POBLEME SEMINA TEHNICI DE OPTIMIZAE ÎN ENEGETICĂ POBLEMA Să se determne încărcarea optmă a două grupur ale une centrale termoelectrce cu puterle nomnale de ş MW. Cele două grupur utlzează cărunele comustl de ază ş păcură comustl suport. Consumurle specfce sunt de tcc/mwh (dn care 5% comustl suport) pentru prmul grup ş tcc/mwh (dn care 8% comustl suport) pentru cel de al dolea grup. Canttăţle de comustl dsponle pentru o z de funcţonare sunt de tcc echvalent cărune ş 5 tcc echvalent păcură. Crterul de optmzare cere să se producă o canttate cât ma mare de energe cu comustlul dsponl. ezolvare Se notează cu puterea produsă de prmul grup ş cu puterea produsă de cel de al dolea grup. Formularea matematcă a aceste proleme este următoarea: ma 95 9 5 8 5
După cum se poate oserva este vora de o prolemă de optmzare su formă canoncă. Pentru a o transforma su formă standard se ntroduc varalele ecart suplmentare 5 6 care transformă negaltăţle în egaltăţ prolema modfcată fnd: 5 576 8 66 9 ma 6 5 6 5 5 5 Elementele care permt punerea aceste proleme su formă standard matrceală sunt: T T A c 5 576 8 66 9 O împărţre foarte smplă a matrce A care permte oţnerea soluţe nţale de ază ş nţalzarea algortmulu este: T T c B c G I B 576 8 66 9
care corespunde soluţe nţale: 5 5 5 cu o valoare nulă a funcţe oectv. În contnuare se completează taelul smple. Pentru aceasta se porneşte de la soluţa nţală de ază pentru care se determnă valorle coefcenţlor Z j făcând produsul scalar dntre coloana c ş coloana a j. De eemplu: Z T c a 9 8 Aceşt coefcenţ se utlzează pentru determnarea dferenţelor Z j -c j pentru coloanele a j care nu fac parte dn ază. Deoarece amele dferenţe care nteresează la acest caz (Z - c ş Z -c ) sunt negatve rezultă că soluţa nu este optmă. Dn faptul că atât vectorul a cât ş vectorul a are componente poztve rezultă că nu se poate trage concluza că nu estă soluţe optmală. Dferenţele Z j -c j negatve fnd în acest caz egale se alege artrar a ca fnd noul vector care ntră în ază. Pentru determnarea vectorulu care ese dn ază se calculează: B k mn m n g kl k g kl 5 mn 9 8
dec vectorul care ese dn ază va f a 5. Soluţa optmă pentru această prolemă este următoarea: 5 778 5 6 9 5 După cum se poate oserva pentru a oţne canttatea mamă de energe grupurle treue încărcate cu puterle de MW ş respectv 77 MW dec treue încărcat cu puterea nomnală grupul care are consumul specfc mam contrar a ceea ce era de aşteptat. Prolema duală corespunzătoare proleme date va f: mn y 5y y y 95 y 5 y y 9 y 8 y y y y y y a căre soluţe poate f găstă pe lna ultmulu tael smple pe lna Z j în coloanele a a 6 care au alcătut prma ază: y = y =66 y = y =.
