Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã, petru a obńie umãrul b. Logaritmul umãrului b î baza a se oteazã log a b log Evidet a b b = a. Petru a = 0 obńiem logaritmi zecimali (lg), iar petru a = e obńiem logaritmi aturali (l). ProprietãŃi: log. Idetitatea logaritmica fudametală a b a = b ude a > 0, a si b > 0.. log a b = log a c b = c, (b,c > 0);. log a a = ;. log a = 0 5. log a a c = c; log a b =- log ab; log a = log a, 0 m 6. loga b = log a b, ( b > 0, m N, m ) ; m 7. log a balog b a = ; logc b 8. Formula de schimbare a bazei logaritmului: loga b = logc a 9. >0 şi y>0 log a y = log a + log a y; 0. >0 şi y>0 log a y = log a log a y;. a> şi (0,) log a < 0; a> şi > log a > 0;. 0<a< şi (0,) log a > 0; 0<a< şi > log a < 0;. a> şi 0<<y log a < log a y; loga logb. >0, y>0, a>0, b>0, a, b = ; loga y logb y 5. >0, a>0, a, N Alog a = log a ; 6. R, a>0, a a = e la.
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice probleme bacalaureat EcuaŃii şi iecuańii logaritmice fudametale. log a = b, a>0, a, b R. SoluŃia: = a b.. log a > b, b R. Fie S mulńimea soluńiilor. Avem: a S a > (a b, + ) 0 < a < (0, a b ). log a < b, b R. Fie S mulńimea soluńiilor. Avem: a S a > (0, a b ) 0 < a < (a b, + ). Ecuatia log a f() = log a g() (a > 0, a ) este echivaletă cu f() = g(), cu codińiile f() > 0, g() > 0 5. Ecuatia log h() f() = log h() g() este echivaleta cu f() = g(), CodiŃii: h() > 0, h(), f() > 0, g() > 0 D domeiul de rezolvabilitate Probleme propuse. Se cosideră fucńia f : (0,+ ) R, f() = log. Să se calculeze f()+f() f().. Să se arate că log =+a, ude a = log.. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia lg lg+=0.. Se cosideră umărul a = log. Să se arate că log 8=a+. 5. log Să se rezolve ecuańia =. 6. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia log =. 7. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia lg lg+=0. 8. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia ( ) ( ) log log =. 9. Să se arate că log +log log 6=log 7. 0. Să se calculeze log 8.. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei log 5 (+)=+log 5 ( ). log58 log5. Să se calculeze. log5. Să se verifice că log 5+log log 0=.
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice probleme bacalaureat. Să se arate că umerele, log 9 şi 6 sut termei cosecutivi ai uei progresii geometrice. 5. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia log + =. 6. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia lg(+)+lg(+)=lg( ). 7. Să se calculeze log 5. 5 8. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia 5 ( ) log + =. 9. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia log =. 9 0. Să se arate că umărul A = log + log + log + + log este atural. 8. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei ( ) log =.. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia log (+) log (+)=.. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei log 7 (+) =.. Să se calculeze log 6 +log 6 0 log 6 5. 5. Să se determie domeiul maim de defiińie D al fucńiei f:d R, f ()=lg( ). 6. Să se arate că log +log 9< 6. 7. Să se calculeze log 5 5 log 9. 8. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia ( ) 9. Să se arate că umărul ( log 8 ) este atural. log + 0 =. 0. Să se compare umerele şi log.. Să se calculeze log 5+log 6 log 0. 9. Să se verifice că lg + lg +... + lg =. 0. Să se calculeze log log.. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia log 5 (+)=. 5. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia log (0 )=. 6. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia log 5 (+)=. 7. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia log 5 (9 )=. 8. Să se calculeze log + 8. 9. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia log ( )=log (+). 0. Să se calculeze log 5 0+log 5 log 5 6.. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia log ( ) log ( ) + = +.
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice probleme bacalaureat Probleme rezolvate. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei log 5 ( + ) =. R. CodiŃii: +>0 > >, + =D, domeiul de rezolvabilitate. Di defiińia logaritmului obńiem: 5 8 + = = = 8 = D, soluńie.. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei log ( + ) + log =. + > 0 R. CodiŃii: (0, + ) = D. Aplicâd proprietăńile logaritmilor: > 0 log A + log B = log A B se obńie: log ( + ) = şi di defiińia logaritmului avem: a a a ( + ) = ( ) + 8 = 0 cu soluńiile = şi =. SoluŃia ecuańiei este =0D.. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei log ( + ) log ( 5) =. + > 0 > R. CodiŃii: D = ( 5, + ). 5 > 0 > 5 Aplicâd proprietăńile logaritmului ecuańia va fi: + + log = = + = 8( 5) + = 8 0 7 = = 6 D. 5 5. Să se determie valorile reale pozitive ale umărului, ştiid că lg, şi lg sut trei termei cosecutivi ai uei progresii aritmetice. R. Verificăm proprietatea de medie aritmetică: lg + lg ( ) ( ) = lg = = 0 = 0 = 0 = 00. 5. Să se calculeze log 7 log 8. R. Di defiińia logaritmului avem log 7 = şi log 8 = log 7 log 8 = = 0. 6. Să se verifice că log 9 log 8 = log. R. log9 log8 = = şi log = log =.
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice probleme bacalaureat 7. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei log ( ) =log ( ). > 0 R. CodiŃii:, > 0 = 0, = 0, =, 0 + + + + + + 0 0 + + + + + + S =(,0)c(,+) >0 > >, S =, +. Domeiul de rezolvabilitate D = S S = (, + ). Rezolvare: di ijectivitatea fucńiei logaritmice avem = + = 0 cu soluńiile = şi =. SoluŃia ecuańiei este = care aparńie lui D. 8. Ştiid că log = a, să se verifice dacă log8 + log00 log5 = 5a. log 8 + log 00 log 5=log +log 0 -log 5 =log +log 5 -log 5= R. ( ) =a+log +log 5 -log 5 = a+a=5a. 9. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei log ( +) =. R. CodiŃii + > 0 ( ) >0 şi D = R\{}. Rezolvare: + = 5 = 0 cu soluńiile = şi = 5 care sut soluńiile ecuańiei. 0. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei log ( + 5) =. R. CodiŃia + 5 > 0 > 5 0( 5, +). Rezolvare: + 5 = + 5=8 =.. Să se calculeze log log. R. log log = log log = log 6 log 6 = 0.. Să se calculeze log + log. R. log + log = log = log = 0.. Să se calculeze log 6 log 6. R. log6 log6 = log6 = log66 =. 5
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice probleme bacalaureat. Să se calculeze log 6 + log log. 6 R. log 6 + log - log =log = log =. 5. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei log ( )=0. R. CodiŃia >0 >. Rezolvare: = 0 =, soluńie. 6. Să se calculeze lg 0 + lg lg 6. 0 R. lg 0 + lg lg 6 = lg = lg0 =. 6 7. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia log ( )=. R. CodiŃia > 0 0(, )c(,+). Rezolvare: = =, =± şi S ={,}. 6
Operaţii cu umere reale Probleme selectate di variatele propuse la eameul de bacalaureat. Arătaţi că: 0,75.. Ordoaţi crescător umerele:,,.. Arătaţi că 6.. Arătaţi că 8. 5. Arătaţi că umărul 8 este atural. 6. Arătaţi că 5 0. 7. Arătaţi că 6. 8. Arătaţi că umărul 7 8 este atural. 9. Arătaţi că. 0. Arătaţi că 7.. Arătaţi că.. Arătaţi că umărul 8 este atural.. Arătaţi că umărul 7 este atural.. Determiați umărul real m di egalitatea 5 5 5. Verificaţi dacă 6. Arătaţi că 0. 9 :. 9 7. Arătaţi că 5 5 0. 8. Scrieți î ordie crescătoare umerele 9. Petru a= arătaţi că 0. Arătaţi că a 5. a 6.. Arătaţi că. m 6. 0 0, 9,.
