Modele dnamce de conducere opmală a acvăţ frme Modelul dnamc al frme Unul dnre cele ma mporane modele dezvolae în leraura de specalae ese acela în care frma ese prvă ca un ssem dnamc. Aces model analzează corelaţa dnamcă dnre nvesţle făcue dn profurle aduse de acvele corporale, nvesţle făcue dn crede ş polca de dvdende a frme. poezele modelulu: poeza. Frma are o producţe omogenă, ar funcţa de producţe ese lnară: unde: - sun bunurle de capal, exprmae valorc. Se face poeza că o unae de capal ese egală cu o unae moneară s-a ales drep numerar unaea de capal; - repreznă nvelul producţe, exprma valorc; - repreznă producvaea mede a capalulu, c. Se presupune că producvaea mede ese egală cu producvaea margnală. Toaă producţa se presupune că se vnde, asfel încâ socul de producţe fnă ese zero. poeza. Funcţa de vânzăr S ese pozvă, src concavă ş sasface legea venurlor descrescăoare la scala de fabrcaţe: S p cu: - S - funcţa de ven; - p - funcţa nversă a cerer paţa produsulu fn ese cu compeţe mperfecă; p <
4 Modelul dnamc al frme S S S > < > > Propreăţle funcţe de vânzăr araă fapul că aceasa ese crescăoare în rapor cu producţa ş cu randamene descrescăoare la scală. De asemenea, producţa nu poae f negavă. poeza. Sngurul npu ese consu de bunurle capal. Deprecerea capalulu amorzarea ese proporţonală cu valoarea capalulu a, a fnd raa de amorzare. Venul ne dn vânzăr proful bru ese: Π [ p a] 4 poeza 4. Sngurul p de acve corporale ale frme, bunurle capal, po f fnanţae dn împrumuur ş/sau acţun: Y 5 unde: valoarea acţunlor; Y valoarea credelor. Se cunosc, de asemenea, valorle nţale ale capalulu, acţunlor ş împrumuurlor Y Y. poeza 5. Creşerea valor oale a acţunlor a capalulu socal se realzează prn acumulăr dn prof. & E 6 unde: - & - creşerea valor acţunlor; - E - parea dn prof ulza penru creşerea valor acţunlor. Proful poae f ulza penru nvesţ ş/sau penru creşerea valor acţunlor. unde: E f [Π ry] D 7 f raa de mpozare a profulu corporal; r raa dobânz; ry valoarea dobânz; f[π ry] proful ne după mpozare ş plaa daorlor.
Modele dnamce de conducere opmală a acvăţ frme 5 unde: D valoarea dvdendelor; E acumulărle dn prof sun parea care rămâne dn profurle corporale, după plaa mpozulu ş a dvdendelor. poeza 6. nvesţle nee sun: a & 8 nvesţa bruă; a deprecerea capalulu. & & Y& relaţa de dnamcă a balanţe. 9 poeza 7. Volumul credulu ese resrcţona la o pondere dn valoarea capalulu socal: unde: unde: Y k k ponderea maxmă a împrumuulu. poeza 8. Cosurle unare depnd de srucura de fnanţare: c N ; N, Y, fnanţarea dn acţun auofnanţare; Y fnanţarea dn împrumu maxm; fnanţarea mxă. poeza 9. Penru demararea acvăţ, venul margnal în momenul nţal depăşeşe cosul margnal orcare dnre cosurle unare: S > max{ c N } N S-a făcu poeza că cosul unar ese egal cu cosul margnal. poeza. Frma se dezvolă numa dacă venul ne dn vânzăr ese pozv: Π poeza. Paţa fnancară ş paţa moneară se consderă a f două peţe dsnce, asfel încâ preţurle pe cele două peţe sun dfere: f r unde: ese preţul pe paţa fnancară consdera ca randamen al acţunlor dvdendele care revn la o unae moneară plăă de acţonar
