GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007

Documente similare
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin

Microsoft Word - cap1p4.doc

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont

Copyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem

Examenul de bacalaureat 2012

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

CLP_UTCN-grila-2012.dvi

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012

Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL

Spatii vectoriale

Calcul Numeric

02. Analiza matematica 3 - MI 2

MD.09. Teoria stabilităţii 1

I

programa_olimpiada_matematica_IX-XII_

8

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți

Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro

CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA

gaussx.dvi

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),

Microsoft Word - TIC5

Probleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2

Microsoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf

Autoevaluare curs MN.doc

Investeşte în oameni

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

Cuprins ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr.

Elemente de aritmetica

ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru

RecMat dvi

Soluţiile problemelor propuse în nr. 1/2014 Clasele primare P.283. Scrieţi + sau în fiecare pătrăţel din = astfel încât să obţineţi o

1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.

OLM_2009_barem.pdf

Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov

matematica

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să

Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a

M1-ACS, , M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 9 Extreme cu legături. Integrale improprii 1 Extreme condiționate Atunci cînd domeniul de

MECANICA FLUIDELOR

Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009

Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de re

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor

Clustere şi impurităţi în sisteme complexe

Modelarea si Simularea Sistemelor de Calcul

joined_document_27.pdf

1 2 1

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014

Algebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Seminarul 2

Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa

Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu

METODE NUMERICE ÎN INGINERIE

FACULTATEA DE MATEMATICĂ

Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl

Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev

INDICATORI AI REPARTIŢIEI DE FRECVENŢĂ

Calcul Numeric

Microsoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc

Metode Numerice

Microsoft Word - Concursul SFERA.doc

Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1813 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VI

Matematici Speciale - Ingineria Sistemelor Seminar 1 Probleme rezolvate 1. Studiaţi convergenţa integralelor improprii: Z 1 p Z 3 2x 2 a) I

curs 9 v3 [Compatibility Mode]

Transcriere:

GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7

Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de numere reale 5 Principiul contracţiei 6 3 Şiruri în R p 8 4 Serii de numere reale 8 5 Serii cu termeni pozitivi 33 6 Serii cu termeni oarecare 38 3 Limite de funcţii 4 3 Limita unei funcţii reale de o variabilă reală 4 3 Limita unei funcţii de o variabilă vectorială 45 4 Funcţii continue 49 4 Continuitatea funcţiilor reale de o variabilă reală 49 4 Continuitatea uniformă a funcţiilor de o variabilă 5 43 Continuitatea funcţiilor de o variabilă vectorială 53 5 Derivate şi diferenţiale 55 5 Derivata şi diferenţiala funcţiilor de o variabilă 55 5 Proprietăţi ale funcţiilor derivabile 59 53 Derivatele şi diferenţiala funcţiilor de n variabile 64 6 Funcţii definite implicit 74 6 Funcţii definite implicit de o ecuaţie 74 6 Funcţii definite implicit de un sistem de ecuaţii 77 63 Transformări punctuale 79 64 Dependenţă şi independenţă funcţională 8 65 Schimbări de variabile 83

CUPRINS 3 7 Extreme pentru funcţii de mai multe variabile 87 7 Puncte de extrem pentru funcţii de mai multe variabile 87 7 Extreme pentru funcţii definite implicit 89 73 Extreme condiţionate 9 8 Şiruri şi serii de funcţii 93 8 Şiruri de funcţii reale 93 8 Serii de funcţii 97 83 Serii de puteri 84 Serii Taylor 9 Elemente de geometrie diferenţială 4 9 Curbe plane 4 9 Curbe în spaţiu 93 Suprafeţe 8 Integrala Riemann şi extinderi Primitive Integrala nedefinită Integrala definită 6 3 Integrale improprii 33 4 Integrale cu parametri 37 Integrale curbilinii 4 Lungimea unui arc de curbă 4 Integrale curbilinii de primul tip 4 3 Integrale curbilinii de tipul al doilea 43 4 Independenţa de drum a integralelor curbilinii 46 5 Calculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii 47 Integrale multiple 48 Integrala dublă 48 Aria suprafeţelor 55 3 Integrala de suprafaţă de primul tip 57 4 Integrale de suprafaţă de tipul al doilea 58 5 Integrala triplă 6 3 Ecuaţii diferenţiale ordinare 67 3 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi 67 3 Alte ecuaţii integrabile prin metode elementare 73 33 Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 75 34 Ecuaţii cărora li se poate micşora ordinul 76 4 Ecuaţii şi sisteme diferenţiale liniare 78 4 Sisteme diferenţiale liniare de ordinul întâi 78 4 Sisteme diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi 8 43 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n 84 44 Ecuaţii de ordinul n cu coeficienţi constanţi 87

CUPRINS 4 45 Ecuaţia lui Euler 89

Capitolul Elemente de teoria spaţiilor metrice Spaţii metrice Fie G, +) un grup comutativ şi p : G R + o funcţie ce satisface proprietăţile: ) px) = dd x = ; ) p x) = px), x G; 3) px + y) px) + py), x, y G Să se arate că aplicaţia d : G G R, dx, y) = px y), x, y G este o metrică pe G R: Verificăm că d satisface axiomele metricii: o dx, y) = px y), x, y G pentru că x y = x + y) G şi dx, y) = px y) = x y = x = y; o dx, y) = px y) = p x + y) = py x) = dy, x); 3 o dx, y) = px y) = px z + z y) px z) + pz y) = dx, z) + dz, y), x, y, z G Fie N mulţimea numerelor naturale Să se arate că următoarele aplicaţii sunt distanţe pe N: ) d : N N R +, dm, n) = m n, m, n N ) d : N N R +, dm, n) = m n, m, n N 3) d : N N R +, dm, n) =, m, n N k= m +m n +n 3 Fie R n = R R R, produsul cartezian constând din n factori şi x = x, x,, x n ), y = y, y,, y n ) R n Să se arate că aplicaţiile: d, δ, : R n R n R +, definite prin: dx, y) = n n x k y k ), δx, y) = x k y k, x, y) = max x k y k k=,n sunt metrici pe R n k= 5

CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 6 R: Pentru d se aplică inegalitatea lui Minkowski: n a k + b k ) n a k + n b k, a = a, a,, a n ), b = b, b,, b n ) k= k= k= 4 Să se haşureze în R sferele deschise S, r), r >, relative la metricile d, δ, 5 Să se arate că d, δ, sunt metrici echivalente pe R n R: Se demonstrează inegalităţile: δ n d n n δ n n δ 6 Să se arate că d : R R R +, dx, y) = x y + x y, x, y R este o metrică pe R R: Se ţine seama că oricare ar fi a, b, c cu a b + c, avem: deoarece din α β urmează a + a a b + b b + c + c c, α +α β +β 7 Fie d : X X R + o metrică pe X Să se arate că aplicaţia δ : X X R + definită prin δx, y) = este de asemenea o metrică pe X dx,y) +dx,y) 8 Să se arate că într-un spaţiu metric X, d) avem: ) dx, x n ) n dx i, x i+ ), x,, x n X, n i= ) dx, z) dz, y) dx, y), x, y, z X 3) dx, y) dx, y ) dx, x ) + dy, y ), x, x, y, y X R: 3) dx, y) dx, x ) + dx, y) dx, x ) + dx, y ) + dy, y) 9 Fie X o mulţime nevidă Să se arate că aplicaţia d : X X R, definită prin: {, x = y dx, y) =, x y este o metrică pe X metrica discretă pe X) Să se arate că aplicaţia d : R + R + R +, definită prin: { x + y, x y, dx, y) =, x y este o metrică pe R + Să se arate că aplicaţia d : R n R n R, definită prin: dx, y) = n k= k x k y k + x k y k, x = x, x,, x n ), y = y, y,, y n ) R n este o metrică pe R n

CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 7 Să se arate că următoarele aplicaţii sunt metrici pe mulţimile indicate: ) d :, ), ) R, dx, y) = x y ) d : R R R, dx, y) = x + x y +x 3) d : R R R, dx, y) = + +y { x y, x = y, x + y + x y, x y, metrica mersului prin junglă), unde: x = x, y ), y = y, y ) 4) d : R R R, { x x dx, y) = ) + x y ), dacă există o dreaptă δ R aî, x, y δ, x + x + y + y, în rest, metrica căii ferate franceze), unde: =, ), x = x, y ), y = y, y ) 3 Să se arate că următoarele aplicaţii sunt norme pe R n : n ) x = x k, x = x, x,, x n ) R n k= ) x = n x k, x = x, x,, x n ) R n k= 3) x = sup x k, k =, n, x = x, x,, x n ) R n [ ] a + bi c + di 4 Fie M = {A =, cu a, b, c R, i c + di a bi = } şi f : M R +, fa) = det A Să se arate că M, ) este spaţiu normat în raport cu norma dată prin A = fa) 5 Fie C[,e] = {f : [, e] R, f continuă pe [, e]} Să se arate că aplicaţia : C[,e] R definită prin f = [ e f x) ln x) dx ] / este o normă pe C [,e] şi să se găsească norma funcţiei fx) = x 6 Fie C [,] = {f : [, ] R, f derivabilă cu derivată continuă pe [, ]} Să se arate că următoarele aplicaţii sunt norme pe C [,] : ) f = sup { fx), x [, ]} ) f = fx) dx [ / 3) f = f) + sup { fx), x [, ]} 4) f = f x) dx] 7 Fie mulţimea X = {,, 3, 4} şi clasele: τ = {, X, {}, {, }, {, 3}, {,, 3}}, τ = {, X, {}, {}, {3, 4}, {, 3, 4}} ) Să se arate că τ este topologie pe X dar τ nu este topologie pe X ) Să se găsească sistemele de vecinătăţi ale punctelor 3 şi 4 din spaţiul topologic X, τ )

CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 8 R: Se verifică proprietăţile din definiţia topologiei Pentru τ se constată că, de exemplu {} {} = {, } / τ 8 Fie X = {α, β, γ, δ} şi familia de mulţimi: τ = {, {α}, {γ}, {α, β}, {α, γ}, {α, β, γ}, X} Să se arate că τ este o topologie pe X şi să se determine sistemele de vecinătăţi ale punctelor α, β, γ şi δ 9 Dacă X şi τ = {, X}, atunci X, τ ) este spaţiu topologic pe X, numit spaţiul topologic nondiscret grosier) pe X Dacă X şi PX) este mulţimea tuturor părţilor mulţimii X, iar τ = PX), atunci X, τ ) este spaţiu topologic pe X, numit spaţiul topologic discret pe X Dacă X are mai mult de două elemente şi a X, fixat, atunci τ = {, {a}, X} este o topologie pe X, diferită de topologia nondiscretă şi de cea discretă Fie X = {a, b, c, d, e} Să se precizeze care dintre următoarele familii de părţi ale lui X este o topologie pe X: ) τ = {, X, {a}, {a, b}, {a, c}} ) τ = {, X, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}} 3) τ 3 = {, X, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}} R: τ şi τ nu, τ 3 da 3 Fie τ = {, R, q, )}, q Q Să se arate că τ este o topologie pe R R: Mulţimea A = {q, ), q > } =, ) este o reuniune de mulţimi din τ, q Q totuşi ea nu aparţine lui τ deoarece / Q 4 Pe mulţimea X = {a, b, c} următoarele familii de părţi ale lui X sunt topologii: τ = {, X, {a}, {b, c}}; τ 3 = {, X, {b}, {a, c}}; τ = {, X, {a}, {a, c}}; τ 4 = {, X, {c}, {b, c}} 5 Fie τ = {, R, α, α)}, α > Să se arate că τ este o topologie pe R 6 Pe mulţimea X = {,, 3, 4, 5} se consideră topologia: τ = {, X, {}, {, }, {, 3, 4}, {,, 3, 4}, {,, 5}} ) Să se găsească punctele interioare ale mulţimii A = {,, 3} ) Să se găsească punctele exterioare ale mulţimii A 3) Să se găsească punctele frontieră ale mulţimii A R: ) Int A = {, } deoarece {, } A, {, } A 3 nu este punct interior lui A deoarece nu aparţine la nici o mulţime deschisă inclusă în A ) CA = {4, 5} şi Int CA =, deci nu există puncte exterioare lui A 3) Fr A = {3, 4, 5}

CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 9 7 Să se arate că următoarele familii de părţi sunt topologii pe R: ) τ i = {, R, a, )}, a R, topologia inferioară sau dreaptă a lui R) ) τ s = {, R,, a)}, a R, topologia superioară sau stângă a lui R) 8 Să se găsească interiorul, exteriorul şi frontiera intervalului I = [3, ) relativ la spaţiul topologic R, τ i ), unde τ i este topologia inferioară pe R R: Cea mai amplă mulţime deschisă, conţinută în I, este 3, ), deci Int A = 3, ) CI =, 3) şi nu conţine nici o altă mulţime deschisă în afară de mulţimea vidă Int CA =, Fr A =, 3] Mulţimea numerelor reale 9 Să se arate că mulţimea A = {x n = n n + n n + n +, n N, n } este mărginită R: Din x + x pentru orice număr real pozitiv, rezultă x n > + + = 3, adică a = 3 este un minorant pentru A Cum pentru n, < n n < şi n, urmează x n < + + + = 9, adică b = 9 este un majorant pentru A 3 Să se arate că mulţimea A α = {y R, y = αx+ x +x+, x R} este mărginită pentru orice α R şi să se determine inf A α şi sup A α R: Fie y A α Atunci: yx + y α)x + y =, care trebuie să aibă soluţii reale Deci y α) 4yy ) = 7y α )y + α, de unde, notând cu β = α α +,: [ α β y, α + β ] 7 7 Aşadar: inf A α = min A α = α β 7, sup A α = max A α = α + β 7 3 Să se determine minoranţii, majoranţii, cel mai mic element şi cel mai mare element dacă există) ale următoarelor mulţimi de numere reale: ) A = {sin, sin, sin 3} ) A = { { } n, n N } 3) A = n n +, n N 4) A = {x R, x 5} 5) A = {x R, x, x > 5} 6) A = {x R, x 3 x } 7) A = {x sin x, x R} R: ) Cum: sin = sinπ ), sin 3 = sinπ 3), deoarece: < π 3 < < π < π şi funcţia sinus este strict crescătoare pe [, π ], rezultă: sin < sinπ 3) < sin < sinπ ) < sin π şi deci < sin 3 < sin < sin < Aşadar: min A = sin 3, max A = sin şi orice număr a sin 3 este un minorant, iar orice număr b sin este un majorant

CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE ) Deoarece n, rezultă că n Deci este un minorant al mulţimii A şi orice număr a, ] este minorant Nici un număr a > nu poate fi minorant al mulţimii A deoarece A şi din definiţia minorantului ar rezulta că a contradicţie) Evident inf A = min A = Mulţimea majoranţilor este [, ) Într-adevăr, b implică b n, pentru orice n N Dacă b < rezultă b > şi atunci n N aî b > n sau b < n, adică b nu ar mai fi majorant Evident sup A =, în timp ce max A nu există 3) Din inegalitatea: 3 n n + <, n N, deducem că mulţimea minioranţilor lui A este, 3], mulţimea majoranţilor este [, ), inf A = min A = 3, sup A =, iar max A nu există 4) inf A = min A = 5, sup A = max A = 5, 5) inf A = 5, sup A =, 6) inf A =, max A = sup A =, 7) inf A 7 =, sup A 7 = 3 Să se determine inf A, min A, sup A şi max A dacă: ) A = {x R, x = a+ a +a+, a R} ) A = {y R, y = x 3x+ x +x+, x R} 3) A = {y R, y = 3x +4x 3 x +, x R} R: ) Din xa + x )a + x =, cu a R, rezultă A = [ [ 3, ] Deci inf A = min A = 3, sup A = max A = ) A = 9 ] 3, 9+ 3 3) A = [ 3, 5] 33 Utilizând axioma lui Arhimede, să se arate că pentru orice x R există n Z aî să avem: ) x + n nx + ) x x + n R: ) Inegalitatea se mai scrie: x nx ) Pentru x = este evidentă Dacă x, pentru numărul real x x = x +, conform axiomei lui Arhimede, există n Z aî x + n 34 Fie [a n, b n ] [a n+, b n+ ], n N un şir descendent de segmente reale Să se arate că: ) [a n, b n ] Cantor-Dedekind) n= ) Dacă b n a n n, n N, atunci există un număr x R, unic determinat, cu proprietatea că: [a n, b n ] = {x } n= R: ) Din [a n, b n ] [a n+, b n+ ] rezultă că a n b m, n, m N Aşadar mulţimea A = {a n, n N } este mărginită superior orice b m este un majorant), iar mulţimea B = {b m, m N } este mărginită inferior orice a n este un minorant) Există deci sup A şi inf B şi sup A inf B În concluzie, [a n, b n ] [sup A, inf B] n=

CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE ) Dacă ar exista x şi y cu x < y şi x, y [a n, b n ], atunci din a n x < y b n rezultă: < y x b n a n n, adică ny x), n N, ceea ce ar contrazice axioma lui Arhimede aplicată numerelor y x şi 35 Dacă a, a,, a n R + şi a a a n =, atunci a + a + + a n n R: Folosim metoda inducţiei matematice P ) : dacă a, a R + şi a a =, atunci a +a Fie a şi a Urmează a )a ) sau a +a +a a P n) : dacă a, a,, a n R + şi a a a n =, atunci a + a + + a n n P n + ) : dacă a, a,, a n, a n+ R + şi a a a n a n+ =, atunci a + a + + a n + a n+ n + Printre numerele a, a,, a n, a n+ există cel puţin unul mai mare sau cel puţin egal cu şi cel puţin unul mai mic sau cel mult egal cu Fără a restrânge generalitatea, putem presupune că acestea sunt a şi a Din P ) avem că a + a + a a, de unde deducem: a + a + + a n + a n+ + a a + a 3 + + a n + a n+ + n, n= deoarece a a,, a n, a n+ sunt n numere al căror produs este 36 Inegalitatea mediilor Fie x, x,, x n R + şi A media aritmetică, G media geometrică, H media armonică a celor n numere, definite prin; A = x + x + + x n, G = n n x x x n, H = Să se arate că au loc inegalităţile: H G A R: Din definiţia mediei geometrice avem: x x x n G n = sau x G x G xn G = n + + x x xn Luând în exerciţiul precedent a k = x k x G, k =, n, obţinem: G + x G + + x n G A G Înlocuind aici pe x k prin, k =, n, găsim H G x k n, sau 37 Inegalitatea lui Schwarz-Cauchy Pentru orice numere reale a, a,, a n şi b, b,, b n are loc inegalitatea: a b + a b + + a n b n ) a + a + + a n) b + b + + b n), sau n a k b k n a k n b k k= k= k=

CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE R: Fie trinomul de gradul al doilea: fx) = a + a + + a n) x a b + a b + + a n b n ) x + b + b + + b n), care se mai scrie: fx) = a x b ) + a x b ) + + a n x b n ) pentru orice x R, deci, ceea ce implică inegalitatea dată 38 Inegalitatea lui Minkowski Pentru orice numere reale a k, b k, k =, n are loc inegalitatea: n a k + b k ) n a k + n b k sau k= R: Tinând seama de inegalitatea lui Schwarz-Cauchy, avem: n n n n n a k + b k ) = a k + a k b k + b k a k + n a k n n b k + b k, k= k= k= k= k= k= k= n a k + b k ) n a k + n k= k= de unde, extrăgând radicalul rezultă inegalitatea dată 39 Inegalitatea lui Bernoulli Oricare ar fi a [, ) şi α [, ) avem: + a) α + αa R: Inegalitatea rezultă din studiul monotoniei funcţiei f : [, ) R, fx) = + x) α αx, observând că aceasta are un minim egal cu în x = k= 4 Dacă a [, ) şi n N atunci: + a) n + na R: Se ia în inegalitatea lui Bernoulli α = n 4 Dacă b >, b, atunci: +nb n+ ) n+ > b n R: Aplicând inegalitatea lui Bernoulli, avem: ) n+ + nb = b + b ) n+ [ = b n+ + b ] n+ > b n+ + b ) = b n n + n + bn + ) b b k k=, k= k= 4 Să se arate că: ) + ) n+ n + > + n) n ) ) n+ > n n + n)

CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 3 R: Se ia în inegalitatea precedentă b = + n, respectiv b = + n 43 Să se arate că oricare ar fi numerele reale a, a,, a n, de acelaşi semn, are loc inegalitatea generalizare a inegalităţii lui Bernoulli): + a ) + a ) + a n ) + a + a + + a n R: Se foloseşte inducţia matematică 44 Inegalitatea lui Cebîşev Fie a, a,, a n şi b, b,, b n numere reale cu a a a n, b b b n şi S = a b i + a b i + a n b in, n, unde {i, i,, i n } = {,,, n} Să se arate că: a b n + a b n + a n b S a b + a b + + a n b n R: Fie j < k, i j < i k atunci a j a k )b ij b ik ) implică: a j b ij + a k b ik a j b ik + a k b ij Deci orice inversiune în mulţimea {i, i,, i n } micşorează suma S, ca atare ea este maximă pentru permutarea identică {,,, n} şi minimă pentru permutarea {n, n,, } 45 Fie a, a,, a n şi b, b,, b n numere reale cu a a a n, b b b n Să se arate că: n ) n ) n ) n a i b i a i b i i= R: Din exerciţiul precedent rezultă că max S = n a i b i Avem deci inegalităţile: i= i= i= n a i b i = a b + a b + + a n b n, i= n a i b i a b + a b 3 + + a n b, i= n a i b i a b n + a b + + a n b n i= Prin adunare membru cu membru obţinem inegalitatea din enunţ 46 Fie a, b, c > Să se arate că: a ) b+c + b a+c b + c a+b c 3 ) a + b + c a +b c + b +c a + c +a b R: Se aplică inegalitatea lui Cebîşev: ) pentru tripletele a, b, c) şi b+c, a+c, a+b ) pentru tripletele: a, b, c ) şi c, b, a a3 bc + b3 ca + c3 ab ), ), respectiv a 3, b 3, c 3 ) şi a abc, b abc, c abc)

CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 4 47 Inegalitatea lui Hölder Dacă a, a,, a n, b, b,, b n, p >, q > şi p + q =, atunci: n n a i b i i= R: Dacă n a p i = sau n i= b q i i= i= a p i ) /p n ) /q b q i i= = inegalitatea este evidentă Fie: A = ap i n a p i i=, B = bq i n b q i i= şi funcţia f : [, ) R, definită prin: fx) = x α αx, α, ) Deoarece f are în x = un maxim egal cu α, rezultă că: x α αx α, x [, ) Luăm x = A B şi α = p, deci α = q, deducem: A p B q A p + B q Înlocuind aici A şi B, sumând apoi după i de la la n, obţinem inegalitatea din enunţ 48 Să se arate că pentru orice n N are loc inegalitatea: R: Se foloseşte majorarea: 3 3! N n! n + )! n k k! = k k ++ +k k = k+ k 49 Dacă x, x,, x n R +, atunci: x + x + + x n ) + + + ) n x x x n R: Se foloseşte inegalitatea lui Schwarz-Cauchy cu a i = x i, b i = xi, i =, n 5 Dacă a, a,, a n R +, atunci: a + a + ) a n + a n + ) a a a n 3 n R: Se foloseşte inegalitatea: x + x, pentru orice x R + 5 Dacă a, a,, a n R +, n şi S = a + a + + a n atunci: sau a S a + a S a + + a n S a n n n R: Notăm b i = S a i, i =, n Deoarece S > a i rezultă că b i > putem scrie: b + b + + b n ) + + + ) n, b b b n n n n k= a k ) n k= ) a b k n + a + + S a S a a n S a n )

CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 5 5 Dacă a, b, c R +, atunci: R: Se ţine seama că ab a+b a+b 4 etc ab a + b + bc b + c + ca c + a a + b + c 53 Dacă a, a,, a n R +, n, atunci: R: Se foloseţe inegalitatea mediilor 54 Dacă a, a,, a n R +, atunci: a + a + + a n + a n n a a 3 a n a + a ) + a ) + a n ) n R: Se înmulţesc membru cu membru inegalităţile: + a i a i, i =, n 55 Dacă a, b, c R +, atunci: a + b)b + c)c + a) 8abc R: Se înmulţesc membru cu membru inegalităţile: a + b ab etc 56 Dacă a, a,, a n >, b, b,, b n >, atunci: n a + b )a + b ) a n + b n ) n a a a n n b b b n R: Se foloseşte inegalitatea mediilor pentru numerele: b i a i+b i, i =, n şi se adună inegalităţile obţinute 57 Dacă a, b, c R +, atunci: a i a i+b i, i =, n şi respectiv: a a b b c c abc) a+b+c 3 R: Fără a restrânge generalitatea, putem presupune a b c Din a a b b a b, b b c c b c, a a c c a c prin înmulţire membru cu membru se obţine inegalitatea din enunţ

