PowerPoint-Präsentation

Transcriere

1 Unverstatea Translvana n Braşov Laboratorl e Veere Artcală Robstă ş Control Metoe Nmerce Crs 7 ntegrarea nmercă Ggel Măceșan

2 Cprns ntrocere Metoa trapezl ș eroarea e trncere Metoa l Rcarson Metoa l Smpson Metoa l Gass

3 ntegrarea nmercă Calcll are rept scop etermnarea nmercă a valor ntegrale b a (), ne este contnă pe [a, b], ar a ș b snt nte Doă grpe e metoe: Metoe ce împart ntervall e ntegrare în sbntervale e aceeaș lngme, nmărl sbntervalelor n mps e operator, e e: metoa reptngl, metoa trapezl, metoa l Rcarson ș metoa l Smpson; Metoe ce împart ntervall e ntegrare în așa el încât eroarea e calcl să e mnmă, e e: metoa caratr a l Gass a ( ) s + ( + ) b

4 Metoa trapezl ntervall [a, b] se împarte în n sbntervale e lngme egale = + = b a n =, =, n, = a, n = b Pentr smplcare notăm = ș + = ( + ) ntegrala poate apromată c ara trapezl (,, +, + ) Această apromare permte etermnarea valor ntegrale prn relața: relața e calcl a ntegrale ente, prn metoa trapezelor, va rmătoarea: + a b ( ) ( + ) s n n n n n n n

5 5 Eroarea e trncere pentr metoa trapezl Pentr a ptea evala eroarea e trncere se va tlza relața e ezvoltare în sere Talor a ncțe () în jrl pnctelor ș + Vom păstra termen până la ervata e ornl Pentr smplcare se vor ntroce notațle amntte anteror

6 6 Eroarea e trncere pentr metoa trapezl Vom constr o noă ncțe care apromează cel ma bne ncța în ntervall (, + ), ca mea acestor oă ncț: Prn ntegrarea aceste ncț e la la + ș recerea termenlor asemenea vom obțne: ) (

7 7 Eroarea e trncere pentr metoa trapezl Pornn e la rezltatele anteroare Eroarea e trncere prosă la această metoă poate aprecată ca n egală c: Pentr valor mc ale l prml termen are valoarea omnantă. Vom prespne că eroarea e trncere are epresa: Prespnân ervatele e ornl n ca n apromatv constante pe ntervall e ntegrare, eroarea e trncere poate apromată prn: ne c este o constantă T e T K e c e T

8 8 Metoa l Rcarson Se pleacă e la eroarea e trncere a metoe trapezl pentr o vzne : O altă vzne = b a m conce la eroarea e trncere e T = c Astel, rmătoarele relaț pot scrse: Prn scăere se obțne: Valoarea ntegrale se poate scre sb orma: eprese ce poartă enmrea e ormla l Rcarson ș are o precze ma mare ecât metoa trapezl. c e T n a b c c c

9 Metoa l Smpson Metoa este smlară metoe trapezelor eoarece prespne vzarea ntervall e ntegrare în sbntervale ar ncța e ntegrat trebe evalată la capetele acestor sbntervale În metoa Smpson este tlzată o parabolă (polnom e gral ) pentr apromarea are corespnzătoare la oă ntervale aacente Se pornește e la ormla l Rcarson pentr oă vzn între care avem relațle: =, = b a b a, = m n Screm ormla metoe trapezl pentr ecare vzne în parte: 5 6 9

10 Metoa l Smpson Pentr = relața evne Avân în veere relațle nțale: Obțnem: Relața anteroară reprezntă ormla e calcl a metoe l Smpson. Precza algortml este legată e nmărl e pncte în care se evalează ncța (pasl e ntegrare este ma mc)

11 Metoa l Gass Metoa l Gass permte recerea nmărl e pncte în care trebe să se evaleze ncța la oă Metoa prespne eectarea ne scmbăr e varablă astel încât ntervall [a, b] să e reprezentat pe ntervall: [, ] Avem rmătoarea ormlă e sbsttțe: b a b a b a ar ervata: b a Prn sbsttțe avem: = b a + b + a ș = b a Ca rmare, = a b () se transormă astel: = a b = b a + b + a b a = ψ()

12 Metoa l Gass Formla e ntegrare trebe să țnă cont e rmătoarele: Snt tlzate oă pncte n nterorl ntervall e ntegrare Trebe să retrneze eroare zero pentr polnoame e gra mam tre Metoa constă în etermnarea ne repte: = α + α Dn pnct e veere grac conța revne la egaltatea ntre ara A cprnsă între gracl ncțe ș reapta alată easpra repte ș ara A cprnsă între gracl ncțe ș reapta alată sb reaptă (A = A + A ) A A = + A = () -

13 Metoa l Gass Pentr a calcla ntegrala tlzân nma oă evalăr ale ncțe se ma pne conța: A ( ) A ( ) ne, ș snt pncte e vzare a ntervall, A ș A snt poner Pentr a etermna valorle reale ale mărmlor α, α, A, A,, se pne conța e a se obțne n rezltat eact în cazl n polnom e ornl al trelea Conserăm n polnom e gra tre, e orma partclară: ntegrala polnoml trebe să e zero

14 Metoa l Gass Valorle ș se obţn pnân conţa e a îneplntă egaltatea: Dpă recerea termenlor asemenea se obțne: În contnare se pne conța ca această egaltate să e îneplntă orcare ar valorle coecențlor β ș β Pentr perecea e valor: β = ș β = se obțne egaltatea: Eprese care evne:

15 5 Metoa l Gass Dpă rezolvarea ntegralelor obțnem: + = = Pentr perecea e valor: β = ș β = se obțne egaltatea: Epresa evne: Dpă rezolvarea ntegralelor obțnem: + =, acă + = Astel, avem n sstem e orma rmătoare, c solțle aerente:

16 Metoa l Gass Coecenț A ș A se obţn pnân conţa e a îneplntă egaltatea: Epresa poate scrsă ș astel: A ( ) A ( ) A ( ) A ( ) Întrcât: ș Dpă rezolvarea ntegralelor, înlocrea l ș, grparea termenlor, ntegrala evne: A A A A A A 6

17 7 Metoa l Gass Se pne conța ca această egaltate să e îneplntă orcare ar valorle coecențlor α ș α. Avem astel: Pentr α = ș α = : A + A = Pentr α = ș α = : A + A = Se obțne n sstem, care pă rezolvare conce la: A = ș A = În consecnță, ormla e ntegrare prn metoa Gass va avea epresa, pă înlocrea în ormla nțală, astel: A A A A ) ( ) ( A A

18 Contact: Emal: Web: rovs.ntbv.ro 8