CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a C, iar 9 de elevi u sut di clasa a V-a A. Numărul elevilor di clasa a V-a A este de două ori mai mic decât umărul elevilor di clasa a V-a C. CâŃi elevi au participat di fiecare clasă?. Se cosideră şirul de umere aturale: 1,, 7, 15, 1, 6, a) observâd o regulă de formare a termeilor acestui şir, aflańi următorii doi termei ai şirului; b) dacă p este termeul de pe locul 008, demostrańi că p+1 este pătrat perfect, iar p 007 u este pătrat perfect.. Să se determie umerele de forma abc ştiid că: abc+ 11( a+ b+ c) = cba G.M. 10/006, E:18 CLASA a - VI a 1. DetermiaŃi umărul xy ştiid că are loc egalitatea: xy0+ xy+ xy4= xy+ 007 G.M. 10/006, E:188, euń modificat. a) DemostraŃi că : 1 1 =, N ( + 1)( + ) ( + 1) ( + 1)( + ) *
1 1 1 1 b) DemostraŃi iegalitatea: + +... + < 1 4 1 4 c) Dacă a1, a,... a sut direct proporńioale cu 1 1 1,,..., şi a 1 a ( 1)( ) 1 4 ( + 1) ( + ) = +, atuci a + a = a şi 4 5 6 a + a = a. 6 1 14. Ughiurile î jurul uui puct O, AOB, BOC, COA, au respectiv bisectoarele [OX, [OY, [OZ, iar m( XOY ), m( YOZ ), m( XOZ) sut direct proporńioale cu 5, 6, 7. a) aflańi măsurile ughiurilor AOB, BOC, COA; b) aflańi măsura ughiului format de bisectoarele ughiurilor BOX şi COZ. CLASA a - VII a 1. Să se calculeze: 4 5 1000 1 1 1 a) S = + + + +... + 1 + + +... + 4 999 999 007 1 1 1 b) 1,(1) + +... + 1 1 9 10 5 10 15 c) aflańi x, y şi z ştiid că = = şi x+ y x+ z y+ z ( x+ y)( x+ z)( y+ z) = 6. Să se determie Z astfel îcât umărul îtreg. + 1+ 6 + să fie. DetermiaŃi u puct M pe segmetul (AB) cu măsura de 9 cm, astfel îcât aria pătratului de perimetru AM să fie de 4 ori mai mare decât aria pătratului de perimetru MB. G.M. 10/006, C: 074
4. Î acelaşi semipla determiat de dreapta AB se cosideră puctele M şi N astfel îcât AM AB, BN AB ( AM BN). Puctul P este simetricul puctului M fańă de puctul A, iar O puctul de itersecńie al dreptelor PN şi AB. Dacă paralela pri O la BN itersectează pe AN î K, să se demostreze: AP BN a) OK = ; AP + BN b) [OK este bisectoarea ughiului MON; c) puctele M, K, B sut coliiare. CLASA a - VIII a 1. a) U îtreg pozitiv este cu 1 mai mare decât u pătrat perfect. DovediŃi că este suma a două pătrate perfecte. b) Să se calculeze ( 5+ ) 11+ 15+ 11 15+. a) RezolvaŃi î mulńimea umerelor aturale ecuańia: x + xy y x+ y= 6 b) DetermiaŃi umerele aturale N astfel îcât 4 1+ 0 N.. Pe plaul trapezului dreptughic ABCD cu bazele AB= dm, CD=6 dm şi îălńimea AD= 4 dm se ridică perpediculara DE, DE=8 dm. Fie M ( BC) astfel îcât BM= dm. a) aflańi lugimea segmetelor AE şi ME. b) arătańi că AM ( DEM ). 4. Fie cubul ABCDA B C D, M simetricul puctului A fańă de puctul B, N piciorul perpedicularei dusă di C pe [BD ] şi P cetrul pătratului ADA D. ArătaŃi că puctele M, N, P sut coliiare. G.M. 11/006, E: 11
CLASA a - IX a 1. Fie x, y, z, t (0, ). Să se arate că: x y z t t y x z y t z x + + + + + + + 4 y z t x x y z t G.M. 11/006, 6660. Se dă pătratul ABCD şi puctele M, N, P situate pe laturile ( AB),( BC ) respectiv ( DA) astfel ca: cosideră puctele E şif astfel îcât 1 AM = AB, BN = BC şi AP= AD. 1 1 BE= ABşiPF = AB. a) Să se arate că puctele E, F, G sut coliiare, G fiid cetrul de greutate al triughiului BMN. / / b) Să se calculeze AG, î fucńie de a= AB, G fiid cetrul de greutate al triughiului DMN. Se. Fie umerele a1, a,... a astfel îcât petru orice, atural, avem: a1+ a +... + a = α + β. Să se demostreze că umerele date sut î progresie aritmetică. Să se determie, î fucńie de α şi β, primul terme şi rańia. 4. Să se studieze mootoia şi mărgiirea şirului defiit pri x0 x1 0 x = a+ x + x ude a [0, 1). + + 1, 0 = =, CLASA a - X a 1. Să se rezolve î R ecuańia: log x+ log x 4= log4x 8+ log16 8x. G.M. 11/006, 6664
. Fie x, x,..., x ( 1, 1 ). Să se demostreze iegalitatea petru. logx x log 1 x x logx x log 1 x x 1 + +... + + x x x x x + x +... + x 4 1 1 N,.,. Fie z1, z, z C cu z1 = z = z = 1. DemostraŃi că dacă are loc relańia z z z1 z1 z z + + = i + + +, atuci z1+ z+ z= 0. z z z z z z 1 1 4. Să se determie coordoatele triughiului ABC dacă A(4, 5) şi dacă ecuańiile mediaelor duse di B şi respectiv C sut 4x 5y = 0, respectiv x y 6 0 + =. CLASA a - XI a 1. Să se determie, discutâd după parametrii reali a, b, c limita: ( a x b x c x ) lim + 1+ 4 + 1+ 9 + 1. x. Să se calculeze lims k ştiid că: S =. k 1 k 1 k= 1 + 9 + 9 G.M. 11/007, 6667. Fie ecuańia x x + ax+ b= 0, cuabc,, C şi 1,, x x + x x + x CalculaŃi determiatul: 1 1 1 x + x x x + x 1 x + x x + x x 1 x x x rădăciile sale.
a b 4. Fie matricea A= c d, cu a+ d =, bc= ( a 1) şi a b A = c d. ArătaŃi că: a) ( ak + dk ) = ; k= 1 b) ( + 1)( a 1) b ck = k k= 1 k= 1 CLASA a - XII a 1. Fie a, b, c R şi a + b + c 0. Cosiderăm mulńimea 1 ax abx + cx G= A( x) = 0 1 bx x R 0 0 1 DemostarŃi că ( G, ) este grup izomorf cu ( R, + ). G.M. 11/006, 6676. Să se calculeze 0 x+ 5x+ 7x+ lim dx. + 1 1 ( x+ ) x. DetermiaŃi fucńia f : R R astfel îcât f ( x) F( x) = e, N şi f = e 4, ude F este o primitivă a lui f. 4. Fie elemetele x şi y ale ielului ( A, +, ) astfel îcât x+ y= 1 şi 005 006 x = x. Să se demostreze că 004 1 x y A este elemet iversabil.