Modelul Tramo - Seas uiliza în analiza seriilor dinamice Prof. univ. dr. Consanin ANGHELACHE (acincon@yahoo.com) Academia de Sudii Economice din Bucureși / Universiaea Arifex din Bucureși Prof. univ. dr. Gabriela Vicoria ANGHELACHE (gabriela.anghelache@gmail.com) Academia de Sudii Economice din Bucureși Oana BÂRSAN (acincon@yahoo.com) Academia de Sudii Economice din Bucureși Absrac Seriile de imp sun foare imporane în analiza și compararea indicaorilor macro-economici pe plan inernațional. Meodologia de prelucrare și analiză ese, de regulă, diferiă de la o țară la ala. Penru aceasa se pune problema unifi cării conținuului meodologic de culegere și sineizare a seriilor de imp. În aces sens, Eurosa ese preocupa de armonizarea meodologiei de uilizare a seriilor dinamice. Seriile dinamice asigură și analiza evoluțiilor creșerii economice (Produsul Inern Bru) prin descompunerea pe facori de influență. Problema privind descompunerea seriilor cronologice a fos sineizaă de Eurosa în meodologia Tramo- Seas (Time Series Regression wih ARIMA Noise, Missing Observaions, and Ouliers Signal Exracion in ARIMA Time Series). Elemenele eoreice care sau la baza acesei meodologii asigură inerprearea corecă a fl uxurilor comerciale, mai ales la nivel de grupe de produse. Meodologia Tramo-Seas cuprinde mai mule eape după cum urmează: consruirea modelului ARIMA; idenifi carea valorilor exreme; liniarizarea și apoi prelucrarea prin meoda Seas penru descompunerea efecivă; uilizarea meodei Seas ca funcție de densiae a modelului esima; esimarea paramerilor penru componenele considerae și în fi nal, inroducerea valorilor exreme și a efecelor speciale în componenele esimae. Aspecele pariculare privind conținuul acesei meodologii sun prezenae în cadrul aricolului indenifi candu-se și relațiile maemaice specifi ce fi ecărei eape și a meodologiei Tramo-Seas în fi nal. Cuvine cheie: Modelul ARIMA, meoda Tramo, meoda Seas, meodologie, serie dinamică, influență facorială. Clasificarea JEL: C10, C32, C46 Inroducere In prezen, seriile de imp desezonalizae reprezina sursa principala de informaii penru analisi economici, poliicieni si diferie caegorii de Revisa Română de Saisică - Suplimen nr. 6 / 2019 3
facori de decizie care acioneaza in diverse domenii. Daoria dezvolarilor recene a ehnicii de calcul si a eoriei modelarii au aparu mai mule meode pracice de prelucrare si descompunere a seriilor de imp. Insiuele de saisica organizae la nivel inerguvernamenal si naional sun cele in aribuia carora le revine sarcina aa a inregisrarii ca si a socarii daelor obinue in urma observarii precum si prelucrarea acesora penru a fi puse inr-o forma avanajoasa uilizaorului final. Prin urmare, meodele de descompunere a seriilor cronologice au reprezena un real ineres penru insiuele de saisica care au prelua, sisemaiza si dezvola acese meode, asigurand asfel un cadru insiuionaliza si coeren penru cercearile viioare din aces domeniu. Insiuul de saisica al Uniunii Europene, Eurosa, coleceaza dae de la insiuele naionale de saisica ale arilor membre, ale arilor candidae si ale alor ari sau zone economice, considerae parenere comerciale semnificaive. Acese dae sun inregisrae lunar sau rimesrial. Daele anuale se obin, in general, prin agregarea daelor lunare sau rimesriale. Daoria fapului ca meodologia de prelucrare si analiza a insiuelor naionale de saisica din arile membre si indeosebi din arile candidae nu sun pe deplin armonizae prinre aribuiile Eurosa se numara si recomandarea unor meode de prelucrare si analiza in sperana de a fi uilizae de