Săptămân ) {; ; ; 4; ; 8} {} {; ; ; 6; 7} [AE b) {; 4} C {; ; 4; ; 7} AD c) {; ; } {; } Cls VII- Mtemtică Răspunsuri {; 4} AF. ) A {0,,,, 4, }, B {, 4,, 6, 7}. b) A Ç B {, 4, }; A È B {0,,,, 4,, 6, 7}; A \ B {0,, }; B \ A {6, 7}; (A \ B) (B \ A) {(0; 6), (0; 7), (; 6), (; 7), (; 6), (; 7)}.. ) Deducem DN cm, AD cm, deci D este mijlocul segmentului (AB). Cum ND este înălţime şi medină, rezultă că triunghiul ABN este isoscel. b) [ AC] [ ND] CC.. ACM NDA [ CM ] [ DA] c) Din ΔACM ΔNDA [AM] [AN] () m( MAN) 80 [m( CAM) + m( DAN)] 80 90 90 () Din () şi () rezultă că triunghiul AMN este dreptunghic isoscel.. ) Avem congruenţele: AOB BOC(din ip.) LU.. L. [ OA] [ OC] (din ip.) AOB COB [ AB] [ BC] () [ OB] [ OB] (lt.com.) Anlog, se rtă că ΔCOB º ΔCOA [BC] [CA]. () Din () şi () rezultă că triunghiul ABC este echilterl. b) Semidrept [OX nu pote fi bisectore unghiului BAC pentru că nu re ceeşi origine. Bisectore unghiului BAC este [AO. c) Drept OY include semidrept [BO cre este bisectore în ΔABC echilterl, deci şi medină. Prin urmre OY conţine mijlocul lui (AC). d) OD este meditore segmentului (AB) şi coincide cu drept OZ, deci punctele C, O, D sunt colinire. Săptămân ) A {4; ; ; 6} 8 dreptunghi jumătte b) F { ; 0; 7} pătrt pătrt c) F { ; 0; ; } 0; ; ; ; 4; romb dreptunghi 6 4 0 4 6. ) Perechile şi, 4 şi 4, 6 şi 6 sunt numere opuse. b) x Î {±; ±; ±; ±6}, de unde x Î {; ; 4; 7; 0; ; ; }.. ) 8 + (+) ( 4) 8 + + 4. b) 6 + ( ) + (+6) 6 + 9 + 6 9. c) 007 : 00 [ ( )] [ ( )] 4 ( + 0) 4 (+8) 4 4 8 AB CE. ) ABEC [ AB] [ CE] prlelogrm b) Având AD BC AD EF BC EF ADEF prlelogrm AD BC AD EF ADEF dreptunghi BC EF m( DAB) 90 c) În prlelogrmul ABEC, mijlocul digonlei (BC) este şi mijlocul digonlei (AE). Deci O este mijlocul ipotenuzei (AE) triunghiului ADE, cre este dreptunghic în D. Prin urmre DO AE (m folosit fptul că în dreptunghiul ADEF digonlele se înjumătăţesc). d) Punctul M este centrul pătrtului ABCD, ir N este centrul pătrtului BCEF. Se deduce că MBNC este romb; cum m( MBC) 4 şi m( CBN) 4, rezultă m( MBN) 90. Prin urmre MBNC este pătrt.
Săptămân Nr. item 4 ) {0; 0} b) { ; 0; ; ; 0} 4 7 7 ; 9 4 ; ; 7 ; 9 4 ; ; c) ;,; 7 6 40 8 ;, ;, ;, 9 0 simetrice simetric din F punctul O xe; O nu re; P 4 xe; Q 9 4 4 4 0 4,(),,. ) şi,, şi 9, şi sunt perechi de numere opuse. 4 b) 4 4 ; ; ; ; ; ; ; ; ;. 9, 4, (), 8 8 6. ) B 4 + + 6 0 990 4 ; ; ; ; ;, C ; 8, ;. 9 9 b) Punem condiţi x 4, x Î. Găsim x Î {,, 4}. c) Condiţi x Î { 0; ; ; }. Găsim x Î { 8; ; 0; }.. ) s b) s O 4. ) Exemplu: Dreptunghiul re două xe de simetrie şi centrul de simetrie este l intersecţi digonlelor. s O s O s s b) Triunghiul echilterl re liniile importnte xe de simetrie, ir punctul lor de intersecţie este centrul său. s Săptămân 4 ) 7 6 b) 8 c) 6 9, F prlele, neprlele 0 4 F isoscel 90, 90, A perpendiculră 67. ) Mi întâi ducem frcţiile l celşi numitor comun: 4 ; 0 9 4 ; 8 8 4 ; 8 4 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4. Ordine crescătore v fi: 0 9 8 8 4 8 < < < < < < < 4 4 4 4 4 4 4 4 dică 7 < < < < < < < 8 4 4. b) Avem, x x {,, 0,,, } x. ) x. b) x ;. c) x imposibil, deci nu există x cu propriette c modulul său să fie negtiv.. ) AB şi CD fiind bze nu pot ve ceeşi lungime. D 7 C b) Deorece digonlele [AC] şi [BD] sunt congruente, 7 deducem că trpezul este isoscel. A 4 B Rezultă AB CD 7 cm, deci P ABCD cm. c) Din MN êê BC rezultă BCNM trpez isoscel, deci A digonlele [BN] şi [CM] sunt congruente. M N B C
