GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7
Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de numere reale 5 Principiul contracţiei 6 3 Şiruri în R p 8 4 Serii de numere reale 8 5 Serii cu termeni pozitivi 33 6 Serii cu termeni oarecare 38 3 Limite de funcţii 4 3 Limita unei funcţii reale de o variabilă reală 4 3 Limita unei funcţii de o variabilă vectorială 45 4 Funcţii continue 49 4 Continuitatea funcţiilor reale de o variabilă reală 49 4 Continuitatea uniformă a funcţiilor de o variabilă 5 43 Continuitatea funcţiilor de o variabilă vectorială 53 5 Derivate şi diferenţiale 55 5 Derivata şi diferenţiala funcţiilor de o variabilă 55 5 Proprietăţi ale funcţiilor derivabile 59 53 Derivatele şi diferenţiala funcţiilor de n variabile 64 6 Funcţii definite implicit 74 6 Funcţii definite implicit de o ecuaţie 74 6 Funcţii definite implicit de un sistem de ecuaţii 77 63 Transformări punctuale 79 64 Dependenţă şi independenţă funcţională 8 65 Schimbări de variabile 83
CUPRINS 3 7 Extreme pentru funcţii de mai multe variabile 87 7 Puncte de extrem pentru funcţii de mai multe variabile 87 7 Extreme pentru funcţii definite implicit 89 73 Extreme condiţionate 9 8 Şiruri şi serii de funcţii 93 8 Şiruri de funcţii reale 93 8 Serii de funcţii 97 83 Serii de puteri 84 Serii Taylor 9 Elemente de geometrie diferenţială 4 9 Curbe plane 4 9 Curbe în spaţiu 93 Suprafeţe 8 Integrala Riemann şi extinderi Primitive Integrala nedefinită Integrala definită 6 3 Integrale improprii 33 4 Integrale cu parametri 37 Integrale curbilinii 4 Lungimea unui arc de curbă 4 Integrale curbilinii de primul tip 4 3 Integrale curbilinii de tipul al doilea 43 4 Independenţa de drum a integralelor curbilinii 46 5 Calculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii 47 Integrale multiple 48 Integrala dublă 48 Aria suprafeţelor 55 3 Integrala de suprafaţă de primul tip 57 4 Integrale de suprafaţă de tipul al doilea 58 5 Integrala triplă 6 3 Ecuaţii diferenţiale ordinare 67 3 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi 67 3 Alte ecuaţii integrabile prin metode elementare 73 33 Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 75 34 Ecuaţii cărora li se poate micşora ordinul 76 4 Ecuaţii şi sisteme diferenţiale liniare 78 4 Sisteme diferenţiale liniare de ordinul întâi 78 4 Sisteme diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi 8 43 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n 84 44 Ecuaţii de ordinul n cu coeficienţi constanţi 87
CUPRINS 4 45 Ecuaţia lui Euler 89
Capitolul Elemente de teoria spaţiilor metrice Spaţii metrice Fie G, +) un grup comutativ şi p : G R + o funcţie ce satisface proprietăţile: ) px) = dd x = ; ) p x) = px), x G; 3) px + y) px) + py), x, y G Să se arate că aplicaţia d : G G R, dx, y) = px y), x, y G este o metrică pe G R: Verificăm că d satisface axiomele metricii: o dx, y) = px y), x, y G pentru că x y = x + y) G şi dx, y) = px y) = x y = x = y; o dx, y) = px y) = p x + y) = py x) = dy, x); 3 o dx, y) = px y) = px z + z y) px z) + pz y) = dx, z) + dz, y), x, y, z G Fie N mulţimea numerelor naturale Să se arate că următoarele aplicaţii sunt distanţe pe N: ) d : N N R +, dm, n) = m n, m, n N ) d : N N R +, dm, n) = m n, m, n N 3) d : N N R +, dm, n) =, m, n N k= m +m n +n 3 Fie R n = R R R, produsul cartezian constând din n factori şi x = x, x,, x n ), y = y, y,, y n ) R n Să se arate că aplicaţiile: d, δ, : R n R n R +, definite prin: dx, y) = n n x k y k ), δx, y) = x k y k, x, y) = max x k y k k=,n sunt metrici pe R n k= 5
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 6 R: Pentru d se aplică inegalitatea lui Minkowski: n a k + b k ) n a k + n b k, a = a, a,, a n ), b = b, b,, b n ) k= k= k= 4 Să se haşureze în R sferele deschise S, r), r >, relative la metricile d, δ, 5 Să se arate că d, δ, sunt metrici echivalente pe R n R: Se demonstrează inegalităţile: δ n d n n δ n n δ 6 Să se arate că d : R R R +, dx, y) = x y + x y, x, y R este o metrică pe R R: Se ţine seama că oricare ar fi a, b, c cu a b + c, avem: deoarece din α β urmează a + a a b + b b + c + c c, α +α β +β 7 Fie d : X X R + o metrică pe X Să se arate că aplicaţia δ : X X R + definită prin δx, y) = este de asemenea o metrică pe X dx,y) +dx,y) 8 Să se arate că într-un spaţiu metric X, d) avem: ) dx, x n ) n dx i, x i+ ), x,, x n X, n i= ) dx, z) dz, y) dx, y), x, y, z X 3) dx, y) dx, y ) dx, x ) + dy, y ), x, x, y, y X R: 3) dx, y) dx, x ) + dx, y) dx, x ) + dx, y ) + dy, y) 9 Fie X o mulţime nevidă Să se arate că aplicaţia d : X X R, definită prin: {, x = y dx, y) =, x y este o metrică pe X metrica discretă pe X) Să se arate că aplicaţia d : R + R + R +, definită prin: { x + y, x y, dx, y) =, x y este o metrică pe R + Să se arate că aplicaţia d : R n R n R, definită prin: dx, y) = n k= k x k y k + x k y k, x = x, x,, x n ), y = y, y,, y n ) R n este o metrică pe R n
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 7 Să se arate că următoarele aplicaţii sunt metrici pe mulţimile indicate: ) d :, ), ) R, dx, y) = x y ) d : R R R, dx, y) = x + x y +x 3) d : R R R, dx, y) = + +y { x y, x = y, x + y + x y, x y, metrica mersului prin junglă), unde: x = x, y ), y = y, y ) 4) d : R R R, { x x dx, y) = ) + x y ), dacă există o dreaptă δ R aî, x, y δ, x + x + y + y, în rest, metrica căii ferate franceze), unde: =, ), x = x, y ), y = y, y ) 3 Să se arate că următoarele aplicaţii sunt norme pe R n : n ) x = x k, x = x, x,, x n ) R n k= ) x = n x k, x = x, x,, x n ) R n k= 3) x = sup x k, k =, n, x = x, x,, x n ) R n [ ] a + bi c + di 4 Fie M = {A =, cu a, b, c R, i c + di a bi = } şi f : M R +, fa) = det A Să se arate că M, ) este spaţiu normat în raport cu norma dată prin A = fa) 5 Fie C[,e] = {f : [, e] R, f continuă pe [, e]} Să se arate că aplicaţia : C[,e] R definită prin f = [ e f x) ln x) dx ] / este o normă pe C [,e] şi să se găsească norma funcţiei fx) = x 6 Fie C [,] = {f : [, ] R, f derivabilă cu derivată continuă pe [, ]} Să se arate că următoarele aplicaţii sunt norme pe C [,] : ) f = sup { fx), x [, ]} ) f = fx) dx [ / 3) f = f) + sup { fx), x [, ]} 4) f = f x) dx] 7 Fie mulţimea X = {,, 3, 4} şi clasele: τ = {, X, {}, {, }, {, 3}, {,, 3}}, τ = {, X, {}, {}, {3, 4}, {, 3, 4}} ) Să se arate că τ este topologie pe X dar τ nu este topologie pe X ) Să se găsească sistemele de vecinătăţi ale punctelor 3 şi 4 din spaţiul topologic X, τ )