. Arătaţi că.. Arătaţi că 8 8 50 8 9.. Calculați media aritmetică a umerelor a 5. Arătaţi că : 5. 0 6. Arătaţi că. 7. Arătaţi că 8 0. 0 8. Arătaţi că. 5 7 9. Calculați 0. 5 5 şi b 5. 0. Calculaţi media aritmetică a umerelor a şi b 5.. Arătaţi că :.. Determiați umărul real care are partea îtreagă - și partea fracțioară 0,75.. Arătaţi că :. 6. Arătaţi că : 0,5 0. 5. Arătați că media geometrică a umerelor a=6 și b=9 este egală cu. 6. Arătaţi că 0,. 0 00 000 7. Arătaţi că. 8. Arătaţi că 8 7. 0 9. Arătaţi că. 5 0. Arătaţi că 5.. Arătaţi că :.. Arătaţi că 5 5 9.. Arătaţi că : 0,5 0.
a b c. Determiaţi umerele aturale a, b şi c, știid că 06 7. 5. Arătaţi că 6 69 0. 6. Arătaţi că : 0,5 0. 7. Arătaţi că :.
Fucţia de gradul îtâi Ecuaţia şi iecuaţia de gradul I Probleme propuse la eameul de bacalaureat. Ecuaţii de gradul îtâi sau ecuaţii afie a b 0,a,b, Fie S mulţimea de soluţii a acestei ecuaţii. Dacă. a 0, b a (soluţie uică). S b a.. a 0 şi b 0, ecuaţia u are soluţii: S ;. a 0 şi b 0, orice umăr real este soluţie a ecuaţiei afie date, S. Semul fucţiei de gradul îtâi f :, f a b, a 0 - - b a f sem cotrar lui a 0 semul lui a Graficul fucţiei de gradul îtâi este o dreaptă. y f()=+6 0 8 6-8 -6 - - 6 8 0 - - -6. Iecuaţii de gradul îtâi sau iecuaţii afie Cazul. a b 0,a,b,. Fie S mulţimea soluţiilor. Dacă:. a 0,S b a, ;. a 0,S, b a ;. a 0,b 0,S ;. a 0,b 0,S. Cazul. a b 0,a,b,. Dacă:. a 0,S, b a. a 0,S b a,. a 0,b 0,S ;. a 0,b 0,S. Iecuaţiile a b 0 şi a b 0 se reduc la cele două cazuri (pri îmulţirea iecuaţiei respective cu şi schimbarea sesului iegalităţilor). Probleme propuse. Determiaţi mulţimea valorilor fucţiei f :,f.. Se cosideră fucţiile f,g :,f,g. Determiaţi coordoatele puctului de itersecţie a graficelor fucţiilor f şi g.. Fie fucţia f :,f 5. Calculaţi f f f...f0.. Determiaţi m \ petru care fucţia f :,f m este crescătoare pe.
5. Se cosideră fucţia f :, f. Calculaţi f f f...f0. 6. Rezolvaţi î mulţimea umerelor reale iecuaţia 0. 7. Determiaţi mulţimea valorilor fucţiei f :,0,,f. 8. Determiaţi coordoatele puctului de itersecţie a graficelor fucţiilor f :,f şi g :,g 5. 9. Determiaţi coordoatele puctelor de itersecţie a graficului fucţiei f :,f cu aa O şi respectiv cu aa Oy. 0.Rezolvaţi sistemul de ecuaţii y y,,y..calculaţi f f petru fucţia f :,f..se cosideră fucţia f :,f. Arătaţi că f f 6..Calculaţi f0 f petru fucţia f :,f..calculaţi f f...f5 petru fucţia f :,f. 5.Se cosideră fucţia f :,f. Arătaţi că f f 6. 7.Se cosideră fucţia f :,f. Calculaţi f f...f0. 8.Calculaţi f f0 petru fucţia f :,f. 9.Determiaţi coordoatele puctului de itersecţie a graficelor fucţiilor f :,f şi g :,g. 0.Calculaţi f f0 petru fucţia f :,f..calculaţi f f...f0 petru fucţia f :,f..calculaţi f f...f0 petru fucţia f :,f..se cosideră fucţia f :,f. Determiaţi coordoatele puctului de itersecţie ditre graficul fucţiei f şi aa absciselor..se cosideră fucţia f :,f. Determiaţi umerele aturale petru care f f. 5.Se cosideră fucția f :,f a, ude a este umăr real. Determiaţi umărul real a petru care f f petru orice umăr real. 6.Se cosideră fucţia f :,f. Determiaţi coordoatele puctului A care aparție graficului fucției f și care are abscisa egală cu ordoata. 7.Se cosideră fucţia f :,f 0 0. Calculați f 0. 8.Se cosideră fucţiile f :,f 0 și g :,g 0. Determiaţi coordoatele puctului de itersecţie a graficelor celor două fucții. 9.Determiați umărul real a ştiid că f a, ude f :,f. 0.Determiați coordoatele puctului de itersecție a graficelor fucțiilor f :,f și g :,g 5..Determiaţi coordoatele puctului de itersecţie ditre graficul fucţiei f :,f şi aa O..Determiaţi abscisa puctului de itersecţie a graficelor fucţiilor f :,f și g :,g..determiați coordoatele puctului de itersecție a graficul fucției f :,f cu aa Oy..Determiaţi umărul real m știid că puctul Mm, aparție graficului fucției f :,f. 5.Determiați coordoatele puctului de itersecție a graficului fucției f :,f cu aa O. 6.Determiați umărul real m știid că fm, ude f :,f. 7.Determiaţi umărul real m petru care f 0, ude f :,f m. 8.Calculați f g, ude f :,f și g :,g. 9.Calculați ff, ude f :,f. 0.Determiați umărul real a, știid că puctul Aa0 aparție graficului fucţiei f :,f..calculați g f, ude f :,f și g :,g 05..Determiaţi coordoatele puctului de itersecţie a graficelor fucțiilor f :,f și g :,g..calculați produsul f f f f, ude f :,f..calculați f g, ude f :,f şi g :,g 5. 5.Calculați f f f0 f f, ude f :,f. 6.Determiaţi coordoatele puctului de itersecție a graficului fucției f :,f cu aa
O. 7.Calculați distața ditre puctele de itersecție a graficului fucției f :,f cu aa O și, respectiv, cu aa Oy. 8.Determiați umărul real a, știid că puctul A,5 aparție graficului fucției f :,f a. 9.Determiaţi umărul real a petru care f f, ude f :,f a. 50.Determiaţi umărul real m, știid că puctul Am,0 aparție graficului fucției f :,f. 5.Determiaţi umărul real m petru care f 0, ude f :,f m. 5.Determiaţi umărul real a, știid că puctul A, aparție graficului fucției f :,f a. 5.Determiați valoarea maimă a fucției f :,,f. 5.Calculați produsul f f0 f, ude f :,f. 55.Determiaţi coordoatele puctului de itersecţie a graficelor fucțiilor f :,f și g :,g. 56.Calculați g f0, ude f :,f 06 și g :,g 06. 57.Determiați umărul real a, știid că puctul A,0 aparție graficului fucţiei f :,f a. 58.Determiați valorile reale ale lui petru care f g, ude f :,f și g :,g. 59.Determiați valorile reale ale lui, petru care f g, ude f :,f și g :,g. 60.Determiați umărul real m, știid că puctul Mm, aparție graficului fucției f :,f. 6.Calculați f f, ude f :,f. 6.Determiați umărul real m, știid că puctul A, aparție graficului fucției f :,f m. 6.Rezolvaţi î mulţimea umerelor reale iecuaţia 9. 6.Determiați valoarea maimă a fucției f :,5,f.
