ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE

Transcriere

1 EGERE DE PROBEME DE TEOR RTEOR GHEORGHE EXNDR GBRE BREŞT

2 ~ ~

3 Prfaţă Manall EGERE DE PROBEME DE TEOR RTEOR adrază în prncpal dnţlor faclaţ d omacă ş alclaoar dar ş clor car ş fcază dl d lcnţă a d mar în ngnr înr-o pcalzar d profl lcrc. Srcra manall rmărş conţnl crl d Bazl Elcrohnc cr d F. onannc ş M. Nţc, dar bcl an n compabl c orc cr d Tora rclor. P lângă problml prop, clgra cprnd aâ o cră par orcă aocaă fcăr p d aplcaţ câ ş problm rzolva. Fnd rcraă d la mpl la complx, în prma par clgra conţn problm d crc d crn conn: crra marcală a ormlor l Krchhoff, drmnara caracrclor d nrar ş d ranfr al crclor c lmn c caracrc lnar p porţn, drmnara rprznărlor dporţlor rzv lnar ş nlnar, drmnara olţlor crclor rzv nlnar prn moda Nwon-Raphon, crra caţlor mod ponţallor nodrlor, crc c conţn amplfcaoar opraţonal, crra caţlor mod crnţlor cclc, drmnara gnraoarlor chvaln d nn ş d crn, crc dnamc d ordnl ş d ordnl. În connar n da crcl d crn alrnav. Dpă caracrzara în complx a lmnlor d crc, rmază: moda ormlor l Krchhoff, moda ponţallor nodrlor, moda crnţlor cclc, drmnara gnraoarlor chvaln d nn ş d crn. rcl lnar car fncţonază în rgm prodc nnodal po f rzolva lzând ac mod pnr fcar componnă armoncă ş adnând răpnrl nodal corpnzăoar ror componnlor armonc. rcl car fncţonază n rgm ranzor n rzolva ma şor folond ranformaa aplac doarc caţl dfrnţal nrod d lmnl dnamc n ranforma în caţ algbrc. Ş ac, în crcl c mpdanţ ş r opraţonal, n valabl modl folo la crcl lnar d crn conn. În fnal n aborda lnl lcrc lng în rgm armonc prmann ş în rgm ranzor. nl lcrc lng n crc c paramr rparzaţ pr dobr d rl aplcaţlor dn acaă clgr nd -a da crc c paramr concnraţ. Dacă, p lângă rzolvara manală a problmlor abordaă în acaă clgr, condră lă ş dra nor mod d mlar a crclor, poa folo manall Smlara crclor lcrc - lcrar d laboraor d F. onannc,. G. Ghorgh, M. Nc,.. Marn,. onc, Edra Prnch. În aca caz şdnţl d aplcaţ. po dfăşra combnând rzolvara la ablă a problmlor c mlara nor crc folond program d analză în domnl mpl a în domnl frcvnţ. orl mlţmş proforl Florn onannc pnr îndrmar, prcm ş ror corlor car vor mnala anm ror a nconcordanţ ş/a vor fac propnr pnr îmbnăăţra n vnal dţ lroar dr. ng. lxandr Gabrl GHEORGHE ~ ~

4 ~ ~

5 PRNS: Scrra marcală a ormlor l Krchhoff... 7 Brvar orc... 7 Exrcţ rzolva:... 7 Exrcţ prop:... 5 rc rzv... 7 aracrc d nrar ş d ranfr în crcl rzv c conxn r-parall... 7 Brvar orc... 7 Exrcţ rzolva:... 8 Exrcţ prop:... 9 Rprznara dporlor... Dporţ lnar... Brvar orc... Exrcţ rzolva:... Exrcţ prop:... 8 Dporţ nlnar... 9 Brvar orc... 9 Exrcţ rzolva:... 9 Exrcţ prop:... Moda Nwon-Raphon... Brvar orc... Exrcţ rzolva:... Exrcţ prop:... Moda ponţallor la nodr... Brvar orc... Exrcţ rzolva:... 5 Exrcţ prop:... rc c amplfcaoar opraţonal (.O.)... Brvar orc... Exrcţ rzolva:... Exrcţ prop:... 7 Moda crnţlor cclc... 8 Brvar orc... 8 Exrcţ rzolva:... 9 Exrcţ prop:... 5 Gnraoar chvaln... 5 Brvar orc... 5 Exrcţ rzolva:... 5 Exrcţ prop:... rc d ordnl... 5 rc lnar... 5 Brvar orc... 5 Exrcţ rzolva:... 5 rc c rzoar lnar p porţn... 7 Exrcţ prop:... 7 rc d ordnl Brvar orc Exrcţ rzolva: Exrcţ prop:... 8 rc d crn alrnav ~ 5 ~

6 Rprznara în complx a mărmlor nodal Brvar orc Exrcţ rzolva: aracrzara în complx a lmnlor d crc... 8 Brvar orc... 8 Exrcţ rzolva: Exrcţ prop:... 9 Gnraoar chvaln în crn alrnav Brvar orc Exrcţ rzolva:... 9 Exrcţ prop:... rc rfaza... Exrcţ rzolva:... Exrcţ prop:... 5 Exrcţ rzolva:... 7 Exrcţ prop:... 9 Rgml prodc nnodal... Brvar orc... Exrcţ rzolva:... Exrcţ prop:... alcll opraţonal c ranformaa aplac... 8 Brvar orc... 8 Exrcţ rzolva:... 9 Exrcţ prop:... nalza crclor dnamc lnar c ranformaa aplac... Brvar orc... Exrcţ rzolva:... 5 Exrcţ prop:... n lcrc lng... n lng în rgm armonc prmann... Brvar orc... Exrcţ rzolva:... Exrcţ prop:... n lng în rgm ranzor... 5 Brvar orc... 5 Exrcţ rzolva:... 5 Exrcţ prop:... 9 Bblograf... 9 ~ ~

7 Scrra marcală a ormlor l Krchhoff Brvar orc S dfnş: marca d ncdnă a larlor la nodr, car o marc c coloan N- ln, nd nmarl d lar ar N nmarl d nodr dn grafl crcl. n lmn dn lna ş coloana poa ava valoara: dacă lara n concaă la nodl, dacă lara dn nodl ş, - dacă lara nră n nodl. vcorl crnţlor larlor [,,, ]; vcorl nnlor larlor [,,, ];, ş. vcorl ponţallor prmlor N- nodr [ ],, N ac noaţ po nrodc orml l Krchhoff b formă marcală. T K (orma a l Krchhoff): T K (orma a -a a l Krchhoff): Torma l Tllgn F doă crc ş car a aclaş graf orna c N nodr ş lar. Dacă crnţ dn crcl afac orma a l Krchhoff ş nnl dn crcl afac orma a -a a l Krchhoff, anc: a, marcal, Exrcţ rzolva: Exrcţl k ( ) ( ) k k. F n graf orna G c N nodr ş lar. Pornnd d la forma marcală a ormlor l Krchhoff ş Tllgn, ă ara că orcar doă dn cl r o mplcă p a ra. T K T K T.T. T K T.T. T K T K T.T. T K Rzolvar: Pnr a ddc T.T. crm T K pnr prml crc ş T K pnr al dola crc. l doă crc având aclaş graf, marca d ncdnţă a larlor la nodr acaş. N ~ 7 ~

8 S obrvă că în xpra T.T. vcorl nnlor larlor ranp. Pnr a obţn ac rmn ranpnm T K. Rzlă: ( ) ( ) Pnr a obţn în rmnl âng T.T. înmlţm la drapa xpra prcdnă c vcorl crnţlor larlor crcl, dfr d vcorl nl. ~ 8 ~ S obrvă că în mmbrl drp -a obţn T K dc: S obrvă că în T K marca n ranpă. Pnr a obţn ac lcr ranpnm rlaţa T K: ( ) cm n folom d T.T. ş înmlţm la drapa xpra prcdnă c vcorl crnţlor larlor crcl, dfr d vcorl nl. m ş rzlă: Pnr a obţn marca, ranpnm T K ( ) ar pnr a obţn rmnl drp dn T K înmlţm la drapa rlaţa c ( ) :

9 rzlă: Exrcţl Pnr a obţn vcorl ranpnm T.T.: Egalând ac doă rzla ( ) Doarc pm împărţ rlaţa prn ac rmn ş obţnm T K F grafl orna dn fgră []: : a) S da,, 5, 5 7,. Să drmn rl. b) S da, 5,,, 5,, 8. Să drmn rl. Rzolvar: Nmroăm alaor nodrl: a) Folom T K nd: ~ 9 ~

10 ~ ~, ar [ ] Dn rzlă: a: b) Folom T K nd:

11 ~ ~, [ ] , ar [ ] 7 5. Dn rzlă: a

12 ~ ~ Exrcţl Să drmn ncnocl crcl folond orml l Krchhoff Rzolvar: S obrvă că crcl ar: N nodr 5 lar B-N bcl fndamnal Ncnocl crcl n crnţ prn rzoar ş prn ra d nn ş nna p ra d crn: T K cr pnr N- nodr:

13 ~ ~ S T K cr pnr N bcl: S Dn cl doă orm rzlă ml c cnc caţ ş cnc ncnoc: S S dn car obţn olţa: S 5 5 orcdna olţ vrfcă c blanţl d pr: Pra conmaă d rznţ k k ab R P [W] rb ă f gală c pra gnraă d r db P [W]. n cazl ac problm obţn 5 R P k k ab [W] ar 5 S S db E P [W] Exrcţl Să vrfc fapl că orma l Tllgn valablă pnr orc nn dn crcl dn fgră []. Rzolvar: Dnăm n graf aoca crcl dpă cm rmază: - grafl n dpol

