MD.09. Teoria stabilităţii 1

MD.09. Teoria stabilităţii 1

Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale, orbită. Teoria ecuaţiilor diferenţiale (a sistemelor diferenţiale) se ocupă cu găsirea soluţiilor acestora, precum şi cu studiul proprietăţilor acestor soluţii. Deci problemele principale în teoria ecuaţiilor şi sistemelor diferenţiale sunt: - teoremele de existenţă şi unicitate; - dependenţa de condiţii iniţiale; - prelungirea soluţiilor; - stabilitatea soluţiilor. Cum primele probleme au fost studiate, abordăm acum probleme legate de stabilitatea soluţiilor. Noţiunea de soluţie stabilă a unui sistem difetenţial a fost definită de H. Poincaré şi A.M. Liapunov. Fie sistemul diferenţial x = F (t, x). Presupunem că sunt indeplinite condiţiile teoremei fundamentale de existenţă şi unicitate a soluţiei problemei Cauchy pentru t [t 0, ) si x U, U deschis din R n. Deci pentru orice x 0 R n există şi este unică o soluţie x = x(t), x: [t 0, ) U astfel încât x(t 0 ) = x 0. Definiţie. Soluţia x = x(t) a problemei Cauchy anterioare se numeşte stabilă spre + daca variind suficient de puţin data iniţială x 0, soluţia corespunzătoare cu x(t 0 ) = x 0 variază şi ea puţin. Mai precis, pentru orice ε > 0 există δ (ε) > 0 astfel incăt pentru orice x 0 R n cu proprietatea că x 0 x 0 < δ (ε), rezultă că soluţia x = x (t) cu data iniţială x 0, x (t 0 ) = x 0, are proprietatea că x (t) x(t) < ε pentru orice t [t 0, ).

MD.09. Teoria stabilităţii 3 Altfel spus soluţia x va fi stabilă, dacă pentru orice soluţie x, vecină la momentul iniţial t 0, rămâne vecină şi pentru orice t > t 0. Deci x = x(t), cu condiţia iniţială t 0, este stabilă (spre + ) dacă pentru o variaţie suficient de mică a datei iniţiale soluţia corespunzătoare are graficul situat într-un tub oricât de mic in jurul lui x(t). În caz contrar, soluţia x se va numi instabilă. Dacă x este o soluţie stabilă şi in plus: lim t x (t) x(t) = 0 atunci x va fi numită o soluţie asimptotic stabilă. Observaţii. 1. Cazul stabilitaţii spre se studiază similar (sau se face schimbarea de variabiă independentă t = s). 2. Putem modifica sistemul diferenţial cu unul echivalent astfel încât stabilitatea unei soluţii să se reducă la stabilitatea soluţiei banale (nule). Într-adevăr, dacă studiem stabilitatea soluţiei x = ϕ(t) a sistemului x = F (t, x), făcând schimbarea x(t) = ϕ(t) + z(t), rezultă: ϕ + z = F (t, ϕ + z), adica z = F (t, ϕ + z) ϕ = F (t, ϕ + z) F (t, ϕ). Dacă notăm G(t, z) = F (t, ϕ + z) F (t, ϕ) avem z = G(t, z) şi G(t, 0) = 0 iar soluţiei x = ϕ(t) ii corespunde soluţia z = 0. Exemple. 1. Să se studieze stabilitatea soluţiei problemei Cauchy: { x = 1 + t x x(0) = 0 folosind definiţia şi apoi observaţia anterioară. Cum ecuaţia este o ecuaţie liniară neomogenă, soluţia generală a ei este: x(t) = e t (c + (1 + t)e t dt) = ce t + t

4 MD.09. Teoria stabilităţii şi soluţia problemei Cauchy este x(t) = t. Pentru orice x 0 R soluţia care satisface condiţia x (0) = x 0 este x (t) = x 0e t + t. Soluţia x(t) = t este stabilă (spre + ) deoarece pentru orice ε > 0 există δ (ε) = ε > 0 astfel încât pentru orice x 0 R cu proprietatea că x 0 0 < δ (ε) = ε, rezultă că: x (t) x(t) = x 0e t + t t = x 0e t < ε, ( )t 0. Soluţia x(t) = t este chiar asimptotic stabilă căci: lim t x (t) x(t) = lim x t 0 e t = 0. Conform observaţiei anterioare, a studia stabilitatea soluţiei ϕ(t) = t a problemei Cauchy date, revine la a studia stabilitatea soluţiei banale a problemei Cauchy: { z = z z(0) = 0 unde x(t) = z(t) + t. Ori se vede că soluţia banală z(t) = 0 este stabilă, deoarece pentru orice ε > 0 exista δ = ε > 0 astfel încât pentru orice z 0 R cu proprietatea ca z 0 0 < δ = ε rezultă că: z (t) z(t) = z 0e t 0 = z 0e t < ε, ( )t 0. 2. Să se arate că pentru ecuaţia x = 8x soluţia banală x(t) = 0, ( )t 0 nu este stabilă spre +. Presupunem că ea este stabilă. Fie ε = 1 ( )δ > 0 astfel încât luând x 0 = δ 2 (deci x 0 0 = x 0 < δ), să avem: x (t) x(t) = x 0e 8t 0 = δ 2 e8t < ε = 1, pentru orice t 0 adică e 8t < 2 δ, ( )t 0, ceea ce este absurd. Cum orice sistem diferenţial poate fi redus la un sistem diferenţial autonom, studiem în continuare problema stabilităţii soluţiilor pentru sistemele diferenţiale autonome (invariante în timp).

