CAPITOLUL POIECTAEA FILTELO DIGITALE CU ĂSPUNS FINIT LA IPULS U filtru igital au umric t u itm icrt car calază şi/au fazază î mo lctiv comotl ctral al malului icrt itrar, ofri la işir u mal icrt otim tru coul orit. Scoul filtrării t a îmbuătăţi calitata malului a ruc au îlătura zgomotul, a xtrag iformaţii au a ara ouă au mai mult mal combiat. Filtrara umrică t rfrată cli aalogic atorită uuia au mai multora i următoarl avata:. Filtrl umric ot ava caractritici imoibil ralizat cu filtrl aalogic, xmlu, fază rfct liiară, î cazul filtrlor FI.. Sr obir filtrl aalogic, rformaţl clor igital u variază cu variabill miului, xmlu, tmratura. Acata limiă citata calibrării rioic. 3. ăuul î frcvţă oat fi autat automat ri imlmtara filtrlor cu rocoar rogramabil, motiv tru car foloc î filtrara aativă, mai ficit cât cl aalogic. 4. Difrit mal itrar ot fi filtrat u igur filtru igital, fără moificara tructurii ar, ri multilxar. 5. Atât atl filtrat cât şi cl filtrat ot fi tocat tru o rlucrar ultrioară. 6. Foloi avatal tologii VLSI, act filtr ot fi ralizat la imiui mici, utr mică, rţ căzut. 7. Î ractică, rcizia uui filtru aalogic t limitată, atuara î baa orir tru filtrl activ fii î ur 6 7 B, la filtrl igital, acata t limitată umai lugima cuvâtului foloit, augâu- î mo curt la 8- B. 53
8. Prformaţl filtrlor igital ut rtabil la rocor la rocor, fără citata rglalor. 9. Filtrl igital ot fi foloit la frcvţ foart căzut, u cl aalogic u ut utilizabil, acori u larg omiu frcvţ ri imla cimbar a frcvţi şatioar. Dzavatal imortat al filtrării igital faţă ca aalogică ut:. Limitara vitzi. Lăţima baă a mallor car l oat rlucra u filtru igital î tim ral t mult mai mică î comaraţi cu cl aalogic. Î fucţioara î tim ral, covria aalog/igitală A/D şi igital/aalogicã D/A itrouc rtricţii vitză. Timul covri al CAD şi CDA limitază frcvţa maximă car oat fi rocată. Î lu, vitza oraţii i vitza rocorului igital şi umărul oraţii car trbui ă l xcut.. Efctl lugimii fiit î rrztara umrlor. Filtrl igital ufră zgomotul cuatizar al CAD şi cl rotuir, aărut î timul calcullor, car couc la graara rformaţlor actora. 3. Tim mar roictar şi zvoltar. Timul roictar şi imlmtar ar t mult mai mar î comaraţi cu cl car filtrlor aalogic. Ul rogram roictar aitată calculator ot îă raliza uşor act lucru... Coiraţii gral aura cauzalităţii şi imlicaţiil i Î Caitolul -au rztat caractriticil filtrlor ial şi -a arătat că atfl filtr ut cauzal şi, ri urmar, ralizabil fizic. Î cotiuar, roblma cauzalităţii şi imlicaţiil i t tratată î taliu. S coir\ u FTJ ial, al c\rui r\u ` frcv\ t, c., c < \uul \u la imul trmi\ cu traformata Fourir ivr\ c c, ic c i. c c, c 54
O rrztar a lui tru c / 4 t at\ ` figura.. Act filtru t cauzal i, ci, u oat fi ralizat ractic. ~ lu, u t abolut umabil i, ` coci\, t itabil. Cu cât l\]ima ba\ a filtrului crt, r\uul la imul vi mai `gut, i ivr. Ptru c filtrul vi trc tot FTT i r\uul \u la imul vi imulul uitat. Figura.. \uul la imul al uui FTJ ial Dac\ r\uul la imul t `târziat cu atioa, r\uul ` frcv\ vi ] F.3 S obrv\ c\ act filtru ar faza liiar\. Oricum, ici o valoar fiit\ a `târzirii u va ava ca rzultat u filtru cauzal. O olu]i oibil\ ralizar ar fi a itrouc o `târzir mar ` i a imu, tru <. Evit, filtrul ob]iut u va fi ial. Di aaliza mai u -a rfrit la u filtru trc o ial, cocluziil ob]iut ut valabil i tru cllalt tiuri filtr ial 3]. Coi]iil car i uficit car trbui \ l atifac\ r\uul ` frcv\ al uui filtru, tru a fi cauzal ut tatuat torma Paly - Wir, uat\ ` cotiuar. Dmotra]ia actia \t carul rztului matrial, motiv tru car u t rztat\ 68]. Dac\ t rgi fiit\ i tru <, atuci l <.4 ciroc, ac\ t \trat itgrabil i ac\ itgrala i.4 t fiit\, atuci oat aocia lui u r\u faz\ 55
θ, atfl `cât filtrul rzultat, cu r\uul ` frcv\ θ, \ fi cauzal. O cocluzi imortat\ c rzult\ i acat\ torm\ t c\ moulul oat fi zro la ul frcv, ar u oat fi zro u omiu frcv, oarc itgrala vi ifiit\. ~ coci\, oric filtru ial t cauzal. Cauzalitata imlic\ xita ui rla]ii `tr \r]il ral\,, i imagiar\, I, al lui. Ptru a ilutra acat\ \, comu ` arta a ar\,, i imar\, o, aic\.5 u ].6 i o ].7 Dac\ t cauzal, t oibil\ rfacra actuia i arta a ar\,, tru < au i arta a imar\, o, tru <, lucru car va ar\ta ` cotiuar. Di.6 rzult\ u ] δ,.8 i i.7 rzult\ o u ] δ,.9 Doarc o tru, u oat rfac ] i o i, ci, ] trbui cuocut. Di.8 i.9 obrv\ c\ tru, xit\ o rla]i foart utric\ `tr o i, aic\ o. Dac\ t abolut umabil tabil ` IE 63], r\uul ` frcv\ xit\ i I. ~ lu, ac\ t ral i cauzal, rorit\]il imtri al traformati Fourir imlic\ 63]. o I Atât tim cât t comlt trmiat, rzult\ c\ t comlt trmiat ac\ cuoat. Similar, 56 o
t comlt trmiat ac\ cuoat I i ]. Acata imlic\ o lg\tur\ `tr i I tru itm cauzal. Cu alt cuvit, ` cazul itmlor icrt, liiar, cauzal r\uul amlitui i r\uul faz\ al itmului ut t. Fii at, tru o cv\ ral\, ar\, abolut umabil\ oat trmia. Exmlul.. Fi u itm liiar ivariat ` tim, tabil, cu r\uul la imul ral i ar. S\ trmi ac\ aco, a <. aco a Solu]i. S trmi\ `tâi. z z z,co. z z a z z / z a z / z a z z a z a az S obrv\ c\ olii ut a i /a. Sitmul fii tabil, crcul uitat t curi ` rgiua covrg\, car va fi u il circular curi `tr i car coi crcul uitat a < z </ a. ~ coci\, t o cv\ bilatral\ ` car olul a trmi\ o art cauzal\, iar olul /a, o art cauzal\. Alicâ traformata Z ivr\ lui z, ob]i a δ. Îlocui. î.8, rzultă rlaţia a u a cări traformată Fourir t a laţia îtr ărţil rală şi imagiară al comotlor traformati Fourir tru o cvţă abolut umabilă, cauzală şi rală oat obţi lcâ la rlaţia.8, căria i alică traformata Fourir. 57
F{ } F{ u } ] u F{ u δ } λ U λ λ ] I 58 U ] U t traformata Fourir a trti uitat u 35]..3 U δ δ δ co i δ.4 δ ctg, i Îlocui.4 î.3 şi itificâ ărţil imagiar rzultă rlaţia itr I şi λ I λ ctg λ.5 u obrvă că I t uic trmiat ri.5. Itgrala i.5 umşt traformata ilbrt irctă. Î cocluzi, cauzalitata ar imlicaţii foart imortat î roictara filtrlor lctiv frcvţă, şi aum:. ăuul î frcvţă u oat fi zro, cât cu xcţia uui umăr fiit uct.. oulul u oat fi cotat î oric omiul fiit frcvţ şi traziţia la baa trcr la ca orir u oat fi ifiit abrută acata t o cociţă a fomului Gibb, car rzultă i trucira lui tru a obţi cauzalitata 38] 3. Părţil rală şi imagiară al lui ut itrt, l fii lgat ri traformata ilbrt irctă. Î cociţă, moulul şi faza θ a lui u ot fi al arbitrar. Î aragrafl următoar va fac rfrir umai la claa SDLIT cauzal criă cuaţia cu ifrţ N y a y ] b x ].6
al căror rău î frcvţă t b N.7 a.. Tiuri filtr igital Filtrl igital ot fi îmărţit î ouă cla, filtr cu rău fiit la imul FI au FI Fiit Imul o şi filtr cu rău ifiit la imul II au II Ifiit Imul o. Oricar i act ouă tiuri oat fi rrztat ri răuul la imul, N tru filtr cauzal. Itrara şi işira filtrului ut lgat ri uma covoluţi, ată rlaţia tru filtr FI şi 59 y ] x ].8 y ] x ].9 tru filtr II. Evit, tru filtrl II răuul la imul t urată ifiită şi tru filtrl FI răuul la imul ar umai valori. Î ractică, tru filtrl II u foloşt forma.9, tru că lugima filtrului t tortic ifiită, ci foloşt cuaţia cu ifrţ, î formă rcurivă 63] N y ] x ] a y ] b x ]. u a, b ut coficiţii filtrului, iar şi N rrzită graul oliomului umărătorului, rctiv umitorului fucţii trafr. Ecuaţia.8 t cuaţia cu ifrţ tru filtr FI şi. t cuaţia cu ifrţ tru filtr II. O altă rrztar tru filtrl FI şi II oat fac foloi fucţiil itm z ] z.
