Daniela ROŞU MATEMATICI SPECIALE Culegere de probleme Universitatea Gheorghe Asachi Iaşi 2017

Daniela ROŞU MATEMATICI SPECIALE Culegere de probleme Universitatea Gheorghe Asachi Iaşi 17

Cuprins 1 Integrale prime şi sisteme simetrice 1 1.1 Abstract teoretic................................ 1 1. Probleme propuse................................ 5 1.3 Soluţii...................................... 7 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul ˆıntˆai 11.1 Abstract teoretic................................ 11. Probleme propuse................................ 17.3 Soluţii...................................... 3 Transformata Fourier 5 3.1 Abstract teoretic................................ 5 3. Probleme propuse................................ 9 3.3 Soluţii...................................... 31 4 Funcţii Bessel 37 4.1 Abstract teoretic................................ 37 4. Probleme propuse................................ 43 4.3 Soluţii...................................... 48 5 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea 59 5.1 Abstract teoretic................................ 59 5. Probleme propuse................................ 8 5.3 Soluţii...................................... 87 6 Elemente de toria probabilităţilor 11 6.1 Câmp de probabilitate. Abstract teoretic; exemple............. 11 6. Probleme propuse................................ 113 6.3 Soluţii...................................... 119 6.4 Variabile aleatoare discrete. Abstract teoretic................ 14 6.5 Probleme propuse................................ 133 6.6 Soluţii...................................... 134 6.7 Variabile aleatoare continue. Abstract teoretic............... 14 6.8 Probleme propuse................................ 153

4 CUPRINS 6.9 Soluţii...................................... 157

Capitolul 1 Integrale prime şi sisteme simetrice 1.1 Abstract teoretic Fie sistemul de ecuaţii diferenţiale x 1 (t) = f 1(t, x 1, x,..., x n ) x (t) = f (t, x 1, x,..., x n )......... x n(t) = f n (t, x 1, x,..., x n ), (1.1.1) unde f i : D R, i = 1, n sunt funcţii de clasă C 1 pe mulţimea deschisă D I R n, I R interval. Definiţia 1.1.1. O funcţie U : D R n+1 R, U = U(t, x 1, x..., x n ) de clasă C 1 (D) unde D este mulţime deschisă, se numeşte integrală primă a sistemului (1.1.1) dacă (i) U nu este identic constantă pe D, (ii) pentru orice soluţie a sistemului (1.1.1), x 1 = ϕ 1 (t), x = ϕ (t),..., x n = ϕ n (t), t I funcţia Φ : I R, este constantă pe I. Φ(t) = U(t, ϕ 1 (t), ϕ (t),..., ϕ n (t)) Observaţia 1.1.1. Valoarea constantei din (ii) depinde de soluţia considerată a sistemului. Exemplul 1.1.1. Să se arate că funcţiile U 1, U : R 3 R, U 1 (x 1, x, x 3 ) = x 1 + x + x 3, U (x 1, x, x 3 ) = x 1 + x + x 3 1

1. Integrale prime şi sisteme simetrice sunt integrale prime pentru sistemul diferenţial x 1 (t) = x x 3 x (t) = x 3 x 1 x 3 (t) = x 1 x. Soluţie. Prima condiţie (i) din definiţie este evidentă. Arătăm (ii). Fie x 1 = x 1 (t), x = x (t), x 3 = x 3 (t) o soluţie. Avem evident x 1 (t)+x (t)+x 3 (t) = pentru orice t R, de unde rezultă că x 1(t)+x (t)+x 3 (t) = C 1, pentru orice t R cu C 1 R constantă, şi deci Φ 1 (t) = U 1 (x 1 (t), x (t), x 3 (t)) = x 1 (t) + x (t) + x 3 (t) = C 1 pentru orice t R. Pe de altă parte se verifică uşor că x 1(t)x 1 (t) + x (t)x (t) + x 3(t)x 3 (t) =, pentru orice t R, de unde rezultă că d dt (x 1 (t) + x (t) + x 3 (t)) =, şi deci Aceasta demostrează că pentru orice t R. x 1(t) + x (t) + x 3(t) = C, C R. Φ (t) = U (x 1 (t), x (t), x 3 (t)) = x 1(t) + x (t) + x 3(t) = C Teorema următoare precizează condiţii necesare şi suficiente pentru ca o funcţie să fie integrală primă, fără a fi necesară determinarea soluţiei sistemului. Teorema 1.1.1. Funcţia U C 1 (D) este integrală primă a sistemului (1.1.1) dacă şi numai dacă U t + U f 1 + U f +... + U f n =, (1.1.) x 1 x x n în orice punct (t, x 1, x,..., x n ) D. Teorema 1.1.. Fie U 1, U,..., U n n funcţii de clasă C 1 pe mulţimea deschisă D R n+1, integrale prime pentru sistemul (1.1.1). Admitem că determinantul funcţional U 1 U 1... x 1 x U D(U 1, U,..., U n ) D(x 1, x,..., x n ) := U... x 1 x... U n U n... x 1 x U 1 x n U x n U n x n (1.1.3)

1.1. Abstract teoretic 3 este nenul în orice punct (t, x 1, x,..., x n ) D. Atunci pentru orice (t, x 1,, x,,..., x n, ) D, problema determinării soluţiei sistemului (1.1.1) care satisface condiţiile iniţiale x 1 (t ) = x 1,, x (t ) = x,,..., x n (t ) = x n, (1.1.4) se reduce la o problemă de funcţii implicite. Un sistem simetric este un sistem de ecuaţii diferenţiale de forma dx 1 f 1 (x 1, x,..., x n ) = dx f (x 1, x,..., x n ) =... = dx n f n (x 1, x,..., x n ). (1.1.5) unde f i : D R, i = 1,,..., n sunt funcţii de clasă C 1 pe o mulţime deschisă D R n. Admitem că funcţiile f i nu se anulează simultan pe D. Orice sistem de forma (1.1.1) poate fi scris sub formă simetrică şi anume dx 1 f 1 (x 1, x,..., x n ) = dx f (x 1, x,..., x n ) =... = dx n f n (x 1, x,..., x n ) = dt 1. (1.1.6) Reciproc, orice sistem simetric de tipul (1.1.5) poate fi scris sub formă (1.1.1). De exemplu, dacă f n în D, atunci (1.1.5) poate fi scris sub forma d x 1 = f 1(x 1, x,..., x n ) d x n f n (x 1, x,..., x n ) d x = f (x 1, x,..., x n ) d x n f n (x 1, x,..., x n )......... d x n 1 = f n 1(x 1, x,..., x n ) d x n f n (x 1, x,..., x n ), (1.1.7) Din Teorema 1.1. rezultă că rezolvarea sistemului simetric (1.1.5) (echivalent cu (1.1.7)) se reduce la o problemă de funcţii implicite dacă sunt cunoscute n 1 integrale prime independente funcţional. Spunem că am rezolvat sistemul simetric (1.1.5) dacă am determinat n 1 integrale prime ale sale, funcţional independente. Una din metodele determină rii acestor integrale prime este metoda combinaţiilor integrabile dată de următoarea teoremă. Teorema 1.1.3. Dacă µ 1, µ,..., µ n sunt n funcţii reale continue pe D R n cu următoarele proprietăţi: (i) µ 1 f 1 + µ f +... + µ n f n = pe D, (ii) µ 1 dx 1 + µ dx +... + µ n dx n = d U pe D, atunci funcţia U : D R este o integrală primă a sistemului simetric (1.1.5).

4 1. Integrale prime şi sisteme simetrice Observaţia 1.1.. Practic, funcţiile µ 1, µ,..., µ n se determină cu ajutorul sistemului (1.1.5), folosind regulile uzuale ale proporţiilor: dx 1 f 1 = dx f Alegem µ 1, µ,..., µ n astfel încât şi =... = dx n f n = µ 1 dx 1 µ 1 f 1 = µ dx µ f =... = µ n dx n µ n f n = µ 1 dx 1 + µ dx +... + µ n dx n µ 1 f 1 + µ f +... + µ n f n. µ 1 f 1 + µ f +... + µ n f n = µ 1 dx 1 + µ dx +... + µ n dx n să reprezinte diferenţiala totală a unei funcţii U. Atunci U este integrală primă a sistemului simetric (1.1.5). Exemplul 1.1.. Să se rezolve următoarele sisteme simetrice dx 1 1. = dx = dx 3, x 3 x x 1 x 3 x x 1 dx. x y z = dy xy = dz xz. Soluţie. 1. Dacă adunăm rapoartele obţinem o fracţie cu numărătorul dx 1 +dx +dx 3 şi numitorul. dx 1 = dx = dx 3 = dx 1 + dx + dx 3, x 3 x x 1 x 3 x x 1 Deci din d(x 1 + x + x 3 ) = de unde rezultă x 1 + x + x 3 = C 1. Dacă amplificăm fracţiile cu x 1, x, x 3 respectiv şi adunăm rapoartele obţinute găsim x 1 dx 1 x 1 (x 3 x ) = x dx x (x 1 x 3 ) = x 3 dx 3 x 3 (x x 1 ) = x 1 dx 1 + x dx + x 3 dx 3. Rezultă x 1 dx 1 +x dx +x 3 dx 3 =, adică d(x 1 +x +x 3 ) =, de unde x 1 +x +x 3 = C. Rezolvarea sistemului se reduce la rezolvarea următorului sistem de funcţii implicite: { x1 + x + x 3 = C 1 x 1 + x + x 3 = C. 1. Din ultimele două rapoare deducem ecuaţia cu variabile separabile dy y = dz z soluţia y = C 1 z. Apoi xdx + ydy + zdz x(x + y + z ) = dy xy, ce are

