OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Oiective de referinţă Exemple de ctivităţi de învăţre L sfârşitul clsei VIII- elevul v fi Pe prcursul clsei VIII- se recomndă cpil următorele ctivităţi..să opereze cu mulţimi pe x numerelor -scriere unei mulţimi de numere rele dt rele su form implicit c intervl -efecture unor operţii cu intervle..să folosescă metode decvte în demonstrre unor ineglităţi, identităţi su identităţi condiţionte -demonstrre unor ineglităţi folosind ineglităţi cunoscute; mediilor, lui Cuchy-Bunikovsky, lui Minkovski, lui Holder -demonstrre identităţilor folosind clculul lgeric -discutre comprtiv mi multor soluţii pentru ceeşi prolemă..să utilizeze elemente de clcul lgeric în rezolvre ecuţiilor şi sistemelor de ecuţii -exerciţii de rezolvre unor ecuţii cu prmetru -ordre unor sisteme de ecuţii cit mi diverse şi încdrre lor în tiprele clsice.4.să identifice funcţii linire şi să opereze cu ceste.5.să efectueze clcule cu numere rele.6.să utilizeze mtemtic în rezolvre prolemelor puse l lte discipline -determinre unor funcţii linire în numite condiţii şi reprezentre lor grfic -reprezentre grfic unor funcţii definite pe reuniune de intervle -rezolvre unor ecuţii funcţionle -exerciţii de evlure rezulttelor unor clcule -reprezentre grfic unor dte sttistice -clculul volumelor unor oiecte.7.să utilizeze, teoreme, leme, xiome şi tehnici decvte în demonstrre prolemelor de geometrie în spţiu -proleme de prlelism în spţiu, dreptdrept, drept-pln, pln-pln -proleme de perpendiculritte în spţiu, drept-pln, pln-pln, drept-drept -determinre unor secţiuni cu plne în corpuri geometrice.8.să recunoscă şi să utilizeze proprietăţile figurilor şi corpurilor geometrice în demonstrţii -clculul lungimilor de segmente, unor rii şi volume folosind proprietăţile semănării -rezolvre prolemelor de mxim şi minim în geometrie 5
.Dezvoltre cpcităţii de emite judecăţi de vlore pentru rezolvre prolemelor inventiv şi euristic-cretive Oiective de referinţă L sfârşitul clsei VIII- elevul v fi cpil :..să nlizeze, să eloreze strtegii de rezolvre şi să rezolve proleme cu grd sporit de dificultte. să formuleze proleme, generlizări în numite ipoteze su să stilescă condiţiile necesre şi/ su suficiente pentru o concluzie fixtă..să identifice metode de lucru pentru clse de proleme Exemple de ctivităţi de învăţre Pe prcursul clsei VIII- se recomnd următorele ctivităţi : -înţelegere prolemei prin nlizre ipotezei şi concluziei -elorre unui pln de rezolvre şi rezolvre prolemei -verificre rezulttului şi nliz rezolvării -formulre unor proleme -formulre unor concluzii în ipoteze dte -formulre unor condiţii necesre şi/ su suficiente pentru o concluzie dtă -rezolvre mi multor proleme folosind ceeşi metodă -rezolvre unei proleme folosind mi multe metode -nliz eficienţei metodelor.dezvoltre cpcităţii de fce conexiuni cognitive în cdrul disciplinei şi riei curriculre Oiective de referinţă L sfârşitul clsei VIII- elevul v fi cpil :..să utilizeze rţionmete, judecăţi, soluţii optime pentru rezolvre unor proleme dificile din domeniile studite..să-şi formeze o gândire cretivă, strctă, şi flexiilă Exemple de ctivităţi de învăţre Pe prcursul clsei VIII- se recomndă următorele ctivităţi - folosire intuiţiei şi perspiccităţii în legere modului de ordre unei proleme -cominre elementelor cunoscute şi crere ltor noi -rezolvre unor proleme teoretice complexe prin stilire unor relţii între cunoştinţe 6
4.Dezvoltre cpcităţii de comunic utilizând limjul mtemtic Oiective de referinţă L sfârşitul clsei VIII- elevul v fi cpil : 4..să-şi însuşescă terminologi specific limjului mtemtic 4..să discute corectitudine unui demers mtemtic, rgumentându-şi opiniile Exemple de ctivităţi de învăţre Pe prcursul clsei VIII- se recomnd următorele ctivităţi -corelre limjului literr cu limjul mtemtic, şi redctre unui text folosind simolurile conscrte specifice mtemticii -discutre metodei şi eventul descriere lgoritmului folosit -studiere unor metode lterntive 5.Dezvoltre interesului şi motivţiei pentru studiul şi plicre mtemticii în contexte vrite Oiective de referinţă Exemple de ctivităţi de învăţre L sfârşitul clsei VIII- elevul v fi Pe prcursul clsei VIII- se recomndă cpil : următorele ctivităţi 5..să sesizeze importnt rţionmentului logico-mtemtic în diferite domenii 5..să mnifeste perseverenţă şi gândire cretivă în rezolvre unei proleme 5..să mnifeste interes pentru folosire tehnologiilor informţiei în studiul mtemticii -rinstorming : metode mtemtice utilizte intr-un numit domeniu -ctivitte-proiect: concepte şi metode mtemtice necesre intr-un numit domeniu -utilizre mi multor metode pentru rezolvre unei proleme -discutre mi multor moduri de rezolvre unei proleme -utilizre unor soft-uri pentru învăţre mtemticii; explorre internetului 7
ALGEBRĂ CONŢINUTURI.Ecuţii diofntice.funcţii prte întregă, funcţii prte frcţionră.ecutii funcţionle 4.Ineglităţi -Ineglitte mediilor -Ineglitte lui Cuchy-Bunikovsky -Ineglitte lui Minkovsky -Ineglitte lui Holder 5.Identităţi ; identităţi condiţionte 6.Ecuţii şi sisteme cre se rezolvă prin metode specile GEOMETRIE.Proleme de mxim şi minim.prlelism în spţiu -Drept prlelă cu un pln -Teoreme de prlelism -Plne prlele Tetredrul.Perpendiculritte în spţiu -Drept perpendiculră pe un pln -Plne perpendiculre -Tetredre specile -Proiecţii 4.Distnţe şi unghiuri în spţiu 5.Poliedre 6.Secţiuni în poliedre 7.Corpuri rotunde-secţiuni 8.Proleme de mxim şi minim 8
ALGEBRĂ. Ecuţii funcţionle Prolem determinării expresiei prin cre este dtă o funcţie cre îndeplineşte o eglitte este o ecuţie funcţionlă. Chir dcă există clsificări le ecuţiilor funcţionle, soluţionre prolemelor de cest tip lsă o liertte destul de mre gândirii şi ingeniozităţii rezolvtorului. Aceste proleme dezvoltă gândire strctă, oligând de multe ori elevii să fcă rtificii lgerice destul de delicte. Prezentăm în cele ce urmeză câtev proleme de cest tip. Proleme rezolvte R.. Să se determine funcţi f : R R cre verifică eglitte f(x ) x, x R. Soluţie. t Fcem înlocuire x t, x şi oţinem: t t t 7 f (t). x x 7 Deci m oţinut funcţi f : R R, f (x). R.. Fie f : R R, stfel încât f (x) f ( x) x 5,, R. ) Determinţi, R, dcă f() şi f() 5. ) Aflţi f(x), oricre r fi x rel cu şi determinţi l ). [C.M. 994] Soluţie. x, f () f () 5 ) 7 x, f () f () 5 4 7 ) Fcem înlocuire x t x t. Oţinem: f ( t) f (t) ( t) 5. Revenim l vriil x şi înlocuim pe şi cu vlorile oţinute nterior: 4 f ( x) f (x) x 4 7 7 Se junge l sistemul de ecuţii: f ( x) 4f (x) x 8 f (x) 4f ( x) x 5
şi poi f(x) x. R.. Fie f : R R, cre verifică relţi: f (x y) f (x y) 6x 0, oricre r fi x, y R. Să se determine funcţi f. Soluţie. Dcă x y 0, vem f(0) 0 f(0) 5. Dcă x y, vem f(0) f(x) 6x 0 Deci f(x) 6x 5 f(x) x 5. [C.M. 99] R.4. Să se determine funcţiile f şi g: R R ştiind că f(x) f( y) g(x) g(y) (x ) 6y, x, y R. Soluţie. Dcă y x, oţinem f(x) f( x) g(x) g(x) (x ) 6x f(x) f( x) x () Dcă înlocuim pe x cu x în relţi () se v oţine: f( x) f(x) ( x) () Din () şi () vem f(x) x x. Determinăm funcţi g: fcem y 0, tunci f(x) f() g(x) g(0) (x ) (x x) g(x) g(0) (x ) g(x) x x g(0) Dcă g(0) k, k R, tunci g(x) x x k, k R. Oservţie: În timp ce funcţi f este unic determintă, pentru g există o mulţime de funcţii cre verifică relţi dtă. R.5. Să se determine funcţi f: R\{,} R, cre verifică relţi: x x f (x) f f x, x R\{,}. x x [C.M. 986] Soluţie. x t Fcem înlocuire t x. x t t t t f f (t) f. t t t Revenim l vriil x şi oţinem relţi: x x x f f (x) f, () x x x Aplicăm ceişi sustituţie în relţi () şi oţinem: x x x f f (x) f, () x x x
Adunând relţiile () şi () se găseşte relţi prin cre este dtă funcţi f: x x 4x f (x) f (x). x x x R.6. Determinţi funcţi f: N Q cre îndeplineşte condiţiile: x f (00) 00 şi f (x ) f (x), x N. 00 Soluţie. x, f () f () 00 x, f () f () 00... n x n, f (n) f (n ) 00 După dunre eglităţilor vem:... n n(n ) f (n) f () f (). 00 00 00 00 Pentru x 00, f (00) f () 00 00 f() 00 f(). Revenind l vriil x şi folosind rezulttele nteriore putem scrie funcţi f: x(x ) f: N Q, f (x). 00 Biliogrfie. Pop Vsile Ecuţii funcţionle, Ed. Medimir, Cluj-Npoc, 00.. B.M.Bătineţu Giurgiu, I.Crângşu, M.Bătineţu Giurgiu, C.Ursu Culegere de proleme, cls IX-, Ed.Portofrnco, Glţi, 99.