14 - grafl n rpol - grafl n dpor nlocnd fcar lmn d crc c grafl corpnzăor obţnm: Fcar lară caracrzaă d o nn ş n crn dpă cm rmază: l(, ), l (,), l(, 5), l (,5), l (, 5 ), l (, ), l7 (, 5). Obţnm vcorl nnlor larlor: [ ] ş vcorl crnţlor larlor: [ 5 5 5] Dn orm l Tllgn rzlă: ( ) ( 5) 5 ( ) Exrcţl 5 ondrând aclaş crc rzv lnar N având la porţ lmnl dn fgrl a ş b ă ara că (orma rcprocăţ) []. Rzolvar: a) b) Scrm T.T. condrând crcl dn cazl a ca fnd crcl () ş crcl dn cazl b ca fnd crcl (): ~ ~

15 ~ 5 ~ N k k k Dn acaa mă şm doar lmnl prmlor doă lar. Scoţând în afara m acş rmn obţnm: N k k k a N k k k E N k k k E. Scrm dn no T.T. condrând crcl dn cazl b ca fnd crcl () ş crcl dn cazl a ca fnd crcl () ş coam în afara m rmn corpnzăor larlor cnoc: N k k k N k k k a N k k k E. Pnr a obţn galaa cră n n rămân dcâ ă arăam că N k k k N k k k. Pnr acaa n folom d fapl că crcl fără larl () ş () conţn doar rzoar lnar pnr car şm că R dc N k k k N k k k k N k k k k N k k k R R ca c dc la galaa E E ş dc. Exrcţ prop: Exrcţl F crcl dn fgră: Să calclz crnţ ş nnl larlor.

16 Să vrfc olţa c blanţl prlor. Exrcţl Să calclz crnţ dn larl crcl dn fgră. Exrcţl F crcl dn fgră: Să calclz crnţ ş nnl ncnoc. Să vrfc olţa c blanţl prlor. ~ ~

17 rc rzv aracrc d nrar ş d ranfr în crcl rzv c conxn r-parall Brvar orc ) Pnr doă rzoar nlnar conca în r n valabl rlaţl: ar dacă [ ] ş [ ] anc [, ] [ ] m, M m, M m M m, M ) Pnr doă rzoar nlnar conca în parall. n valabl rlaţl: m, M ar dacă [ ] ş [ m, M ] anc [ m, M ] [ m, M ]. nocând grafcl f ( ) ş f ( ), crba (, ), f poa drmna prn pnc adnând nnl corpnzaoar aclaş crn a adnând crnţ corpnzăor aclaş nn, în nrvall admbl d crnţ a d nn. l ma d înaln cazr n: Sra dală d nn Sra dală d crn Rznţa lnară E R ~ 7 ~

18 Doda mcondcoar Doda nr Doda d crn conan Exrcţ rzolva: Exrcţl Să drmn caracrca (, ) f pnr crcl []: Rzolvar: Pnr mpla condrăm înâ cazl a doă lmn d crc conca în r, rznţa R ş doda D. Fnd conca în r n parcr d aclaş crn R D, dar cm R (, ) ş D [, ) rzlă că [, ). Pnr ac crn nna R D. Grafc rzlă: ~ 8 ~

19 aracrca fnală obţn condrând ac lmn d crc dcr d caracrca obţnă anror în r c ra d nn. Fnd conca în r n parcr d aclaş crn, dar cm D [, ) cazl prcdn) ş (, ) rzlă că [, ) E. Grafc rzlă: E (dn. Pnr ac crn nna Exrcţ prop: Exrcţl Să drmn caracrca d nrar pnr crcl rmăor, nd că: ~ 9 ~

20 Exrcţl Să drmn caracrca d nrar pnr crcl rmăor, nd că: Exrcţl Să drmn caracrca d nrar pnr crcl rmăor, ~ ~

21 nd că: Exrcţl Să drmn caracrca d ranfr pnr crcl dn fgră: S dă R KΩ ş: ~ ~

22 Rprznara dporlor Dporţ lnar Brvar orc Dacă dn ml d caţ al n crc lmnă oa ncnocl c xcpţa mărmlor,,, rzlă caţl dporl. n fncţ d mărml car po f xplca xă: ) O rprznar conrolaă în crn r r r r r r a dacă noăm c,, R pm cr marcal R. r r ) O rprznar conrolaă în nn g g g g g g ş marcal G dacă noăm c G g g ) Doă rprznăr hbrd h h a) h h h h a marcal H, nd H. h h h h b) h h h h a marcal H, nd H. h h ) Doă rprznăr d ranm a) a marcal T. ~ ~

23 ~ ~ b) a marcal T. Exrcţ rzolva: Exrcţl Să drmn oa rprznărl pobl pnr dporl lnar dcr d caţl []: Rzolvar: ) Rprznara conrolaă în crn Trb ă xplcăm cl doă nn fncţ d c do crnţ. Dn prma caţ avm ar dn a doa avm : Dpă c ordonăm caţl avm dc R. ) Rprznara conrolaă în nn S obrvă că n pm xplca crnţ fncţ d nn dc acaă rprznar n xă. ) Rprznărl hbrd a) a dc H. ar pnr b) dc H ) Rprznărl d ranm a) ş dc T b) dc T

24 ~ ~ Exrcţl Să drmn cl rprznăr, dacă xă, pnr crcl []: Rzolvar: ) Rprznara conrolaă în crn R ) Rprznara conrolaă în nn Dc G ) Rprznărl hbrd a)

25 ~ 5 ~ Dn prma caţ, înlocnd obţn, dc H b) Dn dc ş H ) Rprznărl d ranm a) Folond obţnm ş dc T. b) Dn rzlă, dc T. Exrcţl Folond nma rzoar lnar ş r comanda, ă drmn câ n crc car ar rprznara []: a) 5 R ; b) G ; c) 5 H ; d) T

26 Rzolvar: a) Scrnd caţl dporl pnr rprznara conrolaă în crn r r r r obţnm doă caţ corpnzăoar T K: 5 Prma caţ rprznă o bclă formaă dn nna la poara a dporl, gală c ma dnr cădra d nn p o rznţă d ohm parcră d crnl ş cădra d nn p o ră d nn comandaă n crnl. doa caţ rprznă o bclă formaă dn nna la poara a dporl, gală c ma dnr cădra d nn p o rznţă d 5 ohm parcră d crnl ş cădra d nn p o ră d nn comandaă n crnl. b) Scrnd caţl dporl, rprznara conrolaă în nn g g g g obţnm doă caţ corpnzăoar crr T K: Prma caţ corpnd n nod în car nră crnl, crnl prn-o condcanţă d S la bornl căra nna ş nră crnl n r d crn comanda în nna. doa caţ corpnd n nod în car nră crnl, crnl prn-o condcanţă d S la bornl căra nna ş nră crnl n r d crn comanda în nna. ~ ~

27 c) Scrnd caţl dporl, prma rprznar hbrdă h h h h obţnm o caţ corpnzăoar T K ş na corpnzăoar T K: 5 Prma caţ corpnd n nod în car nră crnl, crnl prn-o condcanţă d S la bornl căra nna ş crnl n r d crn comanda în crnl. doa caţ rprznă o bclă formaă dn nna la poara a dporl, gală c ma dnr cădra d nn p o rznţă d.5 ohm parcră d crnl ş cădra d nn p o ră d nn comandaă în nna. d) Scrnd caţl dporl, prma rprznar d ranm rzlă ~ 7 ~

28 Exrcţ prop: Exrcţl Să drmn oa rprznărl pobl pnr dporţ lnar dcrş d caţl []: a) ; b) ; c) Exrcţl a) Să drmn oa rprznărl dporţlor []: b) c) Exrcţl Să drmn oa rprznărl dporl: ~ 8 ~

29 ~ 9 ~ Dporţ nlnar Brvar orc Rprznărl dporţlor nlnar n aclaş c al dporţlor lnar. n fncţ d mărml xplca xă: ) Rprznara conrolaă în crn, ˆ, ˆ ) Rprznara conrolaă în nn, ˆ, ˆ ) Doă rprznăr hbrd a), ˆ, ˆ b), ˆ, ˆ ) Doă rprznăr d ranm a), ˆ, ˆ b), ˆ, ˆ Exrcţ rzolva: Exrcţl Să drmn oa rprznărl pobl al dporl nlnar dcr d caţl Rzolvar: ) Rprznara conrolaă în crn: ) Rprznara conrolaă în nn:

30 ~ ~ ) Rprznărl hbrd: a) b) n xa ) Rprznărl d ranm: a) b) Exrcţ prop: Exrcţl Să drmn oa rprznărl pobl al dporţlor nlnar dcrş d caţl a) ; b)

31 Moda Nwon-Raphon Brvar orc vând ml d caţ algbrc nlnar ( x) f nd x vcorl ncnoclor, moda Nwon-Raphon obţn dzvolând p f în r Taylor în rl ( ) ( ) l x (x la raa ), nglând rmn d ordn pror ş mpnand ca f ( x ). Rzlă: ( ) ( ) ( ) x x J x f x x f nd: x, f x n f n f f n x x ( ) ( ) ar J ( x ) nmş Jacobanl ml, calcla în pncl x. f f n xn x n ( x x ) ( ) lgorml placă d la o aproxmaţ nţală x ş oprş f când roara înr doă raţ ccv ma mcă dcâ o roar mpă ( N ) ( N ) x x < ε, caz în car rl x (), x (),... convrg căr olţa x (N), f dpă nmărl maxm d raţ N max, caz în car moda condra dvrgnă. Exrcţ rzolva: Exrcţl mp Să drmn pncl ac d fncţonar al crcl D.5 nd rlaţa înr crnl ş nna la bornl rznţ nlnar 5. D ~ ~

32 ~ ~ Rzolvar: Pnr a obţn fncţa ncară aplcăr mod N-R crm T K în N- nodr: D Dn T K pnr bcla rzlă că D, dar cm D. Dn T K pnr bcla rzlă că D, dar cm D. nlocnd în caţa T K obţnm: 5.5 D D D 5.5 D D D f D D D D D f J plcăm moda N-R încpând raţl c aproxmaţa nţală D. Obţnm ccv: D D D D D D D D f J D Eroara abolă dpă prma raţ D D 98. ε Doarc roara obţnă foar mar connăm c o noă raţ D D D D D D D D f J D Eroara abolă dpă a -a raţ D D 59. ε D D D D D D D D f J

33 ~ ~ D Eroara abolă dpă a -a raţ D D 9. ε D D D D D D D D f J D Eroara abolă dpă a -a raţ D D. ε Exrcţ prop: Exrcţl Să drmn pncl ac d fncţonar al crcl.