ca mai mule ari din aces spaiu. Lieraure review Anghelache și Anghel (2018) au prezena și au analiza aspecele fundamenale cu care operează economeria. Anghelache (2008) ese o lucrare de referință în domeniul saisicii economice, cuprinzând elemene ale prelucrării seriilor dinamice. Arcidiacono și Miller (2011) au aborda o serie de aspec cu privire la evaluarea modelelor dinamice. Bosq (2012) a analiza esimarea și predicția proceselor sochasice. Corbore, Durlauf and Hansen (2006) au sudia elemene eoreice și pracice ale economeriei. Ellio, Müller și Wason (2015) au avu preocupări în sfera ipoezei nule. Gach și Pöscher (2011) au evalua densiaea neparamerică. Lohr (2007) a sudia elemene ale regresiei. Pesaveno și Rossi (2006) au sudia aspec legae de inervalul de încredere în aciviaea de eșanionare. Meodologia cerceării, dae, rezulae şi discuții In ceea ce privese meodologia de descompunere a seriilor cronologice, dupa o indelungaa aciviae de cerceare siinifica comparaiva, meoda preferaa, in mod oficial de Eurosa, care de alfel s-a si impus in spaiul european, ese meodologia TRAMO-SEATS (Time Series Regression 4 Romanian Saisical Review - Supplemen nr. 6 / 2019
wih ARIMA Noise, Missing Observaions, and Ouliers - Signal Exracion in ARIMA Time Series). Vom efecua o prezenare succina a principalelor elemene eoreice care sau la baza acesei meode, in mare pare provenie din eoria proceselor socasice si bineineles uilizarea meodei penru analiza fluxurilor comerciale in special la nivel de grupe de produse. Sineic, meodologia TRAMO-SEATS poae fi descrisa prin idenificare urmaoarelor eape pe care le presupune: - un model ARIMA ese idenifica penru seria de dae observae in cadrul meodei TRAMO; - sun idenificae auoma valorile exreme si sun esimae si ale efece speciale (numarul de zile lucraoare, variabile diferielor sarbaori legale ec.) o in cadrul meodei TRAMO; - seria de dae liniarizaa prin TRAMO ese apoi prelucraa prin meoda SEATS unde are loc descompunerea efeciva; - cu ajuorul meodei SEATS funcia de densiae specrala a modelului esima ese descompusa in funciile de densiae specrala ale componenelor neobservae care sun presupuse a fi orogonale; - o prin inermediul meodei SEATS se face esimarea paramerilor penru cele doua componene: componena rend-ciclu si componena ajusaa sezonier; penru ca paramerii sun esimai prin filrul Wiener- Kolmogorov seria de dae ese exrapolae la exremiaile sale; - in final valorile exreme si efecele speciale sun reinroduse in componenele esimae. Meode de descompunere a seriilor dinamice Valorile discree inregisrae in imp, obinue ca rezula al observaiilor facue asupra diferielor fenomene, sun inregisrae sub forma seriilor cronologice, denumie si serii de imp sau serii dinamice. O definiie foare succina a unei serii cronologice ar puea fi o colecie de valori inregisrae secvenial in imp. Cu mul imp in urma, saisicienii care si-au desfaura aciviaea in diferie domenii au fos preocupai de descompunerea seriilor cronologice si de analiza elemenelor care le compun. In domeniul economic descompunerea clasica in componena de rend, componena ciclica, componena sezoniera si componena aleaore a fos in principal jusificaa de necesiaea analizei si prognozei ciclurilor de afaceri. O pracica imporana a deveni inlaurarea componenei sezoniere, sau alfel spus desezonalizare, cu scopul de a se obine o imagine mai clara asupra evoluiei pe ermen lung a fenomenului economic sudia. Revisa Română de Saisică - Suplimen nr. 6 / 2019 5
