C11: Ecuatii de continuitate. Elemente de modelare numerica a structurilor semiconductoare 11.1 Ecuaţii de continuitate Variaţia în timp a concentraţi

Transcriere

1 C: Ecuat d cotutat. Elmt d modlar umrca a structurlor smcoductoar. Ecuaţ d cotutat Varaţa î tm a coctraţ urtătorlor d sarcă dtr-u volum lmtar al uu smcoductor s oat datora ma multor cauz: grara trmcă, rcombara, uu rocs d grar sub acţua uu agt rturbator xtr (radaț otcă) sau fluxurlor d urtător cdt ș mrgt d volumul cosdrat. Ecuața d cotutat xrmă cattatv varța î tm coctraț urtătorlor d sarcă îtr-u volum lmtar al smcoductorulu, ar î cotuar vom schța dducra acst cuaț tru u smcoductor macroscoc F M u uct î trorul uu smcoductor (Fgura ) ş o surafaţă car dlmtază u domu î jurul lu M. Notăm cu j dstata curtulu d golur ş cu j dstata curtulu d lctro. Numărul d golur car trc îtr-o aumtă drcţ î utata d tm r utata d surafaţă va f uctul M va f: j. Numărul total d golur car travrsază surafaţa ctrată j ds () ud ds st vctorul ormal la lmtul d surafaţă ds. Fg. Fluxur d urtător r surafaţa

2 Dacă otăm cu V volumul dlmtat d surafaţa, umărul d golur d utata d volum car travrsază sr xtror surafaţa î utata d tm va f: lm j ds dv j () V V I mod smlar umărul t d lctro d utata d volum car lacă î utata d tm d domul cosdrat, st: dv j (3) Astfl, rlaţl car xrmă varaţa locală î tm a coctraţ urtătorlor d sarcă sut: g r dv j t g r dv j t (4a) (5b) Ecuaţl (5) rrztă forma grală a cuaţlor d cotutat a urtătorlor d sarcă dtru smcoductor. Soluţl cuaţlor d cotutat ar f sml dacă tm d vaţă a urtătorlor d sarcă î xcs ar f mărm costat. I gral, acst lucru u st advărat dş, î scour ractc, tru a smlfca calcull, adsa s fac acastă rsuur., Ecuaţl Shocly Ecuaţl car guvrază trasortul urtătorlor d sarcă matral smcoductoar sut: g r j t g r j t j E D (6) j E D E ND N Prml două cuaţ sut cuaţl d cotutat ar următoarl două cuaţ sut xrsl dstăţlor d curt d lctro ş golur. Ultma cuaţ st cuata lu Posso, car lagă A

3 dvrgţa câmulu lctrc d dstata macroscocă d sarcă. Acst cuaţ, cuoscut ca cuaţl Shocly s sut fudamtal tora dsoztvlor lctroc actual..3 Modlara dsoztvlor smcoductoar. Graltaț Dsoztvl smcoductoar clasc sut î mara lor majortat structur smcoductoar î car s succd dom,, trsc ş la car s alcă cotact mtalc. Modlul jocţu - dal trodus d Shocly î 949 a stat la baza modlăr structurlor smcoductoar. Putm afrma că tora dsoztvlor lctroc clasc st costrută lcâd d la acst modl. Esţal î modlul Shocly st dvzara jocţu - î tr rgu: ua ctrală d sarcă saţală ş două rgu utr adact. D cosdrt fzc Shocly scr codţ la lmtă tru acst rgu tratâdu-l î mod ddt. I raltat jocţua -, ca ş alt dsoztv smcoductoar rrztă o structură ucă, htrogă uma d uct d vdr al doăr cu murtăţ ş car trbu tratată ca atar. Scrra codţlor la lmtă îtr rgu mlcă îtotdaua o aumtă rsuur lgată d codţl d fucţoar al dsoztvulu, car s oat dovd ma mult sau ma uţ îtmată. Abordara drctă a u structur smcoductoar r rzolvara sstmulu d cuaţ Shocly (6) st osblă uma cal umrcă. I acst curs vom fac o scurta troducr mtoda Gumml..4 Ecuaţl Shocly admsoalzat Cosdrăm o bară smcoductoar doată avîd la cat două cotact mtalc (fgura ). I bara smcoductoar rocsl s dsfăşoară udmsoal duă drcţa x. Fg.. Structură smcoductoar dsusă îtr două cotact Ptru a calcula curt d lctro s golur trbu să rzolvăm sstmul gral d cuaţ (6), scrs acst caz udmsoal: 3

