REZISTENŢA MATERIALELOR- O PREZENTARE MATEMATICĂ VALERIU ZEVEDEI Conf. dr. matem., Catedra de Matematică-Informatică, UTCB To begin with, we briefly r

Transcriere

1 ZINŢA AIALLO- O PZNA AAICĂ VALIU ZVDI Con dr ae Caedra de aeacă-inoracă UCB o begn w we brely recall e basc lnear elascy resls nedeed n e seqel e geoery o cred bars beas s en addressed and a well-sed syse o crlnear coordnaes s consrced We speccae o s syse e dynacal eqaons o e lnear elascy By akng er ean ale on e noral secon and by coparng w e eqaons o oon or a rgd plae we are n a poson o sae e ndaenal eqaons o cred bars Wen speccaed o e srag bars seng or eqaons concde w e classcal eqaons o e reng o aerals Noţnle ndaenale ale eore elascăţ lneare Inr-n ed conn sb acţn eeroare apar acţn neroare Dacă edl ese separa în doă părţ de o spraaţă c o norală rebe să ade ez [] că edl dn parea spre care ese drjaă norala acţonează aspra celelale părţ c o orţă ne eda condş să ade că în ecnăaea n pnc al spraeţe aceasă orţă depnde de pncl respec de norala la spraaţă în acel pnc ş că ese proporţonală c ara acele ecnăăţ Penr o porţne de are în jrl pncl de norală aceasă orţă a nd ecorl ensne sa eor nar în pncl Inr-n pnc oarecare dn edl conn consderă n clndr crclar drep c generaoarele paralele c c baza de rază ş de înălţe ş aplcă eorea plsl ez [] nde a noa c pncl cren e în nerorl clndrl e pe ronera sa ese densaea în pncal sn acceleraţa respece orţa olcă eeroară în Dacă ace obţne rezlal aşepa In pncl oarecare lă do ecor de ăre c ersor ş opş lor ş prn ereăţle lor dce plane perpendclare pe e ş ale doă plane perpendclare pe prele la dsanţe de obţne o prsă dreapă ale căre baze sn robr de lar ş ale căre eţe laerale sn părae c aceeaş lară A noa oenl cnec penr prsa în rapor c cenrl să Dacă scre eorea

2 ş ace ez [] obţne relaţa de recprocae De ac rezlă că dacă înr-o bază oronoraă ae ş c sare dpă anc esă o arce sercă asel încâ c sare dpă arcea sercă se neşe ensorl ensnlor în pncl b acţnea orţelor eeroare n pnc de ecor de pozţe dn edl conn în sarea nedeoraă ajnge în pncl de ecor de pozţe nd ecorl deplasare al pncl Un ecor nnesal dn sarea nedeoraă dene Deoraţa se poae ăsra prn derenţa înre păraele scalare adcă prnr-o oră păracă în c arcea nă ensorl de deoraţe In eora elascăţ lneare se prespne că deplasărle de ordnal l c negljabl anc ensorl de deoraţe ese sn In eora elascăţ lneare se araă că penr edle elasce ogene ş zorope înre ensorl ensnlor ş ensorl deoraţlor esă relaţle De aseenea se araă că ecaţle se po scre pe congraţa nţală a edl conn Geoera barelor ezsenţa aeralelor are ca obec sdl eclbrl dpă deoraţe a corprlor zele adcă acelea în care o densne -lngea lor- prează aspra celorlale densn Acese corpr poară dere denr: re când sn scen de leble bare sa grnz când sn a pţn leble Prn bară sa grndă se înţelege ez [] n sold genera de o spraaţă plană ărgnă al căr cenr de nerţe de greae descre crba în spaţ asel încâ planl l răâne perpendclar pe angena în la crba ş orce pnc dn descre o crbă paralelă c Fe ecaţa narală a crbe L ş e e e ersor angene norale prncpale ş bnorale la crba L în C pncl de abscsă crblne Fe pozţa ocpaă de ara când cenrl să concde c pncl C de abscsă al crbe L ese secţnea norală de abscsă a bare oldl descrs în şcare de porţnea d a l

3 cenraă în P se neşe bră a bare Fbra se neşe ede când P concde c C Orce bră ese paralelă c bra ede se şor de ăz că pncl l de ecor de pozţe r e e î corespnde în generarea bare pncl l ecorl de pozţe nde r cos sn e sn cos e c d nd raza de orsne a crbe ne condş să nrodce coordonaele crbln orogonale c ersor cos e sn e sn e cos e cos sn ş orlele de conene cos sn e c coecenţ l Laé cos sn Ca deobce noează derarea în rapor c ar ese raza de crbră a crbe caţle dnace ale bare în ssel de coordonae ales Fe D n doen arbrar neror bare Pe ronera sa D ae n da dd dd dd n nd ersorl norale ş da eleenl să de are Dacă j ese ensorl ensnlor orţa olcă ş ecorl deplasare dn ecaţa de şcare D n d d d D lzând orlele de conene ş orla l Gass-Osrogradsk găs ecaţle dnace ale bare D