Desi iniiaorul meodelor moderne de descompunere ese considera Macaulay (1930) acese meode isi gasesc originea cu mul imp in urma, secolul al XIX-lea, in domeniul asrologiei si al meeorologiei sudiae in Anglia la acea vreme. Aunci s-a realiza fapul ca o serie cronologice observaa poae fi generaa de mai mule componene neobservae care se afla la baza seriei observae, idee care s-a meninu in imp. Primele sudii s-au concenra asupra corelaiei false care poae sa apara inre variabile economice daoria rendului si care prin urmare era inlaura inaine de a sudia corelaia efeciva. Poyning (1884) si Hooker (1901) au incerca sa inlaure componena sezoniera si cea de rend din evoluia preurilor calculand media preurilor pe mai muli ani. Spencer (1904) si Andersen (1914) au inrodus uilizarea polinoamelor de ordin superior in eliminarea componenei de rend. Un al doilea val de lucrari s-a concenra asupra incercarii de a previziona componenele unui ciclu economic prin inlaurarea componenei sezoniere si a celei de rend in idea ca parea ramasa a seriei ofera o mai buna esimare a modificarilor ciclice. O foare inensa aciviae in aces domeniu a fos desfauraa in anii 1920 si 1930 daoria lucrarii lui Pearson (1919) care a considera ca o serie de imp poae fi reprezenaa ca sursa a componenelor sale in cazul adiiv sau ca produs al componenelor sale in cazul muliplicaiv: (1) unde: X - seria cronologica observaa S - componena sezoniera T - componena de rend C - componena ciclica R - componena aleaoare (2) Meoda lui Pearson presupunea simple ransformari ale daelor penru a inlaura rendul iar apoi se calculeaza esimari ale componenei sezoniere. Desi, dupa Yule (1921), care facea referire la o lucrare din 1905, Pearson nu ese primul care inroduce cele paru componene ale seriei de imp, el ese cu sigurana primul care a gasi o meoda simpla penru a le esima. Meoda lui Pearson uilizeaza facori sezoniere ficsi desi in lieraura de specialiae de la acea vreme aparuse ideea ca sezonaliaea fixaa nu ese valida penru orice domeniu de cerceare. Sydensicker si Brien (1922) au fos primii care au inrodus facorul sezonier variabil in meodele de descompunere iar Crum (1925) a fos cel care a modifica meoda lui Pearson penru a o adapa la sezonaliaea variabila. 6 Romanian Saisical Review - Supplemen nr. 6 / 2019
Meoda lui Macauley consa in rei eape eseniale: - Se calculeaza (penru dae lunare) o medie mobila cenraa de ordin 12 iar apoi se raporeaza valorile observae la valorile obinue prin media mobila. Se calculeaza medii penru fiecare luna din valorile asfel obinue care reprezina indicii de sezonaliae - Se esimeaza rendul cu un polinom linear sau de grad superior - Se raporeaza rendul la media mobila penru a se obine o esimare a componenei sezoniere. Muli cerceaori au dezvola variane alernaive care se bazeaza pe mediane mobile sau medii ajusae. Unele pracice conemporane inca se mai bazeaza pe meode a caror baze au fos puse in acea perioada. Cele mai imporance realizari in domeniul descompunerii seriilor de imp aparin anilor 1950 daoria apariiei meodelor de nivelare exponeniala si a inroducerii uilizarii calculaorului in analiza saisica. Ca urmare a acesor doua noi direcii si in special daoria viezei calculaorului in 1954 a aparu meoda Census II elaborae de Biroul de saisica al SUA (U.S. Bureau of he Census) iar in anul 1955 a aparu cea de-a doua versiune, Census II. Julius Shiskin a adus o conribuie majora la elaborarea acesor meode carora li s-au adus o serie de criici: - nu se bazeaza pe o eorie din saisica maemaica riguroasa, o rasaura comuna modelelor ad-hoc; - aloca o pare din componena aleaore celorlale