6.. Decimarea Decimarea reprezină operaţia de reducere a raei de eşanionare a unui semnal discre cu un facor înreg : LUCRAREA 6 CHIBAREA RATEI DE EŞANTIONARE. APLICAŢII ALE CIRCUITELOR ULTIRATĂ x [ n] = x[ n] = x ( nt (6.3 d ie max frecvenţa maximă a semnalului coninuu xc (. Condiţia ca semnalul xc ( să poaă fi reconsiui din eşanioanele semnalului decima xd[ n ] ese ca prin reducerea raei de eşanionare să fie îndepliniă condiţia Nyquis: c (6.4 max 6.. Inroducere În mule aplicaţii ese necesară schimbarea frecvenţei de eşanionare a semnalului. ie secvenţa numerică x[ n ], obţinuă prin eşanionarea semnalului coninuu xc ( : x[ n] = x ( nt (6. c s unde = = = ese raa de eşanionare redusă cu facorul. T T În figura 6. ese prezena specrul în pulsaţii normae a semnalului x[ n ] şi specrul semnalului decima xd[ n ] în urma decimării cu. X( e ω unde T ese perioada de eşanionare. chimbarea raei de eşanionare penru secvenţa discreă x[ n ] ese echivalenă cu obţinerea unei secvenţe care să conţină eşanioanele semnalului coninuu obţinue cu o perioadă T T : x [ n] = x ( nt (6. Deoarece avem la dispoziţie secvenţa discreă x[ n ] şi nu semnalul coninuu xc (, prezină ineres acele meode de schimbare a raei de eşanionare care operează numai asupra semnalului discre. Acesea sun meodele de eşanionare muliraă care realizează decimarea (reducerea raei de eşanionare sau inerpolarea (creşerea raei de eşanionare cu auorul circuielor de decimare, respeciv expandare şi a filrelor adevae. Deoarece creşerea sau scăderea raei de eşanionare se face în acese circuie cu facori înregi, obţinerea unei modificări fracţionare se poae realiza prin cascadarea circuielor de decimare cu cele de inerpolare sau invers. c ω 0 max Xd ( e ω 0 ωmax / igura 6.. pecrele în pulsaţii normae înaine şi după decimare. Dacă nu se respecă condiţiile de mai sus în urma decimării apare fenomenul de aliere (suprapunerea specrelor penru semnalul decima. Penru a 7 8
evia alierea se inroduce înainea circuiului elemenar de decimare un filru rece-os. recvenţa (normaă de ăiere a filrului ese: ω=. (6.5 În figura 6. se araă fenomenul de aliere specrală care poae fi evia prin filrarea rece os înainea decimării. ( X e ω TJ 0 ωmax Xd ( e ω alierea specrelor E. Exerciţiu: a ă se genereze urmăorul semnal: x[ n] = sin( f n + sin( f n, n= 0 : N (6.6 unde f şi f sun frecvenţele normae corespunzăoare frecvenţelor = 000Hz, = 3500Hz, frecvenţa de eşanionare fiind = 0kHz. Numărul de eşanioane ese N = 64. b ă se realizeze decimarea acesui semnal cu = şi = 4. Înâi să realizăm reducerea frecvenţei de eşanionare cu un decimaor elemenar care reţine eşanioanele muliplii de : Aceasa se realizează în alab cu: xd = x(::n; xd[ n] = xn [ ] c e vor reprezena în aceeaşi figură cu subplo specrele calculae în Nff = 56 punce ale semnalului iniţial şi semnalului decima în funcţie de frecvenţe normae şi în figura specrele în funcţie de frecvenţe nenormae. 0 Xd ( e ω / Cum se modifică specrul prin decimare? Compleaţi abelul: = = 4 = recvenţe normae f f recvenţe nenormae (Hz (Hz 0 x[n] TJ x [n] x d / igura 6.. enomenul de aliere şi circuiul comple de decimare. d Penru a evia fenomenul de aliere (observa penru frecvenţa dacă = 4 semnalul de inrare rebuie filra cu un filru rece os cu frecvenţa de ăiere ω= / cu circuiul comple de decimare (vezi figura 6.. Proiecaţi filrul anialiere ca un filru RI alegând ordinul filrului mai mare de 30. ilraţi semnalul de inrare cu filrul proieca. e Decimaţi semnalul filra cu = şi = 4. Reprezenaţi specrul semnalului filra şi al semnalului după filrare şi decimare. Comenaţi diferenţele faţă de rezulaele obţinue anerior. 9 30
