Seminar 1 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dezvoltarea unor funcții periodice (sau convertibile în unele periodice). Însă dacă funcțiile sînt arbitrare, se folosește o metodă care etinde pe cea a seriilor Fourier, anume integralele Fourier. Amintim că o funcție periodică f L (), de perioadă L, poate fi dezvoltată în serie Fourier cu formula: f L () = a + (a n cos w n + b n sin w n ), w n = nπ L. n 1 În această serie punem L și, după impunerea unor condiții de convergență, ajungem la integrala Fourier a funcției f, anume: unde funcțiile A și B sînt date de: A(w) = 1 π A(w) cos w + B(w) sin wdw, f(v) cos wvdv, B(w) = 1 π f(v) sin wvdv. Ca în cazul seriilor Fourier, dacă f este o funcție pară, atunci B(w) =, iar integrala Fourier devine o integrală de cosinusuri: A(w) cos wdw, unde A(w) = π f(v) cos wvdv. Similar, pentru f funcție impară, avem A(w) =, iar integrala Fourier devine o integrală de sinusuri: Transformata Fourier B(w) sin wdw, unde B(w) = π Rescriem formula integralei Fourier, înlocuind funcțiile A și B: 1 π f(v) sin wvdv. f(v) ( cos wv cos w + sin wv sin w ) dvdw. Acum putem folosi formule trigonometrice uzuale și observăm că putem rescrie: 1 ( ) f(v) cos(w wv)dv dw. π Cum funcția cos este pară, integrala de la la este jumătate din integrala pe tot R, deci putem rescrie în forma: 1 ( ) f(v) cos(w wv)dv dw. 1
Observaţie 1: Să remarcăm că, dacă în integrala de mai sus aveam funcția sin în loc de cos, integrala ar fi fost nulă, din imparitatea funcției sin. Conform observației de mai sus, putem adăuga un termen similar cu sin, fără a schimba valoarea integralei. Acest lucru este util pentru a trece pe domeniu comple, unde putem porni de la formula lui Euler de scriere polară a unui număr comple. Așadar, avem: f(v) cos(w wv) + if(v) sin(w wv) = f(v)e i(w wv). Trecînd la integrală, obținem integrala Fourier compleă: 1 f(v)e iw( v) dvdw. (1) Dacă descompunem funcția eponențială într-un produs și scriem ca produs de integrale, obținem: 1 [ 1 ] f(v)e iwv dv e iw dw. Integrala din interior este eact transformata Fourier a lui f: Atunci, dacă înlocuim în formula de mai sus, obținem: f(w) = 1 f()e iw d. () 1 f(w)e iw dw, (3) care este formula transformării Fourier inverse. O altă notație pentru transformata Fourier este f = F(f) și pentru transformata inversă, f = F 1 ( f). Pentru orice funcție care satisface anumite proprietăți, transformata Fourier eistă: Teoremă 1: Dacă f este absolut integrabilă (adică integrala funcției f() este convergentă) și continuă pe orice interval finit, atunci transformata Fourier dată de formula () eistă. Să vedem cîteva eemple. Eemplu 1: Găsiți transformata Fourier a funcției: 1, < 1, în rest. Soluție: Folosind definiția, integrăm: f(w) = 1 1 e iw d = 1 e iw 1 1 iw = 1 1 iw (e iw e iw ). Folosind formula lui Euler pentru e ±iw, avem, în fine: π sin w f(w) = w. Un alt eemplu:
Eemplu : Găsiți transformata Fourier a funcției: e a, >, <, a >. Soluție: Din definiție, avem: f(w) = 1 e a e iw d = 1 e (a+iw) (a + iw) 1 = (a + iw) = Proprietăți ale transformatei Fourier Liniaritate: Transformata Fourier este o operație liniară: F(af + bg) = af(f) + bf(g), pentru orice funcții f, g care admit transformată Fourier și a, b R. Transformata derivatei: Dacă f este o funcție continuă și f() pentru, iar f () este absolut integrabilă, atunci: F(f ()) = iwf(f). Mai departe, pentru derivate superioare, obținem, de eemplu: F(f ()) = w F(f()). Convoluție: Fie f, g două funcții. Se definește produsul lor de convoluție f g ca fiind funcția: h() = (f g)() = f(p)g( p)dp = f( p)g(p)dp. Comportarea transformatei Fourier față de produsul de convoluție este dată de: F(f g) = F(f) F(g). Echivalent, acest rezultat se mai poate scrie prin inversare: (f g)() = f(w) ĝ(w)e iw dw. 3
Eerciții Calculați transformatele Fourier ale următoarelor funcții: e i, 1 < < 1 (a), în rest 1, a < < b (b), în rest e k, < (c), >, k > (d) e, a < < a, în rest (e) e, R;, < < a (f), în rest e, 1 < < (g), în rest, 1 < < 1 (h), în rest, 1 < < 1 (i), în rest 4
Tabele de transformate Fourier f() 1, < < a, în rest a 1, < a < 1 e a, a > fc (w) = F c (f) sin aw π w Γ(a) π w a cos aπ π a a +w e / e w / e a, a > 1 a e w /(4a) n e a, a > cos, < < a, în rest π n! (a +w ) n+1 Re(a + iw) n+1 [ 1 sin a(1 w) 1 w + ] sin a(1+w) 1+w ( ) cos(a 1 ), a > a cos w 4a π 4 ( ) sin(a 1 ), a > a cos w 4a + π 4 sin a, a > e sin π (1 u(w a)) 1 1 arctan w Figura 1: Transformate Fourier cu cosinusuri (pentru funcții pare) 1 u(t a) este funcția Heaviside (eng. unit step function), definită prin: u(t a) =, t < a 1, t > a 5
f() 1, < < a, în rest fs () = F s (f) [ ] 1 cos aw π w 1 1 w 3/ a 1, < a < 1 e a, a > e a, a > n e a, a > π w Γ(a) π w a sin aπ n! π w a +w π arctan w a (a +w ) n+1 Im(a + iw) n+1 e / we w / e a, a > sin, < < a, în rest cos a, a > w (a) 3/ e w /(4a) [ 1 sin a(1 w) 1 w π u(w a) ] sin a(1+w) 1+w arctan a, a > sin aw w e aw Figura : Transformate Fourier cu sinusuri (pentru funcții impare) 6
f() 1, b < < b, în rest 1, b < < c, în rest f(w) = F(f) sin bw π w e ibw e icw iw 1 +a, a > e a, >, în rest, a > 1 e a, b < < c, în rest e ia, b < < b, în rest e ia, b < < c, în rest π e a w a a + iw e (a iw)c e (a iw)b (a iw) sin b(w a) π w a i e ib(a w) e ic(a w) a w e a, a > 1 a e w /(4a) sin a, a > π, w < a, w > a Figura 3: Transformate Fourier generale (pentru funcții arbitrare) 7