MINISTERUL NVźÅMÂNTULUI Program TEMPUS JEP 380 SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT METODE NUMERICE N HIDROGEOLOGIE Sere coordonatå de: Jean Perre CARBONNEL Unverstatea Perre et Mare Cure - Pars 6 Radu DROBOT - Unverstatea Tehncå de Construc Bucure t EDITURA DIDACTICÅ ªI PEDAGOGICÅ, R.A. - BUCUREªTI, 996
ISBN 973-30 - 5865-3 Toate drepturle asupra aceste ed sunt rezervate Edtur Ddactce Pedagogce, R.A., Bucure t Redactor: Grafcan: Iulana ARHANGHELSCHI Dumtru ªMALENIC
Prefa å n ultmele decade, metoda elementelor fnte a cåpåtat o tot ma largå utlzare în rezolvarea problemelor de calcul aferente ngnere apelor. n momentul de fa å, metoda oferå posbltå larg de abordare a curger prn med poroase în regm permanent sau nepermanent, mono sau multfazce, nclusv a problemelor de nterfa å. U urn a de algortmare mplementare în programe de calcul, fe generale, fe specalzate, a contrbut, în egalå måsurå, la transformarea elementelor fnte într-o metodå de uz curent în ngnera apelor. Pentru utlzarea avzatå a metode nterpretarea corectå a rezultatelor sunt înså necesare cunoa terea aprofundatå a bazelor teoretce, a potezelor smplfcatoare nerente con nute a specfculu de modelare matematcå, în func e de obectvele calculelor. Lucrarea de fa å î propune, ca prncpal obectv, clarfcarea acestor probleme, astfel încât utlzatorul metode så aplce competent algortmele programele de calcul så analzeze rezultatele prn prsma aproxma lor potezelor asocate. n prma parte a lucrår se trateazå prncpul metode elementelor fnte, deducerea ecua lor în elemente fnte pentru curgerea prn med poroase, clasele tpurle de elemente fnte, nclusv matrcele vector de nfluen å, caracterstce acestora. n aceea prmå parte se trateazå modelarea regmurlor tranztor în med saturate, prezentându-se specfcul dscretzårlor spa o-temporale problemele de stabltate numercå. n a doua parte a lucrår sunt tratate problemele de nterfa å, atât ca lmtå de demarca e a domenulu de curgere asgurat de suprafa a lberå, cât a lmtelor între lchde nemscble, precum unele probleme specale ca: m carea în regm nesaturat fluxur cuplate de curgere termce. La elaborarea lucrår, autor au benefcat de experen a propre, câ tgatå în peste 20 de an de actvtate în domenu. Prn modul de sstematzare a materalulu prn gradarea prezentår, lucrarea se adreseazå, în egalå måsurå, cttorlor care vn, pentru prma datå, în contact cu metoda, cât acelora care o utlzeazå în mod frecvent, consttundu-se într-un materal documentar utl cursan lor ªcol de Stud Postunverstare "Ingnera Resurselor de Apå", dar pentru ngner ce lucreazå în acest domenu. Autor
DIN PARTEA COORDONATORILOR: Necestatea organzår unor cursur de actualzare a cuno tn elor tn fce în domenul resurselor de apå medulu a fost enun atå în cursul anulu 990 de cadrele ddactce ngner român, cu ocaza prmelor vzte efectuate dupå 989 de cåtre coleg francez la Bucure t. Acest proect a putut f transpus în va å datortå sprjnulu fnancar al Programulu TEMPUS - PHARE, n at de Comuntatea Europeanå pentru a ajuta årle Europe de Est så- restructureze învå åmântul superor. Programul organzat dupå prncple cclulu 3 francez (D.E.A. - dplome d'études approfondes) a început så func oneze efectv dn anul unverstar 992/993 a avut partener dn Fran a (Unverstatea "Perre et Mare Cure", care a fost de altfel coordonatorul acestu program), Belga (Unverstatea dn Lege), Itala (Unverstà degl Stud d Genova), evdent, dn Româna (Unverstatea Tehncå de Construc Bucure t Unverstatea Bucure t); de la început untå le de profl dn domenu (Rega autonomå "Apele Române", Insttutul Na onal de Meteorologe Hdrologe, Insttutul de Cercetår pentru Ingnera Medulu) au sus nut în mod actv derularea programulu care a fost denumt: SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT (S.E.E. - Stn ele Ape Medulu). Un numår mportant de profesor cercetåtor de înalt nvel tn fc dn Fran a, Belga, Itala Româna au sus nut preleger în lmba francezå sau românå, pentru crca 50 de tner cercetåtor ngner, în ce 3 an de func onare a programulu. Coordonator programulu au consderat totu cå s-ar putea face ma mult pentru formarea specal tlor dn domenul tn elor ape medulu au decs så råspândeascå în cea ma mare måsurå posblå cuno tn ele predate. Rezultatul aceste nten îl consttue edtarea une ser de 0 bro ur dn domenul Hdrologe, Hdrogeologe sau al pregåtr tn fce fundamentale. n speran a cå acestå sere va f utlå studen lor dn cclul 2 3, precum specal tlor, coordonator aceste ser î exprmå nten a de a contnua actvtatea începutå, în vederea acoperr cu materale scrse, în cât ma mare måsurå, a domenulu tn elor ape medulu. Coordonator: Jean - Perre CARBONNEL Radu DROBOT
CUPRINS. Prncpul metode elementelor fnte..... Introducere....2. Procedeul Galerkn....3. Formularea vara onalå....4. Ecua în elemente fnte pentru curgerea în med poroase....4.. Ecua de bazå pentru curgerea în regm sta onar....4.2. Formularea în elemente fnte....4.3. Defnrea ecua lor în elemente fnte, utlzând procedeul Galerkn....4.4. Defnrea ecua lor în elemente fnte, utlzând formularea vara onalå....5. Etapele de calcul... Bblografe I... 2. Caracterstcle elementelor fnte... 2.. Clase tpur de elemente fnte... 2... Convergen a solu e... 2..2. Clase cond de contnutate... 2..3. Tpur de elemente fnte... 2.2. Func de aproxmare în coordonate globale... 2.3. Elementul trunghular lnar... 2.4. Elemente zoparametrce... 2.4.. Func de aproxmare în coordonate naturale... 2.4.2. Integrarea numercå... 2.4.3. Elemente zoparametrce bdmensonale... 2.4.4. Elementul zoparametrc 3D lnar... 2.4.5. Transformår ale caracterstclor hdraulce... 2.5. Elemente fnte specale... Bblografe II... 3. Modelarea regmurlor tranztor... 3.. Ecua le care guverneazå fenomenul... 3.2. Ecua le în elemente fnte aferente dscretzår domenulu spa u... 3.3. Rezolvarea ntegrår pe domenul tmp... 3.3.. Prncpul modelelor hbrde... 3.3.2. Utlzarea dscretzår pe domenul tmp... 3.4. Stabltatea numercå... Bblografe III... 7 7 9 0 3 3 8 20 2 22 22 22 23 24 26 28 32 32 37 38 44 46 48 52 53 53 54 56 57 58 60 63 5