FucŃia epoeńială. EcuaŃia epoeńială FucŃia epoeńială Def. Fie a>0, a. FucŃia f :R (0,), bază a. f ( ) = a se umeşte fucńia epoeńială de Graficul fucńiei epoeńiale: ProprietăŃi: ) f(0)=a 0 =, graficul fucńiei epoeńiale taie aa O î (0,). ) FucŃia epoeńială ete coveă. ) Mootoia: dacă a>, atuci f este strict crescătoare; dacă 0<a<, atuci f este strict descrescătoare. ) Dacă a> şi >0 f()> <0 f()< 0<a< şi >0 f()< <0 f()>. 5) FucŃia epoeńială este bijectivă. EcuaŃii epoeńiale EcuaŃia ce cońie variabila ecuoscută la epoetul puterii se umeşte ecuańie epoeńială.. a = b, a>0, a, b>0. SoluŃia = log a b, b R.. a = b, a>0, a, b 0, u are ici o soluńie realã. EcuaŃia epoeńială de tipul: a f() = b, ude a > 0, a si b > 0, este echivaletă cu ecuańia f() = log a b,
FucŃia epoeńială. EcuaŃia epoeńială probleme bacalaureat. Dacă a > 0 şi a, atuci ecuańiile şi sut echivalete. 5. a > b. Fie S mulńimea soluńiilor. Avem: a > 0 < a < a > 0, a a f() = a g() f() = g() a b S b > 0 b > 0 b < 0 6. a < b. Fie S mulńimea soluńiilor. Avem: a > 0 < a < a > 0, a (log a b, + ) (-, log a b) R a b S b > 0 b > 0 b < 0 (-, log a b) (log a b, + ) Probleme propuse. Se cosideră fucńia f :(0,+ ) R, f()= +log. Să se calculeze f()+f().. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia =.. Să se determie coordoatele puctelor de itersecńie cu aele de coordoate a graficului fucńiei f:r R, f()= +.. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia + =0. 5. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia + =08. 6. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia ( ) ( ) 7. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia =. 8. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia 5 =5. 9. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia =. 0. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia = 8. + = +.
FucŃia epoeńială. EcuaŃia epoeńială probleme bacalaureat Vi. Se cosideră fucńia f : R R, f ( ) =. Să se calculeze f(0)+f()+ +f().. Să se determie umărul real a, ştiid că umerele a, a + şi a+ sut termei cosecutivi ai uei progresii aritmetice. 5. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia + =.. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia =6. 5. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia + +=7. 6. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia =. 8 7. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia + = 9. 0 8. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia + =. + 9. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia + = 8. 0. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia =. +. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia = 8.. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia 6 +8=0.. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia 9 +=0.. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia 5. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei = 6. 5 8 =. 5 5 6. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia 5 = 5. 5 7. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia =. 8. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia =. Probleme rezolvate. Să se demostreze că petru orice 0R umerele, + şi 5A + sut termei cosecutivi îtr-o progresie aritmetică. R. Dacă ak, ak, ak+ sut termei cosecutivi îtr-o progresie aritmetică, atuci ak + ak+ ak = ak = ak + ak+ (proprietatea de medie aritmetică). Verificăm această + proprietate: + 5 + = 6 = =.
FucŃia epoeńială. EcuaŃia epoeńială probleme bacalaureat. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei R. = otăm = y ecuańia, codińia 0 şi obńiem: y =. = = + =, 0 + y = 0 cu soluńiile y = şi şi y =. Reveim la substituńia făcută şi obńiem: = u are soluńii reale şi = are soluńia =, soluńia ecuańiei.. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei + + = 6. R. + + = 6 + @ = 6 + 8@ = 6 9@ = 6 = =.. Să se determie soluńiile reale ale ecuańiei @ + = 0. R. EcuaŃia se poate scrie ( ) ( ) + = 0 + = 0. Notăm = y şi obńiem ecuańia y y + = 0 cu soluńiile y = şi y =. Reveim la subsituńie: = = 0 şi = =. S = {0, }. 5. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia + =8. + R. = 8 = 8 8 = 8 7 = 8 : 7 = =. 6. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia 5 =. 5 R. 5 = ( 5 ) = 5 5 = 5 = =. 5 7. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia 5 =. 5 R. 5 = ( 5 ) = 5 5 = 5 = =. 5 8. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia @ = 5. R. ( ) ( ) = 5 = 5 + 5 = 0. Notăm Vi = y şi se obńie ecuańia y + 5y = 0 cu soluńiile y = 7 şi y =. Reveid la ecuoscuta = 7 u are soluńie şi = cu soluńia =. 9. Să se ordoeze crescător umerele, 6 şi 8.
