METODE NUMERICE PENTRU ECUAŢII DIFERENŢIALE Foldere / Metode Ssteme de ordnul întâ Metodele de ma jos rezolvă problema cu valor nțale: x f( t, x) x( t x ) Adams45 Metoda Adams-Moulton Predctor-Corector de ordnele 4 s 5 BDF Metoda BDF (Backward Dfferentaton Formulae) BDF_DOR Metoda BDF codul Dormand BDF_IMSL Metoda BDF Bbloteca IMSL RK4 Metoda Runge-Kutta de ordnul 4 Ecuaţle dnamc structurlor (ssteme de ordnul do) Ssteme de forma: MU g( U, U ) f( U) P( Df_Centrale_ Metoda dferenţelor centrale ecuaţe (lnară) Newmark_
Metoda Newmark ecuaţe (nelnară / lnară) Newmark Operatorul Newmark sstem (nelnar / lnar) NewOp_ Operatorul NewOp ecuaţe (nelnară / lnară) NewOp Operatorul NewOp sstem (nelnar / lnar) Probleme de test Lnare ) Răspuns lber, neamortzat mu ku m ; k 4 ( ) Condţ nţale la t : u ; u ; u u ; ; u( u u cos( sn( ) t ) Răspuns lber, amortzat mu cu ku c / m ; k / m Ecuața se ma scre: u u u a) Amortzare sub-crtcă: t u( e ( C cos( a C sn( )) at
a (pulsaţa sstemulu cu amortzare; pseudo-pulsaţe) C u; C u u b) Amortzare crtcă: t u( e ( C C C t u; C u u ) a c) Amortzare supra-crtcă: t at u( e ( Ce Ce t a ) a ( C ș C se determnă dn condțle nțale) Date pentru ecuața m ; k 4 ( ) Condţ nţale: u( ) ; u () ) Răspuns forţat, neamortzat mu ku p sn( m ; k 4 ( ) p k ; 8 u( ) ; u () ; u () u( u cos( sn( u(, unde: u( Dust (sn( cos( ) p (deplasarea statcă); k u st
4 D (factorul de amplfcare; coefcentul dnamc) / Nelnare ) Ecuaţa van der Pol x ( x x ( ), x() A ) x x Acos( Parametr: ş Interval de ntegrare [, ] Notă Pentru, ecuaţa este rgdă ) Problema celor două corpur x x / r y y / r în care: r / ( x y ), Condţ nţale (pentru cazul mşcăr elptce): x() e, y(), x (),, y () ( e) /( e) în care e < (e = excentrctatea) Soluţa analtcă este dată de: x cos u e, y e sn u sn u e cos u x, y ecos u ecos u în care u se determnă dn ecuaţa lu Kepler: u esn u t
5 Soluţa este perodcă cu peroada mnmă T =, ar orbta este o elpsă cu excentrctatea e ş sem-axa mare egală cu ) Exemplul Dormand y x y z y z x x x / Condţ nţale, la x : y, z y, z x x 4) Ecuaţa lu Duffng (răspuns haotc) x kx x Bcos( Condţ nţale, la t : x, x Valor parametr: k = ; B = 99 (răspuns haotc); B = 5 (răspuns determns Tmp de ntegrare ş pas: TT =5 s; h = 5 TT = 5 s; h = s Ecuaţ rgde ) Lnare x x x Condţ nţale: x( ), x ()
6 x( 99 e t 99 e t Pentru t = mare (exemplu: t ): x( 99 e t ) Nelnare Exemplul Dormand (v ) Jacobanul sstemulu este: J ( y, z) / y / z y / z Valorle propr sunt elementele dagonale, anume: / y ş y / z Acestea, calculate pe soluţe, sunt: 4 x ş / x Prma creşte, ş a doua scade (în modul), cu creşterea lu x; rezultă că sstemul este rgd Astfel, dacă operatorul are un nterval de stabltate absolută L h, sau h( ) L, pentru pasul h trebue să avem h L / De exemplu pentru x, avem 4, ş h L 4 Ecuaţa van der Pol, pentru (v ) Note ) Pentru rezolvarea unu sstem (ecuațe) de ordnul do, prntr-una dn metodele dn (exemplu: Runge-Kutta): sstemul (ecuața) se va pune sub forma unu sstem echvalent de ordnul întâ ) Pentru rezolvarea prntr-una dn metodele dn (exemplu: Newmark), a une probleme descrsă de un sstem de ordnul do de forma celu dn probleme celor două corpur: matrcea de masă M se va defn ca o matrce dagonală, avînd pe dagonala prncpală