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 8 R: Se verifică proprietăţile din definiţia topologiei Pentru τ se constată că, de exemplu {} {} = {, } / τ 8 Fie X = {α, β, γ, δ} şi familia de mulţimi: τ = {, {α}, {γ}, {α, β}, {α, γ}, {α, β, γ}, X} Să se arate că τ este o topologie pe X şi să se determine sistemele de vecinătăţi ale punctelor α, β, γ şi δ 9 Dacă X şi τ = {, X}, atunci X, τ ) este spaţiu topologic pe X, numit spaţiul topologic nondiscret grosier) pe X Dacă X şi PX) este mulţimea tuturor părţilor mulţimii X, iar τ = PX), atunci X, τ ) este spaţiu topologic pe X, numit spaţiul topologic discret pe X Dacă X are mai mult de două elemente şi a X, fixat, atunci τ = {, {a}, X} este o topologie pe X, diferită de topologia nondiscretă şi de cea discretă Fie X = {a, b, c, d, e} Să se precizeze care dintre următoarele familii de părţi ale lui X este o topologie pe X: ) τ = {, X, {a}, {a, b}, {a, c}} ) τ = {, X, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}} 3) τ 3 = {, X, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}} R: τ şi τ nu, τ 3 da 3 Fie τ = {, R, q, )}, q Q Să se arate că τ este o topologie pe R R: Mulţimea A = {q, ), q > } =, ) este o reuniune de mulţimi din τ, q Q totuşi ea nu aparţine lui τ deoarece / Q 4 Pe mulţimea X = {a, b, c} următoarele familii de părţi ale lui X sunt topologii: τ = {, X, {a}, {b, c}}; τ 3 = {, X, {b}, {a, c}}; τ = {, X, {a}, {a, c}}; τ 4 = {, X, {c}, {b, c}} 5 Fie τ = {, R, α, α)}, α > Să se arate că τ este o topologie pe R 6 Pe mulţimea X = {,, 3, 4, 5} se consideră topologia: τ = {, X, {}, {, }, {, 3, 4}, {,, 3, 4}, {,, 5}} ) Să se găsească punctele interioare ale mulţimii A = {,, 3} ) Să se găsească punctele exterioare ale mulţimii A 3) Să se găsească punctele frontieră ale mulţimii A R: ) Int A = {, } deoarece {, } A, {, } A 3 nu este punct interior lui A deoarece nu aparţine la nici o mulţime deschisă inclusă în A ) CA = {4, 5} şi Int CA =, deci nu există puncte exterioare lui A 3) Fr A = {3, 4, 5}
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 9 7 Să se arate că următoarele familii de părţi sunt topologii pe R: ) τ i = {, R, a, )}, a R, topologia inferioară sau dreaptă a lui R) ) τ s = {, R,, a)}, a R, topologia superioară sau stângă a lui R) 8 Să se găsească interiorul, exteriorul şi frontiera intervalului I = [3, ) relativ la spaţiul topologic R, τ i ), unde τ i este topologia inferioară pe R R: Cea mai amplă mulţime deschisă, conţinută în I, este 3, ), deci Int A = 3, ) CI =, 3) şi nu conţine nici o altă mulţime deschisă în afară de mulţimea vidă Int CA =, Fr A =, 3] Mulţimea numerelor reale 9 Să se arate că mulţimea A = {x n = n n + n n + n +, n N, n } este mărginită R: Din x + x pentru orice număr real pozitiv, rezultă x n > + + = 3, adică a = 3 este un minorant pentru A Cum pentru n, < n n < şi n, urmează x n < + + + = 9, adică b = 9 este un majorant pentru A 3 Să se arate că mulţimea A α = {y R, y = αx+ x +x+, x R} este mărginită pentru orice α R şi să se determine inf A α şi sup A α R: Fie y A α Atunci: yx + y α)x + y =, care trebuie să aibă soluţii reale Deci y α) 4yy ) = 7y α )y + α, de unde, notând cu β = α α +,: [ α β y, α + β ] 7 7 Aşadar: inf A α = min A α = α β 7, sup A α = max A α = α + β 7 3 Să se determine minoranţii, majoranţii, cel mai mic element şi cel mai mare element dacă există) ale următoarelor mulţimi de numere reale: ) A = {sin, sin, sin 3} ) A = { { } n, n N } 3) A = n n +, n N 4) A = {x R, x 5} 5) A = {x R, x, x > 5} 6) A = {x R, x 3 x } 7) A = {x sin x, x R} R: ) Cum: sin = sinπ ), sin 3 = sinπ 3), deoarece: < π 3 < < π < π şi funcţia sinus este strict crescătoare pe [, π ], rezultă: sin < sinπ 3) < sin < sinπ ) < sin π şi deci < sin 3 < sin < sin < Aşadar: min A = sin 3, max A = sin şi orice număr a sin 3 este un minorant, iar orice număr b sin este un majorant
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE ) Deoarece n, rezultă că n Deci este un minorant al mulţimii A şi orice număr a, ] este minorant Nici un număr a > nu poate fi minorant al mulţimii A deoarece A şi din definiţia minorantului ar rezulta că a contradicţie) Evident inf A = min A = Mulţimea majoranţilor este [, ) Într-adevăr, b implică b n, pentru orice n N Dacă b < rezultă b > şi atunci n N aî b > n sau b < n, adică b nu ar mai fi majorant Evident sup A =, în timp ce max A nu există 3) Din inegalitatea: 3 n n + <, n N, deducem că mulţimea minioranţilor lui A este, 3], mulţimea majoranţilor este [, ), inf A = min A = 3, sup A =, iar max A nu există 4) inf A = min A = 5, sup A = max A = 5, 5) inf A = 5, sup A =, 6) inf A =, max A = sup A =, 7) inf A 7 =, sup A 7 = 3 Să se determine inf A, min A, sup A şi max A dacă: ) A = {x R, x = a+ a +a+, a R} ) A = {y R, y = x 3x+ x +x+, x R} 3) A = {y R, y = 3x +4x 3 x +, x R} R: ) Din xa + x )a + x =, cu a R, rezultă A = [ [ 3, ] Deci inf A = min A = 3, sup A = max A = ) A = 9 ] 3, 9+ 3 3) A = [ 3, 5] 33 Utilizând axioma lui Arhimede, să se arate că pentru orice x R există n Z aî să avem: ) x + n nx + ) x x + n R: ) Inegalitatea se mai scrie: x nx ) Pentru x = este evidentă Dacă x, pentru numărul real x x = x +, conform axiomei lui Arhimede, există n Z aî x + n 34 Fie [a n, b n ] [a n+, b n+ ], n N un şir descendent de segmente reale Să se arate că: ) [a n, b n ] Cantor-Dedekind) n= ) Dacă b n a n n, n N, atunci există un număr x R, unic determinat, cu proprietatea că: [a n, b n ] = {x } n= R: ) Din [a n, b n ] [a n+, b n+ ] rezultă că a n b m, n, m N Aşadar mulţimea A = {a n, n N } este mărginită superior orice b m este un majorant), iar mulţimea B = {b m, m N } este mărginită inferior orice a n este un minorant) Există deci sup A şi inf B şi sup A inf B În concluzie, [a n, b n ] [sup A, inf B] n=
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE ) Dacă ar exista x şi y cu x < y şi x, y [a n, b n ], atunci din a n x < y b n rezultă: < y x b n a n n, adică ny x), n N, ceea ce ar contrazice axioma lui Arhimede aplicată numerelor y x şi 35 Dacă a, a,, a n R + şi a a a n =, atunci a + a + + a n n R: Folosim metoda inducţiei matematice P ) : dacă a, a R + şi a a =, atunci a +a Fie a şi a Urmează a )a ) sau a +a +a a P n) : dacă a, a,, a n R + şi a a a n =, atunci a + a + + a n n P n + ) : dacă a, a,, a n, a n+ R + şi a a a n a n+ =, atunci a + a + + a n + a n+ n + Printre numerele a, a,, a n, a n+ există cel puţin unul mai mare sau cel puţin egal cu şi cel puţin unul mai mic sau cel mult egal cu Fără a restrânge generalitatea, putem presupune că acestea sunt a şi a Din P ) avem că a + a + a a, de unde deducem: a + a + + a n + a n+ + a a + a 3 + + a n + a n+ + n, n= deoarece a a,, a n, a n+ sunt n numere al căror produs este 36 Inegalitatea mediilor Fie x, x,, x n R + şi A media aritmetică, G media geometrică, H media armonică a celor n numere, definite prin; A = x + x + + x n, G = n n x x x n, H = Să se arate că au loc inegalităţile: H G A R: Din definiţia mediei geometrice avem: x x x n G n = sau x G x G xn G = n + + x x xn Luând în exerciţiul precedent a k = x k x G, k =, n, obţinem: G + x G + + x n G A G Înlocuind aici pe x k prin, k =, n, găsim H G x k n, sau 37 Inegalitatea lui Schwarz-Cauchy Pentru orice numere reale a, a,, a n şi b, b,, b n are loc inegalitatea: a b + a b + + a n b n ) a + a + + a n) b + b + + b n), sau n a k b k n a k n b k k= k= k=