FucŃia epoeńială. EcuaŃia epoeńială probleme bacalaureat R. 6 6 = =, 6=, 8= < < 8< < 6. Vi 0. Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia + + 5 =. + R. + 5 + ( ) + 5 ( ) = = + = + 5 + = 0 = 0 =. 5
Biomul lui Newto - probleme propuse la eameul d Aalizã combiatorie. Permutãri DefiiŃia. O mulńime împreuã cu o ordie bie determiatã de dispuere a elemetelor sale este o mulńime ordoatã şi se otazã (a,a,,a ). DefiiŃia. Se umesc permutãri ale uei mulńimi A cu elemete toate mulńimile ordoate care se pot forma cu cele elemete. Numãrul permutãrilora elemete, N*, este P = =!; 0! = (pri defiińie). Factorial (proprietãńi):! = ( )!;! = ( + )! +. Arajamete DefiiŃia. Se umesc arajamete a elemete luate câte m (m ) ale uei mulńimi A cu elemete, toate submulńimile ordoate cu câte m elemete care se pot forma di cele elemete ale m mulńimii A. Se oteazã A. Numãrul arajametelor a elemete luate câte m este: ProprietãŃi: m A = ( ) ( m + ) = A = P ; A =! sau A =!; 0!!, m. ( m)! 0 A = A ; A =.. Combiãri DefiiŃia.. Se umesc combiãri a elemete luate câte m (m ) ale uei mulńimi A cu elemete toate submulńimile cu câte m elemete, care se pot forma di cele elemete ale mulńimii A. Se m oteazã C. ProprietãŃi: 0 0 m m m m. C = ; C = C = C 0 = ;. C = C ;. C = C + C ;. Numãrul submulńimilor uei mulńimi cu elemete este ; 5. m m m m m m C = C + C +... + Cm+ + Cm + Cm ; 6.! p p = C C... C ( p... pm ) p! p!... p! p + + ude p + p m- <. Biomul lui Newto ( + a) 0 k k k = C + C a +... + C a +... + C a ( a) 0 k k k k = C C a +... + ( ) C a +... + ( ) C a ude N. ProprietãŃi:. Termeul de rak k+ este T k+ = (-) k C k -k a k ;. k + k k ; k + k C = C C k + = C ; k + k + k a k a. T k+ = T k+ sau T k+ = T k+ ; k + k +. Numãrul termeilor dezvoltãrii ( ± a) este +; 5. CoeficieŃii termeilor egal depãrtańi de etremi sut egali.
Biomul lui Newto - probleme propuse la eameul de bacalaureat RelaŃii importate: 0 0 C + C +... + C = ; C C +... + ( ) C = 0; 0 5 C + C + C +... = ; C + C + C +... = ; 0 C = ( C ) + ( C ) +... + ( C ) Dezvoltãri particulare uzuale:. (a ± b) = a ± ab + b ;. (a + b + c) = a + b + c + (ab + bc + ac);. (a + b) = a + a b + ab + b ;. (a b) = a a b + ab b ; 5. (a + b + c) = a + b + c + (a b + a c + b a + b c + c a + c b) + 6abc; 6. (a + b) = a + a b + 6a b + ab + b. 5. Suma puterilor asemeea ale primelor umere aturale p p p p Dacã S p = + + +... +, p N, atuci avem: Progresii ( + ) ( + )( + ) ( + S = ; S = ; S = 6 ( + )(6 + 9 + ) ( + ) ( + ) S = ; S5 = 0 O relańie care permite calculul lui S p, câd se cuosc S p-, S p-,, S este formula lui Pascal: (+a) p+ p = + Cp+ S p + CP+ S p +... + Cp+ S +. Progresii aritmetice DefiiŃia. Se umeşte progresie aritmeticã u şir de umere a,a,a,,a, î care fiecare terme, îcepâd cu a, se obńie di cel precedet pri adãugarea uui umãr costat umit rańia progresiei. Se oteazã a,a,a, a, Dacã a este primul terme, a cel de-al -lea terme (termeul geeral), r rańia, umãrul termeilor şi S suma celor termei, atuci avem: a = a - + r, (pri defiińie) a = a + ( )r, (pri defiińie) ( a S = a + a + + a, S = + a ) a, + ( ) r S = Termeii echidistańi de etremi. Îtr-o progresie aritmeticã suma termeilor echidistańi de etremi este egalã cu suma termeilor etremi: a k + a -k+ = a + a. ObservaŃie. Dacã umãrul termeilor este impar ( = m + ), atuci eistã u terme î mijloc, a m+, astfel îcât a m+ = a + a m+. CodiŃia ecesarã şi suficietã petru ca trei termei a,b,c, luate î aceastã ordie, sã formeze o progresie aritmeticã, este sã avem b = a + c.
Biomul lui Newto - probleme propuse la eameul d. Progresii geometrice DefiiŃia. Se umeşte progresie geometricã u şir de umere a,a,a,,a, î care fiecare terme, îcepâd cu a, se obńie di cel precedet pri îmulńirea acestuia cu u acelaşi umãr q (q 0) umit rańie. Se oteazã a,a,a, a, Dacã a este primul terme, a cel de-al -lea terme (termeul geeral), q rańia, umãrul termeilor şi S suma celor termei, atuci avem: a = qa -, (pri defiińie) a = a q -, (a î fucńie de a, q şi ) q S = a + a + + a, S = a q ; S a = aq, q q Termei echidistańi de etremi. Îtr-o progresie geometricã, produsul a doi termei echidistańi de etremi este egal cu produsul termeilor etremi: a p a -p+ = a a. ObservaŃie. Dacã umãrul termeilor este impar ( = m + ) atuci eistã u terme la mijloc, a m+, astfel îcât a = a a. m+ m+ CodiŃia ecesarã şi suficietã ca trei umere a,b,c, luate î aceastã ordie, sã formeze o progresie geometricã este sã avem b = ac.