tru filtrl FI şi b z z N. a z tru filtr II, car rzultă ri alicara traformati Z rlaţiilor.8, rctiv...3. Filtr ralizabil fizic, lctiv frcvţă Criţl filtrlor igital ut î mo obişuit cificat î omiul frcvţă şi ut xrimat ri amlituia au/şi faza au îtârzira răuului orit. Î cazul filtrului trc o FTJ, răuul î amlitui orit t obici at tru, ].3 tru, ] u şi rrzită frcvţl ugiular coruzătoar caătului bzii trcr şi îcutului bzii orir. Dşi tru u filtru ral ut orit caractriticil filtrlor ial rztat î cţiua.7., acta u ut abolut car î mult i alicaţiil ractic. uţâ la coiţiil car trbui ă l o u filtru ial, t oibil a obţi u filtru a cărui caractritică ă aroi ca ială şi ă atifacă criţl roictar. laxara coiţiilor rfră la acctara fatului ca moulul ă u fi cotat î îtraga baă trcr, u rilu mic fii acctabil. Similar, u t abolut car ca ă fi zro î baa orir, u, ama, t tolrabil u rilu mic. Î caractritica amlitui, trcra la baa trcr la ca orir trmiă baa traziţi au rgiua traziţi a filtrului. oulul ormalizat al fucţii trafr al uui filtru trc o ralizabil fizic t rztat î figura., ub forma ui cm tolraţă. Smificaţia mărimilor figură t următoara: - fişt frcvţa coruzătoar caătului bzii trcr limita urioară a bzii trcr; 6
- fişt frcvţa coruzătoar îcutului bzii orir limita ifrioară a bzii orir; - fişt lăţima bzii traziţi; δ - rrzită rilul i baa trcr, moulul varii îtr ± δ ; δ - rrzită rilul i baa orir. Figura.. Limitl tolraţă tru aroximara răuului î amlitui a uui filtru trc o ral Lăţima bzii trcr trmiă î mo obişuit lăţima baă a filtrului. S orşt ca î baa trcr a filtrului, itrvalul, ], ă fi ătrat comotl mal, iar cl rctat ă fi î itrvalul, ], umit baa orir a filtrului. Caractritica filtrului trc o rrzită răuul î amlitui acctabil câ acata află î limitl ±δ î baa trcr şi mai mic au gal cu δ î baa orir. Ptru a fac oibilă aroximara cât mai aroiată fucţia orită, cificaţiil iclu o baă traziţi, car u t zro, ca î cazul ial, î car răuul filtrului ca la valoara î baa trcr la zro î baa orir. Î cazul filtrlor cu coficiţi rali, atorită imtrii şi rioicităţii răuului î amlitui, t uficit a cifica criţl filtrului umai tru itrvalul. Î ractică, foloşt mult ori o cală logaritmică tru moulul, rrztâu- log, cu uitata 6
măură B. Î loc δ oat iica abatra maximă a atuării î baa trcr δ log B] A.4 δ şi, imilar, î loc δ, oat cifica atuara maximă î baa orir A log δ B].5 Ambl catităţi ut ozitiv. Î ul alicaţii, t car ă mţiă forma malului la itrar, lucru car ralizază acă răuul fază al filtrului t aroximativ liiar î baa trcr, ], aică Arg θ t o fucţi liiară î itrvalul, ], aică θ τ τ,.6 u τ şi τ ot fi arbitrari. Ptru a aaliza liiaritata fazi, î loc răuul fază, oat foloi îtârzira gru, fiită cu rlaţia Arg τ g.7 au îtârzira fază, fiită cu rlaţia Arg τ.8 D mult ori, acta au o formă rrztar mai imlă cât a răuului fază şi ut aa mai uşor itrrtat. W fucţia orar a rorii Fi fucţia orită, aroximar şi E valoara fucţii roar orată, fiit uă cum urmază: tru X tru X.9 W tru X W δ W tru X δ.3 şi E W ].3 u X şi X iică ruiua bzilor trcr şi, rctiv, orir. 6
Î cazul cl mai gral, xită mai mult bzi trcr şi orir tru filtru, şi roara aroximar acctabilă i î ficar baă. Î act caz, cificaţiil ot fi clarat ca ε ε tru X.3 u ε tru X.33 δ ε.34 W t viaţia rmiă faţă răuul orit i baa trcr, şi δ ε.35 W t viaţia faţă zro, amiă î rgiua bzii orir. Cu autorul rlaţiilor.9,.3,.3,.34 şi.35 î limitl bzilor trcr şi orir, cificaţiil i rlaţiil.3,.33 ot fi cri atfl: δ W ] δ tru X.36 δ tru X W.37 Scificaţiil i cuaţiil.36 şi.37 ot fi combiat tru a obţi următoara formă uificată, car t utilizată î mult tici roictar a filtrlor E ε tru X X X.38 cu ε δ.39 Dacă valoara abolută maximă a fucţii roar orat t mai mică au gală cu ε î X, atuci va îliii critriul gabarit. D xmlu, î cazul filtrlor trc baă, cificaţiil ut uzual clarar ca δ tru, δ ].4 δ, ], ] tru.4 Act coiţii ot fi cri î forma uificată ată rlaţia.38, utilizâ rlaţiil: X,,,.4 ] ] ], 63
, ] tru.43 tru, ], ] tru, ] W δ.44 tru, ], ] δ şi rlaţia.39. Î oric roblmă roictar filtr, trbui ă cific:. ilul maxim tolrabil î baa trcr;. ilul maxim tolrabil î baa orir; 3. Frcvţa caăt a bzii trcr ; 4. Frcvţa coruzătoar îcutului bzii orir. ăura î car aroximază cificaţiil imu i î buă art critriul foloit î algra coficiţilor { a } şi { b }, ca şi umărul actor coficiţi..3.. Eta î roictara filtrlor igital Proictara uui filtru igital ruu arcurgra următoarlor ta:. Scificara criţlor filtrului;. Calculul coficiţilor filtrului, aroximara fucţii trafr; 3. Stabilira uui critriu calitat tru răuul filtrului obţiut î comaraţi cu răuul orit; 4. alizara filtrului îtr-o tructură otrivită, car ralizază acată fucţi trafr. alizara ruu cuatizara coficiţilor la u umăr fiit biţi şi fctuara oraţiilor aritmtic cu o rcizi fiită; 5. Aaliza fctlor lugimii fiit aura rformaţlor filtrului; 6. Imlmtar oft şi/au ar. Act ta u ut it şi ul itr l ot fi rluat itrativ. 64
.4. Filtr cu rău fiit la imul fază liiară Uul itr cl mai iml tiuri filtr c oat fi roictat t filtrul FI fază liiară. Aşa cum va rzulta ultrior, umai filtrl FI ot ava faza liiară, coiţi crută î mult alicaţii ractic, cum ar fi comuicaţiil igital. U filtru FI lugim ar răuul î frcvţă, rctiv fucţia trafr forma b.45 { b, ut valoril răuului la imul al u coficiţii filtrului, } filtrului, aică b,, î rt.46 Fucţia trafr, rioică î frcvţă cu rioaa, oat fi xrimată î mai mult mouri, uă cum urmază: θ.47 Trcril ri zro al fucţii trafr couc la alturi fază raiai, aşa îcât θ ar icotiuităţi î acl uct. Di act motiv rfră următoara formă tru fucţia trafr: ϕ ϕ ±.48 u θ ϕ θ, θ Arg{ }.49 Priciall rorităţi al fucţii trafr ut:. Î cazul î car filtrul FI ar coficiţii rali aşa cum îtâmlă î maoritata ituaţiilor c rzită itr i uct vr ractic, caractritica moul t o fucţi ară, iar ca fază ϕ au θ t o fucţi imară.. Fucţia i rlaţia.48 umită fucţi trafr fază zro t o fucţi rală şi cotiuă, utâ lua atât valori ozitiv cât şi gativ. Fucţia ϕ t, ama, o fucţi cotiuă. 3. Fucţia θ rzită alturi raiai la frcvţl la car ar trcri ri zro, umit frcvţ rcţi. Acta ot fi uşor itificat caractritica fază. 65
66 4. Î roictara filtrlor FI rfră xrimara fucţii trafr î forma.48, atorită cotiuităţii fucţiilor şi ϕ î itrvalul fuamtal -,]. Coiţia fază liiară obţi ri imura ui coiţii imtri ară au ozitivă aura răuului la imul al filtrului, umită uori, imlu, coiţi imtri, aică ] ].5 au a ui coiţii imtri imară au gativă aura răuului la imul al filtrului, aică ] ].5 umită şi coiţi atiimtri. Î cotiuar, va arăta că, acă răuul la imul al filtrului îlişt ua i coiţiil i.5 au.5, filtrul ar faza liiară. Filtru tiul. Simtri ozitivă ară, imar ] ], ] ]....5 Ţiâ ama rlaţiil.45 şi.5 răuul î frcvţă vi ]co 3... ] ] ]...... ] ] ] ] 3.53 Trmul i aratză t ral tru toat valoril lui şi otază cu, aică