d) m ABC 80 m BAD 00 m( ADC) 00 ABCD trpez isoscel cu lturile [AB] şi [CD]. B A 00 80 Săptămân ) 8 b) c) 4 6 4 0 9 9 78 6 7 98. ) 900 00 : : 99 000 000 semiprodusul 60 înălţime corespunzătore 0 40 00 trpez 8 4 00 6 000 98 0. 900 78 99 7 00 9 b) 4 6 + : + + 6 7 7 6 7 6 : 7 7 0 ) 7 0 7 ( 6 ) 7 7 0 6 6 7. 7 7 c) Efectuăm dou prnteză: 000 ( 000 ( 4 8 0. Rezulttul 000 0 exerciţiului este 0, deorece produsul dintre orice număr şi zero este zero. D C BC AD 0. ) Aflăm ri: A ABC cm. Exprimând ri în funcţie de înălţime CE obţinem relţi: AB CE 8 CE A ABC 0 8 CE A CE 0 : 8 CE 6, cm. 8 b) Figur reprezintă desfăşurre unei prisme triunghiulre regulte. Ari unei feţe lterle B D 0 este 4 4, ir ri lterlă este A l 4.. ) A t corp ( + 4+ 4) ( 6+ 8+ ) 6 A t corp 4 + 8+ 9 7. b) Corpul este un prlelipiped dreptunghic, ir corpul este o pirmidă ptrulteră regultă. 4. ) Ari unei plăci este (0,) m 0,09 m. Ari prdoselii este,6 7,8 m. Vor fi necesre 7,8 : 0,009 86,(6) 87 plăci. b) 87 : 0 4,; cetăţenul trebuie să cumpere cutii. c) Trebuie să flăm cât costă o cutie cu gresie: 0 plăci 0,09 m,8 m se coperă cu plăcile dintr-o cutie;,8 m 4 lei/m 7,8 lei costă o cutie; 7,8 69 lei costă totă gresi; d) 7 lei costă lintul; 8 8 lei costă chitul; 7,8 7 lei costă mnoper. În totl, cetăţenul cheltuieşte 69 + 7 + 8 + 7 79 lei. C
Săptămân 6 ) prlelogrmul cu două lturi consecutive congruente, 0 cm b) perpendiculre 9 0º c) pătrt 8 60º 86 80 7 4. ) ; b) 0.. Prim prnteză se mi scrie: 4 00 99 + + + + +... + +... + 00 şi obţinem stfel rezulttul.. m( EAD)0º, ADE este isoscel, m( ADE)7º şi m( EDC)º. Săptămân 7 ) 0º 0º romb, 79 7 b) cm 60º 0 0, 7 68 c) 9 cm 8 0º 0 8. ) > ; > ;... ; >, deci > 0; 4 98 99 4 99 98 > ; > ;...; >, deci b > 0. 4 6 00 99 0 b) + b, m (, b) ; c) b 0 + 4 97 98 + +... + < 0, deci < b. 4 6 99 00 Din < m (, b) < b şi punctul ), obţinem 0 < < < b. Din b > 0, rezultă şi b <.. Indicţii: punctele E şi F sunt punctele de intersecţie bisectorelor în ABD respectiv CBD.. b) Conform ) sum devine: 00 + +... +. 99 0 0 Săptămân 8 ) mic 0 4 b 0 b) trpez isoscel 0, c) suplementre 4 -. Obţinem 98 96 >, devărt; 99 97. ) m( DAC ) 60º m( ADC ) 0º m( DCA ) 0º m( ACB ) 90º AC ^ BC. b) m( DAC ) 0º m( CAB ) (AC este bisectore DAB. c) ABC dreptunghic, m( CAB ) 0º AB BC DC.. ) Fie AD Ç BC {O}. Din congruenţ triunghiurilor AOC º AOB º DOB º DOC (AB) º (BD) º (DC) º (AC) şi ABCD romb. b) M este mijlocul segmentelor (AD) şi (BC), deci ABCD prlelogrm. Dr m( A ) 90º, deci ABCD dreptunghi. c) Conform ) ABCD romb. Dr m( A ) 90º, deci ABCD pătrt.