. Funcţi prte întregă, funcţi prte frcţionră.. Funcţiile prte întregă şi prte frcţionră Vom defini prte întregă şi prte frcţionră unui număr rel şi vom pune în evidenţă câtev proprietăţi le lor. Apoi vom defini şi vom reprezent grfic funcţi prte întregă şi funcţi prte frcţionră. Dcă x R, tunci [x] este prte întregă lui x şi n dcă n x n [ x] n dcă n x n, n N. Dcă x R, tunci {x} este prte frcţionră lui x şi {x} x [x]. Funcţi f cre sociză fiecărui număr rel x prte întregă s, dică [x], se numeşte funcţi prte întregă : f : R Z, f(x) [x]. Grficul funcţiei prte întregă Functi prte intreg 5 4 [x] 0 0 4 5 6 x Funcţi g cre sociză fiecărui număr rel x prte frcţionră s, se numeşte funcţi prte frcţionră. g : R [0,), g(x) {x}, explicitre funcţiei g: x n, dcă x [ n, n )... x, dcă x [, 0) g (x) x, dcă x [0,) x, dcă x [, )... x n, dcă x [n, n ) 4
Grficul funcţiei prte frcţionră : Functi prte frctionr. 0.8 {x} 0.6 0.4 0. 0 0 4 5 6 x.. Proprietăţile părţii întregi unui număr rel. Propriette. ( ) x [k, k), k Z vem eglitte [x] k Propriette. Dcă x,y R, şi x,y [k, k), k Z tunci [x] [y] Propriette. Dcă x R, x < 0, tunci [x] < 0 Dcă x R, x 0, tunci [x] 0 Propriette 4. ( ) x R există eglitte [[x]] [x] Propriette 5. ( ) x R sunt devărte ineglităţile: ) [x] x < [x] şi ) x < [x] x Propriette 6. ( ) x R şi k Z re loc eglitte: [x k] [x] k Demonstrţie. Notăm x α m, α Z, m [0, ) Þ [x] [x k] [α m k] [(α k) m] α k [x] k Propriette 7. ( ) x R re loc eglitte [ x] x [x], (identitte lui Hermit) Demonstrţie. Considerăm două czuri: I. x [x] < x [x], [x] [x], în cestă situţie vem: [ x] [x] [x] [x] [x] x [x] x [x]. II. x [x] 5
x [x], [x] [x], cum oţinem: [ x] [x] [x] [x] [x] x [x] x [x]. Propriette 7 se pote generliz şi oţinem identitte lui Hermit în cz generl: n [ x] x x... x [nx], ( )x R, ( )n N. n n n Propriette 8. ( ) x, y R re loc ineglitte: [x y] [x] [y]. Demonstrţie. Scriem x şi y stfel: x [x] {x} şi y [y] {y}, 0 {x}<, 0 {y}<. x y [x] [y] {x} {y} x y [x] [y] [x] [y] Z [x y] [x] [y]. Proleme rezolvte R.. Să se rezolve ecuţiile: ) [x ] [x ] [x ] ; ) [x ] [x 5] 8; c) [x 4] [x ]. Soluţie. În rezolvre ecuţiilor ne folosim de eglitte [x k] [x] [k], ( )x R, ( )x Z. ) [x ] [x] ; [x ] [x ( )] [x], [x ] [x]. Ecuţi iniţilă devine: [x] [x] [x] [x] 6 6 x < 7 x [6, 7). ) [x] [x] 5 8 x R c) [x] 4 [x] x x x R..Să se rezolve ecuţi. Soluţie. x x Notăm k 6
7 k x k k x k k x k x k k x k k x k k x < < < < < < dunând oţinem: < k < 4 dr k Z tunci k {0,,,}. Studiem cele ptru situţii: k 0, 0 x 0 şi x,). [ x x 0 0 x [,) x x 0 0 x < < Soluţi ecuţiei în cest cz S [,) [,) [,). k, x şi x [,5). x x x [,5) x x x < < S [,5) [,5) [,5). k, x şi x [5,7). x x x [5,8) x x x < < S [5,8) [5,7) [5,7). k, x şi x [8,). x 4 x x [7,9) x 4 x x < <
S 4 [7,9) [8,) [8,9). Soluţi finlă v fi: S S S S 4 [,) [,7) [8,9) R.. Să se rezolve inecuţi x[x] x [x] 6. Soluţie. Ducem pe 6 în primul memru l ineglităţii şi trnsformăm în produs. x[x] x [x] 6 0 x([x] ) ([x] ) 0 (x )([x] ) 0 x 0 x 0 su [x] 0 [x] 0 x 0 x (,] x [,] [x] 0 x [, ) x 0 x [, ) x [x] 0 x [, ) Soluţi inecuţiei este S [, ]. R.4. Să se rezolve sistemul de ecuţii: [x] [y] 5 [x] [y] 4 Soluţie. Notăm [x] şi [y]. Oţinem sistemul: 5 [x] 4 [y] R.5. Să se determine x N* stfel încât: [(x )] [x] x, ( ) R. 8 x [, ) y [,4) Soluţie. Fcem notţi [] {} k {}, {} [0,), k Z. Pentru x, ecuţi devine: [ ] [ 0] [] [ ] [], imposiil. Pentru x, ecuţi devine: [] []. [], dcă {} 0, [], dcă {}, [G.M.979] [D.M. Bătineţu Giurgiu]
[], dc {} 0, [ ] [], dc {}, Rezolvăm ecuţi în două czuri: dcă { } 0, : [] [] [], devărt ( ) R. dcă { }, : [] [] [], devărt ( ) R. Pentru x rătăm că există R stfel încât eglitte dtă nu este devărtă. x x Fie k Z, { }, şi k {}, [] k, x x tunci k x, [(x )] [(k {}(x )] [(x )k (x ){}] (x )k x. [x] [(k {})x] [kx {}x] kx x. [x] [(x )] kx x kx k x k [] []. Biliogrfie. D.Buşneg, I.Mftei Teme pentru cercurile şi concursurile de mtemtică le elevilor, Ed.Scrisul românesc, Criov, 98.. Gh.Andrei, I.Cucurezenu, C.Crge Proleme de lgeră, gimnziu, liceu, Ed.GIL, Zlău, 996.. Gh. Schneider Proleme de lgeră volumul, Ed.Apollo, Criov, 990. 4. L.Pârşn, C.G.Lzenu Proleme de lgeră şi trigonometrie, Ed.Fcl, Timişor, 98. 9
. Ecuţii diofntiene Rezumt în cdrul temei se vor prezent principlele metode de rezolvre ecuţiilor diofntiene precum şi lte ecuţii cre se reduc l ceste. Se prezintă şi câtev ecuţii remrcile ( ecuţi Pitgorică, ecuţii de tip xyc ) şi plicţii le cestor... Proprietăţile diviziilităţii în Z (, din Z).. ( ) c Z.î. c.. Dcă d, d d αβ, ( )α,β Z.. c (,) c c Z..4 c c c (,)..5, N; d(,) ( ) x,y Z.î. dxy..6, N; (,) ( ) x,y Z.î. xy.. Metode elementre de rezolvre ecuţiilor diofntice Ecuţii diofntice ecuţii cu coeficienţii întregi cre se rezolvă în Z... Metod descompunerii Punem o ecuţie diofntină de form f x, x, K, ) 0 su form ( x n f( x, K, xn ) f ( x, K, xn ) K f n ( x, x, K, xn ) Ζ f i ( x, K, xn ) D( ). Ecuţiile respectiv sistemul de ecuţii l cre s- juns sunt mult mi uşor de rezolvt. Exemplu: Rezolvţi în Z ecuţi 6xy-x-4y5. () Rezolvre. Ecuţi () este echivlentă cu (y-)(x-)7 y y Czul I etc. x 7 x... Rezolvre ecuţiilor diofntice cu jutorul ineglităţilor - constă în determinre unor intervle în cre se flă necunoscutele prin utilizre unor ineglităţi decvte Exemplu Determinţi tote perechile (x,y) de numere întregi stfel încât x³y³(xy)³ Rezolvre (k,-k), k Z soluţie pentru ecuţie 0