1.. Probleme propuse 5 de unde x + y + z = C. Rezolvarea sistemului se reduce la rezolvarea următorului y sistem de funcţii implicite: { y = C1 z x + y + z = C y. 1. Probleme propuse 1.1 Studiaţi dacă pentru următoarele sisteme şi funcţii U, egalităţile U = c sunt integrale prime. Ce se poate spune despre independenţa lor? { x a = y y U = x 1 (x, y) = x y, U (x, y) = ln(x + y) t, U 3 = xy. b. dx z + 3y = dy 3(z x) = dz x 3y, U 1(x, y) = 3x y +3z, U (x, y) = x +y +z. Rezolvaţi următoarele sisteme diferenţiale: 1. 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.1 dx dt = x y z t, dy dt = x y z t, dz dt = x y + 1 dx y + z = dx x = dy y = dx x + y = dx x(y z) = dx a z a 3 y = dx y(x + y) = dy z x = dx xz = dy yz = dx xy = dy x y = dz x + y dy y x = dz z dz x y dy y(z x) = dy a 3 x a 1 z = dy x(x + y) = dz z x y dz z(x + y ) dz z(x y) dz a 1 y a x dz (x y)(x + y + z)

6 1. Integrale prime şi sisteme simetrice 1.11 1.1 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 dx x 3 + 3xy = dy y 3 = dx x(y z ) = dx xy + x + y = dx x(y z ) = dx z y = dy x z = dz y z dy y(x + z ) = dy x y x y = dy y(z x ) = dz y x dx x y z = dy xy = dz xz dx 1 + z x y = dy 1 = dz 1.18 dx x = dy y = 1.19 1. dz z x + y + z dx 1 + x = dy x( y) = dz 1 + z dx 1 + 3zx y = dy = dz 1 1.1 dx x = dy yz = dz z 1 Să se integreze sistemele: dz z(x + y ) dz z(y x ) dz z(x y ) 1. 1.3 1.4 1.5 { (z y) dy = zdx (z y) dz = ydx dy dx = z dz dx = + 1 z y dy dx = 1 1 z dz dx = 1 y x x tx (t) = x + y t y ty (t) = x + y t

1.3. Soluţii 7 1.3 Soluţii 1.1 a. U 1, U verifică evident condiţia, iar U 3 nu; primele două sunt independente. b. Ambele sunt integrale prime şi independente. 1. Din primele două deducem x y = c 1, iar ultima ecuaţie devine dz = (1 + c 1 )dt, de unde z = (1 + x y)t + c. Din a doua ecuaţie avem dy dt = c 1 c + (1 + c 1 )t t cu soluţia y ln z t = c 3. dy 1.3 Au loc z x = dz d(y z) = = dx x + y z + y y + z, de unde y z x = c 1. Avem şi xdx + ydy + zdz =, de unde x + y + z = c. 1.4 Din primele două rapoarte y = c 1 x; deducem x + y z = c. 1.5 Sistemul e echivalent cu xdx x + xy = ydy y xy = zdz z. dx + dy x + y = dz, de unde rezultă x + y Se obţine x + y + z = c 1 z ; primele două relaţii constituie o ecuaţie omogenă cu soluţia x + y = c e arctg y x. dx 1.6 Avem x(y z) = dy y(z x) = x + y + z = c 1, xyz = c. dz dx + dy + dz = z(x y) = dx x + dy y + dz z. Rezultă dx 1.7 Au loc a z a 3 y = dy a 3 x a 1 z = dz a 1 y a x = a 1dx + a dy + a 3 dz = = şi a 1 x + a y + a 3 z = c 1, x + y + z = c. xdx + ydy + zdz 1.8 Din primele două rapoarte x +y dx + dy = c 1. Avem apoi (x + y)(y x) = dz (x y)(x + y + z), de unde cu schimbarea x + y = u, obţinem o ecuaţie liniară cu soluţia z(x + y) + (x + y) = c. 1.9 Din primele două rapoarte avem y = c 1 x, apoi xdx x z = ydy y z = zdz xdx + ydy + zdz z 3 zx = zy z(x + y + z ) = dx, de unde rezultă xz x + y + z = c x. 1.1 Din primele două rapoarte avem y x = c 1. Apoi de unde c z = xy. ydx + xdy xy(x + y ) = dz z(x + y ), 1.11 Din ultimele două rapoarte deducem z = c 1 y, iar primele două rapoarte constituie ecuaţie omogenă şi y 3 + x y = c x.

8 1. Integrale prime şi sisteme simetrice 1.1 Amplificăm fiecare raport cu x, y, z respectiv şi prin adunare xdx+ydy +zdz =, deci x + y + z dx zdy + ydz = c 1. Apoi x(y z = ) yz(y z ), de unde yz = c x. 1.13 Amplificăm primele două rapoarte cu x, respectiv cu y, adunăm şi obţinem xdx + ydy x y = dz z(y x ) de unde x + y + ln z = c 1. Amplificăm primul raport cu yz, al doilea cu xz şi al treilea cu xy, adunăm şi egalăm cu a treia fracţie; deducem xyz z = c. 1.14 Amplificăm prima fracţie cu x, a doua cu y, a treia cu z şi avem x + y + z = c 1 ; apoi amplificăm prima cu yz, a doua cu xz, a treia cu xy şi egalăm cu ultimul raport avem xyz z = c. 1.15 Din dx + dy + dz = rezultă x + y + z = c 1 şi xdx + ydy + zdz = rezultă x + y + z = c. 1.16 Din ultimele două rapoarte deducem dy y = dz z, y = c 1z. Pe de altă parte avem xdx + ydy + zdz x(x + y + z ) = dy xy, de unde rezultă x + y + z = c. y dz dx dy 1.17 Din ultimele două rapoarte deducem y z = c 1 şi = dy, de unde z x y prin substituţia z x y = t găsim y + z x y = c. 1.18 Din primele două rapoarte deducem x = yc 1. Apoi xdx + ydy + zdz x + y + z z x + y + z = de unde, prin substituţia x + y + z = t, găsim rezultă dt t(z t) = dt (t z t) = dz z t ; dz z t şi z + t = c. dz z x + y + z, 1.19 Din primul şi ultimul raport arctg x arctg z = c 1, iar din primele două rapoarte xdx 1 + x = dy y de unde (1 + x )( y) = c. 1. Din ultimele două rapoarte avem y z = c 1 iar din dt t = dz, z + 3z x y = c. 3dz dx dy 3z x y = dz, rezultă

1.3. Soluţii 9 1.1 Din ultimele două rapoarte avem dy y = zdz z + 1, de unde y (z + 1) = c 1 şi dacă amplificăm a doua fracţie cu z şi a treia cu y, deducem dx+d(yz) =, x+yz = c. dy 1. Sistemul poate fi pus sub forma simetrică z = dz y = dx. Din primele două (z y) (z y) rapoarte deducem y z d(z y) = c 1. Avem apoi y z = dx, de unde (z y)d(z y) = (z y) dx şi (z y) + x = c. 1.3 Sistemul poate fi pus sub forma simetrică dy z = dz z +1 y = dx şi din primele două rapoarte obţinem dy y = zdz z + 1, de unde y (z + 1) = c 1, iar dacă amplificăm prima fracţie cu z, şi a doua cu y, deducem zdy + ydz + dx =, yz + x = c. 1.4 Ataşăm sistemul dx = dy 1 1 z d(y x) y x y (x) = 1 y x c 1 = dz 1, de unde y x dx dy 1 z = dz z şi (y x)z = c 1; înlocuim z = c 1 y x 1.5 Avem sistemul simetric x = yc 1. Apoi = dz 1 y x care antrenează în prima ecuaţie şi obţinem, care este o ecuaţie liniară cu soluţia e z(y x) (y x) = c. dx tx = dy ty = xdx + ydy + tdt t(x + y + t ) = x dt x + y ; din primele două rezultă t dx tx de unde x + y + t = xc.