Săptămân 9 ) 600 40 4, b) 49 00 8 7 c) 8 4 64, 0,. ) Notăm cu x lungime trseului şi obţinem: 4 x+ + 4 x + + x. x 0 km. b) 4 km.. Ecuţi se mi scrie: x+ x + + x + x + 9 + +... + 0 4 0 x x x x + + 9 + +... 0 4 0 ( x ) 9 + +... + 0 0 x.. MNPQ este dreptunghi cu lungimile lturilor egle cu jumătte lungimilor digonlelor rombului. d d 40 cm. Ari dreptunghiului d d 0 cm. Săptămân 0 ) 6, 80 0 b) 6 8 00 4 c) 0 44. x 6, y, z.. Aplicăm propriette (, b) [, b] b şi obţinem: x 4x [, x] ; [ 4, x] ; x 4x (, x) (4, x) (, x) (, x ) ( 4, x ) x (; x) (4; x) (; x). Deorece (; x) ; (4; x) 4 şi (; x) x, obţinem (; x) ; (4; x) 4; (; x) x x.. Demonstrăm că: AECG şi BFDH sunt prlelogrme; AHB º BEC º CFD º DGA; AQH este dreptunghic; HQ este linie mijlocie în ADP. Notăm HQ x şi obţinem DP x, AQ QP x. Din A ADG cm A AHQ + A HQPD + A DPG x, obţinem x cm şi ri pătrtului MNPQ 4 cm. Săptămân ) 4 0,9 4, 0,9 b) 0 80,9 6; 4 c) 0 70 0, 0º 87. ) 7; b) 4 ;. ) Preţ Preţ Preţ finl iniţil intermedir în lei x y 84 640 în % 00% din x % din x % din y Rezolvăm prin metod mersului invers: % din y 84 640 y 7 600 lei % din x 7 600 x 64 000 lei b) 7 600 lei; c),%;
. ) 48 cm ; b) A CPN A ABC 4 4 48 cm A ABPN 48 cm cm 6 cm. c) [MN] linie mijlocie în ABC MN êê DP; [DM] medină în triunghiul dreptunghic ADB DM [PN] linie mijlocie în ABC PN d) 4. AB DM PN. AB ; Săptămân ) 6 4,4, b) 0,,, 4, c) 9. ) 6 cm; b) 0 cm;. ) 784; b) ; c) 4;. ) 0; b) ; c) ; d) 8 4. Săptămân Nr. item 4 ) 0; 4,8 b) Æ 8,8 c) 8 9. ) O prlelă l un din lturile unui triunghi determină pe celellte două (su pe prelungirile cestor) segmente proporţionle. b) Dcă o dreptă determină pe două lturi le unui triunghi (su pe prelungirile lor) segmente proporţionle, tunci e este prlelă cu trei ltură triunghiului. c) Bisectore unui unghi l unui triunghi determină pe ltur opusă două segmente proporţionle cu lturile unghiului.. ) 008 re ultim cifră 8. Nici un pătrt perfect nu re ultim cifră ; ; 7 su 8. Su 44 96 < 008 < 0 4 ; n Î n + 8 re ultim cifră 8 su. etc... b) <, 4< <. ) A; b) F; c) A;. ) 6; b) 4,; c) ; d) 90º. Săptămân 4 ) 9 4 6 6 b) 4 80 80 c) 48 06. ) 7 < ; b) 6; D 6. ) Construim CE êê BD CD BE, h ir m( ACE) 90º. Dcă CF ^ AE CF FA FE, h b (su din CFA EFC). A Fie M mijlocul [CD] şi N mijlocul [AB]; D MN + b ; NP b ; + b b h MP ^ AB. MP 4b MP MP b. A 4 O C b F B M O Pb N C E B
b) h 8 4cm ; c) 6 4 x 4 x 6 x 9.. ) ADC BCA (u două lturi respectiv proporţionle şi unghiurile dintre ceste respectiv º ) b) BC BC,7 cm; P 7 cm;,7 cm. 4 c) OBM ODN NOD º MOB (opuse l vârf) 6 0 d) EDC EAB P EDC ED + DC + EC + 4 + 6 cm. Săptămân ) 6 6 { 0 ; ; 6},4 b) 0, 4 4 ; π 0,4 c). ) 0,6; b) x ; y,; M g,. b c. ) b c/ ; b c 6 6 4 04, 4, 0 0; b 0; c 4; b) 0%; c) 80%;. ) u lturile respectiv proporţionle; b) 4 ; {0; } 000 4 c) BAO º ODC; m( ODC) + m( OCD) 90º. Dcă AB Ç CD {S} m( ASC) 90º. d) În DCB punctul A este ortocentru l triunghiului deci AD ^ BC. Săptămân 6. ) ; π ; 0. b) număr irţionl; c) 4 ( + 7)+ ( 7 ). k. ) F; b) k, ;; c) A {, ; 7 ; }.. ) x ; b) ; c) A. 4. ) m( F ) 70 ; b) DE cm; c) DF 6 cm... ) AC 7, cm; b) DE 8 cm; c) BC 4 cm.. ) S + + +... + 99 S 99 + 97 +... + b) S 00 + 00 +... + 00 S 00 0 S 0. 