,1 SUBIECTUL II (0p) Variana 1001 a b 1 Se consider maricea A = b a, cu a, b i b 0 a) S se arae c dac maricea X ( ) verific relaia AX = XA, aunci exis uv,, asfel încâ u v X = v u n n n n * n x ( ) ( ) ( ) ( ) b) S se arae c n, n yn a + b + a b a+ b a b A =, unde xn, y y n n x = = n c) S se rezolve în mulimea ( ) 1 X = 1 Se consider 7 6 a i polinomul f X ax 5ˆ [ X] = + + a) S se verifice c, penru orice b 7, b ˆ0, are loc relaia b 6 = ˆ1 6 b) S se arae c x + ˆ5 = ( x 4)( ˆ x + 4), ˆ x 7 c) S se demonsreze c penru orice 7 7 a, polinomul f ese reducibil în [ ] 7 X SUBIECTUL II (0p) Variana 00 1 Se consider maricea A ( ), A = 1 1 a) S se arae c exis a asfel încâ 009 b) S se calculeze ( A A ) A = aa 5 c) S se rezolve ecuaia X = A, X ( ) Penru ab, din mulimea M = [0, ) se definee operaia a b= ln( e + e 1) a) S se arae c dac a, b M, aunci a b M b) S se arae c legea de compoziie ese asociaiv c) Penru n, n, s se deermine a M asfel încâ a a a= a de nori a a b
SUBIECTUL II (0p) Variana 00 0 1 1 1 Se consider maricea A = 1 0 1 ( ) 1 1 0 a) S se verifice egaliaea b) S se calculeze 1 A A A = I c) S se arae c A 009 A 008 008 ( A I ) Se consider cunoscu c (,, ) + = + ese un inel comuaiv, unde x y = x+ y i x y = x y x y+ 1, x, y a) S se arae c elemenul neuru al legii de compoziie ese 4 b) S se deermine ab, asfel încâ înre inelele (,, ) i (, +, ) s exise un izomorfism de forma f :, f( x) = a x+ b c) S se rezolve în mulimea ecuaia de 009 ori x 009 xx x= + Variana 4 4 SUBIECTUL II (0p) Variana 004 1 1 Se consider maricea A = 1 a) S se calculeze rangul maricei A b) S se demonsreze c de( A A) = 0 c) S se deermine o marice nenul B ( ), asfel încâ AB O = Se ie c ( G, ) ese grup, unde G = (, ) i x y = ( x )( y ) + Se consider funcia f :(0, ) G, f( x) = x+ a) S se calculeze 45 6 b) S se demonsreze c funcia f ese un izomorfism de grupuri, de la ((0, ), ) la (, ) G c) S se demonsreze c dac H ese un subgrup al lui G care conine oae numerele naurale k 4, aunci H conine oae numerele raionale q >
Variana 5 5 SUBIECTUL II (0p) Variana 005 1 Se consider puncele A(0, 6), B(1, 4), C( 1, 8) i maricea 1 1 1 1 M = 0 1 1 a 6 4 8 b, unde ab, a) S se arae c puncele A, B, C sun coliniare b) S se deermine rangul maricei M în cazul a=, b= 0 c) S se arae c dac unul dinre minorii de ordin rei ai lui M, care conin ulima coloan, ese nul, aunci rang( M ) = Pe mulimea definim legea de compoziie x y = 5xy+ 6x+ 6y+ 6 a) S se arae c legea ese asociaiv b) S se deermine elemenele simerizabile ale mulimii în rapor cu legea c) S se rezolve ecuaia x x x x= 1 de 009 ori x Variana 6 6 SUBIECTUL II (0p) Variana 006 1 4 5 1 Se consider permuarea σ= S5 1 5 4 a) S se calculeze 009 σ b) S se dea exemplu de o permuare τ S5 asfel încâ τσ e i ( τσ ) = e c) S se demonsreze c, penru orice τ S5, exis p asfel încâ τ = e Se consider a, x 1 x, x rdcinile ecuaiei x x + x a= 0 i deerminanul Δ= x1 x x x x1 x x x x1 a) Penru a = 1, s se deermine x1, x i x b) S se arae c, penru orice a, ecuaia are o singur rdcin real c) S se arae c valoarea deerminanului Δ nu depinde de a p
7 SUBIECTUL II (0p) Variana 7007 1 1 4 x+ y+ z+ 4 = Se consider maricele A= 0 1, B= ( 0 0 0 1) i sisemul y+ z+ = 0 0 1 z + = 1 a) S se deermine rangul maricei A b) S se deermine mulimea soluiilor sisemului c) S se demonsreze c ecuaia XA = B nu are soluii X 1, ( ) k k Se consider mulimea A ( ) k k = =, i penru fiecare nom cu H = { A( k 1) k } Se admie fapul c ( G, ) ese un grup, unde ese înmulirea maricelor a) S se arae c n, p, An ( ) Ap ( ) = An ( + p+ 1) b) S se demonsreze c, penru orice, H ese un subgrup al grupului ( G, ) c) S se demonsreze c grupurile ( G, ) i (, + ) sun izomorfe Variana 8 8 SUBIECTUL II (0p) Variana 008 1 1 1 1 Se consider maricea A = 1 1 1 ( ) 1 1 1 a) S se calculeze de ( A ) b) S se arae c c) S se deermine n n n 1 + A = A + I, penru orice n 1 A Se consider a i ecuaia x x+ a= 0, cu rdcinile complexe x1, x, x a) S se calculeze ( x1+ 1)( x + 1)( x + 1) b) S se deermine x i x iind c x 1 = c) S se deermine a penru care x1, x, x sun numere înregi
Variana 9 9 SUBIECTUL II (0p) Variana 009 1 Fie A( x, y ), B( x, y ), C( x, y ) rei punce din plan i maricea M = x y 1 ( ) A A B B C C x x A B C y y A B C 1 1 a) S se arae c, dac A, B, C se afl pe dreapa de ecuaie y= x, aunci de ( M ) = 0 b) S se arae c, dac riunghiul ABC ese drepunghic i are caeele de lungime 1, aunci de ( M ) =± 1 c) S se arae c, dac maricea M ese inversabil, aunci suma elemenelor maricei 1 M ese 1 a b Se consider mulimea de marice A= a, b b a a) S se arae c, dac X A i Y A, aunci X + Y A b) S se arae c, dac X A,Y A i XY = O, aunci X = O sau Y = O c) Admiem cunoscu fapul c A ese inel în rapor cu adunarea i înmulirea maricelor S se deermine elemenele inversabile ale acesui inel Variana 10 10 SUBIECTUL II (0p) Variana 010 1 1 Se consider permurile e, α S, e = 1, 1 α= 1 a) S se calculeze α b) S se rezolve ecuaia α 009 x= e, x S c) S se demonsreze c, oricare ar fi ordinea facorilor, produsul uuror permurilor din S ese permuare impar Fie inelul [] i = { a+ bi a, b } a) S se dea exemplu de un numr complex z asfel încâ z [] i z i b) S se deermine elemenele inversabile ale inelului [] i c) S se arae c mulimea H = ( m+ n) + ( m n) i m, n ese pare sabil a lui [] i în rapor cu înmulirea { } i [ ]
11 Variana 11 SUBIECTUL II (0p) Variana 011 a b c d b a d c 1 Penru abcd,,,, se consider maricea A = c d a b d c b a a) Penru a = c = 1 i b= d = 0, s se calculeze de ( A ) b) S se arae c A A =α I4, unde α= a + b + c + d c) S se demonsreze c dac A O4, aunci A ese inversabil Se consider a, b, c i polinomul încâ x1 1, x 1, x 1 a) S se demonsreze c a b) S se arae c, dac 0 c) S se arae c, dac a= 1, c= 1, aunci b = 1 i maricea ranspus A f = X + ax + bx + c, cu rdcinile 1,, x x x, asfel c <, polinomul are cel puin o rdcin real în inervalul ( ) 0, Variana 1 1 SUBIECTUL II (0p) Variana 01 1 Se consider polinoamele f, g [ X], f = X + X + 1, cu rdcinile complexe x1, x i c b a 1 1 1 g = ax + bx + c, cu a 0 Fie maricele AV, ( ), A = a c b i V = 1 x b a c 1 x 1 x1 x a) S se arae c de ( V ) = ( x x1) g(1) g( x1) g( x) b) S se arae c A V = g(1) x1g( x1) xg( x) g(1) x1g( x1) xg( x) c) S se arae c de ( A ) = 0 dac i numai dac a+ b+ c= 0 sau a = b = c Se consider funcia f : 5 5, f ( x) = x + 4x a) S se calculeze f (0) ˆ i f (1) ˆ b) S se arae c funcia f nu ese surjeciv 4 c) S se descompun polinomul X + ˆ4 X 5[ X] în facori ireducibili pese 5 4 ˆ