componene; - disorsioneaza componenele daoria mediei mobile; - elimina doar variaiile sezoniere foare pronunae; - repearea mediei mobile nu se jusifica de cele mai mule ori. Acese criici au conribui la apariia varianelor X-3 si X-10. Evoluia ulerioara a condus la apariia, in 1965, a versiunii X-11 care si-a gasi o foare larga aplicabiliae. La aceasa meode si-au adus conribuia Eisenpress (1956), Marris (1960) si Young (1965) si alii. X-11 conine meode, bazae pe regresie, de ajusare penru zilele lucraoare si permie alegerea varianei de sezonaliae, adiiva sau muliplicaiva. Ca urmare a apariiei meodologiei ARIMA elaborae de Box si Jenkins in anii 1970 a aparu o noua versiune, X-11-ARIMA, elaboraa de Dagurn. (1980), Insiuul de Saisics al Canadei. Faa de X-11, noua versiune, X-11- ARIMA permie realizarea unor previziuni si esimari la finalul respeciv la incepuul seriei de imp cu scopul de a obine o mai buna reprezenare la exremiaile seriei (backcasing/forecasing). Ulima versiune X-12-ARIMA aduce modificari imporane. Uilizeaza un model de regresie de ip ARIMA (REGARIMA) de preajusare a daelor penru valorile exreme si ali facori de influena speciali si inroduce uilizarea specrului penru specificarea Revisa Română de Saisică - Suplimen nr. 6 / 2019 7
componenelor neobservae. Toaa aceasa familie de meode (X-11, X-11- ARIMA, X-12-ARIMA) au la baza aceiasi meoda de filrare uilizaa in X-11 si au domina imp de 40 eoria si pracica saisica. Toae meodele de descompunere prezenae pana in aces punc inra in caegoria modelelor ad-hoc care nu in con de srucura seriei dinamice, nu au la baza eoreme maemaice sau saisice riguroase, nu se bazeaza pe modele explicie si deci sun considerae meode empirice. Mai recen a aparu o noua direcie de evoluie a meodelor de descompunere care a da repa nasere la o alernaiva serioasa penru modelele ad-hoc. A aparu asfel o clasa de meode bazae pe modelarea iniiala a seriei si a componenelor neobservae. Aceasa clasa ese imparia la randul ei in doua subclase imporane: abordarea srucurala si abordarea globala. Abordarea de ip srucural ese aribuia in special auorilor Engle (1978), Harvey si Todd (1983) si se bazeaza pe esimarea direca a unor modele ARIMA penru fiecare din componenele neobservae. Abordarea globala presupune gasirea unui model ARIMA penru seria iniiala iar apoi exragerea din acesa a unor modele penru fiecare componena. Meoda TRAMO-SEATS face pare din aceasa ulima subclasa si va fi exinsa in cele ce urmeaza. Meoda X-12-ARIMA ese considerae meode care face recerea de la meodele empirice la cele bazae pe modelarea socasica a seriei si a componenelor sale. Procesele socasice si seriile de imp Seriile cronologice, inregisrae in urma observarii fenomenelor economice, po fi considerae, din punc de vedere maemaic, ca realizari sau raiecorii ale unor procese socasice. Un proces socasic poae fi descris ca o inregisrare saisica care evolueaza in imp in concordana cu legile probabilisice. Expresia sochasic ese de origine greaca si are sensul de lega de sansa. Prin urmare se poae uilize expresia proces inamplaor sau proces aleaor ca sinonim penru proces socasic. Bineineles ca aflandu-ne in sfera comerului exerior nu puem vorbi de procese aleaoare pure sau procese aleaoare prin insasi naura lor, dar puem privi un fenomen economic, de naura fluxurilor comerciale, ca fiind un proces aleaor in masura in care nu observam si nu analizam facorii de influena care deermina evoluia respecivului fenomen. Chiar in condiiile in care am incerca o abordare deerminisa, caniaiva sau caliaiva, ramane o componena din evoluia respecivului proces care fie nu poae fi explicaa (ese mai greu explicabila) si care poae fi din nou abordaa probabilisic. 8 Romanian Saisical Review - Supplemen nr. 6 / 2019