34 Moda ponţallor la nodr Brvar orc lgorml d crr a caţlor mod ponţallor nodrlor :. fac oa ranformărl pobl al rlor d nn în r d crn ş al comnzlor în crn în comnz în nn.. alg ponţall d rfrnţă afl încâ câ ma ml ponţal al nodrlor ă poaă f xprma ca m d nn lcromooar.. condrând ca ncnoc ponţall clorlal N- nodr ş ncnocl plmnar (crnţ nor r d nn conca înr al nodr dcâ cl d la pncl prcdn, ş crnţ d comandă) cr ml d caţ: G G k k k k nd: ponţall nodl pnr car cr caţa; k k k k G rprznă ma condcanţlor conca la nodl ; ponţall n nod vcn c nodl ; G k k k S k k condcanţa cprnă înr nodl ş ; rprznă ma crnţlor rlor d crn ş a crnţlor plmnar concaţ la nodl. OBSERŢ: ) Tranformara r d nn în ră d crn. S po ranforma doar rl ral d nn (cl car a o rznţă r nnla): Sk ) Tranformara comnzlor în crn în comnz în nn: ~ ~

35 ) lgra nodl d rfrnţă. a) în crc xă o ngră ră dală d n: b) în crc xă ma ml r dal d n car a n nod comn: c) în crc xă doă r dal d n car n a nc n nod comn: d) în crc xă ma ml r dal d n car n a nc n nod comn. Saţa raază mlar c ca dn cazl c). Exrcţ rzolva: Exrcţl Să drmn ncnocl crcl folond moda ponţallor nodrlor. Să vrfc olţa c blanţl d pr. ~ 5 ~

36 ~ ~ Rzolvar: nd ncnocl mod n,,,,. ; Dn lml doă caţ obţnm:. Dar cm ş obţnm: 5 Şnd ponţall nodrlor pm calcla nnl ş crnţ larlor: 5

37 ~ 7 ~ 5 Pra conmaă d rzoar: W R P k k ab 5 8 ar pra gnraă d r W E P S S db. Pra conmaă fnd gală c pra gnraă, rzlă că olţa corcă. Exrcţl Să cr caţl mod ponţallor nodrlor pnr crcl: Rzolvar: 5 5

38 ~ 8 ~ Exrcţl Să cr caţl mod ponţallor nodrlor pnr crcl: Rzolvar: rcl conţn o ră rală d nn car poa f ranformaă înr-o ră rală d crn: 5 la car adagă E E rzlă:

39 ~ 9 ~ 5 E Exrcţl Să drmn condcanţa G afl încâ crcl ă n abă olţ ncă []. Rzolvar: Scrnd caţl mod ponţallor la nodr obţnm: 5 5 G G G rcl n ar olţ dacă ml d caţ aaşa n ar olţ. c lcr înâmplă când drmnanl ml nl: G G G S G

40 ~ ~ Exrcţl 5 Să cr caţl mod ponţallor nodrlor pnr crcl []: Rzolvar: Dn ş S rzlă: 5

41 Exrcţ prop: Exrcţl Să cr caţl mod ponţallor la nodr. Exrcţl Să cr caţl mod ponţallor nodrlor ş ă rzolv ac caţ. Să vrfc olţa c blanţl prlor. Exrcţl Să cr caţl mod ponţallor nodrlor ş ă rzolv ac caţ. Să vrfc olţa c blanţl prlor. ~ ~

42 Exrcţl Să cr caţl mod ponţallor nodrlor ş ă rzolv ac caţ. Să vrfc olţa c blanţl prlor. ~ ~

43 rc c amplfcaoar opraţonal (.O.) Brvar orc mplfcaorl opraţonal n crc ngra car fncţonază ca o ră d nn comandaă nlnar în nn. c crc ar doă born d nrar car n noa c ş înr car condră nna. mplfcaorl opraţonal fncţonază fnd almna d căr doă r ndpndn d nn connă conca înr bornl E ş maă, ş -E ş maă. rnţ ş a înodana valor foar mc ş poa condra ş. Tnna înr borna d r ş maă dpnd nlnar d nna. Dpndnţa înr ş dnaă ca o caracrcă c r porţn lnar. P porna dpndna înr ş lnară, pana ac porţn fnd foar mar ş pm condra. P porţna E > ca c corpnd fncţonăr c şra în araţ la E. P porna E ş < (o fncţonar c ra în araţ la -E ).,,,, >,,, <, E E Exrcţ rzolva: Exrcţl Rporl. Să drmn f []. Rzolvar: ~ ~

44 Scrm T K p bcla formaă d cl r nn:. m.o. fncţonază în zona rzlă că Exrcţl nvrorl. Să drmn f dacă.o. lcrază în zona []. Rzolvar: Scrm T K p bcla : R p bcla : R ş T K în nodl :. m.o. fncţonază în zona ş rzlă dn cl r caţ că: R R ~ ~

45 R R R Dar. R Exrcţl Dacă f ( ) ş.o. lcrază în zona ă ara că f []. R Rzolvar: Ţnând con că ş, dn T K p bcla obţn R ar dn R T K în nodl obţn f f f. dc R Scrnd T K p bcla obţnm a f R Exrcţl Să drmn caracrca d ranfr f a dcorl d prag []. ~ 5 ~

46 Rzolvar: Dn T K p bcla rzlă E dc E ar. Pnr mpla, vom folo caracrca mplfcaă a.o.: Pnr zona E Pnr zona > > E Pnr zona < < E ~ ~

47 Exrcţ prop: Exrcţl Să drmn caracrca d ranfr f ( ) prpnând că.o. fncţonază în zona []. cnocând: Exrcţl Prpnând că.o. fncţonază în zona, gaţ pnr crcl dn fgra rmăoar []. ~ 7 ~

48 Moda crnţlor cclc Brvar orc lgorml d crr a calor crnlor cclc :. fac oa ranformărl pobl al rlor d crn în r d nn ş al comnzlor în nn în comnz în crn;. alg cl B-N bcl fndamnal afl încâ rl d crn car n a p f ranforma în r d nn ă f plaa în coarbor;. condrând că ac bcl n parcr d crnţ fcv,,, B (crnţ cclc), alg nrl acora ş cr ml d ca: R ± R E,,... N k B k ( ) k k k B k B nd: a c mnl () dacă prn conrar a c mnl ( - ): R k k B k B k B crnţ cclc afrnţ, a acla n. În caz OBSERŢ: ) Tranformara n r ral d crn în ră rală d nn. ) n cazl în car avm d-a fac c o bclă fndamnală a căr coardă conţn o ră dală d crn, anc crnl cclc gal c cl al r:. B S ~ 8 ~

49 ~ 9 ~ Exrcţ rzolva: Exrcţl Să drmn ncnocl crcl folond moda crnţlor cclc. Să vrfc olţa c blanţl d pr. Rzolvar: Tranformând ra rală d crn în ră rală d nn rzlă n crc c doă bcl. lgm c do crnţ fcv ş : dn car rzlă crnţ fcv ;. P baza acor crnţ fcv po calcla foar or ncnocl crcl:

50 ~ 5 ~ S S 5 5 Exrcţl Să cr caţl mod crnţlor cclc pnr crcl: Rzolvar: rcl conţn o ră rală d crn p car o ranformăm în ră rală d nn, ş o ră dală d crn prn car avm gră ă racă n ngr crn cclc. 5 9

51 ~ 5 ~ Exrcţl Să cr caţl mod crnţlor cclc pnr crcl: Rzolvar: 5

52 Exrcţ prop: Exrcţl F crcl dn fgră. Să cr caţl mod crnţlor cclc. Să vrfc olţa c blanţl prlor. Exrcţl F crcl dn fgră. Să drmn crnţ ş nnl ncnoc c moda crnţlor cclc. Să vrfc olţa c blanţl prlor. Exrcţl Să cr caţl mod crnţlor cclc. ~ 5 ~

53 Exrcţl Să cr caţl mod crnţlor cclc. ~ 5 ~

54 Gnraoar chvaln Brvar orc Torma l THEENN n crc rzv lnar (orcâ d complca) poa f rprzna înr doă born oarcar ş B prnr-n gnraor chvaln d nn forma dnr-o ră d nn având nna lcromooar gala c nna B (nd B nna în gol înr bornl ş B al crcl) în r c o rznţă R B (c rprznă rznţa chvlnă înr ş B a crcl pavza). Torma l NORTON n crc rzv lnar (orcâ d complca) poa f rprzna înr doă born oarcar ş B prnr-n gnraor chvaln d crn forma dnr-o ră d crn având crnl lcromoor gal c crnl Bc (nd Bc rprznă crnl d crcrc înr bornl ş B al crcl) în parall c o rznţă R B (c rprznă rznţa chvlnă înr ş B a crcl pavza, înr ş B). OBSERŢ: ) Prn pavzar - ra dală d nn dvn crcrc (R): ~ 5 ~

