odulaţia PA Def.: Frecvenţa de imbol în ranmiiile numerice frecvenţa de imbol (au frecvenţa de emnalizare ee daă de numărul de variaţii (daoriă proceului de modulare pe uniae de imp (ecundă a paramerului modula. - Un imbol poae ă ranpore în general n biţi coniderând că frecvenţa cu care oec biţi la inrarea modulaorului ee fbi duraa unui imbol (noa cu ee daă de relaţia (. Perioada de imbol mai poae fi definiă şi ca inervalul minim de imp pe duraa căruia paramerul modula rămâne nemodifica (paramerul modula ee conan pe duraa în cazul modulaţiilor cu al de ampliudine (AK şi frecvenţă (FK, şi are o variație liniară în cazul modulaţiei cu al de fază (PK. n nbi ( fbi Deci frecvenţa cu care rebuie modifica paramerul modula (frecvența de imbol -noa cu f va fi: fbi f n ( Dacă pe un imbol un mapaţi n biţi, paramerul modula poae lua una dinre cele = n valori diince. Rolul funcţiei (blocului de mapare ee ă aocieze la fiecare combinaţie de n biţi o anumiă valoare a paramerului modula. Regula de aociere ale valorilor paramerului modula la cuvine binare ee cunocuă şi de recepor, iar funcţia de demapare realizează operaţiunea inveră a funcţiei de mapare, adică pe baza paramerilor recepţionaţi generează cuvinele binare (cu lungime n recepţionae. odulaţia numerică PA (Pule Ampliude odulaion. În cazul modulaţiei digiale PA, pe duraa celei de al k-lea perioadă de imbol (când e ranmie al k- lea cuvân binar forma din n biţi în canal e ranmie o eniune conană mk. Nivelul eniunii ranmie în canal, mk, poae lua una dinre cele = n valori permie. Valorile permie un elemene al mulţimii. ulţimea e mai numeşe şi alfabeul de inrare a canalului. Coniderând că valoarea maximă ranmiă ee A şi impunând ca diferenţa de eniune dinre oricare două elemene învecinae rebuie ă fie conană, elemenele mi ale mulţimii un definie de relaţia: n mi i A i,,, ( unde ee dianţa minimă înre oricare două elemene ale mulţimii şi valoarea lui A penru condiţiile de mai u ee: A A ( n În Figura. ee prezenaă un exemplu de emnal PA, şi funcţia (abelul de mapare uilizaă, penru iuaţia când n= şi =V. 7 - - - [] biii -7 - - - 7-7 Figura. Exemplu de emnal PA, şi abelul de mapare Dacă coniderăm că nivele modulaoare dae de relaţia ( apar cu aceeaşi probabiliae, puerea medie a emnalelor PA ee daă de relaţia (. Relaţia e obţine uilizând valorile umelor
primelor numere naurale şi ale păraelor aceora [na]: ( i A i PmPA Expreia maemaică a emnalului modula ee: PA k k ( m u k (6 unde u( ee un impul reapă-uniae cu duraa de o perioadă de imbol,, şi ee decriă de (7. u (7 Dacă coniderăm că emnalul modula poae lua nivele de eniune, iar daele modulaoare un aleaoare, aunci nivelul emnalului modula ee o variabilă aleaoare de medie mm şi diperie σm. În ace caz, deniaea pecrală de puere a emnalelor PA ee daă de relaţia, [proa], [fuqin]: f ( f kf in in f f PA ( f m mm ( f kf f (8 ( f kf k f f Dacă e impune condiţia ca media nivelelor modulaoare ă fie nulă, mm =, adică nivelele modulaoare ă aibă valori imerice faţă de V, aunci deniaea pecrală de puere a emnalelor PA ee exprimaă numai de primul ermen al relaţiei (8, şi ee reprezenaă în Figura. (.. A(f.. 6 7 f/f Figura Deniaea pecrală a emnalului PA emnalul modula PA reprezină variana în banda de bază a emnalului modula cu modulaţia cu al de ampliudine, AK(Ampliude hif Keying. emnalul AK e obţine prin înmulţirea emnalul PA cu o purăoare coinuoidală. Demodularea opimă a emnalelor modulae PA afecae de AWGN emnalul recepționa pe o perioadă de imbol, afeca de AWGN poae fi exprima ca: r m u k n m (9 k k k Deoarce mk ee conan pe duraa unei perioade de imbol și n( ee un emnal cu valoarea medie nulă, ee preferabil medierea emnalului pe o perioadă de imbol așa cum ee prezena în Figura. r( y( y(k Eșanionare în u (-k momene =k Figura. Demodulare PA cu inercorelaor