4. Modelarea problemelor de nterfa å... 4.. Determnarea poz e suprafe e lbere... 4... Poz a suprafe e lbere în cazul acvferelor de mcå adâncme... 4..2. Poz a suprafe e lbere în cazul trdmensonal general... 4..3. Modelarea poz e suprafe e lbere în cazul regmulu nepermanent... 4.2. Determnarea suprafe e apå dulce - apå såratå... 4.2.. Ecua de m care... 4.2.2. Aproxmarea solu e prn metoda elementulu fnt... 4.2.3. Regmul de m care permanent... 4.2.4. Smularea regmulu nepermanent... 4.2.5. Exemple... Bblografe IV... 5. Modelarea m cår ape în regm nesaturat... 5.. Rela consttutve suc une - umdtate... 5.2. Legea de m care (Darcy)... 5.3. Ecua de m care a ape în regm nesaturat... 5.4. Caz partcular. Problema monodmensonalå (ecua a Rchards)... 5.5. Smularea m cår ape în regm nesaturat prn metoda elementulu fnt... 5.6. Integrarea sstemulu de ecua. Metoda Pcard... 5.7. Partculartå ale smulår problemelor nelneare... 5.7.. Accelerarea convergen e... 5.7.2. Metoda coefcen lor de nfluen å... 5.8. Exemple... Bblografe V... 6. Procese cuplate în acvfere... 6.. Transferul termc în acvfere... 6.2. Fluxur termce în acvfere... 6.3. Ecua a cåldur... 6.4. Cuplajul proceselor de curgere transport termc... 6.5. Cuplajul masc în acvfere... 6.6. Stabltatea hdrodnamcå... Bblografe VI... 7. Smularea numercå a proceselor cuplate... 7.. Metoda elementelor fnte în modelarea proceselor cuplate... 7.2. Metoda fâ lor succesve... 7.3. Coefcen de nfluen å... 7.4. Exemple... Bblografe VII... 64 64 64 66 73 76 76 80 85 86 88 90 92 93 95 97 99 0 03 05 05 05 07 2 4 6 7 9 20 23 26 30 32 33 36 40 45 55 6
PRINCIPIUL METODEI ELEMENTELOR FINITE.. INTRODUCERE Problemele de câmp, a a cum este problema curger prn med poroase, sunt în general descrse de un sstem de ecua cu dervate par ale: A ( u) Au ( ) = A ( u) = M 2 0, (.) în care u sunt func a sau func le necunoscute pe domenul D de un set de cond de margne ( ) Bu B = B M ( u) ( u) = 2 0 (.2) pe gran ele Γ ale domenulu. Rezolvarea presupune gåsrea func e u care satsface ecua le A(u)=0 în D cond le de margne B(u) = 0 pe gran e. Dacå ntegrarea analtcå a ecua lor (.) nu este posblå datortå complextå domenulu a cond lor mpuse, se recurge la rezolvår aproxmatve. Aproxmarea care stå la baza metode elementelor fnte este de forma: n u u = N a, (.3) 7
unde N sunt func de aproxmare, exprmate în func e de varable ndependente (a a cum sunt coordonatele x,y,z), ar a sunt parametr necunoscu, a cåror valoare urmeazå a f determnatå. Func le N (x,y,z) trebue så fe contnue pe D så reflecte vara a func e necunoscute u. Aproxmarea (.3) este înså greu de gåst pentru întregul domenul D ca urmare se recurge la o dvzare a domenulu în subdomen D e - numte elemente fnte - defnrea local a func lor de aproxmare N (fg..). Fg... Domenul de studu condˇ de margne. Pentru ca aceast aproxmare local s fe posbl, este necesar ca ecua le de bazå (.) (.2) så fe reformulate într-o formå ntegralå []: ( ) ( ) GudD+ gud D Γ = 0, (.4) Γ în care G g sunt operator sau func cunoscute. Forma ntegralå permte aproxmarea (.3) element de element, prn smpla rescrere a ntegralelor ca sumå a contrbu e celor m elemente fnte care compun domenul D: m ( e e ) GdD + gd GdD gd D Γ = e + Γ D Γ Γ, (.5) unde D e este domenul fecåru element fnt, ar Γ e este por unea de gran å care î revne. Pentru ob nerea forme ntegrale (.4) sunt posble douå cå. Prma cale se bazeazå pe metoda rezduurlor ponderate este uzual utlzatå în procedeul Galerkn. A doua cale se bazeazå pe formularea vara onalå a probleme analzate. 8
.2. PROCEDEUL GALERKIN De oarece ecua le A(u) = 0 B(u) = 0 trebue så fe satsfåcute în orce punct al domenulu D, rezultå egaltå le: [ ] ( ) ( ) ( ) w T A u dd wa u + w2a2 u + LdD 0 ; (.6.a) [ ] T ( ) Γ ( ) ( ) T = [ w w ] 2K w [ w w ] w B u d wb u + w2b2 u + LdΓ 0, (.6.b) unde w arbtrare. Formularea ntegralå: T T = 2K sunt douå setur de func T ( ) ( ) w A u dd+ w B u dγ = 0, (.7) Γ D este satsfåcutå pentru orcare set w w este dec echvalentå cu satsfacerea sstemulu de ecua cu dervate par ale (.) a cond lor de margne asocate (.2). n exprmårle (.6) (.7) este adms mplct faptul cå ntegralele pot f evaluate, ca urmare, sunt alese numa acele setur de func w w care conduc la valor fnte ale ntegralelor. Aproxmarea de forma (.3) a func e necunoscute u prn: n [ ]{} u u = N a = N a = Na, (.8) cu N=[N] matrcea func lor de aproxmare a={a} vectorul parametrlor necunoscu, nu ma satsface sstemele (.) (.2). Forma ntegralå (.7) permte ca aproxmarea (.8) så fe acceptablå dacå în locul func lor oarecare w w se alege un set fnt de func : w = w w = w cu j =, n, (.9) j unde n este numårul de parametr necunoscu a probleme a. Ecua a (.7) se transformå într-un sstem de ecua algebrce dn care rezultå parametr a : T T ( Na) j ( Na) j w j A dd+ w B dγ = 0, j =, n. (.0) Γ D Se poate observa cå A(Na) B(Na) sunt rezduurle sau erorle care rezultå dn substtu a func e u cu aproxmarea Na în ecua le A(u)=0 B(u)=0. Ca 9
urmare, ecua a (.0) este o ntegrare ponderatå a acestor rezdur metoda se nume te a rezduurlor ponderate [2]. Dat fnd faptul cå setul fnt de func de pondere w w poate f ales arbtrar, în func e de modul de alegere sunt defnte ma multe procedee: - coloca a în puncte: w j =δ j, unde δ j este astfel ales încât w j =0 pentru x x j y y j dar wdd j = I, cu I matrcea untarå. Alegerea lu w revne la a asgura D j rezduu zero în n puncte dn nterorul domenulu; - coloca a în subdomen: w j =I în D j zero în orce alta parte a lu D. Alegerea lu w j revne la a mpune ca ntegrala erorlor så fe zero în anumte subdomen specfcate; - procedeul Galerkn: w j =N j, func le de aproxmare [N] fnd foloste ca ponder. Procedeul Galerkn conduce deobce la matrc smetrce ca urmare a fost adoptat în formularea ecua lor în elemente fnte [2], [3]..3. FORMULAREA VARIAºIONALÅ Un prncpu vara onal defne te o canttate scalarå E, numtå func onalå, ata atå probleme de câmp analzate: E= F u u dd G u u d D,, L +,, L Γ x Γ, (.) x unde F G sunt operator. Func a u este solu a probleme dacå face sta onarå func onala în raport cu mc schmbår δu ale func e. Ca urmare: δe = 0. (.2) Dacå se poate gås un prcpu vara onal, atunc rezolvarea aproxmatvå a probleme capåtå forma standard utlzatå în cadrul metode elementelor fnte. Utlzând aproxmarea (.3): u u = N a, prn substtu a acestea în func onala (.), aceasta va depnde numa de parametr a. Cond a de sta onartate capåtå forma: E E E δe = δa + δa2 + L + δan = 0. a a a 2 n n 0
