{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia nu este derivabilă în a.,>,< +4 6 f() f(), deci { m + n, < 0 ) Fie f : R R, f(). sin, 0 Să determinăm m şi n astfel încât funcţia să fie derivabilă pe R. f este evident derivabilă pe R\{0} (compunere de funcţii elementare), deci vom determina m şi n, impunând condiţia de derivabilitate în a 0. Pentru aceasta, este necesar mai întâi ca funcţia să fie continuă în 0, adică trebuie să avem f() 0,<0 sin 0 n 0. 0,>0 Apoi, f s(0) 0,>0 f() f(0) 0,<0 (m + n) f() f(0) m 0,<0 0,<0 m, f d f() f(0) (0) 0,>0 sin 0,>0, de unde m. Derivatele funcţiilor uzuale., R ( n ) n n, R, n N ( r ) r r, > 0, r R (a ) a ln a, R, a > 0, a (ln ), > 0 (sin ) cos, R (cos ) sin, R (tg) cos, R, cos 0 (ctg), R, sin 0 sin (arctg), R (arcctg), R (arcsin ), (, ) (arc cos ), (, ) ( ), > 0 ( n ) n n, > 0, n. n Reguli de derivare. (f + g) f + g (λf) λf (fg) f g + fg
( f g ) f g fg g ( g ) g g (g f) (g f) f (f ) f f. Derivatele funcţiilor compuse. (u n ) nu n u, n N (u r ) ru r u, u > 0, r R (a u ) a u u ln a, a > 0, a (ln u) u u, u > 0 (sin u) u cos u (cos u) u sin u (tgu) cos u u, cos u 0 (ctgu) sin u u, sin u 0 (arctgu) +u u (arcctgu) +u u (arcsin u) u u, u (, ) (arc cos u) u u, u (, ) ( u) u u, u > 0 ( n u) n n u n u, u > 0. Funcţii derivabile pe un interval. I. Puncte de etrem local. Teorema lui Fermat. Definiţie. Fie f : A R R. i) Un punct a A se numeşte punct de etrem local pentru f dacă diferenţa f() f(a) păstrează semn constant pe o vecinătate a lui a, adică, V V(a) astfel încât f() f(a) păstrează acelaşi semn, V A. Mai precis, dacă f() f(a) 0, V A, atunci a se numeşte punct de minim local pentru f, iar dacă f() f(a) 0, V A, atunci a se numeşte punct de maim local pentru f. ii) Dacă f() f(a) 0, (respectiv, f() f(a) 0), A, atunci a se numeşte punct de minim ( respectiv, de maim) absolut pentru f. Nu întotdeauna eistă pentru o funcţie puncte de minim (maim) absolut. iii) Valorile funcţiei în punctele de etrem se numesc etremele funcţiei. Dacă eistă, f(a) inf f() (respectiv, f(b) supf()) se numeşte valoare A A minimă (respectiv, maimă) a lui f pe A. Teoremă (Fermat). Fie f : I interval deschis R şi a I. Dacă f este derivabilă în a, iar a este punct de etrem local pentru f, atunci f (a) 0.