Tael smple pasul C Baza a a a a a 5 a 6 a 9 66 a 8 576 5 a 5 a 6 Z j Z j -c j - - 5 mn 9 8 5
Tael smple pasul Baza a a a a a 5 a 6 a 66-9 88 a 576-8 a a 6 Z j Z j -c j - 88 mn 66 576 576 6
Tael smple pasul C Baza a a a a a 5 a 6 a -5-6 5 a 76-8 778 a a 6-76 8 9 Z j 66 6699 Z j -c j 66 7
POBLEMA Să se analzeze oportuntatea construr a două centrale ş a une staţ electrce în două locaţ A ş B. Nu se poate constru o staţe electrcă într-o anumtă locaţe decât dacă s-a construt ş o centrală în locaţa respectvă. Deoarece estă ş alte soluţ de racordare nu este olgatore construrea une staţ în cazul construr une centrale. În taelul următor sunt ndcate: enefcul anual oţnut în urma realzăr fecăre nvestţ costurle de realzare ş captalul dsponl pentru întregul proect. Nr. crt. Alternatva Varala de decze mloane Benefcu Costur 6 [ ] 6 [ ] Construre centrală în A 9 5 Construre centrală în B 6 Construre staţe în A Construre staţe în B Captal dsponl. Varalelor l se mpune să fe varale valente (să a doar valorle sau ). Valoarea a varale j corespunde une decz de realzare a nvestţe respectve ar o valoare nulă corespunde une decz de respngere a acestea. Pe lângă condţa ca varalele să fe valente se ma formulează următoarele restrcţ: -condţa de a nu constru decât cel mult o centrală: + 8
-condţa de a nu constru o staţe într-o locaţe în care nu s-a construt o centrală: Ca funcţe oectv se mpune mamzarea enefculu anual. ezultă următorul model matematc: ma F( 5 j j ) 9 6 Soluţa aceste proleme de programare lnară în numere întreg (uşor de determnat prn încercăr ţnând cont că nu sunt decât 7 comnaţ posle) este: F()=5 Dacă se încearcă oţnerea soluţe prn rotunjrea soluţe proleme în care se renunţă la condţa ca varalele să fe numere întreg se oţne prolema modfcată: 9
5 6 9 ) ( ma j F j cu soluţa: F( 5)=7 Dacă se rotunjeşte soluţa proleme modfcate ( 5) la valoarea cea ma apropată se oţne soluţa proleme în numere întreg. Oţnerea soluţe proleme în numere întreg prn rotunjrea soluţe nu garantează întotdeauna oţnerea soluţe corecte. De eemplu se modfcă prolema nţală consderând un captal dsponl de.5 su forma: 5 5 6 9 ) ( ma j F j Soluţa aceste proleme este F()=8
Prolema în numere reale are forma 5 5 6 9 ) ( ma j F j cu soluţa F( 69)=85 Prn rotunjre la valoarea cea ma apropată se oţne ( ) care nu numa că nu este soluţa proleme în numere întreg dar nu este nc soluţe admslă pentru prolema respectvă.
POBLEMA Să se rezolve următoarea prolemă de programare în numere întreg folosnd metoda ranch&ound: STAT ( P) (ma) F 9 N Se nţalzează: z CMB = - ş CMB = Se rezolvă cu algortmul smple relaata proleme (P): (PL) (ma) f = + + + 9 ş se găseşte soluţa optmă fracţonară: f superoară: ezultă că optmul întreg nu poate depăş margnea z Varala după care se face ramfcarea va f alesă după crterul părţ fracţonare ma mar în cazul de faţă este vora de varala.
