabile se mai numesc variabile aleatoare. Definiţia 8.3 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil. O funcţie f : X R se numeşte A-etajată dacă există a, a 2,..., a n R astfel încât f(x) = {a, a 2,..., a n } şi f ({a i }) A, i, n. Dacă (X, A) este un spaţiu măsurabil, vom nota cu E(X, A) mulţimea funcţiilor A-etajate pe X. Exemplul 8.4 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil şi fie χ A : X {0, }, funcţia caracteristică a mulţimii A P(X), adică {, x A χ A (x) = 0, x ca. χ A este A-etajată dacă şi numai dacă A A. Exerciţiul 8.5 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil şi o funcţie f : X R. Funcţia f este A-etajată dacă şi numai dacă există a,..., a n R şi A,..., A n A astfel încât A i A j =, pentru i j, X = n n A j şi f = a j χ Aj. Exerciţiul 8.6 Fie f, g E(X, A) şi c R. Dacă funcţiile cf, f + g, fg sunt bine definite (adică nu iau valori de tipul 0, 0,, + ), atunci cf, f + g, fg E(X, A). Propoziţia 8.7 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil. Orice funcţie A-etajată este A-măsurabilă. Demonstraţie. Fie f : X R o funcţie A-etajată şi fie a, a 2,..., a n R astfel încât f(x) = {a, a 2,..., a n } şi f ({a i }) A, i, n. Notăm A i = f ({a i }, i, n. Dacă D τ 0, atunci f (D) = {x X f(x) D} = A i. Cum A este o algebră şi A i A, i, n, a i D urmează că f (D) A. Prin urmare f este A-măsurabilă. j= j= Propoziţia 8.8 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil şi τ P(X) o topologie pe X astfel încât τ A. Atunci orice funcţie continuă f : (X, τ) ( R, τ 0 ) este A-măsurabilă. Demonstraţie. Dacă f : (X, τ) ( R, τ 0 ) este o funcţie continuă, atunci D τ0, f (D) τ şi cum τ A, rezultă D τ 0, f (D) A. Deci f este A măsurabilă. Teorema 8.9 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil şi fie f : X R. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:. f este A-măsurabilă, 2. F F τ0, f (F ) A, 3. B B τ0, f (B) A. Demonstraţie. 2: Fie F F τ0. Deoarece cf τ 0 şi f este A-măsurabilă, obţinem f (cf ) A. Dar f (cf ) = cf (F ) şi atunci f (F ) = ccf (F ) A. 2 : Fie D τ 0. Deoarece cd F τ0, din ipoteză obţinem f (cd) A. Cum f (cd) = cf (D), rezultă f (D) = ccf (D) A. Deci f este A-măsurabilă. 3: Fie E = {E R f (E) A}. Deoarece f este A-măsurabilă, rezultă că τ 0 E. Arătăm în continuare că E este o σ-algebră. Dacă (E n ) E, atunci f (E n ) A, n N şi atunci f ( E n ) = f (E n ) A. Deci E n E. Dacă E, E 2 E, atunci f (E ), f (E 2 ) A şi deci f (E \ E 2 ) A. Prin urmare E \ E 2 E. Am arătat că E este un σ-inel. Cum f (R) = X A, obţinem R E. Deci E este o σ-algebră. Deoarece E este o σ-algebră şi τ 0 E, urmează că B τ0 = A(τ 0 ) E. De aici obţinem că B B τ0, B E, adică f (B) A. 3 : Întrucât τ 0 B τ0, implicaţia este evidentă. 38