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE R: Fie trinomul de gradul al doilea: fx) = a + a + + a n) x a b + a b + + a n b n ) x + b + b + + b n), care se mai scrie: fx) = a x b ) + a x b ) + + a n x b n ) pentru orice x R, deci, ceea ce implică inegalitatea dată 38 Inegalitatea lui Minkowski Pentru orice numere reale a k, b k, k =, n are loc inegalitatea: n a k + b k ) n a k + n b k sau k= R: Tinând seama de inegalitatea lui Schwarz-Cauchy, avem: n n n n n a k + b k ) = a k + a k b k + b k a k + n a k n n b k + b k, k= k= k= k= k= k= k= n a k + b k ) n a k + n k= k= de unde, extrăgând radicalul rezultă inegalitatea dată 39 Inegalitatea lui Bernoulli Oricare ar fi a [, ) şi α [, ) avem: + a) α + αa R: Inegalitatea rezultă din studiul monotoniei funcţiei f : [, ) R, fx) = + x) α αx, observând că aceasta are un minim egal cu în x = k= 4 Dacă a [, ) şi n N atunci: + a) n + na R: Se ia în inegalitatea lui Bernoulli α = n 4 Dacă b >, b, atunci: +nb n+ ) n+ > b n R: Aplicând inegalitatea lui Bernoulli, avem: ) n+ + nb = b + b ) n+ [ = b n+ + b ] n+ > b n+ + b ) = b n n + n + bn + ) b b k k=, k= k= 4 Să se arate că: ) + ) n+ n + > + n) n ) ) n+ > n n + n)
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 3 R: Se ia în inegalitatea precedentă b = + n, respectiv b = + n 43 Să se arate că oricare ar fi numerele reale a, a,, a n, de acelaşi semn, are loc inegalitatea generalizare a inegalităţii lui Bernoulli): + a ) + a ) + a n ) + a + a + + a n R: Se foloseşte inducţia matematică 44 Inegalitatea lui Cebîşev Fie a, a,, a n şi b, b,, b n numere reale cu a a a n, b b b n şi S = a b i + a b i + a n b in, n, unde {i, i,, i n } = {,,, n} Să se arate că: a b n + a b n + a n b S a b + a b + + a n b n R: Fie j < k, i j < i k atunci a j a k )b ij b ik ) implică: a j b ij + a k b ik a j b ik + a k b ij Deci orice inversiune în mulţimea {i, i,, i n } micşorează suma S, ca atare ea este maximă pentru permutarea identică {,,, n} şi minimă pentru permutarea {n, n,, } 45 Fie a, a,, a n şi b, b,, b n numere reale cu a a a n, b b b n Să se arate că: n ) n ) n ) n a i b i a i b i i= R: Din exerciţiul precedent rezultă că max S = n a i b i Avem deci inegalităţile: i= i= i= n a i b i = a b + a b + + a n b n, i= n a i b i a b + a b 3 + + a n b, i= n a i b i a b n + a b + + a n b n i= Prin adunare membru cu membru obţinem inegalitatea din enunţ 46 Fie a, b, c > Să se arate că: a ) b+c + b a+c b + c a+b c 3 ) a + b + c a +b c + b +c a + c +a b R: Se aplică inegalitatea lui Cebîşev: ) pentru tripletele a, b, c) şi b+c, a+c, a+b ) pentru tripletele: a, b, c ) şi c, b, a a3 bc + b3 ca + c3 ab ), ), respectiv a 3, b 3, c 3 ) şi a abc, b abc, c abc)
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 4 47 Inegalitatea lui Hölder Dacă a, a,, a n, b, b,, b n, p >, q > şi p + q =, atunci: n n a i b i i= R: Dacă n a p i = sau n i= b q i i= i= a p i ) /p n ) /q b q i i= = inegalitatea este evidentă Fie: A = ap i n a p i i=, B = bq i n b q i i= şi funcţia f : [, ) R, definită prin: fx) = x α αx, α, ) Deoarece f are în x = un maxim egal cu α, rezultă că: x α αx α, x [, ) Luăm x = A B şi α = p, deci α = q, deducem: A p B q A p + B q Înlocuind aici A şi B, sumând apoi după i de la la n, obţinem inegalitatea din enunţ 48 Să se arate că pentru orice n N are loc inegalitatea: R: Se foloseşte majorarea: 3 3! N n! n + )! n k k! = k k ++ +k k = k+ k 49 Dacă x, x,, x n R +, atunci: x + x + + x n ) + + + ) n x x x n R: Se foloseşte inegalitatea lui Schwarz-Cauchy cu a i = x i, b i = xi, i =, n 5 Dacă a, a,, a n R +, atunci: a + a + ) a n + a n + ) a a a n 3 n R: Se foloseşte inegalitatea: x + x, pentru orice x R + 5 Dacă a, a,, a n R +, n şi S = a + a + + a n atunci: sau a S a + a S a + + a n S a n n n R: Notăm b i = S a i, i =, n Deoarece S > a i rezultă că b i > putem scrie: b + b + + b n ) + + + ) n, b b b n n n n k= a k ) n k= ) a b k n + a + + S a S a a n S a n )
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 5 5 Dacă a, b, c R +, atunci: R: Se ţine seama că ab a+b a+b 4 etc ab a + b + bc b + c + ca c + a a + b + c 53 Dacă a, a,, a n R +, n, atunci: R: Se foloseţe inegalitatea mediilor 54 Dacă a, a,, a n R +, atunci: a + a + + a n + a n n a a 3 a n a + a ) + a ) + a n ) n R: Se înmulţesc membru cu membru inegalităţile: + a i a i, i =, n 55 Dacă a, b, c R +, atunci: a + b)b + c)c + a) 8abc R: Se înmulţesc membru cu membru inegalităţile: a + b ab etc 56 Dacă a, a,, a n >, b, b,, b n >, atunci: n a + b )a + b ) a n + b n ) n a a a n n b b b n R: Se foloseşte inegalitatea mediilor pentru numerele: b i a i+b i, i =, n şi se adună inegalităţile obţinute 57 Dacă a, b, c R +, atunci: a i a i+b i, i =, n şi respectiv: a a b b c c abc) a+b+c 3 R: Fără a restrânge generalitatea, putem presupune a b c Din a a b b a b, b b c c b c, a a c c a c prin înmulţire membru cu membru se obţine inegalitatea din enunţ
Capitolul Şiruri şi serii Şiruri de numere reale Folosind teorema de caracterizare cu ε a limitei unui şir, să se arate că: 3 4 n + 4) n n + ) lim n 5 n = ) lim n n + = + R: ) Fie ε > arbitrar Este suficient să arătăm că există un rang N = Nε) aî 3 4 n + 4) n 5 n < ε, n > N Dar 3 4n + 4) n 5 4 4 n n 5 < ε pentru n > ln ε n 4 Aşadar, putem lua ln 4 5 {, ] ε > 4, Nε) =, ε 4 [ ln ε 4 ln 4 5 ) Fie ε > arbitrar Este suficient să arătăm că există un rang N = Nε) aî n + n+ > ε, n > N Însă n + n+ = n + 3 n+ > n > ε, pentru n > + ε Putem lua Nε) = [ + ε] Folosind teorema de caracterizare cu ε a limitei unui şir, să se arate că: ) lim n n n = ) k= lim 4n + n 5n = 4 5 3) lim n n n + ) = 3 Folosind criteriul lui Cauchy, să se arate că şirurile x n ) n N sunt convergente, unde: n n ) x n = k ) x sinkx) n = k, x R 3) x n = n k= k= α k a k α k <, k N, a > 6