1 1. Integrale prime şi sisteme simetrice

Capitolul Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi.1 Abstract teoretic Ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul ˆıntˆai liniară şi omogenă are forma a 1 (x 1, x,..., x n ) u x 1 +a (x 1, x,..., x n ) u x +...+a n (x 1, x,..., x n ) u x n =, (.1.1) unde a i, i = 1, n + 1, sunt funcţii de clasă C 1 pe un domeniu D R n, nu toate simultan nule în D, adică n a i (x 1, x,..., x n ), i=1 pentru orice (x 1, x,..., x n ) D. În tot ceea ce urmează vom presupune, fără a restrânge generalitatea că a n. Definiţia.1.1. Spunem că funcţia u : D D R este o soluţie a ecuaţiei (.1.1) dacă u este de clasă C 1 pe un domeniul D şi în toate punctele (x 1,..., x n ) D se verifică identitatea n i=1 a i (x 1, x,..., x n ) u x i (x 1, x,..., x n ). (.1.) Ecuaţiei (.1.1) i se asociază sistemul caracteristic dx 1 a 1 (x 1, x,..., x n ) = dx a (x 1, x,..., x n ) =... = dx n a n (x 1, x,..., x n ) (.1.3) care se numeşte sistem caracteristic. Soluţiile acestui sistem se numesc curbe caracteristice ale ecuaţiei (.1.1). Problema determinării soluţiilor ecuaţiei (.1.1) se reduce la rezolvarea sistemului caracteristic (de fapt la determinarea integralelor prime ale sistemului (.1.3)), după cum rezultă din următoarea teoremă. 11

1. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi Teorema.1.1. Funcţia U : D D R este o soluţie pentru ecuaţia cu derivate parţiale (.1.1) dacă şi numai dacă funcţia U este o integrală primă a sistemului caracteristic (.1.3). Folosind formulele de derivare compusă se demonstrează cu u urinţă teorema următoare. Teorema.1.. Dacă funcţiile U 1, U,..., U k : D R sunt integrale prime ale sistemului caracteristic (.1.3) iar Φ : E R k R este o funcţie de clasă C 1 pe E, atunci funcţia compusă u = Φ(U 1, U,..., U k ) : D R este o soluţie pentru ecuaţia cu derivate parţiale (.1.1). Teorema.1.3. Orice soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale (.1.1) este de forma u = Φ(U 1, U,..., U n 1 ) (.1.4) unde Φ : E R n 1 R este de clasă C 1 pe E iar funcţiile U 1, U,..., U n 1 sunt n 1 integrale prime independente funcţional ale sistemului caracteristic (.1.3). Definiţia.1.. Funcţia u = Φ(U 1, U,..., U n 1 ) se numeşte soluţie generală a ecuaţiei cu derivate parţiale (.1.1). În concluzie, pentru rezolvarea ecuaţiei cu derivate parţiale liniară şi omogenă a 1 (x 1, x,..., x n ) u x 1 + a (x 1, x,..., x n ) u x +... + a n (x 1, x,..., x n ) u x n = parcurgem următoarele etape: 1. scriem sistemul caracteristic asociat dx 1 a 1 (x 1, x,..., x n ) = dx a (x 1, x,..., x n ) =... = dx n a n (x 1, x,..., x n ) ;. determinăm n 1 integrale prime independente U 1, U,..., U n 1 ale acestui sistem; 3. scriem soluţia generală a ecuaţiei u = Φ(U 1, U,..., U n 1 ), unde Φ : E R n 1 R este de clasă C 1 pe E. Exemplul.1.1. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei Soluţie. Sistemul simetric asociat x 1 u x 1 + x u x +... + x n u x n =. dx 1 x 1 = dx x =... = dx n x n.

.1. Abstract teoretic 13 Fiecare două câte două rapoarte reprezintă ecuaţii cu variabilele separate şi prin integrare găsim integralele prime independente funcţional iar soluţia generală a ecuaţiei este cu Φ funcţie de clasă C 1. U 1 = x 1 x n, U = x x n,..., U n 1 = x n 1 x n u = Φ ( x1, x,..., x ) n 1, x n x n x n Problema Cauchy asociată ecuaţiei cu derivate parţiale liniară şi omogenă (.1.1) constă în determinarea soluţiei u a ecuaţiei (.1.1) care pentru x n = x n, este cunoscută, adică u satisface egalitatea u(x 1, x,..., x n 1, x n, ) = ϕ(x 1, x,..., x n 1 ) (.1.5) pentru orice (x 1, x,..., x n 1, x n, ) D, unde ϕ este o funcţie cunoscută de clasă C 1. Practic, aceasta constă în determinarea funcţiei Φ din soluţia generală pentru care se verifică (.1.5). Pentru aceasta se formează sistemul U 1 (x 1, x,..., x n ) = C 1 U (x 1, x,..., x n ) = C... U n 1 (x 1, x,..., x n ) = C n 1 x n = x n,, se determină x 1, x,..., x n 1 în funcţie de C 1, C,..., C n 1 şi apoi se găseşte u = Φ (C 1, C,..., C n 1 ). Se înlocuiesc apoi valorile constantelor C 1, C,..., C n 1 şi se obţine soluţia problemei Cauchy. Exemplul.1.. Să se rezolve problema Cauchy u x x + y u y + z u =, u(x, y, 1) = x y. z Soluţie. Sistemul caracteristic asociat este, dx x = dy y = dz z, iar integralele prime sunt x z = C 1, şi y z = C. Soluţia generală a ecuaţiei este u = Φ( x z, y z).

14. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi Pentru rezolvarea problemei Cauchy formăm sistemul x z = C1 y z = C z = 1 u = x y. Găsim x = C 1 şi y = C. Atunci u = (1 + C 1 ) (1 + C ). Revenim la valorile constantelor C 1 şi C şi găsim soluţia problemei Cauchy u = (1 + x z) (1 + y z). Ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul I cvasiliniară are forma a 1 (x 1, x,..., x n, u) u x 1 + a (x 1, x,..., x n, u) u x +... + a n (x 1, x,..., x n, u) u x n = a n+1 (x 1, x,..., x n, u) (.1.6) unde u este funcţia necunoscută, a i, i = 1, n + 1 sunt funcţii de clasă C 1 pe un domeniu D R n astfel încât n a i (x 1, x,..., x n ), i=1 pentru orice (x 1, x,..., x n ) D. În tot ceea ce urmează vom presupune, fără a restrânge generalitatea că a n. Integrarea ecuaţiei cvasiliniare (.1.6) se reduce la integrarea ecuaţiei cu derivate parţile de ordinul întâi, liniară şi omogenă a 1 V x 1 + a V x +... + a n V x n + a n+1 V u =. (.1.7) Căutăm o soluţie u pentru ecuaţia cvasiliniară (.1.6) sub formă implicită V (x 1, x,..., x n, u) =, (.1.8) unde V este funcţia necunoscută ce trebuie determinată. Admitem că V este de clasă C 1 pe domeniul D R n+1 şi V pe D. Din (.1.8) rezultă prin derivare în raport u cu x i V + V x i u u =, i = 1,,..., n x i de unde V u x = i, i = 1,,..., n. x i V u

.1. Abstract teoretic 15 Înlocuim aceste derivate în (.1.6) şi obţinem ecuaţia omogenă (.1.7). Soluţia generală a acestei ecuaţii este V = Φ(U 1, U,..., U n ), unde U 1, U,..., U n sunt n integrale prime independente funcţional ale sistemului caracteristic asociat ecuaţiei cvasiliniare dx 1 a 1 = dx a =... = dx n a n = du a n+1 (.1.9) Deci soluţiile ecuaţiei cvasiliniare (.1.6) sunt definite implicit de ecuaţii de forma Φ(F 1 (x 1, x,..., x n, u), F (x 1, x,..., x n, u),..., F n (x 1, x,..., x n, u)) =. Exemplul.1.3. Să se determine soluţia ecuaţiei x 1 u x 1 + (x 3 + u) u x + (x + u) u x 3 = x + x 3. Soluţie. Ataşăm sistemul caracteristic simetric dx 1 x 1 = dx x 3 + u = dx 3 x + u = Deducem, prin adunarea ultimelor trei rapoarte că de unde prin integrare deducem deci x + x 3 + u = C 1 x 1. Apoi din dx 1 x 1 = d(x + x 3 + u) (x + x 3 + u), du x + x 3. ln x 1 = 1 ln x + x 3 + u + 1 ln C 1, dx 1 x 1 = d(x x 3 ) x 3 x, prin integrare deducem ln x 1 = ln x x 3 + ln C, de unde x 1 (x x 3 ) = C. Din dx 1 = d(u x 3) x 1 u x 3 prin integrare rezultă x 1 (u x 3 ) = C 3. Soluţia este funcţia u, definită implicit de ( ) x + x 3 + u Φ, x 1 (x x 3 ), x 1 (u x 3 ) =. x 1

16. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi Problema Cauchy asociată ecuaţiei cvasiliniare (.1.6) constă în determinarea soluţiei u a ecuaţiei (.1.6) care pentru x n = x n, este cunoscută, adică u satisface egalitatea u(x 1, x,..., x n 1, x n, ) = ϕ(x 1, x,..., x n 1 ) (.1.1) pentru orice (x 1, x,..., x n 1, x n, ) D, unde ϕ este o funcţie cunoscută de clasă C 1, iar metoda de rezolvare a problemei Cauchy este asemănătoare cu cea din cazul ecuaţiilor cu derivate parţiale liniare şi omogene. Problema Cauchy pentru cazul n = are o interpretare geometrică simplă. Dacă z = ϕ(x, y) este o soluţie a ecuaţiei P (x, y, z) z + Q(x, y, z) z x y = R(x, y, z), (.1.11) suprafaţa de ecuaţie z = ϕ(x, y) se numeşte suprafaţă integrală a ecuaţiei (.1.11). Problema Cauchy revine la a determina suprafaţa integrală care conţine curba netedă definită implicit de { f1 (x, y, z) = (γ) (.1.1) f (x, y, z) =, unde f 1, f sunt funcţii de clasă C 1 un domeniu din R 3 având matricea Jacobiană de rang. Dacă U 1, U sunt două integrale prime independente ale sistemului caracteristic dx P (x, y, z) = dy Q(x, y, z) = dz R(x, y, z) problema Cauchy revine la determinarea legăturii Φ(C 1, C ) = dintre C 1 şi C din sistemul U 1 (x, y, z) = C 1 U (x, y, z) = C f 1 (x, y, z) = f (x, y, z) =. Exemplul.1.4. Să se determine suprafaţa integrală a ecuaţiei care conţine curba (γ) xz z z + yz x y + x + y z = { x = y + z = y. Soluţie. Determinăm curbele caracteristice, adică soluţiile sistemului simetric dx xz = dy yz = dz z x y.

