( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u puct" care este o geeralizare aturală a limitei uui şir umeric şi apoi, coceptul de "fucţie cotiuă îtr-u puct" care este u caz particular de fucţii cu limită. Ideea cetrală a faptului că o fucţie f : A are limita u elemet l î puctul este eprimată pri aceea că, la orice puct A apropiat de, imagiea sa pri f, otată f(), să fie suficiet de apropiată de l. Fucţia f este cotiuă î A, dacă la orice două pucte apropiate ître ele şi vecie cu corespud imagii pri f apropiate ître ele. Defiiţia III.5. Fie A o mulţime oarecare evidă şi puct de acumulare petru A (deci A mulţimea tuturor puctelor de acumulare petru A di ) şi f: A, elemetul l. ] Fucţia f are limită î puctul egală cu l, otată, lim f umai dacă, avem: ( III.5 ), a.î. { } V V l U V U A f V = l, dacă şi 8
] Fie B A B şi. Dacă eistă lim ( B ) f = l atuci spuem că "l este limita lui f î relativ la mulţimea B", otată: lim B ( ) f = l l.. Codiţia Observaţii: A B şi respectiv e asigură că eistă pucte A cu a.î. ( { } ) au imagii U A f pri f: A.. Puctul A poate fi A sau A (respectiv B sau B). 3. Fucţia " f u are limită î " sau lim f ( III.6 ) l, V V(l), U V( ), { } limită). Fie, dacă şi umai dacă: ( ) a.î. U A f V Teorema III.5. (Teoremă de caracterizare petru fucţii cu sut echivalete: (i) lim f (ii) A, A l f A. Următoarele afirmaţii, şi : = l (defiiţia cu veciătăţi defiiţia III.5), (, ) a.î. cu (, ) (, ) = <ε( ; ) ε > δ ε A < d = < δ d f l f l l A A, şi f l. (iii) Demostraţie (i) (ii) Dacă (i) adevărată petru ε > dat luăm (, ) V şi V V = l ε l+ε l U care poate fi de forma: U = δ, +δ cuδ> corespuzător lui ε şi astfel îcât: ( { }), A U d f l = f l <ε tocmai (ii). 8
A cu (ii) (iii) Presupuem (ii) adevărată şi fie ( ). Petru ε > dat alegem ( ) şi ( ii) δε, > a. î. δ < d, = <δ d f, l = f l <ε adică f ( ) l şi (iii) adevărată. (iii) (i) Fie (iii) adevărată şi demostrăm implicaţia pri metoda reducerii la absurd. Presupuem (i) falsă, { } V V ( l) a.î. U V A U f V. Petru luăm: U =, + = A < d(, ) < şi alegem U ( A { }) a. î. f V cu A, şi f l este absurd, deoarece avem (iii) A, şi f l. Î cocluzie adevărată, (i) este adevărată şi avem echivaleţa afirmaţiilor di euţ. Observaţii:. După teorema precedetă, (ii) este teorema de caracterizare a limitei cu (ε - δ) şi (iii) este teorema de caracterizare a limitei cu şiruri, fiecare ditre ele poate fi cosiderată defiiţie petru limita uei fucţii î puct.. Î multe demostraţii ale proprietăţilor uei fucţii cu limită se foloseşte caracterizarea cu şiruri (iii) care reduce aceste proprietăţi la proprietăţile uor şiruri umerice covergete deja demostrate. 3. Echivaleţa (ii) (iii) se umeşte criteriul Heie. 8
Teorema III.6 (Criteriul Cauchy-Bolzao). Fie A, A, f : A şi l şi umai dacă: ( III.7). Atuci: l lim f ( ) A { } =, dacă ε >, δ ε, > a.î. şi. cu <δ, <δ f ( ) f ( ) <ε Demostraţie: (Necesitatea) Fie l lim f eistă { } f = şi ε >, deci δ ε, > a.î. A d(, ) = < δ ε l < ; petru:, A { } cu <δşi <δ ε ε f ( ) f ( ) f ( ) l + l f ( ) < + =ε (III.7) adevărată. (Suficieţa) Presupuem (III.7) adevărată şi cosiderăm A { } cu lim = adică eistă N a. î. <δ petru (δ > şi ε > di (III.7)). Petru p, avem + p <δpetru deoarece ( ) coverget î ( ) şir Cauchy şi obţiem di (III.7) f ( + p) f <ε, şi p (f( )) este şir Cauchy di (f( )) şir coverget î l a. î. lim f ( ) = l şi să arătăm că lim f = l. Di lim f ( ) = l rezultă că eistă N ε N a. î. N ε avem f ( ) l, Fie { } ε < ε>. A cu <δ, alegem ε = ma {, N ε } şi petru ε f l f f( ) + f( ) l <ε ε ε lim f = l după caracterizarea cu (ε - δ). 83