6 Modelul dnamc al frme pe acţun; penru frmă ese un cos, ese cosul une acţun: frma rebue să asgure penru fecare unae moneară plăă de acţonar pe acţun, o revenre. f r ese cosul unar al credulu. Înrucâ raa de mpozare se aplcă după plaa daorlor, la o unae moneară prof ne după mpozare, revne ma puţn de o unae moneară dobândă. Ese parea dnr-o unae moneară de prof care revne penru amorzarea credulu. poeza. Valoarea acţunlor în momenul nţal ese src pozvă: > Performanţa modelulu: maxmzarea valor frme calculaă ca sumă de dvdende acualzae pe nervalul [, T] ş a valor reale fnale a capalulu socal. Varable de decze conrol: nvesţa bruă; Y volumul credelor; D valoarea dvdendelor. Varable de sare: valoarea acţunlor; valoarea bunurlor capal. Modelul dnamc al frme T d e T max e D D, T. f [ Π ry ] D f [ Π r ] D & a, resrcţ lnare asupra săr : 4 k 5 Observaţe: dn poeza 7 rezulă că Y k, care împreună cu relaţa de balanţă conduce la:
Modele dnamce de conducere opmală a acvăţ frme 7 k Y k k resrcţ lnare asupra comenz D: 7 6 max D D D max D D resrcţ lnare asupra comenz : 9 8 max mn max mn Aplcarea prncpulu lu Ponreaghn Consrum Hamlonanul probleme: [ ] { },,,,,, a D r f D D H Π Lagrangeanul probleme: [ ] { },,,,,,,,,,,, max 4 max mn ` 4 D D D k a D r f D D L Π Condţle de opm: [ ] 5 4 4 Π D L L r f a L k r f L & & Condţle 4 ş 5 repreznă condţ de maxmzare a Lagrangeanulu. [ mn ] 6
8 Modelul dnamc al frme [ max ] 7 D 8 4 [ Dmax D ] 9,,4 [ ] [ k ],, Elmnăm cazurle în care ş D sun pe lmele arfcale: > > > D D 4 max mn max a 4 b a dn 4 & dn : a f Π r [ ] [ Π r] f 4 b dn 5: & & dn : { f r} k & 5 Calculăm proful margnal: Π Π S S [ S a ] a a 6 Transformăm ecuaţle de dnamcă ale varablelor adjunce în ecuaţe de dnamcă a mulplcaorulu. Înlocum în 4 pe ş rezulaul obţnu în 6:
Modele dnamce de conducere opmală a acvăţ frme 9 Tr. Nr. 4 5 [ S a r] f 7 Condţle de opm devn: [ f r] k 8 & [ S a ] - 9 f r 4 4 > mn 4 4 max > D 44 45 46 4,, 47 [ ] 48 [ k ] 49 Traecor neadmsble >, >, k k conrazce poeza >
4 Modelul dnamc al frme & dn 8 f r conrazce poeza. Traecor de bază admsble Traecora nr. >,, > > dn 44, D ; nu se plăesc dvdende o proful se renveseşe. > dn 49, k k împrumu- ur maxme. 9 f [ S' a r ] [ S' a r ] > S' > a r venul margnal dn vânzăr ese ma mare decâ cosul margnal în cazul fnanţăr dn împrumu maxm ş acţun o proful în aces caz se renveseşe. a r S ' > c a r a r c Noăm soluţa ecuaţe S c. Pe raecora : S ese descrescăoare, dec < ; producţa ese ma mcă decâ valoarea saţonară. Y k Y & k& & f S a ry D & > Y& > [ ] { Y Pe raecora, acţunle cresc ş împrumuurle cresc. > penru a exsa comuaţe, la începuul ş la sfârşul raecore, sfârşul raecore. lm & < lma la < τ τ lm & > lma la începuul raecore. > τ τ
Modele dnamce de conducere opmală a acvăţ frme 4 Dn 8 & { f r} { k { f r} k & & > { f } k > > f r k > f r la începuul raecore acţunle sun scumpe ş credele efne. Traecora nr. >,, > dn 44, D ; pe raecora nu se plăesc dvdende. dn 48, > ; pe raecora se fac împrumuur. dn 49, < k < k Y < k împrumuurle nu sun la maxm. f S' a r ' ' f S a r S a r 44 9 [ ] { { [ ] { a r S' a r S ' c saţonară:, a raecora ese & capalul nu creşe pe raecora. Începuul raecore : & >, dn 8 > f r acţunle sun scumpe ş credele efne; dec nu se plăesc dvdende, ar împrumuul ş o proful se renveseşe. Sfârşul raecore : & <, dn 8 < f r acţunle sun efne ş credele scumpe; se plăesc dvdende.