.. Probleme propuse 17 Deducem d(x + y + z ) z(x + y + z ) = dx xz de unde, prin integrare, găsim x +y +z = x C 1. Din primele două rapoarte rezultă imediat y = x C. Formăm sistemul x + y + z = C 1 x y = xc x = y + z = y, eliminăm necunoscutele x, y, z şi obţinem condiţia de compatibilitate C C 1 + =. Înlocuim valorile C 1 = x + y + z şi C = y şi găsim ecuaţia ce defineşte implicit x x suprafaţa integrală cerută x + y + z y x =.. Probleme propuse Rezolvaţi următoarele ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul I omogene:.1 y u x x u y =,. (1 + x ) u u + xy x y =,.3 z u u + (x z) x y + x u z =,.4 x u x + y u + (x + y) u y z =,.5 x(y z ) u x y(x + z ) u y + z(x + y ) u z =.6 x(y z) u + y(z x) u + z(x y) u x y z =,.7 x u x + y u u z y z =,.8 x u x + y u y + x + y z u z =,.9 x u x + y u + (x + y + z) u y z =,

18. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi.1 x 1 u x 1 x u x x 3 u x 3 =,.11 (x 3 x 4 x 1 x ) u u + x x 3 + x u u 3 + x 3 x 4 =, x 1 x x 3 x 4.1 x 1 u x 1 + x u x +... + x n u x n =,.13 a 1 u x 1 + a u x +... + a n u x n =, a i R,.14 x u 1 + x u +... + x u n =. x 1 x x n Determinaţi soluţia generală a ecuaţiilor cvasiliniare, sau reductibile la ecuaţii cvasiliniare:.15 y z z + 3x x y + 6x y =,.16 y z z + yz x y = 1 z,.17 (y + x) z + (y x) z x y = z,.18 xz z z + yz x y = z x y,.19 xz z z + yz x y = x,. u u x + (u x ) u y = x,.1 z z x z z y = y x,. xz z z + yz x y = x,.3 x z x + y z y = x + y,.4 xz z z + yz x y = xy,.5 x u x y u y + z u z = u,

.. Probleme propuse 19.6 x(y z) u + y(z x) u + z(x y) u = u(y z), x y z.7 (1 + u x 1 x ) u x 1 + u x =,.8 x u x + y u y + z u z = x + u,.9 x 1 u x 1 +... + x n u x n = ku. Determinaţi suprafeţele z = z(x, y) care includ curbele indicate:.3 x z x y z y = z, (Γ) : x = y, z = x,.31 x z z xy x y + y =, (Γ) : y = 1, z = x,.3 xy z x + x y z y = z(x + y ), (Γ) : y = 1, x + z = 1,.33 (x y) z x y z y = z, (Γ) : x = y, z = x,.34 (1 + z x y) z x + z y.35 (cy bz) z + (az cx) z x y =, (Γ) : x = y, z =, = bx ay, a, b, c R (Γ) : x = y = z,.36 (y z) z (y 1) z x y = z 1, (Γ) : x = 1, z = y,.37 (y + z x ) z z xy x y = xz, (Γ) : x = 1, y + z =. Rezolvaţi problemele Cauchy:.38 x z z + y x y =, z(1, y) = 1 + y,.39 (x + y) z + (x y) z x y =, z(x, ) = x,.4 x u x + y u y + z u =, u(x, y, 1) = x y, z.41 x z x + y z y = z, z {x +y =1} = x,

. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi.4 x u x y u y + z u z = x, u(1, y, z) = y z,.43 x(y z ) u x y(x + z ) u y + z(x + y ) u z = u(x + y ), u(x, y, 1) = y,.44 x 3 u x + (y3 + 3x y) u y + x z u z = ux,.45 (x u(1, y, z) = y + z x + y + z ) u x + y u y + z u z = u, u(x, y, 1) = x,.46 xz z z x + yz y = z x y, z(x, 1, z) = x,.47 x u x y u y = u, u {x=y} = x 3,.48 xz z z + yz x y = xy, z(x, ) = x..3 Soluţii.1 Sistemul simetric dx y = dy x are curba caracteristică x +y = c şi soluţia ecuaţiei este u(x, y) = F (x + y ).. Sistemul simetric dx 1 + x = dy xy ( ) 1 + x duce la soluţia u = F. y dz dx dy.3 Se obţine = x z (x z) de unde y + (x z) = c 1 şi x z = c ; u(x, y, z) = F (y + (x z), x z ). ( ) x.4 u(x, y, z) = F y, x + y z..5 Avem dx x(y z ) = dy y(x + z ) = dz z(x + y ), de unde deducem că au loc xdx+ ydy+zdz =, dx x dy y dz z =, deci soluţia este u(x, y, z) = F (.6 u = F (x + y + z, xyz)..7 ( x u = F y, 1 ) z ln y..8 u = F ( x y, x + y z ). x + y + z, yz x ).

.3. Soluţii 1.9 dx x = dy y = dz x + y + z ; din primele două x = c 1y, iar dacă adunăm primele două d(x + y) dz = x + y (x + y) + z. obţinem o ecuaţie omogenă.1 u = F (x 1 x, x 1 x 3 )..11 Din al doilea şi al treilea x 3 = c 1 x, din al doilea şi ultimul x 4 = c x ; dacă le folosim în primul raport şi al doilea avem ln(c 1 c x 1 ) = x + c 3. c 1 ( x1.1 u = F, x,..., x ) n 1. x n x n x n.13 Integrăm ecuaţiile formate din primul raport şi fiecare dintre cele rămase ( 1.14 u(x 1,..., x n ) = F x1 u(x 1, x,..., x n ) = F (a x 1 a 1 x,..., a n x 1 a 1 x n ). 1, 1 1,..., 1 1 ). x x 1 x 3 x 1 x n.15 Soluţia este suprafaţa dată implicit de F (x 3 y, z + y ) =..16 F (y (1 + z ), x + yz) =..17 F (x + y )e arctg y x x + y, =. z ( y.18 F x, x + y + z ) =. x ( ) y.19 Soluţia este suprafaţa dată implicit de F x, z x =.. Din dx u = dy u x = du d(x u) = x u x rezultă F (x + u, y xu) =..1 Din dx z = dy z = ( ) x. F y, z x =..3 F dz d(x y) = y x z ( x ) y, x + y z =. ( ) x.4 F y, xy + z =..5 Soluţia este suprafaţa dată implicit de F rezultă F (x + y, (y x) + z )=. ( xy, z x, u ) =. x

. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi.6 Soluţia este suprafaţa dată implicit de F.7 F (x u, x + u x 1 x ) =..8 ( y F x, z x, u ) x ln x x =..9 F ( x1 x n,..., x n 1 x n, u ) x k =. n ( x + y + z, xyz, u ) =. x.3 Formăm sistemul xy = c 1, z x = c, x = y, z = x, cu condiţia de compatibilitate c = c 1, de unde z = x 3 y..31 Avem c 1 = xy, c = y3 3 xyz, c3 1 = c 1 3..3 Au loc x y = c 1, c = z xy, (c 1 + 1) + c (c 1 + 1) = 1..34 Sistemul este c 1 = z y, c = y + z x y, x = y, z = de unde c 1 + c = şi z + 4 z x y =..35 c 1 = ax + by + cz, c = x + y + z, x = y = z implică c = 3 (a + b + c)..36 Din ultimele două rapoarte (y 1)(z 1) = c 1 şi x + y + z = c, apoi.37 c 1 = y z, c = x + y + z z c = 1 + (c 1 + c ) 1 3 + (c1 + c ) 3. cu condiţia 9c 1 + 9 = c..38 Soluţia generală este z = φ( y x ). Formăm sistemul y x = c 1, x = 1, z = y + 1, de unde z = c 1 + 1 şi z = y x + 1..39 Soluţia generală este z = ψ(x xy y ), iar din sistemul c = x xy y, y =, z = x, deducem z = c, de unde z = y + xy x..4 Soluţia este u = ψ( x z, y z) şi din sistemul z = 1, x z = c 1, y z = c, u = x y, deducem u = (1 + c 1 ) (1 + c ) de unde u = (1 + x z) (1 + y z). c 1.41 Soluţia generală este F ( x y, x z ) = şi folosind condiţia deducem c (c 1 + 1) = 1 4 c 1 unde c 1 = x y, c = x z ; deci z = 4(x + y ).