y r u k d mk u k n u k d m u k d n u k d k Ecuația ( ee de fap inercorelația dinre emnalul recepționa și impulul uniae u K. Eșanionând emnalul în momenele =k obținem: y k m n ( k k ermenul de zgomo n ee un zgomo cu diribuție Gauiană nk nu k d ( Coniderând că deniaea pecrală de puere a zgomoului din canal ee N, diperia zgomoului nk va fi: n k P n d n u k d d N u k d N Probabiliaea de eroare a modulaţiei PA. e preupune că emnalul recepţiona ee afeca de un zgomo gauian de medie nulă şi diperie. Expreia emnalului recepţiona ee: r n ( PA PA Afel, probabiliaea condiţionaă ca emnalul ă aibă valoarea r în momenul de ondare, dacă -a emi nivelul mi ee: r m i pr mi exp ( Diribuţiile deniăţilor de probabiliae penru cele nivele emie şi afecae de zgomo, precum şi valorile celor - praguri de decizie, un prezenae în Figura. ( (...7. Pragurile de decizie Probabiliaea de ranmiie a nivelului mk Zonele de decizie p(r m p(r m p(r m p(r m p(r m p(r m p(r m 6 p(r m 7. -7 - - - r 7 Figura Diribuţiile deniăţilor de probabiliae ale emnalului PA recepţiona, pragurile şi zonele de decizie Deoarece imbolurile decie e obţin pe baza dianţei euclidiene minime dinre nivelele permie şi nivelul recepţiona, de aceea, probabiliaea de eronare a unui imbol ee egală cu probabiliaea de apariţie a unui emnal de zgomo afel încâ nivelul recepţiona ă fie mai aproape de un nivel permi alul decâ cel ranmi pe acea perioadă de imbol. Dacă pe o perioadă de imbol e ranmie nivelul mk cu probabiliaea Pmk, aunci probabiliaea de eronare a unui imbol ee: e mk k k, k p P p r m A N (6
unde N ka, reprezină numărul de nivele permie care e află la dianța euclidiană față de nivelul mk Dacă daele modulaoare un aleaoare, aunci nivelele ranmie un echiprobabile, adică P mk Dacă nivelele ranmie repecă ecuația (, aunci ecuația (6 poae fi recriă în felul urmăor: pe p r m p r m p r mk k p r mi Înlocuind ( în (7, obţinem probabiliaea medie de eroare de imbol: r m k ( pe exp d r m ( k Q (8 unde Q( u exp du (9 Funcţia Q( poae fi decompuă în erie aylor u - e Q( = erfc( e du - + - ( Penru valori relaiv mari al argumenului, funcţia Q poae fi aproximaă cu primul ermen al decompunerii în erie aylor. Probabiliaea de eroare de imbol poae fi exprimaă şi în funcţie de puerea medie a emnalelor, ţinând con de relaţia (: P mpa pe Q (7 (
Filrarea emnalelor de dae Neceiae - unul din efecele limiării benzii unui impul recangular de perioadă, daoriă filrării, ee exinderea a în imp, care conduce la apariţia inerferenţei inerimbol (Iner-ymbol Inerference - II. 6 7 8 9 / 6-6 7 8 9 / 6-6 7 8 9 / Figura Filrarea rece jo a impulurilor. a. nivele de inrare. b. impulurile individuale filrae. c. emnalul original i emnalul filra - dacă ak ee impulul ce apare în cea de a k-a perioadă de imbol, x( ee răpunul la impul al filrului, iar τ ee înârzierea inroduă de filru, aunci emnalul la ieşirea filrului ee: n ki k k i ( y( a x k i a x k a x k i i-n i-n i - din ( rezulă că impulul filra are un lob principal ak şi o erie de lobi laerali aki, care apar în perioadele de imbol anerioare, i <, şi în cele ulerioare, i > aceşi lobi laerali afecează imbolurile ranmie pe duraa perioadelor de imbol repecive. Ampliudinile lobului principal şi cele ale lobilor laerali depind de expreia răpunului la impul al filrului foloi. Crieriile de filrare ale lui Nyqui - penru a reduce efecele diorionane ale II aupra emnalului filra, răpunul la impul al filrului va rebui ă fie nul la momene de imp bine definie, numie momene de ondare, cu excepţia unuia, numi momen principal de ondare. - Nyqui a arăa că, penru a ranmie imboluri cu perioadă, înr-o bandă de frecvenţă [, fn] cu II = în momenele de ondare(unde fn = /( = f/, impulurile rebuie filrae cu un filru ce are caraceriica de frecvenţă şi răpunul la impul definie de relaţiile ( şi, repeciv, (. - caraceriica de frecvenţă şi răpunul la impul un prezenae în Figura 6 şi Figura 7. N X( = ( > N in x( = ( n