Definiţie. Spunem că a I interval deschis este punct critic (sau staţionar) pentru funcţia derivabilă f : I R, dacă f (a) 0. Aşadar, Teorema lui Fermat afirmă că punctele de etrem local ale unei funcţii derivabile, se găsesc printre punctele sale critice. II. Teoreme de medie. Teorema lui Rolle. Fie f : [a, b] R, a, b R, a < b. Dacă: i) f este continuă pe [a, b], ii) f este derivabilă pe (a, b) şi iii) f(a) f(b), atunci c (a, b) astfel ca f (c) 0 (punctul c nu este numaidecât unic). Teorema lui Cauchy. Fie f, g : [a, b] R, a, b R, a < b. Dacă: i) f, g sunt continue pe [a, b], ii) f, g sunt derivabile pe (a, b) şi iii) g () 0, (a, b), atunci g(a) g(b) şi c (a, b) astfel ca f(b) f(a) g(b) g(a) este numaidecât unic). f (c) g (c) (punctul c nu Teorema lui Lagrange (teorema creşterilor finite). Fie f : [a, b] R, a, b R, a < b. Dacă: i) f este continuă pe [a, b] şi ii) f este derivabilă pe (a, b), atunci c (a, b) astfel ca f(b) f(a) (b a) f (c) (punctul c nu este numaidecât unic). Eemplu. Studiaţi { aplicabilitatea Teoremei lui Lagrange pentru funcţia, [, ] f : [, 3] R, f() 4 +, (, 3]. Observăm că funcţia este continuă pe [, 3] şi derivabilă pe (, 3). Teorema este atunci aplicabilă, deci{ c (, 3) astfel ca f(3) f() f (c), deci, [, ] f (c) 9 8. Întrucât f (), (, 3], se obţine că c 9 4 (, 3]. Consecinţe ale teoremei lui Lagrange.. Dacă o funcţie derivabilă f are derivata nulă pe un interval I, atunci f este constantă pe acest interval.. Dacă două funcţii derivabile pe un acelaşi interval au derivatele egale pe acest interval, atunci ele diferă printr-o constantă pe intervalul respectiv (rezultatul nu se menţine pe o mulţime care nu este interval). Aplicaţie. Arătaţi că arctg + arctg { π, > 0 π, < 0. 3
Funcţia f : (0, ) R, f() arctg + arctg este derivabilă pe (0, ) şi f () 0, (0, ), deci f() ct. şi cum f() π, rezultă că f() π, (0, ). Funcţia f : (, 0) R, f() arctg+arctg este derivabilă pe (, 0) şi f () 0, (, 0), deci f() ct. şi cum f( ) π, rezultă că f() π, (, 0).. Fie f o funcţie derivabilă pe un interval I. Atunci: i) Dacă f > 0 pe I, atunci f este strict crescătoare pe I. ii) Dacă f < 0 pe I, atunci f este strict descrescătoare pe I. iii) Dacă f 0 pe I, atunci f este crescătoare pe I. Reciproc, dacă f este o funcţie derivabilă şi crescătoare pe un interval I, atunci f 0 pe I. iv) Dacă f 0 pe I, atunci f este descrescătoare pe I. Reciproc, dacă f este o funcţie derivabilă şi descrescătoare pe un interval I, atunci f 0 pe I. Aplicaţii. i) Monotonia unei funcţii. Studiaţi monotonia funcţiei f : (0, ) R, f() ln. Funcţia este derivabilă pe (0, ), f (), (0, ), f () 0, f() +, f(). 0,>0 0 + f () 0 + +. f() + 0 min. + Funcţia este deci strict descrescătoare pe (0, ), strict crescătoare pe (, + ), este punct de minim absolut, iar minimul funcţiei este f() 0. ii) Demonstrarea unor inegalităţi. Arătaţi că ln( + ), 0. Fie f : [0, ) R, f() ln( + ). Funcţia este derivabilă pe [0, ), f () () 0, [0, ), deci funcţia este descrescătoare pe [0, ), de unde f() f(0) 0, [0, ). 3. Corolar al Teoremei lui Lagrange. Fie f : I R o funcţie continuă pe intervalul I şi fie a I. Dacă f este derivabilă pe I\{a}, iar f are ită (finită sau infinită) în a, atunci f (a) f ()( R). a Dacă f (a) f () R, atunci f este derivabilă în a, iar f este continuă a în a. Observaţie. Corolarul Teoremei lui Lagrange ne permite să calculăm rapid derivatele laterale ale unei funcţii într-un punct şi să decidem astfel dacă funcţia este sau nu derivabilă în punctul respectiv. { Eemplu, fie f : R R, f(), ln +, >. 4
{, < Funcţia este continuă pe R, derivabilă pe R\{}, f () +, >, iar f () f (), deci f (), ceea ce arată în final,<,> că funcţia este derivabilă pe R. III. Regula lui L Hospital. Se aplică pentru nedeterminări de tipul 0 0, : g() a f() f () a g () (a R). 0. Eemple. ) e ln [ ) ] [ ] (e ) e. 0. 3) ( e e ) 4) (ctg 0 ) 0 tg tg [ 0 0 ] e. cos sin 0 sin [ 0 0 ] sin 0 sin + cos [ 0 0 ] sin cos 0 cos sin 5