67 3 ]co.54 alizâ cimbara iiclui umar m.55 şi aoi rvi la iicl, xria fucţii trafr vi co.56 Itroucâ otaţiil ] a ; a ] cu,.57 oat cri ]co a.58 Ţiâ cot rlaţiil.47.49, i.53,.54 şi.58, rzultă ]co a ; ϕ < acă, acă, θ.59 Filtru tiul. Simtri ară, ar ] ] ] ]....6 Urmâ aclaşi ta calcul, obţi ]co.6
68 Trmul i aratză t ral şi otază cu, aică ]co.6 Îtrucât -/ Z orază cimbăril iic umar m şi m.63 cu car, fucţia trafr vi co.64 Cu otaţia, tru ] b.65 rzultă ]co b.66 Ţiâ cot rlaţiil.47.49, i.6,.6 şi.66 rzultă ]co b ; ϕ, < acă, acă, θ.67 S obrvă că, atât tru imar cât şi tru ar, θ şi ϕ ut aclaşi, fii fucţii liiar. Filtru tiul 3. Simtri imară, imar ] ] ] ].68
69 ]i ] 3... ] ] ]......... ] ] ] 3.69 u 3 ]i.7 Efctuâ cimbara iic i.55 şi otâ -, cu ] c.7 fucţia trafr vi ]i c.7 Î act caz ϕ ; ]i c < acă, 3 acă, θ.73 Filtru tiul 4. Simtri imară, ar ] ].74 Urmâ u mr calcul imilar cu cl la filtrul tiul 3, rzultă
7.75 u ]i.76 Cu cimbara iiclui umar ca î.63, rzultă ]i.77 u, tru ]..78 Î act caz ; - ]i ϕ.79 < acă, 3 acă, θ.8 S cotată că şi tru cazul î car răuul la imul rzită imtri imară răuul fază t o fucţi liiară. Act formul gral obţiut tru răuul î frcvţă ot fi foloit î roictara filtrlor FI fază liiară al căror rău la imul rzită imtri ară au imară. Lugima filtrului,, t fucţi caractriticil filtrului lăţima bzii traziţi, riluril i bzil trcr şi orir, şi î litratura cialitat xită rlaţii miric cu autorul cărora trmiă acată mărim 3]. Î toat cazuril coirat răuul fază -a xrimat î forma α β ϕ.8 u α, β tru rău la imul imtric şi β tru rău la imul atiimtric. Cu alt cuvit, tru filtrl tiul şi caractritica fază t cu trcr ri origi, iar tru filtrl
tiul 3 şi 4, caractritica fază t o rata car u mai trc ri origi. Î toat cazuril timul îtârzir gru ormat t ϕ t g α.8 Obrvaţii.. Ptru filtrl tiul şi 3, cu imar, fucţia, ar u corot fizic î tim şi aum - ] F.8 fii o cvţă cauzală, imtrică la tiul, rctiv atiimtrică la tiul 3 î raort cu oroata. Ptru filtrl tiul şi 4 u mai xită act corot fizic, oarc î act caz, -/ fii îtrg, u mai t rmiă laara ată rlaţia.8.. Di xriil.59,.67,.73 şi.79 obrvă că fucţia trafr fază zro t o fucţi ară tru filtrl tiul şi, rctiv imară tru filtrl tiul 3 şi 4, car u ar comotă cotiuă tru tiuril 3, 4. 3. Aalizâ xriil.59,.67,.73 şi.79 al fucţiilor fază zro î cl atru cazuri cotată că fucţia fază zro t rioică rioaă tru filtrl tiul au 3, î cimb tru filtrl tiul au 4, rioaa t 4 şi rzită imtri rotaţi a oua umătat a rioai rtă voluţia ar cu m cimbat. Acată obrvaţi t utilă la roictara filtrlor tru imura corctă a coiţiilor î omiul frcvţă. Î Tablul. ut rztat î rzumat cl 4 tiuri filtr FI fază liiară îmruă cu aumit articularităţi mificativ car utifică utilizara au utilizara ficăruia î ralizara uor aumit tiuri caractritici filtrar: filtr trc o FTJ, trc u FTS, trc baă FTB, orşt baă FOB, traformator ilbrt T şi ifrţiatoar DIF. Algra coiţii imtri au atiimtri tru răuul la imul i alicaţi. 7
Tablul. FI cu fază liiară tiul: Lugima Scvţa ϕ Valoara lui, şi la: Et iicat la roictara: Nu oat fi foloit la roictara: imară ară -- co -- 3 imară --- 4 ară a b co -/] c i --- fără cotrâgri fără cotrâgri i fără FTJ,FTS FTB FOB FTJ FTB fără cotrâgri cotrâgri FTB T DIF FTS,FTB T DIF T DIF FTS, FOB T DIF FTJ FTS FOB FTJ FOB 7
D xmlu, tru rău la imul cu imtri imară şi imar, i.73 rzultă şi şi, î cociţă, rlaţia.73 u va fi otrivită tru roictara FTJ au FTS. Similar, tru rău la imul cu imtri imară şi ar,, caz î car, acată coiţi u va uta fi foloită î roictara uui FTJ FI fază liiară. Î cimb, coiţia imtri ară rmit obţira uui FTJ cu rău ifrit la. 3, imar,.83, ar,.84 Ficar i coiţiil.54,.6,.7 şi.76 cotitui u t cuaţii liiar i car ot fi trmiaţi coficiţii filtrului. Î cazul filtrlor al căror rău la imul rzită imtri ară t cară cificara răuului î frcvţă î uct tru imar şi tru ar. Dşi valoril lui ot fi al arbitrar, obici acta alg ca uct ciitat î omiul. Atfl, acă,,,...,, imar.85,,...,, ar şi fişt a co, şi a tru şi toţi.86 cuaţiil liiar.54 şi.6 tru filtr FI cu rău la imul imtric vi a,,... tru imar.87 73
a,,..., tru ar..88 Î cazul răuului la imul cu imtri imară t cară cificara răuului î frcvţă î uct tru imar şi uct tru ar. Doarc.7 şi.76 imlică it algra lui, vit, uctul u va uta fi foloit î cificara răuului î frcvţă. Ptru imar u t ici o roblmă, oarc oat cifica î -/ uct ciitat î omiul fuamtal frcvţă, forma / tru,,..., -/. Câ t ar ut car / frcvţ, atfl îcât, acă u oat foloi, va foloi. Î act caz fic frcvţl,,...,, imar.89,...,, ar O altrativă î algra frcvţlor car îlătură comlt răuul ul la şi t /,,,...,, imar.9,,...,, ar Act t frcvţ obţi i.85 ri laara ficări frcvţ cu. S fic coficiţii b i.9 Cu.9, cuaţiil liiar.7 şi.76 vi 3 b,,..., imar.9 74
b,,..., ar.93 Exmlul.. Să trmi răuul la imul al filtrului FI fază liiară lugim 4 tru car şi. Soluţi. Di.88 rzultă itmul cuaţii a] a] a] a] î car a, a, a, a. Î formă matricală oat cri comact A ] ] ] ] u A ], ], ] ] Soluţia t ],733 3] 4 ],467766 ] 4 ăuul î frcvţă al actui filtru t 75 3 3 u co co 4 Î xmlul mai u, -a coirat u filtru lugim foart mică. Î ractică, î fucţi alicaţi, ut car filtr FI a căror lugim t mult mai mar oriul zcilor, ituaţi î car oat fi calculat umai cu autorul calculatorului. Obrvaţi. Ptru filtrl FI cu fază liiară, tru oric ar au imar, xită o igură valoar a îtârzirii gru ormat, şi aum
θ ϕ τ g α.94 Î figura.3 t rrztată alura răuurilor la imul tru cl atru tiuri filtr FI cu fază liiară. Figura.3. ăuuril la imul tru cl atru tiuri filtr FI cu fază liiară: a tiul ; b tiul ; c tiul 3; tiul 4..4.. Zrouril fucţii trafr a filtrului FI cu fază liiară Coiţia imtri au atiimtri a răuului la imul, car trmiă faza liiară a filtrului FI, imlică şi o oziţioar articulară a zrourilor fucţii trafr z a actuia. Îlocui î z cu z -, obţi z.95 z z z.96 76
77 Efctuâ cimbara iiclui umar m-- şi utilizâ coiţia imtri ozitivă i.5 rzultă următoara rlaţi valabilă tru filtrl FI tiul şi. z z z z z z ] ].97 Procâ imilar tru filtrl tiul 3 şi 4 cu utilizara coiţii atiimtri.5, găşt rlaţia z z z z z z ] ].98 ui.97 şi.98 rzultă că fucţia trafr a oricărui filtru FI cu fază liiară atifac rlaţia z - ±z - z.99 Di rlaţia.99 rzultă următoarl cocluzii:. Dacă z i t u zrou al lui z, atuci şi /z i t ama u zrou al actuia;. Doarc, î gral, coficiţii ai oliomului z ut rali, zrouril comlx al actuia aar î rci cougat. Ca urmar, ut oibil următoarl cofiguraţii zrouri xrimat î cooroat olar al actora. a θ r z, cu r, θ, θ Caractrul ral al coficiţilor trmiă xitţa zroului * θ r z z iar liiaritata fazi, coform rlaţii.99, imlică xitţa zrourilor z 3 şi z 4, imtric faţă crcul uitat 4 3 z şi θ θ r z r z z Acti cofiguraţii îi coru factorul lmtar z î fucţia itm z: 4 3 4 co 4co co z z r r z r r z r r z z z i i θ θ θ. Evit, cvţa Z - { z} t imtrică. Cotlaţia clor atru zrouri t ată î figura.4 cu marcara îtr aratz a cooroatlor olar.