Variana 1 1 SUBIECTUL II (0p) Variana 01 x y+ z = 1 1 Se consider sisemul de ecuaii x + y + z =, unde m Penru fiecare m, nom cu S m mx+ y+ z = m mulimea soluiilor reale ale sisemului a) S se deermine m penru care sisemul are soluie unic b) S se arae c penru orice m sisemul ese compaibil c) S se deermine min { x y z ( x, y, z) S } 1 Se consider maricele { ( ) de ( ) 1} G = X X = a) S se verifice c + + 0 1 A = 1 0, 0 1 B = 1 1, 1 0 I = 0 1, C = A B i mulimea A 4 = B 6 = I b) S se arae c ( G, ) ese un subgrup al grupului muliplicaiv al maricelor inversabile de ordin doi, cu elemene numere complexe c) S se demonsreze c C I, penru orice n n 14 SUBIECTUL II (0p) Variana 14014 a b c 1 Se consider maricea A a b c =, unde abc,, a b c a) S se calculeze rangul maricei A b) S se arae c exis d asfel încâ A = da c) S se arae c exis maricele ( ) K M,1 Se consider numrul a i L M 1, ( ) = i i polinomul f [ X] a) S se arae c f( a ) = 0 b) S se deermine rdcinile polinomului f c) S se arae c polinomul f ese ireducibil în [ X ] asfel încâ A= K L, 4 f = X 4X + 16
Variana 15 15 SUBIECTUL II (0p) Variana 015 a b c 1 Fie a, b, c i maricea A = c a b b c a a) S se calculeze de ( A ) b) S se arae c dac a b c 0 + + i A nu ese inversabil în ( ) 1 ax+ by+ cz = x 1 c) S se arae c sisemul de ecuaii liniare cx+ ay+ bz = y 1 bx+ cy+ az = z Se consider polinomul f [ X] a) S se calculeze, 1 1 1 1 + + + x x x x 1 4 4, aunci a = b = c admie numai soluia x= y = z = 0 f = X 5X + 5, cu rdcinile x1, x, x, x4 b) S se arae c polinomul f are oae rdcinile reale c) S se arae c dac g ese un polinom cu coeficieni reali care are proprieaea c penru orice x real g( x) f( x), aunci exis a [ 1,1] asfel încâ g = af Variana 16 16 SUBIECTUL II (0p) Variana 016 a b 1 Se consider mulimea G= X = a, b, a> 0 0 1 a) S se arae c dac A, B G, aunci AB G b) S se gseasc dou marice C, D G penru care CD DC c) S se arae c dac A G, aunci Se consider abc,, i polinomul I A+ A G f = X + ax + bx + c a) S se deermine a, b, c asfel încâ polinomul f s aib rdcinile x1 = x = 1 i x = b) S se arae c dac f are rdcina, aunci f are o rdcin raional c) S se arae c dac abc,,, iar numerele f (0) i f (1) sun impare, aunci polinomul f nu are rdcini înregi
Variana 17 17 SUBIECTUL II (0p) Variana 017 1 1 Se consider maricele A = 0 1 i 8 B = 1 a) S se calculeze A B 4 b) S se calculeze de( I + A+ A + A + A ) c) S se arae c ecuaia X = I are o infiniae de soluii în ( ) 4 Se consider polinoamele f, g [ X], f X X X X 1 M i g = X 1 a) S se deermine resul împririi polinomului f la polinomul g 1 x 1 x 1 x 1 x b) S se calculeze ( 1) ( ) ( ) ( 4) c) S se calculeze g ( x ) g( x ) g( x ) g( x ) 1 4 = + + + +, cu rdcinile x1, x, x, x4 Variana 18 18 SUBIECTUL II (0p) Variana 018 0 0 0 1 Se consider maricea A = 1 0 0 ( ) 1 1 0 a) S se calculeze A b) S se afle rangul maricei I + A + A c) S se deermine inversa maricei Se consider ab, i polinomul f = X + 4aX + 0X + b, cu rdcinile x1, x, x a) S se deermine x1, x, x în cazul a=, b= 0 b) S se demonsreze c ( x1 x) + ( x1 x) + ( x x) = 8(4a 15) c) S se deermine ab, asfel încâ polinomul f s aib o rdcin dubl egal cu a
Variana 19 19 SUBIECTUL II (0p) Variana 019 x + y+ z+ = 1 x y + z + = 0 1 Se consider sisemul i A maricea sisemului x + y z + = 0 x + y+ z = 0 a) S se calculeze de ( A ) b) S se rezolve sisemul 1 c) S se deermine A Fie polinomul f X 4 X ax X 1 [ X] a) S se calculeze b) S se arae c ( ) = + + + i x1, x, x, x4 rdcinile sale 1 1 1 1 + + + x x x x 1 4 1 1 f x = x x + x + a+, x x x c) S se deermine a penru care oae rdcinile polinomului f sun numere reale Variana 0 0 SUBIECTUL II (0p) Variana 00 1 Se consider riunghiul ABC, cu laurile AB = c, BC = a, CA = b i sisemul ay+ bx= c cx+ az = b bz+ cy = a a) S se rezolve sisemul în cazul a=, b= 4, c= 5 b) S se demonsreze c, penru orice riunghi, sisemul are soluie unic,, x, y, z 1,1 c) iind c soluia sisemului ese ( x y z ), s se demonsreze c ( ) 0 0 0 0 0 0 a b Se consider mulimea G= a, b b a a) S se deermine numrul elemenelor mulimii G b) S se arae c AB G, penru orice A, B G c) S se deermine numrul maricelor din mulimea G care au deerminanul nul
Variana 1 1 SUBIECTUL II (0p) Variana 01 1 Penru abc,,, se consider sisemul ax+ by+ cz = b cx+ ay+ bz = a bx+ cy+ az = c, xyz,, a) S se arae c deerminanul sisemului ese Δ= ( a + b + c)( a + b + c ab ac bc) b) S se rezolve sisemul în cazul în care ese compaibil deermina c) iind c a + b + c ab ac bc = 0, s se arae c sisemul are o infiniae de soluii ( x, y, z ), asfel încâ x + y = z 1 a b Se consider mulimea G= abc,, 0 c 4 a) S se deermine numrul elemenelor mulimii G b) S se dea un exemplu de marice A G cu proprieaea c de A 0ˆ i 1ˆ 0ˆ c) S se deermine numrul soluiilor ecuaiei X = 0ˆ 0ˆ, X G de A = 0ˆ Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 0 x+ y+ z = 0 1 Fie sisemul ax + by + cz = 0, cu a, b, c, disince dou câe dou i A maricea sisemului ax+ by+ cz= 1 a) S se arae c de ( A) = ( a+ b+ c)( c b)( c a)( b a) b) S se rezolve sisemul în cazul a+ b+ c 0 c) S se demonsreze c dac a+ b+ c= 0, aunci sisemul ese incompaibil Se consider irul de numere reale ( an) n, cu a 0 = 0 f [ X], cu f (0) = 0 i cu proprieaea c a) S se calculeze f ( 5) b) S se arae c n, f ( a ) c) S se arae c f = X n = a n 1 1 i an+ = an +, n i polinomul f( x + 1) = ( f( x)) + 1, x
Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 0 0 5 1 Se consider maricea A = 1 0 b C A = X = a, b a i mulimea ( ) a 5 b a) S se arae c X C( A), XA = AX b) S se arae c dac Y C( A) i Y = O Y O c) S se arae c dac Z C( A), Z O =, aunci i Z are oae elemenele raionale, aunci de Z 0 Se consider f = X + ˆ X + a X f 0 ˆ + f 1 ˆ + f ˆ a i polinomul [ ] a) S se calculeze ( ) ( ) ( ) b) Penru a = ˆ, s se deermine rdcinile din ale polinomului f c) S se deermine a penru care polinomul f ese ireducibil în [ X ] Variana 4 4 SUBIECTUL II (0p) Variana 04 1 Se consider o marice A ( ) a) S se demonsreze c z b) S se demonsreze c de ( A A ) = 0 c) iind c Se noeaz cu A ranspusa maricei A, X ( ), de ( zx) z de ( X) A A, s se demonsreze c rang ( A A ) = 4 = Se consider polinomul f [ X], cu f = X 5X + 4 a) S se deermine rdcinile polinomului f b) S se deermine polinomul h [ X ], penru care h (0) = 1i ale crui rdcini sun inversele rdcinilor polinomului f g = g 1 = g 1 = g =, c) iind c g ese un polinom cu coeficieni înregi, asfel încâ ( ) ( ) ( ) ( ) s se arae c ecuaia g( x ) = 0 nu are soluii înregi