Observaţii:. Cosiderăm B A B { A } cu = < şi presupuem că B atuci lim f lim f f ( ) lui f î. B <. Cosiderâd B atuci lui f î. 3. Dacă B > ot ot = = = l se umeşte limita la stâga a s A cu B = { A > } şi presupuem că ot ot B lim f = lim f = f( + ) = l se umeşte limita la dreapta a este puct de acumulare al mulţimilor B { A } = { > }, atuci eistă lim f B A eistă d f şi f ( + ) şi sut egale. ( lim lim f = f = f = f + = l ) < > = < şi = l dacă şi umai dacă, 4. Limita uei fucţii î puct este o oţiue locală deoarece eisteţa şi valoarea ei depid de comportarea fucţiei pe o veciătate a puctului respectiv. 5. Orice fucţie f : A lipschitziaă are limită fiită î fiecare (după teorema Cauchy - Bolzao). Teorema III.7. Fie limită fiită î, atuci avem: A, A f g A şi, : A care admit 84
( p ) lim f ± g = lim f ± lim g ( p ) f f ( p ) lim f g lim f lim g 3 { } ( p ) 4 5 lim λ =λlim, λ lim = dacă g lim g p Dacă lim f, U V a.î. A U f cu V V f lim f = ( ) g şi, lim g, V A Demostraţia este directă folosid caracterizarea limitei cu şiruri şi operaţiile algebrice cu şiruri covergete î Observaţii:. Teorema III.7. este valabilă dacă f şi g au limită î cu respectarea coveţiilor privid operaţiile algebrice cu elemete di, precizate î defiiţia mulţimii.. Eemple: o f ( ) = sig cu u are limită î = deoarece f f + = =. o ; Q Fucţia Dirichlet: f = u are limita î ici u puct ; -Q.( Q f ( şi ) ( y -Q, y f ( y ) ) ). Defiiţia III.6 I] Fie A, A f A, l atuci avem: şi : 85
( III.8) = c>, δ c, > a.î. Acu def lim f =+ ( 6 ) < <δ > def lim f 6 II] Dacă A { } ( III.9) + şi l, avem:, f c c<, δ c, > a.î. Acu < <δ f < c def ε>, δ ε > a.î. Acu lim f = l ( 7 ) > δε f l <ε def ε >, δ ε > a.î. A cu lim f = l ( 7 ) <-δε f l <ε Observaţii:. Di (III.8) şi (III.9) se pot caracteriza şi următoarele situaţii: =± lim f ; lim f =±. a ; = m b a a P a + + L m lim lim a = = sig ; m Q b m b > m b b + + L m ; < m Teorema III.8. Fie ( ) { } AB, A f A g B,, : şi : cu f A { } B l. Dacă eistă lim f l, l B lim g ( ) = l, atuci eistă lim ( go f ) = l. Demostraţie: = şi eistă Fie ( ) A, şi, otăm, ipoteza: 86 f = y f A. După
( { }) { } { } f A B l y B l şi cum lim f = l avem lim y = l g l g y l g f = o l lim Cum eistă lim go f = l. Observaţii:. Dacă { } ( ) { } f A B l este îlocuită cu f(a) B, atuci cocluzia u este totdeaua adevărată. ; Q ; =.Eemplu: f = şi g = atuci: * ; -Q ; ; Q g o f = Avem ; -Q. lim f = = l şi lim g = = l, dar lim go f. u eistă afirmaţiile: Teorema III.. Fie i) Dacă f g, Aşi eistă A, A şi f, g, h: A. Au loc lim g ii) Dacă U V ( ) a.î. f este mărgiită pe A U { } = atuci f g lim g lim =. =, atuci f şi iii) Dacă g f h, A şi eistă lim atuci eistă lim f = l. Demostraţie: (iii) Fie, g f h eistă lim f ( ) = l lim g lim = = lim h = l, A, cu şi atuci avem şi eistă lim g( ) = lim h( ) f = l. 87 = l, deci
(i) Dacă f g, A lim f =. (ii) f mărgiită M > a. î. ( iii) f g lim f = lim g = f M, { } () i f g M g lim f g = A U U A A U lim g = U A f g Fie lim =. Defiiţia III.7. A o mulţime, A şi U A U şi atuci: V ( ), iar f : A o fucţie. ] Elemetul sup U V ( ) if a fucţiei f î, otată: def { f ( A U { } )} U V { ( { } )} III. lim f = sup if f A U = l ] Elemetul if sup{ f ( A U { } )} ν U a fucţiei f î, otată: { ( { } )} def lim f = if sup f A U = l U V Observaţii:. Elemetele lim f şi lim f. Eemple o se umeşte limita iferioară se umeşte limita superioară eistă totdeaua, fiite sau ifiite. lim f = = l f = sig, lim f = = l 88
lim f f = o, lim f =. = + 3 o ; Q f = fucţia Dirichlet ; -Q lim f =. lim f = Teorema III.. Fie A, loc afirmaţiile: (i) lim f lim f ; f : A. Atuci au A şi (ii) Eistă lim lim lim = = = f l f f l l. Demostraţie: (i) este coseciţă directă di defiiţia limitelor etreme ale lui f î. (ii) Se deduce folosid defiiţia limitei î puct cu veciătăţi şi defiiţiile limitelor etreme î puct. 3. Fucţii cotiue Fucţiile cotiue sut u caz particular de fucţii care au limită. Coceptul de cotiuitate este o ipoteză fudametală î studiul uor feomee di realitate, dar de multe ori apar şi feomee care prezită discotiuităţi; proprietăţile uui feome discotiu se vor studia pri aproimarea acestuia cu alt feome cotiu. Defiiţia III.8. Fie A, Aşi f : A ] Fucţia f este cotiuă î A, dacă şi umai dacă, { V V III. V f, U a.î. A U f V 89