Cum egaltatea trebue så fe îndeplntå pentru orce δa, rezultå cond a: E {} a E a = M = 0, (.3) E a n dn care se ob n parametr necunoscu a. Formularea vara onalå nu are acela grad de generaltate ca procedeul rezduurlor ponderate în formularea Galerkn. Prncp vara onale exstå numa pentru anumte clase de probleme, dar, acolo unde ele exstå, se pot ob ne drect dn aspectul fzc al probleme. n curgerea poten alå echvalentul vara onal este dat, a a cum se va vedea, de teorema energe dspate mnme în procesul curger..4. ECUAºII ÎN ELEMENTE FINITE PENTRU CURGEREA ÎN MEDII POROASE.4.. ECUAºII DE BAZÅ PENTRU CURGEREA ÎN REGIM STAºIONAR Problema constå în determnarea sarcnlor hdraulce, a graden lor hdraulc a debtelor nfltrate atunc când are loc un proces de curgere prntrun medu permeabl echvalent medulu poros. Sarcna hdraulcå are expresa generalå: p H = z +, (.4) γ unde z este cota geodezcå, p este presunea, ar γ este greutatea specfcå. Ecua le A(u)=0 care guverneazå fenomenul sunt în acest caz ecua a de contnutate: legea generalzatå Darcy: q x q q + + =0 (.5) y z x y z
v v v H H = k + k + k x y x x xy xz H H = k + k + k x y y yx y yz H H = k + k + k x y z zx zy z H ; z H ; z H, z (.6) unde q x, q y q z sunt componentele debtulu pe untatea de suprafa å (denumt uneor flux) în sstemul cartezan xyz, ar v x, v y v z sunt componentele vteze de curgere în acela sstem. ºnând seama cå vteza este egalå cu debtul pe untatea de suprafa å, ecua le (.6) se pot rescre matrcal sub forma: q {} q = qy [ k h ]{ q ar ecua a (.5), în forma matrcalå: x z = gradh}, (.7) grad { q } = 0, (.8) unde operatorul gradent are expresa grad T = x y z, ar [k h ] este o matrce smetrcå, de 3x3, con nând conductvtå le hdraulce. Ecua le B(u)=0 care exprmå cond le de margne sunt consttute dn: H H = 0 pe Γ q q = 0 pe Γ, n q H ; (.9) reprezentând cond de poten al mpus H * pe anumte gran e Γ H cond de flux mpus q * normal pe anumte gran e Γ q. n aceastå formulare dferen alå, func a necunoscutå u este sarcna hdraulcå H(x,y,z), matrcea [k h ] fnd o caracterstcå a medulu de curgere. 2
.4.2. FORMULAREA ÎN ELEMENTE FINITE A a cum s-a aråtat, aproxmarea care stå la baza metode elementelor fnte este de forma (.3): n H H = N a, (.20) unde N (x,y,z) sunt func le de aproxmare, ar a sunt parametr necunoscu. Gåsrea unor func de aproxmare N contnue pe întreg domenul, capable så conducå la o solu e aproxmatvå acceptablå a probleme este extrem de dfclå. Pentru a depå acest nconvenent, domenul de studu D se împarte în elemente fnte (fg..). Conectarea dntre acestea se realzeazå întrun numår fnt de puncte, stuate pe gran a elementelor, denumte puncte nodale sau nodur. Forma ntegralå (.5) a ecua lor de bazå a cond lor de margne permte ca aproxmarea (.20) så se realzeze ndependent pentru fecare element fnt. Ca urmare, func le de aproxmare N se defnesc au propretå de contnutate numa pe domenul unu element, având de aceastå datå forme smple. Parametr necunoscu a se aleg la rândul lor ca fnd valorle func e necunoscute H în punctele nodale, devennd valorle nodale H. Substturea aproxmår H=ΣN H în forma ntegralå a ecua lor probleme permte defnrea ecua lor în elemente fnte a matrcelor de nfluen å aferente..4.3. DEFINIREA ECUAºIILOR ÎN ELEMENTE FINITE UTILIZÂND PROCEDEUL GALERKIN Pentru smplfcarea formulårlor, se consderå cazul curger bdmensonale, în sstemul xy, astfel ales încât så concdå cu drec le prncpale de anzotrope ale conductvtå lor hdraulce. n acest caz H=H(x,y) ar k xy =k xz =k yz =0, matrcea [k h ] având forma dagonalå smplå: [ k h ] k x = 0 0 k y. (.2) Setul de ecua A(u)=0 se reduce la : x k H x y k H x + y = 0, (.22) y ar cond le de margne B(u) au forma: 3
qn q = 0 pe Γ q, (.23.a) unde: q H k x n k H = + y n y, (.23.b) n x x y cu n x n y cosnu drector a normale la gran a Γ g. Celelalte cond, de tp H=H * pe Γ H se pot mpune ulteror. De altfel, fnd valor nodale cunoscute H * ele se elmnå dn ansamblul valorlor nodale necunoscute H. Forma ntegralå de tp (.7) devne în cazul studat: D w k x x H x y k H + y dxdy + y H w k x n k H y n q + d x x + y y Γ = 0. Γq (.24) Dacå prmul termen se ntegreazå prn pår, folosnd formula generalå Green se admte w = w, rezultå forma ma smplå: w + + = x k H w x y k H x y y dxdy wq d Γ 0 D Γ. (.25) Se poate verfca cu u urn å deducerea ecua e (.25), dacå se ne seama de formulele de ntegrare: w k x w k y H x dxdy = H y dxdy = w x k w y k H x dxdy w k H + x nd x Γ Γ x x x H y dxdy w k H + y nd y Γ Γ y y y Alegerea setulu w = w nu afecteazå generaltatea formulår, având în vedere cå ambele setur de func sunt arbtrare. Utlzând operatorul grad forma matrcealå [k] pentru conductvtå le hdraulce, ecua a (.25) se poate rescre sub forma: 4
T [ h ] grad w k grad HdD wq dγ = 0. (.26) Γ D Pentru defnrea ecua lor în elemente fnte forma ntegralå (.26) se exprmå ca o sumå a contrbu lor elementelor fnte care compun domenul: m e T T ( egrad w D [ kh ] grad H dd e w q dγ Γ ) = 0, (.27) unde m este numårul de elemente fnte, D e domenul unu element fnt, ar Γ e por unea de gran å care î revne. Pentru fecare element fnt func a H(x,y) se aproxmeazå în func e de valorle nodale H : n [ ]{ } H( x, y) = N H = N H, (.28) unde [N]=[N N 2... N n ] este matrcea func lor de aproxmare, ar {H} T ={H H 2... H n } este vectorul valorlor nodale, corespunzåtoare celor n nodur ale elementulu. Procedeul Galerkn al rezduurlor ponderate înlocue te setul arbtrar de func de pondere w cu func le de aproxmare [N]. Substtund (.28) în expresa contrbu e elementulu în (.27) înlocund w=[n], rezultå: D e T [ ][ h ] [ ]{ } ( ) e [ ] grad N k grad N H dd N q d Γ Γ. (.29) ºnând seama de nota le: grad N x y N x N y N x N y 2 [ ] = [ N N2 L Nn ] = = [ B] 2 T L L Nn x Nn y, (.30) 5
x ([ ]{ }) = [ NH N 2H2 L N nhn] grad N H y N x H = N y H + + + = N 2 x H N n x H + 2 + L+ n B H N y H N = 2 n + + + y H 2 L n [ ]{ } (.3) contrbu a elementulu se poate rescre în forma matrcealå smplå: [ k]{ H} { r}, (.32) unde: [ k] [ B] T [ k h ][ B] = dd (.33) D e {} = e [ ] T r N q d Γ. (.34) Γ Matrcea [k] se nume te matrcea de nfluen å sau matrcea de nfltra e a elementulu, ar vectorul {r} exprmå contrbu a nodalå a cond lor de flux mpus pe gran a elementulu. Revennd la forma ntegralå aferentå întregulu domenu, exprmatå de ecua a (.27), se ob ne: sau: m [ ] [ ] m e ([ k]{ H} { r} ) = 0 (.35) [ K]{ H} = { R}, (.36) unde K = k, R = r ar {H} reprezntå de aceastå datå vectorul m { } { } valorlor nodale ale sarcnlor hdraulce dn toate nodurle dscretzår. Opera a de sumare a matrcelor vectorlor caracterstc se realzeazå prn adunarea termenlor omolog dn matrcele [k] vector {r}, dupå extnderea acestora la dmensunle date de numårul nodurlor dn dscretzare. 6
