UNVERSTATEA "POLTEHNA" DN BUUREŞT ATEDRA DE FZĂ LABORATORUL DE MEANĂ BN 1b MOMENTELE DE NERŢE ALE ORPURLOR Ş TEOREMA LU STENER 7 8
MOMENTELE DE NERŢE ALE ORPURLOR Ş TEOREMA LU STENER 1. Scopul lucrăr - Deternarea experentală a oentelor de nerţe ale dverselor corpur (dsc, sferă, clndru pln, clndru gol) faţă de axa lor de setre ş copararea rezultatelor cu cele teoretce. - Verfcarea experentală a teoree lu Stener; - Deternarea experentală a constante elastce unghulare a arculu ş copararea cu valoarea dată în referat.. Teora lucrăr Moentul de nerţe al unu corp în raport cu o axă este defnt ca sua produselor dntre asele partculelor eleentare ale corpulu,, ş pătratele razelor lor de graţe, ρ, (dstanţele lor la axa de rotaţe): = ρ. (1) Se observă că oentul de nerţe este o ăre fzcă ce expră dstrbuţa ase corpulu în raport cu o axă fxă. Dacă dstrbuţa ase corpulu este contnuă, se trece de la suă la ntegrală, ar oentul de nerţe are expresa = ρ d = ρ ρ dv, () unde ρ este denstatea (ască) a corpulu sold, adcă d = ρ d V, ar ρ este dstanţa de la axa de rotaţe fxă la eleentul de asă d. alculul oentulu de nerţe al unu corp sold de o foră oarecare este, în general, dfcl. Dar, stuaţa se splfcă dacă se cunoaşte oentul de nerţe al corpulu faţă de o axă care trece prn centrul său de asă,, deoarece, confor teoree lu Stener (teorea axelor paralele), oentul de nerţe în raport cu o axă Oz arbtrară este egal cu sua dntre oentul de nerţe faţă de axa paralelă cu Oz, care trece prn, ş produsul a (unde este asa corpulu, ar a este dstanţa dntre cele două axe paralele): = + a. (3) Mşcarea unu sold rgd se poate descopune - într-o şcare de translaţe a centrulu de asă, descrsă de ecuaţa de şcare r r a = F, (4) unde a r este acceleraţa de translaţe a centrulu de asă al corpulu, ar F r este rezultanta forţelor exteroare ce acţonează asupra corpulu; - ş o şcare de rotaţe în jurul une axe ce trece prn centrul de asă, descrsă de o ecuaţe aseănătoare lu (4) r r ε = M, () 1
unde este oentul de nerţe al corpulu faţă de axa de rotaţe, ε r este acceleraţa unghulară, ar M r este rezultanta oentelor forţelor exteroare corpulu faţă de axa de rotaţe. Dn copararea relaţlor (4) ş (), se poate face o analoge între ărle caracterstce şcărlor de translaţe ş de rotaţe: - şcarea de translaţe este produsă de forţe, ar cea de rotaţe de oentele forţelor faţă de axa de rotaţe; - rolul ase dn şcarea de translaţe (ăsura nerţe corpulu) este luat în şcarea de rotaţe de oentul de nerţe al corpulu faţă de axa de rotaţe. În acest od, şcarea plană a soldulu este descrsă de ecuaţle r r r r a = F ş ε = M, (6) unde F r este rezultanta forţelor exteroare, ş M r sunt oentul de nerţe ş, respectv, oentul rezultant al forţelor exteroare, abele în raport cu axa vertcală Oz, care trece prn centrul de asă al corpulu, ar ε = ϕ& este acceleraţa unghulară a corpulu. În această lucrare de laborator, forţele de frecare sunt extre de c ş se consderă că sngura forţă ce acţonează asupra corpulu, care efectuează o şcare de rotaţe pură, este o forţă de tp elastc (n doenul de aplcabltate al leg lu Hooke), al căre oent faţă de axa de rotaţe, ce trece prn centrul de asă al corpulu, este proporţonal cu unghul cu care este rott corpul, având expresa M = kϕ, (7) unde k este constanta elastcă unghulară a arculu spral (avănd untatea de ăsură N/rad), ar ϕ este unghul cu care este rott arcul faţă de pozţa de echlbru. Relaţa (7) este scalară deoarece s-a proectat ecuaţa vectorală pe axa Oz. Astfel, ecuaţa şcăr de rotaţe a corpulu faţă de axa ce trece prn centrul său de asă devne k ϕ & + ϕ =, (8) care este ecuaţa cunoscută a unu osclator aronc neaortzat. Peroada ş frecvenţa aceste şcăr osclator sunt: 1 k T = π ş ν =. (9) k π Peroada de osclaţe a corpulu este ăsurată drect, folosnd untatea de bază obra 3 ş softul specalzat easure, ar oentul de nerţe al corpulu faţă de axa vertcală care trece prn centrul său de asă se calculează dn relaţa T = k. (1) 4π Rezultatele calculate cu relaţa (1) sunt coparate cu valorle teoretce, pentru fecare corp în parte (dsc, clndru pln, clndru gol ş sferă), ar pentru tja prevăzută cu clndr obl se verfcă teorea lu Stener. 3. Dspoztvul experental ş odul de lucru Schea dspoztvulu experental este prezentată în fgura 1.