] Fucţia f este cotiuă pe mulţimea A sau f este fucţie cotiuă dacă f este cotiuă î A. 3] Dacă f u este cotiuă î A, spuem că f este fucţie discotiuă î şi se umeşte puct de discotiuitate al fucţiei f di A. Teorema III.. (Teoremă de caracterizare petru fucţii cotiue îtr-u puct). Fie A, Aşi f : A. Următoarele afirmaţii sut echivalete: (i) f cotiuă î A (defiiţia cu veciătăţi defiiţia III.8). (ii), ( δ ε) ε >, δ ε, > a.î. Acu d, = < δ d f f = f f <ε ( caracterizarea cotiuităţii î puct cu ) Acu f f (iii) (caracterizarea cotiuităţii î puct cu şiruri) Demostraţia teoremei se obţie direct di teorema III. de caracterizare a fucţiilor cu limită î puct luâd: A, l = f ( ). şi avem: (i) (ii); (ii) (iii); (iii) (i). Coseciţa II.5. Dacă f : A este cotiuă î A, atuci avem: III.3 lim f = f lim = f petru A,. Demostraţia este directă di (iii) şi coduce la (III.3). Egalitatea (III.3) eprimă faptul că, operaţia de trecere la limită permută cu f, dacă f este o fucţie cotiuă î puct. Teorema III.. Fie A, Aşi f : A, atuci avem: (I) Dacă, f cotiuă î eistă lim f = f ( ) A A 9
(II) Dacă A puct izolat, f este cotiuă î. Demostraţie: (I) Fie A A şi f cotiuă î ( iii), ( ) A f ( ) f ( ) A { }, f f lim f f ( ) =. (II) Fie def A puct izolat U V ( ) a. î. A U = {} şi fie A,cu, atuci eistă a. î. U, deci =, şi avem f ( ) = f ( ) deci f ( ) f ( ) iar f cotiuă î. f : I. Defiiţia III.9. Fie I iterval, puct iterior di I şi ] Puctul I este puct de discotiuitate de prima speţă dacă f este discotiuă î şi eistă limitele laterale î puct fiite: (, ) f f +. ] Puctul I este puct de discotiuitate de speţa a doua dacă este puct de dicotiuitate a lui f şi u este puct de discotiuitate de prima speţă ( f ( ) sau f ( + ) sau ( ) f ( + ) sau f ( + ) ). f şi f ( + ) sau f sau f şi 9
Observaţii:. Fie fucţia f : A, A. Defiiţia limitei lui f î are ses umai petru A. Cotiuitatea lui f î are ses umai dacă A. Dacă A A fucţia f poate fi cotiuă î, dar u are ses limita lui f î, A A.. Puctul A, petru f : A se umeşte puct de discotiuitate aparetă sau discotiuitate eeseţială sau discotiuitate elimiabilă petru f dacă eistă lim f şi limf f. Î acest caz se asociază lui f o fucţie cotiuă pe A care diferă de f umai î puctul A. 3. Dacă eistă ( ) Acu, A şi şirul ( ) f u are limită î sau limita sa este diferită de f ( ), atuci f este discotiuă î A. 4. Fie f : A şi B A, dacă f este cotiuă î, atuci f B este cotiuă î. Au loc situaţiile speciale: eistă eistă I B { A } < = < A şi f este cotiuă la stâga î A lim f = f( ) II B { A } > f cotiuă î A. B = > Aşi f este cotiuă la dreapta î A lim f = f( ) f cotiuă î A. B def def 5. Di teorema precedetă şi observaţia de mai sus, au loc echivaleţele: 9
f cotiuă î A lim f = f = f < şi lim f = f + = f > f cotiuă la stâga î A şi f cotiuă la dreapta î A 93 = lim f f 6. Eemple o f : A cu f () = 3, A = [-,] f cotiuă pe A. ; A =ϕ = fucţia caracteristică a mulţimii A = [,], ; A o f ( ) [ ] este cotiuă pe (,) şi î: = şi = are pucte de discotiuitate de prima speţă. cu. Fie - {,} fiat, I Dacă (,) atuci eistă a.î. (,) şi petru, f ( ) =, deci f ( ) = f () şi f cotiuă î (,). II Fie < cu şi () fiat, atuci f ( ) = lim f = f ( ) = şi cum lim f = f ( + ) = de ude rezultă < > că = este puct de discotiuitate de prima speţă. La fel se arată că = este puct de discotiuitate de prima speţă. 3 o ; Q Fucţia Dirichlet f :, f = este discotiuă î ; -Q şi este puct de discotiuitate de speţa a doua. Fie fiat şi presupuem, f este cotiuă î. Petru Q ( ) cu, avem: f ( ) = f ( ), deci f ( ) =.