Maemaic, un proces socasic poae fi defini ca o colecie de variabile aleaoare care sun ordonae in imp si definie pe o mulime de punce, discrea sau coninua. Teoria proceselor socasice se ocupa cu sudiul familiilor de variabile aleaoare definie pe acelasi camp de probabiliae. Daca consideram {Ω, K, P} un camp de probabiliae, iar E mulimea variabilelor aleaoare (cu valori reale) definie pe Ω si T o mulime oarecare aunci un proces socasic cu mulimea de parameri T ese o aplicaie de forma: Formal, un proces socasic depinde de doua variabile: Penru a indica un proces socasic, se folosese in general noaiile, w, ( w) sau noaia mai simpla (). Prin urmare, un proces socasic ese forma dinr-o familie de variabile aleaoare { ; T } penru care se dau funciile de repariie mulidimensionale ale variabilelor. { 1, ( 2)... ( n } Penru fiecare T, (.) reprezina o variabila aleaoare definia pe {Ω,K, P}, iar penru fiecare realizare, reprezina o funcie definia pe T, numia raiecoria procesului corespunzaoare realizarii ω. Cand mulimea T ese formaa dinr-un numar fini de elemene, T { 1, 2...... n} procesul socasic (w) ese echivalen cu un vecor aleaor. Daca T consa numai dinr-o mulime numarabila de elemene, ermenul de proces poae fi inlocui cu cel de lan. Variabilele aleaore din E po fi considerae ca sari ale unui fenomen economic iar mulimea paramerilor T poae fi aleasa ca o reprezenare discrea a impului (ani, rimesre, luni ec.). Considerand ca mulimea paramerilor T ese o submulime a drepei reale reprezenand impul, procesul socasic { ; T } da nasere unui al concep, mul mai familiar saisicii economice, acela de serie cronologica (serie de imp sau serie dinamica). Penru T desemnarea unei serii de imp se uilizaa in general noaia.{ X ; } O meoda deosebi de imporana de descriere a unei serii de imp ese calcularea momenelor procesului, in special a primului si a celui deal doilea momen, care sun reprezenae prin funciile de medie, variana si auocovariana ale procesului. Se sie ca funcia variana ese un caz paricular al funciei de auocovariana penru1 2. Penru a sandardize funcia de auocovariana se calculeaza in general funcia auocorelaie care ia valori in inervalul [-1, 1]. O serie dinamica oarecare { X ; T } consiuie un obiec de sudiu prea general penru a puea fi analiza efficien. 0 anumia clasa de serii, seriile dinamice saionare, anumie proprieai care le fac sa devina preferabile in modelarea si prognoza unor fenomene. Revisa Română de Saisică - Suplimen nr. 6 / 2019 9
Din pacae insa, seriile de imp puraoare de informaii economice in general nu sun saionare si necesia o prelucrare speciala penru a fi aduse la aceasa forma. Exisa doua modaliai de a defini saionariaea care conduc la concepele de saionariae srica (saionariae in sens resrans) si saionariae slaba sau de ordinul doi (saionariae in sens larg). Avand in vedere ca o disribuie normala ese comple descrisa de primele doua momene, o serie dinamica cu saionariae slaba care ese normal disribuia va fi de asemenea si sric saionara. Formal, spunem ca o serie de imp ese saionara aunci cand observaiile flucueaza in jurul unei medii consane, independena de imp si cand variana flucuaiilor ramane pe ansamblu consana in imp. Puem de asemenea observa daca o serie ese saionara folosind reprezenarea grafica a seriei. Daca reprezenarea grafica a unei serii de imp nu evideniaza nici o schimbare