99 00 0 99 98 49 n : 99 99 : 99 99 n 99 n 0 p.p. 4 + 48 + 6 +... + 00 00 400 9 + 68 + 9 7 +... + 00 00 900 4 + + +... + 00 9 + + +... + 00 4 4. 9 9. + + + + n( n+ ) + + + n...... 6 n+ n n + n + + + ( ) n+ n b n 8 : 6 6 7 :, n 0 4 0 8 6 + b n + : n + 6 : + + : b + + 6 6 6 ( + 8+ 4) 6 c : + : 0 8 6 8 6 4 + 4 4 7 ( + ) 9 b< c b c< 0 > b c n este negtiv., n 0 n + 4
. i) AB AD BEN; AD EN BE EN CEM AD EM CD AD : CE ME BA CD EBC : AD BC BE CE AD AD EN ME EN ME ii) ) AFE BAM (corespondente) AEF CED (opuse l vârf) AFE AEF AE AF B C 90 m B C 90 m BAM DEC TThles CE AE CE + AE b) AM DE CAM CD MD CD + DM AE BC AB DM.. Săptămân 7. ), < < 0< < < ; b) 0 ; c).. ) + 8 ; b) ; c). 0. ),8 +,; b) b; c) x 6 ; y 0; z 6 ; y > x> z. [ ] [ ] AC AC AB MC MC BC 4. ) AD cm; b) BC 0 cm; c) Din teorem bisectorei: AD DC 64 AE AD 64 AD ; ABC : DE BC AE AD AB AC BE AB AE 64. i) ) BC ; b) BD BA ; ii) PQ BC 4. 0. ) ( ) 996 994 99 996 99 7 4 ( ) 0 4 996 994 994 ( ) 994 994 ( ) 99 99 996 ( ) 994 994 990 996 994 996 ( ) ( ) 994 990 99 99 ( ) ( ) ( ) 99 996 99 ( + ) ( ) ( + 994 996 ) ( ) 99 998 996 996 996 ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( + ) 996 998 998 998 4. b b) Se plică ineglitte: b < + pentru fiecre termen. < + < : < < + < : <... 00 + 0 0 00 0 00 0 < 00 0 < : 0 < 0 00 0 Prin dunre, rezultă: + +... + < + +... + 0 + 00 termeni 00 0 +... + < 0. 0
. ), b, c Î + ( ) + ( ) 999 000 b 00 c 0 999 + 000 b + 000 c 0 0 0 0 Din propriette modulului Þ 999 0 999 000 b 0 b 000 00 c 0 c 00 + b + c 999 + 000 + 00 000 M 000. b) 4 47 4 ( ) 47 8 47 4 94 < 94 47 94 ( ) 47 9 47 94 47 47 4 ( 4 ) 6 4 47 47 7 ( + ): 4 4 94 9 94 4 4 < 94 9 94 94 4 40 ( 4 4 + ): ( ) + ( ) + c) Ex : + + + 4 40. : x x + + x x + + x x E( x) + x x + x D x x ;. { }. i) În ABD, plicăm teorem bisectorei: AB AE BD ED Se plică teorem bisectorei şi în ACD: AC CF AD FD AC AE EF AD ED FD AB AC Din propriette de loc geometric meditorei DA DB Conform reciprocei teoremei lui Thles EF AC. m ( A) 60 m DAE m DAC 0 4 m BAD m EAC ii) ) m DA C B UU m 4.. ADC BAC. C unghi comun AD DC AC b) ADC BAC ( UU..) BA AC BC În AED vem: m DAE 0 m ( AED) 90 m ( ADE) 60 Conform teoremei unghiului de 0º în DAE m DAE 0, vem m ( AED) 90 DE AD AD DE AD AC DE AC DE BC AB AC. BA BC AB BC