xy 0 ecuţi se reduce l ecuţi x²-xyy²xy (x-y)²(x-)²(y-)² (x-)², (y-)² x,y {0,,} Soluţiile convenile sunt în cest cz (0,),(,0),(,),(,),(,).. Ecuţii diofntice remrcile... Ecuţii de tipul xyc,, Z*,c Z () Oservţii - orice ecuţie de tipul xyc,, Z*, c Z se pote duce l o ecuţie de tipul x yc unde (,,c ) - ecuţi () re soluţii d c unde d(,) (evidentă din proprietăţile diviziilităţii) Fie (x 0,y 0 ) o soluţie prticulră ecuţiei () Demonstrăm că există o stfel de soluţie prticulră. Fie d(,) ( ) x,y Z.î. x y d (-d) d c cdd x d y d dd c x d x 0 y d y 0 Fie d(,) d d (, ) cdc () x yc Scădere x 0 y 0 c (x-x 0 ) - (y-y 0 ) () (y 0 -y) (, ) y 0 -y ( ) k Z stfel încât y 0 -yk yy 0 -k () () () (x-x 0 ) k xx 0 k,k Z Mulţime soluţiilor ecuţiei diofntiene este S{(x 0 k,y 0 -k ) k Z} Exemplu: Rezolvţi ecuţi 5x-y în Z.... Ecuţi pitgorică x y z (studită de către Pitgor în legătură cu triunghiurile dreptunghice le căror lturi u lungimile numere nturle, ecuţie cunoscută de pe vreme vechilor ilonieni). Demonstrţi destul de loriosă o vom omite, dăm însă soluţi cestei ecuţii în mulţime numerelor întregi: S{k(m -n ), kmn, k(m n ) k,m,n Z}
Proprietăţi: Fie, Q d N, d nu este pătrt perfect n ( d ) n n d unde n, n Q, n n Atunci ( d ) n n d unde n, n sunt cele de mi sus. Aplicţie Demonstrţi că ecuţi x -y re o infinitte de soluţii întregi ir ecuţi x -y - nu re soluţii întregi Rez. n ( ) n n n ( ) n n n n n x y x M imposiil un pătrt perfect vând form n respectiv n. Proleme rezolvte R... Determinţi tote perechile de numere întregi (x,y) cre verifică eglitte: x 5xy y 7 Rezolvre x 5xy y 7 x 4xy xy y 7 ( x y)( x y) 7. x y Czul I (metod descompunerii) x y 7 Celellte czuri se trteză similr. R... Determinţi soluţiile întregi le ecuţiei ( x )( y ) ( x y)( xy) 4( xy) : () Rezolvre () x y xy x y xy ( x y)( xy) 4 ( xy ) ( x y) ( x y)( xy ) 4 [ xy ( x y) ] 4 xy x y ± x( y ) y ± ( x )( y ) ± rezolvre imedită. x x 0 Czul I y y Anlog se trteză şi celellte czuri. R... Rezolvţi în Z ecuţi ( xy 7) x y Rezolvre
x y ( xy 6) 4xy 49 x ( x y) y xy ( xy) xy 49 ( x y) ( x y xy 6)( x y xy 6) x y xy 6 x y 7 C x y xy 6 xy sistem simetric t t 7t 0 cu soluţi. În cest cz printre soluţii sunt t 4 perechile (,4),(4,). Anlog se trteză restul czurilor. R..4. Rezolvţi în mulţime numerelor nturle nenule ecuţi: x y z 5 Rezolvre x y z (fără restrânge generlitte) flând poi soluţiile în celellte czuri se oţin prin permutări circulre. x {,,4,5}, etc. x 5 R..5. Determinţi numerele prime p şi q.î pq(p-q) ( p q)(( p q) p q,( p q) ) p p q < p p q p 5, q R..6. Determinţi numerele nturle nenule şi dcă numerele Czul sunt întregi. Rezolvre 0, şi ( ( ) ( ) ) ( ) {,} {,} convenile perechile (,),(,) ( ) {,}
4 Czul Pentru fixre ideilor fie >. Z n n n n > 4,. ) )( ( 4 4 5 0 5, Z su. Soluţiile în cest cz sunt (,),(,) şi pentru < (,),(,) Biliogrfie. O introducere în studiul ecuţiilor diofntiene T. Andreescu, O. Andric. Proleme de teori numerelor şi comintorică pentru juniori L. Pnitopol, D. Şerănescu. Proleme de ritmetică şi teori numerelor I. Cucurezenu 4. Algeră Cls VIII I. Negrilă, M. Negrilă, Editur Prlel 45-00 5. Olimpidele lcnice de mtemtică pentru juniori D. Brânzei, I. Şerden, V. Şerden 6. Algeră. Geometrie. Olimpide şi concursuri Arthur Blăucă Editur Tid Işi 00
4. Ineglităţi lgerice Primele ineglităţi pe cre elevii de gimnziu le întâlnesc sunt 0, cre este devărtă pentru orice număr rel şi x 0, cre sunt forte importnte în demonstrre ltor ineglităţi. În cdrul temei vom prezent proprietăţile relţiei de ineglitte, ineglităţi remrcile şi exemple rezolvte cu portul lor, poi un set de proleme propuse spre rezolvre. 4.. Proprietăţile relţiei: x<y (ineglitte strictă) i) x < x, oricre r fi x R (ireflexivă) ii) x < y z > x iii) x < y şi y < z x < z (trnzitivă) Proprietăţile relţiei x y (ineglitte nestrictă) i) x x, oricre r fi x R (reflexivă) ii) x y şi y x x y (ntisimetrică) iii) x y şi y z x z (trnzitivă) 4.. Proprietăţi le ineglităţilor în legătură cu operţiile definite pe R i) x, y,z R,x y x z y z xz yz dcă z 0 ii) x, y,z R.Dcă x y tunci xz yz dcă z< 0 iii) x, y,z R dcă x y, xy > 0 x y iv) x, y,, R.Dcă x y, tunci x y v) Dcă x,y,, R şi 0 ; 0 x y tunci x y k k vi) x, y R.Dcă x y tunci x y, k N n n vii) x, y R.Dcă 0 x y tunci x < y, n N Ineglităţi cre se rezolvă pe z proprietăţilor operţiilor în R Proleme rezolvte R4... Să se rte că dcă <, c<, <c, tunci:. >;. c>;. >c; 4. >; 5. c>; 5
x 6. >c; 7. >; 8. c>. (G.M. 8/978) Soluţie. Din > şi >c >c - >c : >c Din >c şi c> >. Din > şi c> oţinem c>. Din >c şi c > vem: c>c -c >c 4. Din c> şi >c c>c > 5. Din c> şi > c> c> 6. Din >c şi > >c 7. Din > şi > > 8. Din c> şi > c> R4... Să se rte că dcă x [-;4] şi y [-5;], tunci: y 4x y Soluţie [ 5;67] x y 4x z x 4x 4 4 y y (x ) (y ) 5 Din x 4 x 6 0 (x ) 6 () Din 5 y 6 y 0 (y ) 6 () Adunând ineglităţile () şi () oţinem: 0 (x ) (y ) 7 5 5 (x ) (y ) 5 67 x y 4x y [ 5;67] - c 4.. Ineglităţi cre se rezolvă pe z ineglităţilor: ) R,vem 0 ),,...,n R, vem... n 0 ),,c,d R stfel încât şi c d tunci c d 6
Proleme rezolvte R4... Dcă, R, tunci 0 Soluţie 0 4 4 4 R4... Dcă,,c R tunci vem: c c c Soluţie c c c c c c 0 ( ) ( c c) ( c c) 0 ( ) ( c) ( c) 0 R4... Să se rte că oricre r fi numerele rele,,,..., n, n tunci ( )( )( )...(n )... n (G.M. 0/975) Soluţie ( ) 0 0 Anlog:. Oţinem: n n n )( )( )... ( n )... n ( 4.4. Ineglităţi cre se rezolvă pe z ineglităţii mediilor Proleme rezolvte R4.4. Ineglitte mediilor Dcă şi sunt numere rele strict pozitive tunci re loc ineglitte: m h (medi rmonică) unde: 7