.3. Soluţii 3.4 Au loc c 1 = xy, c = z x, c 3 = x u, c 3 = c 1 c..43 Avem c 1 = x yz, c = x + y + z, c 3 = u z, c 3 = c 1 c 1 + 1..44 Avem c 1 = z x, c = x + x3 y, c 3 = u z, c 1 c 3 = 1 c 1 + c 1..45 Avem c 1 = y z, c 3 = u z, c = x + x + y + z, c 3 = (c 1) c 1 1..46 Se obţin c 1 = x y, c = x + y + z, şi c 1 c = c 1 x + 1..47 c 1 = xy, c = uy şi c = c 1..48 c 1 = x y, c = xy + z şi c = 4c 1 (1 + c 1 ).

4. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi

Capitolul 3 Transformata Fourier 3.1 Abstract teoretic Definiţia 3.1.1. Fie f : R C absolut integrabilă. Funcţia complexă de variabilă reală F : R C, F (ω) = se numeşte transformata Fourier a funcţiei f. e jωt f(t) dt, ω R, (3.1.1) Observaţia 3.1.1. Deoarece f este absolut integrabilă şi e jωt f(t) = f(t), rezultă că integrala e jωt f(t) dt este absolut şi uniform convergentă în raport cu parametrul ω R. Vom nota transformata Fourier a funcţiei f şi astfel F = F[f(t)] sau F (ω) = F[f(t)](ω), ω R, evidenţiind astfel şi variabila t a funcţiei f şi variabila ω a transformatei F. De multe ori se utilizează şi notaţia F (jω) aceasta numindu-se caracteristica spectrală sau spectrul în frecvenţă a semnalului f = f(t). Utilizăm şi notaţia f(t) = F (ω). Să observăm că dacă f este cu valori reale, situaţie întâlnită practic, atunci F ( ω) = F (ω), motiv pentru care este suficient să cunoaştem F (ω) pentru valori ω >. 5

6 3. Transformata Fourier Observaţia 3.1.. Dacă f = f(t) este funcţie original Laplace, absolut integrabilă, atunci transformata Fourier F (ω) este tocmai valoarea transformatei Laplace în punctul s = jω. Din acest motiv pentru transformata Fourier se mai foloseşte notaţia F (jω). De exemplu, pentru funcţia absolut integrabilă şi original Laplace f(t) = σ(t)e t transformata Laplace este L[f(t)](s) = 1 în semiplanul Re s > 1, şi atunci transformata Fourier este F[f(t)](ω) = s + 1 1 jω + 1, ω R. Exemplul 3.1.1. Să se determine transformata Fourier a semnalului dreptunghiular de amplitudine A > pe intervalul [ l, l ], l >, f : R R, { A, x [ l, l ], f(x) =, în rest. l Soluţie. Un calcul elementar ne conduce la F (ω) = A şi, folosind formula lui Euler sin z = ejz e jz, găsim j l e jωt dt = A jω ( e jωl e jωl), F (ω) = A ω sin ωl = la sa ωl, unde sin x, x, sa : R R este funcţia denumită sinus atenuat, sa(x) = x 1, x =. Observaţia 3.1.3. Transformata Fourier este o funcţie mărginită, continuă şi Clasa de funcţii: lim F (ω) =. ω S = {f : R R f C (R), k, q N, C k,q R, t k f (q) (t) C k,q } unde f (q) este derivata de ordin q a funcţiei f, se numeşte clasa funcţiilor rapid descrescătoare. Au loc următoarele proprietăţi: (Derivarea imaginii) Dacă f S atunci F C (R) şi are loc (Transformarea derivatei) Dacă f S are loc j k F (k) [f](ω) = F[t k f](ω), k N. (3.1.) F[f (k) ](ω) = (jω) k F[f](ω). (3.1.3)

3.1. Abstract teoretic 7 Transformata Fourier F : S S este o aplicaţie C liniară şi continuă. (Formula de inversiune) Dacă f S atunci are loc Dacă f S, are loc formula f(t) = 1 π F (ω)e jωt dω. (3.1.4) Dacă f, g S, atunci au loc F[F[f]](t) = πf( t). (3.1.5) F[f](x)g(x)dx = f(t)g(t)dt = 1 π f(x)f[g](x)dx (3.1.6) F[f](ω)F[g](ω)dω (3.1.7) F[f g] = F[f]F[g] (3.1.8) unde F[f g] = 1 F[f] F[g]. (3.1.9) π (f(t)) dx = 1 π (f g)(t) = F (ω) dω. (3.1.1) f(s)g(t s)ds este produsul de convoluţie al funcţiilor f şi g. Dacă f este absolut integrabilă au loc formulele F[f(t a)](ω) = e jωa F[f](ω) (3.1.11) F[e j a t f](ω) = F[f](ω + a) (3.1.1) F[f(a t)](ω) = 1 a F[f](ω ), a R, a. (3.1.13) a

8 3. Transformata Fourier Dacă f = f(t) este o funcţie care admite transformata Fourier F (ω) astfel că este valabilă formula de inversare atunci are loc f(t) = 1 π f(x)dx cunoscută sub numele de integrala Fourier. Dacă f este funcţie pară formula devine (3.1.14) f(t) = π cos ωtdω Dacă f este impară formula devine (3.1.14) f(t) = π sin ωtdω + + cos ω(t x)dω. (3.1.14) f(x) cos ωxdx. f(x) sin ωxdx. Transformata Fourier prin cosinus este dată prin formula: F C [f](ω) = π f(t) cos ωtdt, (3.1.15) iar formula de inversare a transformatei cosinus este: f(t + ) + f(t ) = π F C [f](ω) cos ωtdω. (3.1.16) Transformata Fourier prin sinus este dată prin formula: F S [f](ω) = π f(t) sin ωtdt (3.1.17) iar formula de inversare a transformatei sinus este: f(t + ) + f(t ) = π F S [f](ω) sin ωtdω. (3.1.18)

3.. Probleme propuse 9 3. Probleme propuse Determinaţi transformatele Fourier ale funcţiilor de mai jos: 3.1 f(t) = e t, 3. [ A, t π f(t) =, π ], în rest, 3.3 f(t) = σ(t)e at, a >, 3.4 f(t) = σ( t)e at, a >, 3.5 f(t) = e a t, a >, 3.6 f(t) = σ(t)t 3 e t, 3.7 f(t) = e (t 3), 3.8 f 1 (t) = e t cos t şi f (t) = e t sin t, unde σ(t) = { 1, t,, t <. Determinaţi dacă este posibil, produsele de convoluţie ale următoarelor funcţii şi calculaţi transformatele Fourier ale acestora: 3.9 f(t) = g(t) = e t. 3.1 f(t) = g(t) = 1 ( ( σ t + 1 ) ( σ t 1 )). π π π Reprezentaţi următoarele funcţii ca integrale Fourier 3.11 1, t < a f(t) =, t > a 1, t = a, a >. 3.1 { sin t, t [ π, π] f(t) =, t [ π, π]. 3.13 Rezolvaţi ecuaţia integrală g(ω)e jtω dω = f(t) unde f(t) = t, t < 1 1, t = 1, t > 1..

3 3. Transformata Fourier Calculaţi transformatele sinus şi cosinus pentru funcţia: 3.14 f(t) = e at, a >, t >, Deduceţi formulele lui Parseval: 3.15 F c (ω)g c (ω)dω = + f(t)g(t)dt, 3.16 F s (ω)g s (ω)dω = + f(t)g(t)dt. 3.17 Să se calculeze { transformatele Fourier prin cosinus şi prin sinus pentru funcţia 1, < t a f(t) = a > şi, utilizând formulele Parseval (exerciţiile 3.16 şi, t > a, 3.17), să se deducă pentru a, b >, relaţiile sin ta sin tb t dt = (1 cos ta)(1 cos tb) t dt = π min{a, b} şi sin ta t dt = π a. 3.18 3.19 Rezolvaţi următoarele ecuaţii integrale: g(u) sin utdu = f(t), unde f(t) = g(u) cos utdu = f(t), unde f(t) = π 4, π sin t 4, < t < π π 4, t = π, t > π, π cos t, < t < π t = π, t > π.

3.3. Soluţii 31 3.3 Soluţii 3.1 Considerăm funcţia f(z) = e z şi b > fixat suficient de mare; pentru z = t + jy, t, y R avem f(z) = f(t + jy) = e y t e b t = g(t). Funcţia g este absolut integrabilă pe R şi g(t) dacă t. Atunci integrala complexă f(z)dt este independentă de y pentru y < b(vezi [3]). Deci F (ω) = e t e jωt dt = = Dacă mai sus luăm y = ω, găsim e (t + jy) e jω(t + jy) dt = e t + y + ωy jt(y + ω) dt. F (ω) = Deci transformata Fourier este e t ω 4 dt = πe ω 4. 3. Transformata este sinusul atenuat şi este F (ω) = F (ω) = πe ω 4. (3.3.1) f(t)e j ω t dt = = A (u(t + π ) u(t π ) ) e j ω t dt = π π Ae jωt dt = = Ae jωt jω + π π = A e jω π e j ω π jω = A ( ) ωπ ω sin.