- dentfcaţ coponentele dspoztvulu cu cele dn scheă. - Realzaţ (sau verfcaţ) conexunle electrce între detectorul de şcare cu bareră de lună (care transforă şcarea de rotaţe în şcare de translaţe) ş untatea de bază obra 3, confor fgur. Fg. 1 Dspoztvul experental pentru deternarea oentelor de nerţe ş verfcarea teoree lu Stener: (1) arcul spral, () dpoztvul de prndere al corpurlor, (3) detectorul de şcare cu bareră de lună, (4) untatea de bază obra 3, () sferă, (6) clndru pln, (7) clndru gol, (8) dsc, (9) tjă, (1) clndr obl pe tjă. Fg. onexunle electrce dntre detectorul de şcare cu bareră de lună ş untatea de bază obra 3. 3
- Asguraţ-vă că frul care conectează axul de rotaţe a dspoztvulu cu rotţa detectorul de şcare cu bareră de lună este orzontal. - Înfăşuraţ frul de aproxatv 7 or în jurul axulu de rotaţe al dspoztvulu înante de a fxa şurubul. Se alege o lunge a frulu astfel încăt capătul la care este legat suportul pentru asele de 1 gra să atârne lber ca la 3-4 c de suprafaţa ese. Trebue ca frul să abă o aseenea lunge astfel încât să nu blocheze osclaţa dspoztvulu. - În cazul în care frul nu este sufcent de tensonat, poate să nu angreneze rotţa detectorululu de şcare cu bareră de lună, astfel încât trebue să adăugaţ ase de 1 gra pe suportul care atârnă spre podea. - După ce aţ reglat lungea ş orzontaltatea frulu, fxaţ cu şurubul de prndere pe axul de rotaţe unul dntre corpurle pe care le studaţ. - Pornţ calculatorul ş prograul easure, apo dn Fle deschdeţ New easureent (sau apăsaţ butonul roşu dn bara de coenz). Fg. 3 Paraetr de ăsură - Setaţ paraetr de ăsură a prograulu confor fgur 3 selectând Lght barrer ş la Axle daeter pentru a sncronza şcarea rotţe detectorulu de şcare cu bareră de lună cu osclaţa unghulară a aparatulu. Apo apăsaţ ontnue. - Rotţ corpul fxat în dspoztv cu aproxatv 18 o, lăsaţ-l să oscleze lber ş pornţ înregstrarea valorlor ăsurate apăsând Start easureent. După aproxatv 1-1 osclaţ coplete apăsaţ Stop easureent. - Dacă valoarea de s (dn fereastra de dalog pentru selectarea paraetrlor de ăsură) selectată în Get value every () sec este prea are sau prea că, pot să apară zgoote sau neunfortăţ ale ăsurătorlor, ar rezultatele înregstrate să nu arate ca în fgura 4. În aseenea cazur, odfcaţ corespunzător rata de eşantonare a ăsurătorlor. 4
Notă: Pentru cazul peroadelor c de osclaţe trebue să setaţ rate c de eşantonare (pentru clndru pln ş clndru gol s, pentru dsc ş sferă s) ar pentru peroade ar de osclaţe rate ar de eşantonare (pentru tja cu corpur oble 1 s, 1 s ş s). Fg. 4 Rezultate tpce ăsurate ş afşate - Deplasaţ arcăr orzontal (selectaţ cu ouse-ul ca în fg. 4) ş fxaţ- între un nuăr întreg ş cât a are de osclaţ coplete înregstrate, ctţ tpul corespunzător ( Δ X ) ş calculaţ apo peroada de osclaţe îpărţndu-l la nuărul de osclaţ coplete. - În acelaş od, deternaţ peroadele de osclaţe ale ssteulu cu fecare dn corpurle de studat: sferă, clndru pln, clndru gol ş dsc. - Folosnd relaţa (1), calculaţ oentele de nerţe ale corpurlor faţă de axa de rotaţe vertcală care trece prn centrul lor de asă. - Fxaţ apo în dspoztvul de osclaţ unghulare tja cu corpurle (clndr) oble. Pentru început, se deternă peroada de osclaţe a tje fxate în centrul său de asă (între cele două sene centrale) fără ce do clndr. Apo se fac ăsurător cu tja fxată în centrul său de asă ş cu ce do clndr aşezaţ setrc faţă de axa de rotaţe în fecare dn pozţle însenate pe tjă. Notă: Pentru fecare corp fxat în dspoztv se efectuează n câte ăsurător, se calculează valoarea ede a peroade de osclaţe ş acea valoare se trece în tabele. 4. Modul de prelucrare a datelor experentale Tabelele ce pot f utlzate pentru notarea ş prelucrarea datelor experentale sunt date a jos.