4 cos cos sn sn C r d d d d ş conene dedce epresa l d grad d r lzând dn no orlele de grad ş coponenele ensorl de deoraţe: cos sn cos sn 4 ederea ecaţlor dnace pe secţnea norală Prn negrarea ecaţlor dnace ş noând rezlana ş oenl rezlan al orţelor neroare de pe aceasă secţne ş renoând prn d d rezlana ş oenl rezlan în rapor c cenrl C al orţelor olce eeroare care acţonează aspra porţn de bară cprnsă înre secţnle norale d găs relaţle d cos d d sn d

5 sn cos d d cos d d sn d d sn cos d d 4 Idea rooranslaţe Dacă ade că ela de bară cprnsă înre secţnle norale d se şcă ca n rgd aând eza cenrl C ş eza nglară a secţn abele aând ordnl de ăre c negljabl lzând relaţle dn [4] pe scre ecaţle corespnzăoare eoree plsl d d d d d d ş eoree oenl cnec d d d d d d

6 Ac a noa prn oenele de nerţe ale ele ş prn d d rezlana ş oenl rezlan al orţelor acţonând aspra ele Copararea înre ebr sâng a acesor relaţ c ebr drepţ a relaţlor dn paragral preceden ne condce să consderă do ecor U asel că deplasarea se scre sb ora U adcă o să înre o rooranslaţe ş n ecor pracc neljabl Ull ecor negljabl repreznă deplanărle secţnlor C acesea ecaţle de şcare se scr sb ora nrnsecă U A d d U d d nde A se şor de ăz că deoraţa absracţe ăcând de deplanăr ese descrsă de ecor deoraţe specce U ş Cnoaşerea acesor ecor pere deernarea ecorlor deplasăr ş roaţe prn relaţle Acese relaţ sn ne în lerara ranceză relaţle l Bresse-Naer [5] C în elascaea lneară densaea energe de deoraţe ese sare dpa dedce că densaea energe de deoraţe pe naea de lnge a bare ese

7 w 5 Ipoeza l Bernoll-Naer Fapl că deplasarea pncelor secţn norale ese copsă în prncpal dn ranslaţa secţn ş dn roaţa secţn ese na dn prele poeze ale rezsenţe aeralelor cnoscă de obce ca poeza l an-vennan O ală pră poeză în rezsenţa aeralelor ese aşa na poeză a l Bernoll-Naer dpă care secţnea norală răâne norală la noa pozţe a bre ed ş dpă deorare Asa ar însena că creşerea prn roaţe a l coponena norală a l : adcă U U concde c In aces caz penr cnoaşerea roaţe ese necesară na cnoaşerea coponene sale norale la secţne Dacă se ade poeza l Bernoll-Naer ae de nde denrea de ecorl alngre speccă penr car în cazl general Ipoeza l Bernoll-Naer n se ercă odeana dar de cele a le or calclele ăce pe baza sa deră oare pţn de calclele ără ea 6 Cazl sac In cazl în care acţnle eeroare n depnd de p dpă n p scr ensnle ş deoraţle se sablzează deennd ndependene de pbara nrând în eclbr dpă deoraţe Acesa ese cazl care neresează rezsenţa aeralelor Va reb să scre ecaţle de eclbr global edene ecaţle de eclbr local care rezlă dn ecaţle de a ss condţle la capee ş eenalele condţ de sal A noa orţele ş oenele eeroare care acţonează aspra secţnlor c abscsele Cnoscând orţele ş oenele eeroare se po deerna dn relaţle precedene orsorl eorrlor prn relaţle c sencaţe eden Acese ecaţ conse baza consrr dagraelor de eorr

8 7 elaţle înre orsorl eorrlor ş ecor deoraţe specce Prn ederea pe secţnea noral a relaţlor dnre ensor ensnlor ş deoraţlor obţne relaţle înre ecor deoraţlor specce ş orsorl eorrlor scrse arceal sb ora a a a nde a arcea dn relaţe ese sercă ş poz denă den aceasă arce ca ş nersa sa joaca n rol poran în calcll energe de deoraţe în ncţe de deoraţ respec eorr elaţle precedene po scrse sb oră nrnsecă n a n nde ndc n noeazăcoponenele angenţale respece norale In cazl barelor drepe acese relaţ condc la relaţle l Naer c deosebrea că ese înloc c eerences [] oloon L lascae lnară d Acad Bcreş 969 []Zeede Valer Oancea Ionela Algebră lnearăgeoere analcă ş derenţală D Conspress Bcreş 5 [] o ean ćssance des aéra par la praqe Les Édons yrolles 995 [4] Iacob C ecancă eorecă d Ddaccă ş Pedagogcă Bcreş 98 [5] alençon écanqe d conn oe III lecrlgnes llpses Pars 995