Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VII-a Subiectul I Să se demonstreze că există un punct M în interiorul unui triunghi ABC astfel încât triunghiurile ABM, BCM şi CAM au arii egale si că M este unicul punct cu această proprietate. Subiectul II 1 1 1 1 1 1 Să se demonstreze că numerele x= 1 + + +... + şi y= 1 + + +... + au 3 100 3 00 părńile fracńionare diferite. Subiectul III MarŃienii sunt roşii, verzi sau albaştri. Ei pot avea între şi 5 mâini şi de la 3 la 0 de antene. Care este numărul minim de marńieni necesar pentru ca să avem certitudinea că pot fi selectańi 11 marńieni identici? Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore.
Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VIII-a Subiectul I Să se demonstreze că au loc relańiile: a) ( a + 1 )( b + 1) ( ab + 1 ) 1 1 b) + + + + + 1 1 1 1 1 1 a + b + c + d a b c d a b c d b c d a pentru orice numerele reale strict pozitive a, b, c, d. Subiectul II Un purice este aşezat într-un un punct P(x,y) al unui plan, unde x şi y sunt coordonatele carteziene ale unui sistem xoy fixat. Acesta poate alege un punct A(a,b) din plan, unde a, b Z, poate afla punctul Q, simetricul lui P fańă de A, şi poate sări în Q numai dacă PQ 6. Se cere: a) Să se indice o succesiune de sărituri ale puricelui pentru a ajunge în originea sistemului de coordonate, dacă acesta pleacă din P(100,60). b) Există un număr de sărituri ale puricelui, mai mic decât 3, pentru a ajunge în originea sistemului de coordonate, dacă acesta pleacă din P(100,60)? c) Poate ajunge în origine dacă pleacă din P(008,007)? Subiectul III Se consideră punctele A, B, C, D, necoplanare, şi M, mijlocul segmentului [BC]. Notăm cu U şi V punctele de intersecńie ale dreptelor CP cu AB şi respectiv BP cu AC, unde P ( AM ). Analog, se consideră X şi Y, punctele de intersecńie ale dreptelor CR cu BD şi BR cu CD, unde R ( MD) d) Să se studieze coplanaritatea dreptelor UV şi XY. DR AP e) Dacă, în plus, = să se studieze pozińia dreptei AD fańă de planul DM AM (XYV). Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore.
Clasa a VII-a Subiectul 1-Barem a) ExistenŃa: G -centru de greutate cu proprietatea dată...4p b) Unicitatea: Orice punct M cu proprietatea dată coincide cu G unic M este unic...3p Subiectul -Barem Presupunem prin reducere la absurd x = y x y = k Z...p ca { } { } 1 1 1 y x = + +... + = k... 101 1000 1p 1 1 1 1 1 1 k = + +... + < + +... +... 101 1000 100 100 100.1p 1 0 < k < 100 = 1... 100 Y..1p k Z contradictie....1p pp. falsa x y... { } { }..1p Subiectul 3-Barem Sunt 3 tipuri de marńieni după culoare Sunt 4 tipuri de marńieni după nr. de mâini Sunt 18 tipuri de marńieni după nr. de antene...p Sunt 3 4 18 tipuri de marńieni...p Pentru a putea avea sigur 11 marńieni identici numarul minim se calculează dupa formula 16 10 + 1 conform principiului cutiei...3p
Clasa a VIII-a Subiectul 1-Barem a) ( )( ) ( ) a 1 b 1 ab 1 a b ab...p b) + + + +... ( a + 1)( b + 1) ( ab + 1) ( b + 1)( c + 1) ( bc + 1) ( c + 1)( d + 1) ( cd + 1) ( d + 1)( a + 1) ( da + 1)......p a + 1 b + 1 c + 1 d + 1 ab + 1 bc + 1 cd + 1 da + 1... c) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )...p prin împărńire la abcd obńinem 1 1 1 1 1 1 1 1 a + b + c + d + a + b + c + d + a b c d b c d a......1p Subiectul -Barem a)din P( 100, 60) ajunge în P1 ( 40,0 ) în 15 salturi, din P1 ( 40,0 ) ajunge în P ( 4,0) în 6 salturi, din P ( 4,0) ajunge în O( 0,0) într-un salt...p b) nr. minim de salturi este...p c) din P( x, y) ajunge într-un punct Q ( x + k, y + m), deci x + k are aceeaşi paritate cu x, la fel y + k are aceeaşi paritate cu y...1p deoarece P ( 008, 007), toate punctele în care puricele sare va avea coordonata y...1p nu ajunge niciodată în origine...1p Subiectul 3-Barem a)se demonstrează UV BC...3p analog se demonstrează XY BC UV XY XY si UV sunt coplanare...1p
b) DR = AP = k DM AM AV = PA BM = k VC MP CB k 1 ( ) DY = RD BM = k YC MR CB k 1 ( ) (teorema lui Menelaus în (teorema lui Menelaus în DMC )...p AV DY AD VY VC = YC (reciprocă teorema lui Thales) VY XYV şi ( ) ( ) ACM ) AD VY AD XYV...1p