Capitolul Şiruri şi serii Şiruri de numere reale Folosind teorema de caracterizare cu ε a limitei unui şir, să se arate că: 3 4 n + 4) n n + ) lim n 5 n = ) lim n n + = + R: ) Fie ε > arbitrar Este suficient să arătăm că există un rang N = Nε) aî 3 4 n + 4) n 5 n < ε, n > N Dar 3 4n + 4) n 5 4 4 n n 5 < ε pentru n > ln ε n 4 Aşadar, putem lua ln 4 5 {, ] ε > 4, Nε) =, ε 4 [ ln ε 4 ln 4 5 ) Fie ε > arbitrar Este suficient să arătăm că există un rang N = Nε) aî n + n+ > ε, n > N Însă n + n+ = n + 3 n+ > n > ε, pentru n > + ε Putem lua Nε) = [ + ε] Folosind teorema de caracterizare cu ε a limitei unui şir, să se arate că: ) lim n n n = ) k= lim 4n + n 5n = 4 5 3) lim n n n + ) = 3 Folosind criteriul lui Cauchy, să se arate că şirurile x n ) n N sunt convergente, unde: n n ) x n = k ) x sinkx) n = k, x R 3) x n = n k= k= α k a k α k <, k N, a > 6

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 7 avem: R: ) Arătăm că ε >, Nε) aî x n+p x n < ε, n > Nε) şi p N Deoarece n + k) < n + k) n + k ) = n + k n + k, x n+p x n = n + ) + + n + p) < n n + p < n < ε pentru n > ε Putem lua Nε) = [ ] ε ) Arătăm că ε >, Nε) aî x n+p x n < ε, n > Nε) şi p N Avem: x n+p x n = sinn + )x n+ + + sinn + p)x n+p deci x n+p x n < < ε pentru n > ln n ε 3) Avem x n+p x n = α n+ a n+ + + α n+p α n+ a n+p a n+ [ ln εa ) ln a n+ + + n+p = [ ln Putem lua Nε) = ln ε ln ] n p ), + + α n+p a n+p < a n+ + + a n+p, deci x n+p x n < a n a ) [ ) p ] a < a n a ) < ε pentru n > ln ] ln a Nε) = εa ) Putem lua 4 Folosind criteriul lui Cauchy, să se arate că şirul x n ) n N este divergent, unde x n = + + 3 + + n R: Este suficient să arătăm că există un ε > şi un p N aî x n+p x n ε Se constată însă imediat că pentru p = n avem: x n x n = n + + + n = ε 5 Să se cerceteze natura următoarelor şiruri x n ) n N cu termenii generali: ) x n = + 3 + + n + n + ) x n = sin n R: ) Şirul este divergent Se observă că: x n x n = n + n + n + + + > n + 3 4n + 4n + > ) Presupunem că există lim x n = x Atunci avem şi lim x n+ = x, lim x n = x, ceea ce implică: lim [sinn + ) sinn )] =, n adică lim sin cos n = sau lim cos n = Din sin n = sin n cos n ar rezulta că lim sin n = Dar şirul sin n) n N este un subşir al şirului sin n) n N, de unde se deduce că lim sin n = Aşadar am avea: lim sin n + cos n ) = Contradicţie Deci şirul x n ) este divergent

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 8 6 Folosind criteriul lui Cauchy, să se studieze natura şirurilor cu termenii generali: ) x n = n k= cos k! k k + ) ) x n = n k= 7 Să se calculeze limita şirului cu termenul general: cos kx a k, a > 3) x n = n k= x n = α n k + α n k + + α k β n h + β n h + + β h, α, β, k, h N 8 Să se calculeze limitele şirurilor: ) x n = + + + n n ) x n = Ck n n k 3) x n = n n 9 Să se arate că dacă a <, atunci lim na n = sin kx 3 k R: Deoarece a <, există b > aî a = Newton +b şi se dezvoltă după binomul lui Fie x, x,, x p numere reale pozitive Să se arate că: n lim x n n + xn + xn p = max{x, x,, x p } R: Fie x = max{x, x,, x p } Rezultă: x n x n + x n + x n p px n, adică; Dar lim n p = Fie şirul cu termenul general: x n x n + xn + xn p x n p x n = a + n + n k= k 4 + k + k 4 + k ) Să se arate că x n ) este convergent ) Să se găsească rangul de la care x n a, Să se calculeze limitele şirurilor x n ) date prin termenii generali: ) n 5n 3n + 3n + ) x n = ) x n = 3) x n = an + b n 4n + 3n + 5 3a n + 4b n 4) x n = + 4 + + n) + 3 + + n ) 5) x n = n + n + + n + 3 6) x n = n + n + n + 4 n + 7) x n = 3 n + n + an

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 9 n + 5n + 4 8) x n = 3n + ) 6n 3n+ 9) x n = ) n n + n + n + 3 ) x n = n + + 3 n) ) 3 + n 9 ) x n = n 3 + 3 + + n 3 ) n + ) 5 ) x n = n 4 + n + n 4 n + ) n + 3) x n = n k n + 5 4) x n = n 3 3 n + ) 3 ) n ) 3 Se consideră curba formată din semicercuri de raze r, r 3, r 9, r 7, cu centrele cercurilor coliniare Să se calculeze lungimea L n a liniei formate din primele n semicercuri, precum şi L = lim L n Care sunt valorile lui n pentru care diferenţa L L n reprezintă cel mult 5% din L? R: Avem: L n = π r + r 3 + r 3 + + r ) 3 n = 3πr ) 3 n şi L = 3πr L L n = 3πr 3 n 5 3πr, de unde 3n, adică n 3 4 Să se discute după valorile parametrului real p: [ ] n + n + l = lim n np n + 3 n + 3 R: Notăm a n = ) ) n + n + n + n + n + 3 n + 3 = n + + 3 n + 3 Avem a n, iar na n 6 Deci: l = 6 lim n np =, p, ), 6, p =,, p, ) 5 Să se calculeze limita şirului x n ) cu termenul general: x n = R: Din sin x, x R, deducem: < x n sin + a sin + + an sin n a n [ + a + 3a + + n + )a n ], a > a) a n ) a n [ n + )a n+ + n + )a n+ ] = α n şi cum pentru a >, α n, rezultă că x n

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 6 Să se arate că şirul cu termenul general x n = +! +! + + n! Limita sa este numărul e este convergent R: Folosim criteriul lui Cauchy: x n+p x n = = n + )! + n + )! + + n + p)! = n + )! [ n + + n + )n + ) + + n + )n + ) n + p) ] de unde: x n+p x n < n! pentru n > Nε) = [ ε ] [ ] n + + n + ) + + n + ) p < n! n n < ε, 7 Să se arate că dacă a n a, atunci s n = a+a+ +an n a R: Se aplică teorema lui Stolz-Cesaro 8 Să se arate că dacă şirul de numere pozitive b n b, atunci p n = n b b b n b 9 Fie a) n un şir de numere pozitive Să se arate că dacă a n+ lim = α lim n an = α n a n n R: Se ţine seama de egalitatea n a n = n a a a Să se calculeze: ) lim n n ) n n lim n n + )n + ) n) a n a n n n 3) lim n R: Se aplică exerciţiul precedent Se obţine: ), ) 4 e, 3) e n n! n Să se arate că: p + p + n p lim n n p+ =, p N p + R: Se aplică teorema lui Stolz-Cesaro: a n+ a n b n+ b n = Dar lim n [ + n) p ] = p n + ) p n + ) p+ n p+ = ) + p n n [ + n) p ] + + n ) p

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII Să se determine limita şirului cu termenul general: 3 Să se calculeze: R: Se aplică teorema lui Stolz-Cesaro: x n = p + 3 p + + n ) p n p+, p N +! + 3 3! + + n n! lim n n a n, a > a n+ a n+ n n + )! lim = lim n b n+ b n n a n [n + ) a n ] = a lim n 4 Să se calculeze: lim n R: Se aplică teorema lui Stolz-Cesaro: n+ n + )! n + +!) + 3!) 3 3 + + n!) n n n! n + )! n a n+ a n n + ) n+ n + lim = lim n b n+ b n n n + )n + ) n + n = 5 Se dă şirul x n ) n N cu termenul general: x n = n k= k + )k + 4) ) Să se arate că şirul este mărginit şi să se calculeze sup x n ) Să se calculeze lim [ 8 x n] n R: ) Din identitatea deducem: k + )k + 4) = 3 k + ), k N, k + 4 lim x n = lim n n 3 6 k + k + 3 ) = k + 4 8 n + n a n = Din x n+ x n = n+)n+5) > rezultă că şirul este crescător şi deci sup x n = 8 ) lim [ 8 x n] n = e 6 Să se determine limita următoarelor şiruri: ) x n = 3 3 + 5 3 + 3 + + n + 3 + 3 + + n 3 ) x n = αn + β n α n+, α, β > + βn+ 3) x n = an + b n + 3 n n + 5 n + n, a, b 4) x n = 7 n n! n k + 3k + 9 ) k=