uncţia alab decimae implemenează un decimaor, adică filrează rece os semnalul da, după care îl decimează cu raa specificaă. inaxe: y = decimae(x,d vecorul x conţine valorile eşanioanelor secvenţei de inrare x[ n] iar D ese facorul de decimare. Penru eviarea alierii se foloseşe în mod implici un filru rece os de ip Cebîşev I, de ordinul 8. Va rezula vecorul y ce conţine valorile eşanioanelor semnalului de ieşire ym [ ]. lungimea vecorului x rebuie să fie de cel puţin 3 ori mai mare decâ ordinul filrului folosi penru a evia alierea. În aceasă sinaxă se foloseşe în mod implici un filru de ordinul 8 deci lungimea minimă a vecorului x ese 5. y = decimae(x,d,n aceleaşi considerene ca în sinaxa precedenă cu deosebirea că se va folosi penru eviarea alierii un filru rece os de ip Cebîşev I de ordinul n. În aces caz vecorul x rebuie să aibă lungimea mai mare ca 3n. Nu ese recomanda să se aleagă un ordin mai mare decâ 3 daoriă insabiliăţii numerice (ATLAB averizează în aces caz. y = decimae(x,d, fir aceleaşi considerene ca în prima sinaxă cu deosebirea că se va folosi penru eviarea alierii un filru cu răspuns fini la impuls (RI de lungime 30. 6.3. Inerpolarea Inerpolarea reprezină operaţia de creşere a raei de eşanionare a unui semnal discre cu un facor înreg L. Aceasa consă înâi în expandarea semnalului discre iniţial urmaă de filrarea rece os. Expandarea semnalului iniţial se realizează prin inroducerea a L zerouri înre două eşanioane succesive ale lui x[ n ]: x[ n/ L], n= 0, ± L, ± L, xe[ n] =, (6.7 0 în res X( e ω 0 ωmax Xe ( e ω L TJ specre imagine y = decimae(x,d,n, fir aceleaşi considerene ca în a doua sinaxă cu deosebirea că se va folosi penru eviarea alierii un filru cu răspuns fini la impuls (RI de lungime n. E. Exerciţiu:. olosind funcţia ATLAB wavread ciiţi dinr-un fişier wav un semnal audio de maxim 0 secunde, eşaniona la khz. Reprezenaţi specrul semnalului cu funcţia specgram.. Decimaţi semnalul cu 0 fără a folosi un filru anialiere. Asculaţi semnalul decima cu funcţia sound şi reprezenaţi specrul acesuia. Apare aliere? 3. ilraţi rece os semnalul înainea decimării, evenual folosind funcţia decimae, reprezenaţi specrul şi asculaţi semnalul. Comenaţi. 0 L L Xi ωmax 0 L ( e ω 4 L x[n] x e [n] x I [n] L TJ L L igura 6.3. Circuiul comple de inerpolare cu facorul L. 3 3
După expandare, filrul rece os are rolul de a elimina specrele imagine care apar în domeniul de frecvenţe normae ω [, ], în urma creşerii frecvenţei de eşanionare de L ori. recvenţa normaă de ăiere a filrului ese: ω=. (6.8 L De asemenea câşigul filrului rebuie să fie egal cu L asfel încâ să fie îndepliniă relaţia înre eşanioanele semnalelor x[ n ] şi x [ n ]: E3. Exerciţiu: a ă se genereze urmăorul semnal: unde N = 64. xi[ m] = x[ m/ L], penru m= 0, ± L... (6.9 x[ n] = sin(0.4 n n= 0 : N (6.0 b e va realiza mărirea raei de eşanionare prin expandare cu L = 3. xn [ / L] penru n= kl, k Z xe[ n] = 0 în res Expandarea se realizează în alab cu: xe = zeros(,l*n; xe(:l:l*n = x; c e vor reprezena în figura cu subplo porţiuni din cele două semnale: figure( subplo(3,sem(0:0,x(:,grid; subplo(3,sem(0:l*0,xe(:l*0+,grid; d În figura se vor reprezena specrele calculae în Nff = 56 punce ale semnalului iniţial şi semnalului expanda în funcţie de frecvenţe normae. Cum se modifică specrul prin expandare? Explicaţi apariţia componenelor specrale suplimenare în urma expandării. 