4 Modelul dnamc al frme Traecora nr. >, >, > dn 44, D ; pe raecora nu se plăesc dvdende. > dn 48 nu se fac împrumuur, Y Y & auofnanţare. f S a r 9 [ ] [ ] { f S a r < S a r < S < a r 44 > > S < c S ese descrescăoare: >, > & >, capalul creşe pe raecora. D & > acţunle cresc pe raecora. Începuul raecore : & >, dn 8 > f r Sfârşul raecore : & <, dn 8 < f r Traecora nr.4, >, dn 44, D ; se plăesc dvdende. > > dn 48 nu se fac împrumuur, Y f S a r 9 { [ ] { [ S a r ] f [ S a ] f r 5 8 & { fr} { k { 5 { fr} { fr} f [ S a r ] S a c f c cosul unar în cazul auofnanţăr Venul margnal dn vânzăr ese egal cu cosul margnal al fnanţăr dn acţun auofnanţăr.
a Modele dnamce de conducere opmală a acvăţ frme 4 Traecora 4 ese saţonară & Y& & valoarea acţunlor nu creşe > 8 { fr} fr < < fr pe raecora 4 acţunle sun efne ş credele sun scumpe. Traecora 5,, > dn 44, D ; se plăesc dvdende. > dn 48 > se fac împrumuur, Y >. > dn 49 k Y k împrumuur la maxm. 9 [ ] { f S a r [ S a r ] f 5 8 & { fr} { > k { fr} k k S a r c Y k k f c Y cosul margnal al fnanţăr dn împrumuur maxme ş plaa dvdendelor. Venul margnal dn vânzăr ese egal cu cosul margnal al fnanţăr dn împrumu maxm ş plaa dvdendelor. S c Y raecora 5 ese saţonară Y Y a Y &. D > &. & Y & & valoarea împrumuurlor nu creşe. 8 & { fr} { k
44 Modelul dnamc al frme > { fr} k > fr pe raecora 5 acţunle sun scumpe ş credele sun efne se jusfcă împrumuul maxm ş plaa dvdendelor. TRAECTOR FNALE Trebue să verfce condţle de ransversalae: S x T, T γ j h x j x γ h x T T j j, j, γ j În cazul nosru: h T,T [T T] h T,T [ k T T] ST,T T Varablele de sare sun: T valoarea acţunlor T valoarea capalulu j x T, T T γ kγ 5 T γ γ 5 γ,γ 54 γ [T T] 55 γ [ k T T] 56 Dn 55 56 ese mposbl cazul în care γ > ş γ > înrucâ aceasa ar însemna T T ş k T T k. Dn 5 T γ γ ş conform 44 T, ar dn observaţa că nu po f ambele src pozve γ γ 54. Şm că T
Modele dnamce de conducere opmală a acvăţ frme 45 T T γ kγ T T Sngurele raecor care sasfac acese condţ sun: Traecora 4, pe care < fr Traecora 5, pe care > fr Şrur de raecor opmale care se fnalzează cu raecora 5 Condţ pe care rebue să le sasfacă predecesoarea: Pe raecora 5 Y k la sfârşul predecesoare Y k Pe raecora 5 la sfârşul predecesoare Y Pe raecora 5 > fr la sfârşul predecesoare > fr 4 Pe raecora 5 la sfârşul predecesoare Dn abelul de ma jos: Traecora Predecesor admsbl Cauza DA sasface...4 NU nu sasface NU nu sasface 4 NU nu sasface rezulă că sngura predecesoare posblă ese raecora. Predecesor raecore Cernţele predecesoare Traecora Predecesoare Y & Y & ş crescăoare Y k la sfârşul predecesoare Y k < Y pe raecora predecesoare < Y > f r > f r > Nc una dnre raecor nu poae precede raecora. Traecora de magsrală va cuprnde doar TR 5 sau succesunea de raecor TR TR 5, în funcţe de condţle nţale:
46 Modelul dnamc al frme Condţ nţale < k k Y Y Traecora opmă TR 5 TR TR 5 Evoluţa capalulu k k k Şrur de raecor opmale care se fnalzează cu TR4 Predecesor raecore 4 TR 4 La sfârşul predecesoare Y Y < f r < f r TR sasface smulan oae condţle. Predecesor raecore TR La sfârşul predecesoare > pe oaă raecora predecesoare < f r < f r Y Y Sngura raecore care sasface acese cernţe ese raecora. Predecesor raecore TR La sfârşul predecesoare < & & Y & > < f r > Sngura raecore care sasface acese cernţe ese raecora. Traecorle de magsrală, penru cazul < f r, po f snezae, în funcţe de condţle nţale, în abelul de ma jos:
Modele dnamce de conducere opmală a acvăţ frme 47 Condţle nţale Traecora opmală ş TR 4 ş < < TR TR 4 ş TR TR TR 4 k ş < k TR TR TR TR 4 Rezumaul raecorlor de bază TR Srucura Nvelul nr. fnancară producţe & & D Condţ de fezablae Y k < < Y < k Y > 4 Y < f r 5 Y k > f r Cosurle frme Y c Y cosul fnanţăr dn împrumu maxm k c Y a r k k f k coa pare dn împrumu pe o unae de bun capal k Y k k Y k, k Y k k k r dobânda pe o unae de bun capal k raa de revenre a acţonarlor, înane de plaa mpozulu. f Dvdendele se plăesc după mpozare înane de mpozare rebue nclusă în cos valoarea. f
48 Modelul dnamc al frme k parea dnr-o unae moneară plăă pe acţun, care revne la o unae de bun capal. k k k cosul une acţun al dvdendelor, pe o unae de k f bun capal. a cosul deprecer capalulu k a r cosul oal care revne la o unae de k k f bun capal k a r cosul oal pe o unae de produs fn k k f c a r cosul fnanţăr mxe oae profurle se renvesesc ş nu se plăesc dvdende; fnanţare dn împrumu maxm ş acţun. c a cosul fnanţăr numa dn acţun f împrumuurle sun zero ş se plăesc dvdende. c Y nclude a cos de producţe Pe acţun k f Cos de fnanţare k Dn împrumuur r k
Modele dnamce de conducere opmală a acvăţ frme 49 Traecor de magsrală a Cazul în care împrumuurle sun efne f r < D,,,Y Y Y Y k k Y k Y Y Y k Y D D TR: creşere,v TR5: saţonară T Fgura. Traecora de magsrală în cazul credelor efne k, deoarece k. Pe raecora < Y < Y. k Frma porneşe de la valorle nţale ş se dezvolă înrucâ & >, & >, Y & >, cu crede maxme, până în momenul în care S c Y, momen în care frma comuă pe raecora saţonară. Pe raecora venul margnal dn vânzăr ese ma mare decâ cosul margnal în cazul fnanţăr dn împrumu maxm. Dorm să arăăm că aceasă condţe margnală mplcă fapul că venul margnal al une acţun ese ma mare decâ cosul margnal al une acţun da de venul mnm. Avem: π proful margnal al bunurlor capal; π k r k proful margnal al bunurlor capal după plaa daorlor căre bancă; π k f r k proful margnal al bunurlor capal după plaa daorlor căre bancă ş după mpozare;
5 Modelul dnamc al frme k mulplcaor al puer de cumpărare a capalulu socal: deoarece k rezulă că o unae moneară nvesă în capalul socal pe acţun ese egală cu k unăţ moneare de bunur capal daoră împrumuulu ş ma depare că venul margnal al une acţun al une unăţ moneare nvesă în acţun ese egal cu k venul margnal al bunurlor capal al une unăţ moneare nvesă în bunur capal. π k k f r k venul margnal al une acţun. π k Pornnd de la S > c Y rezulă k f r k >, unde ese cosul margnal al acţun. Înr-adevăr, dn S > c Y ş ţnând con că c Y k a r k k f π deoarece rezulă S a > k r k k f π S a avem succesv: k > k r f π π k k k r > k f f r k >. Dacă venul margnal al acţun ese ma mare decâ cosul margnal al acţun nu se plăesc dvdende D, acţonar renvesnd oae câşgurle până