Figura.4. Poziţiil zrourilor tru r şi θ, θ b r şi θ, θ θ θ Przţa zroului z imlică automat şi zroul z car t comlx cougatul lui z. Fii crcul uitat, zrouril z şi z rrzită şi roriil lor imtric faţă crcul uitat. Factorul lmtar coruzător î z va fi θ θ z z z coθ z z c r şi θ Zroul z r fii ral, imlică oar imtricul ău faţă crcul uitat z /r şi, ci, factorul lmtar z z r z r z z r r r şi θ Aalog cazului c, obţi z r z şi z r z z r r r şi θ au r şi θ Zroul z au z - t imulta roriul lui cougat şi imtric faţă crcul uitat. Factorii lmtari coruzători actora ut z -z - rctiv z z -. Utilizâ rlaţiil z z ; z z. şi corlâ articularităţil fucţii i Tablul. cu cofiguraţiil zrouri oibil al fucţii z fază liiară, ri următoarl obrvaţii: 78
Îtrucât zrouril mţioat la a, b, c, aar î umăr ar, î cazul filtrlor cu lugim ară tiuril şi 4, car imlică oriul - imar tru itm, t cară rzţa factorilor tiul cu ori multilicitat imar. Atfl, la filtrl tiul t obligatori rzţa zroului z- cu multilicitat imară tru a raliza aulara lui la, î tim c la filtrl tiul 4 t obligatori rzţa zroului z cu multilicitat imară tru a raliza aulara lui la. La filtrl tiul 3, cu oriul - ar, t obligatori rzţa imultaă a zrourilor z şi z- tru a aula î şi. Imaritata fucţii cită multilicitat imară atât tru z, cât şi tru z-. La tiul, cu oriul - ar, aariţia zrourilor î z şi z- u t obligatori. S ot itrouc, acă alura caractriticii filtrar cită aulara i la frcvţl şi/au, ar atuci obligatoriu cu multilicitat ară tru ficar, acata tru a rcta oriul ar al filtrului şi aritata caractriticii. Ţiâ ama act obrvaţii, î figura.5 rzită cotlaţiil tiic al zrourilor clor atru tiuri filtr FI cu fază liiară. Figura.5. Cotlaţiil tiic zrouri tru cl 4 tiuri filtr FI cu faza liiară 79
.5. Proictara filtrlor FI cu fază liiară ri mtoa frtrlor Î acată mtoă îc cu cificara răuului orit î frcvţă,, car t o fucţi rioică rioaă şi oat zvolta î ri Fourir ]. ăuul la imul uc cu traformata Fourir ivră ].3 ăuul la imul t, î gral, ifiit ca urată şi trbui truciat la u umăr uct - tru a obţi u filtru FI lugim. Fucţia trafr a filtrului umric FI c trbui ittizat t.4 ] Efctuâ itificara îtr trmii umlor car rrzită fucţia trafr orită şi ca rală a filtrului FI, rzultă,,...,.5 Lugima filtrului ruu cuocută, cl uţi aroximativ, i criţl roictar. Dcizia aura tiului filtru al ia coirâ rtricţiil ittizat î Tablul.. Îtrucât orşt ca filtrul rzultat ă aibă caractritica amlitui imuă şi caractritica fază liiară, î β iclu şi factorul fază liiară, u β tru filtr tiul şi şi β tru filtr tiul 3 şi 4. Atfl, β Î cazul filtrlor tiul şi.6 t o fucţi ară, iar tru filtrl tiul 3 şi 4, imară. Algra uui filtru tiul 3 au 4 utifică umai acă. 8
i.6 oat alg ca fii fucţia fază zro a filtrului ial car îl aroximază au, î cazul filtrlor tiul şi, câ acata rzită imtri ară,,, ].7 iar î cazul filtrlor tiul 3 şi 4, câ acata rzită imtri imară,,, ],,],.8, Î cocluzi, tru filtrl tiul şi Fucţia fază zro.9 iar tru filtrl tiul 3 şi 4. Duă tabilira lui, comu acta î ri Fourir tru a rzulta cvţa ifiită. Coficiţii filtrului ittizat alg ca î rlaţia.5. Trucira răuului la imul oat fi rivită şi ca o îmulţir a cvţi lugim ifiită cu o fratră tmorală lugim, otată w, aică w. cu roritata w, tru, -]. Prouului algbric î tim icrt i. îi coru î frcvţă, covoluţia traformatlor Fourir. Datorită rioicităţii a traformatlor Fourir, covoluţia fctuază u itrval gal cu rioaa fuamtală, gal cu. F { } W.3 car, vit, u coici, î gral, cu. Î cazul itzi filtrlor cu fază liiară, fucţia fratră w trbui ă îliacă coiţia imtri w w.4 aică t u rău la imul tiul au, î fucţi aritata lui şi 8
W W.5 W t fucţia fază zro a frtri. laţia.3 vi λ W λ λ u β β λ λ W λ λ W λ λ λ λ.6 zultă că trucira filtrului FI fază liiară couc la o fucţi trafr fază zro,, ată covoluţia rioică, cotiuă itr răuul orit fază zro şi fucţia trafr fază zro a frtri, aică λ W λ λ W.7 Figura.6. a Oraţia covoluţi imlicată trucira răuului la imul ial, b Aroximara răuului î frcvţă al filtrului rzultată i trucira răuului la imul ial Di rlaţia.7 rzultă că acă W t u ul foart îgut ctrat ial, o fucţi Dlta î comaraţi cu, atuci aroximază foart fil. Acata imlică 8
fucţia fratra lugim foart mar ial w tru toţi, ci lia trucirii, caz î car W t u tr rioic imuluri rioaă. P altă art, lugima a frtri ar trbui ă fi cât mai mică tru rucra comlxităţii calculului. Î figura.6 ut ilutrat, W şi covoluţia rioică itr l,. Exmlul.3. Să roictz ouă FTJ cu fază liiară cu lugima 38, rctiv 39, frcvţa tăir fii F c 5 z, iar frcvţa şatioar F 4 z. Soluţi. Frcvţa tăir ormată t Fc 5 c.8 F 4 4, < c Cu fiiţia lui tru FTJ ial,,, î rt car t o fucţi ară, utilizâ.9 şi.3, cu valoril i uţ, obţi răuul la imul cu lugima ifiită c 83 c i.9 c c ic 4 4 c i x u -a foloit fucţia ic x. x Trucira răuului cauzal coform rlaţii.5 rmit trmiara clor valori al răuului la imul, tru,,...,-, rrztâ coficiţii filtrului FI roictat. Scvţl obţiut ut at î figura.7. Particularizâ rlaţiil i Tablul. car au caractriticil fucţii trafr, rzultă tru 39 ϕ 9 ; a co u 9
- a ] ; a ic,,9 4 4 tru 38 9 37 ϕ ; b co u b ic 4 Figura.7. ăuuril la imul al FTJ i xmlul.3. rztăril grafic al fucţii fază zro şi moulului fucţii trafr ut rztat î figura.8, a şi c tru 39 şi b şi tru 38. S ot rmarca rorităţil imtri ară al tuturor caractriticilor şi, ama, imtria rotaţi, rioaă 4 şi trcra ri zro la ± a fucţii a filtrului tiul figura.8b. Obrvaţii. toa frtrlor tim mai umşt şi mtoa zvoltării î ri Fourir oarc rlaţia.4 rrzită zvoltara î ri Fourir a fucţii, rioică, rioaă.. Proictara oat fi făcută şi fără a itrouc factorul fază liiară, ca î rlaţia.9, trmiâ răuul la imul, lugim ifiită, coruzător fucţii fază zro a filtrului ial 84