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII R: La 4) se ţine seama de inegalitatea k + 3k + 9 3 3 7k 3 = 9k 7 Să se calculeze limita următoarelor şiruri: n!) ) x n = n n n)! 8 n ) x k + k n k k ) n = 3) x n = k + )! k + )! k= k= [ ] 3 4) x n = 3n n!) 3 n n n 5) x n = 3n)! n + k 6) x 3 n = + k n 3 k= R: ) lim an+ a n = lim n+ 6n+) = 3 ) Din k +k k+)! = k )! k+)! deducem că 3) Din k k ) k+)! lim n n k= k + k k + )! = k k! k k+)! deducem că lim n n k= k k ) k + )! k= [ = lim ] n n! = n + )! ] = lim [ n = n n + )! 8 Să se calculeze limitele şirurilor cu termenii generali: n + )!! n ) x n = n + )!! ) x k + k n n = n 3 + k 3) x k + k n = k + )! k= k= 4) x n = + + + + ) n 3 n + ) n n k + n 5) x n = k k + ) k= 6) x n = C ) n n + Cn+ + + C n 7) x n = n ) n 3 k ) 9 Să se calculeze limita şirurilor cu termenii generali: ) x n = 3) x n = cos π ) n ) x n = + n n k= k )! + k! 4) x n = 3 n + n 3 n k= 3 Să se calculeze limita şirului cu termenul general k= ) α 6 n 3, α R k k + ) k + ) n 4 x n = ac + a + ab)c + a + ab + ab )c 3 + + a + ab + + ab n )c n+, a, b, c R, c <, b, bc <

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 3 Deci R: Să observăm că se mai scrie x n = ac b [ + c + + cn ) b + bc + + b n c n )] [ c n+ lim x n = lim x n b ] bc)n+ ac = n n c bc c) bc) 3 Să se arate că: şi apoi să se calculeze lim n < ln [ln k + )] ln ln k) < k ln k, k k= k ln k R: Inegalitatea din stânga rezultă din faptul că funcţia ln x este strict crescătoare Fie f :, ) R, definită prin fx) = ln ln x) Pe fiecare interval [k, k + ], k, conform teoremei lui Lagrange, există c k k, k + ) aî Din ln k < ln c k < lnk + ) deducem: deci < ln [ln k + )] ln ln k) = c k ln c k k + ) lnk + ) < < c k ln c k k ln k, < ln [ln k + )] ln ln k) < k + ) lnk + ) k ln k Sumând pentru k =, n rezultă că limita este 3 Să se calculeze limita şirului cu termenul general R: Avem că x n = n n + )n + ) n ) n ln x n = n n ) ln + k, k= care este o sumă Riemann pentru funcţia fx) = ln + x ) pe intervalul [, ], pentru diviziunea n = {, n, n,, }, cu punctele intermediare ξ k = k n şi deci lim ln x n = n n ln + x ) dx = ln + π 33 Să se calculeze limita şirului cu termenul general [ b x n = x a) n b x) n dx a ] n, a < b

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 4 R: Notăm I m,n = b a x a)m b x) n dx Integrând prin părţi, obţinem I m,n = m n + I m,n+ = m n + m n + n + m + I,n+m Se obţine de aici că I n,n = n!) n+)! b a)n+, de unde lim x n = ) b a [ n ] 34 Să se calculeze lim + k n k= R: Deoarece n + k n = k n k + n + n + k n + Din k + k n + sumând pentru k =, n, rezultă [ n ] nn + ) n + kn + n + deci şirul are limita k= n k, + n + nn + ) n, + n + 35 Fiind dată funcţia f : R \ {, } R, definită prin fx) = calculeze limita şirului cu termenul general x n = f k) ) + f k) ) + + f k) n), unde f k) este derivata de ordinul k a funcţiei f R: Deoarece fx) se poate scrie: fx) = x+ x+, rezultă că [ f k) x) = ) k k! x + ) k+ x + ) k+ ], x +3x+, să se şi deci x n = [ ] k+ n + ) k+ ) k k! k+ 36 Să se studieze natura şirului x n ) definit prin: x = a [, ] şi x n+ = x n x n +, pentru n 37 Se dau numerele reale a, b, c Definim şirurile a n ) n N, b n ) n N, c n ) n N prin: a n+ = b n + c n ), b n+ = c n + a n ), c n+ = a n + b n ) Să se arate că şirurile sunt convergente la 3 a + b + c )

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 5 R: Fie x n = a n + b n + c n Adunând cele trei relaţii, obţinem: x n+ = x n, deci x n ) este un şir constant: x n = x Din a n+ = 4 a n + x ) rezultă că a n 3 x etc 38 Fie q = 5 şi şirul x n ) definit prin: x = q, x = + q, x n+ = x n + x n+, n N ) Să se arate că termenii şirului sunt în progresie geometrică ) Să se arate că are loc egalitatea n = 3) Să se calculeze lim x n x n+ x n+ x n x n x n+ x n+ x n+ x n x n+ = 4 x 3n+ R: ) Prin inducţie matematică: x = + q = q, x 3 = x + x = q 3 Presupunem x n = q n Din x n+ = x n + x n+ = q n + q n+ = q n + q), rezultă x n+ = q n+ ) n = q 3n q 6 q 3 + ) = 4q 3n+ = 4x 3n+ 3) Deoarece q <, lim x n = 39 Să se calculeze limita şirului: x = a, x n+ = a + x n, a > 4 Să se calculeze ) n 4n 4 n an, a n = lim n π x dx, n + x R: Se obţine: a n = n arctg n + π, iar limita este e 4 π 4 Fie A n ) n N şi B n ) n N două şiruri de numere raţionale aî: a + b k) n = An + B n k, n, a, b Q+, k R \ Q Să se calculeze lim A n B n R: Din A n + B n k = a + b ) n k şi An B n k = a b n, k) urmează: A n = Aşadar lim A n B n = k [ a + b ) n k + a b ) n ] k, B n = [ a + b ) n k a b ) n ] k k 4 Fie matricea A = Să se calculeze lim an b n [ 3 ] şi A n = [ ], n N a n b n

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 6 R: Se găseşte: a n = 3 n ) şi b n = n 43 Să se calculeze lim sin π n + n + ) R: Deoarece sin α = sin α nπ), urmează: sin π ) n + n + = sin π ) ) n + n + nπ = sin n + π n + n + + n şi deci lim sin π n + n + ) = sin π = 44 Să se calculeze limita şirului R: Fie a n = n+)n n! Deoarece a n+ a n = şi b n n = ) n n+ n+ n n! e şi x n = n+ n + )! n n!, n b n = + n+) n+ e, rezultă că n a n = e Fie ) n+ n + )! n + n+ n = n! n n! [ n+ n + )! n ] n n! e = lim + n n = lim + x ) n n n! n n n! deci lim x n = e n! xn x n n n n! = e e lim x n, 45 Să se determine mulţimea punctelor limită, limita inferioară şi limita superioară pentru şirurile date prin: ) x n = + )n + ) n n 3 3n + ) x n = + n) n [ ) n + ] + cos nπ R: ) Deoarece {x n } n N = {x k } k N {x k+ } k N şi x k = 3 + 4k 6k + 4 3, x k+ = 4k + 6k + 4 3, rezultă că M = { 3, 3} 4, lim inf xn = 3, lim sup x n = 4 3 ) Deoarece {x n } n N = {x 4k } k N {x 4k+ } k N {x 4k+ } k N {x 4k+3 } k N şi ) x 4k = 3 + 4k 4k + cos kπ 3 ) e +, 4k+ x 4k+ = + 4k+ + cos 4k+)π ) e, 4k+ + cos 4k+)π x 4k+ = 3 x 4k+3 = + 4k+ + 4k+3 3 ) e, 4k+3 + cos 4k+3)π e, rezultă că M = { e, 3 e, 3 e + }, lim inf x n = e, lim sup x n = 3 e +