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 7 avem: R: ) Arătăm că ε >, Nε) aî x n+p x n < ε, n > Nε) şi p N Deoarece n + k) < n + k) n + k ) = n + k n + k, x n+p x n = n + ) + + n + p) < n n + p < n < ε pentru n > ε Putem lua Nε) = [ ] ε ) Arătăm că ε >, Nε) aî x n+p x n < ε, n > Nε) şi p N Avem: x n+p x n = sinn + )x n+ + + sinn + p)x n+p deci x n+p x n < < ε pentru n > ln n ε 3) Avem x n+p x n = α n+ a n+ + + α n+p α n+ a n+p a n+ [ ln εa ) ln a n+ + + n+p = [ ln Putem lua Nε) = ln ε ln ] n p ), + + α n+p a n+p < a n+ + + a n+p, deci x n+p x n < a n a ) [ ) p ] a < a n a ) < ε pentru n > ln ] ln a Nε) = εa ) Putem lua 4 Folosind criteriul lui Cauchy, să se arate că şirul x n ) n N este divergent, unde x n = + + 3 + + n R: Este suficient să arătăm că există un ε > şi un p N aî x n+p x n ε Se constată însă imediat că pentru p = n avem: x n x n = n + + + n = ε 5 Să se cerceteze natura următoarelor şiruri x n ) n N cu termenii generali: ) x n = + 3 + + n + n + ) x n = sin n R: ) Şirul este divergent Se observă că: x n x n = n + n + n + + + > n + 3 4n + 4n + > ) Presupunem că există lim x n = x Atunci avem şi lim x n+ = x, lim x n = x, ceea ce implică: lim [sinn + ) sinn )] =, n adică lim sin cos n = sau lim cos n = Din sin n = sin n cos n ar rezulta că lim sin n = Dar şirul sin n) n N este un subşir al şirului sin n) n N, de unde se deduce că lim sin n = Aşadar am avea: lim sin n + cos n ) = Contradicţie Deci şirul x n ) este divergent
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 8 6 Folosind criteriul lui Cauchy, să se studieze natura şirurilor cu termenii generali: ) x n = n k= cos k! k k + ) ) x n = n k= 7 Să se calculeze limita şirului cu termenul general: cos kx a k, a > 3) x n = n k= x n = α n k + α n k + + α k β n h + β n h + + β h, α, β, k, h N 8 Să se calculeze limitele şirurilor: ) x n = + + + n n ) x n = Ck n n k 3) x n = n n 9 Să se arate că dacă a <, atunci lim na n = sin kx 3 k R: Deoarece a <, există b > aî a = Newton +b şi se dezvoltă după binomul lui Fie x, x,, x p numere reale pozitive Să se arate că: n lim x n n + xn + xn p = max{x, x,, x p } R: Fie x = max{x, x,, x p } Rezultă: x n x n + x n + x n p px n, adică; Dar lim n p = Fie şirul cu termenul general: x n x n + xn + xn p x n p x n = a + n + n k= k 4 + k + k 4 + k ) Să se arate că x n ) este convergent ) Să se găsească rangul de la care x n a, Să se calculeze limitele şirurilor x n ) date prin termenii generali: ) n 5n 3n + 3n + ) x n = ) x n = 3) x n = an + b n 4n + 3n + 5 3a n + 4b n 4) x n = + 4 + + n) + 3 + + n ) 5) x n = n + n + + n + 3 6) x n = n + n + n + 4 n + 7) x n = 3 n + n + an
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 9 n + 5n + 4 8) x n = 3n + ) 6n 3n+ 9) x n = ) n n + n + n + 3 ) x n = n + + 3 n) ) 3 + n 9 ) x n = n 3 + 3 + + n 3 ) n + ) 5 ) x n = n 4 + n + n 4 n + ) n + 3) x n = n k n + 5 4) x n = n 3 3 n + ) 3 ) n ) 3 Se consideră curba formată din semicercuri de raze r, r 3, r 9, r 7, cu centrele cercurilor coliniare Să se calculeze lungimea L n a liniei formate din primele n semicercuri, precum şi L = lim L n Care sunt valorile lui n pentru care diferenţa L L n reprezintă cel mult 5% din L? R: Avem: L n = π r + r 3 + r 3 + + r ) 3 n = 3πr ) 3 n şi L = 3πr L L n = 3πr 3 n 5 3πr, de unde 3n, adică n 3 4 Să se discute după valorile parametrului real p: [ ] n + n + l = lim n np n + 3 n + 3 R: Notăm a n = ) ) n + n + n + n + n + 3 n + 3 = n + + 3 n + 3 Avem a n, iar na n 6 Deci: l = 6 lim n np =, p, ), 6, p =,, p, ) 5 Să se calculeze limita şirului x n ) cu termenul general: x n = R: Din sin x, x R, deducem: < x n sin + a sin + + an sin n a n [ + a + 3a + + n + )a n ], a > a) a n ) a n [ n + )a n+ + n + )a n+ ] = α n şi cum pentru a >, α n, rezultă că x n
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 6 Să se arate că şirul cu termenul general x n = +! +! + + n! Limita sa este numărul e este convergent R: Folosim criteriul lui Cauchy: x n+p x n = = n + )! + n + )! + + n + p)! = n + )! [ n + + n + )n + ) + + n + )n + ) n + p) ] de unde: x n+p x n < n! pentru n > Nε) = [ ε ] [ ] n + + n + ) + + n + ) p < n! n n < ε, 7 Să se arate că dacă a n a, atunci s n = a+a+ +an n a R: Se aplică teorema lui Stolz-Cesaro 8 Să se arate că dacă şirul de numere pozitive b n b, atunci p n = n b b b n b 9 Fie a) n un şir de numere pozitive Să se arate că dacă a n+ lim = α lim n an = α n a n n R: Se ţine seama de egalitatea n a n = n a a a Să se calculeze: ) lim n n ) n n lim n n + )n + ) n) a n a n n n 3) lim n R: Se aplică exerciţiul precedent Se obţine: ), ) 4 e, 3) e n n! n Să se arate că: p + p + n p lim n n p+ =, p N p + R: Se aplică teorema lui Stolz-Cesaro: a n+ a n b n+ b n = Dar lim n [ + n) p ] = p n + ) p n + ) p+ n p+ = ) + p n n [ + n) p ] + + n ) p
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII Să se determine limita şirului cu termenul general: 3 Să se calculeze: R: Se aplică teorema lui Stolz-Cesaro: x n = p + 3 p + + n ) p n p+, p N +! + 3 3! + + n n! lim n n a n, a > a n+ a n+ n n + )! lim = lim n b n+ b n n a n [n + ) a n ] = a lim n 4 Să se calculeze: lim n R: Se aplică teorema lui Stolz-Cesaro: n+ n + )! n + +!) + 3!) 3 3 + + n!) n n n! n + )! n a n+ a n n + ) n+ n + lim = lim n b n+ b n n n + )n + ) n + n = 5 Se dă şirul x n ) n N cu termenul general: x n = n k= k + )k + 4) ) Să se arate că şirul este mărginit şi să se calculeze sup x n ) Să se calculeze lim [ 8 x n] n R: ) Din identitatea deducem: k + )k + 4) = 3 k + ), k N, k + 4 lim x n = lim n n 3 6 k + k + 3 ) = k + 4 8 n + n a n = Din x n+ x n = n+)n+5) > rezultă că şirul este crescător şi deci sup x n = 8 ) lim [ 8 x n] n = e 6 Să se determine limita următoarelor şiruri: ) x n = 3 3 + 5 3 + 3 + + n + 3 + 3 + + n 3 ) x n = αn + β n α n+, α, β > + βn+ 3) x n = an + b n + 3 n n + 5 n + n, a, b 4) x n = 7 n n! n k + 3k + 9 ) k=
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII R: La 4) se ţine seama de inegalitatea k + 3k + 9 3 3 7k 3 = 9k 7 Să se calculeze limita următoarelor şiruri: n!) ) x n = n n n)! 8 n ) x k + k n k k ) n = 3) x n = k + )! k + )! k= k= [ ] 3 4) x n = 3n n!) 3 n n n 5) x n = 3n)! n + k 6) x 3 n = + k n 3 k= R: ) lim an+ a n = lim n+ 6n+) = 3 ) Din k +k k+)! = k )! k+)! deducem că 3) Din k k ) k+)! lim n n k= k + k k + )! = k k! k k+)! deducem că lim n n k= k k ) k + )! k= [ = lim ] n n! = n + )! ] = lim [ n = n n + )! 8 Să se calculeze limitele şirurilor cu termenii generali: n + )!! n ) x n = n + )!! ) x k + k n n = n 3 + k 3) x k + k n = k + )! k= k= 4) x n = + + + + ) n 3 n + ) n n k + n 5) x n = k k + ) k= 6) x n = C ) n n + Cn+ + + C n 7) x n = n ) n 3 k ) 9 Să se calculeze limita şirurilor cu termenii generali: ) x n = 3) x n = cos π ) n ) x n = + n n k= k )! + k! 4) x n = 3 n + n 3 n k= 3 Să se calculeze limita şirului cu termenul general k= ) α 6 n 3, α R k k + ) k + ) n 4 x n = ac + a + ab)c + a + ab + ab )c 3 + + a + ab + + ab n )c n+, a, b, c R, c <, b, bc <