semnificaiva in medie de-a lungul impului, aunci spunem ca seria esesaionara in repor cu media. Daca reprezenarea grafica a unei serii de imp nu araa nici o schimbare evidena a varianei de-a lungul impului, aunci spunem ca seria ese saionara in rapor cu variana. In aciviaea economica reala exisa foare puine fenomene care po fi descrise prin serii dinamice saionare iar daca sun saionare sun doar penru o perioada scura de imp, deci se poae vorbi, din punc de vedere pracic, doar de o saionariae locala. Seriile de imp, asa cum sun observae in realiae, prezina in general un rend (medie variabila) fie ascenden fie descenden. Prin diferie operaiuni maemaice ele po fi insa aduse la o forma saionara. Trendul sau ale elemene non-saionare ale unei serii de imp au ca efec auocorelaii poziive care domina diagrama funciei de auocorelaie. O cale de indeparare a non-saionariaii ese meoda operaorilor de diferena sau diferenelor. Aceasa meoda ese o pare inegrala a procedurii recomandae de Box si Jenkins (1970). Penru dae non-sezoniere, diferenierea de ordinul inai ese de obicei suficiena penru a obine o serie cu o relaiva saionariae, asfel ca noua serie {y 1, y 2... y N-1 } se obine din seria iniiala {x 1, x 2... x N } prin x x x 1 y 1 Uneori se inampla ca noua serie a diferenelor sa nu fie insa saionara si prin urmare ese necesar sa consruim o serie a diferenelor de ordinul doi. Diferenele de ordinul doi se definesc asfel: In pracica, nu ese aproape niciodaa necesar sa folosim diferenierea de ordine mai mari de doi, deoarece daele reale implica endine in general liniare sau cel mul exponeniale. (3) 10 Romanian Saisical Review - Supplemen nr. 6 / 2019
In cazul in care seria iniiala ese non-saionara si conine corelaii sezoniere, se impune folosirea operaorului de diferena sezoniera. 0 diferena sezoniera ese diferena dinre o observaie si corespondenul ei din anul anerior. Deci, penru cazul daelor lunare cu o variaie anuala care se repea la 12 luni, vom considera diferena Δ 12 x = x - x -12. In cercearile eoreice si pracice asupra proceselor dinamice saionare, s-a pus in mod firesc problema de a se si daca sudiul acesor procese nu s-ar puea efecua, cu precizie saisfacaoare, doar pe baza unei singure realizari, acoperind insa un orizon emporal mare. 0 asemenea ipoeza de lucru a fos sugeraa de rasaurile definiorii ale unui proses saionar a carui valoare medie si dispersie nu depind de imp, iar funcia de corelaie nu depinde de originea de calcul luaa in considerare. Pe de ala pare, realiaea obieciva si in deosebi cea a proceselor social-economice nu ne ofera deca unicae nerepeabile ale diferielor procese socasice, asfel inca verificarea pracica a juseei ipoezei de lucru aminie, ar avea darul sa deschida posibiliai largi de cerceare. Cercearile eoreice din ulimele decenii au dus la formularea unui rezula de imporana deosebia afirmand in esena, ca o clasa desul de mare a proceselor dinamice saionare se bucura de asa numia proprieae de ergodiciae. Daca un proces dinamic saionar poseda aceasa proprieae, aunci ese suficien sa luam in sudiu la inamplare, doar si o singura realizare a acesuia; realizarea luaa in sudiu - prelucraa siinific - ne poae oferi o reprezenare desul de buna asupra caracerisicilor ipice ale procesului in ansamblul sau. Dupa cum se vede, proprieaea de ergodiciae a unui proces saionar consa in aceea ca fiecare realizare separaa a acesuia consiue un reprezenan caracerisic penru ansamblul de realizari posibile. Din punc de vedere maemaic aceasa inseamna ca fiecare din realizarile posibile ale procesului