Iteraţa Se rezolvă cu algortmul smple programul lnar (PL ) dedus dn (PL) prn adăugarea restrcţe. Se găseşte soluţa fracţonară 5 f 75 Se conchde că soluţle admsle întreg ale proleme (PL ) care sunt ş soluţ ale proleme nţale (P) nu pot ofer funcţe oectv o valoare ma mare decât margnea: z [75] Se ramfcă după varala. Iteraţa Se rezolvă prolema (PL ) oţnută dn PL adăugând restrcţa. ezultă soluţa întreagă f evdent ma ună decât soluţa întreagă depoztată în CMB. În consecnţă se actualzează: CMB = () T z CMB = Se revne la prolema PL. Iteraţa Deoarece valoarea funcţe pentru soluţa întreagă a proleme PL este egală cu z rezultă că prn rezolvarea prolemelor oţnute prn ramfcarea proleme PL rezultată dn adăugarea la (PL) a restrcţe nu poate conduce la o valoare ma mare decât cea deja oţnută (f= PL ). În aceste condţ programul PL ş cele ce decurg dn acesta se rezolvă doar în cazul în care se doreşte să se determne eventualele soluţ
echvalente dn punct de vedere al valor funcţe oectv. ezolvarea programulu PL conduce la soluţa întreagă = = f = 9 care este ma slaă decât cea stocată în CMB. Se revne la prolema PL ş apo la PL. Iteraţa Se rezolvă cu algortmul smple programul lnar (PL ) dedus dn (PL) prn adăugarea restrcţe. Se găseşte soluţa fracţonară = = 5 f = 95 Programele care pot rezulta prn ramfcare dn aceasta adăugând condţle = ş respectv vor conduce la valor ale funcţe oectv care nu pot depăş: z [95] 9 dec care sunt nferoare soluţe deja determnate. În aceste condţ acesta este un nod termnal. ecaptulând studul proleme PL a produs o soluţa întreagă care a fost reţnută precum ş concluza că PL ş PL nu are soluţ întreg ma une decât cea găstă. În acest moment se poate spune că au fost eamnate drect sau ndrect - toate soluţle întreg ale proleme (P). Soluţa întreagă reţnută în CMB este dn cea ma ună soluţe întreagă adcă este soluţa optmă a proleme orgnale (P). Un nod al arorelu T dn care ramfcarea poate contnua se numeşte nod actv altmnter el se va num nod mort. Dn
denumre rezultă că algortmul se opreşte în momentul în care rădăcna PL este declarată nod mort. Comentarle de ma sus sunt sntetzate în arorele dn fgura următoare PL = = f= PL = =5 f=75 PL = =5 f=95 PL = = f= PL = = f=9 5
POBLEMA Să se determne planul de aprovzonare cu materale pe durata unu an a unu şanter hdroenergetc. Se notează cu ş necesarul trmestral ş se consderă că stocul mam admsl este reprezentat de valoare d. Planul optm este acela care mnmzează cheltuelle de aprovzonare eprmate prn valorle specfce c c c ş c care pot f dferte pentru cele patru trmestre. Canttatea estentă la începutul prmulu trmestru are valoarea a care este ma mcă decât necesarul prmulu trmestru. Se admte că aprovzonarea trmestrală se face o sngură dată la începutul trmestrulu. Se vor consdera următoarele valor numerce: 9 8 c 7 c 6 c 5 c 8 a 5 d 5. Dacă se notează cu ş varalele ce desemnează canttăţle aprovzonate la începutul fecărua dn cele patru trmestre restrcţle ce defnesc domenle sunt reprezentate prn: a d a ma a d a 6
7 ma a d a ma a d a Starea va f descrsă de două varale defnte ca: a d a Elementele care defnesc procesul secvenţal de decze cu analză prospectvă sunt: ma u F c u g T unde funcţle de trecere au următoarele epres: 9 9 8 g g g În contnuare se scru funcţle de utltate asocate proceselor secvenţale parţale:
8 c u F c u F c u F F c u F După cum se constată prolema este decompozală prospectv dacă se consderă funcţle f de forma: v u v u f care îndeplnesc condţle dn defnţe. Deoarece se cere determnarea stratege care conduce la cheltuel mnme se va putea aplca algortmul prezentat dacă se înlocueşte peste tot condţa de mam prn condţe de mnm.