când nvelul producţe ajunge la nvelul Y corespunzăor profulu maxm. Acţonar nu vor spor capalul pese valoarea Y, deoarece va scădea aâ venul margnal al acţun în rapor cu cosul său margnal, câ ş venul margnal dn vânzăr în rapor cu cosul margnal al producţe. & Rezulă că dec pe raecora 5 oae profurle se împar & acţonarlor: D f [π Y r Y ] f [π r k ] b Cazul în care acţunle sun efne la începuul peroade < f r În cazul raecore de magsrală precedene, se păsrează aceeaş srucură de fnanţare pe înreg nervalul [, T]: > f r. În cazul acese raecor de magsrală se va schmba srucura de fnanţare în mpul procesulu de creşere. Y Y Y ş
Modele dnamce de conducere opmală a acvăţ frme 5 Cazul < f r la începuul peroade de creşere D,,, Y V k k Y k O creşere consoldare creşere saţonară T,,,V Fgura.4 Traecora de magsrală penru cazul credelor scumpe TR. Frma îş demarează acvaea cu o valoare mcă a acţunlor <. În cuda credelor scumpe, frma porneşe acvaea k cu împrumu maxm, daoră fapulu că venul margnal dn vânzăr ese ma mare decâ cosul margnal al fnanţăr mxe fecare unae de bun capal achzţona dn împrumu va aduce un prof pozv dec frma nveseşe la maxm dn împrumu ş câşg, raa de creşere a frme fnd maxmă. Să arăăm că la începuul raecore < S > c proful margnal al une unăţ de bun capal ese ma mare decâ cosul de fnanţare, dacă fnanţarea s-ar face numa dn împrumu dec se jusfcă împrumuul maxm. S > c a r π S a S π a > a r π > r f π > f r.
5 Modelul dnamc al frme Deoarece f π > f r frma va arage împrumu maxm penru a-ş maxmza vânzărle. Înrucâ la începuul peroade de sudu acţunle sun efne, frma va renves oae câşgurle acţonar renunţă la dvdende. Defnm formula de pârghe: Y R E R T R T c π k R E k f r k ese venul margnal al acţun R T f π ese venul margnal al capalulu după mpozare c f r ese cosul margnal al împrumuulu Y Dacă R T > c ponderea împrumuulu rebue să crească penru ca venul margnal al acţun R E să crească. Dacă R T < c Y rebue să scadă penru ca RE să crească. În cazul raecore avem R T > c, dec Y rebue să crească. TR : Când a deven egal cu S c acţonar au re posblăţ de împărţre a câşgurlor: să accepe plaa dvdendelor; să le ulzeze penru dezvolare ajungându-se la un ven margnal ma mc decâ cosul margnal al împrumuulu f r, ceea ce ese exclus; să ulzeze câşgurle penru plaa daorlor căre bănc penru amorzarea credelor, economsnd f r penru fecare unae de capal împrumua. Deoarece < f r, a rea varană ese cea ma economcă până la momenul, frma îş achă oae daorle, fnalzând peroada de consoldare. TR : La sfârşul raecore, după faza de consoldare, < S > c a f S [ π a] > a f c π > f π > venul margnal al bunurlor capal ese f ma mare decâ cosul margnal al bunurlor capal fnanţae prn acţun pe raecora nvesţa neă se face dn acţun.
Modele dnamce de conducere opmală a acvăţ frme 5 După ce ş-a plă daorle frma începe o peroadă de creşere pe raecora prn auofnanţare, până când, când începe raecora saţonară, pe care se plăesc dvdende. TR 4: f π venul margnal al capalulu ese egal cu cosul margnal în cazul fnanţăr dn acţun capalul a ans valoarea maxmă se vor plă dvdende: D f π