c c ic c c. Act rău, imtric faţă oroată, truciază imtric tru a ava ama faza zro şi lugima. Î act caz, răuul truciat t c - t ic tru - c. î rt S laază aoi cvţa la rata cu -/ tru a raliza cauzalitata filtrului, obţiâ cvţa c t ic c, -., î rt car t, vit, acaşi cu ca obţiută ri rima rocură bazată rlaţiil.3 şi.9. Figura.8 Caractriticil î omiul frcvţă al FTJ i xmlu at, 39 a şi c; 38 b şi. 85
Acată mtoă t oraţioală tru filtrl lugim imară tiuril şi 3, î cimb, tru cl lugim ară tiuril şi 4 a vi icomoă, cvţa lugim ară utâ fi obţiută ritr-o imlă laar itr-o altă cvţă imtrică au atiimtrică î raort cu origia oarc -/ Z, motiv tru car t rcomaabil ă trmi coficiţii filtrului cu rlaţiil.3 şi.6, aocira factorului fază liiară i.6 avâ ouă avata mari: orază cu, rioaă tru toat tiuril filtr; trucira aigură localizara răuului lugim fiită, irct uortul -..5.. Tiuri frtr Ptru frtrl uzual, caractritica amlitui ar u lob ricial, ctrat, şi u umăr lobi cuari cu tiţ crştr. Efctul trucirii aura caractriticii obţiut, cuocut ub uml fom Gibb, 63] oat cotata î cial î zol traziţi raiă a caractriticii. S cotată ouă act:. Aariţia ui bzi traziţi lăţim fiită, car t cu atât mai mar, cu cât lărgima lobului ricial al frtri t mai mar;. Aariţia uor riluri au ocilaţii atât î baa trcr cât şi î ca orir a căror amlitui şi vitză căr ut trmiat amlituia şi vitza căr a lobilor cuari ai ctrului frtri. Act riluri crc cătr margiil bzilor trcr şi orir, î aroira uctlor icotiuitat al caractriticii ial. Î cocluzi, tru a obţi o baă traziţi cât mai îgută şi riluri cât mai ru, fucţia fratra utilizată trbui ă îliacă următoarlor criţ:. Fucţia trafr fază zro a frtri ă aibă lobul ricial cât mai îgut şi lobi cuari cât mai mici;. Lobul ricial ă coţiă ca mai mar art i rgia frtri; 3. Ergia lobilor cuari ă fi cât mai uiform itribuită îtr acştia. La limită, act coiţii ar fi îliit 86
W δ.3 rzultat fără valoar ractică, oarc î act caz w, cotat tru oric, ci lişt fratra. Î gral, cl tri criţ u ot fi atifăcut ici o fratră oarc criţl şi ut cotraictorii. Di coirtl rztat atrior rzultă moalitata cificar a caractriticii amlitui a filtrului ub forma uor cot gabarit. Atfl, î cazul roictării uui filtru trc o, î baa trcr fucţia fază zro ocilază î urul valorii ial, rilul maxim fii otat cu δ, iar î baa orir, î urul valorii ial, rilul maxim fii otat cu δ, cum arată î figura.. Dacă rrzită moulul fucţii fază zro şi uc arall la abciă ri -δ, rctiv δ, itrcţiil actora cu graficul fic baa trcr fctivă, ] B.T. şi baa orir fctivă B.O.,], cu mificaţia i figura.9. Zoa ituată îtr şi rrzită baa traziţi a filtrului B. Tr.. Zol itrzi ut aşurat figură. Figura.9. Caractrizara moulului fucţii fază zro a uui FTJ ub forma uor cot gabarit.5... Fratra rtugiulară Fratra rtugiulară cauzală t fiită ri rlaţia,, ] w D.4, î rt Traformata Fourir a actia couc la xria i / WD.5 i / 87
u rzultă trmul fază zro i / W D Sa.6 i / Fucţia W D t ară, rioaă tru imar, rctiv 4 cu imtri rotaţi tru ar şi tru WD ; W D.7 tru WD cu Ζ - { }, Ζ. Frcvţl la car aulază W D rrzită uluri ctral. Î figura. t rrztată fucţia fază zro W D tru, car amăă cu o iuoiă amortizată avâ u lob ricial cu lăţima 4/, ublă faţă ca a lobilor cuari. Lobul ricial fişt, î gral, ca rgiua itr riml uluri ctral aflat o art şi calaltă a origiii. Cu crştra lui, lăţima lobului ricial crşt, iar îălţima a crşt. La fl îtâmlă şi tru lobii latrali, aria ub ficar rămââ cotată. Coform rlaţii.7, valoara lui tru filtrul FI cu imar t ată, î cazul uui filtru trc o cu răuul orit şi, coruzător,, tru c, c ], itgrala c λ λ tru -, ] WD.8 c Figura. Fucţia trafr fază zro a frtri rtugiular 88
Itrrtara rlaţii.8 fac grafic î figura.. Figura. Exlicara fomului Gibb ri covoluţi P măură c W D λ trc t o icotiuitat a lui λ, cu crştra lui, itgrala i.7 va ocila, uă cum ficar lob i W D λ travrază icotiuitata. Doarc aria ub ficar lob rămâ cotată, cu crştra lui, ocilaţiil vi mai rai, ar u crc î amlitui. Act ocilaţii umc fom Gibb şi atorază trucirii rii Fourir 63]. Ptru a arcia valoara itgrali.8 şi a u î viţă fctul Gibb, xamiază variaţia lui itrvalul,, acata fii o fucţi ară obţiută ca rzultat al covoluţii a ouă fucţii ar. S coiră atru ituaţii mificativ, c /; c /; c /, 5 8]. Atfl, tru, i figura.a rzultă 89
c W λ λ W c WD w ] σ σ D D c W W D 9 c c D c D.9 Di rlaţia.9 obrvă că valoara fucţii la t ată uma ariilor cu tot cu m lobului ricial şi lobilor latrali c ca î rtul bzii trcr a filtrului au, altfl u, la valoara itgrali obţi căzâ i uma ariilor lobilor cuari c u ca î rtul bzii trcr. D aici rzultă că atât tim cât lobul ricial al frtri baliază zoa trcr a filtrului ial, valoara fucţii, coruzătoar cvţi truciat, ocilază î urul valorii, mărima ocilaţiilor fii ictată uma ariilor lobilor cuari c u itră î itrvalul - c, c. Valoara ca mai mar a lui î baa trcr ci şi rilul maxim obţi la frcvţa c /, car coru oziţii frtri i figura.b, tru car aria mar ată.8 atorază xclurii rimului lob latral i rata cu ari mar gativă. Oată cu itrara lobului ricial î rtul bzii orir, umai lobii cuari rămâ î rtul itrvalului c, c, atfl că valoara lui, gală cu uma ariilor actor lobi, ocilază î urul valorii. Ca mai mar ocilaţi î baa orir obţi la c /, câ rimul lob latral tâga, cu ari gativă mar, rămâ î rtul bzii trcr, ituaţi coruzătoar figurii.c. Ca mai mică ocilaţi obţi la, oarc acum umai lobii cuari ci mai mici au răma î rtul zoi trcr, cum arată î figura.. La frcvţa tăir tortică c, umătat i lobul ricial a işit i itrvalul c, c, atfl că valoara lui t aroximativ ½, oarc itgrala i W D u itrval lăţim t uitară şi oat fi coirată aroximativ gală cu itgrala lobului ricial. Obrvaţii. iluril, atât cl i baa trcr, cât şi cl i baa orir, ut atorat lobilor cuari.