Săptămân 8 ) 6x + x E( ) 4x + 4 BC 6 AB { } b) x 0x 4xy 4y x ; AB cm c) 6 6 x y 4x 4 7 cm. ) A { ; }; B { 0 ; ; }; C {}. ; ( A B) ( B A) { } b) A B C {} \ \ ;;.. ) x + + + + 4 + x 6 y 6 + + + + 49 + + 49 y 49 M x+ y 6 + 49 xy 88 7, ; M h 0 69 x+ y M g x y 7 6. b) m p x k + y p, k, p - ponderile lui x, respectiv y. k + p 6k + 49 p 7k 6 p k + p k, p k 6 k, p - minime p 7. ) ABC dreptunghic O - mijlocul lui BC } Þ O este centrul cercului circumscris Þ AO BO cm Þ BD 8 cm OC cm Þ DC cm } Þ BC 0 cm Din teorem înălţimii Þ AD BD DC Þ AD 4 cm Aplicăm teorem ctetei Þ AB BD BC Þ AB 0 cm AC DC BC Þ AC 40 cm. b) BD 6 cm în ABD plicăm teorem ctetei Þ AB BM BD Þ BM 4 cm MN BD BM MN 6 8 Þ MN 8 cm. Săptămân 9 ) x 6x 7 6 cm AD cm b) 4 + 6 6 0 cm A 0 cm c) 6x 6x 000 ( 6) 0 0x + 6 cm A 60 cm + ( ) + ( ). ) + b + c + 9 4+ 4b+ c b c 0 O sumă de termeni pozitivi este 0 dcă fiecre termen este egl cu zero. 0 b triunghiul este isoscel. b 0 b c 0 c
( ) b) + x x + + x x x 9 + x x + x x 9 x + 6x 9 ( x 6x+ 9) ( x ) < 0, x.. ) ( + b + c ) ( + b+ c) + b + c + b + c + b + c + bc + ( ) + ( ) b c b c 0 b, cb, c b c 996 996 + b + + b + b c. b) n x+ y 8 + x+ y + 0 n x y+ 8 + x+ y + 0 4< x < 0 n 8. 6< y < 8 ( + ) 0 < x+ y< 8 b c c) + b+ cc c bc + c c bc + b c b c b bc,, > 0 c c b( + c) b b + c. + c. i) Notăm AB. Conform teoremei unghiului de 0º Þ BC. Din teorem lui Pitgor Þ AC. P 8 + 8 ( + ) 8+ 8 6 AB 6 ; AC 8; BC. ii) DM 80 + 4 MBC NCD BMC CND m CND + m( NCP ) 90 ( NPC 90 m MPD 90 m ) MP + DP MD MP + DP. Săptămân 0 Nr. item ) x( x + y ); x + ; b) ( x ) ( x+ ); N ( x+ y) ( x+ + y) ; + c) x + ( x ). x+ x 7. ( + ) Nr. item 4 ) n x ; b) x + y 9 cm, b 4 cm, c cm ; b BD ; ; BC ; c) ( x ) ( x+ ) x + x. 6 cm CD.. ) x ( x+ ) 4x( x+ )+ 4( x + ) ( x+ ) ( x 4x+ 4) ( x+ ) ( x ) ; b) ( x+ y ) ( x+ y ) ( x+ y + ) ( x+ y 6) ( x+ y+ 4) ;
4 4 c) 4b 8b + 4b 9c 4b + 9c 4b 9c b ( c) b ( ) c b ( ) c. ; + 4 4 d) x + 4 x + 4+ 4x 4x x + 4x x + x x + + x 4 4 e) x + 4x + x + 6x + x+ 0 x x+ + x x+ + x x + 4 ( x+ ) ( x + x + ).. ) + b + b + + b + b 0+ + b 0+ 0 + ( ) + 0+ 6; + ( ) b) xy + zt xy zt xy zt xy zt + 7 4xyzt ( x y + zt ) 7 8xyzt 7 xyzt ; + b c) x ( + b ) + b x y M g x y, b, > 0. + b 4b b y b. i) Notăm cu l ltur rombului. Ducem DE AB. m B m D m A m C 0 0 AO - bisectore m BOA m BDE } UU AOB DEB ABO - comun În AED, conform teoremei unghiului de 0º Þ DE AO DE AB OB d l l d d l d d DB EB l d. l ii) ) ADC: MP este linie mijlocie MP DC DC 4 PQ AB DC AB 0 cm fie CE AB CE BC BE AB CD CE 9 6 CE 4 cm BE BC AD AE + 4 7 cm Conform teoremei lui Pitgor AC AE + CE AC 6 cm. b) AO AB AO AB AO AB AOB DOC OC CD AO + OC AB + CD AC AB + CD AC AB AO AO AB+ CD 6 7 + AOB AOB 6 0 6 7 este isoscel P + 0 cm. 7 7 Săptămân ) ( )(x ) şi (x 4)(x + 4) 6 b) 4( x)( + x) 6 c) ( + 7) 0, şi 0, + 9 ) x + 8x+ 8+ x + +. (p) Vlore minimă expresiei este. (p) b) 6 0 6 (p) 4 + b 0 b 4. (p)
c) x x+ 6 + y + 8y+ 6 0 (p) ( x 6) + y+ 4 0 x 6 şi y 4.. 