33 i rucura compleă a circuiului de inerpolare se obţine prin adăugarea după expandare a unui filru rece os cu pulsaţia normaă ăiere ω= / L şi cu câşigul egal cu L, care să elimine specrele imagine (vezi figura 6.3. Efecul acesei filrări în domeniul imp ese de a reface eşanioanele semnalului în puncele unde s-au inrodus zerouri prin obţinerea unui semnal numeric cu specrul idenic cu cel al semnalului analogic. e Proiecaţi un filru rece os RII cu pulsaţia normaă ăiere ω= / L şi câşigul egal cu L. ilrul rebuie să aibă o aenuare de minim 30 db în banda de oprire. ilraţi semnalul expanda. f e va reprezena semnalul xi obţinu în urma filrării în figura (împreună cu semnalele x şi xe şi specrul acesui semnal în figura (împreună cu celelale specre: figure(, subplo(33,sem(0:l*0,xi(6:l*0+6,grid; g Reluaţi exerciţiul penru L = 6. uncţia alab inerp implemenează un inerpolaor, adică expandează semnalul da cu raa specificaă, după care îl filrează rece os. inaxe: y = inerp(x,u vecorul x conţine valorile eşanioanelor secvenţei de inrare x[ n] iar U ese facorul de inerpolare. Va rezula vecorul y ce conţine valorile eşanioanelor semnalului de ieşire ym [ ]. se foloseşe în mod implici un filru ani-imagine de lungime 4 cu frecvenţa de ăiere normaă 0,5. Lungimea vecorului x rebuie să fie de cel puţin (lungimea filrului+. În aceasă sinaxă se foloseşe în mod implici un filru de lungime 4 deci lungimea minimă a vecorului x ese 9. y = inerp(x,u,l,f aceleaşi considerene ca în prima sinaxă cu deosebirea că se va folosi un filru ani-imagine de lungime l şi având frecvenţa de ăiere normaă f. În aces caz vecorul x rebuie să aibă lungimea de cel puţin l+. [y,b] = inerp(x,u,l,f y, x, U, l, f au aceleaşi semnificaţii ca în sinaxa precedenă; se va reurna în plus vecorul b ce va conţine coeficienţii filrului ani-imagine. 34
6.4. odificarea fracţionară a raei de eşanionare În mule aplicaţii pracice ale procesării semnalelor digiale apare problema schimbării frecvenţei de eşanionare a semnalului prin creşerea sau scăderea aceseia. Conversia cu facorul raţional L/ a raei de eşanionare se poae realiza inerpolând mai înâi semnalul cu un facor L şi apoi decimând ieşirea inerpolaorului cu facorul. chema corespunzăoare consă din inerconecarea în cascadă a unui inerpolaor cu un decimaor: x[n] x e [n] x f [n] L TJ 35 x d [n] igura 6.4. Circuiul de modificare fracţionară a raei de eşanionare. Ese imporan să se realizeze mai înâi inerpolarea şi după aceea decimarea penru a prezerva caracerisicile specrale dorie ale lui x[ n]. ilrul rece os din igura 6.4. încorporează operaţiile de filrare penru inerpolare şi decimare. Expresia lui H ( e ω ese: ω L, 0 ω min, He ( = L 0, in res (6. Penru o bună înţelegere se recomandă parcurgerea eoriei din cadrul sisemelor cu eşanionare muliraă referioare la conversia raei de eşanionare prinr-un facor raţional L/. E4. Exerciţiu: ie un semnal sinusoidal de frecvenţă = 8kHz, eşaniona cu frecvenţa = 3kHz. Lungimea semnalului ese N = 56. e doreşe modificarea frecvenţei de eşanionare la:. = 48kHz.. = 0kHz. 3. 3 = khz. a abiliţi facorii de inerpolare L, respeciv de decimare penru fiecare caz. b Proiecaţi filrul rece os din compunerea circuiului de modificare fracţionară a raei de eşanionare sabilind câşigul şi frecvenţa de ăiere. uncţia alab resample implemenează modificarea fracţionară a raei de eşanionare penru un semnal da. inaxe: y = resample(x,u,d vecorul x conţine valorile eşanioanelor secvenţei de inrare x[ n], U ese facorul de inerpolare iar D ese facorul de decimare asfel încâ se va realiza conversia raei de eşanionare prin facorul