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 3 Deci R: Să observăm că se mai scrie x n = ac b [ + c + + cn ) b + bc + + b n c n )] [ c n+ lim x n = lim x n b ] bc)n+ ac = n n c bc c) bc) 3 Să se arate că: şi apoi să se calculeze lim n < ln [ln k + )] ln ln k) < k ln k, k k= k ln k R: Inegalitatea din stânga rezultă din faptul că funcţia ln x este strict crescătoare Fie f :, ) R, definită prin fx) = ln ln x) Pe fiecare interval [k, k + ], k, conform teoremei lui Lagrange, există c k k, k + ) aî Din ln k < ln c k < lnk + ) deducem: deci < ln [ln k + )] ln ln k) = c k ln c k k + ) lnk + ) < < c k ln c k k ln k, < ln [ln k + )] ln ln k) < k + ) lnk + ) k ln k Sumând pentru k =, n rezultă că limita este 3 Să se calculeze limita şirului cu termenul general R: Avem că x n = n n + )n + ) n ) n ln x n = n n ) ln + k, k= care este o sumă Riemann pentru funcţia fx) = ln + x ) pe intervalul [, ], pentru diviziunea n = {, n, n,, }, cu punctele intermediare ξ k = k n şi deci lim ln x n = n n ln + x ) dx = ln + π 33 Să se calculeze limita şirului cu termenul general [ b x n = x a) n b x) n dx a ] n, a < b
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 4 R: Notăm I m,n = b a x a)m b x) n dx Integrând prin părţi, obţinem I m,n = m n + I m,n+ = m n + m n + n + m + I,n+m Se obţine de aici că I n,n = n!) n+)! b a)n+, de unde lim x n = ) b a [ n ] 34 Să se calculeze lim + k n k= R: Deoarece n + k n = k n k + n + n + k n + Din k + k n + sumând pentru k =, n, rezultă [ n ] nn + ) n + kn + n + deci şirul are limita k= n k, + n + nn + ) n, + n + 35 Fiind dată funcţia f : R \ {, } R, definită prin fx) = calculeze limita şirului cu termenul general x n = f k) ) + f k) ) + + f k) n), unde f k) este derivata de ordinul k a funcţiei f R: Deoarece fx) se poate scrie: fx) = x+ x+, rezultă că [ f k) x) = ) k k! x + ) k+ x + ) k+ ], x +3x+, să se şi deci x n = [ ] k+ n + ) k+ ) k k! k+ 36 Să se studieze natura şirului x n ) definit prin: x = a [, ] şi x n+ = x n x n +, pentru n 37 Se dau numerele reale a, b, c Definim şirurile a n ) n N, b n ) n N, c n ) n N prin: a n+ = b n + c n ), b n+ = c n + a n ), c n+ = a n + b n ) Să se arate că şirurile sunt convergente la 3 a + b + c )
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 5 R: Fie x n = a n + b n + c n Adunând cele trei relaţii, obţinem: x n+ = x n, deci x n ) este un şir constant: x n = x Din a n+ = 4 a n + x ) rezultă că a n 3 x etc 38 Fie q = 5 şi şirul x n ) definit prin: x = q, x = + q, x n+ = x n + x n+, n N ) Să se arate că termenii şirului sunt în progresie geometrică ) Să se arate că are loc egalitatea n = 3) Să se calculeze lim x n x n+ x n+ x n x n x n+ x n+ x n+ x n x n+ = 4 x 3n+ R: ) Prin inducţie matematică: x = + q = q, x 3 = x + x = q 3 Presupunem x n = q n Din x n+ = x n + x n+ = q n + q n+ = q n + q), rezultă x n+ = q n+ ) n = q 3n q 6 q 3 + ) = 4q 3n+ = 4x 3n+ 3) Deoarece q <, lim x n = 39 Să se calculeze limita şirului: x = a, x n+ = a + x n, a > 4 Să se calculeze ) n 4n 4 n an, a n = lim n π x dx, n + x R: Se obţine: a n = n arctg n + π, iar limita este e 4 π 4 Fie A n ) n N şi B n ) n N două şiruri de numere raţionale aî: a + b k) n = An + B n k, n, a, b Q+, k R \ Q Să se calculeze lim A n B n R: Din A n + B n k = a + b ) n k şi An B n k = a b n, k) urmează: A n = Aşadar lim A n B n = k [ a + b ) n k + a b ) n ] k, B n = [ a + b ) n k a b ) n ] k k 4 Fie matricea A = Să se calculeze lim an b n [ 3 ] şi A n = [ ], n N a n b n
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 6 R: Se găseşte: a n = 3 n ) şi b n = n 43 Să se calculeze lim sin π n + n + ) R: Deoarece sin α = sin α nπ), urmează: sin π ) n + n + = sin π ) ) n + n + nπ = sin n + π n + n + + n şi deci lim sin π n + n + ) = sin π = 44 Să se calculeze limita şirului R: Fie a n = n+)n n! Deoarece a n+ a n = şi b n n = ) n n+ n+ n n! e şi x n = n+ n + )! n n!, n b n = + n+) n+ e, rezultă că n a n = e Fie ) n+ n + )! n + n+ n = n! n n! [ n+ n + )! n ] n n! e = lim + n n = lim + x ) n n n! n n n! deci lim x n = e n! xn x n n n n! = e e lim x n, 45 Să se determine mulţimea punctelor limită, limita inferioară şi limita superioară pentru şirurile date prin: ) x n = + )n + ) n n 3 3n + ) x n = + n) n [ ) n + ] + cos nπ R: ) Deoarece {x n } n N = {x k } k N {x k+ } k N şi x k = 3 + 4k 6k + 4 3, x k+ = 4k + 6k + 4 3, rezultă că M = { 3, 3} 4, lim inf xn = 3, lim sup x n = 4 3 ) Deoarece {x n } n N = {x 4k } k N {x 4k+ } k N {x 4k+ } k N {x 4k+3 } k N şi ) x 4k = 3 + 4k 4k + cos kπ 3 ) e +, 4k+ x 4k+ = + 4k+ + cos 4k+)π ) e, 4k+ + cos 4k+)π x 4k+ = 3 x 4k+3 = + 4k+ + 4k+3 3 ) e, 4k+3 + cos 4k+3)π e, rezultă că M = { e, 3 e, 3 e + }, lim inf x n = e, lim sup x n = 3 e +
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 7 46 Să se determine mulţimea punctelor limită, limita inferioară şi limita superioară pentru şirurile date prin: ) x n = + ) n ) n n n n + + cos nπ, n N ) x n = 5 3 ) nn+) + sin nπ, n N 3) x n = n n )n + sin nπ, n N 4) x n = + )n Principiul contracţiei n n +, n N 5) x n = ) nn+) cos nπ 3, n N 47 Să se arate că ecuaţia x 3 + 4x = are o singură rădăcină reală şi să se determine aproximaţiile până la ordinul trei ale rădăcinii R: Se constată imediat că ecuaţia are o rădăcină pe intervalul [, ] Scriind ecuaţia sub forma echivalentă x = x +4, problema revine la a arăta că aplicaţia ϕ : [, ] R, ϕx) = x +4, este o contracţie pe [, ] Dar x + y dϕx), ϕy)) = ϕx) ϕy) = x + 4) y + 4) dx, y) dx, y) 8 Într-adevăr, din x x +4 4, deducem x + y x + y 4 x + 4 ) y + 4) Deci ϕ este o contracţie pe [, ], cu q = 8 Şirul aproximaţiilor succesive: x =, x n+ = x, n =,,, n + 4 ne dă x =, 5, x =, 46538, x 3 =, 46695 etc 48 Să se arate că ecuaţia x 3 + x = are o singură rădăcină reală şi să se calculeze această rădăcină cu o eroare mai mică de, R: Se constată imediat că ecuaţia are o rădăcină pe intervalul [, ] Ca în exerciţiul precedent, se arată că aplicaţia ϕ : [, ] R, ϕx) = x +, este o contracţie pe [, ], cu q = 69 Şirul aproximaţiilor succesive este: x =, x n+ = Estimarea erorii metodei este dată de x, n =,,, n + x n ξ < δ q qn, n N,