X(ω x(. ω N Figura 6 Caraceriica filrului Nyqui ideal ω -. - - - - / Figura 7. Răpunul la impul al filrului Nyqui ideal - aceaă caraceriică ee numiă caraceriica Nyqui ideală, deoarece nu ee realizabilă - răpunul la impul al filrului Nyqui ideal e anulează o daă în fiecare perioadă de imbol, la mijlocul aceeia (momene de ondare, cu excepţia unei perioade de imbol, în care impulul filra îşi ainge valoarea nominală la momenul de ondare. - daoriă aceei proprieăţi, impulul filra nu va afeca, în momenele de ondare, valorile impulurilor ranmie în perioadele de imbol anerioare şi ulerioare, aigurând afel o II nulă în momenele de ondare. - penru a obţine o caraceriică de filrare realizabilă rebuie ă relaxăm una din condiţiile impue de filrarea Nyqui ideală cele rei poibiliăţi de relaxare un: a mărirea lărgimii de bandă (LB a caraceriicii de filrare Nyqui b acceparea unei II nenule, conrolae c căderea debiului de imbol, adică a lui f - îndeplinirea condiţiei a conduce la primul crieriu de filrare a lui Nyqui - îndeplinirea condiţiei b conduce la al doilea crieriu de filrare a lui Nyqui e obţin afel aşa numiele ehnici cu Răpun Parţial (PR - îndeplinirea condiţiei c nu ee luaă în coniderare deoarece conduce la căderea debiului binar. Primul crieriu de filrare al lui Nyqui. Caraceriica în coinu ridica (Raied-Coine RC - caraceriica de frecvenţă a aceui filru ee daă de (, unde prin α -a noa facorul de exce de bandă - roll-off facor - acea ee raporul dinre banda uplimenară de frecvenţă inroduă şi banda minimă neceară, care e egală cu fn. - modulul caraceriicii ee prezena în Figura 8 penru α = (caraceriica ideală aproximaiv,, şi. - deoarece expreia a ee un coinu păra aceaă caraceriică e numeşe coinu ridica - raied coine (RC. - caraceriica ideală X(ω (, care nu neceiă un exce de bandă e obţine făcând α in (. N( ( N in ( X ( co N, N ( N N expreia ( ee o caraceriică de ip rece-jo - expreia caraceriicii RC rece-bandă, cenraă pe frecvenţa purăoare fp, e obţine înlocuind în ( ω cu (ω ωp. 6
X (.8.6. = =. =. =.7 = x (/.8.6.. = =. =. =.7 =. -. Figura 8 Caraceriicile de frecvenţă ale filrelor RC - banda de recere a emnalului filra B ee: B p N p N (6 - răpunul la impul al filrului RC ee defini de relaţia (7, reprezenaă în Figura 9 p. α =.. in co x ( = (7 - - comparând expreiile ( şi (7 au Figura 7 şi Figura 9, rezulă că lobii laerali ai răpunului filrului cu banda exină un enibil mai mici decâ cei ai răpunului filrului ideal aceaa daoriă celui de al doilea facor din (7, facor genera de banda de frecvenţă uplimenară uilizaă. - aenuarea lobilor laerali creşe odaă cu creşerea facorului de exce de bandă. - dacă = k-/ ee conidera începuul perioadei de imbol, aunci momenul de ondare ee înârzia cu / şi apare la mijlocul perioadei de imbol deci momenele de ondare un = k. - omenele de ondare au aceleaşi proprieăţi ca şi cele decrie la filrul Nyqui ideal... f/ N -. - - - - / Figura 9 Răpunul la impul al filrelor RC 6 7 8 9 / - 6 7 8 9 / - 6 7 8 9 / Figura Filrarea rece jo a impulurilor cu un filru Nyqui. a. nivele de inrare. b. impulurile individuale filrae. c. emnalul original i emnalul filra Caraceriica de filrare radical din coinu ridica - Roo-Raied Coine (RRC - penru a aigura cele mai bune performanţe în prezenţa zgomoului, caraceriica de filrare RC ee reparizaă în mod egal înre emiie şi recepţie. - aceaa implică filrarea emnalului, aâ la emiie câ şi la recepţie cu caraceriicile GE şi GR, care un egale cu Xα /, vezi (8. 7