Ditaţa itr frcvţl ugiular la car aar riluril maxim i baa trcr şi baa orir t gală cu lăţima lobului ricial al frtri 4 c c.3 Ca atar, lăţima zoi traziţi, mai mică cât itaţa itr cl ouă frcvţ, t ictată lăţima lobului ricial. Crştra lugimii a filtrului ruc zoa traziţi, îmigâ riluril maxim i cl ouă bzi r frcvţa tortică tăir, utâul îă ruc ub 8,9% 8]. Exlicara fomului Gibb fctuată mai u viţiază criţl fucţii fratră rztat la îcutul aragrafului.5.. Acta couc la următoarl rformaţ tru filtrul roictat:. Zoă traziţi îgută;. iluri mici al răuului î frcvţă; 3. Uiformizara rilurilor, î coul vitării ituaţii î car rgia lobilor cuari t coctrată î ricial î rimii lobi cuari. Î figura. ut rztat caractriticil amlitui, î moul şi ormat, î cibli, tru fratra rtugiulară cu 5, iar î figura.3 aclaşi caractritici al FTJ roictat ri orara cu acată fratră, cu frcvţa tăir c /5, abciă fii luată frcvţa ormalizată. Figura. ăuul î frcvţă al frtri rtugiular cu 5 9
Figura.3. ăuul î frcvţă al FTJ cu c /, orat cu fratra rtugiulară cu 5 Normara lui W D fac î raort cu valoara a maximă, obţiută la. Amlituiil lobilor cuari u ot fi ru ri crştra lui. S ruu uficit mar, îcât i / variază mult mai rai cât i /. aximul î moul obţi câ i / ±. Prima frcvţă la car t îliită acată coiţi t / /, ci 3 /. Amlituia ormată a rimului lob cuar t WD i3 / WD 3,.3 W 3 i3 / 3 D N ci amlituia ormată, î B, t lg/3 3 B tru foart mar figura.. Acata imlică o atuar miimă oar B î baa orir şi o variaţi maximă a atuării î baa trcr,6 B tru FTJ roictat figura.3. ucra rilurilor î cl ouă bzi oat raliza utilizâ alt tiuri frtr, mai uţi abrut cât ca rtugiulară..5... Familia frtr ammig O rlaţia ri car fişt familia frtr ammig t α α co, tru - w.3, î rt S obrvă că w ] W ] α şi w. 9
Dacă α,54 fratra t umită ammig roriu - ziă, iar acă α,5 t umită aig au fratra lui vo a, mai corct. Dtrmiara ctrului W oat fac xrimâ w ca rouul itr o fratră rtugiulară cauzală w D şi malul rioic x x α α co,.33 aică w wd x wd α α co.34 ultilicării î omiul tim a mallor w D şi x îi coru î omiul frcvţă covoluţia circulară a traformatlor lor Fourir, W D şi X. Cum x comu itr-u trm cotat şi uul î coiu frcvţă ugiulară, traformata a Fourir oat xrima ca o umă tri fucţii Dlta, uă cum urmază: α α X αδ δ δ.35 Di covoluţia ctrlor rzultă ctrul frtri, forma α α W αwd WD WD.36 S obrvă că ctrul frtri ammig t format i uma a tri trmi car rrzită, ficar, vriui al ctrului frtri rctagular, W D, calat şi laat oziţiil imulurilor Dlta, ituaţi ilutrată î figura.4. Dlaăril trmiat imuluril i fucţia coiu oziţioază lobii latrali ai ctrului W D, atfl îcât acştia ti ă aulz, ca c couc la rucra mărimii lobilor latrali ai ctrului rzultat, W. Pri îumara trmilor iar zrouril frtri rtugiular la ±/, rzultâ u lob ricial cu lăţima ublă faţă ca a lobului ricial al frtri rtugiular. Amlituiil lobilor cuari ut coirabil mai mici comarativ cu cl al lobilor cuari ai frtri rtugiular. Î lu, îtr 4/- şi 6/- şi imtric î tâga -a crat ri îumar u zro tru W, 93
ciâ atfl î ouă rimul lob cuar, car t obici cl mai utric. Ptru α,54 fratra ammig, 99,96% i rgia totală a frtri t coţiută î lobul ricial, iar lobul cuar cl mai utric ar amlituia cu 4 B mai mică cât lobul ricial. Ptru filtrl roictat ri mtoa frtri cu orar ammig, crştra lăţimii lobului ricial trmiă crştra lăţimii zoi traziţi, î tim c crştra amlituiilor lobilor latrali trmiă riluri mai mici î zoa orir şi î zoa trcr. Figura.4. Fucţia fază zro a frtri ammig..5..3. Fratra Kair Î 974 Kair 4] a rou o ouă fratră, car îi oartă uml, bazată aroximăril î tim icrt al aşa-umiti cla fucţii froial fucţii cu uort fiit î tim, ar cu rgi miim oibilă localizată î afara uui itrval frcvţă lctat. Fratra Kair t fiită ca 94
w K α I β α I β, tru î rt.37 u α şi I x t fucţia Bl moificată oriul zro, c oat fi calculată cu autorul rii utri x x I x.38!! Î roictăril filtr FI cu acată fratră ut ioibili oi aramtri şi β, ri algra cărora oat auta baa traziţi şi ivlul lobilor cuari ai ctrului. Obişuit, aramtrul β ia valori î laa 4, 9] şi tru x, β] ut uficiţi circa trmi î uma.38 tru a obţi şatioal lui w K cu tulă acuratţ. Nu xită o xri comactă tru traformata Fourir W K, ar acata u t cară î roictara filtrului. P măură c valoara lui β crşt, atuara miimă î baa orir a filtrului roictat crşt, ama, rţul lătit fii lărgira bzii traziţi. Paramtrul flxibil β oat fi al atfl îcât ă ralizz atuara miimă orită î baa orir a filtrului, uă car lugima oat fi alaă tru a atifac lăţima f/ a bzii traziţi. Ptru β, obţi fratra rctagulară. Kair a trmiat miric formul tru trmiara cu rcizi atifăcătoar a aramtrilor β şi î fucţi atuara miimă i baa orir şi lăţima bzii traziţi, f /, a FTJ roictat. Atfl, cuocâ valoara lui A lgδ, î B, aramtrul β t at rlaţia 3] 95
β,584, A 8,7,4 A,7886 A 96 tru A > 5B tru B < A < 5B tru A < B.39 Kair a găit 4] următoara formulă tru timara lugimii a frtri: A 8.4 4,36 f Dacă răuul î frcvţă al filtrului atfl obţiut u atifac rtricţiil imu tru A şi f, mărc uţi valoril lui β şi, vrificâ i ou răuul. Î gral ri ouă au tri îcrcări, uă calculul rlimiar al lui β şi, aug la oluţia buă. Î Tablul. ut rztat rformaţl frtri Kair î fucţi aramtrul β. Paramtrul β Tablul.. Lăţima lobului ricial B] Atuara rimului lob cuar B] Prformaţl FTJ roictat Factorul D f Atuara miimă B] 4/ -9,5 9 3 6/ -4, 37 4 8/ -3,6 45 5-37 3, 54 6 / -44 3,8 63 7 4/ -5 4,5 7 8 6/ -59 5, 8 9 8/ -67 5,7 9 / -74 6,4 99 Exmlul.4. Să trmi aramtrii β şi ai frtri Kair cari roictării uui FTJ cu rilul i baa orir δ,, ştii că frcvţl bzilor trcr şi orir ut, 4, rctiv, 6.