Variana 5 5 SUBIECTUL II (0p) Variana 05 1 În mulimea S a permurilor de elemene se consider permuarea a) S se verifice c permuarea σ ese par b) S se deermine oae permurile x S, asfel încâ xσ=σ x x c) S se rezolve ecuaia = σ, cu x S Se consider maricea A = 1 1 1 σ= 1 { \ 1 } i mulimea G = X ( a) = I + aa a { } a) S se arae c ab, \{ 1}, X ( a) X ( b) = X ( ab+ a+ b) b) S se arae c ( G, ) ese un grup abelian, unde,, reprezin înmulirea maricelor c) S se deermine asfel încâ X(1) X() X(009) = X( 1) Variana 6 6 SUBIECTUL II (0p) Variana 06 0 1 1 Se consider maricele A = 1 0 i cos sin B = sin cos, cu a) S se arae c dac maricea X ( ) verific relaia AX = XA, aunci exis ab,, asfel încâ a b X = b a b) S se demonsreze c n, * n cos n sin n B = sin n cos n c) S se rezolve în mulimea ( ) ecuaia X = A Se consider a i polinomul a) S se calculeze 1 4 4 f = X X + X + ax 1 [ X] 1 1 1 1 + + +, unde x1, x, x, x4 sun rdcinile polinomului f x x x x b) S se deermine resul împririi polinomului f la ( X 1) c) S se demonsreze c f nu are oae rdcinile reale
Variana 7 7 SUBIECTUL II (0p) Variana 07 1 În mulimea ( ) ', se consider maricele a) S se deermine rangul maricei A+ I 0 0 A = 1 0 i 1 0 I = 0 1 b) S se demonsreze c dac X '( ) asfel încâ AX = XA, aunci exis x, y asfel x 0 încâ X = y x c) S se demonsreze c ecuaia Y = A nu are nicio soluie în mulimea '( ) Pe mulimea se definee legea de compoziie x y = x+ y+ xy a) S se arae c legea ese asociaiv b) Fie funcia f :, f ( x) = x+ 1 S se verifice relaia f ( x y) = f ( x) f ( y), x, y 1 1 1 1 c) S se calculeze 1 008 009 Variana 8 8 SUBIECTUL II (0p) Variana 08 1 0 1 Se consider maricea A = 0 8 a) S se rezolve ecuaia de( A xi) = 0 X verific relaia AX = XA, aunci exis ab, asfel b) S se arae c dac maricea ( ) încâ a 0 X = 0 b c) S se deermine numrul de soluii ale ecuaiei X Se consider mulimea de funcii ( ) = A, X ( ) * { ab, : ab,,, } G = f f x = ax+ b a b a) S se calculeze f 1, f 1,, unde ese compunerea funciilor b) S se demonsreze c ( G, ) ese un grup c) S se arae c grupul G conine o infiniae de elemene de ordin
Variana 9 9 SUBIECTUL II (0p) Variana 09 x+ y+ z = 0 1 Se consider sisemul mx + y + z = m 1, m i maricea x + my + z = 1 a) S se deermine m penru care de ( A ) = 0 1 1 1 A= m 1 1 1 m b) S se arae c penru orice m sisemul ese compaibil c) S se deermine m iind c sisemul are o soluie ( x0, y0, z 0) cu z 0 = Se consider mulimea ( ), submulimea ( ) O 0ˆ 0ˆ 1ˆ 0ˆ = 0ˆ 0ˆ i I = ˆ ˆ 0 1 a) S se verifice c dac x, y, aunci b) S se arae c mulimea H G\{ O} inversabile din ( ) c) S se rezolve ecuaia x y ˆ0 G X a ˆ b = X = b a i maricele + = dac i numai dac x= y = ˆ0 = ese un subgrup al grupului muliplicaiv al maricelor X = I X G, Variana 0 0 SUBIECTUL II (0p) Variana 00 1 Se consider numerele reale a, b, c, funcia 1 1 1 A = a b c i a b c 1 1 1 B = a b c f( a) f( b) f( c) a) S se arae c A = ( a b)( b c)( c a)( a+ b+ c) f :, f( x) = x + x+ i deerminanii b) S se arae c A= B c) S se arae c, penru orice rei punce disince, cu coordonae naurale, siuae pe graficul funciei f, aria riunghiului cu vârfurile în acese punce ese un numr naural divizibil cu 1 Se consider maricea A = 9 i mulimea G = { X ( a) = I + aa a } a) S se arae c ab,, X ( a) X ( 0) = X ( a) i X ( axb ) ( ) = Xa ( + b 10 ab) 1 b) S se arae c mulimea H = X( a) a \ ese pare sabil a lui 10 ( ) în rapor cu înmulirea maricelor c) S se rezolve ecuaia X G,
Variana 1 1 SUBIECTUL II (0p) Variana 01 x+ 1 x 1 1 x 1 1 Penru x se consider maricea Ax ( ) = ( ) a) S se verifice c ( ) A( x) = xa( x) b) S se deermine oae numerele complexe x penru care ( ) ( ) c) S se arae c ecuaia X = A( 0, ) X M ( ) nu are soluii Se consider polinomul f [ X] 100 99 100 99 1 0 f = a X + a X + + a X + a a) S se calculeze a 100 + a 99 100 100, f ( X i) ( X i) b) S se deermine resul împririi polinomului f la X 1 c) S se demonsreze c polinomul f are oae rdcinile reale 4 A( x) + A( x) = O = + +, care are forma algebric Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 0 ax + y + z = 1 1 Se consider în sisemul x + ay + z = 1, a x + y + az = a a) S se arae c deerminanul maricei sisemului are valoarea ( a+ )( a 1) b) S se rezolve sisemul în cazul în care ese compaibil deermina c) S se rezolve sisemul în cazul a = a 10b Se consider mulimea G ( ), G= a, b, a 10b = 1 b a 19 60 a) S se verifice c A= G 6 19 b) S se arae c X Y G, penru oricare X, Y G c) S se demonsreze c mulimea G ese infini
Variana SUBIECTUL II (0p) Variana 0 1 0 0 1 Se consider maricele I = 0 1 0, 0 0 1 a) S se calculeze B 1 b) S se calculeze B c) S se demonsreze c abc,,, ( a+ b+ c) de ( A) 0 Se consider corpul ( 7,, ) H = { x x 7} a) S se arae c H = {0,1, ˆˆˆˆ,4} b) S se arae c, penru orice a 7 exis xy, 7 asfel încâ 000 c) S se arae c { x x } = H 7 0 1 0 B 0 0 1 = i A = ai 1 0 0 + bb + cb, abc,, a = x + y 4 Variana 4 SUBIECTUL II (0p) Variana 04 1 Se consider maricele K = ( 1 4 ) M1, ( ), L= 5 M,1 ( ) i A= LK 6 a) S se calculeze suma elemenelor maricei A b) S se arae c A = A n c) S se arae c rangul maricei A ese 1, oricare ar fi n Pe mulimea se consider legea de compoziie x y = axy x y+ 6, x, y, unde a ese o consan real 1 a) Penru a =, s se demonsreze c legea ese asociaiv 1 b) S se arae c legea admie elemen neuru daci numai dac a = c) S se arae c, dac inervalul [ 0, 6 ] ese pare sabil a lui în rapor cu legea, aunci 1 1 a, 6
5 SUBIECTUL II (0p) Variana 505 1 1 1 Se consider maricele A = 0 i 1 4 a) S se arae c ecuaia AX B b) S se verifice c A = 10A c) S se deermine rangul maricei B = 1 5 = are o infiniae de soluii ( ) * A, adjunca maricei A X Se consider mulimea [ ] = { a+ b a, b }, funcia f : [ ], f( a+ b ) = a b, ab, a) S se arae c 7+ 5 A b) S se arae c, penru orice xy, c) S se arae c mulimea A ese infini,1 { 1} i mulimea A x f ( x) = =, f ( xy) f ( x) f ( y) = 6 SUBIECTUL II (0p) Variana 606 0 0 1 Se consider maricele O = 0 0 a b i A = c d ( ) a) S se arae c a+ d = 0 b) S se arae c maricea I + A ese inversabil c) S se arae c ecuaia AX O Se consider polinomul, cu proprieaea c = are o infiniae de soluii în mulimea ( ) 4 A = O f = X X + 9, cu rdcinile x1, x, x, x4, numrul a= + i { } {,grad } i mulimile A = g( a) g [ X] i B h( a) h [ X] ( h) a) S se calculeze f ( a ) b) S se calculeze x1 + x + x + x4 c) S se arae c A= B =