3 3. Transformata Fourier 3.3 F (ω) = e (a + jω)t dt = 1 a + jω. 3.4 F (ω) = e (a jω)t dt = 1 a jω. 3.5 f(t) = σ(t)e at + σ( t)e at şi prin adunarea transformatele precedente se obţine F (ω) = a a + ω. 3.6 Din exerciţul 3.3 transformata lui e t 1 este 1+jω, apoi folosind formula (3.1.3) avem t 3 e t = j 3 1 ( 1+jω ). 3.7 Folosind formula (3.1.11), f(t 3) are transformata e 3jω F (ω), unde rezultă F (ω) = πe ω 4, dedus din exerciţiul 3.1 pentru a = 1. 3.8 Din exerciţiul 3.5 f(t) = e t = F (ω) = 1 + ω f 1 (t) = f(t) cos t = 1 f(t)(ejt + e jt ) = F 1 (ω) = 1 (F (ω 1) + F (ω + 1)] = = 1 1 + (ω 1) + 1 1 + (ω + 1). f (t) = f(t) sin t = 1 j f(t)(ejt e jt ) = F (ω) = 1 (F (ω 1) + F (ω + 1)] = j = 1 j ( ) 1 1 + (ω 1) 1 1 + (ω + 1). 3.9 Produsul există, funcţiile fiind absolut integrabile pe R. (f g)(t) = + e y e (t y) dy = e t e y ty dy = = e t e (y+ t ) dy = e t π. Transformata Fourier a produsului în convoluţie este produsul transformatelor, adică (f g) = πe ω 4 πe ω 4 = πe ω.

3.3. Soluţii 33 3.1 Funcţiile sunt 1 [ π, t π, π ], t [ π, π ] şi au produs de convoluţie. (f g)(t) = 1 π t π f(t y)dy = 1 π t+ π f(x)dx t+ π t π cu schimbarea de variabilă t y = x. Comparând t + π şi t π cu π şi π obţinem (f g)(t) =, t < π t + π π, π t < π t π, t < π, t π. Folosim transformata de la exerciţiul 3.. Prin înmulţire deducem 3.11 Funcţia f este pară şi f(t) = π = 1 π sin aωu ω cos ωtdω 3.1 Funcţia f este impară şi avem F (ω) = a cos ωtdω = 1 π = 1 π ( ( )) ωπ πω sin. cos ωxdx = π cos ωt sin ωx ω a dω = sin aω (cos ωt + j sin ωt)dω = ω sin aω ω ejωt dω f(t) = π sin ut du = 1 π sin ut f(x) sin ux dx = π π sin ut du π (cos(u 1)x cos(u + 1)x)dxdu = sin x sin ux dx =

34 3. Transformata Fourier 1 π sin ut( [ ] 1 3.13 g(ω) = F π f (ω) = 1 π sin(u 1)π u 1 1 1 sin(u + 1)π )du = u + 1 π sin ut sin uπ 1 u du. x e jωx dx = 1 ( ω π ω 3 sin ω + ) ω cos ω. 3.14 F c (ω) + jf s (ω)= π e at e jωt dt = părţilor reale şi a celor imaginare, găsim a + jω π a ; de unde prin identificarea + ω F c (ω) = a π a + ω, F s(ω) = π ω a + ω. 3.15 Avem = π 3.16 Avem 3.17 = π F c (ω)g c (ω)dω = g(t) dt F s (ω)g s (ω)dω = g(t) dt π F c (ω) cos ωtdω = π F s (ω) sin ωtdω = F c (ω) = F c (ω)dω F s (ω)dω f(t)g(t)dt. f(t)g(t)dt. a cos ωtdt = π g(t) cos ωxdt = g(t) sin ωxdt = sin ωa π ω F s (ω) = a sin ωtdt = π π 1 cos ωa. ω { { 1, < t a 1, < t b Fie f(t) = şi g(t) =, t > a,, t > b prima formulă a lui Parseval şi avem unde a, b >. Înlocuim în π sin ωa sin ωb ω dω = min{a,b} dt,

3.3. Soluţii 35 de unde prima egalitate. Din a doua formulă Parseval avem (1 cos ta)(1 cos tb) t dt = π min{a, b}. Pentru a = b deducem sin ta t dt = π a. 3.18 g(u) = 3.19 g(u) = π π π π sin ω 16u sin uωdω = cos πu. 4 1 16u π π u cos ω cos uωdω = sin πu. π π 1 u

36 3. Transformata Fourier

Capitolul 4 Funcţii Bessel 4.1 Abstract teoretic Ecuaţia diferenţială liniară omogenă de forma x y (x) + xy (x) + (x ν )y(x) =, (4.1.1) se numeşte ecuaţia Bessel, de speţa întâi şi indice ν R. Funcţii Bessel de speţa ˆıntˆai O soluţie este de forma J ν (x) = + k= şi se numeşte funcţie Bessel de speţa ˆıntˆai şi ordin ν. ( 1) k ( ) x ν+k (4.1.) k!γ(ν + k + 1) Teorema 4.1.1. Dacă ν Z, soluţia generală a ecuaţiei (4.1.1) este y(x) = c 1 J ν (x) + c J ν (x), c 1, c R. (4.1.3) Funcţia de forma N ν (x) = J ν(x) cos νπ J ν (x), ν Z (4.1.4) sin νπ se numeşte funcţia Bessel de speţa a doua şi ordin ν sau funcţia lui Neumann. Pentru n N avem N n (x) = lim N ν (x) = 1 ( djν ν n π dν (x) ( 1) n dj ) ν ν=n dν (x). ν=n 37

38 4. Funcţii Bessel Teorema 4.1.. Pentru ν R \ Z, soluţia generală a ecuaţiei (4.1.1) este y(x) = c 1 J ν (x) + c N ν (x), c 1, c R. (4.1.5) Teorema 4.1.3. Pentru orice x R şi t C, t are loc dezvoltarea e x (t 1 t ) = + n= J n (x)t n. (4.1.6) Funcţia e x (t 1 t ) se numeşte funcţia generatoare a funcţiilor Bessel de speţa ˆıntˆai şi de ordin ˆıntreg. Are loc următoarea reprezentare integrală J n (x) = 1 π e j(x sin θ nθ) dθ. (4.1.7) π Teorema 4.1.4. Între funcţiile Bessel de speţa întâi au loc relaţiile de recurenţă J ν(x) = 1 (J ν 1(x) J ν+1 (x)) (4.1.8) ν x J ν(x) = J ν+1 (x) + J ν 1 (x). (4.1.9) Teorema 4.1.5. Dacă ν > 1, zerourile funcţiei J ν sunt reale, simple (cu excepţia eventual a lui x = ), izolate şi dispuse simetric în raport cu x =. Vom nota mulţimea numărabilă a rădăcinilor pozitive cu {λ n }, n N. Se poate demonstra că dacă x +, are loc următoarea aproximare asimptotică: J ν (x) = πx cos(x π ν π 4 ) + O(x 3 ). Din relaţia de mai sus decurge faptul că rădăcinile pot fi aproximate cu rădăcinile funcţiei cos(x π ν π 4 ), adică λ n = 3π 4 + π ν + nπ. Teorema 4.1.6. Fie ν > 1 şi α, β, α β soluţii ale ecuaţiei J ν (x) =. Atunci au loc 1 xj ν (αx)j ν (βx)dx = (4.1.1) 1 xj ν (αx)dx = 1 J ν+1(α) (4.1.11)

4.1. Abstract teoretic 39 Observaţia 4.1.1. Teorema se interpretează astfel: mulţimea {J ν (λ n x)}, unde λ n, n N sunt zerourile funcţiei J ν,, formează un sistem ortogonal cu ponderea x pe intervalul [, 1]. Serii Fourier - Bessel Fie f : [, 1] R o funcţie dată. Pentru ν > 1 fie λ n, n N rădăcinile funcţiei Bessel asociate {J ν (λ n ) = }. Căutăm o dezvoltare a funcţiei f în serie Fourier-Bessel de forma f(x) = + n=1 c n J ν (λ n x), x (, 1). (4.1.1) Teorema 4.1.7. Dacă xf(x) este o funcţie absolut integrabilă pe [, 1] şi ν 1 atunci pentru orice x (, 1) are loc dezvoltarea în serie (4.1.1), în care coeficienţii sunt daţi de c n = 1 xf(x)j ν (λ n x)dx J ν+1 (λ n). (4.1.13) Funcţiile Bessel se speţa a III-a (numite şi funcţiile lui Hankel) sunt date de: Funcţiile Hankel de speţa I Funcţiile Hankel de speţa II H (1) ν (x) = J ν (x) + j N ν (x) ν R. (4.1.14) H () ν (x) = J ν (x) j N ν (x) ν R. (4.1.15) Evident că şi aceste funcţii sunt soluţii ale ecuaţiei Bessel, satisfac şi are loc următoarea teoremă: ν (x) = H ν () (x) H (1) Teorema 4.1.8. Soluţia generală a ecuaţiei Bessel este y(x) = a 1 J ν (x) + b 1 H (1) ν (x) = a J ν (x) + b H () ν (x) = a 3 H (1) ν (x) + b 3 H () ν (x), (4.1.16) a i, b i C, i = 1,, 3. Funcţiile Bessel modificate (cu argument imaginar) În ecuaţia Bessel x y (x) + xy (x) + (x ν )y(x) =,