are aceeasi probabiliae de apariie. Aces lucru ese cauza de fapul ca asupra procesului dinamic saionar isi exercia influena una si aceiasi grupa de facori. Daca penru un proces dinamic saionar probabiliaile de apariie ale fiecarei realizare sun diferie aunci valorile ipice ale fiecarei realizari sun diferie iar procesul respeciv nu se mai bucura de proprieaea de ergodiciae. Cauza lipsei de ergodiciae consa in heerogeniaea inerna a procesului, adica fiecare realizare se daoreaza unei grupe diferie de facori de influena. Un insrumen pracic penru idenificarea proceselor saionare ergodice ese corelograma generaa de funcia de auocorelaie. In general poae fi consaaa lipsa de ergodiciae aunci cand funcia de auocorelaie ramane consana de la un momen fixa in imp. Revisa Română de Saisică - Suplimen nr. 6 / 2019 11
Un rezula general asupra proceselor liniare care furnizeaza o reprezenare analiica foare uila a proceselor poara denumirea de reprezenarea fundamenala a lui Wald sau eorema de reprezenare fundamenala care ese prezenaa in coninuare. Daca X, ese un proces socasic liniar saionar, aunci X poae fi exprima ca suma dinre o funcie deerminisa si o medie mobila a unui sir infini de variabile aleaoare independene: (4) unde: e ese un zgomo alb cu medie zero si variana consana V a si indeplinese proprieaile: 1. j 0 v j 2. suficiene penru convergena seriei ce definese polinomul (B). Componena deerminisa corespunde in general mediei procesului iar media unui proces saionar nu ese dificil de esima. Parea socasica a j procesului corespunde mediei mobile 0v j jb. Daca ese un proces socasic liniar saionar de medie 0 sau in cazul in care media ese ne nula dar a fos inlauraa aunci, poae fi exprima ca o medie mobila de ordin infini conform urmaoarei relaii: (5) Cele doua mari pari ale meodei de descompunere descrisa in lucrarea de faa, TRAMO si SEATS abordeaza cele doua componene ale unui proces, componena deerminisa si respeciv componena socasica. Componene socasica ese cea care sufera descompunerea propriu-zisa dupa ce in prealabil seria de imp ese ajusaa prin meoda TRAMO. Se observa insa fapul ca eorema de reprezenare fundamenala implica exisena unui 12 Romanian Saisical Review - Supplemen nr. 6 / 2019
sir infini de elemene ceea ce nu corespunde realiaii fenomenelor specifice comerului exerior si in general, fenomenelor observabile saisic. Modelele ARMA reprezina un insrumen foare uil penru aproximarea componenei socasice, cu numar infini de elemene, din reprezenarea fundamenala a lui Wald. Pornind de la relaia (2.26) a reprezenarii lui Wald avem : (6) Daca coeficienii sun fixai asfel inca aunci puem scrie: i i si p 1 (7) Uilizand formula sumei unei progresii geomerice obinem: (8) de unde rezula : Prin reparamerizare se poae obine formula penru un AR: In cele prezenae mai sus a rezula ca o anumia clasa de procese care admi reprezenarea fundamenala a lui Wald po fi scrise ca procese auoregresive. Inr-un mod similar un proces auoregresiv de ordin infini de forma: (9) ese echivalen cu un proces MA (1): x ( 1 B) e Aceasa proprieae a unui proces MA(1) de a admie o reprezenare auoregresiva infinia dar convergena ese cunoscua ca si proprieaea de inversabiliae iar condiia ca p 1 reprezina condiia de inversabiliae. Aa modelele auoregresive ca si modelele de medie mobila po fi uilizae peru a realize o reprezenare succina a anumior procese. Exisa posibiliaea de exinde sfera lor de aplicaie prin combinarea lor si prin obinerea in aces fel a modelelor ARMA(p,q) care au urmaoarea forma generala: ( B ) x ( B) e Reprezenarea lui Wald care reprezina eoria de baza a modelarii ARMA si din care decurg caeva proprieae foare avanajoase impune condiia Revisa Română de Saisică - Suplimen nr. 6 / 2019 13