raţional U/D. Va rezula vecorul y ce conţine valorile eşanioanelor semnalului de ieşire ym [ ]; în mod implici se foloseşe un filru rece os cu răspuns fini la impuls, proieca cu auorul procedurii fir folosind o fereasră Kaiser cu paramerul bea = 5. [y,b] = resample(x,u,d se reurnează în plus faţă de prima sinaxă vecorul b ce conţine coeficienţii filrului folosi în mod implici. y = resample(x,u,d,b y, x, U şi D au aceleaşi semnificaţii ca în prima sinaxă ; vecorul b va conţine coeficienţii filrului pe care dorim să-l folosim în locul filrului folosi implici în prima sinaxă. 6.5. Aplicaţii ale circuielor muliraă 6.5.. ilrarea RI prin decimare În aces capiol se demonsrează uiliaea mai mulor eae de decimare penru obţinerea unei filrări cu bandă foare îngusă şi volum redus de calcule. ă presupunem că avem un semnal cu frecvenţa maximă = 4kHz, eşaniona cu frecvenţa de eşanionare = 8kHz. Dorim să filrăm semnalul penru obţinerea componenelor siuae în banda 0 75Hz cu o bandă de ranziţie de la 75 la 80 Hz. Riplul maxim al filrului în banda de recere ese 0.0 iar cel în banda de oprire 0-4. Penru obţinerea acesor specificaţii cu un singur filru (fără a uiliza decimarea puem folosi algorimul Remez. Ordinul filrului se deermină cu funcţia remezord. inaxa acesei funcţii ese: 36
remezord([ ], [A A], [R R], s 0.0 unde: ese frecvenţa maximă a benzii de recere; ese frecvenţa minimă a benzii de oprire; A ese amplificarea filrului în banda de recere; A ese amplificarea filrului în banda de oprire; R ese riplul maxim al filrului în banda de recere; R ese riplul maxim al filrului în banda de oprire; s ese frecvenţa de eşanionare la care lucrează filrul. 0 e =75Hz b = / /=4kHz 0-4 igura 6.6. Gabariul filrului emnalul filra, având frecvenţa maximă de 80Hz, eşaniona cu = 8kHz ese eviden supraeşaniona. Penru aces semnal, frecvenţa de eşanionare minimă penru care semnalul analogic poae fi comple refăcu ese = 60Hz. Prin decimarea semnalului cu = 50 frecvenţa de eşanionare se poae reduce la valoarea opimă. e poae realiza decimarea cu = 50 în două eape, cu două circuie de decimare, primul cu = 5 şi al doilea cu =. TJ TJ Primul decimaor Al doilea decimaor Aenţie! Primul filru lucrează o la frecvenţa = 8kHz. Numai după primul circui de decimare frecvenţa de eşanionare scade cu. Ordinul filrului va fi mai mic deoarece banda de ranziţie înre b şi e ese mai mare. Penru al doilea filru rece os condiţiile de proiecare sun cele ale filrului iniţial (bandă de ranziţie de la 75 la 80Hz, doar că frecvenţa lui de lucru ese în aces caz. Aceasa conduce la o bandă de ranziţie în frecvenţe normae mai mare, deci un ordin mai mic decâ al filrului iniţial. 0.0 igura 6.5. ilrare cu două eae de decimare Penru a evia fenomenul de aliere primul filru rece os rebuie să aibă frecvenţa minimă în banda de oprire: b = = (6. De asemenea penru obţinerea componenelor siuae în banda 0 75Hz rebuie ca frecvenţa maximă în banda de recere penru primul filru să fie: e 75 Gabariul filrului ese prezena în figura 6.6. 37 = Hz (6.3 0 75 80 /=60Hz 38 0-4 igura 6.7. Gabariul filrului E5. Exerciţiu: a ă se deermine ordinul filrului iniţial cu specificaţiile: banda de recere: 0 75Hz, banda de ranziţie de la 75 la 80 Hz. Riplul maxim al filrului în banda de recere ese 0.0 iar cel în banda de oprire 0-4, folosind funcţia remezord. b Calculaţi câ rebuie ales penru a se obţine frecvenţa minimă de eşanionare, care să îndeplinească condiţia Nyquis penru semnalul cu frecvenţa maximă de 80Hz. Deerminaţi oae valorile posibile penru facorii şi.