Rezolvarea sstemulu de ecua algebrce lnare (.36) permte ob nerea valorlor nodale ale sarcnlor hdraulce. Valoarea sarcn hdraulce în orce punct al domenulu, graden hdraulc fluxurle tranztate se ob n revennd la nvelul elementulu tnând seama de rela le de aproxmare: Hxy (, ) = [ Nxy (, )]{ H} grad H( x, y ) = [ B( x, y )]{ H} {} q = [ k h ][ B( x, y) ]{ H} (.37) unde de aceastå datå {H} este vectorul valorlor nodale aferente elementulu, selectate dn vectorul general ob nut dn sstemul (.36). Debtul care traverseazå o laturå (în cazul 2D) sau o fa å (în cazul 3D) a elementulu fnt se determnå prn ntegrarea: Q = Γ e v ds, (.38) unde v n este vteza normalå la fa å în orce punct al acestea, ar Γ e este fa a lateralå (latura) specfcatå. Vteza normalå se determnå în func e de componentele vteze în sstemul cartezan. n cazul 2D: n x [ ] [ n]{} v v = n n n x y v v y =, (.39) unde [n] este matrcea cosnusurlor drectoare ale normale la fa å. Expresa (.39) se poate extnde cu u urn å în cazul 3D. ºnând seama cå {v} {q} de expresle (.37) rezultå: [ ][ h][ ]{ } v = n k B H Revennd în rela a de calcul (.38), rezultå expresa: n. (.40) Q = ( [ n ][ k h ][ B ] ds ){ H } = [ CQ ]{ H}, (.4) Γ e unde [CQ] este o matrce caracterstcå elementulu fe e pentru care se calculeazå debtul. 7
.4.4. DEFINIREA ECUAºIILOR ÎN ELEMENTE FINITE UTILIZÂND FORMULAREA VARIAºIONALÅ Func onala asocatå probleme curger sta onare în medu poros are expresa: E grad T = H{} q dd q H D dγ, (.42) 2 Γ în care prmul termen exprmå energa dspatå în untatea de tmp în procesul de curgere ar cel de-al dolea energa corespunzåtoare extrac e sau njec e de flux pe gran å. Func a necunoscutå H(x,y) se ob ne dn cond a de sta onar a func onale δe=0. n acest caz este vorba de mnmzarea energe dspate, corespunzând teoremelor generale ale energe. Pentru defnrea ecua lor în elemente fnte domenul de studu se împarte în subdomen - elemente fnte - ar energa se exprmå ca sumå a contrbu e elementelor dn dscretzare: m m T E = eee = e grad H{} q dd q Hd e D Γ, (.43) 2 Γ e unde m este numårul de elemente fnte, D e domenul unu element ar Γ e por unea de gran å care î revne. Sarcna hdraulcå H(x,y) se aproxmeazå pe domenul elementulu în func e de valorle nodale H : m (, ) = = [ ]{ } Hxy NH N H unde, la fel ca în rela a (.28), [N] este matrcea func lor de aproxmare ar {H} este vectorul valorlor nodale, corespunzåtoare celor n nodur ale elementulu. Gradentul hdraulc pe element se exprmå în func e de acelea valor nodale, la fel ca în rela a (.3): ([ ]{ }) [ ]{ } grad H = grad N H = B H, unde [B] este o matrce ce con ne dervatele de ordnul I ale func lor de aproxmare., 8
Debtul pe untatea de suprafa å {q} este dat de reala a (.7), dn care, dacå se înlocue te aproxmarea (.28), rezultå: {} q [ k h]{ gradh} [ k h][ B]{ H} = =. (.44) nlocund aproxmårle pentru H, grad H q în expresa func onale aferente unu element rezultå: T T T T Ee = { H} [ B] [ k ][ B] dd h { H} { H} [ N] q e e D dγ. (.45) 2 Γ n aceastå formå func onala depnde numa de valorle sarcnlor hdraulce nodale. Prma ntegralå se dentfcå cu matrcea de nfluen å sau matrcea de nfltra e a elementulu: [ k] [ B] T [ k h ][ B] = dd, (.46) ar a doua ntegralå ca vector al cond lor de margne: D e {} = e [ ] T r N q d Γ. (.47) Cu aceste nota, func onala aferentå elementulu devne: Γ Ee = H k H H 2 T T { } [ ]{ } { } { r}, (.48) ar func onala corespunzåtoare întregulu domenu rezultå dn sumarea contrbu lor tuturor elementelor: m E = eee = H K H H 2 T T { } [ ]{ } { } { R}. (.49) n expresa (.49) vectorul {H} con ne de aceastå datå valorle nodale ale sarcn hdraulce dn toate nodurle dscretzår, ar: [ K] = m [ k] { R} m = { r} 9
rezultå dn smpla sumare a matrcelor de nfluen å respectv a vectorlor cond lor de margne ale elementelor, prn adunarea termenlor omolog dupå extnderea acestora la dmensunle date de numårul nodurlor dn dscretzare. Cond a de sta onar δe=0 aplcatå func onale se exprmå în acest caz sub forma: E H = 0, (.50) { } ceea ce conduce, nând seama de (.49), la sstemul algebrc lnar: [ K]{ H} = { R}. (.5) Rezolvarea sstemulu conduce la ob nerea valorlor nodale ale sarcnlor hdraulce. Sarcna hdraulcå, gradentul hdraulc fluxul tranztat în orce punct al domenulu se ob n revennd la nvelul elementulu utlzând relatle (.37) prezentate anteror..5. ETAPELE DE CALCUL Dupå cum rezultå dn formularea ecua lor în elemente fnte, rezolvarea probleme comportå o succesune de etape. Dscretzarea, în care domenul de studu se împarte în elemente fnte se stablesc punctele nodale în care se vor calcula sarcnle hdraulce. Alegerea func lor de aproxmare, în care se stablesc func le N (x,y,z), contnue pe domenul elementulu, cu ajutorul cårora se exprmå vara a sarcn hdraulce pe domenul elementulu, în func e de valorle acestea în nodurle elementulu. Aceastå etapå se ma nume te alegerea tpulu de element, dat fnd faptul cå exstå anumte confgura ale elementelor fnte în func e de forma gradul func lor de aproxmare. Evaluarea matrcelor de nfluen å a vectorlor caracterstc pe baza func lor de aproxmare alese în func e de conductvtå le hdraulce ale materalulu care compune elementul: T [ ] = e D [ ] [ h ][ ] T {} r = e [ N] q dγ, Γ k B k B dd; (.52) 20
în care ntervn matrcea func lor de aproxmare [N], matrcea [B] ce con ne dervatele de ordnul I al acestora matrcea [k h ] a conductvtå lor hdraulce. Calculul matrcelor vectorlor de nfluen å se face deobce prn ntegrare numercå. Asamblarea, în care se determnå matrcea caracterstcå a domenulu [K] vectorul termenulu lber {R} prn sumarea matrcelor de nfluen å a vectorlor cond lor de margne ale elementelor dn dscretzare. La baza procedur de sumare stå faptul cå, într-un nod comun ma multor elemente fnte, valoarea sarcn hdraulce este aceea pentru toate elementele cuplate în acel nod. Rezolvarea sstemulu de ecua algebrce lnare KH=R, rezultat dn opera a de asamblare. Dn rezolvare rezultå valorle sarcn hdraulce în toate nodurle dscretzår. Calculul sarcn hdraulce, a gradentulu a debtelor în orce punct al domenulu pe baza valorlor nodale ale sarcnlor hdraulce. BIBLIOGRAFIE. Zenkewcz, O.C., Taylor, R. L., The Fnte Element Method, Mc. Grow-Hll, 99. 2. Fnlayson, B.A., The Method of Weghted Rezduals and Varatonal Prncples, Academc Press, 972. 3. Z e n k e w c z, O.C., M o r g a n, K., Fnte Element and Approxmaton, Wley, 983. 2