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 8 în care δ = x x În cazul nostru x n ξ < 69 67 ) n < 4 69 Se constată că este suficient să luăm n = Avem: x =, x = =, 8 3333, x = 44 79 =, 838535 49 Să se arate că ecuaţia sin x x + = are o singură rădăcină reală şi să se calculeze această rădăcină cu o eroare mai mică de, R: Se constată imediat că ecuaţia are o rădăcină pe intervalul [, ] Se constată că aplicaţia ϕ : [, ] R, ϕx) = + sin x), este o contracţie pe [, ], cu q = Şirul aproximaţiilor succesive este: Estimarea erorii x =, x n+ = + sin x n), n =,,, x n ξ < 9 ) n < 3 Este suficient să luăm n = Avem: x =, x = =,, x = + sin, ) =, 998 5 Să se arate că ecuaţia x 5 + x 3, 6 = are o singură rădăcină reală şi să se calculeze această rădăcină cu o eroare mai mică de, 5 Fie f : [a, b] [ c, c] o funcţie derivabilă pe [a, b] şi aî < m f x) M, x [a, b] Ce condiţie trebuie să îndeplinească numărul p m, M) pentru ca funcţia ϕx) = x pfx), x [a, b], să fie o contracţie pe [a, b] şi deci ecuaţia ϕx) = să aibă o singură soluţie pe [a, b]? R: Avem: dϕx), ϕy)) = ϕx) ϕy) = ϕ ξ) x y = ϕ ξ) dx, y) şi pentru ca ϕ să fie contracţie este necesar să existe q < aî ϕ ξ) < q Însă ϕ ξ) = p f x) şi din < m f x) M rezultă M p ϕ ξ) m p < căci p m, M)) Este deci necesar ca < M p, adică p > M În concluzie, dacă p max { } m, M, M), ϕ este o contracţie pe [a, b] Putem generaliza exerciţiul precedent, presupunând p = px) Astfel, dacă alegem px) = x x, x [a, b], fx) fx ) se obţine medoda coardei, iar dacă alegem px) = f x) se ajunge la metoda lui Newton 5 Ce condiţie trebuie să îndeplinească funcţia f : [a, b] R, de două ori derivabilă pe [a, b] pentru ca funcţia ϕx) = x fx) f x) să fie o contracţie pe [a, b]? R: Deoarece dϕx), ϕy)) = ϕx) ϕy) = ϕ ξ) dx, y), condiţia ϕ ξ) q < conduce la: fx) f x) q f x), < q <
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 9 53 Să se calculeze aproximativ p a, a > şi p =, 3, R: Luăm fx) = x p a Atunci ϕx) = x fx) f x) = [ ] p p ) x + ax p Cum ϕ x) = p p ax p ) < p p, pentru x >, rezultă că ϕ este o contracţie şi deci putem lua 3 Şiruri în R p p a xn+ = p [ p ) xn + ax p ] n 54 Să se calculeze limitele următoarelor şiruri din R 3 : n ) x n = 3n, + n) n, n n + n )) ) x n = n + n +, n ) n, e n 55 În R4 se consideră şirul x n ) definit prin relaţia de recurenţă: 6x n+3 = x n+ 6x n+ + x n, n N, cu x =,,, ), x =, 9, 3, 6), x =, 9, 7, 8) Să se determine x n şi să se calculeze limita şirului R: Se caută x n = λ n a, cu a R 4 Se obţine penrtu λ ecuaţia caracteristică 6λ 3 λ + 6λ =, cu rădăcinile:,, 3 Deci x n este de forma: x n = a + b + n 3 c n Se obţine limita x =, 9, 7, 9) 4 Serii de numere reale 56 Să se arate că seria este convergentă şi s = R: În adevăr, 57 Seria + 3 + + nn + ) + = nn + ) s n = + 3 + + nn + ) = n k= n= + + 3 + + n + = k ) = k + n + se numeşte seria armonică, deoarece pentru n, a n este media armonică a termenilor vecini a n şi a n+ Să se arate că seria este divergentă şi are suma + n= n
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 3 R: Şirul s n ) al sumelor parţiale este strict crescător şi divergent, deoarece s n s n = n + + n + + + n, ceea ce arată că s n ) nu este şir fundamental Deci lim s n = + 58 Să se arate că seria este divergentă + + + ) n + = ) n R: Este o serie oscilantă deoarece şirul s n ) al sumelor parţiale este şirul oscilant:,,,, 59 Seria + q + q + + q n + = n= q n, q R se numeşte seria geometrică deoarece şirul a n ), a n = q n, este o progresie geometrică cu raţia q Să se studieze natura acestei serii după valorile lui q R: Şirul sumelor parţiale are termenul general Obţinem s n = + q + q + + q n = n= { lim s n = q, q <, n +, q { q n q, q, n, q = Pentru q şirul s n ) nu are limită Astfel, seria geometrică cu raţia q este convergentă pentru q < şi are suma q şi divergentă pentru q 6 Să se stabilească natura seriilor următoare şi în caz de convergenţă să se determine sumele lor: ) ) n + α + n + α + n + α, α > n= ) 3) 7) n= n= α + n)α + n + ), α R \ Z n, α > 4) αn 5) n= n= n= ln n + n 6) 5n 8n 3 n= n n n n n + )! 8) n [5 + ) n ] n n=
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 3 R: ) Notăm cu a n = n + α n + α Se observă că s n = a n+ a n Se obţine suma α α + ) Folosind identitatea: α + k)α + k + ) = α + k α + k +, se obţine s n = α+ α+n+ Seria este convergentă şi are suma α+ 3) Pentru a evalua suma parţială de ordinul n plecăm de la identitatea: Derivând în raport cu x, avem: De aici, pentru x =, obţinem x α + x α + + xn α n = α n xn+ xα n x α α + x α + + nxn α n = nxn+ αn + )x n + α n+ α n x α) s n = n αn + ) + αn+ α n α) α α) Seria este convergentă şi are suma 4) Termenul general al şirului sumelor parţiale se descompune în fracţii simple astfel: 6k 8k 3 = 4 4k 3 ) 4k + ) 4n+ Seria este convergentă şi are Folosind această identitate se obţine s n = 4 suma 4 5) Şirul sumelor parţiale al acestei serii n s n = ln k + k k= are limita, deci seria este divergentă 6) Deoarece lim n n =, seria este divergentă = lnn + ) 7) Fie b n = n n+)! Atunci termenul general al seriei se scrie a n = n b n, iar n+)b n = b n Deci n n s n = a k = kb k = b b n ) = b n k= Dar b n deoarece seria şi are suma 8) Se observă că: n= n [5 + ) n ] n = n= k= n n+)! este convergentă Rezultă că seria este convergentă + 3 + 5 + ) + 3 + 3 4 + 3 6 + ) = 9 4
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 3 6 Să se arate că următoarele serii sunt convergente şi să se determine sumele lor: ) n= ) n+ 3 n ) n= n + ) n+ 5 n 3) n= 4n R: ) Serie geometrică cu raţia 3 şi suma 4 ) Serie geometrică cu suma 5 6 3) Serie telescopică cu suma 6 Să se calculeze sumele următoarelor serii, ştiind că termenii şirului a n ) formează o progresie aritmetică cu a > şi raţia r > : ) n= a n a n+ ) R: ) Pentru orice n N, avem: Se obţine o serie telescopică ) şi 3) Analog, avem: n= a n a n+ = r a n a n+ a n+ = r a n + a n+ a na n+ a n a n+ a n+ 3) = r ) a n a n+ n= a n a n+ a n+ a n+ a ) n a n+ a n + a n+ a na n+ 63 Să se arate că: ) 3 n sin 3 x 3 n = 4 x sin x) ) n tg n x = ctg x x n= R: ) Multiplicăm identitatea sin 3θ = 3 sin θ 4 sin 3 θ cu 3 n şi luăm θ = x 3 n Obţinem: 3 n sin 3 x 3 n = 4 n= ), 3 n sin x 3 n 3n sin x 3 n ) Punem a n = 3n 4 sin x 3 n Atunci s n = a n+ a şi lim s n = x sin x) n 4 ) Multiplicăm identitatea tg θ = ctg θ ctg θ cu n şi luăm θ = n x Obţinem: n tg n x = n ctg n x n+ ctg n+ x 64 Să se calculeze suma seriei arctg n + n + n=