Q Petru y şi y avem = f y f deci f = deci ( ) f = şi este absurd f este discotiuă î f discotiuă pe. Dacă luăm Q cu şi petru şi < atuci f f ( ) lim = = < y cu y Q, y < avem lim f = f ( ) = < u eistă f ( ) şi la fel u eistă dicotiuitate de speţa a doua. f + este puct de 4 o ; Q Fucţia F: cu F = = f ude f fucţia ; -Q Dirichlet. Fucţia F este cotiuă î =. Petru cu avem: F( )=, dacă Q şi F ( ), N atuci după criteriul majorării = F( ) F î rest la fel ca f. deci F este cotiuă î = şi discotiuă 4. Proprietăţi ale fucţiilor cotiue pe mulţimi di Defiiţia III.. Fie A, B şi f: A B. Fucţia f se umeşte fucţie omeomorfă (sau f este u homeomorfism) dacă: (I) f bijectivă; (II) f şi f sut fucţii cotiue. Teorema III.3. Fie I iterval şi f : I o fucţie local costată, atuci f este costată. 94
Demostraţie: Fie I fiat şi f local costată pe I def U V() a. î. f I U este o fucţie costată, deci f este cotiuă şi î particular f este cotiuă pe U I, deci f cotiuă pe I. Fie a, b I cu a < b elemete { ab, f f ( a ) } fiate şi mulţimea A= [ ] [ ab, ] eistă A cu c avem f ( c) lim f ( ) f = cu A. Notăm c=supa,, deci f ( ) = f ( a ),. Cum f este cotiuă, = = a şi c A. Dacă c< b, eistă δ > a. î. I c = [c - δ, c + δ] [a, b] şi f I c este costată, deci f [ ac, +δ] =f(a) şi c + δ A, dar c = sup A c + δ, absurd. Î acest caz avem c = b, deci f(b) = f(c) = f(a) şi f este costată. Teorema III.4. (Teorema lui Bolzao) Fie I iterval şi f : I o fucţie cotiuă, atuci f(i) este iterval. y, y Demostraţie:, iar Fie y, y J = f( I) cu y < y şi λ cu y <λ< y fiaţi. Di y y J rezultă că eistă a,b I cu f ( a) = y, f ( b) = y şi, { } presupuem a< b. Fie A = [ a, b] f λ şi c = supa, atuci eistă ( ) A cu c şi deci f( ) λ,. Fucţia f este cotiuă pe I, deci f este cotiuă î c şi avem: f c f ( ) () = lim λ. Dar λ < f(b) şi atuci c < b. Avem f() λ î (c, b]. Dacă( z ) (c, b) cu z c fiat, atuci f(z ) λ, şi f c f ( z ) () = lim λ. Di f(c) λ şi 95
f(c) λ rezultă λ = f(c) J. Di [ y, y ] y, y J şi y < λ< y cu λ J, rezultă J, şi J este iterval (coform defiiţiei oţiuii de iterval). Coseciţa III.6. Fie I iterval şi f : I fucţie cotiuă, atuci f are proprietatea Darbou pe I. Demostraţie: Dacă I I este iterval, după teorema precedetă, f (I ) este iterval şi deci f are proprietatea Darbou pe I. Coseciţa III.7. Fie I iterval şi f : I fucţie cotiuă, atuci au loc afirmaţiile: () Dacă, I şi f ( ) f ( ) <, atuci eistă cel puţi u puct c ître şi astfel îcât f (c) = (Teorema itersecţiei a lui Cauchy). () Dacă f, I atuci avem f > pe I, sau f < pe I. (3) Ecuaţia a ( a ; ) (rădăciă) reală. = admite cel puţi o soluţie Demostraţie: Afirmaţia () rezultă di coseciţa precedetă î cazul λ =. Afirmaţia () este coseciţă directă di (). Petru (3) fie f = a, o fucţie cotiuă şi avem: f()= - a < şi f ( a+ ) = = ( + a) a> + a a>, atuci eistă ( a ) f ( ) a = ;, + cu = deci este o soluţie reală a ecuaţiei a ( a ; ) =. Teorema III.5. Fie A o mulţime compactă şi f : A o fucţie cotiuă, atuci f (A) este mulţime compactă. Demostraţie: f(a) este compactă ( y ) f( A) subşir y y f( A). Dacă y f A petru atuci eistă k coţie u 96
Apetru a.î. y f ( ) ( ) ( ) k a.î. k k =. Mulţimea A fiid compactă eistă c A şi cum, f este cotiuă pe A, avem: ( ) lim y = lim f = f c f A deci f (A) este mulţime compactă î k k k k. Teorema III.6. (Teorema lui Weierstrass). Fie A o mulţime compactă şi f : A o fucţie cotiuă, atuci f este mărgiită şi îşi atige margiile pe A. A compactă f cotiuă pe A Demostraţie: f ( A) compactă f ( A ) mulţime îchisă şi mărgiită f mărgiită pe A şi sup f(a), if f (A) f(a) f mărgiită şi eistă, A a.î. f ( ) f () f ( ), A, adică if f (A) = f ( ) şi sup f (A) = f ( ). Coseciţa III.8. Fie I iterval compact şi f : I fucţie cotiuă, atuci f (I) este iterval compact di. Demostraţie: f (I) iterval compact dacă eistă, I a. î. f (I) = =[ f ( ), f ( )] şi după teorema Weierstrass avem: f ( ) f() f ( ), I cu f ( ) = if f(a) şi f ( ) = sup f(a). Teorema III.7. Fie I iterval şi f : I fucţie mootoă şi puct iterior al lui I, atuci au loc afirmaţiile: (i) f (, ) f ( ) + şi avem: (III.4) f ( ) f ( ) f ( ) +, iterior lui I (ii) f are umai pucte de discotiuitate de prima speţă. Demostraţie: Presupuem f crescătoare pe I. 97
(i) Fie ( ) I, şir crescător şi,, avem f( ) f( + ), adică (f( )) este şir crescător; di <, rezultă f( ) f( ),, adică (f( )) este majorat. După teorema de covergeţă a şirurilor mootoe rezultă (f( )) coverget î şi lim f ( ) f ( ) adică lim f( ) = f, deoarece, N. La fel se arată că eistă = + cu lim f( ) f, şi şir descrescător şi. Î aceste codiţii are loc iegalitatea (III.4). (ii) Di (i) rezultă că î orice I puct iterior eistă f (, ) f ( ) + şi dacă f ( ) f ( ) +, f u este cotiuă î, iar este puct de discotiuitate de prima speţă. Teorema III.8. Fie I iterval şi f : I fucţie mootoă, astfel îcât f ( I ) este iterval ( f are proprietatea Darbou pe I), atuci f este cotiuă pe I. Demostraţie: Presupuem f mooto crescătoare pe I şi otăm a = if I, b = sup I. Petru I {a} fiat după teorema precedetă eistă f (, ) f ( ) + şi are loc iegalitatea (III.4). Cosiderăm ( ) < ( ) şi fie y fiat cu f ( ) y f f f < < ; deoarece f ( I ) = J este iterval rezultă că y J şi atuci eistă u puct I-{ }a. î. y = f( ). Dacă <, avem că f f = sup f( ) deci y f < y ceea ce este absurd. Dacă >, avem b, atuci < I ( + ) di (III.4), adică f f f y = f f > y, 98