2 CARACTERISTICILE ELEMENTELOR FINITE 2.. CLASE ªI TIPURI DE ELEMENTE FINITE 2... CONVERGENºA SOLUºIEI Metoda elementelor fnte este o metodå numercå aproxmatvå pentru rezolvarea problemelor de câmp. Ca urmare, este de prm nteres în a cunoa te cât de bunå este aproxmarea, ma ales, cum poate f sstematc îmbunåtå tå pentru a se apropa cât ma mult de solu a exactå. Evaluarea eror este o problemå dfclå, datortå faptulu cå solu a exactå a problemelor complexe este ea înså necunoscutå. n ceea ce prve te îmbunåtå rea solu e, calea este înså evdentå, rezultând dn înså modul de aproxmare a solu e. Rela a de aproxmare a sarcn hdraulce pe domenul unu element este de forma ( ) m Hxyz,, = NH, unde N sunt func le de aproxmare, ar H sunt valorle dn nodurle elementulu. Aceastå rela e poate f prvtå ca una de nterpolare a valor dntr-un punct oarecare al elementulu în func e de valorle dn nodur. Este evdent cå, necunoscând vara a realå a sarcn pe element, valoarea nterpolatå este numa o aproxmare a cele reale. Cu cât numårul de puncte nodale ale elementulu este ma mare cu cât domenul elementulu fnt este ma mc aproxmarea valor reale va f ma bunå. Rezultå de ac cå ar trebu ca precza solu e aproxmatve så creascå pe måsurå ce cre te numarul de elemente fnte dn dscretzare, mplct, numårul de nodur (fg.2.). Dacå acest proces de îmbunåtå re a aproxmår se realzeazå se spune cå solu a numercå converge cåtre solu a exactå. Pentru a se asgura convergen a, este înså necesar så fe îndeplnte anumte cond de contnutate complettudne []. 22
Fg.2.. Convergen a solu e în elemente fnte. 2..2. CLASE ªI CONDIºII DE CONTINUITATE n cazul rezolvår prn elemente fnte a problemelor de câmp se defnesc urmåtoarele clase de contnutate: C 0 - când varabla de câmp este contnuå pe frontera dntre douå elemente fnte, ar dervatele de ordnul I ale acestea sunt contnue pe domenul elementelor, dar dscontnue pe fronterå; C - când varabla de câmp dervatele de ordnul I ale acestea sunt contnue pe fronterå ar dervatele de ordnul II sunt contnue pe domenul elementelor dar dscontnue pe fronterå; M C n - când varabla de câmp dervatele sale pânå la ordnul n sunt contnue pe frontera dntre elemente. Solu a aproxmatvå prn elemente fnte trebue så defneascå astfel func le de aproxmare natura necunoscutelor nodale încât så poatå f operate ntegrårle pe domenul elementulu. Ca urmare, clasa de contnutate care trebue asguratå depnde de ordnul dervatelor care apar în expresa de sub ntegralå a func onale sau a forme ntegrale a ecua lor fenomenulu. Dacå ordnul maxm al dervatelor este k, atunc convergen a solu e cu elemente fnte este asgurata de o aproxmare ce respectå o contnutate de claså C k-. n cazul problemelor de curgere prn med poroase, sub ntegralå apare gradentul, adcå dervate de ordnul I, în consecn å, aproxmarea trebue så asgure o contnutate de claså C 0. Elementele fnte corespunzåtoare se numesc elemente de claså C 0 au ca necunoscute valorle sarcn hdraulce dn nodur. Exstå alte tpur de probleme de câmp care au sub ntegralå dervate de ordnul II, a a cum este cazul câmpulu de deplasår efortur dn plåcle plane 23
curbe în teora elastctå. n acest caz se cere o contnutate de claså C pentru a asgura contnutatea pe gran å a dervatelor de ordnul I elementele fnte corespunzåtoare au ca necunoscute nodale atât valoarea func e, cât valorle dervatelor acestea de ordnul I. 2..3. TIPURI DE ELEMENTE FINITE n majortatea rezolvårlor cu elemente fnte func le de aproxmare sunt de tp polnomal [], [2]. n cazul elementelor fnte de claså C 0, a a cum sunt cele utlzate în problemele de curgere prn med poroase, necunoscutele nodale sunt valorle dn nodur ale func e necunoscute (sarcna hdraulcå în cazul de nteres). Pentru a se asgura convergen a solu e este necesar ca polnoamele de aproxmare så respecte cond a de complettudne. Aceastå cond e se referå la utlzarea polnoamelor complete, a a cum sunt ele defnte de trunghul lu Pascal. Astfel, în cazul probleme 2D, aproxmarea polnomalå de ordnul I (lnarå) are forma: ( ) Hxy, = a + ax 2 + ay 3 + axy 4, (2.) ar aproxmarea de ordnul II (cuadratcå) are forma: ( ) 2 2 2 2 Hxy, = a + ax+ ay+ axy+ ax + ay + axy + axy. (2.2) 2 3 4 5 Smlar se pot forma polnoamele pentru cazul problemelor trdmensonale. Cond a de complettudne este echvalentå cu cond a de a evta exsten a unor drec preferen ale în nterorul elementulu. Pentru determnarea coefcen lor polnoamelor de aproxmare (2.) sau (2.2) se pun cond le ca în nodurle elementulu sarcna hdraulcå H(x,y) så capete valoarea nodalå H. Numårul de nodur trebue dec så fe egal cu numårul coefcen lor polnomal. Ca urmare, în cazul problemelor 2D elementul lnar (aproxmare polnomalå de ordnul I) are 4 nodur, ar ca formå geometrcå este un patrulater oarecare, ar elementul påtratc (aproxmare polnomalå de ordnul II) are 8 nodur, ar ca formå geometrcå este un patrulater cu latur curbe (fg.2.2). 6 7 8 24
Fg.2.2. Elemente fnte bdmensonale - forma standard. Smlar, în cazul problemelor 3D elementul lnar are 8 nodur H x, y, z = a + a x + a y + a z + a xy + a yz + a zx + a xyz forma ( ( ) 2 3 4 5 6 7 8 ) hexaedralå, ar elementul påtratc are 20 de nodur este un hexaedru cu latur curbe (fg.2.3). Fg.2.3. Elemente fnte trdmensonale - forma standard. n dscretzare se pot folos elemente cu formå geometrcå degeneratå. n cazul 2D trunghur care provn dn patrulatere, prn suprapunere a douå nodur, ar în 3D prsme sau tetraedre, care provn dn hexaedre prn suprapunerea a douå much, respectv a ma multor nodur (fg.2.4). Dn aceste consderente rezultå cå între confgura a elementulu functle de aproxmare exstå o nterdependen å bne defntå. Ca urmare, în practca metode se defne te tpul de element - lnar, påtratc, cubc etc. - în acord cu gradul polnomulu de aproxmare, ar numarul de nodur ata ate elementulu este astfel preczat. 25
Fg.2.4. Forme geometrce degenerate pentru elementele de claså C : a - bdmensonale; b - trdmensonale. 2.2. FUNCºII DE APROXIMARE ÎN COORDONATE GLOBALE Se admte aproxmarea polnomalå a sarcn hdraulce pe domenul elementulu. Pentru a smplfca dezvoltårle algebrce se alege, pentru început, un element de claså C 0, lnar, 2D. n conformtate cu fgura 2.5, elementul este defnt geometrc de coordonatele (x,y ) ale celor patru nodur în sstemul global xy. Aproxmarea polnomalå are forma (2.): ( ) Hxy, = a+ ax+ ay+ axy 2 3 4. Fg.2.5. Defnrea geometrcå pentru elementul patrulater lnar. 26