X ( = GE( GR( / GE( = GR( = X ( (8 GE( = GR( - dacă filrul de la recepţie ee plaa înainea demodulaorului, la inrarea aceuia, emnalul ee filra cu produul GEGR, adică cu o caraceriică RC. - implemenarea unei caraceriici RC ee echivalenă cu implemenarea a două caraceriici RRC, fie ele de ip J au B. - expreia maemaică a caraceriicii RRC ee daă de (9 şi reprezenaă în Figura.8 = =. =. =.7 =...8 = =. =. =.7 = X / ( / N.6. x alfa (/.6... -... / N Figura. Caraceriicile de frecvenţă ale filrelor RRC N ( / ( X ( co [ N(, N( ] (9 N N ( - aceaă caraceriică mai ee denumiă şi caraceriica în coinu. - caraceriica definiă în (9 ee una J - cea B-RRC e obţine imilar cu caraceriica RC, iar banda emnalului filra ee exprimaă o de (6 - răpunul la impul al aceei caraceriici ee defini de ( şi ee prezena în Figura. (- in + hr(= + co - ( Reţineţi că: răpunul la impul al filrului RRC, α >, nu are valori nule în momenele de ondare ampliudinea emnalului filra ee mai mare decâ în momenul principal de ondare ampliudinea emnalului filra, în ace momen, creşe cu creşerea lui α. - ampliudinile lobilor laerali cad cu creşerea lui α. - deşi emnalul filra ranmi în canal are II nenulă în momenele de ondare, emnalul de la inrarea demodulaorului are II= în acee momene, daoriă filrării RRC efecuaă în recepor, adică răpunul global la impul ee (, aigurându-e II= în oae momenele de ondare. ranmiia PA în canal AWGN cu bandă de frecvență limiaă Limiarea benzii de frecvență a emnalului PA ee echivalen cu înlocuirea impulului uniae u(-k cu variana lui filraă rece jo cu filru formaor de la emiie de exemplu hrα(-k dacă e doreșe filrarea cu caraceriica RRC. expreia emnalului PA cu banda de frecvență limiaă devine: m hffe k ( PA k k emnalul recepționa din canal cu AWGN poae fi exprima ca: -. - - - - / Figura Răpunurile la impul ale filrelor RRC 8
r m hffe k n ( PA k k penru a reduce puerea zgomoului la recepție emnalul rebuie filra cu un filru care are banda de recere mai mare au egal cu banda de frecvență a emnalului uil. Expreia emnalului la ieșirea aceui filru ee: k hffe hffr hffr ( k y m k k n k noând cu h k hffe k hffr k răpunului la impul a filrului echivalen obținu din concaenarea filrului formaor de la emiie cu filrul formaor de la recepție, și cu w n hffr k zgomoul filra cu filru formaor din recepor, relația ( poae fi recri ca: k ( k y m h k w emnalul filra ee onda (eșaniona în momenele =n, y yn m hn k wn ( n k k Dacă filrele formaoare de la emiie repeciv de la recepție un alee afel încâ filrul echivalen obținu din concaenarea lor ă fie un filru Nyqui aunci pe baza (7 puem crie ca: k n hn k (6 k n și: yn mn wn (7 Dacă zgomoul din canal are deniaea pecrală de puere N puerea zgomoului filra va fi: n FFR FFR P w d n h k d d N h k d N E În cazul filrelor RRC coeficienul E ee egal cu, deci diperia zgomoului va fi idenică cu diperia zgomoului nefilra. În acee condiții performanțele în prezența AWGN rămân același ca și în cazul ranmiiei cu bandă de frecvență nelimiaă. chema lanțului de ranmiie ee prezenaă în Figura. Dae Referințe: PA( CP apare FFE ( n( r( FFR y( y(n yn* Recuperare ac de imbol Figura. chema bloc a unei ranmiii PA cu banda de frecvență limiaă John G Proaki, aoud alehi, Fundamenal Of Communicaion yem Prenice Hall Fuqin Xiong, Digial odulaion echnique (Communicaion/Neworking nd Revied ediion, Arech Houe, 6 imon Haykin Communicaion yem h ediion, John Wiley & on, Bernard klar, Digial Communicaion, fundamenal and Applicaion Prenice Hall, ondare Decizie Demap CP f (8 Dae* 9