Soluţi. S trmiă mai îtâi lăţima zoi traziţi ormat f:,6,4 f,. A lgδ lg, 6B Aoi calculază aramtrul β cu rlaţia.39 şi cu.4. 6 8 β, 6 8,7 5, 653, 37 4,36, laţia.4 mai oat fi criă î forma A 84,36- f 84,36D cu D f Cum D i oi factori, şi f, îamă că xită ouă ituaţii, ua cu lugim mar a filtrului şi baă traziţi îgută, rctiv lugim mică şi traziţi largă, c couc la aclaşi factor D, obţiâu- acaşi valoar tru atuara miimă i baa orir a filtrului roictat..5..4. Fratra Bartltt Frtra Bartltt t o fratră triugiulară fiită cu rlaţia ] w B,.4 Fratra triugiulară oat fi fiită şi cu alt rlaţii, rzultatl fii aroiat tru lugimi mari al filtrului. Acată fratră ar rformaţ căzut î itza filtrlor FI, fii utilizată mult î omiul aalizi ctral a mallor. Lăţima lobului ricial t acaşi ca î cazul frtrlor ammig 8 /, ar lobii cuari ut mult mai mari. 8]..5..5. Fratra Blacma Di cl rztat âă acum -a văzut citata a raliza frtr cu traziţii lt î tim, tru a aigura u ivl căzut al lobilor cuari, ar şi cu o lăţim mar a lobului ricial. Fratra Blacma obţi tot i familia frtr î coiu riicat, ca frtrl ammig şi aig ri aăugara uui trm ulimtar faţă fratra ammig car couc la lărgira şi mai mult a lobul ricial. O oibilitat a fii fratra Blacma t ată rlaţia 97
4 w BL,4,5co,8co,.4 Di aaliza ctrului acti frtr, obţiut îtr-u mo imilar clui rztat la fratra ammig, obrvă că lăţima lobului ricial t tri ori mai mar cât î cazul frtri rtugiular /, iar amlituia lobilor cuari rzită o atuar 58 B faţă cl ricial 8]. Alt ouă tiuri frtr foloit î ractică ut Fratra Laczo, fiită ca 48] i / ] w l, L > / Fratra Tuy 48] L, α, < α < w α / co, α α / Î Tablul.3 ut ctralizat fucţiil or îmruă cu fucţiil trafr fază zro coruzătoar al frtrlor rztat. Î tablul.4 ut rat rformaţl frtrlor xrimat ri lăţima lobului ricial şi atuara rlativă î B a rimului lob latral. D ama, ut rztat rformaţl FTJ cu fază liiară roictat ri mtoa frtrlor, rformaţ xrimat ri lăţima zoi traziţi au, civalt, ri factorul D şi atuara miimă î zoa orir. 98
Nr. crt. Tiuri frtr utilizat î roictara filtrlor FI Dumira Dfiiţia frtri cauzal w frtri -; ar au imar Drtugiulară Triugiulară Bartltt 3 aig a,5,5co 4 ammig,54,46 co 5 Blacma 6 Kair,4,5co,8co I β I α α 4 Fucţia fază zro W W i D i i i ; imar Tablul.3 5,5W,5W, W β D D D 3,54W,3W, W D D D,4W,5W,5W, α,4w 4 4,4W Nu xită formulă comactă 99
Nr. crt. Prorităţil frtrlor i Tablul.3 Tiul frtri Lăţima lobului ricial Drtugiulară 4 Triugiulară 8 3 aig 8 4 ammig 8 5 Blacma β 5, 73 6 Kair cu β7,865 rglabil cu β Atuara rimului lob cuar B] -3-5 -3-4 -58-57 rglabil cu β Lăţima bzii traziţi,84 3,68 6, 6,64,, rglabil cu β Prformaţl FTJ cu fază liiară roictat Factorul D f Tablul.4 Atuara miimă î zoa orir B],9 -,84-5 3, -44 3,3-54 5,6-74 5,6 rglabil cu β -8 rglabil cu β
Di cl rztat âă acum ri următoarl obrvaţii:. Cu xcţia frtri Kair, tru car factorul D t rglabil cu autorul aramtrului β, tru cllalt frtr factorul D t fix, ca c utifică umira frtr fix tru acta. Di act motiv la frtrl fix xită o valoar fixă a atuării miim î baa orir a filtrului roictat, cifică ficări frtr, î tim c la fratra Kair oat obţi oric valoar a atuării miim ri algra acvată a lui β;. Prformaţl filtrlor roictat cu frtrl rtugiulară, ammig, Blacma ot fi obţiut foloi frtr Kair cu β, β5,444, rctiv, β8,885; 3. Î cazul î car FTJ roictat ar bzil trcr şi orir gal, riluril δ şi δ î cl ouă bzi ut gal. Câ bzil u ut gal riluril ifră uţi şi u ot fi cotrolat it. ilul δ rzultă cu rcizi i A imu la roictar, î cimb δ va rzultă automat î fucţi δ şi raortul bzilor trcr şi orir. Lia oibilităţii uui cotrol imulta aura rilurilor i cl ouă bzi rrzită o limitar a mtoi frtrlor..5.. Exml şi cocluzii la mtoa frtrlor Î figuril.5,.6,.7,.8 ut rztat fucţiil or w tru tiuril frtr rztat, rcum şi caractriticil amlitui î B al frtrlor şi filtrlor trc o lugim 5 cu frcvţa tăir ormată c /4, roictat cu frtrl ammig, Blacma şi Kair. Di act rrztări ot obrva rformaţl frtrlor şi filtrlor roictat:. Valoril î B al atuării rimului lob cuar al frtrlor ammig, Blacma şi Kair cu β, ut: -43 B, -58 B, şi -74 B;. Atuăril miim i baa orir tru filtrl roictat cu act frtr ut: 54 B, 74 B, B.
Figura.5. Difrit tiuri frtr Figura.6. Caractriticil frcvţă î B al a frtri ammig şi b filtrului roictat cu fratra ammig, tru 5 şi f c,5 Figura.7. Caractriticil amlitui î B al a frtri Blacma şi b filtrului roictat cu fratra Blacma, tru 5 şi f c,5
Figura.8. Caractriticil amlitui î B al a frtri Kair şi b filtrului roictat cu fratra Kair, tru 5 şi f c,5, β. Avatal mtoi frtrlor ut at : Simlitat; Obţira formul comact tru calculul coficiţilor; Nu cită rocuri otimizar. Dzavatal mtoi frtrlor cotau î: Ncitata ui xrimări aalitic comact tru răuul î frcvţă imu la roictar, aică tru fucţia orită. Î lia acti xrimări u obţi o xri comactă tru coficiţii oraţi, utilizara frtrlor vi ificilă. Flxibilitata rlativ mică î roictar, î ul imoibilităţii cificării cu xactitat a frcvţlor limită al bzilor trcr şi orir fctiv şi. La roictar imu frcvţa tortică tăir c a lui, ar orara cu o fucţi fratră ar ca fct îmrăştira icotiuităţii î omiul frcvţă, ca fct al covoluţii itr ctrul orit şi cl al frtri, fct c i tiul frtri utilizat. Dşi î mult alicaţii fctul îmrăştir oat fi comat ri algra lui c ca mi aritmtică a lui şi, î cazul filtrlor cu traziţi abrută cotrolul lui şi u t aigurat cu rcizi atifăcătoar. 3
.6. toa şatioării î frcvţă Î roictara filtrlor FI ri mtoa şatioării î frcvţă cifică răuul î frcvţă orit îtr-u t frcvţ uiform itaţat î itrvalul, ], fi acta α,,,... /, imar,,... / ], ar.43 α au /, şi i act cificaţii calculază răuul la imul al filtrului ittizat, car ă îliacă criţl roictar. Suortul tortic al acti mto îl cotitui Traformata Fourir Dicrtă. Imuâ ititat îtr răuul filtrului orit şi cl ittizat la frcvţl cificat, oat cri α] α α ;, - 4 α.44 laţia.44 rrzită u itm cuaţii cu cuocut, { },,,...,. Ptru a obţi oluţia î formă comactă a actui itm, îmulţc ambii mmbri ai rlaţii.44 m cu şi umază uă la la -. Coficiţii ai filtrului î fucţi trmii α] ut ] α α ] ;, -.45 S obrvă că tru α, rlaţia.44 rrzită Traformata Fourir Dicrtă DFT a cvţi, iar rlaţia.45 ruc la Traformata Fourir Dicrtă Ivră IDFT. Avataul clui -al oila ti algr a şatioalor î frcvţă, car coru lui α ar uta aăra î ituaţia î car act t valori tru ar uc la o rcizi mai trâă a limitlor bzii trcr şi orir fctiv, î ul laării uor şatioa cât mai r margiil actor bzi.