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 7 46 Să se determine mulţimea punctelor limită, limita inferioară şi limita superioară pentru şirurile date prin: ) x n = + ) n ) n n n n + + cos nπ, n N ) x n = 5 3 ) nn+) + sin nπ, n N 3) x n = n n )n + sin nπ, n N 4) x n = + )n Principiul contracţiei n n +, n N 5) x n = ) nn+) cos nπ 3, n N 47 Să se arate că ecuaţia x 3 + 4x = are o singură rădăcină reală şi să se determine aproximaţiile până la ordinul trei ale rădăcinii R: Se constată imediat că ecuaţia are o rădăcină pe intervalul [, ] Scriind ecuaţia sub forma echivalentă x = x +4, problema revine la a arăta că aplicaţia ϕ : [, ] R, ϕx) = x +4, este o contracţie pe [, ] Dar x + y dϕx), ϕy)) = ϕx) ϕy) = x + 4) y + 4) dx, y) dx, y) 8 Într-adevăr, din x x +4 4, deducem x + y x + y 4 x + 4 ) y + 4) Deci ϕ este o contracţie pe [, ], cu q = 8 Şirul aproximaţiilor succesive: x =, x n+ = x, n =,,, n + 4 ne dă x =, 5, x =, 46538, x 3 =, 46695 etc 48 Să se arate că ecuaţia x 3 + x = are o singură rădăcină reală şi să se calculeze această rădăcină cu o eroare mai mică de, R: Se constată imediat că ecuaţia are o rădăcină pe intervalul [, ] Ca în exerciţiul precedent, se arată că aplicaţia ϕ : [, ] R, ϕx) = x +, este o contracţie pe [, ], cu q = 69 Şirul aproximaţiilor succesive este: x =, x n+ = Estimarea erorii metodei este dată de x, n =,,, n + x n ξ < δ q qn, n N,

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 8 în care δ = x x În cazul nostru x n ξ < 69 67 ) n < 4 69 Se constată că este suficient să luăm n = Avem: x =, x = =, 8 3333, x = 44 79 =, 838535 49 Să se arate că ecuaţia sin x x + = are o singură rădăcină reală şi să se calculeze această rădăcină cu o eroare mai mică de, R: Se constată imediat că ecuaţia are o rădăcină pe intervalul [, ] Se constată că aplicaţia ϕ : [, ] R, ϕx) = + sin x), este o contracţie pe [, ], cu q = Şirul aproximaţiilor succesive este: Estimarea erorii x =, x n+ = + sin x n), n =,,, x n ξ < 9 ) n < 3 Este suficient să luăm n = Avem: x =, x = =,, x = + sin, ) =, 998 5 Să se arate că ecuaţia x 5 + x 3, 6 = are o singură rădăcină reală şi să se calculeze această rădăcină cu o eroare mai mică de, 5 Fie f : [a, b] [ c, c] o funcţie derivabilă pe [a, b] şi aî < m f x) M, x [a, b] Ce condiţie trebuie să îndeplinească numărul p m, M) pentru ca funcţia ϕx) = x pfx), x [a, b], să fie o contracţie pe [a, b] şi deci ecuaţia ϕx) = să aibă o singură soluţie pe [a, b]? R: Avem: dϕx), ϕy)) = ϕx) ϕy) = ϕ ξ) x y = ϕ ξ) dx, y) şi pentru ca ϕ să fie contracţie este necesar să existe q < aî ϕ ξ) < q Însă ϕ ξ) = p f x) şi din < m f x) M rezultă M p ϕ ξ) m p < căci p m, M)) Este deci necesar ca < M p, adică p > M În concluzie, dacă p max { } m, M, M), ϕ este o contracţie pe [a, b] Putem generaliza exerciţiul precedent, presupunând p = px) Astfel, dacă alegem px) = x x, x [a, b], fx) fx ) se obţine medoda coardei, iar dacă alegem px) = f x) se ajunge la metoda lui Newton 5 Ce condiţie trebuie să îndeplinească funcţia f : [a, b] R, de două ori derivabilă pe [a, b] pentru ca funcţia ϕx) = x fx) f x) să fie o contracţie pe [a, b]? R: Deoarece dϕx), ϕy)) = ϕx) ϕy) = ϕ ξ) dx, y), condiţia ϕ ξ) q < conduce la: fx) f x) q f x), < q <

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 9 53 Să se calculeze aproximativ p a, a > şi p =, 3, R: Luăm fx) = x p a Atunci ϕx) = x fx) f x) = [ ] p p ) x + ax p Cum ϕ x) = p p ax p ) < p p, pentru x >, rezultă că ϕ este o contracţie şi deci putem lua 3 Şiruri în R p p a xn+ = p [ p ) xn + ax p ] n 54 Să se calculeze limitele următoarelor şiruri din R 3 : n ) x n = 3n, + n) n, n n + n )) ) x n = n + n +, n ) n, e n 55 În R4 se consideră şirul x n ) definit prin relaţia de recurenţă: 6x n+3 = x n+ 6x n+ + x n, n N, cu x =,,, ), x =, 9, 3, 6), x =, 9, 7, 8) Să se determine x n şi să se calculeze limita şirului R: Se caută x n = λ n a, cu a R 4 Se obţine penrtu λ ecuaţia caracteristică 6λ 3 λ + 6λ =, cu rădăcinile:,, 3 Deci x n este de forma: x n = a + b + n 3 c n Se obţine limita x =, 9, 7, 9) 4 Serii de numere reale 56 Să se arate că seria este convergentă şi s = R: În adevăr, 57 Seria + 3 + + nn + ) + = nn + ) s n = + 3 + + nn + ) = n k= n= + + 3 + + n + = k ) = k + n + se numeşte seria armonică, deoarece pentru n, a n este media armonică a termenilor vecini a n şi a n+ Să se arate că seria este divergentă şi are suma + n= n

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 3 R: Şirul s n ) al sumelor parţiale este strict crescător şi divergent, deoarece s n s n = n + + n + + + n, ceea ce arată că s n ) nu este şir fundamental Deci lim s n = + 58 Să se arate că seria este divergentă + + + ) n + = ) n R: Este o serie oscilantă deoarece şirul s n ) al sumelor parţiale este şirul oscilant:,,,, 59 Seria + q + q + + q n + = n= q n, q R se numeşte seria geometrică deoarece şirul a n ), a n = q n, este o progresie geometrică cu raţia q Să se studieze natura acestei serii după valorile lui q R: Şirul sumelor parţiale are termenul general Obţinem s n = + q + q + + q n = n= { lim s n = q, q <, n +, q { q n q, q, n, q = Pentru q şirul s n ) nu are limită Astfel, seria geometrică cu raţia q este convergentă pentru q < şi are suma q şi divergentă pentru q 6 Să se stabilească natura seriilor următoare şi în caz de convergenţă să se determine sumele lor: ) ) n + α + n + α + n + α, α > n= ) 3) 7) n= n= α + n)α + n + ), α R \ Z n, α > 4) αn 5) n= n= n= ln n + n 6) 5n 8n 3 n= n n n n n + )! 8) n [5 + ) n ] n n=

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 3 R: ) Notăm cu a n = n + α n + α Se observă că s n = a n+ a n Se obţine suma α α + ) Folosind identitatea: α + k)α + k + ) = α + k α + k +, se obţine s n = α+ α+n+ Seria este convergentă şi are suma α+ 3) Pentru a evalua suma parţială de ordinul n plecăm de la identitatea: Derivând în raport cu x, avem: De aici, pentru x =, obţinem x α + x α + + xn α n = α n xn+ xα n x α α + x α + + nxn α n = nxn+ αn + )x n + α n+ α n x α) s n = n αn + ) + αn+ α n α) α α) Seria este convergentă şi are suma 4) Termenul general al şirului sumelor parţiale se descompune în fracţii simple astfel: 6k 8k 3 = 4 4k 3 ) 4k + ) 4n+ Seria este convergentă şi are Folosind această identitate se obţine s n = 4 suma 4 5) Şirul sumelor parţiale al acestei serii n s n = ln k + k k= are limita, deci seria este divergentă 6) Deoarece lim n n =, seria este divergentă = lnn + ) 7) Fie b n = n n+)! Atunci termenul general al seriei se scrie a n = n b n, iar n+)b n = b n Deci n n s n = a k = kb k = b b n ) = b n k= Dar b n deoarece seria şi are suma 8) Se observă că: n= n [5 + ) n ] n = n= k= n n+)! este convergentă Rezultă că seria este convergentă + 3 + 5 + ) + 3 + 3 4 + 3 6 + ) = 9 4