Teorema 8.0 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil şi fie f : X R. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:. f este A-măsurabilă, 2. D τ 0, f (D) A şi {f ({ }), f ({ })} A, 3. B B τ0, f (B) A şi {f ({ }), f ({ })} A. Demonstraţie. 2: Cum f este A-măsurabilă, f (D) A, D τ 0 şi cum τ 0 τ 0, rezultă că f (D) A, D τ 0. Deoarece { } F τ0, din Teorema 8.9 obţinem că f ({ }) A. Analog obţinem că f ({ }) A. 2 : Fie D τ 0. Atunci există G τ 0 şi A {, { }, { }, {, }} astfel încât D = G A. Atunci f (D) = f (G A) = f (G) f (A). Din ipoteză, f (G), f (A) A şi atunci f (D) A. 3: Dacă f este A-măsurabilă, din Teorema 8.9 obţinem că f (B) A, B B τ0. Cum τ 0 τ 0, rezultă B τ0 B τ0 şi deci f (B) A, B B τ0. Din (2) obţinem {f ({ }), f ({ })} A. 3 2: Întrucât τ 0 B τ0, implicaţia este evidentă. Teorema 8. Fie (X, A) un spaţiu măsurabil şi f : X R. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:. f este A măsurabilă, 2. α R, f ([, α)) A, 3. α R, f ([α, ]) A, 4. α R, f ((α, ]) A, 5. α R, f ([, α]) A. Demonstraţie. Vom demonstra mai întâi că 2 3 4 5. 2 3: Fie α R. Atunci, din ipoteză, f ([, α)) A. Deoarece f ([α, ]) = f ( R \ [, α) ) = f ( R ) \ f ([, α)) = X \ f ([, α)) = cf ([, α)), rezultă că f ([α, ]) A. 3 4: Fie α R. Dacă α =, atunci (α, ] = (, ] = [ n, ] şi deci f ((α, ]) = f ([ n, ]) A. Dacă α =, atunci (α, ] = (, ] = şi deci f ((α, ]) = A. Dacă α R, atunci (α, ] = [α + n, ], de unde rezultă f ((α, ]) = f ([α + n ]), 4 5: Se arată la fel ca 2 3. 5 2: Se arată la fel ca 3 4. În consecinţă, am arătat că 2 3 4 5. Vom demonstra în continuare echivalenţa acestora cu (). 2: Presupunem că f este A-măsurabilă, adică f (D) A, D τ 0. Atunci α R, deoarece [, α) τ 0, rezultă f ([, α)) A. 2 : Fie D τ 0. Dacă D =, atunci f (D) = A. Dacă D, atunci, din teorema de structură a mulţimilor deschise din topologia τ 0 a lui R, există un şir de intervale deschise {(a n, b n )} astfel încât (a m, b m ) (a n, b n ) =, pentru m n, şi D = (a n, b n ). Pentru orice n N, avem: f ((a n, b n )) = f ([, b n ) (a n, ]) = f ([, b n )) f ((a n, ]). Din (2), f ([, b n )) A. Pe de altă parte 2 4 şi atunci f ((a n, ]) A. Rezultă că f ((a n, b n )) A, n N. Deoarece f (D) = f ( (a n, b n )) = f (a n, b n ), obţinem atunci că f (D) A. Deoarece 2 5, avem f ({ }) = f ([, ]) A. Deoarece 2 3, avem f ({ }) = f ([, ]) A. Prin urmare sunt îndeplinite condiţiile din Teorema 8.0(2) şi atunci f este A-măsurabilă. A. 39
Teorema 8.2 Fie (X, A) un spaţiu măsurabil, f, g : X R două funcţii A-măsurabile şi c R. Dacă funcţiile f + g, c f, f g sunt bine definite (adică nu iau valori de tipul, +, 0, 0), atunci:. f + g este A-măsurabilă, 2. c f este A-măsurabilă, 3. f 2 este A-măsurabilă, 4. f g este A-măsurabilă. Demonstraţie. Deoarece f şi g sunt A-măsurabile, acestea satisfac caracterizările din Teorema 8... Deoarece f + g este bine definită, nu ia valori de tipul. Fie α R. Distingem următoarele cazuri: Dacă α =, atunci (f + g) ([, )) = A. Dacă α =, atunci (f + g) ([, )) = {x X f(x) + g(x) < } = {x X f(x) < şi g(x) < } = {x X f(x) < } {x X g(x) < } = f ([, )) g ([, )) A. Presupunem acum că α R. Atunci (f + g) ([, α)) = {x X f(x) + g(x) < α} = {x X f(x) + g(x) < α şi g(x) } {x X g(x) = } Dacă f(x) + g(x) < α şi g(x), atunci f(x) < α g(x) şi deci există r x Q astfel încât f(x) < r x < α g(x). Cum f(x) < r x şi g(x) < α r x, obţinem x f ([, r x )) g ((, α r x )). Prin urmare avem x r Qf ([, r)) g ((, α r)). Am