ca seria observaa sa fie saionara. In pracica foare puine serii dinamice sun saionare si prin urmare se impune aducerea la o forma saionara prin meoda diferenelor. Daca seria dinamica observaa x ese o serie non saionara prin ransformarea ei inr-o serie saionara vom obine: z ( B) x unde d, d 0,1,2... In pracica nu se inalnesc, in general, siuaii in care d sa fie mai mare deca 2. Prin urmare, seria iniiala va urma un proces ARIMA (p,d,q), d reprezenand ordinul diferenei, de forma: (10) Insrumenul principal in idenificarea unui model ARIMA ese reprezena de funcia de auocorelaie si funcia de auocorelaie pariala. Odaa ce un model care sa descrie comporamenul unei serii de imp inr-o maniera corespunzaoare a fos idenifica si esima, acesa poae consiui baza penru realizarea unor prognoze. Nu rebuie uia insa fapul ca previziunile bazae pe asfel de modele pornesc de la premisa meninerii pe orizonul de prognoza a srucurii si endinei caracerisice fenomenului analiza. Aceasa premisa ese infirinaa deseori de realiae prin urmare rebuie meninue rezervele de rigoare. Concluzii Din sudiul efecua, pe baza căruia s-a concepu aces aricol, rezulă că din punc de vedere eoreic meodologia Tramo-Seas asigură o bază eficienă de prelucrare și descompunere a serilor cronologice. Prin aceasă meodologie se asigură posibiliaea descompunerii seriilor dinamice pe componene cum sun: seria cronologică observaă, componena sezonieră, componena de rend, componena ciclică și componena aleaoare. Uilizând meodologia Tramo-Seas care evidențiază eapele ce rebuie urmae, se scoae în evidență esența modelului ARIMA, meoda Tramo, meoda Seas și paramerii componenelor considerae. Meodologia Tramo-Seas ese eficienă prin aceea că asigură o prelucrare și analiză a serilor de dae dinamice, care asigură comparabiliaea pe plan european/inernaional. În prezen, saele membre ale Uniunii Europene uilizează aceasă meodologie, care ese folosiă în mod similar de căre saele membre. Bibliografie 1. Anghelache, C., Anghel, M.G. (2018). Economerie generală. Teorie și sudii de caz, Ediura Economică, Bucureşi 2. Anghelache, C. (2008). Traa de saisică eoreică şi economică, Ediura Economică, Bucureşi 14 Romanian Saisical Review - Supplemen nr. 6 / 2019
3. Arcidiacono, P., Miller, R.A. (2011). Condiional Choice Probabiliy Esimaion of Dynamic Discree Choice Models wih Unobserved Heerogeneiy. Economerica, 79 (November 2011), 1823 1867 4. Bosq, D. (2012). Nonparameric Saisics for Sochasic Processes: Esimaion and Predicion, Springer Science & Business Media 5. Corbore, D., Durlauf, S., Hansen, B., (2006). Economeric Theory and Pracice Fronieres of Analysis and Applied Research, Cambridge Universiy Press, Unied Kingdom 6. Ellio, G., Müller, U.K., Wason, M.W. (2015). Nearly Opimal Tess When a Nuisance Parameer is Presen Under he Null Hypohesis. Economerica, 83, 771-811 7. Gach, F., Pöscher, B.M. (2011). Nonparameric Maximum Likelihood Densiy Esimaion and Simulaion-Based Minimum Disance Esimaors. Mahemaical Mehods of Saisics, 20 (December 2011), 288 326 8. Lohr, S.L. (2007). Commen: Sruggles wih Survey Weighing and Regression Modeling. Saisical Science, 22 (2), 175-178 9. Pesaveno, E., Rossi, B. (2006). Small sample Confidence Inerevals for Mulivariae Impulse Response Funcions a Long Horizons. Journal of Applied Economerics, 21 (8), 1135-1155 Revisa Română de Saisică - Suplimen nr. 6 / 2019 15