absurd. Î aceste codiţii avem f ( ) f = adică f este cotiuă la stâga î şi î mod aalog f ( ) f + = adică f este cotiuă la dreapta î. Cum I puct iterior şi arbitrar, rezultă f fucţie cotiuă pe I. Observaţii:. Teorema lui Bozao şi cosecita sa (coseciţa III.6), poartă deumirea de "Teorema valorilor itermediare" care este o teoremă de surjectivitate petru f: I J cu f ( I ) = J iterval.. eciproca teoremei Bolzao, î geeral u este valabilă, adică eistă fucţii discotiue pe u iterval care luâd două valori oarecare, vor lua toate valorile itermediare î raport cu acestea. 3. Di teorema Bolzao şi coseciţa sa rezultă că fucţiile cotiue pe u iterval au proprietatea Darbou, dar u este î geeral valabilă şi implicaţia reciprocă. 4. Dacă I, J sut itervale şi f: I J este o fucţie mootoă surjectivă atuci f este cotiuă. Teorema III.9. Fie I, J itervale şi o fucţie f: I J. Următoarele afirmaţii sut echivalete: omeomorfe.. f omeomorfă;. f strict mootoă şi surjectivă; 3. f cotiuă şi bijectivă. Demostraţie: Implicaţia 3 este directă di defiiţia fucţiilor 3 Fucţia f: I J cotiuă pe I iterval are proprietatea Darbou pe I şi cum f bijectivă, deci f este ijectivă, rezultă că f este strict mootoă pe I şi surjectivă. 99
Fucţiile f: I J şi f : J I sut strict mootoe şi surjective, după observaţia 4 ele sut fucţii cotiue, deci f este omeomorfă. Observaţii:. Dacă I şi J sut itervale omeomorfe ître ele şi I este îchis, deschis, semideschis, emărgiit etc. atuci J este de aceeaşi formă.. Dacă I u este iterval, atuci u au loc î geeral echivaleţele 3 di teorema precedetă (teorema III.9). Eemplu: A = [-, -] {} [, ] şi J = [-, ] iar f: A J dată pri [ ] + ;, f = ; =. Fucţia f este cotiuă, strict mootoă, ; [, ] surjectivă, iar f este discotiuă î y = ; Defiiţia III.. Fie A, B cu f : A o fucţie cotiuă. f y y [ ) y ; y, = ; =. y + ; y (,] A B două mulţimi şi ] Fucţia f poate fi prelugită pri cotiuitate pe B, dacă eistă g: B cotiuă astfel îcât f = g. ] Dacă B= A { }, fucţia f poate fi prelugită pri cotiuitate î A, dacă eistă g: B cotiuă astfel îcât f = g. A Teorema III.. Fie A, f : A o fucţie cotiuă. Eistă o fucţie uică g: A cotiuă astfel îcât g A = f, dacă şi umai dacă, puct de acumulare petru A şi A, eistă lim f fiită
( A = mulţimea puctelor aderete lui A care coţie: A, puctele aderete lui A (puctele de acumulare şi puctele izolate)). Demostraţie Fie B = A, g: B fucţie cotiuă cu g A = f, atuci (puct de acumulare petru A) cu A şi puct de acumulare petru B, atuci lim g = g petru că g cotiuă pe B şi avem f g g( ) prelugire. lim = lim A = şi f este cotiuă î pri Fie g: A dată pri g = f, Aşi g = lim ft, puct de acumulare petru A şi A. Avem: lim f g( ) t = î orice puct de acumulare petru A. Dacă este puct de acumulare petru A şi A, avem: lim g( ) = lim f( t).dacă A şi este puct de acumulare, avem t f = f = g. Cosecita III.9. Fie A, f: A şi - A. ] Dacă u este puct de acumulare petru A, f poate fi prelugită pri cotiuitate î pri g: B cu B = A { } şi g() = f(), A, luâd g( ) arbitrar di. ] Dacă este puct de acumulare petru A, f poate fi prelugită pri cotiuitate î, dacă şi umai dacă, eistă lim f şi este fiită. Î acest caz g( ) = lim f cu f: B şi B = A { }. 3] Dacă A = (a, b) şi f: (a, b) este cotiuă şi mootoă atuci f poate fi prelugită (î mod uic) pri cotiuitate pe [a, b], dacă şi umai dacă, f este fucţie mărgiită.
Demostraţie: Afirmaţiile ] şi ] rezultă di defiiţia III. şi teorema precedetă (teorema III.3). 3] Cum f este motoă eistă f( a+ ) şi f (b- ) şi f mărgiită, atuci f( a+ ), f (b- ) şi defiim f(a) = f( a+ ) şi f(b) = f (b- ). Eemple o si f, = se poate prelugi pri si cotiuitate î = deoarece eistă lim =. f = u poate fi prelugită pri cotiuitate î = o sig, ( f ( + ) = f ( ) = sau lim ) f 3 Fucţia tagetă u poate fi prelugită pri cotiuitate î puctele π k = + kπ, k Z (u eistă lim ). tg k f cu = u poate fi prelugită pri cotiuitate î = 4 o (u eistă lim f Teorema III.3. Fie î, atuci fucţiile:, deşi = este puct de acumulare petru *). A, Aşi f, g: A f f ± g, λ f ( λ ), f g, ( g, A), (III.5) g g f,ma{ f, g},mi{ f, g}, f (dacă are ses) sut cotiue î A. Demostraţie: Fie ( ). fucţii cotiue A cu, atuci avem: ( f g)( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) lim ± = lim ± lim = ±. lim ( f )( ) lim f ( ) f λ =λ =λ.