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 3 6 Să se arate că următoarele serii sunt convergente şi să se determine sumele lor: ) n= ) n+ 3 n ) n= n + ) n+ 5 n 3) n= 4n R: ) Serie geometrică cu raţia 3 şi suma 4 ) Serie geometrică cu suma 5 6 3) Serie telescopică cu suma 6 Să se calculeze sumele următoarelor serii, ştiind că termenii şirului a n ) formează o progresie aritmetică cu a > şi raţia r > : ) n= a n a n+ ) R: ) Pentru orice n N, avem: Se obţine o serie telescopică ) şi 3) Analog, avem: n= a n a n+ = r a n a n+ a n+ = r a n + a n+ a na n+ a n a n+ a n+ 3) = r ) a n a n+ n= a n a n+ a n+ a n+ a ) n a n+ a n + a n+ a na n+ 63 Să se arate că: ) 3 n sin 3 x 3 n = 4 x sin x) ) n tg n x = ctg x x n= R: ) Multiplicăm identitatea sin 3θ = 3 sin θ 4 sin 3 θ cu 3 n şi luăm θ = x 3 n Obţinem: 3 n sin 3 x 3 n = 4 n= ), 3 n sin x 3 n 3n sin x 3 n ) Punem a n = 3n 4 sin x 3 n Atunci s n = a n+ a şi lim s n = x sin x) n 4 ) Multiplicăm identitatea tg θ = ctg θ ctg θ cu n şi luăm θ = n x Obţinem: n tg n x = n ctg n x n+ ctg n+ x 64 Să se calculeze suma seriei arctg n + n + n=

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 33 R: Din arctg x arctg y = arctg x y + xy, n + n + = n n+ + n n+ rezultă că a n = arctg n arctg n+ şi deci s n = arctg arctg n+ π 4 65 Să se arate că: p= n= n p = R: Seria p + 3 p + + n p + este convergentă pentru orice p, deci Dar şi p= n= p= n= n p = n n n= n p = = n= p= n p nn ) = n n n ) = lim n n n = 66 Să se arate că următoarele serii sunt divergente: n n ) ) n + 3) n + 3 n n+ + 3 n+ 4) n= n= n + n 5) n= n= n + n 67 Să se studieze natura seriei: a n + a n b) + a n b), a, b R + adică Deci n= R: Deoarece termenul general al seriei se poate scrie, pentru a : a n = a n = a n a n a + a n b) + a n b) = b a) ) b a) + a n b + a n b n= a n + a n b) + a n b) =, s n = ba )b+), + a n b) + a n b) + a n b) + a n b), b a) + a n b + b a, ),, a =,, a, ) a)+b), )

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 34 5 Serii cu termeni pozitivi 68 Fie a n ) un şir de numere pozitive Să se arate că seria a n este convergentă dd seria a n +a n este convergentă a R: Deoarece n +a n a n, dacă seria a n este convergentă atunci şi seria a n +a n este convergentă Dacă seria a n a +a n este convergentă, atunci n +a n, deci a n Deci pentru n suficient de mare, a n Atunci a n an +a n Deci seria a n este convergentă 69 Seria n, α R, numită seria lui Riemann sau seria armonică generalizată α n= este: - convergentă pentru α > ; - divergentă pentru α R: Într-adevăr, dacă α, seria este divergentă deoarece şirul termenilor ei nu cunverge la zero Dacă α >, şrul cu termenul general a n = n este descrescător şi deci seria lui α Riemann are aceeaşi natură cu seria n n= n ) α = n= ) n α, care este o serie geometrică cu raţia q = α >, convergentă dacă q = α <, adică α >, şi divergentă dacă q = α, adică α n n+ 7 Să se arate că seria cu termenul general a n = n ) este convergentă R: Avem: lim n n an = lim n n 7 Să se arate că seria n= n + n ) n = lim n n! este convergentă n + n = < R: Într-adevăr: a n+ n! = a n n + )! = n + <, n Suma acestei serii este e =, 7888 7 Să se arate că seria n= n n+)! este convergentă şi şa se precizeze numărul de termeni necesar pentru a obţine suma seriei cu o eroare mai mică de,

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 35 R: Aplicăm criteriul raportului cu limită a n+ lim = lim n a n n n + = <, deci seria este convergentă Deoarece a n+ a n = n+ 3, pentru n 4, restul de ordinul n r n = s s n = a k a n 3 + ) 3 + = a n = n n + )! < 3, pentru n 9 k=n+ 73 Să se stabilească natura seriei: + ln 3 + + ln 3 n + ln n R: Deoarece n ln n < n n, pentru n, avem că n ln n > n n Dar seria n n este divergentă 74 Să se stabilească natura seriilor: 7n ) n + 3n + 5 ) n= n= n n n 3) n= a n + n, a > R: ) Seria este convergentă ) Se aplică criteriul comparaţiei cu limită Se compară cu seria Deoarece lim n n =, seria este divergentă 3) Pentru a >, cum a n +n < n a, seria este convergentă Pentru a = seria dată este seria armonică Pentru n a < se aplică criteriul comparaţiei cu limită Se compară cu seria armonică Deoarece lim =, seria este divergentă n a n +n 75 Să se stabilească natura seriilor: ) n + a + +a + a n ) ) n= n= a n n n!, a > R: ) Pentru a, + a + +a + a n n + > n Rezultă că n + a + +a + a n ) < n şi deci seria este convergentă Pentru < a < se aplică criteriul comparaţiei cu limită armonică Deoarece lim n + a + +a + a n = lim n a = a, an+ Se compară cu seria seria dată este divergentă ) Deoarece n n!, avem că n an n! a n De aici, pentru a <, deducem că seria este convergentă Din n n! n n n = n, obţinem că n an n! an n Dar, pentru a, seria a n n este divergentă Rezultă că seria dată este divergentă

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 36 76 Să se stabilească natura seriilor: ) n= n n ) n= arctg n n 3) n= n ) + n n R: Se aplică criteriul rădăcinii cu limită Seriile sunt convergente 77 Să se stabilească natura seriilor: ) n ) a n + n + n ) n= n= a n + n) n R: Se aplică criteriul rădăcinii cu limită Pentru a < seriile sunt convergente, pentru a >, seriile sunt divergente Pentru a =, şirurile termenilor au limita e, deci seriile sunt divergente 78 Să se stabilească natura seriei: n= ) n n + a n, a > n R: Se aplică criteriul rădăcinii cu limită Pentru a < e a > e, seria este divergentă Pentru a = e, seria devine: seria este convergentă, pentru n= e n n + n ) n Din e < + n) n+, obţinem: de unde lim n e n e n n + n + Rezultă că seria dată este divergentă n n ) n 79 Să se stabilească natura seriilor: ) n= ) n lim n > ) + n, n + n n n ) n arcsin π n n= ) n = e > 3) n= n! n n 4) n= n tg π n+ R: Se aplică criteriul raportului cu limită Seriile sunt convergente

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 37 8 Să se stabilească natura seriilor: ) n= 7 5n 3) 5 9 3 4n + ) ) n= 3 5 n ) 5 8 3n ) R: Se aplică criteriul raportului cu limită ) Serie divergentă ) Serie convergentă 8 Să se stabilească natura seriilor: a n ) ) a ln n, a > n! n= n= R: ) Se aplică criteriul raportului cu limită Seria este convergentă ) Criteriul raportului dă dubiu Aplicăm criteriul lui Raabe-Duhamel Se obţine λ = ln a Seria este convergentă pentru a < e şi divergentă pentru a > e Pentru a = e se obţine seria armonică, deci divergentă 8 Să se studieze natura seriei cu termenul general a n definit astfel: a, ), a n+ = a n, pentru n R: Fie f : R R, definită prin fx) = x x Deoarece f x) = x ln şi f x) = pentru x = lnln ), avem tabloul de variaţie: x lnln ) f x) + + fx) m Deci fx) < pentru orice x, ), de unde x < x +, x, ) Arătăm, prin inducţie, că a n, ) Avem că a, ) Presupunem că a n, ) Dar a n+ = a n > = şi a n+ = a n < = Apoi: a n+ a n = an a n <, deci este un şir descrescător şi mărginit Fie l = lim a n Rezultă că l l =, cu rădăcinile şi Deoarece a n ) este descrescător, urmează că l = Putem deci scrie: a n+ an x lim = lim = lim = ln < n a n n a n x x şi conform criteriului raportului seria este convergentă 83 Să se stabilească natura seriei: [ ] αα ) α n + ) n + ), α R \ Z α + )α + ) α + n + ) n= R: Criteriul raportului dă dubiu Aplicăm criteriul lui Raabe-Duhamel Deoarece λ = 4a + 3, dacă α > seria este convergentă, dacă α < seria este divergentă, dacă α = seria devine: 4 n + care este divergentă n=