c Calculaţi frecvenţa inferioară a benzii de oprire a filrului rece os şi frecvenţa de eşanionare după decimare b penru fiecare ea de decimare. olosind funcţia remezord calculaţi ordinul fiecărui filru. Deerminaţi ordinul oal. Compleaţi abelul de mai os penru oae valorile posibile ale facorilor şi. Care caz ese cel mai avanaos? Explicaţi. Ea inrare acori de [Hz] decimare TJ 8000 5 TJ 30 după b = = decimare [Hz] = 30 60 = 60 80 Toal:...... 6.5.. Translaţia de frecvenţă prin decimare - inerpolare Ordinul filrului E6. Exerciţiu: ie un semnal de bandă îngusă (de exemplu un semnal modula în ampliudine: x[ n] = [ + 0.8cos( f n]cos( f n (6.4 0 unde f şi f 0 sun frecvenţele normae penru = 600Hz, 0 = 7000Hz, frecvenţa de eşanionare = 0kHz. Numărul de eşanioane ese N = 56. s Xd = abs(ffshif(ff(xd,n_ff; subplo(4,plo(f,xd,grid,ile(pecrul lui xd d Expandaţi semnalul cu acelaşi şi reprezenaţi specrul semnalului obţinu. xe = zeros(,n; xe(::n = xd; Xe = abs(ffshif(ff(xe,n_ff; subplo(43,plo(f,xe,grid,ile(pecrul semnalului xe e Câe specre imagine au apăru? Care ese lărgimea benzii normae ocupae de un asfel de specru faţă de banda semnalului iniţial? Prinr-o filrare rece bandă convenabil aleasă se poae seleca oricare din specrele imagine, rezulând o ranslaţie a specrului iniţial. f Proiecaţi un filru rece bandă care să reţină al doilea specru al semnalului expanda. Ordinul filrului rebuie ales suficien de mare ca să reeceze frecvenţele specrelor vecine. Reprezenaţi specrul obţinu. xf = filer(h,,xe; % se filreaza semnalul expanda Xf = abs(ffshif(ff(xf,n_ff; subplo(44,plo(f,xf,grid,ile(pecrul lui xf a Deerminaţi banda (în frecvenţe normae ocupaă de semnal. Reprezenaţi specrul semnalului. N_ff = 5; f = linspace(-0.5,0.5,n_ff; X = abs(ffshif(ff(x,n_ff; subplo(4,plo(f,x,grid,ile(pecrul lui x b Câ rebuie ales asfel ca prin decimare cu un decimaor elemenar (fără filru rece os să nu apară alierea şi banda semnalului decima să ocupe o domeniul de frecvenţă [0,? Deduceţi o relaţie de calcul înre, s şi bandă. c Decimaţi semnalul cu calcula anerior. Reprezenaţi specrul semnalului decima şi verificaţi că nu apare alierea. xd=x(::n; 39 40