55 - ra dală d crn dvn înrrpr (R ): ) Srl comanda n pavzază. lgorm: ) Drmnara rznţ R B S pavzază crcl. a) dacă crcl rzla forma doar dn rzoar conca în r ş în parall, R B drmnă lzând orml rznţlor chvaln: n n R R k ; k Rp k Rk b) dacă crcl rzla conţn ş r comanda ş/a rzoar car n n conca în r ş parall (a, rngh,c): b) concază o ra d nn E înr bornl ş B ş calclază crnl. Rzlă R B. b) concază o ra d crn înr bornl ş B ş calclază nna. Rzlă R B. ) S drmnă B ş Bc folond na dn modl cnoc (T K ş T K; ponţal la nodr; crnţ cclc). ~ 55 ~

56 ) S rprznă gnraoarl chvaln. OBSERŢ: ) Dacă ( ; ) R B crcl adm aâ gnraor chvaln d crn câ ş d nn. ) Dacă R B crcl adm nma gnraor chvaln d nn. ) Dacă R crcl adm nma gnraor chvaln d crn. B Exrcţ rzolva: Exrcţl Să drmn lmnl gnraorl chvaln d nn ş gnraorl chvaln d crn pnr crcl: Rzolvar: alclăm R B. Prn pavzar crcl dvn: Doarc crcl pavza conţn o ră comandaă, pnr a calcla B R înr ş B concăm o ră d nn d. ~ 5 ~

57 ~ 57 ~ Folom moda ponţallor nodrlor: 5 rnl rzlă aplcând T K în nodl (): 9. Rzlă că ; 9 R B dc crcl adm aâ gnraor chvaln d nn câ ş d crn. alclăm nna d mr în gol B : Folom moda crnţlor cclc:

58 ~ 58 ~ 5 B B 5 B B B B B dc B 9 alclăm ş crnl d crcrc Bc Folom moda crnţlor cclc: 5 Bc Bc Bc

59 Exrcţl Să drmn lmnl gnraorl chvaln d nn ş d crn pnr crcl []: a) b) c) ~ 59 ~

60 Rzolvar: a) alclăm R B : Doarc în crcl pavza xă o ră comandaă, înr ş B concăm o ră dală d nn d valoar E. Dn crra T K ş T K rzlă: ar R B Ω ( ; ) dc crcl adm aâ gnraor chvaln d nn câ ş d crn. alclăm B : Dn T K avm ş cm ar rzlă că ş. Dn T K rzlă că B. alclăm Bc : Dn T K: ~ ~

61 Dn T K: Bc a Bc. Bc b) alclăm R B. Prn pavzar crcl dvn: Doarc în crc xă ş r comanda, concăm înr ş B o ră dală d nn d valoar E. Dn T K rzlă: E dar cm E dc. Dn lga l Ohm, nna. R B Ω ( ; ) dc crcl adm aâ gnraor chvaln d nn câ ş d crn. alclăm B. Dn T K obţnm că B. B E ş cm, E ar 5 rzlă ~ ~

62 alclăm Bc. Dn T K rzlă că E. Dn lga l Ohm, nna. Dn T K rzlă că Bc 5 5. E dar cm (crcrc) ş c) Prn pavzar crcl dvn: Doarc în crc xă ş r comanda, concăm înr ş B o ră dală d nn d valoar E. Dn T K avm ş cm rzlă că. m R B dc crcl adm doar gnraor chvaln d crn. alclăm Bc. ~ ~

63 Dn T K avm Bc ş cm rzlă că Bc. Exrcţ prop: Exrcţl Să drmn lmnl gnraoarlor chvaln înr bornl ş B. Exrcţl Să drmn lmnl gnraoarlor chvaln înr bornl ş B. ~ ~

64 Exrcţl Să drmn lmnl gnraoarlor chvaln înr bornl ş B. Exrcţl Să drmn lmnl gnraoarlor chvaln înr bornl ş B. ~ ~

65 rc d ordnl rc lnar Brvar orc n crc dnamc n crc car ar cl pţn n lmn dnamc (bobnă a condnaor). Fncţonara acor crc dcră d caţ dfrnţal ş caţ algbrc. n crc lnar d ordnl ar n ngr lmn dnamc. Răpnl r (o nn a n crn) înr-n afl d crc d forma: nd r r( ) [ r( ) r( )] r valoara nţală a răpnl r valoara l mp a crcl ş lgorml mod: ( ) τ r car cnocă, τ conana d r în pncl d chlbr. ) arabla d ar nna condnaorl a crnl bobn condnaorl (bobna) ar ara nala (. a momnl ). S înlocş condnaorl (bobna) c o ră d nn (crn) c valoara gală c ara nţală. n ac crc calclază marma r ( ). ) S înlocş condnaorl (bobna) c o rznţă nfnă (nlă) ş calclază r. valoara răpnl în pncl d chlbr ) S drmnă rznţa chvalnă R la bornl lmnl dnamc, pnr crcl pavza. S calclază conana d mp c formla τ R a τ. ( ) τ ) S drmnă r c rlaţa: r r( ) [ r( ) r( )]. d ar a. Exrcţ rzolva: Exrcţl Pnr crcl dn fgră ă calclz pnr R r poa f ş varabla, c []. ~ 5 ~

66 ~ ~ Rzolvar: alclăm. Pnr a calcla înlocm bobna c o ră d crn d valoar. P crcl rzla aplcăm na dn modl cnoc, ca ma porvă în ac caz fnd moda crnţlor cclc. P baza acor crnţ cclc po calcla crnţ afl:, d nd rzlă dc. alclăm. Pnr a calcla înlocm bobna c o rznţă nlă: plcăm dn no moda crnţlor cclc: alclăm crnţ ral:

67 ~ 7 ~ dc alclăm R. Pavzând crcl obţnm la bornl bobn: Rznţa chvalnă calclază foar şor dn orml rznţlor chvaln r ş parall: Ω R alclăm τ. R.5 τ ac valor obţn. [ ] τ rc c rzoar lnar p porţn Exrcţl S condră crcl dn fgra () nd F µ ar N dcr d caracrca - dn fgra () [].

68 () () a) ndcaţ parcrl dnamc. ndcaţ oa pncl d chlbr ş dacă n abl a nabl. b) S prpn că 5 pnr. Rzolvar:. alclaţ ş chţaţ ş a) Parcrl dnamc da d dplaara pncl d fnconar [ ], p caracrca dn fgra () pornnd d la o condţ nţală până în pncl d chlbr. Dn caţa d fncţonar a condnaorl fgra (), rzlă: d a d namnă că avm r cazr pobl: - dacă > anc < ş dc valorl l cad - dacă < anc > ş dc valorl l crc - dacă anc ş dc o conană ( ) d ş folond noaţl dn d Dplaara pncl d fncţonar p caracrca dn fgra () poa fac nma în nl agţlor:. Pncl d p axa nnlor ncl pnc d chlbr. b) nalza ac crc fac p fcar porţn lnară. Pnr ara nţală daă (car ), apo corpnd porţn ) încp c acaă porţn (înr ş ~ 8 ~

69 connă c porţna (înr ( ) ş ( ) ( ) ş ( ) ), ş în fnal c porţna (înr ). Pnr ang în pncl d chlbr. nalza poa încp dn porna dacă ara nţală a condnaorl corpnd ac porţn, connând mlar până în pncl d chlbr. P fcar porţn lnară crcl nlnar ar câ n crc chvaln lnar. Pnr porţna avm rmăorl crc chvaln lnar: nd: 5 R Ω 5 E 5 (nrca c axa nnlor a drp corpnzăoar porţn ) ac valor ş la la calclază ca în paragrafl anror: 5 (condţa nţală) 5 : crnd T K rzlă rznţa chvalnă a crcl pavza R Ω R τ R ( ) τ ( ) [ ( ) ( )] 5 ~ 9 ~

70 nalza crcl p porţna pornş d la momnl d mp, nd parcrg porna d la ( ) 5 la ( ). nrvall d mp în car Rzlă: ( ) 5 ln ln ln.9. 9 m ln Pnr porţna avm rmăorl crc chvaln lnar nd: 5 R Ω ( 5 ) E 5 ac valor ş la la calclază ca în paragrafl anror: 5 : crnd T K rzlă rznţa chvalnă R Ω R τ R ~ 7 ~

71 ( ) (.9 ) τ ( ) [ ( ) ( )] 5 nalza crcl p porţna pornş d la momnl d mp, nd nrvall d mp în car parcrg porna d la ( ) la ( ) 5. Rzlă: (.9 ) ( ) ln.9.9.8m ln ln ln Pnr porţna avm rmăorl crc chvaln lnar: nd: 5 ( ) R.5 5Ω E ac valor ş la la calclază ca în paragrafl anror: 5 : crnd T K rzlă rznţa chvalnă 5Ω R R τ R.5.5 ~ 7 ~

72 ( ) τ ( ) [ ( ) ( )] nrvall d mp :.8.5 (.8 ) la în car parcrg porna d la ( ).8.5 n cazl n car ( ) (.8 ).5 ln( ) o analză mlară po fac ş p porţna. Pnr porţna avm rmăorl crc chvaln lnar: nd: 5 ( 5) R Ω 5 5 ( ) E (nrca grafcl c axa ox) ac valor calclază ş la la : 5 (condţa nţală) : crnd T K rzlă rznţa chvalnă char R Ω R ~ 7 ~

73 τ R ( ) τ ( ) [ ( ) ( )] 5 nrvall d mp calclază afl: în car parcrg porna d la ( ) 5 ( ) 5 ln( ) la Exrcţl S condră crcl dn fgra () nd caracrca - dn fgra () []. mh ar nporl N dcr d () () a) Schţaţ parcrl dnamc. b) Dacă ( ) 5m ă drmn ş pnr. c) Drmnaţ mpl ncar ca crcl ă angă dn ara nţală în pncl Q. d) Drmnaţ proada oclaţlor d rlaxar. Rzolvar: a) Parcrl dnamc da d dplaara pncl d fncţonar [ ] caracrca dn fgra () pornnd d la ara nţală. Dn caţa d fncţonar a bobn, rzlă: d a d namnă că avm r cazr pobl: ~ 7 ~, p d ş folond noaţl dn fgra () d.

