40 No solț ntegrale termoelastce pentr semspaț NOI SOLUȚII INTEGALE TEOELASTICE PENTU SEISPAȚIU Ion Creț, lector nv. Unverstatea Tehncă a oldove INTODUCEE Oțnerea solțlor ntegrale în termoelastctate de la acțnea ne srse nteroare de căldră, a n gradent de temperatră ș alte acțn termce date pe sprafața corpl este n rezltat mportant în acest domen. Însă pentr oțnerea acestor solț este necesar să fe dezvoltate alte teor c ajtorl cărora pot f oțnte no expres. O astfel de metodă a fost propsă de V. Șeremet nmtă etoda eprezentărlor Integrale Armonce (IA). În acest artcol pentr prma dată a fost propse expresle pentr deplasărle termoelastce într-n semspaț de la acțnea n gradent de temperatră c anmte condț de lmtă.. DISPOZIȚII GENEALE Prn generalzarea formle l asel [] ș a formlelor ntegrale Green, V. Șeremet a props o noă formă a acestor ntegrale [],[],[4],[5]: a ( ) a F( x) U( ) dv ( x) V D U (, ) dd ( n N T ( U(, ) dn ( () n T ( T ( a U (, ) d n,,, ( ; nde: D, N ș snt părț componente a sprafețe corpl D N pe care snt defnte condțle de lmtă de tp Drchlet (temperatra T ( ), Nemann (flxl de căldră T ( a ș mxt (are loc schml de căldră n dntre medl exteror ș sprafața corpl dpă T ( legea a ; a - coefcentl n condctvtăț de temperatră; F (x) - srsa nteroară de căldră; - coefcentl condctltăț convectve de căldră; t - constanta termoelastcă; t - coefcentl dlatăr termce lnare,, - constantele de elastctate Lame, U - snt fncțle de nflență a deplasărlor termce de la o srsă ntară de căldră, ar - snt deplasărle termce calclate de la o srsă nteroară de căldră ș/sa gradent de temperatră ș/sa flx de căldră ș/sa schml de căldră dntre medl exteror ș sprafața corpl. În formă matrcală pentr prolemele spațale deplasărle termce a forma: U U ( ) U U ; ( ). () Dacă snt cnoscte deplasărle termoelastce U ș, atnc pot f calclate tensnle termce j ( ) (fncțle de nflență a tensnlor termce de la o srsă ntară de căldră) ș j ( ) (tensnle termce calclate de la o srsă nteroară de căldră ș/sa gradent de temperatră ș/sa flx de căldră ș/sa schml de căldră dntre medl exteror ș sprafața corpl) în aza leg l Dhamel-Nemann [6]: j ( ) ( U, j U ) j ( GT ); U k, k ;, k,,; () j ( ) (, j ) j ( T ); ;, k,,, (4) k, k nde: j smoll Kronecker, care este egal c dacă j ș 0 dacă j.
No solț ntegrale termoelastce pentr semspaț 4. DETEINAEA DEPLASĂILO TEOELASTICE ÎNT-UN SEISPAȚIU. Formlarea proleme Se cere să se determne deplasărle termoelastce ( );,, pentr o prolemă de lmtă într-n domen de forma n semspaț S ( 0 x, x, x ) c condțle de lmtă de tp Drchlet. În lmtele acest domen acțonează n gradent de temperatră T0 const pe n anmt segment de pe planl margnal 0 ( 0; )., T0(0,, ) T0 const, ( 0; c; a ); 0; T0(0,, ) 0, (5) ( 0;, ) \ ( 0; c; a ); 0. Iar condțle mecance de lmtă pentr planl margnal 0 snt rmătoarele: 0. (6) Condțle de lmtă mecance ș cele termce pentr prolema partclară snt prezentate în Fg.: =0 =0 =0 T=0 0 x Γ 0 x c a x T=T 0 Fgra. Schema semspațl S c condțle mecance de lmtă,, ș termce T pe 0.. Determnarea fncțlor de nflență a deplasărlor termoelastce U Pentr rezolvarea proleme ennțată ma ss ș determnarea deplasărlor termoelastce de la acțnea gradentl, conform formle ntegrale (), este nevoe să fe stalte expresle analtce ale deplasărlor termoelastce U de la acțnea ne srse ntare pnctforme de căldră. Aceste deplasăr a fost oțnte de ator în lcrarea [7]. Ele a rmătoarea formă: U( ) 8 ( ) x x B ; (7) U( ) 8 ( ) x x B ; (8) U( ) 8 ( ) x x B. (9). Determnarea deplasărlor termoelastce Conform condțlor de lmtă termce (5), rezltă: srsa nteroară de căldră F ( x) 0, T ( flxl de căldră a 0, schml de n căldră dntre medl exteror ș sprafața corpl T ( T ( a 0. Semspațl S este n acțonat doar de n gradent de temperatră aplcat pe segmentl ( 0; c; a ) de pe planl margnal 0( a,, c 0; a ). Astfel formla ntegrală de tpl Green () se scre în fell rmător: nde: ( ) T0(0,, ) Q (0,, ; ) d, (0) a U Q U n. () Se sstte expresle (7) (9) în formla ():