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 33 R: Din arctg x arctg y = arctg x y + xy, n + n + = n n+ + n n+ rezultă că a n = arctg n arctg n+ şi deci s n = arctg arctg n+ π 4 65 Să se arate că: p= n= n p = R: Seria p + 3 p + + n p + este convergentă pentru orice p, deci Dar şi p= n= p= n= n p = n n n= n p = = n= p= n p nn ) = n n n ) = lim n n n = 66 Să se arate că următoarele serii sunt divergente: n n ) ) n + 3) n + 3 n n+ + 3 n+ 4) n= n= n + n 5) n= n= n + n 67 Să se studieze natura seriei: a n + a n b) + a n b), a, b R + adică Deci n= R: Deoarece termenul general al seriei se poate scrie, pentru a : a n = a n = a n a n a + a n b) + a n b) = b a) ) b a) + a n b + a n b n= a n + a n b) + a n b) =, s n = ba )b+), + a n b) + a n b) + a n b) + a n b), b a) + a n b + b a, ),, a =,, a, ) a)+b), )
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 34 5 Serii cu termeni pozitivi 68 Fie a n ) un şir de numere pozitive Să se arate că seria a n este convergentă dd seria a n +a n este convergentă a R: Deoarece n +a n a n, dacă seria a n este convergentă atunci şi seria a n +a n este convergentă Dacă seria a n a +a n este convergentă, atunci n +a n, deci a n Deci pentru n suficient de mare, a n Atunci a n an +a n Deci seria a n este convergentă 69 Seria n, α R, numită seria lui Riemann sau seria armonică generalizată α n= este: - convergentă pentru α > ; - divergentă pentru α R: Într-adevăr, dacă α, seria este divergentă deoarece şirul termenilor ei nu cunverge la zero Dacă α >, şrul cu termenul general a n = n este descrescător şi deci seria lui α Riemann are aceeaşi natură cu seria n n= n ) α = n= ) n α, care este o serie geometrică cu raţia q = α >, convergentă dacă q = α <, adică α >, şi divergentă dacă q = α, adică α n n+ 7 Să se arate că seria cu termenul general a n = n ) este convergentă R: Avem: lim n n an = lim n n 7 Să se arate că seria n= n + n ) n = lim n n! este convergentă n + n = < R: Într-adevăr: a n+ n! = a n n + )! = n + <, n Suma acestei serii este e =, 7888 7 Să se arate că seria n= n n+)! este convergentă şi şa se precizeze numărul de termeni necesar pentru a obţine suma seriei cu o eroare mai mică de,
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 35 R: Aplicăm criteriul raportului cu limită a n+ lim = lim n a n n n + = <, deci seria este convergentă Deoarece a n+ a n = n+ 3, pentru n 4, restul de ordinul n r n = s s n = a k a n 3 + ) 3 + = a n = n n + )! < 3, pentru n 9 k=n+ 73 Să se stabilească natura seriei: + ln 3 + + ln 3 n + ln n R: Deoarece n ln n < n n, pentru n, avem că n ln n > n n Dar seria n n este divergentă 74 Să se stabilească natura seriilor: 7n ) n + 3n + 5 ) n= n= n n n 3) n= a n + n, a > R: ) Seria este convergentă ) Se aplică criteriul comparaţiei cu limită Se compară cu seria Deoarece lim n n =, seria este divergentă 3) Pentru a >, cum a n +n < n a, seria este convergentă Pentru a = seria dată este seria armonică Pentru n a < se aplică criteriul comparaţiei cu limită Se compară cu seria armonică Deoarece lim =, seria este divergentă n a n +n 75 Să se stabilească natura seriilor: ) n + a + +a + a n ) ) n= n= a n n n!, a > R: ) Pentru a, + a + +a + a n n + > n Rezultă că n + a + +a + a n ) < n şi deci seria este convergentă Pentru < a < se aplică criteriul comparaţiei cu limită armonică Deoarece lim n + a + +a + a n = lim n a = a, an+ Se compară cu seria seria dată este divergentă ) Deoarece n n!, avem că n an n! a n De aici, pentru a <, deducem că seria este convergentă Din n n! n n n = n, obţinem că n an n! an n Dar, pentru a, seria a n n este divergentă Rezultă că seria dată este divergentă
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 36 76 Să se stabilească natura seriilor: ) n= n n ) n= arctg n n 3) n= n ) + n n R: Se aplică criteriul rădăcinii cu limită Seriile sunt convergente 77 Să se stabilească natura seriilor: ) n ) a n + n + n ) n= n= a n + n) n R: Se aplică criteriul rădăcinii cu limită Pentru a < seriile sunt convergente, pentru a >, seriile sunt divergente Pentru a =, şirurile termenilor au limita e, deci seriile sunt divergente 78 Să se stabilească natura seriei: n= ) n n + a n, a > n R: Se aplică criteriul rădăcinii cu limită Pentru a < e a > e, seria este divergentă Pentru a = e, seria devine: seria este convergentă, pentru n= e n n + n ) n Din e < + n) n+, obţinem: de unde lim n e n e n n + n + Rezultă că seria dată este divergentă n n ) n 79 Să se stabilească natura seriilor: ) n= ) n lim n > ) + n, n + n n n ) n arcsin π n n= ) n = e > 3) n= n! n n 4) n= n tg π n+ R: Se aplică criteriul raportului cu limită Seriile sunt convergente
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 37 8 Să se stabilească natura seriilor: ) n= 7 5n 3) 5 9 3 4n + ) ) n= 3 5 n ) 5 8 3n ) R: Se aplică criteriul raportului cu limită ) Serie divergentă ) Serie convergentă 8 Să se stabilească natura seriilor: a n ) ) a ln n, a > n! n= n= R: ) Se aplică criteriul raportului cu limită Seria este convergentă ) Criteriul raportului dă dubiu Aplicăm criteriul lui Raabe-Duhamel Se obţine λ = ln a Seria este convergentă pentru a < e şi divergentă pentru a > e Pentru a = e se obţine seria armonică, deci divergentă 8 Să se studieze natura seriei cu termenul general a n definit astfel: a, ), a n+ = a n, pentru n R: Fie f : R R, definită prin fx) = x x Deoarece f x) = x ln şi f x) = pentru x = lnln ), avem tabloul de variaţie: x lnln ) f x) + + fx) m Deci fx) < pentru orice x, ), de unde x < x +, x, ) Arătăm, prin inducţie, că a n, ) Avem că a, ) Presupunem că a n, ) Dar a n+ = a n > = şi a n+ = a n < = Apoi: a n+ a n = an a n <, deci este un şir descrescător şi mărginit Fie l = lim a n Rezultă că l l =, cu rădăcinile şi Deoarece a n ) este descrescător, urmează că l = Putem deci scrie: a n+ an x lim = lim = lim = ln < n a n n a n x x şi conform criteriului raportului seria este convergentă 83 Să se stabilească natura seriei: [ ] αα ) α n + ) n + ), α R \ Z α + )α + ) α + n + ) n= R: Criteriul raportului dă dubiu Aplicăm criteriul lui Raabe-Duhamel Deoarece λ = 4a + 3, dacă α > seria este convergentă, dacă α < seria este divergentă, dacă α = seria devine: 4 n + care este divergentă n=