Cond a ca în nodurle..4 valoarea func e H(x,y) så a valorle nodale H..H 4 se scre sub forma: care, exprmatå matrcal, devne: H = a + a x + a y + a x y M 2 3 4 H = a + a x + a y + a x y 4 2 4 3 4 4 4 4, (2.3) H H H H 2 3 4 = x y xy a x y x y a 2 2 2 2 2 x3 y3 x3y3 a3 x4 y4 x4y4 a4 (2.4) sau: { H} [ MC]{ a} =, (2.5) unde {H} este vectorul valorlor nodale, {a} vectorul coefcen lor polnomal, ar [MC] este o matrce de coordonate ce defnesc geometra elementulu. Prn nversarea rela e (2.5) se ob n coefcen polnomal: { a} = [ MC] { H}. (2.6) Dacå polnomul de aproxmare se scre la rândul lu matrcal: a a 2 Hxy (, ) = [ x y xy] (2.7) a3 a 4 se înlocue te vectorul coefcen lor polnomal dn (2.6), rezultå: (, ) = [ ][ ] { } Hxy x y xy MC H dn care se pune în evden å matrcea func lor de aproxmare:, (2.8) 27
[ Nxy (, )] = [ x y xy][ MC]. (2.9) Procedeul de generare a func lor de aproxmare este absolut general. n cazul problemelor 3D aproxmarea polnomalå cuprnde coordonata z, ar dacå aproxmarea este påtratcå sau cubcå vor apare termen corespunzåtor în polnom, în conformtate cu trunghul lu Pascal pentru polnoame complete. De acest procedeu de ob nere a func lor de aproxmare este avantajos conceptual, în rezolvårle practce are o sere de nconvenente. Inversarea matrce de coordonate [MC] este o opera e dfclå în cazul polnoamelor de grad superor, char în cazurle smple, lnare, poate produce sngulartå pentru anumte confgura poz ale elementulu fa å de sstemul de axe. Un alt nconvenent, semnfcatv, apare la calculul matrcelor de nfluen å ale elementelor, când ntegrarea numercå pe un domenu oarecare, a a cum apare el defnt de geometra elementulu, poate f o problemå dfclå [2]. 2.3. ELEMENTUL TRIUNGHIULAR LINIAR Un element fnt cu propretå partculare, care permte formularea drectå a matrcelor de nfluen å, este elementul trunghular lnar. Procedura de ob nere a func lor de aproxmare urmeazå calea generalå prezentatå în paragraful precedent. Elementul este bdmensonal are forma trunghularå defntå de nodurle locale, 2 3 în planul xoy (fg.2.6,a). Vara a sarcn hdraulce pe domenul elementulu se aproxmeazå prntr-un polnom ncomplet de gradul I: a Hxy (, ) = a + ax 2 + ay 3 = [ x y] a2. (2.0) a 3 Coefcen polnomulu de aproxmare se determnå dn cond a ca în nodurle =,2,3 sarcna hdraulcå H(x,y) så capete valorle nodale H, H 2, H 3 : H H H 2 3 = x x x 2 2 3 3 y a y a2 = [ MC]{} a. (2.) y a 3 Prn nversare, se ob ne vectorul coefcen lor polnomal: 28
{ a} = [ MC] { H}, (2.2) unde: [ MC] = xy 2 3 xy 3 2 xy 3 xy 3 xy 2 xy 2 y y y y y y A 2 3 3 2 2 x3 x2 x x3 x2 x, (2.3) ar A este ara trunghulu. nlocund expresa (2.3) în rela a (2.0), rezultå dependen a sarcn hdraulce de valorle nodale: (, ) = [ ][ ] H2 = [ Nxy (, )]{ H} Hxy x y MC H H 3. (2.4) Fg.2.6. Elementul trunghular lnar: a - defnrea geometrcå; b - sstemul local pentru latura j. 29
Pentru calculul matrce de nfluen å a elementulu trebue evaluatå matrcea [B] dn exprmarea gradentulu în func a de valorle nodale: ([ ]{ }) [ ]{ } grad H = grad N H = B H. (2.5) Componentele vectorulu grad H pot f evaluate dn aproxmarea (2.4): H x H y = = 2A y y y y y y H = = 2A x x x x x x H [ 0 0][ MC] { H} [ 2 3 3 2]{ } [ 0 0 ][ MC] { H} [ ]{ } 3 2 3 2, (2.6) de unde se poate pune în evden å, matrcea [B]: [ B] y2 y3 y3 y y y2 = x x x x x x 3 2 3 2. (2.7) Dupå cum se observå, matrcea con ne constante numerce dec, gradentul este la rândul lu constant pe domenul elementulu. n expresa matrce de nfluen å: [ k] [ B] T [ kh ][ B] matrcea conductvtå lor hdraulce [k h ] are forma: = dd, (2.8) D e [ kh ] kx = 0 0 k y, (2.7) acceptând cå sstemul de coordonate concde cu drec le prncpale de anzotrope, sau forma completå: [ kh ] kx kxy = kyx k, (2.8) y dar smetrcå, în cazul anzotrope locale dfertå de sstemul global. Elementul de ntegrare este dd=dxdy în cazul 2D analzat. Matrcele [B] [k h ] fnd constante, rezultå expresa matrce de nfluen a sub forma: 30
[ k] [ B] T [ kh ][ B] = A, (2.9) unde A este, a a cum s-a aråtat, ara trunghulu. Vectorul cond lor de margne {r} provent dn cond le de flux mpus pe gran a elementulu: { } = e [ ] T r N q d Γ Γ (2.20) necestå pentru evaluare o ntegrare numercå, dat fnd cå matrcea func lor de aproxmare depnde de x y. Pentru a smplfca calculul ntegrale se admte cå fluxul q * este constant pe gran a elementulu se recurge la reformularea exprese (2.20) într-un sstem local os, ata at latur j care consttue gran a elementulu Γ e comunå cu gran a domenulu (fg.2.6,b): unde: dec: Hs ( ) [ ] l {} = ( ) T r N s q ds, (2.2) 0 H s s = H j 0 l l (2.22) H k [ Ns ( )] s s = 0 l l. (2.23) Substtund expresa (2.23) în formularea (2.2) efectuând ntegrarea, rezultå: {} r l 2 l = q, (2.24) 2 0 3
de unde se observå cå, în cazul q * =ct pe gran a j, cond a de flux mpus se repartzeazå în mod egal celor douå nodur care defnesc gran a. 2.4. ELEMENTE IZOPARAMETRICE 2.4.. FUNCºII DE APROXIMARE ÎN COORDONATE NATURALE Nodurle unu element fnt sunt dentfcate prn douå ssteme de numerotare, unul global, pentru întregul domenu dscretzat unul local, pentru fecare element în parte. Este convenabl de a se asoca sstemulu local de nodur un sstem local de coordonate. Orgnea sstemulu local se alege, de obce, în centrul de greutate al elementulu. La rândul lor, coordonatele locale pot f normale (de exemplu cartezene) sau naturale. Coordonatele naturale sunt coordonate normalzate, ob nute prn raportarea coordonatelor globale la mårm caracterstce ale elementulu - lungm sau ar. n cazul în care se utlzeazå coordonatele naturale, ar orgnea sstemulu concde cu centrul de greutate al elementulu, atunc domenul de vara e al coordonatelor naturale asocate elementulu este (-,). n cele ce urmeazå se prezntå coordonatele naturale pentru patrulaterul oarecare în cazul bdmensonal (fg.2.7,a), respectv, pentru hexaedru în cazul trdmensonal (fg.2.7,b). Fg.2.7. Coordonate naturale pentru: a - patrulaterul oarecare; b - hexaedru. 32