6 + 4 + + + 4+ 4+ + 9. + ( ) (p) (p) (0p). ) Relizre desenului. (p) Completre desenului. (p) b) Scriind teorem ctetei în triunghiul dreptunghic ABD, se obţine lungime proiecţiei lui AD pe AB este cu 4 cm. (p) c) Distnţ de l mijlocul bzei l un dintre lturile congruente este înălţime în triunghi dreptunghic. Aplicând teorem înălţimii, se obţine distnţ căuttă eglă cu. (p) d) BD cm (p) P ABC 0 + 0 cm. (p) Săptămân ) 0 b) c) coordontele (negtiv) Reprezentre punctelor Reprezentre punctelor Reprezentre punctelor Reprezentre punctelor (, ) Desenul corect 7 8 8 9 8 7 7. ) Reprezentre corectă punctelor A, B, C, D. (8p) Ptrulterul ABCD este un trpez dreptunghic. (p) b) BC ; AD ; CD 7 (p) ( b+ B) h 7 A ABCD. (p). Reprezentre punctelor M, A, R într-un sistem y R de xe ortogonle. (6p) 4 Se construiesc prlele prin A, respectiv M l A x Ox şi se noteză cu B, respectiv C proiecţiile B x punctului R pe ceste prlele. (p) O B(; ); C(; ). (p) M C Din triunghiul dreptunghic BAR, tg(a). (p) Din triunghiul dreptunghic CMR, tg(m). (p) Dreptele AR şi MR u ceeşi pntă, deci M, A şi R sunt colinire. (p). ) Relizre corectă figurii. (p) BC 7 7 b) sin ( A) BC AC (p) AC Aplicând teorem ctetei, obţinem BC,96 AC; (p) AC cm, BC 7 cm, AB 4 cm; (p) P ABC 6 cm. (p) c) BE 6,7 cm; (p) cos( EBA) 7 ; (p) tg ( CBE) 7. 4 Săptămân ) Reprezentre corectă punctelor b) (4; ) 9 ( ; 4) c) (; ) 0 (; ) (p) (; ) u 6 0
. x < x { ; 0 ; } (p) y y { ; 0 ; ; ; } (p) Reprezentre corectă punctelor ( ; ), ( ; ), ( ; 0), ( ; ), ( ; ), (0; ), (0; ), (0; 0), (0; ), (0; ), (; ), (; ), (; 0), (; ), (; ). (p). ) Reprezentre corectă punctelor A şi B. (p) 7 b) Drept AB este dtă de ecuţi y x 4. (p) E intersecteză x Ox în punctul de coordonte (4; 0) 7 şi x Oy în punctul de coordonte 0;. 4 tg ( AB, Oy) 4. (p) 7 c) Aplicând teorem lui Pitgor în triunghiuri dreptunghice, se clculeză: AB 7; PA ( ) + 9; PB ( 6 ) + 4. (p) Scriind torem lui Pitgor în triunghiul dreprunghic PAB, obţinem: PB PA + AB (p) 4. (p). ) Se construieşte CD ^ AB. (p) În triunghiul CAD dreptunghic isoscel, CD DA cm (p) În triunghiul dreptunghic BCD, m( B) 0º BC 0 cm, BD 6 cm (p) AB AD + BD + 6 + cm. (p) b) BE ^ AC (p) În ABE,sin A BE BE ( + AB ) cm. (p) Sãptãmân 4 ) 4 8 60 4+ 4 b) 6 c) 9 { ; } x +. ) Notăm cu x sum iniţilă. (p) Prim dtă, person cheltuit x, poi x şi în cele din urmă 0 00 000 x. (p) Clculând restul finl, obţinem ecuţi 7 x x 47 x 000. (p) 00 000 Person vut iniţil 000 lei. b) Sum rămsă reprezintă 6 (p) 49 - prte din sum iniţilă. (p) 000. ) x 40 9 ; (p) b) x 9 4 (p) + ) c) + 7 8 + 9 6 x (p) 9. ) Relizre desenului. (p) Completre desenului. (p) b) AC 4 cm. (p) AD cm. (p) BD 7cm. (p) c) P ABCD AB + BC + CD + DA. (p) P ABCD 0 +. (4p) d) Notăm cu O intersecţi digonlelor. DO AD OB AB 4. (p)
Săptămân ) segment închis fls 9 b) { ; } semidreptă deschisă devărt, 60 c) {0; } reprezentre corectă 4,7 0, 8. ) 006 x + 00 009009 (p) x (p) + x+ 6x x 0 b) ( 6x ) (p) 8 7x 8 0 x 7 (p) 4 x 4 0 x (p). ) BD cm (p) b) Notăm AM x. (p) AM BD A ABM x (p) A ABC 9 (p) x 9 < 0< x < (p) 6 x c) 7 x 4 9 (p). În ABD, AO este medină (p) A AOB A AOD (p) AO OD sin0 A AOD (p) A ABCD 4 9 6 cm (p) Scriind teorem lui Pitgor în ABD, obţinem: (p) L + l 44, ir din formul riei dreptunghiului vem: + L l 6 L+ l 6 L l 6 6 P ABCD 6 cm. (p) Săptămân 6. ) S {}; b) S 6 ; c) S {4}; d) S {}; e) S { 0}.. ) S {0,, }; b) S {, 4,,, 0,,,, 4, }; c) S {,, }; d) S +.. ) S {±}; b) S {, 4}; c) S {, +}. 