4 j g r t x (7a) j g r t x (7b) j E D x j E D x E N D N x A (7c) (7d) (7) Mărml car trv î cuațl (6) sut: ND(x), NA(x) Coctraţl d doar, cuoscut; (x,t), (x,t) Coctraţa lctrolor î bada d coducţ, rsctv, golurlor î bada d valţă; g(x), g(x) Vtzl d grar a lctrolor ş golurlor sub acţua uu agt xtr (lumă); cl două sut gal dacă mcasmul ar loc badă-badă; r(x), r(x) Vtzl d rcombar a urtătorlor; E = E(x) Itstata câmulu lctrc; La o rmă aalză, avm d rzolvat u sstm d cc cuaţ cu drvat arţal, omog, cu cuoscutl:,, j, j, E. I cazul uu cotact dal (vtză d rcombar ftă la cotactul mtal-smcoductor) codţl frotră car trbu scrs sut: (, t) (); (, t) () (8a) ( l, t) ( l); ( l, t) ( l) (8b) Astfl, la cotact sut asgurat coctraţ gal cu cl d chlbru ş, dc, utraltata lctrcă. I ca c rvşt codţl ţal, trbu cuoscut coctraţl: ( x,); ( x,) ş, r acsta, E( x,) x (9) I gral, câd s calculază curtul rtr-o structură smcoductoar, coctraţl d doar ND(x) ş NA(x) sut cuoscut. 4

5 Tablul. Rfrţ î admsoalzara mărmlor fzc d fzca smcoductorlor. Valorl umrc sut dat tru slcu la tmrtura d 3K. Marma fzca Rfrta Valoar caractrstca Lugm (lugma Dby) Câm lctrc Coctraţ artcullor L T B L T B 33.3 m 7,75 V/cm.5 cm -3 Dstat d curt J als arbtrar, A/cm Costată d dfuz JL D.38 6 cm /s Tm L D s Vtză d rcombar D L.88 cm -3 s - Mobltat a urtătorlor D T B cm /Vs Ca î mult roblm d fzca comutaţoală, tru rzolvara umrcă a cuaţlor s utlzază forma admsoalzată a mărmlor fzc. I fzca smcoductoarlor, mărml d rfrţă car sut folost tru admsoalzar sut lstat î tablul. Ma jos sut dat câtva xml d admsoalzar a uor mărm scfc; cu sut otat mărml admsoalzat: (a) t D t t (b) L D L J J J (c) r L r (d) D L D r Admsoalzara cuaţ d cotutat (7a) s fac astfl: 5

6 j g r t x D D jj g r L L L xl t D D D D J j g r L t L L L x t j g r x I mod smlar s rocdază cu toat rlaţl ş mărml car trv î roblmă, mărml d rfrţă fd cl d tablul. Vă rcomad să îcrcaț admsoalzara tuturor cuațlor (7). I fal, cuaţl Shocly (Eq. 7) î formă admsoalzată s scru: () t t j g r x j g r x j E D x j E D x (a) (b) (c) (d) E x N N D A ().5 Rgmul staţoar U dsoztv smcoductor fucţoază î rgm staţoar, dacă curţ ş tsul la borl sal u s modfcă î tm. Cosdrăm u smcoductor doat uform î car rocsl s dsfăşoară udmsoal. La xtrmtăţ st alcată d xtror tsua costată Va. Duă u tm sufct d lug s atg stara staţoară. 6