Variana 7 7 SUBIECTUL II (0p) Variana 07 a a+ 1 a+ 1 Se consider maricea A= b b+ 1 b+, cu ab, 1 1 a a) S se arae c de ( A) ( a b)( a 1) b) S se calculeze de ( A A ) = c) S se arae c rang A, ab, Se consider polinomul f [ X] x1, x, x, f X px qx r = + + +, cu,, ( 0, ) 0, a) S se demonsreze c f nu are rdcini în inervalul [ ) pqr i cu rdcinile b) S se calculeze x1 + x + x în funcie de p, q i r c) S se demonsreze c dac a, b, c sun rei numere reale asfel încâ a+ b+ c< 0, ab + bc + ca > 0 i 0 abc <, aunci,, (,0) abc Variana 8 8 SUBIECTUL II (0p) Variana 08 0 0 0 1 Se consider maricea A = 1 0 0 i mulimea de marice 1 1 0 a) S se calculeze A b) S se arae c dac X ( ) i AX = XA, aunci X M c) S se arae c ecuaia Se consider polinomul X a) S se arae c numrul f ( ) f ( 1) b) S se arae c, penru orice, = A nu are soluii în M ( ) 4 f = ax + bx + c, cu abc,, ese numr par xy, numrul f ( x) f ( y) a 0 0 M= b a 0 abc,, c b a ese divizibil cu x y c) S se deermine coeficienii polinomului f iind c f (1) = 4 i f( b ) =
Variana 9 9 SUBIECTUL II (0p) Variana 09 x+ y+ z = 0 1 Se consider sisemul ax + by + cz = 0, cu abc,, bcx + acy + abz = 0 a) S se calculeze de ( A ) i A maricea sisemului b) S se rezolve sisemul, în cazul în care a, b, c sun disince dou câe dou c) S se deermine mulimea soluiilor sisemului, în cazul în care a = b c Se consider mulimea M = { a+ b 5 a, b, a 5b = 1} a) S se arae c x = 9+ 4 5 M b) S se demonsreze c M ese grup în rapor cu înmulirea numerelor reale c) S se demonsreze c mulimea M are o infiniae de elemene 40 Variana 40 SUBIECTUL II (0p) Variana 040 1 0 0 1 1 Se consider maricele I = 0 1 0, A = 9 6, 0 0 1 6 4 B = I + A, C = I + aa, cu a a) S se calculeze S = A XY b) S se deermine a asfel încâ BC = I c) S se arae c Se consider polinomul n+ 1 n A = 14 A, n 1 X = f = X 1 [ X] i numrul \, Y = ( 1 ), ε, asfel încâ ( ) 0 a) S se demonsreze c ε +ε+ 1= 0 x+ y+ z= 0 b) S se rezolve în mulimea numerelor complexe sisemul x + y ε+ z ε = 0 x + y ε + z ε= 0 f ε = c) S se arae c, dac f divide f1( X ) + Xf( X ) + X f( X ), unde f1, f, f sun polinoame cu coeficieni compleci, aunci fiecare dinre polinoamele f1, f, f ese divizibil cu X 1
Variana 41 41 SUBIECTUL II (0p) Variana 041 1 Penru pqr,,, se consider sisemul x + py + p z = p x + qy + q z = q x + ry + r z = r a) S se arae c deerminanul sisemului ese Δ= ( p q)( q r)( r p) b) Dac p, q, r sun disince, s se rezolve sisemul 1,1,1, aunci cel puin dou dinre numerele pqr,, c) S se arae c, dac sisemul are soluia ( ) sun egale a b Se consider inelul ( A, +, ) unde A= a, b 5 b a a) S se deermine numrul elemenelor mulimii A b) S se rezolve în mulimea A ecuaia X = I c) S se arae c ( A, +, ) nu ese corp 4 Variana 4 SUBIECTUL II (0p) Variana 04 0 1 1 Se consider maricele AB, ( ), cu AB BA = A i maricele A0 = 0 0, 1 0 B0 = 0 a) S se deermine rangul maricei A 0 b) S se arae c A0B0 B0A0 = A0 n n n c) S se demonsreze c A B BA = na, penru orice n, n Se consider polinomul f [ X], f = 4X 1X + ax + b a) S se deermine ab,, asfel încâ polinomul f s se divid cu polinomul X 1 b) S se deermine ab,, asfel încâ ecuaia f ( x ) = 0 s aib soluia x= i c) S se deermine ab,, asfel încâ polinomul s aib rdcinile x1, x, x în progresie arimeic i, în plus, 1 11 x + x + x =
4 Variana 4 SUBIECTUL II (0p) Variana 04 a b 1 1 Se consider mulimea M = a, b, c, d c d i maricea A = M 1 a) Câe marice din mulimea M au suma elemenelor egal cu 1? 1 b) S se arae c A M 1 c) S se deermine oae maricele inversabile B M care au proprieaea B M 4 Se consider ecuaia x 8x + ax + 8x+ b= 0, cu ab, i cu soluiile x1, x, x, x4 x + x x + x + x x + x x + x + x x x + x + x x x = a a) S se arae c ( )( ) ( ) ( ) 1 4 1 4 1 4 1 4 8 b) S se deermine a asfel încâ x1+ x4 = x + x c) S se deermine ab,, asfel încâ x1, x, x, x 4 s fie în progresie arimeic Variana 44 44 SUBIECTUL II (0p) Variana 044 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 Se consider maricele A = 0 0 0 0 i B = 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 a) S se calculeze AB + BA rang A + B = rang A+ rang B b) S se arae c ( ) n n n c) S se demonsreze c ( ), A+ B = A + B n Se consider polinomul f X 4 ax 4X 1 [ X] = + + + cu rdcinile x1, x, x, x4 a) S se deermine a asfel încâ polinomul f s se divid cu X + 1 4 1 1 1 1 b) S se arae c polinomul g = X + 4X + ax + 1 are rdcinile,,, x x x x 1 4 c) S se arae c, penru orice a, polinomul f nu are oae rdcinile reale
Variana 45 45 SUBIECTUL II (0p) Variana 045 0 1 Se consider maricele A =, 1 0 B = 1 1 a) S se arae c B C( A) b) S se arae c dac X C( A) c) S se rezolve ecuaia { } i mulimea ( ) ( ), aunci exis x, y, asfel încâ X + X = A Se consider mulimea G = ( 1,1), funcia : ( x, y) x y, unde x+ y x y=, x, y G 1 + xy f G, f ( x) C A = X XA = AX x 0 X = y x 1 x = i corespondena 1 + x a) S se arae c aceas coresponden definee o lege de compoziie pe G b) S se arae c x, y G, f( x y) = f( x) f( y) c) iind c operaia " " ese asociaiv, s se calculeze 1 1 1 9 Variana 46 46 SUBIECTUL II (0p) Variana 046 a b 1 Se consider maricea A = ( ) c d a) S se demonsreze c x b) Dac c) iind c, ( ) ( ) A = O, s se demonsreze c a+ d = 0 A O =, s se calculeze de ( A I ) Se consider mulimea ( ) ( a, b) ( c, d) = ( ac+ bd, ad + bc) de A xi = x a + d x + ad bc + {, 1 } G = a b a b = i operaia a) S se deermine a penru care ( a,15) G b) S se arae c, penru orice ( a, b),( c, d) G, (, ) (, ) c) S se arae c ( G, ) ese grup a b c d G
Variana 47 47 SUBIECTUL II (0p) Variana 047 1 1 Se consider maricele A = 4, 1 1 B = 0 1 f ( X ) = AX XA a) S se deermine rangul maricei A b) S se calculeze f ( B ) c) S se arae c ecuaia f ( X) = B nu are soluii Se consider polinoamele f, g [ X], x1, x, x rdcinile polinomului f i funcia f : ( ) ( ) f = X + a X a,, g = ax a X 1, cu a) S se calculeze x1 + x + x b) S se arae c rdcinile polinomului g sun inversele rdcinilor polinomului f c) S se arae c polinoamele f i g nu au rdcini reale comune * a i 48 Variana 48 SUBIECTUL II (0p) Variana 048 x+ y+ z = 1 1 Se consider sisemul x y+ z = 1, unde a i b sun parameri reali 7x y+ az = b a) S se deermine a penru care deerminanul sisemului ese egal cu zero b) S se deermine valorile paramerilor ab, penru care sisemul ese incompaibil c) S se arae exis o infiniae de valori ale numerelor a i b penru care sisemul admie o soluie x, y, z, cu x, y, z în progresie arimeic ( ) cos sin Se consider mulimea G= X () = sin cos a) S se arae c X () X ( u) = X ( + u),, u b) S se deermine iind c X () ( ) c) S se arae c mulimea G formeaz grup abelian în rapor cu înmulirea maricelor