Biomul lui Newto - probleme propuse la eameul d Probleme rezolvate 6 *. Se cosideră dezvoltarea +, N, R. 6 8 0 C a) DetermiaŃi astfel îcât, C C, să fie termei succesivi ai uei progresii aritmetice. b) Petru =8, verificańi dacă eistă valori ale lui astfel îcât difereńa ditre termeii al şaselea şi al patrulea ai dezvoltării să fie 56. 0 C R. ) a), C C, sut termeii succesivi ai uei progresii aritmetice, atuci 0 C ( ) C C + = + = + 8 = 8 + -9+8=0Y=8 (= u satisface). b) Petru =8 T 6 -T =56 C 8 5 5 5 8 5 6 6 5 8 C 8 6 6 = 56 9 5 5 5 5 5 8 7 6 + 8 7 6 + 6 6 6 6 = 56 = = ( ) + = 0 =, sau = SoluŃia =0 petru că >0, 0R. * *. Se cosideră dezvoltarea, R, N. a) Să se determie astfel îcât suma coeficieńilor primilor trei termei ai dezvoltării să fie 97. b) Petru =8, verificańi dacă eistă u terme care cońie pe. JustificaŃi răspusul. k k k R. a) T = k + C a b 0 C + C ( ) + C ( ) = 97 ( ) Rezolvarea ecuańiei + = 97 = 8 N b) Petru =8Y ( ) 8 k k k k (8 k ) k k k + = 8 = 8 ( ) T C C (8-k)-k=Yk= YT 5 cońie pe.. Se cosideră a,b,c şi umere reale strict pozitive şi diferite de. Să se demostreze că următoarea echivaleńă este adevărată: a,b,c sut termeii succesivi ai uei progresii aritmetice dacă şi umai dacă aritmetice.,, şi loga logb logc sut termei succesivi ai uei progresii
Biomul lui Newto - probleme propuse la eameul d R. Utililizâd relańia loga b = obńiem: = log a, = log b, = log c. logb a loga logb logc i) Presupuem a,b,c progresie geometrică, atuci b =aac şi pri logaritmare î baza avem: log a + log c log b = log ( a c) log b =, deci este adevărată ii). ii) Presupuem log a + log c log b = log b = log ( a c) b = a c. lg. Se cosideră dezvoltarea ( ) 5 +, R, > 0. Să se determie, ştiid că al treilea terme al dezvoltării este 0 6 k k k R. T = k + C a b ( ) T T C + lg lg = + = 5 = 0 ( ) + lg 5 + lg 5 = 0 lg = lg0 + lg lg = 5 lg 5 +lg-5=0y lg =, lg = 5 = 0, = 0. *. Se cosideră dezvoltarea: +,, > 0,, R R. a) Să se determie astfel îcât C = C +. b) Petru =, verificańi dacă eistă u terme al dezvoltării care u cońie pe. JustificaŃi răspusul. ( + ) R. ) a) C = C + = + = N. k k b) Petru = di Tk + = C ( ) cu k=, deci T = C u cońie pe. k se obńie k k = 0 * 6. Se cosideră dezvoltarea +, N. a) Să se determie 0N *, ştiid că suma primilor trei coeficieńi ai dezvoltării este 6. b) Petru =9, verificańi dacă eistă u terme al dezvoltării care u cońie pe. k k k R. a) T = k + C a b, deci coeficieńii ceruńi sut 0 C, C şi C 0 ( + ) ObŃiem ecuańia C + C + C = 6 + + = 6 = 9 N. b) Petru =9, ( ) 9 k k k k 8 k k k + = 9 = 9 T C C, care u cońie pe 8 k=0 k=6. * 7. Se cosideră dezvoltarea +, R, > 0, N. a) Să se determie astfel îcât coeficietul biomial al termeului al treilea să fie 6. b) Petru =9, verificańi dacă eistă u terme al dezvoltării care cońie pe. JustificaŃi răspusul. ( ) R. ) a) C = 6 = 6 --7=0Y =9 şi =-8 u este soluńie 5
Biomul lui Newto - probleme propuse la eameul d petru că u este umăr atural. 9 k 5(9 ) k k k k k = = T C C k b) + ( ) 5-5k-k= Y 7k= Y. Avem: 5(9 k ) k = k = N, deci u eistă termei care să cońiă pe. 7 8. Se cosideră dezvoltarea 9,, > 0 R şi 0N, $. a) Să se determie 0N *, astfel îcât coeficietul biomial al termeului al treilea să fie 05. b) Petru =5, verificańi dacă eistă u terme al dezvoltării care cońie pe 5. JustificaŃi răspusul. R. a) Puem codińia: C = 05 Y =5 k Tk + = C5 9 şi presupuâd că eistă termeul care-l cońie pe 5 k 0 vom avea de determiat pe k di relańia 5 k = 5, cu soluńia k = care u covie deoarece u este umăr atural. Deci ici u terme al dezvoltării u-l cońie pe 5. k b) Folosid formula termeului geeral, obńiem: ( ) 5 * 9. Se cosideră dezvoltarea y +, y, y > 0 şi R N. y a) Să se determie petru care coeficieńii termeilor,, respectiv ai dezvoltării, formează o progresie aritmetică. b) Petru =8, verificańi dacă eistă termei ai dezvoltării astfel îcât puterea lui y să fie umăr atural. R. a) 0 ( ) ( ) y + C ( )... = y + C y + C y + y y şi y atuci 0!! ( ) C = C + C = + = +!! 8 ( ) ( ) 9 + 8 = 0 cu soluńiile =, = 8 =8. b) Petru =8 dezvoltarea va fi: y + y 8 şi termeul geeral: k 8 k k 6 k k 6 k 8 k k k k k k + = 8 ( ) = 8 = 8 = 8 k k k T C y C y y C y C y y 6 k N petru = vom avea y î termeul T 5. k. Avem: lg 0. Se cosiderã dezvoltarea + 8, 0N*, 0R, >0. a) Să se determie dacă difereńa ditre coeficietul biomial al celui de al treilea terme şi coeficietul biomial al celui de al doilea terme al dezvoltării este 7. b) Petru =9, verificańi dacă eistă valori ale lui, astfel îcât al doilea terme al dezvoltării să fie 900. 6
Biomul lui Newto - probleme propuse la eameul d!! R. a) C C = 7 = 7 = 7 5 = 0 cu!!!! soluńiile =-6 şi =9, atuci =9. ( ) ( ) ( ) 9 9 8 + = + +... şi termeul al lg 0 lg b) Petru =9 dezvoltarea va fi: C9 C9 ( ) doilea este ( ) 8 8 8 8 lg lg lg lg lg C9 9 9 9 900 00 8 = = = = şi logaritmăm ecuańia ( ) ( ) lg lg lg00 lg lg lg lg 0 y y y y = = =. Notăm lg =y şi obńiem = 0, cu =, =. Reveim la otańie, avem lg = =0 şi lg = =00. +, N, suma coeficieńilor ultimilor trei termei este egală cu. Să se afle valorile lui petru care suma ditre termeii al treilea şi al cicilea este egală cu 5. *. Î dezvoltarea biomului ( ) 0 R. ( ) C ( ) C ( )... C ( ) ( ) + C ( ) + C ( ) şi obńiem + = + + + + ( ) ( ) ( )!!! C + C + C = + + = + + =!!!!! + = = = şi atuci =6, iar dezvoltarea va fi ( ) 6 0 6, 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6 6 T + T = C + C = 6! 5 6!! 6! +. 5 6 +!! ( ) + 5 5 5 : 5 9 9 ( ) + = + = + =, otăm =y şi obńiem: y 9y + = 0 y =, y =. Reveim la ecuoscuta : = = şi = =. 7