74 - dacă > anc < ş dc valorl l cad - dacă < anc > ş dc valorl l crc - dacă anc ş dc o conană ( ) Dplaara pncl d fncţonar p caracrca dn fgra () fac dc în nl agţlor: S obrvă că, dpă c ara crcl ang în pncl Q a în pncl Q, acaa n ma poa vola. Q ş Q nmc pnc d mpa. Dacă prpnm că () n poa ava alr nfn, rzlă că () o fncţ conna. n ac condţ prm all dn Q în ş all dn Q în B. Parcrl dnamc compla c ac alr caracrzază n oclaor d rlaxar. cll Q Q B Q parcr înr-o proadă d oclaţ în car alrl Q ş Q B n fca nanan. Rzlă că proada d oclaţ dbll nrvall în car parcr gmnl Q B. b) Pnr porţna avm rmăorl crc nd: E. 5 (nrca drp BQ c axa ) 5 () R 5Ω ( ) ac valor ş calclază ca n paragrafl anror: la : ( ) 5m (condţa nţală) ar ( ) calclază crnd T K p crcl rmăor: ~ 7 ~

75 ( ) 5 ( ) la în crn conn, bobna înlocş c o rznţă nlă, rzlă..5 5 rznţa chvalnă a crcl pavza char 5Ω Scrnd T K: 5 ( ).5 ( ). m R R τ. R 5 c) ( ) [ ( ) ( )] ( ). ( 5 (. ). τ 8. ( ) [ ( ) ( )] ( 5.75 ) ( ) τ.. ang d la m 5 la m în nrvall d mp. 8.. ~ 75 ~

76 µ d) ang d la 5 m la m în nrvall d mp nrvall BQ parcr în. 7µ... 9µ Proada oclaţlor T. µ Exrcţ prop: Exrcţl Să calclz pnr m, dacă ( ) m R KΩ R KΩ µf []. Exrcţl Snd că ( ) 5 ş ( ) 5m [], a) Să calclz oa nnl ş oţ crnţ la. b) Să calclz oa nnl ş oţ crnţ la. ~ 7 ~

77 Exrcţl S condră crcl dn fgra () nd mh ar nporl N dcr d caracrca - dn fgra () []. () () a) ndcaţ parcrl dnamc. ndcaţ oa pncl d chlbr ş dacă n abl a nabl. b) S prpn că ( ) m pnr.. alclaţ ş Exrcţl S condră crcl dn fgra () nd µ F ar N dcr d caracrca - dn fgra () []. a) ndcaţ parcrl dnamc b) Dacă ( ) ş ( ) m, pnr. calclaţ ş () () ~ 77 ~

78 rc d ordnl Brvar orc rcl car conţn doă lmn dnamc (doă condnaoar, doă bobn a n condnaor ş o bobnă) nmc crc d ordnl do. n crc lnar d ordnl poa f caracrza prn caţa d ar x x nd: x x vcorl varabllor d ar ( pnr condnaor ş pnr bobnă), x a a marca d ar ar a a vcorl mărmlor d nrar. n crc nlnar d ordnl poa f caracrza prn caţl d ar x f( x, x, ), x f ( x, x, ) nd varabll d ar n varabll d conrol al lmnlor dnamc. D xmpl, pnr o bobnă conrolaă în flx varabla d ar flxl φ. Scrra caţlor d ar S rmărş crra n m d doă caţ dfrnţal d ordnl înâ având ca ncnoc varabll d ar. O modă foar mplă d a obţn ac caţ ca dn caţl crcl ă lmn oa ncnocl ma pţn,, ş. mprnă c caţl conv al lmnlor dnamc rzlă caţl d ar. caă modă poa folo aâ pnr n crc lnar câ ş pnr n crc nlnar. O ală modă bazază p rprznărl dporţlor. Orc crc lnar nvaran în mp d ordnl do poa f condra ca n dpor rzv lnar N (car conţn rzoar lnar ş r ndpndn) c lmnl dnamc conca la porţ. S înlocc condnaoarl c r d nn ş/a bobnl c r d crn ş drmnă rprznara dporl. S condra: rprznara conrolaă în nn pnr crcl c doă condnaoar, rprznara conrolaă în crn pnr crcl c doă bobn, rprznara hbrdă pnr crcl c o bobnă ş n condnaor. Ecaţl d ar obţn lzand rprznara adcvaa mprnă c caţl conv al lmnlor dnamc. ~ 78 ~

79 ~ 79 ~ Exrcţ rzolva: Exrcţl Să cr caţl d ar pnr crcl []: Rzolvar: rcl conţn n condnaor ş o bobnă, înamnă că în fnal rb ă obţnm o caţ d forma: S S vând doă nodr ş doă bcl crm o caţ corpnzăoar T K ş doă caţ corpnzăoar T K. T K: T K: S S obrvă că S ar înlocnd în T K rzlă: a. Dn: ca c rprznă prma caţ d ar a crcl. Pnr a obţn a doa caţ d ar n folom d:

80 ~ 8 ~ ş cm rzlă că Dn: ca c rprznă a doa caţ d ar a crcl. Rcrnd ml obţnm: a b formă marcală. Exrcţl Să cr caţl d ar pnr rmăorl crc nlnar []: nd q ş φ Rzolvar: ondnaorl fnd conrola nlnar în arcnă ar bobna în flx, căăm caţl d ar b forma: q f q f q, ˆ, ˆ φ φ φ rcl având par nodr ş par bcl obţnm rmăoarl caţ corpnzăoar T K ş T K.

81 ~ 8 ~ T K: T K: S S, a o formă chvalnă. Rcrm ml lmnând ccv oa ncnocl ma pţn,,, :. m q φ ar q ş φ, rzlă: q q q φ φ φ q q q φ φ φ Exrcţl n crc ar rmăoarl caţ d ar: a) Drmnaţ pncl d chlbr. b) Drmnaţ comporara calavă în rl pnclor d chlbr folond moda crcl chvaln lnar [, ].

82 ~ 8 ~ Rzolvar: a) a chlbr x. Rzolvând ac m obţn pncl d chlbr:,. nlocnd în a -a caţ obţnm,. Rzlă că avm doă pnc d chlbr,,, Q Q ş,, Q Q. b) vând ml: f f,,, aproxmara lnară obţn dzvolând fcar caţ a ml în r Taylor în rl pnclor d chlbr ş părând doar rmn lnar.,,,,,,,,,,,,,, Q Q Q Q f f f f f f omporara calavă a crcl daă d valorl propr al marc. Pnr pncl d chlbr, Q avm:,, Q Q Q Q f f f f f f f f,,,,,, a b formă marcală. Dc ar valorl propr n olţl caţ d λ.

83 ~ 8 ~ d λ λ λ λ λ λ λ. λ λ 5 5 λ λ S obrvă că λ λ < < aţ în car pncl, Q pnc şa. Pnr pncl d chlbr, Q avm:,, Q Q Q Q f f f f f f,,,,,, f f a b formă marcală. Dc ar valorl propr n olţl caţ d λ. d λ 5 5 λ λ λ λ λ λ λ λ. λ 5 λ 5 λ λ S obrvă că < < λ λ aţ în car pncl, Q nod abl.

84 Exrcţ prop: Exrcţl Să cr caţl d ar pnr crcl []: Exrcţl Să cr caţl d ar pnr crcl: Exrcţl F crcl dn fgră []. Să cr caţl d ar. Să drmn ara d chlbr. Să drmn valoara l R afl încâ pncl d chlbr ă f: a) nod abl, b) focar abl. Exrcţl F crcl dn fgră []. Să cr caţl d ar. Să drmn oa ărl d chlbr. Să drmn caţl d ar lnarza în rl pncl,. Să drmn valoara maxmă a l pnr car orgna nod nabl. ~ 8 ~

85 rc d crn alrnav Rprznara în complx a mărmlor nodal Brvar orc O mărm nodală o fncţ d mp d forma: y Y n( ϕ) nd Y valoara fcvă Y valoara maxmă π f ş nmş plaţ f ş nm frcvnţă T T proada ar ϕ faza nţală. Mărm nodal y Y n( ϕ) ϕ Y Y b formă xponnţală a ( co( ϕ) ( ϕ) ) Y Y n b formă rgonomrcă a Y a b b formă algbrcă. Dacă cnoa, mărm complx nodală y Y n( ϕ) î corpnd nmărl complx: calclaă dpă cm rmază: Y b ϕ arcg argmnl nmărl complx. a a b modll nmărl complx ar Exrcţ rzolva: Exrcţl Să rprzn în complx rmăoarl mărm nodal: π y n π y n a) b) Rzolvar: π π π π π π b) Y co n a) Y co n ( ) Y a b î corpnd mărma 5 ( ) ~ 85 ~

86 Exrcţl Să drmn marml nodal d pla corpnzaoar mărm complx Y Rzolvar: modll nmărl complx Y 5 argmnl nmărl complx ϕ arcg y 5 n arcg aracrzara în complx a lmnlor d crc Brvar orc a) Sra dală d nn E n( ϕ ) ϕ E E b) Sra dală d crn S n( ϕ ) S S S ϕ Raporl dnr mărml complx ş nmş mpdanţă complxă ş noază c : ϕ ϕ nd nmş mpdanţă R nmş rznţă X nmş racanţă l r mărm maoară în Ω. ( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) R Raporl dnr mărml complx ş nmş admanţă complxă ş noază c Y : Y G B nd Y Y nmş admanţă G nmş condcanţă B nmş cpanţă ~ 8 ~ X