5 Fucţia itm z a filtrului roictat t ] ] z z z α α.46 Itrcimbâ oria umar şi fctuâ umara uă, obţi ] ] z z z z α α α α α.46 Evaluâ fucţia itm crcul uitat, obţi i i ] α α α α α.47 Cu otaţia S P a α α α α i i,.48 fucţia trafr oat xrima î forma, ] P α α α α.49 Ptru a viţia cum obţi răuul î frcvţă al filtrului ittizat î fucţi şatioal rcri tru răuul orit, coiră, xmlu, că orşt roictara uui filtru FI fază liiară tiul au, caz î car şatioal ] α vor fi forma ] ] α α α α.5
u α] rrzită şatioal α] al fucţii trafr fază zro a molului ial, α ] α]. Î act coiţii, îlocui.5 î.49, rzultă α] P, α u obţi fucţia fază zro a filtrului roictat α] P α] S a, α α.49.5 laţia.5 rcizază moul î car obţi răuul î frcvţă ri itrolara răuului î frcvţă şatioat, şi aum: ficar şatio α] orază o fucţi S a ctrată, î omiul frcvţă, şatioul α. Pri umara clor - fucţii S a orat, rzultă fucţia trafr fază zro a filtrului roictat. aşa cum t ilutrat î figura.9. Figura.9. ăuul fază zro al filtrului orit şi cl ral La frcvţl coirat va obţi ititat îtr caractritica rzultată şi ca orită, aică roara aroximar t zro la α /, ar u xită cotrol irct aura rorilor c aar la alt frcvţ, rzultâ ocilaţii atât î baa trcr, cât şi î ca orir, cum arată î figura.9. Amlituia actor ocilaţii oat 6
fi mar, acă imu o baă traziţi foart mică mai mică cât /. iluril ot fi ru acă acctă o baă traziţi mai largă au imu valori itrmiar îtr baa trcr şi ca orir. O altă oluţi t a lăa cificat valoril uor şatioa i baa traziţi, car vi variabil auxiliar c vor fi utilizat îtr-o rocură otimizar calculator a oluţii, rocură c urmărşt miimizara rorii itr caractritica orită şi ca ittizată. Dacă t ral, şatioal caractriticii frcvţă atifac coiţia imtri * α] α].5 car, îmruă cu coiţia imtri tru oat ruc cificaţiil frcvţă la la -/ uct tru imar şi la / ut tru ar. Exrimtal -a cotatat că 3]: U şatio î zoa traziţi, foloit ca variabilă auxiliară, couc la o atuar miimă î baa orir oriul 45 55 B; Două şatioa î zoa traziţi couc la o valoar a atuării miim î itrvalul 65 75 B; Tri şatioa î zoa traziţi aigură o atuar miimă c aug la 85 95 B. toa şatioării î frcvţă t alicabilă tru filtr cu oric caractritică fază, ri grara cvţi α] şi alicara traformati Fourir icrt ivr. toa şatioării î frcvţă oat fi combiată cu mtoa frtrlor, orara cvţi cu o fratră w ti ammig, Blacma au Kair rucâ foart mult riluril î cl ouă bzi al filtrului..7. Proictar filtrlor otimal cirilu FI fază liiară toa roictar criă î act aragraf t formulată ca o roblmă aroximar Cbîşv. Aroximara ti Cbîşv t văzută ca u critriu roictar otim, î ul că roara aroximar orată itr răuul î frcvţă orit şi cl obţiut t îtiă uiform t baa trcr şi ca orir şi aoi miimizază roara maximă. 7
8 Filtrl obţiut ri foloira actui critriu ut cuocut ub umira filtr otimal. Î tablul. au fot rztat fucţiil trafr fază zro tru cl 4 tiuri filtr FI cu fază liiară. Cu autorul itităţilor trigoomtric, ficar itr l oat fi auă la forma P Q.53 u P t o combiaţi liiară trmi î co, iar Q o fucţi cifică ficăruia i cl atru tiuri filtr. Ptru filtr FI tiul rău la imul imtric şi imar,,...,,, ], ]co a a.54 u rzultă irct ]co ; a P Q.55 Ptru filtr FI tiul rău la imul imtric şi ar,,...,, ], ]co b b.56 Coirâ,..., / î ititata co co ] co ]co b b.57 şi auâ mmbru cu mmbru cl / galităţi, obţi ititata ] ] -;,3,...,, ] ] ] ]; ] ] cu, ]co ]co co b b b b b b b b b b.58 Cu autorul rlaţii.58, rlaţia.56 oat fi criă î forma ]co co b.59
9 Comarâ.59 cu.53 rzultă ]co ; co b P Q.6 Ptru filtr FI tiul 3 rău la imul atiimtric şi imar,,...,, ; ]i c c.6 Dâ lui valoril,..., -3/ î ititata trigoomtrică { } i i ] co ]i c c.6 şi auâ mmbru cu mmbru cl -/ galităţi, obţi ititata ] ] ] ] 3 5 3-5 3 ; ;,3,...,, ] ] ] ]; ] ] cu ]i ]co i c c c c c c c c c c c c.63 Cu autorul rlaţii.63, rlaţia.6 oat fi criă î forma 3 ]co i c.64 Comarâ.64 cu.53 rzultă 3 ]co ; i c P Q.65 Ptru filtr FI tiul 4 rău la imul atiimtric şi ar,,...,, ], ]i.66 Dâ lui valoril,..., / î ititata trigoomtrică i i ] co ]i.67
şi auâ mmbru cu mmbru cl / galităţi, obţi ititata i co co cu ] ] - ]; ],,3,..., -;.68 ] ] Cu autorul rlaţii.68, rlaţia.66 oat fi criă î forma i co.69 Comarâ.69 cu.53 rzultă Q i ; P co.7 Fucţiil Q şi P tru cl atru tiuri filtr FI cu fază liiară, tru tiul co, tru tiul L ut Q ; P α co.7 i, tru tiul 3 i, tru tiul 4 cu α a, b, c,, tru filtrl tiul,, 3 şi, rctiv, 4. Paramtrii α ai filtrului ut ţi răuul la imul al actuia. Limita urioară a umi, L, t L-/ tru tiul, L-3/ tru tiul 3 şi L/- tru tiuril şi 4. Exrimara fucţii î forma.53 rmit tratara uitară a clor 4 tiuri filtr FI cu fază liiară. Î lu faţă cificaţiil făcut aura fucţii fază zro a filtrului roictat, fişt fucţia fază zro,, a răuului orit şi fucţia orar a rorii aroximar, W. ăuul orit î frcvţă,, cu valori ral, t coirat gal cu uitata î baa trcr şi zro î baa orir.
Fucţia orar a rorii, W, rmit imura uor valori ifrit al rorii î ifrit bzi frcvţă xmlu, î bzil trcr şi orir al filtrului. Î articular, t covabil a ormaliza W la uitat î baa δ orir şi a imu W î baa trcr, aică δ δ K, î baa trcr W δ.7, î baa orir Atfl, cu rlaţia.53 şi coirâ roara E E,.73 roara orată E va fi E W E W Q P.74 Q Notâ ˆ ˆ W W Q şi.75 Q roara orată vi E ˆ ˆ W P ].76 Ptru u filtru FI cu fază liiară tiul, tru car Q, mificaţia trmilor itrouşi t ˆ ˆ ; P ; W W.77 Î cazul aroximării î Cbîşv a caractriticii ial, fucţia trafr fază zro a filtrului roictat,, trbui ă ocilz ca î figura., atfl îcât miiml şi maximl ă fi la gală itaţă caractritica ială. Eroara orată E atifac coiţiil E δ, δ ] tru B.T..78 E δ, δ ] tru B.O. Eroara orată E va ava xtrml î baa trcr δ E x ± δ ± δ.79, δ
Î flul acta, xtrml lui E au acaşi valoar î B.T. şi î B.O., roictara vi mai comoă, îtrucât u igur aramtru, δ, cotrolază roara î cl ouă bzi. Figura. Fucţia trafr fază zro şi fucţiil roar şi roar orată ti Cbîşv. Obrvaţi. Fucţiil roar şi roar orată rzită valori xtrm şi la frcvţl limită al clor ouă bzi, rctiv, c u ut uct xtrm tru. Coform rlaţii.76, roblma aroximării î Cbîşv a caractriticii orit oat fi formulată ca roblma găirii coficiţilor oliomului P, atfl îcât ă ralizz miimizara maximlor moulului rorii orat E î bzil trcr şi orir fctiv, aică E mi {max E };.8 cof α S
u S rrzită ruiua bzilor frcvţă t car fac otimizara. Soluţia acti roblm aarţi lui Par şi ccllla car alică torma altraţi, tormă c va fi uţată, fără a fi, îă, şi motrată 39]. Torma altraţi afirmă următoarl: Dacă P t o combiaţi liiară L fucţii coiuoial 3 L P α co.8 atuci coiţia cară şi uficită ca P ă ralizz ca mai buă aroximar î Cbîşv a ui fucţii cotiu ˆ îtr-u omiu comact S aarţiâ itrvalului,, t ca fucţia roar orată E ă rzit cl uţi L frcvţ xtrm î S. Acata îamă că trbui ă xit L frcvţ i itict < < 3 <... < L < L, atfl îcât E i E i cu i, L.8 E i max{ E } S laţia.8 coţi L cuaţii c rmit, cl uţi tortic, găira clor L coficiţi α ai oliomului P şi, ama, valoara maximă a moulului rorii orat. Et imortat a cuoaşt umărul maxim uct xtrm al fucţii trafr fază zro tru u filtru FI cu fază liiară, oarc xtrml lui ut, ama, uct xtrm şi tru roara E. Aăugâ la act umăr acl uct xtrm al rorii orat E, c u ut xtrm tru, oat trmia umărul maxim xtrm al rorii E. Î cotiuar va ilutra rocura trmiar a umărului maxim xtrm tru filtrul tiul, tru car L α co.83 coţiâ L / fucţii coiuoial {co}. Fucţia oat fi traformată îtr-o fucţi oliomială î co forma Itroucâ.84 î.83, rzultă co β co.84