m g (medi geometrică) Soluţie ( ) ( ) m (medi ritmetică) m 4 p 0 () (medi pătrtică) ( ) 4 4 ( ) ( ) 4 : () 4 0 ( ) 4 4 ( ) 4 4 ( ) 0 0 ( ) 0 () Din relţiile (), () şi () rezultă că m h mg m m p Ineglitte mediilor pentru n numere rele pozitive Dcă,,..., sunt numere rele pozitive vem: n n... n n... n () ( )... n n ( ) 4 0 n... n 4.5. Ineglităţi cre se rezolvă pe z ineglităţii lui Cuchy-Bunikowski Proleme rezolvte,. R4.5.. Ineglitte lui Cuchy-Bunikowski Fie,,, numere rele, tunci vem ineglitte: ( ) ( )( ) Eglitte re loc dcă şi numi dcă numerele, sunt proporţionle cu 8
9 Soluţie ) )( ( ) ( Efectuăm clculele şi oţinem: de unde oţinem: cre este echivlentă cu : 0 ) ( Fie k ; k k şi înlocuind în ineglitte rezultă: ) ( k ) ( su k ) )( k k ( k) k ( dică eglitte. Reciproc: Dcă re loc eglitte vem 0 ) ( În czul generl se scrie: )... )(... ( )... ( n n n n R4.5.. Ineglitte lui Hölder Fie,,, numere rele pozitive. Demonstrţi ineglitte: Eglitte re loc dcă, sunt direct proporţionle cu,. Soluţie În ineglitte lui Cuchy-Bunikowski plicăm rdicl în fiecre memru ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( R4.5.. Ineglitte lui Minkovski Fie,,, numere rele pozitive. Demonstrţi ineglitte: ) ( ) ( Soluţie ) ( ) ( Ridicăm l pătrt fiecre memru şi oţinem:
( ) ( ) ( )( ) de unde prin efecture clculelor oţinem: ( )( ( )( ) : ineglitte lui Hölder ) Biliogrfie I. Crăciunel, L. Nicolescu, P. Simion, T. Spircu, Mtemtică-Algeră- Mnul pentru cls VIII-, EDP 988 M. Bechenu, C. Niţă, M. Ştefănescu, A. Dincă,, I. Purde, I.D. Ion, N. Rdu, C. Vrciu, Algeră pentru perfecţionre profesorilor, EDP 98 D. Rdu, E. Rdu, Mtemtică-mnul pentru cls VIII-, Ed. Teor 999 M. Singer, C. Voic, C. Voic, Mtemtică-mnul pentru cls VIII-, Ed. Sigm 999 Gheorghe şi Alin Drugn; Ion şi Mihel Ghic, Mtemtic în concursurile şcolre, Ed. Teor 998, pg 09-4 D. Brânzei şi colectivul: Mtemtic în concursurile şcolre, Ed. Prlel 45, 00,00 pg 55-84(00);pg 5-55(00) Foi mtemtică(chişinău),5/996, pg 8 Foi mtemtică(chişinău),/996, pg M. Chiriţă, T. Bulzn, L. Gng, V. Tudorn, Ineglităţi mtemtice, Ed. Felix 998 A. Bălăucă, I. Ţiclo, Mtemtică-Algeră, Ed. Remos Chişinău 995, pg 0-6, pg 7-4 C. Hărăor, D.Săvulescu, I. Cheşcă, A.Ţifre: Mtemtică pentru clsele V-VIII-Olimpidele judeţene, interjudeţene, nţionle, Ed. Teor 996, pg -5 0
5. Ecuţii şi sisteme de ecuţii. Metod ecuţiilor, sistemelor de ecuţii în rezolvre unor proleme Rezumt: -în cdrul temei se vor prezent principlele tipuri de sisteme, respectiv metode de rezolvre, discuţie după unul su doi prmetri. Ecuţii şi sisteme de ecuţii 5.. Formule de clcul prescurtt - utilizte în rezolvre unor sisteme n n ( )(... n n n n n n n n n ( (... ), n n c ( c) c ( c)( [( ) ( c) ( c) ] c ) c c) 5.. Metode de rezolvre sistemelor de tipul numerelor rele. 5... Metod reducerii x y c ' x ' y c' în mulţime Sistemul re soluţie unică dcă şi numi dcă - 0. Dcă sistemul treuie rezolvt într-o mulţime N M R R verificăm dcă soluţi unică prţine N M (deci sistemul re cel mult o soluţie). Dcă `-`0 sistemul ori nu re nici o soluţie, ori o infinitte de soluţii(dcă se rezolvă într-o mulţime N M R R verificăm cre dintre soluţii prţin lui N M). 5... Metod sustituţiei x y c() ' x ' y c'() c Presupunem 0. Atunci x - y (). Introducem relţi () în () şi oţinem o ecuţie de tipul AYB0 cre re exct o soluţie (dcă ecuţi e de grdul I, A 0) su o infinitte de soluţii su nici un (după cz c şi l metod reducerii).
5.. Metod soluţiei unice 5... Orice ecuţie de grdul I re cel mult o soluţie, indiferent de mulţime în cre o rezolvăm 5... Orice sistem de ecuţii de grdul I: - re o soluţie - nu re nici o soluţie - o infinitte de soluţii(dcă o rezolvăm în R R) respectiv dcă o rezolvăm în N M scotem relţi între necunoscute şi verificăm cre dintre soluţii prţine lui N M. 5... Orice ecuţie de form x0: - re o soluţie - nici o soluţie - un număr de soluţii crd A, unde A este mulţime pe cre rezolvăm ecuţi 5.4. Sisteme formte dintr-o ecuţie de grdul I şi un de grdul l II-le x y c 0 mx ny pxy qx ry s 0 Se scote x în funcţie de y (su y în funcţie de x din prim ecuţie) şi înlocuim în dou oţinând o ecuţie de grdul doi. 5.5. Sisteme omogene x xy cy d d' ' x ' xy c' y d' d Dcă d su d`0, verificăm dcă (0,0) este soluţie y 0 împărţim ecuţi corespunzătore celui d su d` nul cu x y şi notăm t. Se determină t şi se oţin y două sisteme de tipul nterior. Dcă d, d` 0, operăm c mi sus, prim ecuţie o înmulţim cu d`, dou cu d, le dunăm şi oţinem o ecuţie de tipul Ax Bxy Cy 0. Împărţim ecuţi cu su y ((0,0) nu convine în cz contrr dd`0 ctr.). Pentru fixre ideilor împărţim ecuţi cu y (A 0 spre exemplu) x t At B C 0, de unde oţinem t şi t y Ecuţiei xyt, îi tşăm un din ecuţiile iniţile. x
5.6. Sisteme simetrice elementre xys xyp Îi tşăm ecuţiei t St P 0 Soluţi sistemului este mulţime A{(t, t );(t, t )}. Prin sistem simetric înţelegem un sistem în cre dcă schimăm necunoscutele între ele oţinem celşi sistem. Os.: x y S P x y S PS Proleme rezolvte R5.7.. Rezolvţi ecuţi: x x x n )... n, n n x x nx )... n,n n Rezolvre: Amele sunt ecuţii de grdul I u cel mult o soluţie x soluţie unică. R5.7.. Să se rte că oricre r fi prţinând mulţimii numerelor rele, soluţi ecuţiei ( x) ( x)... ( n x) ( x) ( x)... ( n x) nu depinde de. Rezolvre: Ecuţi este de tipul AxB0 x - soluţie x0 nu este soluţie, deci, ecuţi re soluţi unică x - x y R5.7.. Rezolvţi sistemul: x y Rezolvre: ± 0. Metod I x x 0 soluţie nu e soluţie S{(,)} y y 0, () ±
4 Metod -II- () y x y x ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y x y x ) ( ) ( y R5.7.4. Rezolvţi şi discutţi sistemul: ) ( y x m m y x m () Rezolvre: () m y m x m m y x m 0 ) ( y m y0 m x x m mx m x m 0 0 0, m S. R5.7.5. Rezolvţi şi discutţi sistemul: ky x y kx () Rezolvre: k ky x y kx k y k kx y kx ) ( ) ( k y k cz I: k 00 xy S{(x,-x) x R}. cz II: k- 0-6 fls S cz III: k ±, k k S k x k kx k y.