4... A 4. 6. ) OP 6 ; b) m MN 0 ; c) m MQN 40. Săptămân 7. ) S {( ; )}; b) S {(; )}.. ) S {( ; )}; b) S {(; 6)}. 80 0. m(<aob) 0 m(<oab) 0 MA tngentă l cerc m(<mao) 90 m(<mab) 60. 4. ) m ABD 0 m AD 40 m CD 60 0 70 40 m CD 40 + 0 m AB ( ADB) m ABC 80 ( ADC) 90. BC OAB 90 4 b) m DCB m CD m BC c) m e) m. ) m m m BOC 90 OAB cm ; b) OM 4. d) m ( ACB) OAB dreptunghic isoscel
Săptămân 8 {}. ) S {(; 0)}; b)s ; ; c) 8 S ; ; d) S {(; 7)}.. ) Se noteză x+ y 4 şi b x y+ ; 8 şi b x 7 6 şi y 49 6 ; b) S {(8; )}. m BC m AC m AB. m A m B m C 90 ; 60 ; 0 ABC dreptunghic în A; AB 8 ; AC 8 ; A ABC 6 cm. MO CO CM 4. ) MOC MOB MO BO BM MO MO 6 MBO dreptunghic BM MO BO b) BM 8 şi MC 6 BC. MC OC c) A MBC 8 cm.. ) R b c R 0 cm; b) 96 cm. 4A Săptămân 9.. ) S {( ; )}; b) S ( ) { } ; ;c) S ;. 7 7. + b 0; b + ; b > 7 şi b. + b 66. 6; b 0. 4+ 6b 47 4. ) BD cm BD R R cm; b) 9 08 cm.. AM ^ DC AM 4,4 cm; DM 0,8 cm; AC 4 cm (Reciproc T. lui Pitgor) AD + AC DC DA ^ AC DC R R cm. b) ABCD 76,48 cm. Săptămân 0 b ( + b). ) 4 0; b 6. 0% + b 9 + b 40. ; b 8. + 4 ( b+ 4) l l l. l + ; şi l+ l + l 60 l ; l 0; l. l 4. ) l l 0 cm; 00 cm ; b) R d ; c) 0π cm.. ) L π; b) 6π cm ; c) l 6 ; ; d) 6 ; A 6 4 cm. Săptămân ) b) {,, } {0,, } < 6 echilterl 6 < < dreptunghic π c) {} < < < + două 44 π
( 0, ) 6, 06 0, 06 6, 06 6. ) ; 004,, 04 b) Pentru n pr: 9 7 7 9 ( )+ 9 + 9 + Pentru n impr: 7 9 9 7 ( ) + + 9 9 0 ;. ) Ecuţi este echivlentă cu: 8x x+ 6 x x x+ x + 6 x ( + ) x +. b) x< x<. c) Folosim metod reducerii : x y x y x x x+ y 9x+ y 6 y y x Deci S {(; )}.. ) AC 8 cm; MQ linie mijlocie în triunghiul ABD, deci MQ BD cm şi MQ BD. Anlog NP cm, NP BD; MN 4 cm PQ, MN AC PQ. Ptrulterul MNPQ este dreptunghi, MP este digonlă, MP cm. BD AO 6 b) A ABD 4 cm. c) A A A A 4 4 8 AC BD 86 d) A ABCD 4 cm. BMN ABC ABCD ABCD A MNPQ 4 cm..de8 ori. Săptămân ) {,, } < x+ 4 y (EB) º (CG) b) {, 4} < < b 80º c) {(; ), (; 4), (, ), (; 4), (; ) (; 4)} < < < 00x 0y obtuzunghic şi isoscel. ) Notăm cu n numărul copiilor şi cu m numărul merelor. Trnscriem mtemtic dtele problemei: 4 + ( n 6 ) m 6n 6 4 6 + m n m ( ) n m n m n+ m n 0 n Deci sunt copii. b) m 6 90 88. Răspuns: 88 mere.. ) 9 9 x + x x+ x x x x 4 4. 8 8 b) x y. c) ( x 4x+ 4)+ ( x x+ )+ x + ( x + x+ )+ ( x + 4x + 4) x + 0.. ) AB. b) d( BAD, ) BD ; d( BCD, ). c) P ABD + + +. d) P ABCD ABCD 6 ; A. L+ l h L h egle