87 l r mărm maoară în Ω a Smn (S). vând nrod ac marm pm dfn: c) Rznţa dvn în complx mpdanţă rzvă R R R d) Bobna dvn în complx mpdanţă ndcvă ) ondnaorl dvn în complx mpdanţă capacvă X X Pnr analza crclor d crn alrnav în complx rmază pa: ) S fac ranformărl lmnlor d crc în complx ) vând drp ncnoc mărml fazoral aplcăm na dn modl cnoc (T K ş T K, ponţal la nodr, crnţ cclc, gnraoar chvaln). ) S fac blanţl prlor complx. ) S fac ranformara d la marml complx la crnţ ş nnl nodal. Exrcţ rzolva: Exrcţl F crcl dn fgră. n a) Să drmn crn dn crc. b) Să vrfc rzlal obţn c blanţl prlor complx. ~ 87 ~

88 Rzolvar: ϕ a) E E Ω R R R R Ω Ω Ω.5 rcl conţn doă nodr ş doă bcl. Dn orml l Krchhoff obţnm: T K: ( ) T K: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 7 ( ) ϕ arcg ( ) ϕ arcg 8 ( ) ϕ arcg ( ) ( ϕ ) n ( ) ( ϕ ) n ( ϕ ) n ( ) ~ 88 ~

89 b) orcdna olţ vrfcă c blanţl d pr complx. Pnr ca olţa ă f corcă pra conmaă d mpdanţ: S ab k k k k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 5 5 [ ( ) ( ) ] ( ) rb a f gală c pra gnraă d r: S db E E ( ) ( ) Exrcţl Să cr caţl mod crnţlor cclc. S co( ) n π Rzolvar: π π π π co( ) n E co n π π S n S π π co n ( ) Doarc la moda crnţlor cclc prfră rl d nn ş comnzl în crn, pnr cl doă bobn cpla magnc folom în complx rprznara c r d nn comanda în crn: ~ 89 ~

90 ~ 9 ~ d d d d M d d M d d M M a car adagă:

91 ~ 9 ~ Exrcţl Să cr caţl mod ponţallor la nodr pnr crcl dn problma. co π n S Rzolvar: Doarc la moda ponţallor la nodr prfră rl d crn ş comnzl în nn, pnr cl doă bobn cpla magnc folom în complx rprznara c r d crn comanda în nn:

92 ~ 9 ~ Rzlă ml d caţ: a car adagă:

93 Exrcţ prop: Exrcţl Să drmn mpdanţa chvalnă a crcl în rapor c bornl r ş ă calclz prl acvă, racvă ş aparnă dba d ră. S cnoc: R R Ω X X X Ω n π Exrcţl Să drmn nnăţl crnţlor dn larl crcl ş pra acvă ş racvă dbaă d ră. S cnoc: X Ω R X X X Ω X 5Ω n π Exrcţl Să cr caţl mod ponţallor nodrlor. S cnoc: n ~ 9 ~

94 Exrcţl Să cr caţl mod crnţlor cclc. S co( ) π n ~ 9 ~

95 Gnraoar chvaln în crn alrnav Brvar orc Gnraorl chvaln d nn al n dpol F n dpol lnar c bornl ş B. Orcâ d complca ar f ac crc l poa chvala c n crc forma dnr-o ră d nn B în r c o mpdanţă B nd B nna d mr în gol măraă la bornl ş B (mpdanţa fnd coaă dn crc) ş B mpdanţa chvalnă înr bornl ş B a crcl pavza (rl comanda n pavzaza). Gnraorl chvaln d crn al n dpol F n dpol lnar c bornl ş B. Orcâ d complca ar f ac crc l poa chvala c n crc forma dnr-o ră d crn BSc în parall c o mpdanţă B nd crnl BSc corpnd crcrcl înr bornl ş B. lgorml d drmnar a lmnlor gnraoarlor chvaln în crn alrnav aclaş ca în crn conn ( înlocc rznţl c mpdanţ, c). ~ 95 ~

96 Exrcţ rzolva: Exrcţl Să calclz B lzând pargra cplal. S co n Rzolvar: Dacă cl doă bobn cpla a n nod comn xa n crc chvaln ma mpl fără r comanda. c procd nmş pargra cplal. ar în complx: OBSERŢE: Dacă bornl polarza n aaca dfr d crnţ anc M înlocş c M. ~ 9 ~

97 ~ 97 ~ B rprznă mpdanţa complxă a crcl pavza. Doarc în rma pavzăr ş a pargr cplal crcl conţn o ră comandaă ş mpdanţ conca în a/rngh, n pm calcla mpdanţa chvalnă dn orml mpdanţlor chvaln r ş parall. Pnr a calcla mpdanţa chvalnă concăm înr ş B o ră d crn ş calclăm nna la bornl r. Rzlă B În complx crcl dvn: Pnr ac crc moda crnţlor cclc ar nmarl mnm d caţ. Dn prma caţ rzlă: Scrnd T K p bcla parcră d obţnm nna, ar Ω B Exrcţl

98 Să calclz B co( ) S n π Rzolvar: π π π co( ) n E co n π S n S ( ) În complx crcl dvn: π π ~ 98 ~

99 ~ 99 ~ Pnr ac crc moda ponţallor la nodr ar nmarl mnm d caţ. Pnr a mplfca crra caţlor pm chvala mpdanţl r ş ranforma ra rală d nn în ră rală d crn. Rzlă crcl: ar B

100 Exrcţ prop: Exrcţl Să calclz B. S cnoc: co S π π co n Exrcţl Să calclz BSc. S cnoaş: n ~ ~

101 Exrcţl Să calclz B. S co n Exrcţl Să cr caţl mod crnţlor cclc lzând pargra cplal. ~ ~

102 rc rfaza nalza crclor rfaza rcl rfaza n crc d crn alrnav almna d gnraoar rfaza. n gnraor rfaza poa f chvala c r r ral d nn avand nnl lcromooar d acaş valoar fcvă ş dfaza nr l c d grad; ac r po f conca în a a în rngh. Pnr a fac conom d condcoar d lgără, rcpoarl rfaza n forma dn mpdanţ conca o în a a în rngh. Evdn, n afl d crc poa f analza c orc modă d calcl al crclor d crn alrnav (orml l Krchhoff, ponţal la nodr, crnţ cclc). Pnr calcll manal al olţlor nor crc rfaza foar mpl xă mod pcfc, foar fcn, car foloc proprăţl acor crc. În ac capol vor da nma ac mod. În connar vor f aborda analza n rcpor în a ş analza n rcpor în rngh. D obc o afl d analză conă în drmnara crnţlor d fază ş d ln când cnoc nnl d almnar ş mpdanţl fazlor. nalza n rcpor rfaza în a [] S condră cazl n rcpor în a c fr nr. S noază c N nll rcporl ş c nll d la gnraor. S cnoc: - nnl d fază car almnază rcporl,, ; - mpdanţl fazlor,, ş mpdanţa condcorl nr N. Mărml car rb drmna n: - crnţ dn fazl rcporl,, ş crnl dn condcorl nr N ; - nnl d fază al rcporl N, N, N ş nna p condcorl nr N. lgorml d analză a crcl :. nocând nnl d fază car almnază rcporl,,, admanţl fazlor Y, Y, Y ş admanţa frl nr Y N calclază N c formla l Mllman: ~ ~

103 N Y Y Y Y Y Y N Y. S calclază nnl d fază la rcpor N, N, N crnd caţl da d T K aplcaă în crcl da: N N N N N N. S calclază crnţ dn fazl rcporl, ş crnd caţl da d lga l Ohm: N Y N Y N Y. S vrfcă blanţl d pr Solţa condră corcă dacă pra complxă prmă p la born d rcpor S b gală c pra complxă conmaă în mpdanţ S c. Exrcţ rzolva: Exrcţl F crcl dn fgră []. S da: f, R 8Ω, R Ω, X Ω, X Ω R S cr: a) N, N, N b),, c) S ş,, Rzolvar: rcl fnd almna c nn c formază n m mrc, rzlă în complx nnl d fază: f n( ) f π f n f ~ ~

104 ~ ~ n π f f alclăm mpdanţl ş admanţl fazlor: Ω 8 R S Y 8 Ω X R S Y Ω X R S Y. alclăm dplaara pncl nr: [ ] Y Y Y Y Y Y Y N N alclăm nnl d fază la rcpor: N N N N N N

105 ~ 5 ~. alclăm crnţ dn fazl rcporl,, : Y N Y N 5 Y N 5 ş: n n π π. rfcăm blanţl d pr: S b S c 8 S obrvă că c b S S dc olţa corcă. Exrcţ prop: Exrcţl F crcl dn fgră []. S da: f, Ω 5 R, Ω 5 X X S cr: a) N, N, N b),, ş,, c) S

106 Exrcţl F crcl dn fgră []. S da: f, R Ω, R 8Ω, R X Ω, X Ω S cr: a) N, N, N b),, c) S ş,, nalza n rcpor rfaza în rngh [] S cnoc: - nnl d ln,, - mpdanţl rcporl,, S cr: - crnţ d ln:,, - crnţ dn fazl rcporl:,,. lgorml d analză a crcl:. Dn lga l Ohm calclază crnţ dn fazl rcporl: ~ ~

107 . S calclază crnţ d ln crnd caţl da d T K:. S vrfcă blanţl d pr Solţa condră corcă dacă pra complxă prmă p la born d rcpor S b gală c pra aparnă complxă conmaă în mpdanţ Exrcţ rzolva: Exrcţl S c F crcl dn fgră []. S da: l, R Ω, R Ω, R X X Ω, X Ω S cr: a),, b),, c) S Rzolvar: rcl fnd almna c nn d ln c formază n m mrc, rzlă în complx nnl d fază: l n( ) l π l n l π l n l ~ 7 ~