Pentru patrulaterul oarecare, rela le dntre coordonatele naturale (s,t) coordonatele globale (x,y) sunt date de expresle: x= [( s)( tx ) + ( + s)( tx ) + ( + s)( + tx ) + ( s)( + tx ) ] 4 2 3 4 (2.25.a) y= [( s)( t) y + ( + s)( t) y + ( + s)( + t) y + ( s)( + t) y ] 4 2 3 4 (2.25.b) ntr-o screre ma concså, rela le de transformare au forma: 4 x = L x ; = 4 y= L y, = (2.26) în care: L = ( + ss)( + ) 4 tt, (2.27) (x,y ) fnd coordonatele nodulu în sstemul xy, ar (s,t ) fnd coordonatele nodulu în sstemul st. Pentru elementele fnte trdmensonale hexaedrale, rela le de legåturå dntre cele douå ssteme de coordonate (fg.2.7,b) au o formå asemånåtoare: 8 x = Lx = 8 y = L y = 8 z = Lz =, (2.28) în care: L = ( + ss)( + tt)( + ) 8 rr. (2.29) Nota le sunt acelea, (x,y,z ) fnd coordonatele nodulu în sstemul xyz, ar (s,t,r ) fnd coordonatele nodulu în sstemul str. 33
n cazul coordonatelor naturale, func le de aproxmare N (s,t,r) pot f deduse pe o cale mult ma smplå. Se ne seama de faptul cå acestea au propretatea N = pentru nodul N =0 pentru celelalte nodur. Fårå a ntra în detal, în cele ce urmeazå, se dau expresle func lor de aproxmare pentru elementul plan patrulater elementul spa al hexaedral [3]: Cazul bdmensonal (fg.2.8): Fg.2.8. Elemente bdmensonale în coordonate naturale: a - lnar; b - påtratc; c - cubc. Element lnar (4 nodur): N( s, t) = ( + ss)( + tt ) 4, (2.30) cu s, t =±. Element påtratc (8 nodur): N( s, t) = ( + ss)( + tt)( ss 4 + tt ), (2.3.a) pentru nodurle..4 cu s, t =±; pentru nodurle 5 7 la s=0, t =± : N s, t = s + tt 2 2 ( ) ( )( ), (2.3.b) 34
pentru nodurle 6 8 la s =±, t=0 Element cubc (2 nodur): (, ) = ( + )( ) N s t ss t 2 2, (2.3.c) [ ] N = + ss + tt s + t 32 9 0, (2.32.a) 2 2 ( )( ) ( ) pentru nodurle...4 cu s, t =± ; 9 N = ( + ss)( t )( + ) 32 2 9 tt, (2.32.b) pentru nodurle 7, 8, 2, cu s =± t =± 3 : 9 N = ( + tt)( s )( + ) 32 2 9 ss, (2.32.c) pentru nodurle 5, 6, 9 0, cu t =± s =± 3. Cazul trdmensonal (fg.2.9): Fg.2.9. Elemente trdmensonale în coordonate naturale: a - lnar; b - påtratc; c - cubc. 35
Element lnar (8 nodur): cu s, t, r =±. Element påtratc (20 nodur): N = ( + ss)( + tt)( + ) 8 rr, (2.33) - Nodur de col s =±, t =±, r =± : N = ( + ss)( + tt)( + rr)( ss + tt + rr ) 8 2. (2.34.a) - Nodur de mjloc tpce s =0, t =±, r =±: 2 ( )( )( ) N = s + tt + 4 rr. (2.34.b) Pentru restul nodurlor de mjloc dn planurle t =0 respectv r =0, func le de aproxmare se ob n dn permutår. Element cubc (32 nodur): - Nodur de col s =±, t =±, r =±: [ ] N = + ss + tt + rr s + t + r 64 9 9, (2.35.a) 2 2 2 ( )( )( ) ( ) - Nodur ntermedare tpce s =± 3, t =±, r =±: 2 ( )( )( )( ) 9 N = s + ss + tt + rr 64 9. (2.35.b) Pentru restul nodurlor ntermedare, dn planurle t =± 3 respectv r =±, func le de aproxmare se ob n prn permutår. 3 36
Avantajul exprmår func lor de aproxmare în coordonatele naturale rezultå evdent: pentru orcare element fnt, ndferent de geometra partcularå a acestua, func le de aproxmare sunt unce, bne defnte u or de verfcat ntutv. 2.4.2. INTEGRAREA NUMERICÅ Matrcele de nfluen å [k] vector ce provn dn cond le de margne {r} se ob n prn ntegrarea unor expres ce con n func le de aproxmare sau dervatele acestora: T [ k] = e [ B] [ k ][ B D h ] T {} r = [ N] q dγ, Γ unde [B] este o matrce formatå dn dervate ale func lor de aproxmare [N]. Evaluarea analtcå a acestor ntegrale este foarte dfclå uneor char mposblå. Dn acest motv se apeleazå frecvent la ntegrarea numercå. Folosrea coordonatelor naturale pentru defnrea func lor de aproxmare aduce, în acest caz, un cert avantaj, datortå domenulu partcular pe care se efectueazå ntegrarea. Integralele de evaluat, ndferemt cå este vorba de [k] sau {r} sunt de forma: (, ) pentru cazul bdmensonal respectv: Fstdsdt, (,, ) dd F s t r dsdtdr, pentru cazul trdmensonal. F este produsul matrcal corespunzåtor mårm elementale care se calculeazå. Evaluarea numercå a acestor ntegrale se face folosnd urmåtoarele rela generale [2]: n n (, ) wwfs j ( tj) Fstdsdt= = j= n n n (,, ) j k (, j, k) F s t r dsdtdr = w w w F s t r = j= k=, (2.36), (2.37) 37
în care w, w j w k sunt coefcen de pondere ar s, t j, r k sunt puncte de evaluare a ntegrantulu. n cazul metode Gauss-Legendre, folostå practc în exclusvtate pentru ntegrårle numerce în elemente fnte, poz a punctelor de evaluare (denumte puncte de ntegrare) ponderle asocate se determnå astfel încât eroarea så fe mnmå pentru un numår de puncte de evaluare dat. Punctele de ntegrare se dspun smetrc în raport cu centrul ntervalulu (-, ), ar perechle de puncte smetrce au aceea pondere. n tabelul 2. se dau poz le punctelor de ntegrare coefcen de pondere corespunzåtor ntegrår Gauss [2]. Numår de puncte de ntegrare Poz a punctelor Ponderea n=2-0.577350269.0000000000 0.577350269.0000000000 n=3-0.7745966692 0.5555555555 0.0000000000 0.8888888888 0.7745966692 0.5555555555 n=4-0.863635 0.347854845-0.339980435 0.65245548 0.339980435 0.65245548 0.863635 0.347854845 n=5-0.906798459 0.2369268850-0.53846930 0.4786286704 0.0000000000 0.5688888888 0.53846930 0.4786286704 0.906798459 0.2369268850 Tabelul 2. Integrarea numercå a matrcelor vectorlor caracterstc ntroduce în calcul eror suplmentare fa å de aproxma le nerente ale metode. Numårul mnm de puncte de ntegrare, care evtå apar a unor eror mportante, depnde în mare måsurå de geometra elementulu fnt în sstemul cartezan global. Pentru elementele fnte de claså C 0, care ntervn în problema curger prn med poroase pentru elemente cu dstorsune geometrcå moderatå fa å de formele standard - påtrat sau cub - ordnul mnm este 2x2 pentru cazul bdmensonal 2x2x2 pentru cazul trdmensonal. 2.4.3. ELEMENTE IZOPARAMETRICE BIDIMENSIONALE Elementele zoparametrce utlzeazå coordonatele naturale pentru defnrea func lor de aproxmare ntegrarea numercå, în forma Gauss, pentru calculul matrcelor vectorlor de nfluen å. 38
Rela le de trecere dn sstemul global de coordonate, de forma (2.26) sau (2.28), folosesc func le de transformare L (s,t,r) care sunt dentce cu func le de aproxmare N (s,t,r) dn rela le (2.30) sau (2.33). Utlzarea acelora func pentru transformarea de coordonate pentru aproxmarea varable pe elemente - acea parametr - a dat denumrea de zoparametre respectv de elemente fnte zoparametrce []. 2.4.3.. Elementul zoparametrc 2D lnar. Este un element patrulater cu 4 nodur (fg.2.0). Necunoscutele nodale sunt sarcnle hdraulce H dn cele patru nodur. Fg.2.0. Elementul zoparametrc 2D lnar. n sstemul natural de coordonate, func le de aproxmare au forma datå de rela le (2.30): N = ( s)( ) 4 t ; N N N 2 3 4 = 4 + = 4 + + = 4 + ( s)( t) ( s)( t) ( s)( t) ; ;, (2.38) ar sarcna hdraulcå se exprmå prn ntermedul acestora în func e de valorle nodale: ( ) Hst, = NH + NH 2 2 + NH 3 3 + NH 4 4. (2.39) 39