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 38 84 Să se stabilească natura seriei: n= 5 9 4n 3) 3 7 4n ) R: Criteriul raportului şi criteriul lui Raabe-Duhamel dau dubiu Aplicăm criteriul lui Bertrand: [ ) ] an ln n lim n ln n = lim n a n+ n 6n + 8n + = <, deci seria este divergentă 85 Să se stabilească natura seriilor: ) n= n)! 4 n n!) ) n= 4 6 n) 3 5 n ) n + 3) n + ) lg n n + ) 4) n= 5) n= n= n ln n 6) ) n αn + β, α, β, γ, δ > γn + δ n= n ln n) ln ln n) 86 Să se stabilească natura seriilor: ) n= n! n p, p, q N q + ) q + ) q + n) 4) ) n= n= 3) n! α α + ) α + n ), α > n= cos αn) ln n n, α R α + ) α + ) nα + ), α, β > β + ) β + ) nβ + ) 87 Să se stabilească natura seriei: n= n! aa + ) a + n )bb + ) b + n ), cc + ) c + n ) cu a, b R, c R \ Z, numită seria hipergeometrică

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 39 R: Începând de la un rang N care depinde de a, b şi c, termenii seriei au acelaşi semn şi deci putem presupune că seria este cu termeni pozitivi Avem: cu a n = + + c a b + θ n a n+ n n, θ n = [c ab a + b) + c a b)] n3 ab + c a b) n nn + a)n + b) Şirul θ n ) este convergent, deci mărginit Conform criteriului lui Gauss, pentru c > a + b seria este convergentă, iar pentru c a + b seria este divergentă 88 Să se stabilească natura seriei: α α + ) α + n ) β β + ) β + n ) xn, α, β, x > n= R: Se aplică criteriul raportului cu limită Pentru x, ) seria este convergentă, pentru x, ) seria este divergentă Pentru x = seria este convergentă dacă b > a + şi divergentă dacă b a + 89 Să se stabilească natura seriei: n! b n b + a ) b + a ) nb + a n ), n= unde b >, iar a n ) este un şir de numere reale pozitive, convergent către a cu a b 6 Serii cu termeni oarecare 9 Să se arate că dacă a n este o serie convergentă, atunci seria a nn este absolut convergentă R: Din [ ] a n n deducem că a n ) n a n + n Deoarece a n şi n sunt convergente, conform primului criteriu de comparaţie rezultă că seria a n n este convergentă 9 Să se arate că seria sin nx n α este convergentă pentru α > R: Pentru α >, şirul α n = n α s n = n k= este monoton descrescător la zero, iar sin kx = sin x pentru x kπ, cu k număr întreg De unde, adică s n ) este mărginit sin nx s n sin x, n + )x sin,

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 4 9 Să se studieze natura seriei n= R: Pentru x R, şirul α n = x +n cos nπ 3 x + n, x R este monoton descrescător la zero, iar s n = n k= cos nπ 3 = sin π 3 sin nπ 3 n + )π cos, 3 cu s n 3, deci mărginit Seria este convergentă 93 Să se arate că seria armonică alternată + 3 4 + + n n + este convergentă şi să se determine suma sa R: Şirul n ) este monoton descrescător la zero După criteriul lui Leibniz seria este convergentă Pentru calculul sumei folosim identitatea lui Catalan-Botez: + 3 4 + + n n = n + + n + + + n, care, dacă notăm a n = + + 3 + + n, revine la: a n a n ) = an a n Rezultă că: lim s n = n n + + n + + + ) dx + n = = ln n n + x 94 Să se arate că seria armonică generalizată sau seria lui Riemann) alternată ) n+ n= în care < α este simplu convergentă R: Şirul n ) cu α > este monoton descrescător la zero După criteriul lui Leibniz α seria este convergentă Pentru α > seria este absolut convergentă În concluzie, pentru < α seria lui Riemann alternată este simplu convergentă n α 95 Să se stabilească natura seriilor: ) ) n sin n ) n= n= ) n arctg n R: Serii alternate convergente

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 4 96 Să se stabilească natura seriilor: ) n= sin π ) n + ) n= cos nα n, α R R: ) a n = sin [ π n + n ) + nπ ] = ) n sin π n + n ) şi se aplică criteriul lui Leibniz cos nα ) Deoarece n < n, seria este absolut convergentă 97 Să se stabilească natura seriei: + + + ) sin nθ n n n= 98 Să se studieze convergenţa absolută şi semiconvergenţa seriei: ) n+ n sin n x n + n= R: Pentru studiul absolutei convergenţe folosim criteriul rădăcinii Avem: n sin x lim an = lim n n n = sin x n + Pentru sin x < seria este absolut convergentă şi deci convergentă Pentru sin x = obţinem seria armonică alternată care este simplu convergentă Pentru sin x >, termenul general al seriei nu tinde la, deci seria este divergentă 99 Să se efectueze produsul în sens Cauchy al seriilor absolut convergente n!, ) n n! n= şi să se deducă de aici suma ultimei serii n= R: Seria produs c n are termenul general c n = a b n +a b n + +a n b +a n b, n= adică c =, iar, pentru n : c n = )n n! = )n n! +! )n n )! +! )n n )! + n )!! + n! = [ n n n ) + + + ) n n ]!!! + )n = )n ) n = n! Deci seria produl are suma egală cu Cum rezultă că ) n n! = e n= n= n! = e, după teorema lui Mertens,

CAPITOLUL ŞIRURI ŞI SERII 4 Să se efectueze produsul în sens Cauchy al seriilor n= ) n 3, + n= ) n 3 n + ) n+ R: Ambele serii sunt divergente deoarece ternenii lor generali nu tind la zero Seria produs c n are termenul general n= 3 c n = 3 = ) n n + n+ ) 3 ) n [ n n + + ) + n+ ) n 3 n + n n + + ) ) 3 ] = ) n 3 = ) n 3 4 Se observă că seria produs este convergentă, fiind seria geometrică cu raţia q = 3 4 < Rezultă de aici că ipotezele teoremei lui Mertens sunt suficiente dar nu şi necesare

Capitolul 3 Limite de funcţii 3 Limita unei funcţii reale de o variabilă reală 3 Să se calculeze: 3 Să se calculeze: x + ) ) lim x x + ) lim x 3 x + x + x 7x + x + h) 3 x 3 3) lim x 5 x 4) lim 5 h h + x 3 5 + x 5) lim x 3 6) lim + x x 4 5 x sin 5x ) lim ) lim x sin x x a tg πx 3) lim x x + 4) cos x cos a x a ) x x x + lim x 5) lim x + sin x) x 6) lim x cos x) x 33 Să se arate că funcţia f : R\ {} R, definită prin nu tinde către infinit când x fx) = x cos x R: Pentru şirul x n = π +nπ, fx n) = şi deci tinde la 34 Să se arate că funcţia f : R R, definită prin fx) = sin x, nu are limită pentru x 43

CAPITOLUL 3 LIMITE DE FUNCŢII 44 35 Să se determine α R aî funcţia f :, ] R, definită prin { α αx ln ex) + x fx) =, x, ), α + x e, x [, ], să aibă limită în punctul x = 36 Să se arate că: ) lim x x k = ) ex lim ln x x x k =, k N 37 Să se cerceteze dacă funcţia f : R R, definită prin fx) = [x], are limită în punctul x = 38 Să se calculeze: ) lim x ) lim x x x + 3 x 3x + 6) lim x 3) lim x cos x ) x+ ) lim + sin x ) 3 x 3) lim x ln + arcsin x) x sin 3x e sin x e sin x x x + 6 x 4) lim 5) lim + x 6 x sin x sin x x 3 x 4x + 3 3 x3 5x + 3 x + 3x 9 x + 4 3 x + x 7) lim + x 6 x 5 4 x + 3 + x 4 x arcsin x arctg x 8) lim x x + x 9) lim x x 3 ) arcsin x π ) x ) lim x cos x 3 cos 3x x p α x + p α x 5) lim x n 6) lim x x ctg x + + p α nx n ) lim x x x ln x + x ) 4) lim [ + ln + x) + + ln + nx)] x x ) x, pi >, α i R a sin x + b tg x ) x, a, b > R: ) e ) e 6 3) 3 4) 5) 3 6) 7 3 7) 7 8) 9) ) ) 3 ) Se ia x = y, y, limita este nn+) 3) 3 4) e 5) n p α pα pα n n 6) ab 39 Să se determine parametrul real α aî să fie finită şi nenulă lim x x + x + + 3 x 3 + x + x + ax),