R5.7.6. Rezolvţi sistemele: x xy y x y 6 0 ) y x x y ) () x xy y x y c) xy Rezolvre: ) x xy y y x ( x ) S {( 5, 4) } 5 () x y 6 0 x( x ) ( x ) () x ( x ) 6 0 x 5 y 4 ( x y)( x xy y ) y x x xy y x x( x) ( x) ) c) y x y x x x 6x 0 x y 4 x y 5 xx ( xx )( x x) ( xx x ) xy 5 x x xx 4 6x 5xy 4y 0 y0 x0 nu convine y 0 împărţim ultim relţie cu y şi notăm x t. Oţinem 6 t 5 t 4 0, cu y 8 t şi t. 4 9 x x y Cz I : 4 x y y 4 4 xy ± y y 4 4 y 4 x y -4 x - 5
6 Cz II : fls y y x 9 8 9 8 S{(,4) ;(-,-4)}. Rezolvţi sistemul ) cre este şi simetric prin ltă metodă ) ( P S P S P S S P S PS S y xy x y x Ecuţi tştă: 0 t t t t S{(,)}. R5.7.7. Rezolvţi sistemul: 4 ) ( 4 4 0 ) ( 4 4 y y x x y y x x Rezolvre: 4 4 x x x,x Anlog se determină y,y S{(x,y ) ;(x,y ) ;(x,y ) ;(x,y )}. R5.7.8. Se consideră sistemul y mx y x m y x R m ) să se rezolve sistemul ) să se determine vlorile prmetrului m pentru cre sistemul dmite numi soluţii numere întregi negtive c) să se determine vlorile prmetrului rel m pentru cre sistemul dmite o soluţie (x,y) cu xy. Rezolvre: ) xm--y ) 4( ) 0 5 9 6 4( 0 ) ( 5 0 4 4 ) 8 4 ( 5 0 ) ( 4 ) 4( ) ( m m m m m y m y m m m m m m y y y my m m y y y m m y,y 5 ) ( 0 ) ( ) ( ± ± m m m m y - x m-m y 5 m x m-- 5 8 5 4 0 5 5 4 m m m m.
) m<0,m Z 5 m- 5 m-8 Condiţiile m-<0 m-8<0,sunt implicte de condiţi m<0. 5 m-8 m-85k m5k8, k<- k Z m-0k6-0k5 5 m { 5k 8 k Z, k < }. c) xy m- su m m 8 etc. 5 5 R5.7.9. Să se determine numerele rele şi ştiind că Z şi.. Rezolvre: ( ) ( ) 4 {,,0,,} (s- folosit ineglitte între medi ritmetică şi ce pătrtică). 0 Cz I: Perechile căutte sunt: (,-);(-,). ± Cz II: ± ( ) 0 etc. R5.7.0. Să se rezolve în mulţime numerelor rele sistemele de ecuţii ( x y z )( c ) x y cz unele,,c sunt numere rele nu tote nule. Rezolvre: Ineglitte C.B.S. ( x y z )( c ) ( x y cz) x y cz Are loc eglitte există k R* stfel încât: xk yk zkc. k( c ) k c 7
Soluţi sistemului este, c,. c c c Biliogrfie Olimpidele de mtemtică 00 - Editur Gil - T. Andreescu, B. Enescu, A. Jorz, O. Pop. Olimpidele lcnice de mtemtică pentru juniori - D. Brânzei, I. Serden, V. Şerden. Olimpidele de mtemtică 000-00 - Editur Gil - T. Andreescu, B. Enescu, M. Lscu, O. Pop. Olimpidele de mtemtică concursuri interjudeţene - Editur Prlel 45 (000-00) - D. Brânzei, I. Serden, Sorin Ulmenu, V. Gorgot. Algeră - Geometie cls VIII- - I. Negrilă, M. Negrilă - Editur Prlel 45, 00. Algeră Geometrie. Olimpide şi concursuri - Arthur Bălăucă - Editur Tid, Işi 00. 8
GEOMETRIE. Proleme de numărre Rezumt: În cdrul temei se vor prezent elementele de ză le comintoricii, regul sumei, produsului, precum şi plicre lor în diferite proleme de lgeră, ritmetică, respectiv geometrie comintorică (proleme de numărre, colorre, descompunere).. Reprezentre regulei sumei, respectiv produsului, şi plicţii le cestor reguli în studiere unor proleme de comintorică, respectiv unor proleme de numărre... Regul sumei Dcă un numit oiect pote fi les în m moduri, ir un lt oiect pote fi les în n moduri, tunci legere lui A su B pote fi reliztă în mn moduri (treuie vut grijă c nici o legere lui A să nu coincidă cu nici o legere lui B ).Dcă totuşi exist stfel de coincidenţe, tunci regul sumei de mi sus dă mn-k moduri de legere lui A su B unde k este numărul de coincidenţe.... Regul produsului Dcǎ un oiect A se pote lege în m moduri si dcǎ după fiecre stfel de legere, un oiect B se pote lege în n moduri, tunci legere perechii (A,B) în cestă ordine pote fi reliztă în m n moduri.... Principiul cutiei (Dirichlet) Dcă n cutii şi mi mult de n oiecte treuie rnjte în cele n cutii, tunci cel puţin oiecte se flă în ceeşi cutie...4. Principiul inducţiei mtemtice Fie P(n),n k o propoziţie mtemtică, k N fixt, n N. Dcă sunt îndeplinite următorele condiţii: I. P(k) A II. Dcă P(p) A, ( ) p k, n tunci P(n) A Atunci p(n) A, ( ) n k Schiţă de demonstrţie P(k) A >P(k) A >P(k) A > 9
..5. Principiul includerii şi excluderii A B A B - A B A B C A B C - A B - A C - B C A B C n n A A n A A A... ( ) A i i ip j n unde A,B,C, A,A,,A n mulţimi finite.. Proleme rezolvte (Algeră)... Mulţimi ordonte i J O mulţime împreună cu o ordine ine determintă de dispunere elementelor sle este o cominţie (su mulţime ordontă). Se numeşte rnjment de n elemente lute câte k orice cominţie lcătuită din k elemente le mulţimii A. Două rnjmente de n elemente lute câte k se deoseesc prin ntur elementelor su prin ordine lor. A k n numărul rnjmentelor de n elemente lute câte k n(n-)... (nn! -k) ( n k)! k n i i n moduri n- moduri n-k moduri Prim poziţie unui rnjment se pote complet în n moduri. A dou poziţie în n- moduri etc. n! Totl, conform regulii produsului n(n-) (n-k), unde n! n, ( n k)! 0!,!.... Permutări Pentru A{,,, n } considerăm un rnjment de n elemente lute câte n. Acest rnjment se numeşte permutre de n elemente. Numărul permutărilor de n elemente Pnn(n-) n!, Pnn!, n.... Numărul de funcţii f:a B ( A m, B n) Numărul de funcţii f:a B ( A m, B n) este n m. 40
Rezolvre B A {f f:a B} B A B A A{,, m }, B{,,n} f : A B este ine determintă dcă ştim cre sunt vlorile lui f( ), f( ),, f( m ) cre se pot lege conform regulii produsului dintre elementele lui B în număr de n n n moduri n m moduri > B A n m. m ori..4. Funcţii injective f : A B injectivă ( ) x,x A, x x > f(x ) f(x ) ( )x,x A, f(x ) f(x ) > x x ecuţi f(x)y re cel mult o soluţie în A. Funcţii surjective f :A B surjectivă ( ) y B, ecuţi f(x)y re cel puţin o soluţie în A Im f B Funcţii ijective f :A B ijectivă funcţie injectivă surjectivă ( )y B, ecuţi f(x)y re exct o soluţie în A. Numărul de funcţii injective A m n, n m. f :A B.î. A n, B m. Numărul de funcţii ijective f :A B, A B n este P n n!. Oservţii f :A B ijectivă > A B, A,B-finite..5. Cominări Dcă A este o mulţime cu n elemente, tunci sumulţimile lui A formte din k elemente 0 k n se numesc cominări de n elemente lute câte k. k n n Numărul lor se noteză C deorece nu conteză ordine n k k! n! elementelor,0 k n, n N. k!( n k)!..6. Mulţime părţilor unei mulţimi dte Fie A o mulţime. P(A){B B A} Dcă A n, tunci P(A) ⁿ. Rezolvre I. Verificăm dcă P(0) este devărtă. 4 A k