onstanta elastcă unghulară a arculu are valoarea k =,3 N/rad, ar expresle teoretce ale oentelor de nerţe ale corpurlor au valorle date în Anexă. Tabelul 1. Deternarea oentelor de nerţe ale dfertelor corpur teoretc exp orpul (kg) r (c) (kg ) T (s) (kg ) Dsc,6 1,8 Sferă,719 6,8 lndru pln,38 4,96 lndru gol,349 r =4,8 r e =4,99 Masa tje (fără corpurle adţonale) este M =,178 kg ş lungea acestea L = 6c. Masa unu corp adţonal (clndru) este =,1 kg, ar lugea lu l = 4,1c. Tabelul Verfcarea teoree lu Stener Nr. crt. r (c) T (s) r (c ) T (s ) 1.. 7,6 3. 1,6 4. 17,6.,6 6. 7,6 Notă: azul r = dn tabelul înseană că cele două corpur nu sunt prnse pe tjă. Pentru verfcarea teoree lu Stener, se porneşte de la relaţa (1) ş se ţne seaa de faptul că = + = + r, (11) tja clndru unde este oentul de nerţe nua al tje fără corpur adţonale ş unde s-a negljat oentul de nerţe al fecăru clndru faţă de axa vertcală ce trece prn centrul său de asă. Astfel, se obţne 4π 8π T = + r. (1) k k Se reprezntă grafc dependenţa T = f ( r ). Dn panta drepte de deternă experental constanta elastcă unghulară a arculu, ar dn ordonata la orgne se calculează oentul de nerţe al tje faţă de axa vertcală care trece prn centrul e de asă,, ş se copară valorea obţnută cu cea teoretcă.. Întrebăr 1. e reprezntă oentul de nerţe al unu corp faţă de o axă ş ce senfcaţe fzcă are?. Enunţaţ ş deonstraţ teorea lu Stener. 3. Propuneţ altă etodă de deternare a oentulu de nerţe. 4. alculaţ oentul de nerţe al clndrlor obl faţă de axa care trece prn centrul lor de asă ş este perpendculară pe axa lor de setre ş coparaţ-l cu cel al tje.. Prezentaţ prncpalele surse de eror. 6
ANEXĂ Exeple de calcul al oentulu de nerţe a. Moentul de nerţe al une sfere oogene (de rază R ş asă ) în raport cu o axă ce trece prn centrul său. Alege axa de rotaţe ca fnd axa Oz (fg. ), astfel că oentul de nerţe este dat de ntegrala = ρ dv, (13) z ρ unde ρ este denstatea ască a ateralulu sfere, ar ρ = coordonate sferce este dv = r sn θdrdθdϕ dec oentul de nerţe devne R π π R r sn = 4 3 ρ d =ρ d sn θdθ dϕ = ρ π r r Voluul sfere 4π 3 π θ. Eleentul de volu în ( 1 cos θ) d( cosθ)= 3 = ρ R R = R. (1) (14) Fg. Fg. 6 b. Moentul de nerţe al une bare oogene (de rază R, asă ş lunge l) în raport cu o axă perpendculară pe bară ş care trece prn centrul său de asă. onfor fg. 6, ρ = x, ar oentul de nerţe în raport cu axa Oz devne l / = ρ d = ρπr x dx = ρπr l = Voluul l / 1 bare l 1 1 l. (16) c. Moentul de nerţe al une bare oogene oogene (de rază R, asă ş lunge l) în raport cu o axă perpendculară pe bară ş care trece prntr-un capăt al său. În acest caz, se odfcă nua ltele de ntegrare (fg. 7): l l 1 O = ρ d = ρπr x dx = ρπr l = l. (17) 3 3 Voluul bare Acelaş rezultat se obţne ş aplcând teorea lu Stener ş folosnd (16): 7
l l l l O = + = + =. 1 4 3 d. Moentul de nerţe al unu clndru oogen (de asă, rază R ş înălţe h) în raport cu axa lu de setre. Alege axa Ox ca axă de setre a clndrulu. În acest caz, ave ρ = r (fg. 8) ş, folosnd coordonatele clndrce, se obţne: R π = 3 R ρ d = ρh r ds = ρh r dr dθ = Voluul clndrulu. (18) Se observă că, în acest caz, oentul de nerţe nu depnde de înălţea clndrulu, dec ş oentul de nerţe al unu dsc faţă de o axă perpendculară în centrul său are aceeaş valoare. Fg. 7 Fg.8 e. Moentul de nerţe al unu clndru oogen gol având razele nteroară ş exteroară r ş, respectv, re, asă ş înălţe h faţă de axa lu de setre. În acest caz este o stuaţe slară cu cea de la punctul d, schbându-se doar ltele de ntegrare: re π 4 4 3 re r = ρ d = ρh r dr dθ = ρh π = ( re + r ). (19) 4 Voluul clndrulu r 8