49 Variana 49 SUBIECTUL II (0p) Variana 049 x+ ay = 1 1 Se consider a, sisemul y + az = a i A maricea sa z + x 1 a) S se arae c de A 0 b) S se arae c soluia sisemului ese forma din rei numere în progresie geomeric c) S se deermine inversa maricei A Se consider pe legea de compoziie da de relaia x y= xy 5x 5y+ 0, x, y i mulimea G = ( 5, ) a) S se arae c legea " " are elemen neuru b) S se demonsreze c G ese grup abelian în rapor cu legea " " c) S se rezolve în grupul ( G, ) sisemul x y = z y z = x z x = y Variana 50 50 SUBIECTUL II (0p) Variana 050 a 1 Se consider maricele 1 a a A =, ( ) b1 b b, ranspusa A, ( ), B = AA, i puncele Pk ( ak, b k), unde k { 1,, } a) S se calculeze B iind c P 1 (1,), P (,4), P (, 6) b) S se arae c de ( B) 0, oricare ar fi puncele P1, P, P c) S se arae c de ( ) 0 B = dac i numai dac puncele P1, P, P sun coliniare pe o dreap care rece prin originea axelor ˆ1 a b Se consider mulimea 0ˆ 1ˆ 0 ˆ M = a, b 5 0ˆ 0ˆ 1ˆ a) S se deermine numrul elemenelor mulimii M b) S se arae c AB M, penru orice A, B M c) S se arae c ( M, ) ese un grup, unde ese înmulirea maricelor
Variana 51 51 SUBIECTUL II (0p) Variana 051 1 Fie irul ( n ) n 0 F, da de F 1 = F + F 1, n, F0 = 0, F1 = 1 i maricea n+ n n a) S se verifice relaia b) S se arae c, dac X M( ), X O i AX = XA, aunci X ese inversabil n F c) S se arae c n 1 F A + n =, n 1 Fn F n 1 1 4 5 1 4 5 Fie σπ, S5, σ=, 1 5 4 π= 1 4 5 a) S se demonsreze c σπ πσ n b) S se deermine numrul elemenelor mulimii H { n * } n c) S se arae c H = { π n * } ese un subgrup al grupului 5 = π ( S, ) 1 1 A = 1 0 Variana 5 5 SUBIECTUL II (0p) Variana 05 1 4 5 6 1 Se consider permuarea σ S6, σ= 4 5 6 1 a) S se deermine 1 σ b) S se arae c permurile σ i c) S se arae c ecuaia 1 σ au acelai numr de inversiuni 4 x =σ nu are soluii în grupul ( 6, ) S Fie legea de compoziie, defini pe prin x y = xy x y+, x, y, i funcia f :, f( x) = x+ 1 a) S se arae c (1, ) ese pare sabil în rapor cu b) S se demonsreze c f( xy) = f( x) f( y) penru orice xy, c) iind c legea ese asociaiv, s se rezolve în ecuaia xx x= 105 de 10 ori x
Variana 5 5 SUBIECTUL II (0p) Variana 05 1 Penru orice marice A ( ), se noeaz C( A) = { X ( ) AX = XA} Se consider maricele 0 1 0 0 1 0 0 0 E1 =, E, E, E4 0 0 = 1 0 = = 0 0 0 1 a) S se arae c dac X, Y C( A), aunci X + Y C( A) b) S se arae c dac E1, E C( A), aunci exis α asfel încâ A=α I c) S se arae c dac C( A ) conine rei dinre maricele E1, E, E, E 4, aunci o conine i pe a para 1 4 5 Fie a = 1 4 5, 1 4 5 b = 1 4 5 dou permuri din grupul ( S5, ) a) S se rezolve în S 5 ecuaia ax = b b) S se deermine ordinul elemenului ab în grupul ( S5, ) c) Fie k cu k b = e S se arae c 6 divide k Variana 54 54 SUBIECTUL II (0p) Variana 054 0 1 1 Se consider maricele A = 1 0 i 0 1 B = 1 1 a) S se verifice c AB BA b) S se arae c 4 6 A + B = I c) S se arae c, penru orice n, ( AB) n I F, F = 0, F = 1, F = F + F, n 1 i polinoamele Se considerirul ( n) 0 1 n+ 1 n n 1 n n n n n n 1 P, Q [ X], P= X X 1, Q = X F X F, n a) S se arae c polinomul X X 1 ese divizibil cu P b) S se deermine rdcinile reale ale polinomului Q c) S se arae c, penru orice n, polinomul Q n ese divizibil cu P
Variana 55 55 SUBIECTUL II (0p) Variana 055 a b 1 Maricea A = ( ) b a a) S se arae c b) S se arae c, dac a i irurile ( x ), ( y ) n+ n+ n n x 1+ y 1 = ( a + b )( x + y ), n + b 1, aunci irurile ( x ), ( y ) n n n n verific n+ 1 yn+ 1 n n n n c) S se arae c, dac a = 1 i b =, aunci xn+ 6 64xn Se consider corpul ( 11,, ) a) S se arae c ecuaia x = ˆ8 nu are soluii în 11 b) S se deermine numrul polinoamelor de grad doi din 11[ X ] c) S se arae c polinomul X + X + ˆ1 ese ireducibil în [ ] 11 X x x A n =, n y n sun mrginie 56 Variana 56 SUBIECTUL II (0p) Variana 056 1 Se consider maricea A = ( ) 1 i funcia f : ( ) ( ), f ( X) = AX a) S se arae c f ( A) = I b) S se arae c f( X + f( X)) = X + f( X), X ( ) c) S se arae c funcia f ese bijeciv 1 0 Se consider maricea A = 1 1 i mulimea M = { X ( ) AX = XA} a) S se arae c dac X, Y M, aunci XY M b) S se arae c G = { X M dex 0} ese grup în rapor cu înmulirea maricelor c) S se deermine elemenele de ordin doi din grupul G, defini la puncul b)
Variana 57 57 SUBIECTUL II (0p) Variana 057 4 x 1 Fie maricele ( ) i n x A= M,1( ), y cu n+ 1 xn A, n n y = n+ 1 y i x0 = 1, y0 = 0 n a) S se deermine x1, x, y1 i y b) S se arae c x + y = (+ ), n n n n c) S se arae c xn+ 6xn+ 1+ xn = 0, n 0 Se consider mulimile de clase de resuri ˆˆˆˆˆˆ ˆ 7 = {0,1,,,4,5,6} i 6 = {0,1,,,4,5} a) S se rezolve în corpul ( 7, +, ) ecuaia ˆx + 4ˆ = 0 ˆ b) S se deermine ordinul elemenului ˆ în grupul ( 7, ) * 6 7 c) S se arae c nu exis niciun morfism de grupuri f :(, + ) (, ) cu ( ) ˆ f = 58 SUBIECTUL II (0p) Variana 58058 a b 1 Fie abcd>,,, 0, maricea A = c d i funcia ( ) ( ) : 0, 0,, ( ) ax + b f f x = cx + d n a Se noeaz n b A n = cn d n, unde n * a) S se arae c dac de A = 0, aunci f ese funcie consan b) S se arae c, dac de A 0, aunci funcia f ese injeciv c) S se arae c ( )( ) ax n + bn f f f f x =, n cx+ d de n ori f n 1 0 0 1 Se consider maricele A=, B 0 0 = 0 0 i mulimea G= { I + aa+ bb a, b, a 1} a) S se arae c orice marice din G ese inversabil b) S se arae c G ese un subgrup al grupului muliplicaiv al maricelor inversabile din ( ) c) S se arae c ecuaia X = I are o infiniae de soluii în G n
59 SUBIECTUL II (0p) Variana 59059 mx + y + z = 0 1 Se consider sisemul x + y + z = 0, cu m x y 4z 0 a) S se deermine m penru care maricea sisemului are deerminanul nenul b) S se deermine m asfel încâ sisemul s admi cel puin dou soluii c) S se deermine m penru care drepele d1: mx+ y+ 1= 0, d: x+ y+ = 0, d: x y+ 4= 0 sun concurene m n Se consider mulimea H = m, n 5, m=± 1 0 1 1 1 4 0 1 a) S se verifice c dac A = 0 1 i B = 0 1, aunci B A= A B b) S se arae c H ese un grup cu 10 elemene în rapor cu înmulirea maricelor c) S se deermine numrul elemenelor de ordinul din grupul H 60 Variana 60 SUBIECTUL II (0p) Variana 060 1 1 Se consider maricea A = 4 i funcia f : ( ) ( ), f ( X) = AX a) S se calculeze f ( A) b) S se arae c ( f f)( X) = O, X ( ) c) S se arae c f( X) + f( Y) I, X, Y ( ) { } Se consider mulimea ( ) P = A AA = I, unde A ese ranspusa maricei A 0 1 a) S se verifice dac maricea 1 0 aparine mulimii P b) S se arae c înmulirea maricelor deermin pe mulimea P o srucur de grup necomuaiv c) S se arae c, dac AB, P, X ( ) i AX = B, aunci X P