4 4. Funcţii Bessel facem schimbărea de variabilă x = jt şi schimbărea de funcţie u(t) = y(jt) şi atunci ecuaţia devine: t u (t) + tu (t) (t + ν )u(t) =, (4.1.17) Ecuaţia (4.1.17) se numşte ecuaţie Bessel modificată. Următoarele funcţii sunt soluţii ale acestei ecuaţii. I ν (t) = e jν π Jν (jt). (4.1.18) K ν (t) = jπ e iπν H (1) ν (jt). (4.1.19) Funcţiile date de (4.1.18) se numesc funcţii Bessel modificate sau cu argument imaginar, iar cele date de (4.1.19) se numesc funcţie Kelvin. Soluţia generală a ecuaţiei Bessel modificată (4.1.17) este: y(x) = c 1 I ν (x) + c K ν (x). (4.1.) Exemplul 4.1.1. Să determinăm soluţia corespunzătoare ecuaţiei x y (x) + xy (x) + (x 1 )y(x) =. 4 Soluţie. Observăm că ν = ± 1, deci din teoremă y(x) = c 1 J 1 (x) + c J 1 (x). Calculăm funcţiile Bessel corespunzătoare. Mai întâi J 1 (x) = k= ( 1) k ( ) x k+ 1 ( 1) k ( ) x k+ 1 = = Γ(k + 1)Γ( 3 + k) k!(k + 1)... 5 3 1Γ( 1 k= ) = k= ( 1) k k+1 x k+1 1 x k!(k + 1) 3 1 π k+1 1 = πx Ultima serie reprezintă dezvoltarea funcţiei sinus; aşadar J 1 (x) = sin x. πx Avem analog, J 1 (x) = k= Soluţia ecuaţiei este deci ( 1) k ( ) x k 1 = Γ(k + 1)Γ( 1 + k) k= y(x) = = πx k= ( 1) k x k (k)! = k= ( 1) k x k+1. (k + 1)! ( 1) k k x k k!1 3... (k 1) π k x = cos x. πx πx (c 1 sin x + c cos x), x >, c 1, c R.

4.1. Abstract teoretic 41 Exemplul 4.1.. Să arătăm că are loc J n (x) = ( 1) n J n (x). (4.1.1) Soluţie. Dacă ν = n N, atunci funcţia Bessel corespunzătoare este J n (x) == = k=n k= ( 1) k ( ) x k n = Γ(k + 1)Γ( n + k + 1) ( 1) k ( ) x k n, Γ(k + 1)Γ( n + k + 1) deoarece Γ(k n + 1) = pentru k =, 1,..., n 1, afirmaţie care poate fi dovedită prin prelungirea funcţiei Γ la domeniul complex. Schimbând apoi ordinea de sumare prin k n = m, avem mai departe = m= Exemplul 4.1.3. Să calculăm integrala ( 1) n+m ( ) x m+n = ( 1) n J n (x). Γ(n + m + 1)Γ(m + 1) e ax J ( kx)dx, k >. Soluţie. Avem de unde J (x) = + n= ( 1) n x n n (n!) J ( kx) = + n= ( 1) n k n x n (n!) n. Înmulţim cu e a x şi integrăm termen cu termen seria de funcţii convergentă absolut pe R şi avem: e ax J ( kx)dx = + n= ( 1) n k n (n!) n Facem schimbarea t = a x, reducem la o integrală Γ şi obţinem + n= e ax x n dx ( 1) n k n n! (n!) n a (n+1) = 1 + ( 1) n ( ) k n a n! 4a n= = 1 k a e 4a.

4 4. Funcţii Bessel Exemplul 4.1.4. Să arătăm că transformata Laplace a funcţiei J n (x) este L[J n (x)](p) = 1 p + 1 ( p + 1 p) n, Re p >. (4.1.) Soluţie. Într-adevăr, dacă folosim reprezentarea integrală (4.1.7), deducem că J n este funcţie original şi avem L[J n (x)](s) = 1 π Schimbăm ordinea de integrare şi avem = 1 π = 1 π π π π e jnθ dθ e j(x sin θ nθ) dθe sx dx. e jx sin θ sx dx = e jnθ 1 dθ j sin θ s e(j sin θ s)x dθ = 1 π π e jnθ s j sin θ dθ = 1 π z =1 z n s j z z j dz jz = 1 πj z =1 z n sz 1 + z dz. Am folosit substituţia z = e jθ. Calculăm integrala cu ajutorul teoremei reziduurilor. Funcţia de integrat are drept poli soluţiile ecuaţiei z + sz 1 =, adică z 1, = s± s + 1. Dar cum z 1 z = 1 rezultă că s+ s + 1 < 1 şi s s + 1 > 1. Deci L[J n (x)](s) = zn (z + s) z= s+ s +1 = 1 s + 1 ( s + 1 s) n. Exemplul 4.1.5. Dezvoltaţi în serie Fourier -Bessel funcţia f(x) = x 4, x (, 1), pentru ν = 4. Soluţie. Folosim formulele (4.1.1) şi (4.1.13). Avem f(x) = + n=1 c n J 4 (λ n x) unde c n = 1 xf(x)j 4 (λ n x)dx J 5 (λ n).

4.. Probleme propuse 43 Facem schimbarea de variabilă λ n x = t şi integrala devine ( 1 λ n ) λ 6 n ( 1 t 5 J 4 (t)dt = λ n ) λ 6 n Am folosit proprietatea t 5 J 4 (t) = d dt d dt ( ) ( ) 1 6 t 5 J 5 (t) dt = λ 5 λ nj 5 (λ n ) = J 5(λ n ). n λ n (t 5 J 5 ). Rezultă c n = λ n J 5 (λ n ). Exemplul 4.1.6. Să determinăm partea reală şi cea imaginară a funcţiei Bessel modificate (Bessel real şi Bessel imaginar) de ordin. Soluţie. Notăm cu ber x şi bei x partea reală respectiv cea imaginară. Atunci are loc scrierea I (xe j π 4 ) = ber x + j bei (x). Calculăm I (xe j π 4 ) bei x = 1 1! J (jxe j π 4 ) = + k= ( 1) k ( ) (k!) jk e (j π x k + 4 k) j k ( ) x k = (k!) k= ber x = 1 1 ( ) x 4 (!) + 1 ( ) x 8 (4!) = ( x 4. Probleme propuse ) 1 ( ) x 6 (3!) + 1 ( ) x 1 (5!) = k= k= ( 1) k ( ) x 4k ((k)!), ( 1) k ( ) x 4k+ ((k + 1)!). 4.1 Să se stabileasă următoarele formule de recurenţă pentru funcţiile Bessel de speţa întâi. a. d dx (xν J ν (x)) = x ν J ν 1 (x), b. d dx (x ν J ν (x)) = x ν J ν+1 (x), c. J ν 1 (x) + J ν+1 (x) = ν x J ν(x), d. J ν 1 (x) J ν+1 (x) = J ν(x), e. xj ν(x) + νj ν (x) = xj ν 1 (x), f. xj ν(x) νj ν (x) = xj ν+1 (x). 4. Calculaţi J 3, J 3 ; generalizare. 4.3 Efectuând schimbări convenabile de funcţie şi variabilă independentă, reduceţi următoarele ecuaţ ii la ecuaţii Bessel şi găsiţi forma generală a soluţiei: a. x y (x) + xy (x) + (bx ν )y(x) =, b. xy (x) + ay (x) + bxy(x) =,

44 4. Funcţii Bessel c. xy (x) + (1 p)y (x) + 1 y(x) =, 4 d. y (x) + 1 xy(x) =, 3 e. y (x) + (e x n )y(x) =, f. x y (x) + xy (x) + 4(x 4 1)y(x) =, g. y (x) + 5 x y (x) + y(x) =, h. x y + (x 4 1)y =. 4.4 Să se calculeze W [J ν (x), J ν (x)] şi W [J ν (x), N ν (x)] unde f(x) g(x) W [f, g] = f (x) g (x) este wronskianul funcţiilor f şi g. 4.5 Să se demonstreze că funcţiile Neumann satisfac aceleaşi relaţii de recurenţă ca şi funcţiile Bessel de speţa ˆntâi: a. d dx (xν N ν (x)) = x ν N ν 1 (x), b. d dx (x ν N ν (x)) = x ν N ν+1 (x), c. N ν 1 (x) + N ν+1 (x) = ν x N ν(x), d. N ν 1 (x) N ν+1 (x) = N ν(x), e. N n (x) = ( 1) n N n (x). 4.6 Să se demonstreze formulele: sin νπ a. J ν (x)j ν+1 (x) + J ν (x)j ν 1 (x) = πx, b. J ν (x)j ν 1 (x) + J ν (x)j ν+1 (x) = c. J ν (x)n ν+1 (x) J ν+1 (x)n ν (x) = πx. sin νπ πx, 4.7 Arătaţi că funcţia generatoare poate fi scrisă sub forma e x (t 1 t ) = J (x) + 4.8 Deduceţi dezvoltările în serie de funcţii a. cos(x sin ϕ) = J (x) + + k=1 + n=1 J k (x) cos kϕ, (t n + ( 1) n t n )J n (x).