MD.09. Teoria stabilităţii 5 Aşa cum se ştie, un sistem diferenţial autonom este un sistem diferenţial în care lipseşte variabila independentă în mod explicit. Deci un sistem diferenţial de forma: x = F (x) unde F : U R n U domeniul din R n F C k, k 0. Un punct a U cu proprietatea F (a) = 0 se numeşte punct de echilibru al sistemului. Dacă a U este un punct de echilibru al sistemului, atunci ϕ a este evident o soluţie a sistemului, care satisface condiţia iniţială ϕ(t 0 ) = a. O astfel de soluţie se numeşte soluţie staţionară sau poziţie de echilibru. Evident în acest caz, punctul a este o orbită. Problema stabilităţii acestei soluţii este problema stabilităţii echilibrului în punctul a sau, cum se mai spune, problema stabilităţii poziţiei de echilibru. Conform observaţiei anterioare, printr-o translaţie convenabilă, stabilitatea unei poziţii de echilibru se reduce la stabilitatea soluţiei nule. Deci este suficient să studiem stabilitatea soluţiei nule (banale). În acest sens, există o teoremă a lui Liapunov din care deducem că oricărui sistem diferenţial autonom x = F (x) cu F C k (U), k 3 i se poate asocia un sistem diferenţial liniar, reţinând doar primii termeni din dezvoltarea Taylor a membrilor secunzi. Dacă sistemul liniar asociat are soluţia banală asimptotic stabilă, rezultă că sistemul diferenţial iniţial are soluţia banală stabilă. Exemplu. Fie sistemul diferenţial: { x = x + y 2 cos x + 1 + 4y y = sin y + (x + 1) 2 cos x cu soluţia banală { x(t) = 0 y(t) = 0 Cum ) x = x + y 2 (1 x2 2 + x4 24 + 1 + 4y, ) y = (y y3 6 + + x 2 + 2x + 1 cos x

6 MD.09. Teoria stabilităţii rezultă că avem sistemul diferenţial liniar { x = x + 4y y = y + 2x Studiem deci, stabilitatea soluţiei banale pentru sisteme diferenţiale liniare omogene, căci stabilitatea soluţiilor sistemelor diferenţiale neomogene se reduce la stabilitatea soluţiilor sistemelor omogene (într-adevăr, cum soluţia generală a sistemului neomogen este: x(t) = x 0 (t) + x p (t) cu x 0 (t) soluţie generală a sistemului omogen şi x p (t) soluţie particulară a sistemului diferenţial neomogen rezultă x (t) x(t) = x 0(t) + x p (t) x 0 (t) x p (t) = x 0(t) x 0 (t).) Stabilitatea soluţiei banale pentru sisteme diferenţiale liniare omogene este dedusă din următoarea teoremă: Teoremă. Fie A M n (R) şi x = Ax sistem diferenţial liniar omogen. Atunci: a) Dacă Reλ < 0, ( )λ σ(a) (deci toate valorile proprii ale lui A au partea reală strict mai mică ca zero), atunci soluţia banală este asimptotic stabilă. b) Dacă Reλ 0, ( )λ σ(a) şi multiplicitatea algebrică a lui λ pentru Reλ = 0 este egală cu unu, atunci soluţia nulă este stabilă, dar nu asimptotic. c) Dacă( )λ σ(a) cu Reλ > 0, atunci soluţia nulă este instabilă. Demonstraţie. a) S-a demonstrat că soluţia sistemului x = Ax care verifică condiţia iniţială x(0) = x 0 R n, este: x(t) = e At x 0, ( )t R şi că orice element al matricei e At λ j σ(a) şi P (t) este un polinom. este de forma P (t)e λ jt, unde Conform ipotezei, orice λ j σ(a) are Reλ j < 0, deci ( )α > 0 astfel încât Reλ j < α, ( )λ j σ(a).