Variana 61 61 SUBIECTUL II (0p) Variana 061 1 a b 1 Se consider mulimea G= Mab, Mab, = 0 1 0, a, b ( ) 0 0 1 a) S se arae c M, M, = M,, a, b, c, d a b c d a+ c b+ d b) S se arae c orice marice din G ese inversabil c) S se calculeze, în funcie de a i b, rangul maricei Ma, b Ma, b ( M ab, ese ranspusa lui M ab, ) Se consider un grup ( K, ), unde K { eabc,,, } a) S se rezolve în grupul K ecuaia b) S se arae c ab = c c) S se arae c grupul (, ) x =, e ese elemenul neuru i = e K nu ese izomorf cu grupul ( ) 4,+ a = b = c = e 6 Variana 6 SUBIECTUL II (0p) Variana 06 a b 1 Fie maricea A = ( ) c d cu proprieaea c A = A 1 a) S se arae c maricea B = 1 verific relaia B = B b) S se arae c, dac a+ d, aunci A = O sau A = I c) S se arae c, dac a d de A = 0 Se consider polinoamele + =, aunci ( ) 4 6 f, g [ X], f = X 1, g = X 1 a) S se arae c un cel mai mare divizor comun al polinoamelor f i g ese X 1 b) S se deermine numrul soluiilor complexe disince ale ecuaiei f ( x) g( x ) = 0 c) S se descompun polinomul f în facori ireducibili în [ X ]
Variana 6 6 SUBIECTUL II (0p) Variana 06 1 Se consider mulimile { ( ) P = S S = S} a) S se arae c 1 P 1 i 0 Q 0 b) S se arae c, dac A, B Q, aunci AB P { } i ( ) Q = A A = A c) S se arae c de ( X ) 0, oricare ar fi X Q Se consider polinoamele f = X + X + X + 45 [ X] i f ˆ X X ˆ1 [ X ] = + + a) S se arae c rdcinile din ale polinomului f nu sun oae reale b) S se arae c polinomul ˆf nu are rdcini în c) S se demonsreze c polinomul f nu poae fi scris ca produs de dou polinoame neconsane, cu coeficieni înregi Variana 64 64 SUBIECTUL II (0p) Variana 064 x y 1 Fie mulimea M = x, y y x i maricea A = 1 a) S se arae c dac Y ( ) i AY = YA, aunci Y M b) S se arae c dac X M i de ( X ) = 0, aunci X = O c) S se arae c n * A M, n 5 4 Se consider polinomul f = X X + X X [ X] a) S se deermine o rdcin înreag a polinomului f b) S se calculeze 1 5 x + x + + x, unde x1, x,, x 5 sun rdcinile polinomului f c) S se arae c f are o singur rdcin real
Variana 65 65 SUBIECTUL II (0p) Variana 065 ax + y + z = 4 1 Se consider sisemul x + y + z = 6, cu ab, x y z = b a) S se deermine ab, penru care sisemul are soluia (1,1,1) b) S se deermine ab, asfel încâ sisemul s fie incompaibil c) S se arae c penru orice a exis b asfel încâ sisemul s admi soluii cu oae componenele numere înregi a 0 0 Se consider mulimea de marice A= 0 a 0 a, b, c b c a a) S se deermine numrul elemenelor mulimii A b) S se arae c, penru orice X A, X = I sau X = O c) S se deermine numrul maricelor X din mulimea A care au proprieaea X = O 66 Variana 66 SUBIECTUL II (0p) Variana 066 1 Fie drepele d1: x+ y =, d:x 4y = 1, d:4x+ y = m, unde m a) S se deermine m asfel încâ drepele s fie concurene b) S se demonsreze c exis o infiniae de valori ale lui m penru care vârfurile riunghiului deermina de cele rei drepe au oae coordonaele înregi c) S se calculeze valorile lui m penru care riunghiul deermina de cele rei drepe are aria 1 Fie polinomul f = X ax ax +, cu a i cu rdcinile complexe x1, x, x a) S se calculeze f ( 1) b) S se deermine a penru care polinomul are rei rdcini reale c) S se deermine a asfel încâ x1 + x + x =
Variana 67 67 SUBIECTUL II (0p) Variana 067 x+ y+ z = 1 1 Fie sisemul x+ my+ z = 1, cu m i maricea x+ my+ mz = a) S se calculeze de ( A ) b) S se arae c rang( A), oricare ar fi m 1 1 1 A= 1 m 1 1 m m c) S se deermine valorile înregi ale lui m 1, penru care sisemul are soluie cu componene înregi 14 14 14 Fie permurile α=, β=, 41 14 γ= 41, elemene ale grupului ( S4, ) a) S se verifice c γ ese soluie a ecuaiei α x = xβ b) S se arae c α 4 4 = β c) S se deermine o soluie a ecuaiei xβ = α x în S 4 Variana 68 68 SUBIECTUL II (0p) Variana 068 1 Se consider maricele A ( ) i B= A+ A, unde a) S se arae c B = B b) S se demonsreze c, dac B I de A 1 =, aunci ( ) c) S se demonsreze c, dac xy, i maricea A ese ranspusa maricei A xa+ ya ese inversabil, aunci x+ y 0 Se consider ecuaia x + px+ q= 0, p, q, i x1, x, x soluiile complexe ale aceseia a) iind c p = 1 i q = 0, s se deermine x1, x, x b) S se deermine p i q iind c x 1 = 1+ i 7 7 7 1 1 1 c) S se arae c 1( x + x + x ) = 7( x + x + x )( x + x + x )
Variana 69 69 SUBIECTUL II (0p) Variana 069 1 1 0 1 Fie maricea A = 0 0 1 ( ) 0 1 0 a) S se verifice relaia b) S se arae c n A A= A I n c) S se arae c, penru orice A A = A I, n, n n *, suma elemenelor maricei Penru fiecare n se definee polinomul Pn = X 1 [ X] a) S se deermine rdcinile complexe ale polinomului P 4 b) S se descompun polinomul P în facori ireducibili în [ X ] c) S se descompun polinomul 6 P în facori ireducibili în [ X ] n n A ese n + Variana 70 70 SUBIECTUL II (0p) Variana 070 1 Penru orice dou marice AB, ( ) se definee maricea [ A, B] = AB BA a) Penru ( ), [ A, A ] b) S se arae c, penru orice ( ), * [ A, A ] = O, unde c) S se arae c, penru orice,, ( ) Se consider inervalul H = ( 0,1) * A ese adjunca maricei A,[, ] +,[, ] +,[, ] = ABC, [ A BC] [ B C A] [ C AB] O ab a) S se arae c relaia a b= definee o lege de compoziie pe H ab+ (1 a)(1 b) b) S se arae c funcia x f: ( 0, + ) ( 0,1 ), f ( x) = are proprieaea f( xy) = f( x) f( y), x, y> 0, x + 1 unde legea " " ese defini la puncul a) c) iind c legea "" H, ecuaia xxx= 1 defini la puncul a) ese asociaiv, s se rezolve în mulimea ( )
Variana 71 71 SUBIECTUL II (0p) Variana 071 1 Se consider deerminanul de ordin n, 1 0 a) S se calculeze D = 1 1 0 1 b) S se verifice c Dn = Dn 1 Dn, n 4 c) S se arae c D = n+ 1, n n 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 D n = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 Un grup ( G, ), cu elemenul neuru e, are proprieaea ( p) dac x = e, x G a) S se verifice c mulimea, împreun cu legea de compoziie da de ( ab, ) ( cd, ) = ( a+ c, b+ d), abcd,,, ese un grup care are proprieaea ( p) b) S se arae c dac un grup G are proprieaea ( p ), aunci ( xy) = x y, x, y G c) S se arae c orice grup care are proprieaea ( p ) ese comuaiv Variana 7 7 SUBIECTUL II (0p) Variana 07 1 1 1 1 Se consider maricea A = 1 1 1 ( ) 1 1 1 a) S se rezolve ecuaia de( I + xa ) = 0, x b) S se deermine o marice B ( ) cu proprieaea B = A c) S se arae c ( ) C M ( ), x, de( C + xa)de( C xa) de C Se consider polinomul p = X X + m cu m i cu rdcinile x1, x, x a) iind c m = 6, s se deermine x1, x, x b) S se calculeze 4 4 4 1 + + x x x c) S se deermine m penru care polinomul p are oae rdcinile înregi