AǾ, A 0 Singur sumulţime lui A este Ǿ > P(A) 0 devărtă. II. Presupunem că dcă A p, 0 p n, tunci P(A) p,a este o mulţime orecre Fie B.î. B n, B{,,, n, n }. P(B)T S T{mulţime sumulţimilor lui B, cu propriette că n unei ltfel de sumulţimi}. S{mulţime sumulţimilor lui B, cu propriette că n unei ltfel de sumulţimi}. S T S{U { n } U T} T P ({, n }) n > P(B) T S T S n n n. Din I şi II > P(A) A ( ) A mulţime finită n Oservţie. Din cestă relţie rezultă C... n C n C n Proleme rezolvte 0 n R... Se consideră un tlou în formă de pătrt stfel încât pe fiecre linie şi fiecre colonă să vem n căsuţe (n ) cre se completeză cu numere întregi. Determinţi în câte moduri pote fi complett tloul dcă produsul numerelor de pe fiecre linie, colonă este 5 su -5. Rezolvre Pentru început determinăm numărul de rnjări le numerelor 5 su -5. Dcă pe o linie, colonă pre 5 su -5, tunci pe ce linie, colonă nu v mi păre 5 su -5. Este suficient să vedem în câte moduri putem complet liniile cu 5, respectiv -5. Lini n posiilităţi de completre cu 5 su -5 Lini (n-) posiilităţi de completre cu 5 su -5 Lini n posiilităţi de completre cu 5 su -5 Din regul produsului rezultă că vem n n! posiilităţi de completre cu 5 su -5 În continure pentru fiecre completre unei linii cu 5 su -5 mi vem n -n posiilităţi de completre cu,- numărul funcţiilor definite pe o mulţime cu n²-n elemente (poziţiile rămse liere) cu vlori în mulţime {-,}. În totl numărul de completări este ⁿ ⁿ n! ⁿ² ⁿ² n! R... Fie n un număr întreg. Demonstrţi că este posiil c eliminând cel mult două dintre elementele mulţimii {,,,n} să oţinem o mulţime cre re sum elementelor pătrt perfect. 4
Rezolvre n( n ) n S n < n. Se consideră S,S-,S-,,S-n sumele formte cu elementele mulţimii A din cre ori nu scotem nici un element, ori un element, respectiv elemente (m les ici sumele distincte). Presupunem că nici un număr nu este pătrt perfect > ( ) k n.î. (k-)²< S- n<s-n< <S<k². Numerele dintre cele două pătrte perfecte sunt în număr de k²-(k-)²- k- numere >contrdicţie, ele fiind cel puţin S-Sn-n numere şi k-<n. Deci cel puţin unul dintre numerele de mi sus este pătrt perfect. R... L un turneu de tenis u prticipt de două ori mi mulţi ăieţi decât fete. Fiecre pereche de prticipnţi juct exct o dtă şi nu u fost rezultte egle. Rportul dintre numărul victoriilor oţinute de fete, fţă de cele oţinute de ăieţi fost de 5 7. Câţi prticipnţi u fost l cest turneu? Rezolvre n-numărul fetelor n-numărul ăieţilor n-număr prticipnţi Numărul totl de meciuri C n(n ).. Numărul totl de victorii le n 5 5 5n(n ) ăieţilor reprezintă din totl, deci C n. Meciurile jucte între 8 ăieţi sunt în număr de C n(n ) n(n-)- considerte victorii le ăieţilor. n 5n(n ) n(n-) 5n-5 6n-8 n. 8 Anlizăm czurile n, n, nu convin. n convine. Numărul prticipnţilor este 9. R..4. Se consideră un dreptunghi de dimensiunix n, n număr nturl şi dle pătrte de dimensiuni x de ptru culori. Se pveză dreptunghiul cu dle stfel încât oricre două dle lăturte să iă culori diferite. ) Câte pvări simetrice există? ) Câte pvări u propriette că oricre trei dle consecutive u culori diferite? Rezolvre ) Czul I nk, imposiilă efecture unei pvări simetrice c mi sus, cele două dle din mijloc vând ceeşi culore Czul II nk vom discut modlităţile de pvre în funcţie de dl din mijloc spre drept, ţinând cont că pvre este simetrică. 4
k k k k 4 posiilităţi posiilităţi Totl, conform regulii produsului 4 k posiilităţi. ) 4 n 4 posiilităţi posiilităţi posiilităţi Totl, ² ⁿ 4 ⁿ posiilităţi. R..5.Să se determine numărul de digonle le unui ptrulter convex cu n lturi. Rezolvre Numărul de digonle numărul de segmente determinte de cele n vârfuri din cre n( n ) n( n ) scotem cele n lturi C n n. R..6. Cre sunt poligonele convexe cre u propriette: numărul digonlelor lor este egl cu numărul punctelor de intersecţie le cestor digonle situte în interiorul poligonului şi nu există trei digonle concurente în interiorul poligonului? Rezolvre n( n ) Numărul digonlelor 4 Numărul punctelor dte C n deorece intersecţi două digonle în interiorul ptrulterului convex reprezintă intersecţi digonlelor în ptrulterul convex determint de 4 vârfuri le poligonului corespunzătore celor două digonle şi reciproc 4 vârfuri le poligonului determină două digonle cre se intersecteză în interiorul poligonului. 4 n( n ) Deci rămâne de rezolvt ecuţi C n, n 4 (n-)(n-) n5 Poligonele căutte sunt pentgonele convexe. R..7. Cre este numărul mxim de unghiuri scuţite pe cre le pote ve un poligon convex cu n lturi? Rezolvre Considerăm că poligonul re k unghiuri scuţite. Deci sum unghiurilor sle este mi mică decât k 90º(n-k) 80º. Pe de ltă prte sum unghiurilor unui poligon cu n lturi 44
este eglă cu (n-) 80º. Deci (n-) 80º< k 90º(n-k) 80º > k<4 > k numărul mxim (vezi czul unui triunghi scuţitunghic). R..8. Fiecărui punct din pln i se sociză un număr rel stfel încât numărul socit centrului cercului înscris într-un triunghi să fie egl cu medi ritmetică numerelor socite vârfurilor triunghiului, oricre r fi cest. Să se rte că tuturor punctelor din pln le este socit celşi număr. Rezolvre Fie ABCDEF hexgon regult D,E lese ritrr, de l ele pornind construcţi. A(), B(), C(c), D(d), E(e), X(x) unde {X}AF BC ACE şi BDF - triunghiuri echilterle cu centrul 0 > c e f d. XBF şi XAC u celeşi centru pentru cercurile înscrise dtorită simetriei fţă de drept OX. x f x c > f c > d e q.e.d, D şi E fiind lese ritrr. O este centrul hexgonului regult X A B F O C E D R..9. În interiorul unui pătrt de ltură se consideră 9 puncte. Să se rte că putem lege dintre ceste să fie vârfurile unui triunghi cu ri cel mult eglă cu /8. Rezolvre A P B Se iu mijlocele lturilor pătrtului c în figură. R N Conform principiului lui Dirichlet, cel puţin se flă într-un pătrt mic. D Q C 45
A F G S F E P G M R Ducem ES MR (czul când un din lturile triunghiului este prlelă cu o ltură pătrtului su inclusă în e este trivil). h SE hse SE( h h ) A [EFG] A [FES] A [ESG] q.e.d. FF h GG h 8 Biliogrfie Mnul cls. X- - M.Gng-Editur Mth Press Proleme elementre de mtemtică -M.Gng-Editur Mth Press 00 Proleme de teori numerelor şi comintorică pentru juniori- L.Pnitopol, D.Şerănescu Olimpide lcnice pentru juniori- D.Brânzei, I.Şerden, V. Şerden 46
. Prlelism în spţiu În cdrul temei vom prezent principlele teoreme de prlelism respectiv teorem de prlelism unei drepte cu un pln, plne prlele şi lte teoreme de prlelism deoseit de utile în rezolvre prolemelor, definire corpurilor geometrice, secţiunilor în corpuri geometrice, determinre unor distnţe în spţiu, unghiului două drepte... Drepte prlele Definiţi... Două drepte coplnre cre nu u nici un punct comun se numesc drepte prlele. Axiom... ( Axiom prlelelor Axiom lui Euclid ) Printr-un punct exterior unei drepte putem construi o singură prlelă l drept dtă... Dreptă prlelă cu un pln Definiţi.. O dreptă este prlelă cu un pln dcă nu re nici un punct comun cu plnul. Notţie: Dcă d α Φ, notăm d α su α d. În rezolvre prolemelor pelăm mi puţin l definiţie şi mi mult l teorem de prlelism. Teorem.. Dcă o dreptă este prlelă cu o dreptă inclusă într-un pln tunci e este prlelă cu plnul su inclusă în pln. Demonstrţie: d α Fie plnul α şi drept d α. Fie ď o dreptă inclusă în α şi d ď. Dreptele d şi ď sunt coplnre, (d; ď) β. Presupunem că d α, tunci dα {A } A d β, dr A α β A ď tunci d ď {A }, contrzice ipotez, rezultă că presupunere este flsă. d α. Teorem.. Fie d o dreptă prlelă cu un pln α, ir β un pln cre conţine drept d. Atunci α β su β intersecteză pe α după o dreptă ď şi d ď. d Demonstrţie ď A α ď A Presupunem că α β, tunci αβ ď şi demonstrăm că d ď. Presupunem că d ď, d şi ď sunt coplnre d ď {A}. Din A d şi 47