Pasul. Se caută decza pentru ultma etapă care conduce la mnmzarea costurlor: mn ~ mn F n n unde: Deoarece funcţa care treue mnmzată este crescătoare mnmul său va f atns în punctul ~ h 8 ş se oţne: Pasul Se urmăreşte determnarea decze pentru penultma etapă care conduce la mnmzarea costurlor pentru ultmele două etape: mn 5 8 în care se oţne dn epresa funcţe g : g 8 ceea ce conduce la: 5 8 8 mn 8 6 mn 9
Mnmul va f atns pentru (deoarece funcţa este descrescătoare în raport cu ) ar valoarea acestu mnm va f: ~ h 8 6 Pasul Procedând ca ş în cazul anteror rezultă cu oţnute dn epresa lu g : ş mn 6 mn mn h ~ mn 6 8 6 6 8 9 8 6 ş se oţne valoarea mnmă pentru : h ~ 9 Pasul mn 7 mn mn h ~ mn 7 9 7 9 9 9 9 cu mnmul atns pentru mnm cu valoarea: h ~ 9
rezultă: Deoarece: 5 5 ş în contnuare: g 95 g g 9 9 9 5 5 6 8. Să se stalească locul optm de nstalare a cnc grupur termoenergetce în cadrul a patru centrale. Utltatea nstalăr grupurlor în fecare dn cele patru centrale (care cuprnd toate tpurle de perder nclusv transportul comustlulu ş perderle în reţea) este cuprnsă în taelul următor. Nr. Utltate grupur u (n) u (n) u (n) u (n) 8 7 8 8 79 8 8 7 9 5 5 8 9 5 5 98 9 96 95
În contnuare se completează taelul dervat. Coloana F reprezntă de fapt prma coloană dn taelul utltăţlor coloana este dentcă cu coloana N. Ca eemplu se arată modul în care se calculează F (). În acest scop se calculează următoarele valor: u u u u F 88 F 8 F 8 8 F 7 7 87 ma dec valoarea lu F () va f ar argumentul lu u (n=) în epresa care are valoarea mamă va f valoarea lu (). N F F F F 8 8 8 8 8 8 5 5 65 65 66 5 98 5 6 În contnuare se păstrează taelul care va f folost pentru determnarea soluţe optme:
N 5 5 Pentru N=5 se merge în ultma coloană ş se găseşte dec se repartzează un grup în ultma centrală. Se calculează: N 5 ceea ce înseamnă că la următorul pas se caută pe penultma lne până în penultma coloană de unde rezultă ş N În contnuare se caută tot pe lna corespunzătoare lu N= în coloana rezultând ş ma departe: N Dec repartţa optmă presupune repartzarea celor cnc grupur în felul următor: câte două grupur în prma ş a doua centrală ş un grup în ultma.
POBLEMA 5 Se consderă crcutul dn fgura următoare. u U c Se cere să se determne valorle ş astfel încât să se mnmzeze tensunea contnuă de eşre U c în regm permanent respectând următoarele valor pentru valorle efectve ale tensun alternatve de ntrare u ş curentulu : U V I A Se va consdera că eşrea crcutulu este în gol ar frecvenţa este de 5 Hz. Pentru început nu se va nclude în prolema de optmzare condţa fzcă >. Modelul matematc este reprezentat de următoarele ecuaţ: mn U c mn I I mn ( )
5 ceea ce este echvalent cu:.. ) mn( Funcţa Lagrange va f de forma:.. ) ( L ar sstemul de ecuaţ care treue rezolvat pentru determnarea soluţe optme:.. Acest sstem are două soluţ:...... dntre care numa una ş anume:
.. corespunde soluţe optme a proleme nţale aşa cum se poate oserva în fgura următoare. -+=ct.. 6
Prma dntre aceste soluţ reprezntă soluţa optmă căutată cea de a doua reprezentând un punct de mam pentru funcţa oectv ş nu unul de mnm. În contnuare se va consdera că se nclude ş condţa ca rezstenţa crcutulu să fe o mărme poztvă în prolema de optmzare oţnând: mn( ).. echvalentă cu: mn( ) y.. În acest caz funcţa Laplace va f:.. L ( y ) y Punând condţle de etrem se oţne sstemul: 7
8.. y y cu soluţle:.... y.. y.. y Pe aza unu studu local se determnă că dntre cele tre soluţ numa prma este un punct de mnm pentru funcţa oectv U c dec se oţne aceeaş soluţe ca ş în cazul anteror.