Săptămân ) {; } flsă 9 0 0 b) {; ; } devărtă 0 c) Æ devărtă,. ) k k k k { ; ; ; },. Găsim k Î { ; ; 4; 8} Ç {4; 8}; corespunzător x Î{; } A. 7 k 7 k 7 k k + + + { ; },. Găsim k Î{ ; 4}; corespunzător x Î {; 7} B. b) A Ç B {}, A È B {; ; 7}, A \ B {}, B \ A {7}.. ) Observăm că reprezentările grficelor G y G g sunt trei drepte prlele. f G b) Triunghiul determint de h G g şi xele Ox şi Oy este dreptunghic isoscel de ctete. x 0 Deci A. c) d( Gf, Gg) ; d( Gf, Gh) ; d( Gg, Gh) +. c r c b. ) S π π π π ; nlog S. 8 8 b c b c b) S S + S + ABC + π π + A. 8 8 c) Notăm cu σ ri porţiunii gri. σ este diferenţ dintre ri semidiscului de dimetru BC şi ri triunghiului: b + c π π σ b c ( b + c ) b c 8. d) Ari părţii hşurte este eglă cu: S ri semidiscului de dimetru BC, conform notţiilor de l subpunctele nteriore. A ABC. πb πc bc π b + c bc + + 8 8 8 Săptămân 4 {4}, {; 4}, {; 4}, ) {; 4}, {; ; 4}, {; ; 4}, {; ; 4}, < 4 x + 90º {; ; ; 4} b) < b < < nu este PAB c) ± < < < r Indicţii. b) ( ) 0 8 0, b( ) 0 9 0. Cum 8< 9 8 0 < 9 0. c) 9 8 9. ( ). ) < < < <. > 0 > 0 > 0 b) < < <. c) < >. > 0 > 0
. ) Notăm numărul căutt cu x. 6 % x x 6, x x x x 0. 8 4 8 0 8 07 b) d 4i+ 0; d + i 7 4i+ 0 + i 7 i 07 i. Nu există numerele căutte.. ) Cum 4 y 0 + 4 y ; propoziţi este flsă. b) Propoziţi este verifictă pentru x dr nu pentru orice x, număr rel; firmţi este flsă. c) Propoziţi este devărtă deorece sum modulelor este 0. Avem eglitte pentru z.. ) m ( A ) m B m C m A m B m C + + 80. 4 Obţinem m A m B m C 7, 4, 60. b) Din triunghiul ADB, deducem BD 0 cm, AB 0 6 cm. Din triunghiul ACD, flăm CD 0 cm şi AC 0 cm, BC 0 + 0 cm. P ABC 0 + 0 + 0 + 0 6 0 + + 6 cm. c) Ptrulterul MPDN este trpez dreptunghic de bze DN şi PM. Cu teorem bisectorei în ABC: AM MB 0 6 MB MB MB 0 cm. AC CB 0 0 + Triunghiul BPM este dreptunghic isoscel; MP PB 0 cm. DP BD BP 0 0 0 cm. În triunghiul CDN: tg0 ND ND 0 ND cm CN CD 0 În triunghiul CPM: CM MP 0 cm; 0 cm deci: MN CM CN 0 0 0 cm. 0 P MPDN MP + PD + DN + NM 0 + ( 0 0)+ + + 0 0 + 0 0 0 + cm. AC CN sin0 d) A ANC 0 0 00 cm. Săptămân ) flsă 60º, 60º, 60º o infinitte dreptunghic b) 0 flsă {; 6; 7;...} isoscel c) { ; ; 0; ; } devărtă Æ dreptunghic Indicţii. ) Orice mulţime cre conţine elementele, şi nu conţine pe. b) Rdiclul există deorece 0. Din definiţi rdiclului rezultă 0.. ) Contrexemplu. Pentru : 4. b) Contrexemplu. Pentru : 9. c), oricre r fi 0.. c) Adunând ecuţiile sistemului obţinem 0, fls.
. ) Folosim metod mersului invers : { 4+ ( + x) : 6 } : 9 0 7 { 4+ ( + x) : 6 } : 9 4 + ( + x) : 6 7 4+ + x : 6 4 + + x : 6 6 ( + x) : 6 ( + x) (: ) x 7. b) Înlocuim x cu : Din () şi (), ţinând cont că AD BC (pentru că ABCD prlelogrm) rezultă (AE) º (EB), deci E este mijlocul lui AB. c) P ABC 60 dm.. ) Tngent este perpendiculră pe rz dusă în punctul de tngenţă, deci BC ^ AD. Deducem MN BC; O fiind mijlocul înălţimii [AD], rezultă M, N mijlocele lturilor AB, respectiv AC. b) ABC este un triunghi dreptunghic isoscel, de bză BC. c) AM r AB r ; BC 4r. PABC 4r + ( 4r+ r) r d) Ptrulterul BCMN este trpez isoscel. A BCNM r. + + + 4 4 + 4 6 + + 4 8.. ) m DEC 80 A m EDC m ECD + E m ( ADC ) + m BCD 80 D 80 80 90. Deci triunghiul DEC este dreptunghic în E. b) AED º EDC (c unghiuri lterne interne), EDC º ADE (din ipoteză) AED º ADE AD AE () Anlog se rtă că BC BE () D A E C C B B