4 No solț ntegrale termoelastce pentr semspaț U Q ; ( ) 0 () U c Q ; ( ) 0 () U Q, ( ) (4) 0 nde: 0 c, ar s-a lat egal c c, deoarece pe ordonata c se află gradentl de temperatră. elațle () (4) se înlocesc pe rând în formla (0), se rezolvă ntegralele ș se oțn expresle fnale ale deplasărlor termoelastce () în semspațl S de la acțnea gradentl de temperatră aplcat pe planl margnal 0 conform condțlor de lmtă (5): ] T0 ; (5) ( ) [ c 0 a c c ] T0 ; (6) ( ) [ 0 a S-a constrt grafcele deplasărlor termoelastce ( ) în semspațl S în lmtele, 0 0 ș a planl care trece prn pnctl. Deplasărle termce, ș a fost constrte în aza formlelor (5) (7) ș snt prezentate în Fg. : [m] ) [m] T0. (7) ( ) 0 a. EPEZENTAEA GAFICĂ A DEPLASĂILO TEOELASTICE ÎN SEISPAȚIU Deoarece aceasta este o prolemă D, atnc pentr a constr grafcele deplasărlor termoelastce, pe rând se va fxa câte o varală, ar grafcele vor f prezentate în raport c varalele rămase. C ajtorl programe aple 8 a fost constrte grafcele deplasărlor termce ( ) în semspațl S de la acțnea n gradentl de temperatră T 50K aplcat pe segmentl 0 c 0; ; a ; ( a 4m, 4m, c m) a planl margnal 0. Pentr constantele elastce ș termce a fost late în calcl rmătoarele valor: coefcentl Posson 0, ; 5 modll de elastctate E, 0 Pa, ar coefcentl dlatăr termce lnare 5, 0 ( K ). t [m] Fgra. Deplasărle termoelastce, ș în semspațl S în lmtele ; 0, 0. S-a constrt grafcele deplasărlor termoelastce ( ) în semspațl S în lmtele
No solț ntegrale termoelastce pentr semspaț 0 0; 0 0 ș a planl care trece prn pnctl. Deplasărle termce, ș a fost constrte în aza formlelor (5) (7) ș snt prezentate în Fg. : 4 S-a constrt grafcele deplasărlor termoelastce ( ) în semspațl S în lmtele 0 0; 0 0 ș a planl care trece prn pnctl. Deplasărle termce, ș a fost constrte în aza formlelor (5) (7) ș snt prezentate în Fg. 4: [m] [m] ) [m] [m] ) [m] [m] Fgra. Deplasărle termoelastce, ș în semspațl S în lmtele 0 0; ; 0 0. Fgra 4. Deplasărle termoelastce, ș în semspațl S în lmtele 0 0; 0 0;.
44 No solț ntegrale termoelastce pentr semspaț Analzând grafcele dn Fg. 4 se oservă rmătoarele: - se respectă condțle de lmtă (5) ennțate în prolemă: pentr planl margnal 0 0 ; - grafcele deplasărlor termoelastce ș a n salt de-a lngl segmentl nde este aplcat gradentl de temperatră (Fg., a,, Fg., a, ș Fg. 4, a, ); - grafcele deplasărlor termoelastce a n maxmm local la capătl segmentl nde este aplcat gradentl de temperatră (Fg., c, Fg., c ș Fg. 4, c ); - dacă ordonatele sa, atnc valorle deplasărlor termoelastce ; 0. ; 4. CONCLUZII elațle pentr deplasărle termoelastce ( ) (5) (7) pentr semspațl S c condțle de lmtă (6) de la acțnea n gradent de temperatră (5) a fost determnate pentr prma dată. Toate expresle a fost oțnte în fncț elementare. Deplasărle termoelastce ( ) a fost reprezentate grafc în raport c fecare ordonată: pentr ; 0, 0, pentr 0 0; ; 0 0 ș pentr 0 0; 0 0; folosnd programa aple 8, c analza lteroară ale acestor grafce. Datortă expreslor (5) (7) pot f oțnte reprezentărle grafce de la acțnea n gradent de temperatră de orce valoare, aplcat în lmta orcăr segment pe drecța a planl margnal 0. Folosnd relațle deplasărlor termoelastce () de la acțnea n gradent de temperatră, c ajtorl formle Dhamel-Nemann (4) pot f calclate tensnle termce j( );, j,, pentr o prolemă de lmtă partclară provente de la acțnea n gradent de temperatră de orce valoare, aplcat în lmta orcăr segment pe drecța a planl margnal 0. Fnd cnoscte expresle analtce pot f constrte grafcele acestor tensn termce. Blografe. Novack V. Teora prgost. r, oskva, 975.. Șeremet V. Generalzaton of Green's formlae n thermoelastct, Collecton: ltscale Green's Fnctons for Nanostrctres, Natonal Scence Dgtal Lrar of USA, NSF, 4p, 00.. Șeremet V.D. Handook on Green's Fnctons and atrces, WIT Press, Sothampton, 00. 4. Șeremet V. Thermoelastc Green's fncton, Prnt-Caro, Chșnă, 04. 5. Șeremet V.D. The modfcaton of asel's formla n the statonar thermoelastct, Blletn of Academ of Scence of eplc of oldova, athematcs, 5 (), pp. 9-, 997. 6. Nowack W. Thermolastct, Internatonal Seres of monographs on Aeronatcs and Astronatcs, Dvson I: Sold and Strctral echancs, Volme, Wroclawska Drkarna Naokowa, Warszawa, 96. 7. Creț I. New nflence fnctons for thermal dsplacements and stresses wthn half-space// Translvanan Jornal of athematcs and echancs, Volme 8, Nr., pag. 9-6, 06. ecomandat spre plcare: 0.0.07.