( fg)( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) lim = lim lim =. ( ) ( ) f lim f f lim ( ) = = g lim g g lim = lim = ( ) f f f. f + g+ f g f + g f g Avem: ma{ f, g} =, mi{ f, g} = care sut fucţii cotiue î deoarece f + g şi f - g sut fucţii cotiue î. Observaţii:. Defiim f + = ma{ f, } şi f = ma{ f,} + şi atuci f = f f cu f: A.. Fucţia f este cotiuă î, dacă şi umai dacă, f + şi f sut cotiue î. 3. Dacă f este cotiuă î, u rezultă umaidecât că f este cotiuă î. ; Q Eemplu: f: cu f = este discotiuă pe ; -Q şi f =, este cotiuă pe. Teorema III.3. Fie AB,,şi f: A B, g: B fucţii cotiue. Dacă f este cotiuă î A şi g este cotiuă î y = f B, atuci go f : A este cotiuă î A. Acu A şi f fiid cotiuă î Demostraţie Fie A, avem lim avem: f f y = =. Fucţia g este cotiuă î y B şi 3
deci lim lim lim go f este cotiuă î A. ( gof )( ) = g f ( ) = g f ( ) = g( y ) = ( gof )( ) Defiiţia III.3. Fie I iterval de capete ab, şi f:i o fucţie. Fucţia f este o fucţie riglată dacă I puct iterior eistă f( - ), f( + ) şi dacă a I eistă f(a - ), dacă b I eistă f(b + ) I (a, b capetele itervalului I). Teorema III.33. Fie I iterval, f: I o fucţie riglată, atuci f este local mărgiită pe I. Demostraţie: Fie I şi cum f este riglată eistă f( - ), f( +). Caracterizâd limitele laterale î puct cu (ε - δ), petru ε =, eistă V V( ) şi V I ( este puct iterior) a. î. să avem: f( + ) - f(), V cu > şi f( - ) - f(), V cu <. Î aceste codiţii V, avem: { } f ma + f( ); + f( + ); f f este mărgiită pe V şi cum I era puct arbitrar rezultă f local mărgiită pe I. La fel se face raţioametul î cazul a I şi respectiv b I, capetele itervalului. Teorema III.34. Fie I iterval şi f: I. Atuci au oc următoarele afirmaţii: (I) f este local mărgiită pe I, dacă şi umai dacă, f este mărgiită pe orice mulţime compactă A I. (II) Dacă f este fucţie riglată, atuci f este mărgiită pe fiecare mulţime compactă A I. (III) Dacă I = [a, b] şi eistă f(a + ), f(b - ), f( + ) şi f( - ), I ( puct iterior) fiite, atuci f este mărgiită pe I. (IV) Dacă I = [a, b] iterval compact, atuci au loc afirmaţiile: 4
(i) f mărgiită f local mărgiită; (ii) f riglată f mărgiită. Demostraţia î bibliografie ([4], [4]). Eemple:. Polioamele sut fucţii cotiue. Fucţiile raţioale sut fucţii cotiue.. Fucţiile trigoometrice directe şi fucţiile trigoometrice iverse sut fucţii cotiue. 3. Fucţia epoeţială f a ( a ; a ) pe * + este cotiuă. Fucţia logaritmică aplică omeomorf = > care aplică omeomorf f = log a> ; a care pe este cotiuă. Fucţia putere geeralizată l l ( a, a a a * * f = a = e = e ) care aplică omeomorf + pe + este cotiuă. * + Teorema III.35. Î au loc următoarele limite fudametale: a si ± l ( + ) a d lim = e lim = l a a> ; a l l lim = lim = ( a) lim = ( b) lim + = e ( c) lim( + ) ( f ) ( g) > () h lim = i lim = > = e Demostraţie: Vom folosi î uele cazuri teorema de caracterizare a limitei uei fucţii î puct cu şiruri. si π π : = şi cu V = -, avem si * (a) f, f V V tg ( măsurat î radiai). Petru obţiem: 5
cos si < < < < cos < < şi cum tg si si si lim cos = rezultă si lim =. Petru V- {}, si şi au acelaşi sem, deci si > si lim = care are următoarele cosecite tg directe: (a ) lim = ; (a ) lim = ; (a 3 ) lim =. si tg cu b) Fie ± atuci lim + = e. Presupuem şi după aioma lui Arhimede eistă p N a. î. p p + şi cum rezultă p, deci Di: p p + obţiem: p lim + = e p şi p + lim + = e. p + p p+ + + + lim + = e. p p + Cum ( ) era u şir abitrar di, avem: lim + = e. ± (c) Fie f: A cu f lim( ) = + = e. Fie >, N şi, atuci y = + şi găsim: f ( ) ( ) y = + = + e deci y eistă lim f = lim + = e. Petru < N şi, atuci > > y = şi f ( ) ( ) y = + = + e y deci eistă 6
< < = ( + ) =e. Î aceste codiţii fucţia f ( ) lim f lim limită î = : lim f lim( ) ( + ) = + = e. l (d) lim = lim l ( + ) = l lim( + ) = l e=. = + are (e) Fie y = a cu şi a>, a, atuci fucţia y este strict crescătoare şi cotiuă pe cu ( + y) l a = y+ = şi avem: l a lim y =. Dar y = a ( + y) l l lim = lim = = di y y l a l a care rezultă: a y lim = lim l a = l a. y l ( + y) cu (f) Fie +, avem: [] [ ] +,, l[ ] l l([ ] + ) şi [ ] + [ ] l[ ] ([ ] + ) l[ ] [ ] + l < ([ ] + ) [ ] l ([ ] + ) [ ] şi cum avem: deci: l l l lim = = lim = lim =. l Cum lim l = şi lim = + lim =. > > > l (g) lim = lim e = lim e = e = l l > > > l lim = lim e = lim e = e =. 7