Combiatorica.ProbabilităŃi Aalizã combiatorică. Permutãri DefiiŃia. O mulńime împreuã cu o ordie bie determiatã de dispuere a elemetelor sale este o mulńime ordoatã şi se otazã (a,a,,a ). DefiiŃia. Se umesc permutãri ale uei mulńimi A cu elemete toate mulńimile ordoate care se pot forma cu cele elemete. Numãrul permutãrilora elemete, N*, este P = =!; 0! = (pri defiińie). Factorial (proprietãńi):! = ( )!;! = ( + )! +. Arajamete DefiiŃia. Se umesc arajamete a elemete luate câte m (m ) ale uei mulńimi A cu elemete, toate submulńimile ordoate cu câte m elemete care se pot forma di cele elemete ale mulńimii A. Se m oteazã A. Numãrul arajametelor a elemete luate câte m este: ProprietãŃi: m A = ( ) ( m + ) = A = P ; A =! sau A =!; 0!!, m. ( m)! 0 A = A ; A =.. Combiãri DefiiŃia.. Se umesc combiãri a elemete luate câte m (m ) ale uei mulńimi A cu elemete toate m submulńimile cu câte m elemete, care se pot forma di cele elemete ale mulńimii A. Se oteazã C. ProprietãŃi:. 0 0 m m m m C = ; C = C = C 0 = ;. C = C ;. C = C + C. Numãrul submulńimilor uei mulńimi cu elemete este ; ; 5. m m m m m m C = C + C +... + Cm+ + Cm + Cm ; 6.! p p = C C... C ( p... pm ) p! p!... p! p + + ude p + p m- <. Biomul lui Newto ( + a) 0 k k k = C C + a+... + C a +... + C a ( a) 0 k k k k = C C a+... + ( ) C a +... + ( ) C a ude N. ProprietãŃi:. Termeul de rak k+ este T k+ = (-) k C k -k a k ;. k + k k ; k + k C = C C k + = C ; k+ k+ k a k a. T k+ = T k+ sau T k+ = T k+ ; k+ k+. Numãrul termeilor dezvoltãrii ( ± a) este +; 5. CoeficieŃii termeilor egal depãrtańi de etremi sut egali.
Combiatorica.ProbabilităŃi RelaŃii importate: 0 0 C + C +... + C = ; C C +... + ( ) C = 0; 0 5 C + C + C +... = ; C + C + C +... = ; 0 C = ( C ) + ( C ) +... + ( C ) Dezvoltãri particulare uzuale:. (a ± b) = a ± ab + b ;. (a + b + c) = a + b + c + (ab + bc + ac);. (a + b) = a + a b + ab + b ;. (a b) = a a b + ab b ; 5. (a + b + c) = a + b + c + (a b + a c + b a + b c + c a + c b) + 6abc; 6. (a + b) = a + a b + 6a b + ab + b. 5. Suma puterilor asemeea ale primelor umere aturale p p p p Dacã S p = + + +... +, p N, atuci avem: ( + ) ( + )(+ ) ( + S = ; S = ; S = 6 ( + )(6 + 9 + ) ( + ) ( + ) S = ; S5 = 0 O relańie care permite calculul lui S p, câd se cuosc S p-, S p-,, S este formula lui Pascal: p p+ p P+ p p+ (+a) p+ = + C S + C S +... + C S + 6. Probabilitate DefiiŃie. Pobabilitatea uui eveimet este egală cu raportul ditre umărul cazurilor egal posibile care realizeaza eveimetul şi umărul cazurilor egal posibile. Aşadar, vom spue că probabilitatea eveimetului A este egală cu raportul ditre umărul m al cazurilor favorabile realizarii eveimetului A şi umărul al cazurilor egal posibile. Vom scrie ( ) p A m =.
Combiatorica.ProbabilităŃi Probleme propuse. Să se calculeze C +!.. Se cosideră toate umerele aturale de trei cifre scrise cu elemete di mulńimea {,}. Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd u astfel de umăr, acesta sa fie divizibil cu.. Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulńimea {,,,..., 0 }, acesta să fie umăr rańioal.. După o reducere cu 0 %, preńul uui produs este 0 de lei. Să se determie preńul produsului îaite de reducere. 5. Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulńimea A= {,,,..., 0}, acesta să fie rańioal. 6. Să se calculeze A + C. 7. O sumă de 000 de lei a fost depusă la o bacă şi după u a s-a obńiut o dobâdă de 80 de lei. Să se calculeze rata dobâzii. 8. Să se compare umerele a= C + C şi b= C + C + C + C. 0 9. Să se calculeze C 5 + A5. 0. Să se rezolve ecuańia C = 8, N,.. Să se determie umărul tuturor submulńimilor de elemete care se pot forma cu elemete di mulńimea {,,,,5}.. Să se efectueze A C. 6 6. Să se determie umărul submulńimilor cu două elemete ale mulńimii {,,,}.. Să se calculeze C C. 5 8 8 5. Să se determie umărul atural, ştiid că A + C = 0. 6. Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd u elemet al mulńimii {0,,,,,5}, acesta să verifice iegalitatea!< 50. 7. Să se determie umărul atural, 5, ştiid că ( ) ( )! = 6. 5!
Combiatorica.ProbabilităŃi 8. Să se determie câte umere aturale de câte trei cifre disticte se pot forma cu elemetele mulńimii {,,,}. 9. Să se determie câte umere de două cifre se pot forma cu elemetele mulńimii {,,,}. 0. Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd u umăr atural de două cifre, acesta să fie pătrat perfect.. Să se rezolve ecuańia C + + =, ude 0N.. Să se calculeze C C + C C + C. 0. Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd uul ditre umerele divizibil cu. C, C şi C, acesta să fie 5. Să se calculeze C 5 A 6 +. 5. Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd u elemet di mulńimea {,,,, 5}, acesta să verifice iegalitatea.