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 38 84 Să se stabilească natura seriei: n= 5 9 4n 3) 3 7 4n ) R: Criteriul raportului şi criteriul lui Raabe-Duhamel dau dubiu Aplicăm criteriul lui Bertrand: [ ) ] an ln n lim n ln n = lim n a n+ n 6n + 8n + = <, deci seria este divergentă 85 Să se stabilească natura seriilor: ) n= n)! 4 n n!) ) n= 4 6 n) 3 5 n ) n + 3) n + ) lg n n + ) 4) n= 5) n= n= n ln n 6) ) n αn + β, α, β, γ, δ > γn + δ n= n ln n) ln ln n) 86 Să se stabilească natura seriilor: ) n= n! n p, p, q N q + ) q + ) q + n) 4) ) n= n= 3) n! α α + ) α + n ), α > n= cos αn) ln n n, α R α + ) α + ) nα + ), α, β > β + ) β + ) nβ + ) 87 Să se stabilească natura seriei: n= n! aa + ) a + n )bb + ) b + n ), cc + ) c + n ) cu a, b R, c R \ Z, numită seria hipergeometrică
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 39 R: Începând de la un rang N care depinde de a, b şi c, termenii seriei au acelaşi semn şi deci putem presupune că seria este cu termeni pozitivi Avem: cu a n = + + c a b + θ n a n+ n n, θ n = [c ab a + b) + c a b)] n3 ab + c a b) n nn + a)n + b) Şirul θ n ) este convergent, deci mărginit Conform criteriului lui Gauss, pentru c > a + b seria este convergentă, iar pentru c a + b seria este divergentă 88 Să se stabilească natura seriei: α α + ) α + n ) β β + ) β + n ) xn, α, β, x > n= R: Se aplică criteriul raportului cu limită Pentru x, ) seria este convergentă, pentru x, ) seria este divergentă Pentru x = seria este convergentă dacă b > a + şi divergentă dacă b a + 89 Să se stabilească natura seriei: n! b n b + a ) b + a ) nb + a n ), n= unde b >, iar a n ) este un şir de numere reale pozitive, convergent către a cu a b 6 Serii cu termeni oarecare 9 Să se arate că dacă a n este o serie convergentă, atunci seria a nn este absolut convergentă R: Din [ ] a n n deducem că a n ) n a n + n Deoarece a n şi n sunt convergente, conform primului criteriu de comparaţie rezultă că seria a n n este convergentă 9 Să se arate că seria sin nx n α este convergentă pentru α > R: Pentru α >, şirul α n = n α s n = n k= este monoton descrescător la zero, iar sin kx = sin x pentru x kπ, cu k număr întreg De unde, adică s n ) este mărginit sin nx s n sin x, n + )x sin,
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 4 9 Să se studieze natura seriei n= R: Pentru x R, şirul α n = x +n cos nπ 3 x + n, x R este monoton descrescător la zero, iar s n = n k= cos nπ 3 = sin π 3 sin nπ 3 n + )π cos, 3 cu s n 3, deci mărginit Seria este convergentă 93 Să se arate că seria armonică alternată + 3 4 + + n n + este convergentă şi să se determine suma sa R: Şirul n ) este monoton descrescător la zero După criteriul lui Leibniz seria este convergentă Pentru calculul sumei folosim identitatea lui Catalan-Botez: + 3 4 + + n n = n + + n + + + n, care, dacă notăm a n = + + 3 + + n, revine la: a n a n ) = an a n Rezultă că: lim s n = n n + + n + + + ) dx + n = = ln n n + x 94 Să se arate că seria armonică generalizată sau seria lui Riemann) alternată ) n+ n= în care < α este simplu convergentă R: Şirul n ) cu α > este monoton descrescător la zero După criteriul lui Leibniz α seria este convergentă Pentru α > seria este absolut convergentă În concluzie, pentru < α seria lui Riemann alternată este simplu convergentă n α 95 Să se stabilească natura seriilor: ) ) n sin n ) n= n= ) n arctg n R: Serii alternate convergente
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 4 96 Să se stabilească natura seriilor: ) n= sin π ) n + ) n= cos nα n, α R R: ) a n = sin [ π n + n ) + nπ ] = ) n sin π n + n ) şi se aplică criteriul lui Leibniz cos nα ) Deoarece n < n, seria este absolut convergentă 97 Să se stabilească natura seriei: + + + ) sin nθ n n n= 98 Să se studieze convergenţa absolută şi semiconvergenţa seriei: ) n+ n sin n x n + n= R: Pentru studiul absolutei convergenţe folosim criteriul rădăcinii Avem: n sin x lim an = lim n n n = sin x n + Pentru sin x < seria este absolut convergentă şi deci convergentă Pentru sin x = obţinem seria armonică alternată care este simplu convergentă Pentru sin x >, termenul general al seriei nu tinde la, deci seria este divergentă 99 Să se efectueze produsul în sens Cauchy al seriilor absolut convergente n!, ) n n! n= şi să se deducă de aici suma ultimei serii n= R: Seria produs c n are termenul general c n = a b n +a b n + +a n b +a n b, n= adică c =, iar, pentru n : c n = )n n! = )n n! +! )n n )! +! )n n )! + n )!! + n! = [ n n n ) + + + ) n n ]!!! + )n = )n ) n = n! Deci seria produl are suma egală cu Cum rezultă că ) n n! = e n= n= n! = e, după teorema lui Mertens,
CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 4 Să se efectueze produsul în sens Cauchy al seriilor n= ) n 3, + n= ) n 3 n + ) n+ R: Ambele serii sunt divergente deoarece ternenii lor generali nu tind la zero Seria produs c n are termenul general n= 3 c n = 3 = ) n n + n+ ) 3 ) n [ n n + + ) + n+ ) n 3 n + n n + + ) ) 3 ] = ) n 3 = ) n 3 4 Se observă că seria produs este convergentă, fiind seria geometrică cu raţia q = 3 4 < Rezultă de aici că ipotezele teoremei lui Mertens sunt suficiente dar nu şi necesare
Capitolul 3 Limite de funcţii 3 Limita unei funcţii reale de o variabilă reală 3 Să se calculeze: 3 Să se calculeze: x + ) ) lim x x + ) lim x 3 x + x + x 7x + x + h) 3 x 3 3) lim x 5 x 4) lim 5 h h + x 3 5 + x 5) lim x 3 6) lim + x x 4 5 x sin 5x ) lim ) lim x sin x x a tg πx 3) lim x x + 4) cos x cos a x a ) x x x + lim x 5) lim x + sin x) x 6) lim x cos x) x 33 Să se arate că funcţia f : R\ {} R, definită prin nu tinde către infinit când x fx) = x cos x R: Pentru şirul x n = π +nπ, fx n) = şi deci tinde la 34 Să se arate că funcţia f : R R, definită prin fx) = sin x, nu are limită pentru x 43
CAPITOLUL 3 LIMITE DE FUNCŢII 44 35 Să se determine α R aî funcţia f :, ] R, definită prin { α αx ln ex) + x fx) =, x, ), α + x e, x [, ], să aibă limită în punctul x = 36 Să se arate că: ) lim x x k = ) ex lim ln x x x k =, k N 37 Să se cerceteze dacă funcţia f : R R, definită prin fx) = [x], are limită în punctul x = 38 Să se calculeze: ) lim x ) lim x x x + 3 x 3x + 6) lim x 3) lim x cos x ) x+ ) lim + sin x ) 3 x 3) lim x ln + arcsin x) x sin 3x e sin x e sin x x x + 6 x 4) lim 5) lim + x 6 x sin x sin x x 3 x 4x + 3 3 x3 5x + 3 x + 3x 9 x + 4 3 x + x 7) lim + x 6 x 5 4 x + 3 + x 4 x arcsin x arctg x 8) lim x x + x 9) lim x x 3 ) arcsin x π ) x ) lim x cos x 3 cos 3x x p α x + p α x 5) lim x n 6) lim x x ctg x + + p α nx n ) lim x x x ln x + x ) 4) lim [ + ln + x) + + ln + nx)] x x ) x, pi >, α i R a sin x + b tg x ) x, a, b > R: ) e ) e 6 3) 3 4) 5) 3 6) 7 3 7) 7 8) 9) ) ) 3 ) Se ia x = y, y, limita este nn+) 3) 3 4) e 5) n p α pα pα n n 6) ab 39 Să se determine parametrul real α aî să fie finită şi nenulă lim x x + x + + 3 x 3 + x + x + ax),