4.. Probleme propuse 45 b. sin(x sin ϕ) = + k= c. cos(x cos ϕ) = J (x) + d. sin(x cos ϕ) = e. cos x = J (x) + f. sin x = + k= + n=1 + J k+1 (x) sin(k + 1)ϕ, + n=1 ( 1) k J k (x) cos kϕ, ( 1) k J k+1 (x) cos(k + 1)ϕ, n=1 ( 1) k J k+1 (x). 9. Deduceţi dezvoltările a. 1 = J (x) + J k (x), b. x = k=1 (k + 1)J k+1 (x), k= c. x sin x = d. x cos x = ( 1) k J k (x), ( 1) k (k) J k (x), k=1 k=1 ( 1) k (k + 1) J k+1 (x). 4.1 Să se deducă următoarele reprezentări integrale pentru funcţiile Bessel de speţa întâi şi ordin întreg n Z a. J n (x) = 1 e x (t 1 t ) πj t n+1 dt, b. J n (x) = 1 π t =1 π c. J n (x) = 1 πj n d. J n (x) = 1 π e. J (x) = π π π cos(nθ x sin θ)dθ, π e j(x cos θ+nθ) dθ, cos(nθ x sin θ)dθ, cos(x sin θ)dθ = π 1 cos tx 1 t dt.

46 4. Funcţii Bessel 4.11 Să se demonstreze egalităţile (formulele Lommel): a. b. a a xj ν (αx)j ν (βx)dx = xj ν (αx)dx = a α, β R, α β, ν > 1. a α β ( βjν (αa)j ν(βa) αj ν (βa)j ν(αa) ), ( ) J ν (αa) + (1 ν α a )J ν (αa), 4.1 Arătaţi că mulţimea J ν ( λ nx ) formează un sistem ortogonal de funcţii pe [, a], a a > cu ponderea x, unde λ n satisface J ν (λ n ) =. 4.13 Dacă f : [, a] R şi xf(x) este absolut integrabilă, atunci unde c n = a f(x) = xf(x)j ν (λ n x a )dx a J ν+1(λ n ) + n=1. c n J ν ( λ nx ), x (, a) a 4.14 Dezvoltaţi în serie Fourier -Bessel următoarele funcţii: a. f(x) = x ν, x (, 1), ν 1, b. f(x) = x 6, x (, 1), ν = 4, c. f(x) = x n+, x (, 1), ν = n N, d. f(x) = 1 x, x (, 1), ν =, e. f(x) = x 4, x (, 3), ν = 4. 4.15 Să se arate că funcţiile Hankel satisfac relaţiile de recurenţă: a. H (i) ν 1 (x) + H(i) ν+1 (x) = ν x H(i) ν (x), i = 1,, b. H (i) ν 1 (x) H(i) ν+1 (x) = H(i) ν (x), i = 1,. 4.16 Arătaţi că au loc: a. H (1) ν (x) = j e jνπ J ν (x) J ν (x), sin νπ b. H ν(x) (1) = e jνπ H ν (1) (x), c. H (1) 1 (x) = j πx eix,

4.. Probleme propuse 47 d. H (1) (x) = 1 e. H () ν πx eix, (x) = j ejνπ J ν (x) J ν (x), sin νπ f. H ν(x) () = e jνπ H ν () (x), g. H () 1 (x) = j πx e ix, h. H () (x) = 1 πx e ix. 4.17 Să se demonstreze egalităţile: a. W [J ν (x), H ν (1) (x)] = j πx, b. W [J ν (x), H ν () (x)] = j πx, c. W [N ν (x), H (1) ν (x)] = πx, d. W [N ν (x), H () ν (x)] = πx, e. W [H ν (1) (x), H ν () (x)] = 4j πx. 4.18 Arătaţi că ecuaţia Bessel modificată x y (x) + xy (x) (x + ν )y(x) =, are soluţiile y(x) = Y (jx), unde Y este funcţie Bessel. 4.19 Arătaţi că are loc I ν (x) = k= ( ) 1 t k+ν. k!γ(ν + k + 1) 4. Arătaţi că funcţia Kelvin satisface π K ν (x) = sin νπ (I ν(x) I ν (x)). 4.1 Să se demonstreze egalităţile a. I 1 (x) = πx sh x = e x e x, πx b. I 1 (x) = πx ch x = e x + e x, πx c. K 1 (x) = πx e x, d. K 1 (x) = πx e x..

48 4. Funcţii Bessel 4. Arătaţi că au loc relaţiile de recurenţă a. I ν 1 (x) I ν+1 (x) = ν x I ν(x), b. K ν 1 (x) K ν+1 (x) = ν x K ν(x), c. I ν 1 (x) + I ν+1 (x) = I ν(x), d. K ν 1 (x) + K ν+1 (x) = K ν(x), e. I n (x) = I n (x), f. K ν (x) = K ν (x). 4.3 Soluţii 4.1 Pentru a. şi b. derivăm termen cu termen seriile de puteri = + k= d dx (xν J ν (x)) = d ( + ( 1) k ν ( ) ) x ν+k = dx k!γ(ν + k + 1) k= ( 1) k ν (ν + k) x ν+k 1 + k!γ(ν + k + 1) ν+k = x ν ( 1) k ( ) x k+ν 1 = x ν J ν 1 (x) k!γ(ν + k) d dx (x ν J ν (x)) = d ( + dx k= x ν + k= k= ( 1) k k!γ(ν + k + 1) ( 1) k kx k 1+ν k!γ(ν + k + 1) ν 1+k. x k ) ν+k In ultima relaţie simplificăm cu k şi schimbăm indicele de sumare k = l + 1. Din a. şi b. obţinem prin explicitarea derivatelor: de unde rezultă { νx ν 1 J ν (x) + x ν J ν(x) = x ν J ν 1 (x) νx ν 1 J ν (x) + x ν J ν(x) = x ν J ν+1 (x), { νx 1 J ν (x) + J ν(x) = J ν 1 (x) νx 1 J ν (x) J ν(x) = J ν+1 (x), deci e. şi f. sunt adevărate. Din ultimile două relaţii prin însumare se obţine c., iar prin diferenţă d. = 4. În relaţia (4.1.9) luăm ν = 1 şi atunci avem J 3 (x) = 1 x J 1 (x) J 1 (x) = πx ( 1 sin x cos x). x

4.3. Soluţii 49 Analog, pentru valoarea ν = 1, obţinem J 3 = Mai general, pentru n N, avem J ±(n+ 1 ) = πx ( 1 cos x sin x). x ( ( ) ( ) ) 1 1 A n cos x + B n sin x, πx x x unde A n, B n sunt polinoame de grad cel mult n. Se poate demonstra ca singurele funcţii Bessel elementare sunt de aceasta formă. 4.3 a. Facem schimbarea de variabilă independentă t = x b. Avem z(t) = z(x b) = y(x), y = bz şi y = bz. Rezultă bx z (t) + bz (t) + (t ν )z = cu soluţia z(t) = c 1 J ν (t) + c N ν (t), de unde y(x) = c 1 J ν ( bx) + c N ν ( bx). b. Substituţia y(x) = x ν z(x) duce la y = νx ν 1 z + x ν z, y = ν(ν 1)x ν z + νx ν 1 z + x ν z ; înlocuim în ecuaţie, împărţim prin x ν 1 şi obţinem x z + x(ν + a)z + (ν(ν 1) + aν + bx )z =. Pentru a fi ecuaţie Bessel punem condiţia ν + a = 1 şi găsim cu soluţia iar y(x) = x 1 a z(x). c. Cu schimbarea x = t α se obţine x z + xz + (bx ν )z =, z = c 1 J ν (x b) + c N ν (x b), t d y + (1 αp)dy dt dt + α 4 tα 1 y =. Dacă punem condiţia α 1 = 1, obţinem o ecuaţie de tipul precedent, cu a = 1 p, b = 1, ν= 1 a = p şi soluţia y(x) = x p (c 1 J ν ( x) + c N ν ( x)). d. x = t α, t d y + (1 α)dy dt dt + 1 3 α t 3α 1 y = ; este o ecuaţie ca la punctul b., punem 3α 1 = 1, rezultă α = 3, a = 1 3, b = 1 ( ), deducem 3 3 y(t) = t ν ( c 1 J ν ( 1 3 3 t ) + c N ν ( 1 3 3 t )), unde ν = 1 3, tν = x.