A ď α; A α; A d α, contrdicţie cu d α; presupunere este flsă d ď. Teorem.. Fie d o dreptă inclusă, su prlelă cu un pln α şi fie ď o dreptă prlelă cu d, dusă printr-un punct A l plnului α, tunci d este inclusă în plnul α. Demonstrţie: Czul d α Fie β (d; ď). Plnele α şi β coincid, vând drept şi punctul A în comun. Rezultă ď α d α A ď d Czul d α Notăm β (d; ď). Dcă β α d, tunci conform teoremei precedente rezultă d ď.dcă d şi d nu coincid tunci prin A trec două prlele l d, cee ce contrzice xiom prlelelor rezultă că ď d. Teorem..4. Dcă,, c, sunt trei drepte stfel încât şi c tunci c (trnzitivitte relţiei de prlelism). Teorem..5 Fie X O Y şi X O Y două unghiuri diferite. Dcă OX O X şi OY O Y, tunci unghiurile X O Y şi sunt congruente su suplementre. X O Y. Măsur unghiului două drepte în spţiu Fie dreptele şi stfel încât { O } Atunci O ^ O ^ 80 - m (opuse l vârf) 4 m ) O^ O^ 4 (opuse l vârf) Definiţi...: Ce mi mică dintre măsurile m şi 80 - m se numeşte măsur unghiului dreptelor concurente şi. Oservţii: Dcă m90 tunci ; Dcă m 0 tunci ; Definiţi...: Măsur unghiului dreptelor şi este măsur unghiului dreptelor şi prlele cu şi, duse printr-un punct orecre P. (conform teoremei unghiurilor cu lturile prlele). Dcă m(; ) 90 ; 48
Proleme rezolvte R.4.. Fie A,B,C,D ptru puncte necoplnre stfel încât BCBD. Bisectorele unghiurilor ABC şi ABD intersecteză pe AC în P şi respectiv pe AD în Q.. Demonstrţi că PQ (BCD). Perpendiculrele duse din A pe isectorele BP şi respectiv BQ intersecteză pe BP în E şi pe BC în M, şi respectiv pe BQ în F şi pe BD în N, determinţi poziţi dreptei EF fţă de plnul (ACD).. Determinţi intersecţi plnelor (PCD) şi (MNF). Soluţie: d. În ABC,(BP este isectore) A BC CP T. isectorei: () BA PA În ABD, (BQ este isectore) BD DQ Q T. isectorei: () BA QA P BC BD (ip). () F Din relţiile (), (), şi () D CP DQ E PA QA R.T.Thles ACD PO CD CD (BCD) PQ (BCD). C M N B. În ABM, BE isectore şi înălţime ABM isoscel BE- medină AE EM () În ABN, BF isectore şi înălţime BF- medină AF FN (4) Din relţiile () şi (4) EF linie mijlocie în AMN EF MN MN (BCD) ABM isoscel BM BA ABN isoscel BN BA BM BN, ir din ipoteză BCBD MN CD şi CD (ACD) MN (ACD) MN EF EF (ACD). 49
. CD MN CD (ACD) (AMN) (ACD) d MN (AMN) A d şi d CD MN A (AMN) (ACD) Dr (AMN) (MNF) şi (PCD) (ACD) (ACD) (MNF) d R.4..: Se consideră punctele necoplnre A, B, C, D. Printr-un punct M de pe segmentele (AB) se duce un pln prlel cu AC şi BD. Acest pln intersecteză pe BC în Q, pe CD în P şi pe AD în N. ) Să se rte că MNPQ este prlelogrm; ) În ce condiţii ptrulterul MNPQ este dreptunghi? ) În czul AM x, AB 5 cm, AC cm, BD 7 cm, să se clculeze, în funcţie de x, perimetrul ptrulterului MNPQ. Soluţie: A. Notăm cu α plnul ce trece prin M şi Α AC şi α BD BD α (ABD) α { MN } MN BD () BD α (BCD) α { PQ } PQ BD () Din relţiile () şi () MN PQ () M x 7 α N D Q P C AC α (ABC) α { MQ } MQ AC (4) B AC α NP NP AC (5) Din relţiile (4) şi (5) NP AC (6) Din relţiile () şi (6) MNPQ este prlelogrm (ACD) α { }. MN BD MQ AC BD AC MN MQ Deci MNPQ este dreptunghi dcă AC BD.. Din MN BD în ABD T.F.A. AMN ~ ABD 50
AM MN x MN AB BD 5 7x MN 7 5 Din MQ AC în ABC T.f.. BMQ ~ BAC BM MQ 5 x MQ BA 5 MQ (5 x) 5 7x (5 x) 4 x 0 x x 0 p MNPQ MN MQ 5 5 5 5 R.4..: Fie O şi G centrele de greutte le triunghiurilor BDC şi respectiv ACD situte în plne diferite. Dcă N este mijlocul segmentului [ CD ], ir M (AB) stfel AM încât şi MN AO { E }, demonstrţi că EG (BCD). AB 5 C Soluţie O centrul de greutte l BO BCD ON O N G. Centrul de greutte l S AG ACD D G GN B BO AG E dr ON GN R.T.Thles în ABN OG AB M A Fie OG MN { S } În NBM, OS BM (T.F.A) NOS ~ NBM OS ON BM OS BM NB AM BM AB Din BM AB 5 AB 5 AB BM tunci înlocuind în relţi OS OS 5 AB 5 AM AB 5 din OS AM AEM ~ OES OS AM OE EA OS AM 5
Dcă OE EA NG R.T.Thles- ANO EG NO GA NO (BCD) EG (BCD).4. Plne prlele Definiţi.4. : Două plne α şi β sunt prlele dcă nu u nici un punct comun. Notăm: α β. Dcă α β Φ tunci α β. În rezolvre prolemelor nu este suficientă definiţi pentru determin soluţi unei proleme, fiind nevoie de o teoremă cre să justifice prlelismul plnelor. Lem.4.. (teoremă jutătore). Dcă şi sunt două drepte prlele, ir α şi β două plne stfel încât α şi β şi α β c, tunci c este prlelă cu şi. Teorem.4.. Dcă un pln conţine două drepte concurente, prlele cu celăllt pln tunci plnele sunt prlele. Demonstrţie: fie plnul α stfel încât, α, { O } şi O exterior plnului α. Prin O ducem dreptele şi, rezultă că α şi α Dreptele şi determină plnul β. Dcă α β tunci se intersecteză după β O drept c, tunci conform lemei (..) rezultă că c şi c, dr { O } contrzice xiom prlelelor rezultă că c presupunere este flsă α β. α O Teorem.4.. Fiind dte un pln α şi un punct A exterior plnului, există un pln unic, ce conţine punctul A şi este prlele cu plnul α Demonstrţie : x Prin A ducem dreptele Ax şi Ay prlele cu α, β y tunci β α, β (Ax; Ay). Vom demonstr că plnul β este unic.fie şi incluse în plnul α şi Ax şi Ay α Orice pln γ cre conţine pe A şi este prlel cu α, este prlel cu şi. Conform teoremei (..) plnul γ treuie să conţină dreptele Ax şi Ax prin urmre γ β Teorem.4. Dcă două plne sunt prlele, orice pln cre intersecteză pe primul îl intersecteză şi pe l doile şi dreptele de intersecţie sunt prlele. Teorem.4.4. Două plne distincte prlele cu l treile sunt prlele între ele. Teorem.4.5. Dcă trei plne nu u tote trei un punct comun dr se tie două câte două tunci dreptele de intersecţie sunt prlele. 5
Demonstrţie : presupunem că,tunci { C },dr în ceste condiţii C α β γ, contrzice ipotez, rezultă că presupunere este flsă, nlog c. C α c γ β Teorem.4.6 (teorem lui Thles în spţiu). Mi multe plne prlele determină pe două drepte orecre, cre le intersecteză pe ceste, segmente proporţionle. d d Demonstrţie: Fie α β γ şi distincte două câte două. A α A Dreptele d şi d sunt distincte şi tie cele Trei plne A, B, C respectiv A, B,C. B B B Ducem prin A drept d cu β şi γ. Atunci β în A C C vem B B C C rezultă C C AB AB γ C Conform teoremei lui Thles că () BC BC Dr A B A B, B C B C şi A A B B C C tunci A B B A şi B C C B sunt prlelogrme AB AB A B A B şi B C B C, înlocuind în relţi () oţinem BC BC Proleme rezolvte R.7. Fie α şi β două plne prlele, ir A şi B α; C şi D β stfel încât A,B,C,D să fie necoplnre. Dcă M este mijlocul lui(ac) şi N este mijlocul lui (BD) ir AN β { F }, BM β { E }, demonstrţi că: ABCE şi ABDF sunt prlelogrme; (AED) (BCF); B A ADE BCF α Soluţie : α β M N (ABC) α AB AB CE () (ABC) β CE AMB CME (ULU) (AM) (MC) C F M^ M^ β ( opuse l vârf) E D ^ ^ A C (lt. int.) 5