Defiiţia III.3. Fie A şi f : A. Fucţia f este uiform cotiuă pe A, dacă: ( ΙΙΙ.6. ) A A ε >, δ ε > (idepedet de ) a.î., cu = d, <δ d f, f = f f <ε Observaţii:. Noţiuea de fucţie cotiuă î A, depide de şi comportarea fucţiei f pe o veciătate a lui, deci are caracter local.. Noţiuea de fucţie uiform cotiuă pe A are caracter global. 3. Fucţia f u este uiform cotiuă pe A, dacă: ε >, N,, y Aa.î. y < ΙΙΙ. şi f f ( y) ε (.7) 4. Î relaţiile (III.6) de defiiţie a cotiuităţii uiforme pe A, δ depide umai de ε > şi u depide de A (δ este idepedet de A). Î cazul f cotiuă î A î caracterizarea cu (ε - δ), δ depide de ε şi de puctul A. 5. Eemple:. f = a+ b,, ab, şi a, avem: = <ε petru, cu < =δ( ε ) f f a A f este uiform cotiuă pe.. f() = si,, si este lipschitziaă pe. Deci: si si <δ=ε petru, f = si este uiform cotiuă pe. ε a 8
3. f =, (,) u este uiform cotiuă pe A = (, ). Pri reducere la absurd, se presupue că f este uiform cotiuă pe A = (,) şi atuci petru ε =, δ > cu < δ < a. î. <,, (,) cu < δ < deci, + δ δ (,δ). Fie = şi obţiem δ < este absurd deoarece δ (,) f u este uiform cotiuă pe A=(,). Teorema III.36. Dacă f : A este fucţie lipschitziaă, atuci f este uiform cotiuă pe A. def Demostraţie: f lipschitziaă pe A λ>,a.î., Aavem f f λ ε petru orice ε ε > şi δ= > f este uiform cotiuă pe A, coform defiiţei λ (III.6). Teorema III.37. Fie A şi f : A. Dacă f este fucţie uiform cotiuă pe A, atuci f este cotiuă pe A. Demostraţie: Fie A fiat şi A, cum f este uiform ε >, δ ε > a.î., Acu cotiuă avem: <δ f f <ε f cotiuă pe A. Observaţii:. Di ultimele două teoreme rezultă următoarele implicaţii: f cotracţie pe A f este fucţie lipschitziaă pe A f uiform cotiuă pe A f cotiuă pe A. 9
. Dacă f este uiform cotiuă pe B A cu B A, u rezultă obligatoriu f cotiuă pe B. Eemplu: Fie f : fucţia caracteristică a lui B = [,] = A, atuci f este uiform cotiuă pe B şi totuşi f u este cotiuă î = şi =, deci f u este cotiuă pe B. 3. Dacă f este cotiuă pe A, u implică f uiform cotiuă pe A. Eemplu: f uiform cotiuă pe A = (, ). afirmaţii: = este cotiuă pe A = (,), dar f u este Teorema III.38. Fie A şi f : A. Atuci au loc următoarele ] f este uiform cotiuă pe A, y A, N cu ( - y ) [f() f(y )]. ] Dacă f este uiform cotiuă pe A, ( ) f( ) di A, atuci ( ) este şir Cauchy. A şir Cauchy de elemete 3] Dacă f este uiform cotiuă pe A, atuci f are limită fiită î fiecare puct de acumulare al lui A. 4] Dacă f este uiform cotiuă pe A, atuci B A cu B mulţime mărgiită rezultă că f(b) este mulţime mărgiită. 5] Dacă f este uiform cotiuă pe A, atuci f poate fi prelugită pri cotiuitate î mod uic la o fucţie uiform cotiuă g: A ( A este îchiderea lui A, adică mulţimea puctelor aderete lui A). Demostraţie: ] Fie f uiform cotiuă pe A şi atuci ε > şi, y A, ( N) cu - y deci N a. î. - y < < η f( ) f(y ) < ε şi avem [f( ) f(y )].
Dacă are loc proprietatea ], presupuem că f u este uiform cotiuă pe A ε > cu proprietatea:,, y A cu - y < < şi f f(y ) ε adică ( y ) şi [f( ) f(y )] ceea ce cotrazice ipoteza (este absurd) f este uiform cotiuă pe A. ] Fie f uiform cotiuă pe A şi ( ) def A şir Cauchy δ>, δ N a.î. δ şi p, avem + p <δ dar atuci di defiiţia cotiuităţii uiforme a lui f pe A, rezultă: ( + p), δ şi f f <ε p * f( ) N ( ) este şir Cauchy di. 3] Fie puct de acumulare al lui A, atuci eistă ( ) A a. î. f( ) ( ) este şir Cauchy di A şi după ] ( ) este şir f( ) Cauchy di şi deci ( ) este şir coverget di lim f = l. ( y ) 4] Fie f(b) u şir fiat şi Mulţimea B este mărgiită şi atuci ( ) coverget ( k ) k B. Subşirul ( k ) k şir Cauchy di B şi după ] şirul f ( ) atuci ( f ( k )) k B a. î. y = f( ),. ( k ) k B coţie u subşir fiid coverget este este şir Cauchy di şi este şir mărgiit. Î aceste codiţii f(b) este mulţime compactă di, deci f(b) este mărgiită. Dacă A este mărgiită şi f:a B este uiform cotiuă pe A, atuci f(a) este mulţime mărgiită.