7 4 Ssteme cu ma multe grade de lbertate (probleme lnare) ) Sstem cu grade de lbertate, răspuns forţat, forţe armonce Exemplul Fşer: Exdat Ecuaţa dferenţală matrceală (cadru etajat cu nvele, deplasăr de translaţe): MU KU P cos( ) Date: t M * ; K * ; 5 6 u( U ( u ( ; u ( ) t 5 P ; Condţ nţale (repaus): U( ) ; U () Soluţa exactă: Problema generalzată se transformă în problema standard pentru matrcea R, prn: M S T S (unde: S este superor trunghulară); ) Matrcle R ş R S T KS S se calculează cu programul General_R; ) Valorle ş vector propr a matrc R s-au obţnut prn metoda QR; ) Pulsațle ș vector propr a probleme generalzate s-au determnat cu programul Retreve_Egen_from_R (toate programele în foderul ANA\Egen) Pulsaț propr : 6595579987 7459778464796 459749869865 Vector propr (Norma-): 864794896796-49756548847 758988955E- 4798769879 755758446576-45794859879 75987864 4748655 885756878768
8 Avem, pentru,, : Vector propr a probleme consttue coloanele Φ ale matrc modale Φ M y st, T Φ MΦ ;, Φ T P, P ; P ; D M ( / ) ; A yst, D A y ( A sn( sn( ; y ( A [cos( cos( ] ; y( Y ( y ( y ( ) t U( ΦY( U ( ΦY ( ) Exemplul : matrce de masă M, non-dagonală M ; K Restul datelor sunt aceleaş ca în Exemplul Fşer: Exdat Pentru soluţa exactă: Pulsaț propr : 75748986 97674887468 86597996858 Vector propr (Norma-): 77946496-5897858966 -678668578947 6698445554-6444689 5975688478
9 7647896896 74775697766-4456757765 Structura proectelor Proectele trebue sa conţnă următoarele categor de surse: 4) Surse generale: comune la orce problemă; 5) Surse specfce probleme analzate: Acestea se scru de către utlzator V Exemple în folderele metodelor Structura fșerulu de ntrare este descrsă în programul Man-Metoda (în secțunea de comentar) BDF a) Surse generale: Elmf9 Gen_coeff9 GetFlef9 Man-BDFf9 Newton_Sysf9 Norm$f9 OpenFlef9 Sub_BDFf9 wdthf9 workf9 b) Surse specfce Probleme: Ex se referă la Problema consderată Fcn-Exf9 Jfcn-Exf9 Start_Values-Exf9 Exact-Exf9 [opţonal soluţa exactă; orce subrutnă de acest tp, dacă nu se cere eroarea Ex: Exact-f9] RK4 a) Surse generale: GetFlef9 Man-RK4f9
Openflef9 Rksystf9 workf9 b) Surse specfce Probleme: Ex se referă la Problema consderată Dervs-Exf9 Exact-Exf9 [opţonal soluţa exactă; orce subrutnă de acest tp, dacă nu se cere eroarea Ex: Exact-f9 ] Newmark a) Surse generale: Coef_Lnf9 Elmf9 GetFlef9 Man-Newmarkf9 Newmarkf9 Normf9 Openflef9 Sub_a&bf9 wdthf9 workf9 b) Surse specfce Probleme: V exemple în folder Ex se referă la Problema consderată FGP_J-Exf9 Gen_M-L_6f9 Exact-Exf9 [opţonal soluţa exactă; orce subrutnă de acest tp, dacă nu se cere eroarea] NewOp a) Surse generale: Coef_Lnf9 Elmf9 GetFlef9 Man-NewOpf9 NewOpf9
Normf9 Openflef9 Sub_a&bf9 wdthf9 workf9 b) Surse specfce Probleme: V exemple în folder Ex se referă la Problema consderată FGP_J-Exf9 Gen_M-L_6f9 Exact-Exf9 [opţonal soluţa exactă; orce subrutnă de acest tp, dacă nu se cere eroarea]