(AB) (CE) (). Din relţiile () şi () ABCE prlelogrm Anlog demonstrăm că ABFD este prlelogrm. ABCE prlelogrm AE BC ABFD- prlelogrm AD CF (ADE) (BCF) ADE EAD CBF ( u lt. prlele) (AE) (BC) (op.în ) (L.UL.) ADE BCF BCF (AD) (BF) (op.în ) R.7.. În triunghiul ABC, c c c c. Fie D ( ABC) şi G, G. G respectiv centrele de greutte le triunghiurilor DBC, DAB, DAC. Să se rte că: (G, G. G ) (ABC); D G G G G ; În DBC, DM este medină, M BC şi G este DG centrul de greutte G () GM G A În DAB, DN este medină, N AB şi G este DG centrul de greutte P ( ) GN N ir în triunghiul DAC, DP este medină, P AC şi G este centrul de greutte. B M DG () din relţiile (), (), () GP DG DG DG GM GN GP Aplicăm reciproc teoremei lui Thles în triunghiurile DMN şi DNP şi rezultă că: G G MN; MN (ABC) G G (ABC) G G NP ; NP (ABC) G G (ABC) (G G G ) (ABC) C Din c c c c. Rezultă că ( c)- c( c) (c )( -cc ) : ( c) şi oţinem c c c -c c Din R.T.P. ABC dreptunghic în A. Din G G MN; MN AC G G AC (4) G G MP ; MP AB G G AB (5) Din relţiile (4) şi (5) şi AC AB rezultă că G G G G 54
R.7.. Dcă ptru drepte prlele intersecteză un pln α în vârfurile A,B,C,D le unui prlelogrm, tunci, ele determină pe orice pln cre le intersecteză vârfurile unui prlelogrm. Dreptele şi AB determină un pln (;AB), dreptele d şi CD determină plnul (d; CD) şi d, AB CD plnele (d;cd) şi (; AB) sunt prlele, nlog plnele (;AB) (;BC), tunci orice pln β cre intersecteză dreptele v determin: β (;AB) A B β (d;cd) C D A B C D () (;AB) (d;cd) A D B C β (;AD) A D β (;BC) B C A D B C () (;AD) (;BC) A D B C Din relţiile () şi () A B C D este prlelogrm d c Biliogrfie D.Brânzei şi colectivul, Plnul şi spţiul euclidin; Ed. Acdemiei 986 D.Brânzei şi colortorii, Bzele rţionmentului geometric, Ed. Acdemiei 98 J. Hdmrd, Lecţii de geometrie elementră, Geometrie în spţiu, Ed. Tehnică 96 A.N. Kolmogorov, A.F. Semenovici, F.F. Nghiiu, R.S. Cerkosov, V.A. Guşev, Geometrie pentru clsele VI-VIII, EDP 979 K. Telemn, M. Florescu, C. Rădulescu, D. Morru, E. Stătescu, Mtemticăgeometrie şi trigonometrie cls X-, EDP 979 M. Miculiţ, Introducere în geometri tetredrului, Ed. Minied, Işi 994 I. Cuculescu şi colectivul, Mtemtică- Geometrie- Mnul pentru cls VIII-, EDP 997 A. Negrilă, M. Negrilă, Algeră-Geometrie - cls VIII-, Ed. Prlel 45/ 00 A. Bălăucă, I. Ţiclo, Mtemtică-Geometrie în spţiu, Ed. Ax Botoşni 996 pg 7- D. Brânzei şi colectivul: Mtemtic în concursurile şcolre, Ed. Prlel 45, 00,00 pg 55-84(00);pg 56-7(00) Gh. Ţiţeic, Proleme de geometrie, Ed. Tehnică 98,pg 90-95 C. Hărăor, D.Săvulescu, I. Cheşcă, A.Ţifre: Mtemtică pentru clsele V-VIII - Olimpidele judeţene, interjudeţene, nţionle, Ed. Teor 996, pg 78-79 E. Feru, I. Olivotto, Cum gândim prolemele de geometrie în spţiu, Ed. Art Bucureşti 994, pg 9-55
. Perpendiculritte în spţiu Tem v cuprinde principlele teoreme de perpendiculritte şi nume: teorem de perpendiculritte unei drepte pe un pln, teorem celor trei perpendiculre, plne perpendiculre, unghiul unei drepte cu un pln, unghiul două plne, proiecţii, teoreme deoseit de utile în ordre prolemelor de perpendiculritte şi studiul corpurilor geometrice... Dreptă perpendiculră pe un pln Definiţi... Două drepte şi din spţiu sunt perpendiculre dcă prlelele duse printr-un punct P l ele sunt perpendiculre. Definiţi... O dreptă este perpendiculră pe un pln dcă este perpendiculră pe orice dreptă plnului. Notţie: d α su α d În rezolvre de proleme nu este eficientă definiţi fiind necesră teorem de perpendiculritte cre reduce condiţi l perpendiculritte dreptei pe două drepte concurente din cel pln. Teorem... Dcă o dreptă este perpendiculră pe două drepte concurente dintr-un pln, tunci drept este perpendiculră pe pln. Teorem... Dintr-un punct M se pote duce pe un pln α, o unică perpendiculră. Teorem... Două plne perpendiculre pe ceeşi dreptă sunt prlele între ele. Teorem..4. Există un pln unic perpendiculr într-un punct pe o dreptă. Teorem..5. Două drepte perpepndiculre pe un pln sunt prlele. Definiţi... Fie un pln α şi trei perpendiculre necolinire A, B, C. Dcă D este un punct ce nu prţine plnului α, tunci plnele (DAB), (DBC), (DAC) vor intersect α după triunghiul ABC. Mulţime punctelor interiore triunghiurilor DAB, DBC, DAC, ABC reunită cu mulţime punctelor segmentelor [AB], [BC], [CA]; [DA], [DB], [DC], formeză tetredrul DABC su ABCD. D α A C B Elementele tetredrului: - vârfurile: A, B, C, D - feţele tetredrului: DAB, DAC, DBC, ABC 56
- muchiile tetredrului: [DA], [DB], [DC], [AB], [AC], [BC] - z tetredrului: ABC, dr oricre fţă pote fi z - înălţime este perpendiculr din vârf pe ză. Tetredrul regult este tetredrul cu tote muchiile congruente. Definiţi..4. Fiind dt un poligon convex A A A n conţinut într-un pln α şi un punct V ce nu prţine lui α, interiorele triunghiurilor V A A, V A A,, V A n A n, reunite cu interiorul poligonului convex dt şi cu mulţime punctelor segmentelor [A A ], [A A ],, [A n A ]; [VA ],, [VA n ]; formeză o pirmidă de ză A A A n şi vârf V. Definiţi..5. Fie α şi β două plne prlele şi un poligon A A A n, situt în plnul α şi o dreptă d ce intersecteză α într-un singur punct. Prin fiecre punct P l poligonului A A A n construim un segment PP prlel cu d şi P β. Mulţime punctelor P formeză în plnul β un poligon A A A n congruent cu A A A n. Mulţime tuturor segmentelor PP reunită cu mulţime punctelor interiore celor două poligone convexe congruente se numeşte PRISMĂ. Elementele prismei: * zele prismei sunt poligonele: A A A n şi A A A n * feţele lterle sunt prlelogrmele: A A A A ; ; A n A A A n * muchiile lterle sunt segmentele: [A A ]; [A A ]; ; [A n A n ] * muchiile zelor sunt segmentele: [A A ]; [A A ]; ; [A n A ]; [A A ]; [A A ]; ; [A n A ] * înălţime prismei este distnţ dintre ze. Prism dreptă este prism cre re înălţime eglă cu lungime muchiei lterle. Prlelipipedul este prism cre re tote feţele prlelogrme. Prlelipipedul dreptunghic este prism cu tote feţele dreptunghiuri. Cuul este prlelipipedul dreptunghic cu tote muchiile congruente. Proleme rezolvte R... Dreptunghiurile ABCD şi CDEF sunt situte în plne diferite. Demonstrţi că: ) CD (ADE) E ) m(cd; AE) 90 o F ) AB (BCF) D C Soluţie: ) ABCD dreptunghi CD AD CDEF dreptunghi CD DE CD (ADE). A ) Din CD (ADE) AE (ADE) CD AE m( (CD;AE))90 0 B 57