demonstrat că {x X f(x) + g(x) < α şi g(x) } r Qf ([, r)) g ((, α r)). Arătăm în continuare incluziunea inversă. Dacă x r Qf ([, r)) g ((, α r)), atunci există r Q astfel încât x f ([, r)) g ((, α r)). Atunci f(x) < r şi < g(x) < α r. Deci f(x) + g(x) < α şi g(x). Rezultă f ([, r)) g ((, α r)) {x X f(x) + g(x) < α şi g(x) }. r Q Atunci are loc egalitatea: {x X f(x) + g(x) < α şi g(x) } = r Qf ([, r)) g ((, α r)), de unde rezultă (f + g) ([, α)) = f ([, r)) g ((, α r)) g ( ). r Q Cum f şi g sunt A-măsurabile, f ([, r)), g ((, α r)) A, r Q, de unde (f + g) ([, α)) A. Deci, α R, (f + g) ([, α)) A şi atunci, din Teorema 8. obţinem că f + g este A-măsurabilă. 2. Deoarece c f este bine definită, nu ia valori de tipul 0. Dacă c = 0, atunci c f = 0. Deci c f este funcţie etajată şi atunci este A-măsurabilă. Presupunem în continuare că c 0 şi fie un α R. Deoarece (c f) ([, α)) = f ([, α c )), dacă c > 0 f (( α c, ]), dacă c < 0 şi f este A-măsurabilă, rezultă (c f) ([, α)) A, α R. În consecinţă, c f este A-măsurabilă. 3. Fie α R. Dacă α 0, atunci ( f 2) ([, α)) = A. Dacă α > 0, atunci ( f 2) ([, α)) = f ([, α)) = f ([, α)) f (( α, ]). Deoarece f este A-măsurabilă, avem f ([, α)), f (( α, ]) A şi atunci ( f 2) ([, α)) A. În concluzie f 2 este A-măsurabilă. 4. Deoarece f g este bine definită, nu ia valori de tipul 0 sau 0. Considerăm mulţimea Y = {x X f(x) R şi g(x) R} = f ((, )) g ((, )). 40
Deoarece funcţiile f şi g sunt A-măsurabile, rezultă că Y A. Fie A Y = {A Y A A}, urma lui A pe Y. Deoarece Y A, rezultă că A Y A. este de asemenea o σ-algebră. Considerăm funcţiile: A Y Întrucât A este o σ-algebră, f = f Y şi g = g Y. Întrucât f şi g sunt A-măsurabile, pentru orice D τ 0 avem f (D) A şi g (D) A. De aici rezultă f (D) = f (D) Y A Y şi g (D) = g (D) Y A Y şi deci f şi g sunt A Y -măsurabile. Pentru orice x Y, cum f (x), g (x) R, are loc identitatea [ (f (x) + g (x)) 2 (f (x) g (x)) 2], f (x) g (x) = 4 adică f g = [ (f + g ) 2 (f g ) 2]. 4 Cum f şi g sunt A Y -măsurabile, din rezultatele anterioare obţinem că f + g este A Y -măsurabilă şi deci (f + g ) 2 este A Y -măsurabilă. De asemenea, g este A Y -măsurabilă, de unde rezultă f g = f + ( g ) este A Y -măsurabilă şi deci (f g ) 2 este A Y -măsurabilă. Atunci (f g ) 2 este A Y -măsurabilă şi deci (f + g ) 2 (f g ) 2 este A Y -măsurabilă. Prin urmare f g este A Y -măsurabilă. În consecinţă α R, (f g ) ([, α)) A Y şi cum A Y A, obţinem: Fie acum α R. Atunci α R, {x Y (f g) (x) < α} A. (64) (f g) ([, α)) = {x X (f g) (x) < α} = {x Y (f g) (x) < α} {x X \ Y (f g) (x) < α}. Notăm cu A = {x Y (f g) (x) < α}. Cum {x X \ Y (f g) (x) < α} = {x X \ Y (f g) (x) = }, putem scrie unde Deci {x X \ Y (f g) (x) < α} = B C D E B = {x X f(x) = şi g(x) > 0}, C = {x X f(x) > 0 şi g(x) = }, D = {x X f(x) = şi g(x) < 0}, E = {x X f(x) < 0 şi g(x) = }. (f g) ([, α)) = A B C D E. (65) Din (64), A A. Deoarece f şi g sunt A-măsurabile, obţinem B = f ({ }) g ((0, ]) A, C = f ((0, ]) g ({ }) A, D = f ({ }) g ([, 0)) A şi E = f ([, 0)) g ({ }) A. Din (65) obţinem (f g) ([, α)) A. În consecinţă, f g este A-măsurabilă. 4