MD.09. Teoria stabilităţii 7 Rezultă că: lim P (t)e tλ j t e tα = lim (P (t)e t(λ j +α). t Cum e t(reλ j +α+iimλ j ) = e t(reλ j +α) cos(timλ j ) + i sin(timλ j ) rezultă lim P (t)e tλ j t e αt = lim P (t) e t(reλ j +α) = 0 t deci ( )M 1 > 0 astfel încât P (t) e t(λ j+α) M 1,( )t 0. Aşadar, ( )M > 0 astfel încât e At Me αt,( )t 0 şi x(t) e At x 0 M x 0 e αt,( )t 0. Pentru orice ε > 0, luăm δ ɛ = ε M şi pentru x 0 < δ ε x(t) e αt ε M < ε,( )t 0 x 0 este stabilă. Mai mult, x 0 M este asimptotic stabilă, căci lim t x(t) = 0. b) Presupunem că σ(a) = {λ 1, λ 2,..., λ p } cu Reλ 1 < 0, Reλ 2 < 0, Reλ 3 < 0,..., Reλ k < 0, Reλ k+1 = 0,..., Reλ p = 0 şi λ k+1,..., λ p au multiplicitatea algebrica unu. Cum pentru orice k + 1 j p avem: e λ j t = cos(timλj ) + i sin(timλ j = 1 şi pentru orice 1 s k ; e λst = e Reλst va rezulta, făcând calculele ca la punctul precedent, că( )M > 0 astfel încât e At M. Deci, pentru orice ε > 0( )δ ε = ε M astfel încât adică, soluţia nulă este stabilă. x 0 < δ ε x(t) < ε,( )t 0,

8 MD.09. Teoria stabilităţii c) Fie λ j0 σ(a) cu Reλ j0 > 0 şi B(0, δ) din R n cu δ > 0 oarecare. Considerăm un vector propriu x 0 B(0, δ) V λj0. Pentru problema Cauchy x(0) = x 0 avem soluţia x(t) = e λ j 0 t x 0. Soluţia nulă este instabilă, căci: x(t) 0 = e λ j0 t x 0 = e λ j0 t x(0) şi pentru t, rezultă că x(t) 0 nu poate fi făcut oricât de mic. Exemple: Să se studieze stabilitatea soluţiei banale pentru sistemele : 1. { x = 2x y + xy 2 x 2 y 2 y = 3x y + x 2 y Sistemul liniar asociat este: { x = 2x y y = 3x y El se scrie: [ x y [ x = A y cu A = [ 2 1 3 1. Valorile proprii ale lui A sunt λ 1,2 = 3 ± i 11, deci Reλ 1 < 0, 2 Reλ 2 < 0 rezultă soluţia banală asimptotic stabilă. Deci soluţia banală a sistemului iniţial este stabilă. 2. { x 1 = 2x 1 + 3x 2 x 2 = x 1 2x 2 Sistemul liniar omogen se scrie [ [ x 1 x1 = A x 2 x 2 [ 2 3 cu A = 1 2. Valorile proprii ale lui A fiind λ 1,2 = ±1 rezultă că soluţia banală este instabilă.

MD.09. Teoria stabilităţii 9 3. Să se studieze stabilitatea soluţiei banale pentru ecuaţia diferenţială: x + 4x = 0 Sistemul diferenţial echivalent cu această ecuaţie este: { x 1 = x 2 adică: x 2 = 4x 1 [ x 1 x 2 [ x1 = A x 2 cu A = [ 0 1 4 0. Cum valorile proprii ale lui A sunt λ 1,2 = ±2i, deci cu partea reală nulă dar cu multiplicitatea algebrică unu, rezultă că soluţia banală este stabilă, dar nu asimptotic stabilă.

10 MD.09. Teoria stabilităţii Biblografie 1. V.I. Arnold Ecuaţii diferenţiale ordinare, Editura ştiinţifică şi enciclopedică, Bucureşti, 1978; 2. V.Brânzănescu, O.Stănăşilă Matematici speciale, Ed.ALL, 1994; 3. A.Halanay Ecuaţii diferenţiale, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1972; 4. A. Niţă, T. Stănăşilă (coordonator O. Stănăşilă) 1000 de probleme rezolvate şi exerciţii fundamentale, Editura ALL, Bucureşti, 1998. 5. O. Stănăşilă Matematici special, ecuaţii diferenţiale si analiza complexă, Editura stocktickerall, 2001. 6. Ana Niţă Ecuaţii diferenţiale (note de curs), Ed Matrix Rom, Bucuresti.2002 7. Ana Niţa, Alina Niţa, Probleme de Ecuaţii Diferenţiale, Ed.Printech 2005 8. Ana Niţă, Alina Niţă 300 Exerciţii de exerciţii diferenţiale, Editura Printech, 2004.