5] Fie puct de acumulare petru A fiat şi A. Di 4] rezultă că eistă lim f = l şi otăm l = g( ). Dacă A, atuci puem g( ) = f( ) şi determiăm g: A { } care este o prelugire a lui f. Să dovedim că g este fucţie uiform cotiuă. Fie ε > (fiat), eistă δ > a. î. f f <ε petru, Acu <δ. Fie, A A (, sut pucte aderete lui A care u sut î A) cu <δ, atuci ( ) y eistă, A şi y,. Avem lim y = <δ, deci eistă δ a. î. y <δ petru δ şi atuci f ( ) f ( y ) ( ) <ε, δ ; pri trecerea la limită, avem lim f f y = g g ε g este uiform cotiuă pe A. Teorema III.39. (Teorema lui Cator) Fie A mulţime compactă şi f: A fucţie cotiuă pe A atuci, f este uiform cotiuă pe A. Demostraţia se face pri reducere la absurd şi presupuem că f u este uiform cotiuă pe A (III.7) ε >, N,, y Aa.î. y < şi f f ( y) ε. Mulţimea A este compactă şi ( k ) k atuci A coţie u subşir coverget A la A. Avem: y + y y. Trecâd la k k k k k k f f y ε găsim f f ε (f este cotiuă pe limită î ( ) ( ) k k A), ε este absurd f este uiform cotiuă pe A.
Coseciţa III.. Fie I u iterval şi f: I fucţie cotiuă, atuci f este uiform cotiuă, dacă şi umai dacă eistă a, b I a. î. f este uiform cotiuă pe I (-, a] şi pe I [b, + ). Demostraţie: Fie a, b I cu a < b atuci f este uiform cotiuă pe [a, b] (mulţime compactă di ) şi după 4], 5] rezultă afirmaţia di coseciţă. Coseciţa III.. Fie a, b cu a < b şi f: (a, b) fucţie cotiuă atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: ) f uiform cotiuă; ) f( a + ), f( b - ) ; 3) eistă g: [a, b] uiform cotiuă astfel îcât 3] ] g ( ab, ) = f. Demostraţie: ) ); ) 3); 3) ) şi faptul că f cotiuă pe (a, b) se poate prelugi pri cotiuitate la [a, b]. După 5] rezultă g cu g ( ab, ) = f este uiform cotiuă şi deci f este uiform cotiuă. 3] Eemple:. 5 f 3, = este fucţie cotiuă pe şi eistă ξ ître şi a. î. f(ξ) = deoarece f are proprietatea Darbou. Avem f() = - 3 < şi f() = 5 >, după cosecita (III.7 - ) eistă ξ (, ) a. î. f(ξ) =.. Să se rezolve ecuaţia: 3 3 6 3 4 a =, a. Notăm 3 4 = y cu y (, ] şi avem: y 3y a =. Dacă a > a > 9 ) atuci 3 3 y, y cu y < şi y >. Petru 4 fucţie cotiuă pe este strict descrescătoare pe (-, 9 ( = 9 + 4 a > petru 4 f ( y) = y 3y a 3 ) şi strict crescătoare pe ( 3, + ), deci f() < f(). Fucţia f cotiuă şi 3
descrescătoare pe [, ] se va aula î acest iterval, dacă şi umai dacă, f() > şi f() < (-a)(- - a)< a [-, ) (f() = petru a = -). Ecuaţia f(y) = admite petru a (-, ) soluţia y (, ] ude: y 3 9 4a 4 3 9 4a 3 = = 4 = 3 3 = log4 = 3± log4 3 9 4a 3 9 4a petru a [-, ). 3. f:, f() = soluţii ale ecuaţiei date si să se studieze cotiuitatea uiformă pe. I. f este cotiuă şi mărgiită pe, dar f u este uiform cotiuă.avem: π ; = (4k+ ) π = = k+ k N. Fie: ; = kπ si ; (4 3), π π π = (4k+ 3) ; = (4k+ ) =, k N π π (4k+ 3) + (4k+ ) π π f( ) f( ) = si(4k+ ) si(4k+ 3) =, k N şi ε = a. î. <δ ε iar f( ) f( ) = =ε f u este uiform cotiuă pe. După teorema lui Cator (teorema III.39) f este uiform cotiuă pe orice iterval îchis şi mărgiit (compact) I. 4. Fie f: I cu f = +, să se precizeze dacă f este uiform + cotiuă pe: ) I = [, + ) respectiv pe ) I = (-, + ). 4
) Petru cazul I = [, + ), f este cotiuă şi mărgiită pe I. Petru, I = [, + ) avem: f( ) f( ) = + = + + + + + ε δ ε = =ε, ε> f este fucţie cotiuă pe I = [, + ) (după teorema III.6). ) Pe I = (-, + ) cosiderăm: +, cu + = = = + <δ ε + + + + cu δ( ε ) oricât de mic dorim, câd este suficiet de mare. Avem: f f = = + + + > =ε f u este uiform cotiuă pe I (după III.7). 5