108 alclăm mpdanţl fazlor: R X Ω Ω R ( X X ) ( ) Ω R. alclăm crnţ dn fazl rcporl: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). alclăm crnţ d ln: ( ) ( ( ) ( ). rfcăm blanţl d pr: S b ( ) [ ] [ ] [ ] ~ 8 ~

109 S c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( [( ) ( ) ] 8 ( ) ( ) S obrvă că S S dc olţa corcă. b c Exrcţ prop: Exrcţl F crcl dn fgră. S da: l, R Ω, X X Ω. S cr: a),, b),, c) S Exrcţl F crcl dn fgră. S da: l, R Ω, R Ω, X R X Ω S cr: a),, b),, c) S ~ 9 ~

110 Rgml prodc nnodal Brvar orc n crc fnconază în rgm prodc dacă oa nnl ş o crnţ n fncţ prodc d acaş proadă. Dacă cl pţn o nn a n crn n nodal, pn că rgml nnodal a dforman. F n crc lnar c xcaţl nnodal d pl: ( n α ) n n n nalza în rgm prmann a ac crc fac p fcar armoncă în par lzând calcll în complx. rmonca d ordnl n a nn drmnă aparţa armonc d ordnl n a crnl ş nvr. mpdanţa complxă a fcar lmn dal d crc corpnzăoar armonc n : - pnr rzor: - pnr bobnă: - pnr condnaor: n R n n R n n n baza orm prpozţ crnl dn fcar lară gal c ma ror crnţlor d armoncă n calclaţ: ( n β ) n n n omponna d crn conn ( ş ) drmnă p o rţa paraă a căr rcră dfră d ca p car dază rgml armonclor. Doarc în crn conn d( ) condnaorl înlocş c n rzor c R ş bobna înloc c n d rzor d rznţă R. Exrcţ rzolva: Exrcţl n n F crcl dn fgră [], nd: n co S ~ ~

111 Să drmn nna. Rzolvar: n c. c. avm rmăorl crc: Pnr armonca înâ avm: n ( ) ( ) S Rzlă: S R R Ω Ω Ω Ω l ma mpl mod d a calcla nna d a calcla mpdanţa chvalnă: Ω S ~ ~

112 Mărm complx rmază: î corpnd o mărm nodală calclaă dpă cm modll nmărl complx ar π ϕ arcg arcg( ) argmnl nmărl complx. ( ) π n( ϕ ) n Pnr armonca a doa avm: π co n ( ) S S R Rzlă: π R Ω Ω Ω Ω alclăm nna c aorl mpdanţ chvaln: ( ) ( ) R R ) 9 Ω ( ) ( ) ( ) 9 9 S 5 Mărm complx rmază: î corpnd o mărm nodală calclaă dpă cm ~ ~

113 9 modll nmărl complx ar ϕ 9 arcg argmnl nmărl complx. ( ) n ϕ Dn orma prpozţ rzlă că nna p ra d crn gală c ma ror nnlor calcla p armonc: n ϕ n( ) ϕ Exrcţl F crcl R r dn fgră. S da: 5 5 n( ) n( ) ş. S cr: a) b) Prl aborb d lmnl pav d crc: S pra aparnă P pra acvă Q pra racvă D pra dformană Rzolvar: a) n c.c. avm rmăorl crc c 5 : Pnr armonca înâ avm: 5 n ( ) ( ) ~ ~

114 R Rzlă: 5 5 R 5Ω Ω Ω mpdanţa chvalnă r : 5 5Ω R 5 5 Mărm complx rmază: î corpnd o mărm nodală calclaă dpă cm modll nmărl complx ar ϕ arcg arcg( ) argmnl nmărl complexrcţl n ϕ n Pnr armonca a doa avm: n ( ) ( ) R Rzlă: R 5Ω Ω 5 Ω ~ ~

115 mpdanţa chvalnă r : R Ω ( ) 5 5 Mărm complx rmază: ( ) î corpnd o mărm nodală calclaă dpă cm modll nmărl complx ar ϕ arcg argmnl nmărl complx π n( ϕ ) n arcg ( ) π ( ) Dn orma prpozţ, crnl gal c ma ror crnţlor calclaţ pnr oa armoncl: π n( ) n b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f pra aparnă: S f f 5 P Rk k pra racvă: Q X k k 5 ( ) R pra acvă: W pra dformană: D S ( P Q ) ( 5 ) (5 ) 5 5D ~ 5 ~

116 Exrcţ prop: Exrcţl S dă crcl dn fgra d ma o. Să drmn valoara nanan a crnl ş prl dba d acaa, în cazl almnăr c nna: prn ra n( ) n( ) n( 5) S da: 8Ω 5Ω 5Ω Exrcţl prn ra S dă crcl dn fgra d ma o. Să drmn valoara nanan a crnl ş prl dba d acaa, în cazl almnăr c nna: π S da: R Ω π 5 n n.h 5µ F.H 5µ F Exrcţl S dă crcl dn fgra d ma o. Să drmn valoara nanan a crnl ş prl dba d acaa, în cazl almnăr c nna: prn ra n( ) n( ) ~ ~

117 S da: R R Ω R Ω Ω 9Ω Exrcţl S dă crcl dn fgra d ma o. Să drmn valorl nanan al crnţlor prn cl doă r, rpcv ş prl dba d aca, în cazl almnăr c nnl: n( ) ş E. S da: R R Ω Ω Ω Ω ~ 7 ~

118 alcll opraţonal c ranformaa aplac Brvar orc aorl ranforma aplac poa conr n m d caţ algbrc {S }, corpnzăor n m d caţ lnar dfrnţal ş algbrc {S}. Solţl ml {S } n fncţ d o varablă complxă, car n ranformal aplac al olţlor ml {S}. Ecaţl dn {S } pând f manpla ma şor dcâ cl dn {S}, calcll c ranformaa aplac vdnţază ma bn proprăţl n crc dnamc lnar. O fncţ f nmş fncţ orgnal dacă îndplnş rmăoarl condţ: f pnr orc (, ) ) ) f mărgnă p nrvall (, ) ngrablă în orgn ( d < ) pnr > > f )., σ f O afl d fncţ ar o magn aplac F ( ) dfnă d: <. F ( ) f, ar dconnăţ fn ş abol nd σ o varablă complxă. În ac rlaţ ε ş ε n valor al mpl pnr ε > orcâ d mc. F ( ) xă pnr orc R( ) > σ nd σ valoara mnmă pnr car ar loc propraa. S noază: F( ) f f F { } { } EXEMPE ) magna aplac a fncţ rapă na []: f, nd d ;. ; < F ( ) f d d d ( ) ) magna fncţ rapă na înârzaă c τ []: ( τ) f. ~ 8 ~

119 F ( ) f d ( τ ) d ( τ ) d ( τ ) d τ τ τ ( τ) d ( ) ) magna fncţ mpl Drac []: f δ τ τ. τ Dn ) ş ) rzlă: dc ar F F P ( ) [ ( ) ] ( ) lm F lm lm ( ) lm ( ) λ ) magna fncţ xponnţal: F f. λ ( λ) ( ) f d d λ ( λ) Exrcţ rzolva: Exrcţl ~ 9 ~ d Să drmn magnl aplac al fncţlor: f a f n ϕ f co a) b) c) Rzolvar: f c a > a a) ( λ) ( λ)

120 ~ ~ S lzază ngrara prn părţ b a b a b a vd v dv c ş a v ) ( ş rzlă: a a a a d a d a a d d d f F a a a a a a b) ϕ f n n d d f F ϕ Noăm c n d ϕ ş folom ngrara prn părţ: d d dv ϕ n ϕ ϕ d v co n rzlă: co co co co co d d F ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Noăm c co d ϕ ş calclăm para acaă ngrală folond ngrara prn părţ: d d dv ϕ co ϕ ϕ d v n co rzlă: co d ϕ n n n n n d d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

121 ~ ~ Dn n co ϕ ϕ co n ϕ ϕ dc co n ϕ ϕ ) ) ϕ ϕ co n ϕ ϕ co n co n ϕ ϕ Rvnm la n co n co co n co co n co co F ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ OBSERŢ: ) Dacă ϕ F { } n ϕ. ) Dacă π ϕ F { } co ϕ. c) f co co f co d d f F d d d d d F

122 Exrcţ prop: Exrcţl Să drmn magnl aplac al fncţlor: a n a) f a b) f co ( ) c) f n ( ) d) f co ( ) ~ ~

123 nalza crclor dnamc lnar c ranformaa aplac Brvar orc S condră n crc în car cnoc condţl nţal pnr lmnl dnamc ( ( ) a q ( ) pnr condnaor ş ( ) a φ ( ) pnr bobnă). Dacă în ac crc rl ndpndn d concază la momnl d mp oa nnl ş oţ crnţ dvn fncţ orgnal. onform orm drva fncţ orgnal: df F( ) f ( ) d F f. nd { } a) Sra dală d nn (crn) connă Schm chvaln opraţonal E ( ) b) Sra dală d nn (crn) nodal alrnavă E n ( ϕ) E( ) c) Rzorl d) Bobna E co E R ( ) R ( ) E ( ϕ) n( ϕ) d d ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~

124 ~ ~ ) ondnaorl d d [ ] f) Doă bobn cpla d d d d M d d M d d [ ] [ ] [ ] [ ] M M [ ] [ ] M M M M φ φ M M nocând olţa calclaă ca magn aplac, rvn la fncţl d mp folond orml l Havd. ) Dacă Q P F c Q grad P grad ş ar m pol mpl ( m,, ) anc { } m k k k k Q P F f.