7 Variana 7 SUBIECTUL II (0p) Variana 07 a b 1 Fie maricea M = c d ( ) Se asociaz fiecrui punc A( xy, ) puncul AM ( x', y '), unde x' a bx = y ' c dy a) iind c a= 1, b=, c=, d = 4 i c A( 1,1), s se deermine coordonaele puncului M b) iind c a= 1, b=, c=, d = 4, s se arae c oae puncele A M se afl pe dreapa c) Fie A, B, C rei punce în plan Dac se noeaz cu S i S M ariile riunghiurilor ABC, respeciv A B C, aunci S = S de M M M M M a b c Se consider mulimea A= ˆ0 a d abcd,,, 0ˆ 0ˆ a a) S se deermine numrul elemenelor mulimii A b) S se arae c mulimea A ese pare sabil în rapor cu înmulirea maricelor din ( ) c) S se rezolve ecuaia X = X, cu X A Variana 74 74 SUBIECTUL II (0p) Variana 074 0 1 1 1 Se consider maricea A = 1 0 1 0 a) S se calculeze de A b) S se verifice relaia A( A + 6 I ) = O c) S se arae c de( I + xa ) 0, x Se consider ab, i polinomul p = X + ax + X + b, cu rdcinile x1 x,, x a) iind c a = b = 1, s se afle rdcinile polinomului p b) S se deermine a i b, iind c polinomul p are rdcina dubl 1 c) În cazul b = 1, s se deermine valorile lui a penru care polinomul p are o rdcin raional
Variana 75 75 SUBIECTUL II (0p) Variana 075 1 1 1 Se consider maricele A = 1 1, 1 1 a) S se calculeze produsul AB b) S se arae c M xmy = Mxy, xy, c) S se arae c, penru orice x real nenul, ( ) Se consider polinomul 4 * 1 1 1 B = 1 1 1 i 1 1 1 de M 0 a) S se verifice c 1 1 1 1 x1 + x + x + x4 = + + + x1 x x x4 x x 1 M x = A+ B, cu x * x p= X ax ax + 1, cu a i cu rdcinile x1, x, x, x4 b) S se arae c polinomul p nu ese divizibil cu X 1 penru nicio valoare a lui a 1 c) S se arae c dac a =, aunci oae rdcinile polinomului p au modulul 1 Variana 76 76 SUBIECTUL II (0p) Variana 076 1+ a ab ac 1 Se consider maricea A = ba 1+ b bc ca cb 1+ c a) S se calculeze deerminanul maricei A * b) S se verifice c ( ) de( A ) = de A, cu abc,, i * A adjunca sa c) S se arae c maricea A I are rangul cel mul 1 se definee funcia f : G G, Fie ( G, ) un grup Penru fiecare elemen a G a) S se arae c f a ese bijeciv, penru orice a G b) S se arae c f f = f, a, b G a b ab c) Fie ( G) = { f : G G a G} S se arae c ( G) funciilor formeaz un grup a a f ( x) = ax, x G împreun cu operaia de compunere a a
77 Variana 77 SUBIECTUL II (0p) Variana 077 x y mz = 1 1 Se consider sisemul mx+ y+ mz = 1 m, m mx + y + z = 1 a) S se calculeze deerminaul maricei sisemului b) S se arae c, penru orice m, maricea sisemului are rangul cel puin egal cu c) S se deermine m penru care sisemul ese incompaibil Se consider 0 G α = α, Pe se definee legea de compoziie x y = xy 6 x+ y + 7 α a) S se arae c penru, α> un numr real i mulimea ( ) ( ) α= cuplul ( G ) b) S se arae c grupurile ( ),, G i ( * +, ) ese grup abelian sun izomorfe, prin funcia * + f : G, f( x) = x 6 c) S se arae c, penru orice α, mulimea G α ese pare sabil a lui în rapor cu operaia V Variana 78 78 SUBIECTUL II (0p) Variana 078 x y+ 4z 5 = 1 1 Se consider sisemul x+ 9y+ mz+ =, mn,, p 5x 6y+ 10z+ n = p a) S se deermine p asfel încâ sisemul s admi o soluie (,,, ) x y z cu z0 = 0 = 0 0 0 0 0 b) S se arae c, penru orice mn,, rangul maricei sisemului ese mai mare sau egal cu c) S se deermine mnp,, penru care sisemul ese compaibil, iar maricea sisemului are rangul m Fie mulimea Q 0 = m, n, m i n sunimpare i G = Q0 Pe G se definee legea de n q, k q, k = q q, k + k, q, q Q, k, k compoziie ( ) ( ) ( ) a) S se arae c ( G, ) ese grup abelian 1 1 1 1 1 0 1 b) S se calculeze ( 1,1) ( 1, ) ( 1,10 ) ( ) c) S se arae c funcia f : G, f ( q, k) = q k ese un izomorfism înre grupurile (, ) G i ( ),
79 Variana 79 SUBIECTUL II (0p) Variana 079 1 Se consider sisemul x+ my+ z = 1 x + ( m 1 ) y z 1, m x + my ( m ) z m 1 a) S se deermine m penru care sisemul are soluie unic b) S se deermine m penru care sisemul ese compaibil nedeermina c) Penru 1 m = s se deermine soluiile reale (,, ) Pe mulimea [ 0,1) fracionar a numrului real a x y z ale sisemului penru care x y + z = 14 0 0 0 0 0 0 G = se definee legea de compoziie x y= { x+ y}, unde {a} ese parea a) S se calculeze 4 G, ese grup abelian b) S se arae c ( ) c) S se rezolve ecuaia 1 x x x=, x G 80 Variana 80 SUBIECTUL II (0p) Variana 080 1 4 5 1 Fie permuarea σ= S 4 5 1 5 a) S se deermine numrul inversiunilor lui σ b) S se deermine numrul elemenelor mulimii A c) Fie τ S5 asfel încâ Fie f : n i mulimea A { σ n } = τσ = σ τ S se arae c τσ = στ o funcie i mulimea H = T f ( x+ T) = f ( x), x a) S se arae c, dac T H, aunci T H { } b) S se demonsreze c H ese subgrup al grupului (, + ) c) S se deermine mulimea H penru funcia f :, f ( x) = { x}
Variana 81 81 SUBIECTUL II (0p) Variana 081,1 B 1 m, 1 Fie m i puncele A( m ), ( ), C( m 1, m 1) m 1 1 M = 1 m 1 m+ 1 m+ 1 1 a) S se calculeze de ( M ) + + Se consider maricea b) S se arae c puncele A, B, C sun necoliniare, oricare ar fi m c) S se arae c aria riunghiului ABC ese mai mare sau egal cu 15 a b Fie mulimea de marice A= a, b 5 b a a) S se dea un exemplu de marice nenul din mulimea A care are deerminanul ˆ0 ˆ 1ˆ 0ˆ 0ˆ b) S se arae c exis o marice nenul M A asfel încâ M = 1ˆ ˆ 0ˆ 0ˆ ˆ 1ˆ c) S se rezolve ecuaia X = 1ˆ ˆ Variana 8 8 SUBIECTUL II (0p) Variana 08 ( ) x+ ay+ b+ c z = 0 1 Se consider sisemul de ecuaii liniare cu coeficieni reali x + by + ( c + a) z = 0 x + cy ( a b) z 0 a) S se calculeze deerminanul maricei sisemului b) S se arae c, penru orice abc,,, sisemul admie soluii nenule c) S se rezolve sisemul, iind c a b 1,1,1 ese soluie a sisemului i c ( ) x iy Se consider mulimea G= x, y, x + y 0 iy x a) S se demonsreze c G ese pare sabil în rapor cu înmulirea maricelor din ( ) b) S se arae c ( G, ) ese grup abelian c) S se arae c funcia f :(, ) ( G, ) grupuri cu ( ),, x iy f x+ iy = x y iy x ese izomorfism de