Combiatorica.ProbabilităŃi Rezolvare. După formula combiărilor C k! = se obńie: C k!( k)!! = = = şi!! ( )! = = 6. Atuci C +! = + 6= 9. umărul cazurilor favorabile. p=. Numerele obńiute sut,,,,,, umărul cazurilor posibile, ; umărul cazurilor posibile este 8. Numerele divizibile cu sut, ; cazuri favorabile sut. p= =. 8. Petru a fi umăr rańioal trebuie sa fie cub perfect =, 8=, 7 =, sut cazuri favorabile şi 0 de cazuri posibile p= =. 0 0. Regula de trei simple: 80%...0 lei 00%... lei 00 0 = = 00, R: 00lei. 80 5. Di mulńimea A umere rańioale sut = şi 9= şi probabilitatea este!!!! 6. A + C = + = + = + =. ( 0 )!! ( )!!! 0! 7. 000 lei...00% 80 lei... % 80 00 = = 8. Răspus 8% dobâda auală. 000 8. 9. a= C + C!!! = + =!!!! ( ) ( )!! 0 = + + + = =, atuci a = b. b C C C C 8 C 0. C 5 A5 + = 5! + =+=8!! 5! 5! 5 5 5 0 5 5! + 5! = + = + =.! ( ) ( )! ( )!( ) ( ) ( )! = =!! ( ) = ( ) ( ) şi p=. 9 = 8 = 56 produsul a două umere aturale cosecutive este 56 7 8 = 56 = 8.. Numărul tuturor submulńimilor de elemete care se pot forma cu elemete ditr-o mulńime cu 5 elemete este 5! 5! C 5 = =! 5!!! ( ) 5 0 = = 0. 5
Combiatorica.ProbabilităŃi 6! 6! 6! 6! 6! 6!. A6 C6 = = = = 0 ( 6 )!! ( 6 )!!!!!!. Numărul submulńimilor cu două elemete ale mulńimii cu elemete este! C = = = 6.!!. Di k ( ) C = C C = C C C =. k 5 5 8 8 8 8 0!! 5. A C 0 +!!! + = ( ) ( ) = 0 + = 0 = 0 = 5. 6. Calculăm petru fiecare: 0!=<50;!=<50;!=<50;!=6<50;!=<50 şi 5!=0>50. 5 Probabilitatea p=. 6 7. ( )! ( 5 )!( )( ) = = ( )( ) şi se obńie ( )( ) = 6. Produsul 5! 5! ( ) ( ) a două umere aturele cosecutive este 6 @ = 6 = = 6.! 8. Se pot forma A = = = umere aturale de câte trei cifre disticte. ( )!! 9. Numere de două cifre disticte ditr-o mulńime cu patru elemete este! A = = = şi se mai pot forma umere cu cifrele idetice, atuci sut ( )! 6 umere de două cifre. 0. Pătretele perfecte de două cifre sut: 6, 5, 6, 9, 6, 8 şi sut 90 de umere de două 6 cifre. Atuci p= = 90 5. C + + + ( + )! = ( + ) ( + ) = + = = 0.!! 0. C C+ C C + C = + 6 + = 0.. C = 6, C5 = 0 şi C = p=.. C 5 = 5!! 5! A + 6= + 6=! 5!!!! ( ) ( ) 5!! + 6= 0 + 6=. 5. Verificăm petru fiecare elemet al mulńimii: = A ; = A ; = 9 8 F ; = 6 6 A ; = 5 5 5 5 A. Probabilitatea umărul cazurilor favorabile p=. Iegalitatea este verificată petru,,,5 umărul cazurilor posibile p=. 5 6
Vectori probleme rezolvate Probleme propuse. Fie puctele A(, ) şi B(,). Să se determie umerele reale a şi b astfel îcât AB= ai+ b j.. Î reperul cartezia Oy se cosideră puctele A(, 8) şi B(6,). Să se determie coordoatele vectorului OA+ OB.. Să se determie umărul real a ştiid că vectorii u= i + a j coliiari.. Î reperul cartezia ( O, i, j) v i a j sut şi = + ( ) se cosideră vectorii u= i + j şi v= 5i j. Să se determie coordoatele vectorului 5 u + v. 5. Să se determie coordoatele puctului B, ştiid că A(,) şi AB= i + j. 6. Se cosideră vectorii v= i + j şi u= i j. Să se determie coordoatele vectorului w= v u. 7. Să se calculeze AB+ BC+ CA, ştiid că A,B şi C sut vârfurile uui triughi. 8. Se cosideră triughiul echilateral ABC îscris îtr-u cerc de cetru O. Să se arate că OA+ OB+ OC= O.. Să se determie umerele reale α şi β petru care vectorul OA 5OB are coordoatele (α,β ). 9. Î reperul cartezia Oy se cosideră vectorii OA(, ) şi OB(, ) AB 0. Dacă AB+ CB= 0, să se determie valoarea raportului BC.. Î reperul cartezia Oy se cosideră vectorii OA(, ) şi OB(,) coordoatele vectorului OM, ude M este mijlocul segmetului AB.. Să se determie. Fie ABC u triughi echilateral îscris îtr-u cerc de cetru O. Să se calculeze AB+ AC AO.. Să se determie umărul real m petru care vectorii v= i + j şi w= i + mj sut coliiari.
Vectori probleme rezolvate Rezolvare: AB i y y j şi. Vectorul determiat de două pucte A(, y) şi B(, y ) este = ( ) + ( ) se obńie AB= ( ) i+ ( ) j= i + j. Atuci a= - şi b=. ( ). OA= i 8 j, OB= 6i + j şi obńiem OA+ OB= ( + 6) i + ( 8+ ) j = 0i 5 j. Coordoatele vectorului OA+ OB sut (0, 5). y. Doi vectori u= i + y j şi v= i + y j sut coliiari dacă =. ObŃiem: y a = a= a a=. a 5 u+ v= 5 i + j + 5i j = 5i. ( ) ( ) 5. Puctul B(,y) şi = ( ) + ( ) + 0 j+ 5i j = 7 j. AB i y j. Atuci = şi y = se obńie = şi y = 5 iar B(,5). w= v u= i + j i j = 6i 6. ( ) ( ) + 8 j 6i + 9 j = 7 j. 7. AB+ BC= AC după regula triughiului, iar AC= CA şi atuci AB+ BC+ CA= AC+ CA= CA+ CA= 0. 8. [OA] = [OB] = [OC] raza cercului circumscris OA+ OB= OD, regula paralelogramului AOBD este romb şi AOD este echilateral, atuci [OA]=[OD] OD= OC. Avem OA+ OB+ OC = OD+ OC = OC+ OC = O. 9. OA= i j şi OB= i j şi atuci α = şi β = 5. OA 5OB= i j 5 i j = 6i 9 j 5i+ 0 j= i+ 5 j, iar ( ) ( ) 0. Di AB+ CB= 0 AB= CB AB= BC AB = BC
Vectori probleme rezolvate. Di M mijlocul segmetului AB A+ b ya+ yb M = M = şi ym = ym =, M, şi OM,.. AB+ AC= AD şi ABDC romb AD = AE şi AO= AE AE= AO, atuci AD =AO AD AO= 0 AB+ AC AO= 0.. = m= m=. m