125 P ) Dacă ( ) F c grad( P( ) ) grad( Q( ) ) Q( ) P orgn, anc { } m P k F Q( ) Q ( ) k f. k k k P ) Dacă ( ) F c ( P( ) ) grad( Q( ) ) Q( ) m m ( Q( ) ( ) ( ) r r ) anc r r mk f { F( ) } [( k ) F( ) ] ( m q)! k q Exrcţ rzolva: Exrcţl ş ar pol mpl dnr car nl în grad ş ar m pol mlpl k mk q k q k. ( q )! F crcl dn fgra, c comaorl K dch []. a momnl închd n ş condţa nţală pnr condnaor ( ). Să pnr. comaorl. S dă drmn Rzolvar: Pnr chml opraţonal avm nvo d condţa nţală pnr crnl prn. a momnl d mp comaorl K fnd dch crnl prn crc. Pnr, obţn rmăorl crc c mpdanţ ş r opraţonal: bobnă T K ( ) R ~ 5 ~

126 ~ ~, nd răpnl la ar nţală nlă ş răpnl la xcaţ nlă. Pnr a calcla ma şor olţa în rgm ranzor dcompnm în fracţ mpl. D B D B Egalând cofcnţ rmnlor d aclaş grad obţnm ml: D B D D B D B { } n n { } Pnr a aplca orml l Havd calclăm pol l :, ±. N aflăm în aţa pollor mpl afl încâ

127 ~ 7 ~ { } m k k k k Q P n n fnal obţn n n Exrcţl Să drmn nnaa crnl prn bobnă ş nna la bornl condnaorl în rgml ranzor car apar la închdra înrrpăorl K la momnl d mp în crcl dn fgra d ma o. S cnoc Ω R, H, F ş E. Rzolvar: Pnr < când înrrpăorl K dch avm rmăorl crc d c. c.: R R

128 ~ 8 ~ Dn T K rzlă: R E R Doarc crcl conţn r d nn, moda ca ma porvă pnr rzolvar moda crnţlor cclc nlocnd în ca d-a doa caţ obţnm ş :

129 ~ 9 ~ 9 9 rnl prn bobnă Tnna p condnaor 8 9 R Pnr a calcla ma şor olţa în rgm ranzor dcompnm în fracţ mpl. B B B Egalând cofcnţ rmnlor d aclaş grad obţnm ml: B B B { } Procdăm la fl ş pnr a drmna nna p condnaor în rgm ranzor. 8 9 B B 9 B Egalând cofcnţ rmnlor d aclaş grad obţnm ml: 9 B B B { }

130 Exrcţ prop: Exrcţl Să drmn nnaa crnl prn ş nna la bornl condnaorl bobnă în rgml ranzor car apar la închdra înrrpăorl K la momnl d mp în crcl dn fgra d ma o. S cnoc R. Ω, H, F ş E. Exrcţl Să calclz xprl nnăţ ş a nn p crnl prn bobnă condnaor în rgml ranzor rzla la închdra înrrpăorl K la momnl d mp în crcl dn fgra d ma o. S cnoc R Ω, H, F ş E. Pnr < condră rgml prmann. Exrcţl Pnr crcl dn fgra d ma o cr xprl nnăţ crnl prn ş a nn p condnaor bobnă în rgml ranzor rzla la dchdra înrrpăorl K la momnl d mp. S cnoc R Ω, R Ω, H, F ş E 5. Pnr < condră rgml prmann. Exrcţl n crcl dn fgra d ma o, înrrpăorl K dchd la momnl d mp. S cr ă calclz varaţa în mp a crnl prn bobnă ş a nn p condnaor în rgml ranzor rzla. alorl paramrlor crcl n: R Ω, R Ω, R 5 Ω, mh, 5 µ F, E ş E. Pnr < condră rgml prmann. ~ ~

131 ~ ~

132 n lcrc lng n lng în rgm armonc prmann Brvar orc mpdanţa d nrar înr-o ln lngă fără prdr rmnaă p mpdanţa : g g ( βl) ( βl) nd, - mpdanţa d nrar - mpdanţa d arcnă - mpdanţa caracrcă β - conana d fază l - lngma ln Exrcţ rzolva: Exrcţl Să calclz mpdanţa d nrar pnr ml d ln lng fără prdr ş lmn c conan concnra dn fgră. S da: na l λ λ λ λ 8 Rzolvar: Pnr lna () avm: - mpdanţa d arcnă ~ ~

133 ~ ~ - mpdanţa d nrar π π λ λ π λ λ π g g g g Doarc avm n caz d ndrmnar împărţm ş nmorl ş nmărăorl c π g : g g ) ( π π Pnr lna () avm: - mpdanţa d arcnă - mpdanţa d nrar π π λ λ π λ λ π g g g g Doarc avm n caz d ndrmnar împărţm ş nmorl ş nmărăorl c π g : g g π π Pnr lna () avm: - mpdanţa d arcnă formaă dn grpl d r mpdanţ conca în parall, ş R : R - mpdanţa d nrar g g g g π π λ λ π λ λ π Pnr lna () avm:

134 - mpdanţa d arcnă formaă dn grpl d doă mpdanţ conca în parall ş R : R - mpdanţa d nrar π λ π g g 8 λ π λ π g g λ 8 ( ) ( ) ( ) ( ) Exrcţ prop: Exrcţl Să dz varaţa mpdanţ d nrar. nl lng, ş condră fără prdr. 5 5 ( ) ( ) c valoara ndcvăţ S da: na l λ 8 λ λ ~ ~

135 Exrcţl Să calclz mpdanţa d nrar pnr ml d ln lng fără prdr ş lmn c conan concnra dn fgră. S da: na l λ λ n lng în rgm ranzor Brvar orc Solţl caţlor lnlor lng fără prdr n: ( x, ) d ( x, ) ( x, ) ( x, ) [ d ( x, ) ( x, ) ] nd d ( x, ) nda drcă d nn, ( x, ) nda nvră d nn, mpdanţa caracrcă, componna conană a nd d nn ş componna conană a nd d crn. Exrcţ rzolva: Exrcţl a închd comaorl K []. na condră fără prdr. Pnr < ş x l ( x, ), ( x, ). rzlă că ş. Să dz ndl rflca d nn ( x, ) ş d crn ( x, ) în rgm l ranzor pnr. v ~ 5 ~

136 ~ ~ S condră cnoc: - mpdanţa caracrcă, R - rznţa d arcnă, v - vza d propagar, > E - nna lcromooar ş l - ngma ln. Rzolvar: Doarc pnr < ş l x, x,, x, rzlă că ş. Pnr nrvall d mp v l < ndl drc d nn ş d crn parcrg lna lngă dc n avm nd nvr (car ar pa apar doar prn rflxa la capăl ln).pnr orc x orc momn d mp dn ac nrval avmș E d. Dc [ ] x x x x x x d d,,,,,,,, E x E x a momnl d mp v l nda drcă d nn ang la capăl ln ş apar o ndă nvră d nn ca rmar a rflx. nda drcă d nn n ar mov ă-ș chmb valoara ( E d ) ar cădra d nn p rznţă R. Scrm rlal pnr xl. x, : E R E alclăm înâ nda nvră d nn : E R E E R E R E R R E R R R E alclăm nda d crn: [ ] d R E R R E R R E E dn car rzlă ş nda nvră d crn : R R E E R E x d,

137 Pnr nrvall d mp l v l < < nda drcă d nn rămân d E ş apar v nda nvră d nn va ava valoara calclaă la pncl prcdn. l Pnr nda nvră ang la încpl ln ş rflcă, modfcând valoara v R nd drc: E d, E. Rzlă d E. R R Exrcţl Să drmn ndl drc ş nvră d nn car apar la concara n gnraor dal d nn la o ln fără prdr, rmnaă ndcv. S da: l, v,,,. E ş S cr rgml ranzor pnr l <. v Rzolvar: l Pnr nrvall d mp < ndl drc d nn ş d crn parcrg lna v lngă dc n avm nd nvr. Ecaţl n: d x, E ( x, ) Dn ( x, ) d ( x, ) ( x, ) ( x, ) [ ( x, ) ( x, ) ] d x, E E ( x, ) a momnl d mp l nda drcă d nn ang la capăl ln ş apar o v ndă nvră d nn ca rmar a rflx. Ecaţl n d( l, ) p bobnă. Dc d d E ar cădra d nn ~ 7 ~

138 ~ 8 ~ E d d E alclăm înâ nda nvră d nn E E d d E d d E d d Solţa aca caţ dfrnţal ordnar formaă dn o olţ omognă ş o olţ parclara: p o Solţa omognă obţn rzolvând caţa: d d o o d d d d o o ln o o Solţa parclară caă d forma B p (nd B o conană). nlocnd în caţ obţnm: E B E B dc E Drmnara conan fac dn condţa nţală pnr bobnă. [ ] E E To la momnl, E E Dn E E E ar în fnal E E Rzlă: E E Pnr nrvall d mp v l v l < < nda drcă d nn rămân E d ş apar nda nvră d nn.

139 Exrcţ prop: Exrcţl Să drmn ndl drc ş nvră d nn car apar la concara n gnraor dal d nn connă p o ln fără prdr, rmnaă capacv. S da: l, l v,,, E ş ( ). S cr rgml ranzor pnr <. v Exrcţl Să dz ndl d nn (drc ş nvră) în cazl cplăr (la ) n ln fără prdr în gol la n gnraor d nn connă în rgm ranzor pnr l l <. S da: l, v,, ş E. Rgml ranzor va f analza pnr <. v v Bblograf []. O. ha,.. Dor, and E. S. Kh, "nar and Nonlnar rc," Nw York: McGraw Hll, 987, SBN [] F. onannc, M. Nc, rl d Elcrohnca. Para - Tora rclor Elcrc, hp://frrar.lc.pb.ro/dn, -. [] M. Nc, no d cr: Elcrohncă Faclaa d Enrgcă. []. onţă, no d cr: Tora crclor Faclaa d ngnr Elcrcă. ~ 9 ~