7 Fg. 3 Potţalul u(x) d-a lugul drcţ x îtr-u dsoztv smcoductor modlat udmsoal tr ș l. st: Notăm cu u(x) otţalul î lugul drcţ x ca î fgura 3. Tsua Va admsoalzată Va u l u u l u E ( x ) dx s (3) l cu tsu la_chlbru u ( l ) u () E ( x ) dx rrztă dfrţa d otţal la catl structur î cu tsu l cazul alcăr tsu Va d xtror ar s st dfrţa d otţal la bor î star d chlbru. s s umşt otţalul structural fd o costată la chlbru trmc (î cazul u jocţu - rrztă tocma dfrţa tră d otţal). Tad cot ca du ( x) E ( x ), cuaţa lu Posso s rscr astfl: dx du ( x ) ( x ) N ( x ) (4) dx Varaţa otţalulu d-a lugul structur smcoductoar oat f corlată cu varaţa cvasvlor Frm. Tsua alcată d xtror dtrmă şra smcoductorulu d stara d chlbru. Coctraţl d urtător d sarcă s scru: car duă admsoalzar dv: x u T B x u T B (5a) (5b) 7

8 x u (6a) x u (6b) ud E, u( x) dfst vlul Frm trsc, E ( x) dfst cvasvlul Frm F tru lctro ar E ( x) dfst cvasvlul Frm tru golur. F Astfl, î cazul rgmulu staţoar, sstmul d cuaţ Shocly s scr: F t R x j R j (7a) x t R x j j R (7b) x j D E D x j DE D x u x j D D u x j D D x x (7c) (7d) E x N u x N (7) la car s adaugă xrsl tru coctraţl d lctro ş golur (6). Aarta costatt d dfuz admsoalzata amb trm a cuatlor tru curt, st o coscta a cuatlor Est tru costatl d dfuz scrs admsoal: D D D BT BT D D T B Sstmul d cuaț (7) s oat smlfca. D rlaţa (6b) rzultă galtata: d d d du d du dx dx dx dx dx dx x u x u (8) car îlocută î xrsa dstăţ curtulu d golur coduc la: d d j D D D u D u x x dx dx dx u d x x x La fl, d rlaţl (7c) ş (6a) rzultă: x 8 (9) d j D x u () dx

9 I stza, d calcull d ma sus s obt: x j l x x u dx C (a) D x l j x x u dx C (b) D l j ( x ) R dx C3 (a) l j ( x ) R dx C4 (b) Costatl d tgrar s dtrmă d codţl frotră. Ţâd cot d xrsl coctraţlor (6), acsta s ot scr î trm d cvasotţal astfl: () () l () (3a) u ( ) ( ) l ( ) (3b) l u l l () () l () (3c) u ( ) ( ) l ( ) (3d) l u l l Iat d a trc la rzolvara umrcă a cuaţlor ma trbu alasă orga tru otţal. No o algm orga î uctul x =, adcă u () =..6 Rzolvara umrcă a cuaţlor Itâ s rzolvă cuaţa Posso rtr-u rocs tratv. La traţa avm: u ( x) u ( x) u (4) ş cuaţa Posso s scr: u x u u u u N x x x x x (5) Dzvoltâd î sr fucţa xoţală: u trm rlaţa (5) dv: x u... ş rţâd uma rm do 9

10 u x u u u u N x x x Ecuaţa (6) oat f trasformată îtr-u sstm algbrc, d xmlu folosd mtoda dfrţlor ft ctrat (vz curs Mtod Numrc s Smular Fzca), î car drvata a doua s scr: I cuaţa (6) cuoscuta st y y y y x h u x (6) (7). Ptru scrra sstmulu algbrc cu dfrt ft dscrtzam domul astfl: x = h ud =,, ud h st asul rtl. Fucţl x u ş x u sut cuoscut d la asul atror. Astfl, Ec. (6) s trasformă astfl: x u xu u xu xu u x u N x u u u u u u x x x x x u N x Cu otaţl C xu xu s C xu xu rzultă: u x u x C u C N Ilocud drvata a doua cu schma cu dfrţ fmt d (7) rzultă: u ( x ) u ( x ) u ( x ) u ( x ) C C N h u ( x ) u ( x ) u ( x ),,,..., h (8) (9) Ecuaţl (9) formaza u sstm cu cuaţ algbrc car trbu rzolvat la fcar traţ. I fgura 4 st rztată schma logcă a algortmulu d rzolvar a roblm. Ptru a trasa o caractrstcă curt - tsu, algortmul trbu rtat tru fcar valoar a tsu Va.

11 Fg. 4 Algortmul d trasar a caractrstc uu dsoztv smcoductor modlat udmsoal.

12