Trigoometrie probleme rezolvate. Se cosideră triughiul ABC cu AB =, AC = 7 şi BC =. Să se calculeze măsura ughiului B. R. Di teorema cosiusului: AC = AB + BC AB AC cos B se obńie: cos B= AB + BC AC AB BC 0 m( B ) = 0. 6+ 7 cos B= = = = = 8. Să se calculeze aria triughiului ABC ştiid că AC =, m( BAC) = 0 şi AB =. 0 AC AB si A si0 R. A ABC = şi obńiem A ABC = = =.. Să se calculeze aria triughiului ABC, ştiid că AB = AC =, m( A) = 0. 0 AB AC si A si0 R. S= S = = =.. Să se calculeze raza cercului circumscris triughiului ABC, ştiid că AB = şi m( C) = 0. a b c R. Teorema siusurilor = = = R, ude R este raza cercului circumscris si A si B sic AB triughiului ABC. ObŃiem: R R R R 0 sic = si 0 = = =. 5. Se cosideră triughiul ABC cu AB =, AC = şi BC = 5. Să se calculeze cos B. R. Di teorema cosiusului se obńie AB + AC BC + 5 0 cos B= cos B= = 0 m( B) = 90. AB AC 6. Să se calculeze si 0 0 + cos 50 0. R. si 0 0 = si (80 0 50 0 ) = si 50 0 şi si 50 0 + cos 50 0 =. 7. Se cosideră triughiul ABC, avâd aria egală cu 5. Să se calculeze si A, ştiid că AB = 6 şi AC = 0. AB AC si A 6 0 si A 0 R. Di S ABC = = 5 60 si A= 0 si A= = 60 8. Fie triughiul dreptughic ABC şi D mijlocul ipoteuzei BC. Să se calculeze lugimea laturii AB, ştiid că AC = 6 şi AD = 5. R. AD este mediaă îtr-u triughi dreptughic şi este jumătate
Trigoometrie probleme bacalaureat rezolvate di ipoteuză BC = AD BC = 0. Teorema lui Pitagora: BC = AC + AB AB = BC - AC AB = 8 9. Se cosideră triughiul ABC cu AB = 5, AC = 6 şi BC = 7. Să se calculeze cos A. R. Di teorema cosiusului: BC = AB + AC AB@AC@ cosa obńiem AB AC BC 5 6 7 5 6 9 cos A= + cos A= + = + = =. AB AC 5 6 5 6 5 5 0. Să se calculeze aria uui paralelogram ABCD, ştiid că AB =, AD = şi m( BAD)=0 0. R. Aria paralelogramului este @ S ABD. şi 9 9 S ABCD = =. S abd AB AD A 9 = = = = 0 si si0 9 S abd. Să se calculeze raza cercului circumscris triughiului ABC ştiid că BC = 8 şi m( A)=5 0. R. Di teorema siusurilor: BC 8 8 R R R 0 si A = si 5 = = = 8 8 = =.. Se cosideră triughiul ABC de arie egală cu 6, cu AB = şi BC = 8. Să se calculeze sib. AB BC si B 8 si B R. Di S ABC = 6= si B= si B=.. Să se calculeze cos, ştiid că R. Di formula fudametală a trigoometriei avem: 6 9 cos = si cos = = cos =. 5 5 5 si 5 = şi este măsura uui ughi ascuńit.. Să se calculeze perimetrul triughiului ABC ştiid că AB =, BC = şi m( B)=60 0. R. Di teorema cosiusului avem: 0 AC = AB + BC AB BC cos B AC = + cos 60
Trigoometrie probleme bacalaureat rezolvate AC = + 6 6 = 0 8= AC= = şi perimetrul este P = AB + BC +AC P = ++ = 6+. 5. Să se calculeze perimetrul triughiului ABC, ştiid că AB = 5, AC = şi m( A) = 60 0. R. Di teorema cosiusului î ABC BC = AB + AC AB AC cos B BC = 5+ 6 5 cos60 = 0 = BC= şi P ABC = AB+ AC+ BC P = 5+ + = 9+. 0 ABC 6. Triughiul ABC are AB =, AC = şi BC = 5. Să se calculeze lugimea îălńimii duse di vârful A. R. Di AB =, AC = şi BC = 5 BC = AB + AC şi triughiul este dreptughic. Notăm AD îălńimea dusă di vârful A. Atuci: AB AC BC AD AB AC S ABC = = AB AC= BC AD AD= AD= =. BC 5 5 7. Să se calculeze si5. R. si5 = si(80 0 5 0 ) = si5 0 =. 8. Raza cercului circumscris triughiului ABC este, iar BC =. Să se calculeze si A. BC R. Di teorema siusurilor avem: = R = si A=. si A si A 9. Să se calculeze cos 5 0 + si 5 0. R. si 5 0 = si (80 0 5 0 ) = si 5 0 şi cos 5 0 + si 5 0 = cos 5 0 + si 5 0 = după formula trigoometrică fudametală. 0. Să se determie umărul real petru care, +7 şi +8 sut lugimile laturilor uui triughi dreptughic. R. Triughiul dreptughic verifică teorema lui Pitagora: ( + 8) = + ( + 7) + 6+ 6= + + + 9 5= 0 cu soluńiile = 5 şi =. Fiid lugimea uei laturi = 5.. Să se calculeze aria triughiului ABC, ştiid că AB = 6, AC = 8 şi BC =0. R. Di 0 = 6 + 8 BC = AB + AC ABC dreptughic AB AC 6 8 S ABC = S ABC = =.
Trigoometrie probleme bacalaureat rezolvate. Î triughiul ABC măsura ughiului C este egală cu 60, AB = şi BC =. Să se calculeze si A. BC AB R. Di teorema siusurilor avem: = = si A= =. 0 si A sic si A si 60. Să se calculeze si0. R. si0 = si(80 0 60 0 ) = si60 0 =.. Să se calculeze aria triughiului ABC, ştiid că AB =, AC = şi măsura ughiului A este egală cu 0. R. S ABC AB AC si A 9 = S ABC = =. 5. Să se calculeze si70 0 si0 0. R. si70 0 si0 0 = si(80 0 0 0 ) si0 0 = si0 0 si0 0 = 0. 6. Să se calculeze cos0 + cos60 + cos0 + cos50. R. cos0 + cos60 + cos0 + cos50 = cos0 + cos60 + cos(80 0 0 ) + +cos(80 0 50 )= cos0 + cos60 cos60 0 cos0 0 = 0. 7. Să se calculeze aria triughiului MNP dacă MN=6, NP= şi m(ëmnp)=0. MN NP si N 6 R. S MNP = = = 6. 8. Se calculeze si 60 0 cos0 0. R. si 60 0 cos0 0 = si 60 0 si(90 0 0 0 ) = si 60 0 si 60 0 = 0. 9. Să se calculeze (cos50 0 +cos0 0 )(si0 0 si 60 0 ). R. Di cos50 0 = cos(80 0 50 0 )= cos0 0 şi si0 0 =si(80 0 0 0 )=si60 0 (cos50 0 +cos0 0 )(si0 0 si 60 0 )=( cos0 0 +cos0 0 )(si60 0 si60 0 )=0. 0. Să se calculeze si0 0 cos5 0 +si 60 0. 0 0 0 + R. si0 cos5 + si 60 = + =.