Variana 8 8 SUBIECTUL II (0p) Variana 08 x y+ z = 1 1 Fie sisemul de ecuaii liniare x+ ( m m 1) y+ ( m+ 1) z = x+ ( m m ) y+ ( m+ 1) z =, unde m a) S se demonsreze c sisemul are soluie unic daci numai dac m \{ 0,1 } b) S se arae c penru m {0,1} sisemul ese incompaibil c) S se arae c dac ( x0, y0, z0) ese soluie a sisemului, aunci x0 y0 + 009 z0 = 1 a b Se consider mulimile H = { a a 7} i, ˆ ˆ G = a b 7, a 0 sau b 0 b a a) S se deermine elemenele mulimii H b) Fie x, y H asfel încâ x+ y = ˆ0 S se arae c x= y = ˆ0 c) S se arae c G ese grup abelian în rapor cu operaia de înmulire a maricelor 84 Variana 84 SUBIECTUL II (0p) Variana 084 x+ y z = 1 Se consider sisemul de ecuaii liniare x y+ z = m, unde mn, nx + y z = 4 a) S se deermine m i n penru care sisemul admie soluia x 0 =, y 0 =, z 0 = 1 b) S se deermine n penru care sisemul are soluie unic c) S se deermine m i n penru care sisemul ese compaibil nedeermina ˆ1 a b Se consider mulimea G 0ˆ 1ˆ 0 ˆ = a, b 0ˆ 0ˆ 1ˆ a) S se deermine numrul de elemene ale mulimii G b) S se arae c G ese grup în rapor cu operaia de înmulire a maricelor din ( ) c) S se arae c X = I, oricare ar fi X G
V Variana 85 85 SUBIECTUL II (0p) Variana 085 x+ y+ z = 0 1 Fie A maricea coeficienilor sisemului x y+ mz = 0 x + y + z = 0, unde m a) S se calculeze de ( A ) b) S se deermine m asfel încâ sisemul s admi soluii nenule c) S se arae c, dac m = 0, aunci expresia nenul (,, ) x y z a sisemului 0 0 0 0 + 0 + 0 0 0 0 z y x z y x 4 ese consan, penru orice soluie Se consider ab, i polinomul f = X 4X + 6X + ax + b, care are rdcinile complexe x1, x, x, x 4 a) S se deermine a i b iind c f are rdcina i b) S se calculeze ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) 1 4 + + + c) S se deermine valorile reale ale numerelor a i b iind c oae rdcinile polinomului f sun reale 86 Variana 86 SUBIECTUL II (0p) Variana 086 x + ay + ( a + b) z = a + b 1 Se consider sisemul x + a y + ( a + b ) z = a + b, unde ab, x + a y + ( a + b ) z = a + b a) S se calculeze deerminanul maricei sisemului b) S se deermine ab, asfel încâ sisemul s fie compaibil deermina c) S se arae c, penru orice valori rele ale paramerilor a i b sisemul are soluie f = ˆX + 1ˆ X Se consider polinomul [ ] a) S se deermine gradul polinomului 4 f b) S se arae c polinomul f ese elemen inversabil al inelului ( 4 [ X ], +, ) c) S se deermine oae polinoamele g [ X ] 4 de gradul 1 cu proprieaea c g = ˆ1
V Variana 87 87 SUBIECTUL II (0p) Variana 087 A, care are oae elemenele egale cu 1 1 Fie maricea ( ) a) S se demonsreze c A = A b) S se calculeze ( de I ) A + c) S se demonsreze c dac ( ) B ese o marice cu proprieaea AB= BA, aunci suma elemenelor de pe fiecare linie i de pe fiecare coloan ale lui B ese aceeai Fie 1 i ε = + i ( ε) = { a+ bε a, b } a) S se arae c ε ( ε) b) S se demonsreze c inversul oricrui elemen nenul din ( ε ) aparine mulimii ( ε ) c) S se arae c mulimea M { a ab b a, b } = + ese pare sabil a lui în rapor cu înmulirea Variana 88 88 SUBIECTUL II (0p) Variana 088 1 1 1 Fie m i A= 1 m 1 ( ) m + 4 1 0 a) S se calculeze de ( A ) b) S se deermine m asfel încâ marice A s fie inversabil 1 c) S se deermine m asfel încâ A = A Se consider corpul (,, ) f, g, f = X X, g = X + ˆX + ˆ a) S se deermine rdcinile din ale polinomului f b) S se arae c polinomul g ese ireducibil în [ X ] c) S se deermine oae polinoamele h [ X ] de gradul rei, asfel încâ h( x) g( x) =, oricare ar fi x
Variana 89 89 SUBIECTUL II (0p) Variana 089 x1 x = a 1 Se consider sisemul de ecuaii liniare x x4 = b, unde ab, x1+ x + x + x4 = 1 a) S se arae c, penru orice valori ale lui a i b, sisemul ese compaibil b) S se deermine, x, x, x, x cu proprieaea c ab asfel încâ sisemul s admi o soluie ( ) 1 4 x1, x, x, x4 i x1+ x sun ermeni consecuivi ai unei progresii arimeice c) S se demonsreze c, dac sisemul are o soluie cu oae componenele sric poziive, aunci a + b< 1 Fie polinomul f X X 5X 1 [ X] a) S se calculeze ( 1 x )( 1 x )( 1 x ) = + + i x1, x, x rdcinile sale 1 b) S se arae c polinomul f nu are nicio rdcin înreag c) S se calculeze 1 1 1 1 x x + x x + x x + x x + x x + x x Variana 90 90 SUBIECTUL II (0p) Variana 090 1 Fie M mulimea maricelor de ordin cu elemene reale având proprieaea c suma elemenelor fiecrei linii ese 0 a) S se arae c, dac A, B M, aunci A+ B M b) S se arae c orice marice din M ese neinversabil c) S se demonsreze c, dac A M, aunci A M Se consider inelele = { a+ b a, b } i = { a+ b a, b } a) S se arae c, dac x i b) S se arae c = x = +, aunci x c) S se demonsreze c nu exis morfisme de inele de la la
Variana 91 91 SUBIECTUL II (0p) Variana 091 1 1 Se consider maricea A = x 4, unde x a) S se deermine x iind c b) Penru x = s se calculeze A 009 A = 5A c) S se deermine x penru care ( A A ) rang + = 1 4 Fie abc,, i polinomul f = X + ( a 1) X + ( a + ) X + bx + c a) S se deermine a, b, c, iind c a = b = c, iar resul împririi lui f la X + 1ese 10 b) iind c x 1, x, x, x 4 sun rdcinile lui f, s se calculeze 1 4 c) S se deermine abc,, i rdcinile polinomului f în cazul în care f are oae rdcinile reale 9 Variana 9 SUBIECTUL II (0p) Variana 09 1 1 1 Fie maricea A = 1 1 i mulimea G = { X ( ) AXA = O}, unde maricei A a) S se arae c dac X, Y G, aunci X + Y G b) S se arae c, dac X G, aunci suma elemenelor lui X ese egal cu 0 c) S se arae c dac X G n i de X = 0, aunci X G penru orice n * f = X 4 6X + 18X 0X + 5 X Se consider polinomul [ ] a) S se arae c polinomul f se divide cu X X + 5 b) S se arae c polinomul f nu are nicio rdcin real c) S se arae c rdcinile polinomului f au acelai modul A ese ranspusa
Variana 9 9 SUBIECTUL II (0p) Variana 09 1 0 1 Se consider maricea A = ( ) 1 a) S se calculeze A b) S se deermine ( ) 1 A A c) S se rezolve ecuaia X = A, X ( ) Fie, ab i polinomul f = X 0 X 0 + ax 10 + X 5 + ax + b [ X] a) S se arae c resul împririi polinomului f la X + 1 nu depinde de a b) S se deermine a i b asfel încâ resul împririi polinomului f la c) S se deermine a i b asfel încâ polinomul f s fie divizibil cu X ( X 1) X s fie X Variana 94 94 SUBIECTUL II (0p) Variana 094 a a b a b 1 Fie abc,, i maricea A = 0 b b c 0 0 c a) S se arae c A ese marice inversabil n n n n n a a b a b b) S se demonsreze c n 0 n n n A = b b c, oricare ar fi n n 0 0 c 1 c) S se calculeze A un polinom asfel încâ f ( X + X + 1) = f ( X) + f ( X) + 1 i f ( 0) = 0 Fie f [ X] a) S se deermine f ( 1) b) S se deermine resul împririi polinomului f la X 5 c) S se demonsreze c f = X