Trecerea dn sstemul global xy în sstemul natural st este datå de rela smlare: x = N x + N x + N x + N x 2 2 3 3 4 4 y= N y + N y + N y + N y 2 2 3 3 4 4 ; (2.40) sau în formå matrcealå: x xst (, ) N N N N y = yst (, ) 0 2 0 3 0 4 0 N N N N. (2.4) 0 0 2 0 3 0 4 M y 4 Se poate verfca cu u urn å cå nodul dn sstemul natural de coordonate (s,t ) concde cu acela nod dn sstemul global de coordonate (x,y ). Spre exemplu, pentru nodul (s=-, t=-) func le de aproxmare au valorle N =, N 2 =N 3 =N 4 =0 dec x(s,t )=x. Pentru calculul matrce de nfluen å este necesar ca matercea [B] så se exprme în sstemul natural de coordonate. ªtnd expresa lu [B] dn rela a (.30): [ B] N = x N y N x N y N x N y N x N y 2 3 4 2 3 4 este necesar så se evalueze dervatele func lor de aproxmare în raport cu coordonatele globale x,y. Rela le dntre dervatele în raport cu cele douå ssteme sunt date de regula cunoscutå: N s N t N x N = + x s y N x N = + x t y Aceea rela e, rescrså matrcal, are forma: y ; s y. t (2.42) 40
[ ] N s N t x s y s x t y t N x N y J N x N y = =, (2.43) unde [J] este matrcea Jacobanulu transformår. ºnând seama de rela le (2.4) (2.38), Jacobanul poate f scrs sub forma: ( ) [ ] Jst N s N s N s N s N t N t N t N t x y x y x y x y, = 2 3 4 2 2 3 3 4 4, (2.44) care se explcteazå: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jst t t t t s s s s x y x y x y x y, = + + + + 4 2 2 3 3 4 4. (2.45) Prn nversarea rela e (2.43) se pot exprma dervatele func lor de aproxmare în raport cu x y, în func e de dervatele în raport cu s t: [ ] N x N y J N s N t =. (2.46) Dacå se noteazå cu [ ] [ ] J J = se evden azå termen matrce: [ ] J J J J J = 2 2 22, (2.47) atunc termen dn matrcea [B] pot f evalua : 4
N x N y = J N + J s = J N + J s 2 2 22 N t N t ;. (2.48) Fåcând pe rând =,4 nând seama de dervårle utlzate la trecerea dn rela le (2.44) la (2.45), se poate exprma matrcea [B(s,t)]. Calculul matrce de nfluen å: T [ ] [ ] [ h ][ ] k = B k B dd se face utlzând forma standard a ntegrår numerce: 4 4 [ ] = j j ( j) D T [ ] [ h] [ ( j) ] [ ( j) ] k w w B s, t k B s, t det J s, t, (2.49) nând seama de rela a între elementele de ntegrare dd=dxdy=dsdt det[j], unde det[j] este determnantul Jacobanulu. 2.4.3.2. Elementul zoparametrc 2D påtratc. Este un element patrulater cu latur curbe, defnte de 8 nodur, patru fnd nodur de col, ar celelalte patru dspuse la jumåtatea laturlor (fg.2.). Necunoscutele nodale sunt sarcnle hdraulce în cele 8 nodur. Nodurle ntermedare de pe latur permt defnrea polnoamelor påtratce pentru aproxmarea sarcn hdraulce în acela tmp curbarea laturlor patrulaterulu. Fg.2.. Elementul zoparametrc 2D påtratc. 42
n sstemul de coordonate st func le de aproxmare au forma datå de rela le (2.3). Sarcna hdraulcå coordonatele cartezene dn sstemul global se exprmå prn ntermedul func lor de aproxmare: (, ) = [ Hst N N L N 2 8 H H 2 ] ; (2.50) M H 8 x y xst (, ) N N N x = yst (, ) 0 2 0 L 8 0 2 N N N 0 0 2 L 0 8 y2 M y8. (2.5) Pentru calculul matrce de nfluen å [k] este necesar så se exprme matrcea: [ B] N = x N y N x N y 2 2 L L N8 x N, (2.52) 8 y în sstemul natural de coordonate st. La fel ca în cazul elementulu zoparametrc lnar 2D, se ne seama de rela le (2.42) dntre dervatele par ale exprmate în raport cu cele douå ssteme de axe. Jacobanul dn rela a (2.43) are în acest caz forma extnså: N, = s N t [ Jst ( )] N s N t L N 2 8 L s N 2 8 t x x M x y y M y 2 2 8 8. (2.53) Inversarea rela e (2.43) conduce în acest caz la: 43
N x N = y [ J] N s N t, în care dervarea func lor de aproxmare în raport cu sstemul (s,t) este medatå, nând seama de expresle (2.3). Rela le (2.47) (2.48), cu ajutorul cårora se calculeazå termen matrce [B] sunt valable în acest caz. Rela a de calcul a ntegrale ce permte evaluarea matrce de nfluen å [k] are aceea structurå cu rela a (2.49), doar cå dmensunle matrcelor [B(s,t j )] sunt de aceastå datå 2x8 fa å de 2x4 cât erau în cazul elementulu lnar, ar matrcea de nfluen å va f de 8x8, fa å de 4x4. 2.4.4. ELEMENTUL IZOPARAMETRIC 3D LINIAR Este un element hexaedral cu 8 nodur (fg. 2.2). Necunoscutele nodale sunt sarcnle hdraulce în cele 8 nodur. Fg.2.2. Elementul zoparametrc 3D lnar. n sstemul natural de coordonate str func le de aproxmare au expresle date de rela le (2.33): N = ( s)( t)( ) 8 + r ; N2 = s 8 + + t M ( )( )( r) N8 = s t 8 + + ( )( )( r) ;, (2.54) 44
ar sarcna hdraulcå se exprmå prn ntermedul acestora în func e de valorle nodale: ( ) Hstr NH NH NH,, = + + + 2 2 8 8 L. (2.55) Trecerea dn stemul cartezan global xyz în sstemul natural str se face utlzând acelea func de aproxmare: ( ) ( ) ( ) xstr ystr zstr N N N N N N N N N x y z x y z,,,,,,. = 2 8 2 8 2 8 8 8 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L L L M (2.56) Pentru calculul matrce de nfluen å [k] este necesar så se exprme matrcea: [ ] B N x N x N x N y N y N y N z N z N z = 2 2 2 L L L 8 8 8, (2.57) în sstemul natural str. Rela le dntre dervatele par ale exprmate în cele douå ssteme de coordonate au forma cunoscutå: [ ] N s N t N r x s y s z s x t y t z t x r y r z r N x N y N z J N x N y N z = =. (2.58) Matrcea Jacobanulu transformår [J] se determnå nând seama de rela le (2.56): 45
N s N,, = t N r [ Jstr ( )] N s N t N r L N 2 8 L s N 2 8 L t N 2 8 r x y z x y z 2 2 2 M M M x8 y8 z8, (2.59) care se explcteazå cu u urn å efectuând dervatele de ordnul I ale expreslor (2.54). Prn nversarea rela e (2.58) se ob ne matrcea [B(s,t,r)], în func e de coordonatele naturale: [ B] = [ J] N s N t N r N s N t N r L 2 8 L 2 8 L 2 8 N s N. (2.60) t N r Evaluarea matrce de nfluen å se face prn ntegrare numercå Gauss, utlzând rela a standard (2.37): n n n [ ] = j k j k ( j k) T [ ] [ h] [ ( j k) ] [ ( j k) ] k w w w B s, t, r k B s, t, r det J s, t, r, unde, det[j] este determnantul matrce de transformare [J]. 2.4.5. TRANSFORMÅRI ALE CARACTERISTICILOR HIDRAULICE n cazul medlor ortotrope, conductvtå le hdraulce dn matrcea: kx 0 0 = 0 ky 0 (2.6) 0 0 kz [ kh ] sunt cunoscute în sstemul local de coordonate x'y'z', ata at drec lor prncpale de anzotrope. Pentru a evalua matrcea de nfluen å a elementulu, matrcea [k h ] trebue defntå în raport cu sstemul global de coordonate xyz. 46